Metodi matematici per l’analisi del
rischio di credito
Patrick GAGLIARDINI
Università della Svizzera Italiana e Swiss Finance Institute
Giornata di studio sulla “Matematica finanziaria nell’insegnamento liceale”
20 ottobre 2010
Patrick Gagliardini (USI e SFI)
Metodi matematici per il rischio di credito
20 ottobre 2010
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INDICE
1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
2. MISURE DEL RISCHIO
3. MODELLI FATTORIALI DEL RISCHIO
4. SIMULAZIONE NUMERICA
5. TEORIA DELLA GRANULARITÀ
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Metodi matematici per il rischio di credito
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
ESEMPIO: Serie storica del prezzo dell’azione IBM
Prezzo ($) azione IBM
140
130
120
110
100
90
80
70
02.01.2008
Patrick Gagliardini (USI e SFI)
01.07.2008
02.01.2009
tempo
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01.07.2009
31.12.2009
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
ESEMPIO (cont.): Serie storica dei rendimenti dell’azione IBM
Rendimenti giornalieri IBM
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
02.01.2008
01.07.2008
02.01.2009
tempo
01.07.2009
31.12.2009
Rendimento giornaliero: y t = log(St /St−1 ), dove St è il prezzo dell’azione al giorno t
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
ESEMPIO (cont.): Istogramma dei rendimenti dell’azione IBM
Istogramma dei rendimenti giornalieri IBM
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−0.15
−0.1
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−0.05
0
0.05
rendimento giornaliero
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0.1
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0.15
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
DIVERSI TIPI DI RISCHI FINANZIARI
- di mercato: rischio associato alla variazione del prezzo di mercato degli
attivi di bilancio
- di credito: rischio associato agli eventi di default o di migrazione del rating
della controparte, recovery risk, ...
- di liquidità e finanziamento
- rischi operativi
- ....
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
Un rischio è descritto da una variabile aleatoria (v.a.) e dalla sua
distribuzione di probabilità
i) Rendimento di un attivo
v.a. con distribuzione normale di media μ e varianza σ2
Y ∼ N(μ, σ2 )
Densità di probabilità:
1
1
f (y) = √
exp − 2 (y − μ)2 , y ∈ R
2σ
2πσ 2
Distribuzione compatibile con l’ipotesi che il prezzo dell’azione segua un moto
Browniano geometrico
I parametri μ e σ2 sono stimati con media e varianza empiriche:
μ̂ = ȳ =
T
1
yt ,
T
t=1
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σ̂ 2 =
T
1
(yt − ȳ)2
T
t=1
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
densità di probabilità dei rendimenti giornalieri IBM
20
15
10
5
0
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
rendimento giornaliero
0.1
0.15
Media μ̂ = 0.0006 e deviazione standard σ̂ = 0.0203 stimate sul periodo
1.1.2008-31.12.2009
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
Istogramma dei rendimenti giornalieri IBM
35
Student (3)
30
25
20
15
Gaussiana
10
5
0
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
rendimento giornaliero
0.1
0.15
La distribuzione di Student ammette code pesanti e permette di prendere in
considerazione il rischio di rendimenti estremi
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
Distribuzione congiunta dei rendimenti dell’azione IBM e dell’indice di
mercato S&P 500
Scatter plot rendimenti IBM vs rendimenti S&P 500
0.15
rendimento giornaliero IBM
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.1
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−0.05
0
0.05
0.1
rendimento giornaliero S&P 500
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0.15
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
La sensitività del rendimento di un’azione al fattore di rischio di mercato è
studiato a partire dal modello di regressione lineare:
yt = α + βxt + εt ,
t = 1, · · · , T
dove:
yt e xt sono i rendimenti del titolo IBM e del mercato, rispettivamente
εt è un errore aleatorio di valore atteso 0 e varianza σ2
α e β (beta del titolo) sono parametri
Stimatori dei minimi quadrati ordinari (m.q.o.)
(α̂, β̂) = arg min
α,β
dove mxx =
T
t=1 (xt
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T
(yt − α − βxt )
2
⇒
t=1
− x̄)2 e mxy =
T
t=1 (xt
α̂ = ȳ − β̂x̄
mxy
β̂ =
mxx
− x̄)(yt − ȳ)
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
Retta di regressione stimata:
Scatter plot rendimenti IBM vs rendimenti S&P 500
0.15
rendimento giornaliero IBM
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
y = 0.00048 + 0.6128x
t
−0.1
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t
−0.05
0
0.05
0.1
rendimento giornaliero S&P 500
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0.15
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
ii) Evento di default di un’impresa
v.a. binaria
Y ∼ B(1, p)
con distribuzione di probabilità discreta
1 (default),
Y=
0 (non default),
prob. p
prob. 1 − p
La probabilità annua di default p ∈ (0, 1) per imprese in una data classe di
rating è stimata tramite la frequenza di default p̂ in tale classe
Dati S&P per aziende USA nel periodo 1990-2009 (p̂ in percentuale)
rating
p̂
AAA
0
AA
0.029
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A
0.085
BBB
0.274
BB
1.124
B
6.017
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C
30.406
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
iii) Rating di un’impresa
v.a. qualitativa a K alternative (K = 8 per il rating S&P)
⎧
1 (AAA), prob. p1
⎪
⎪
⎪
⎨ 2 (AA),
prob. p2
Y=
..
⎪
.
⎪
⎪
⎩
K (D),
prob. pK
con
pj ≥ 0,
K
pj = 1
j=1
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
Modello dinamico per la migrazione dei rating: il rating Yt segue una catena
di Markov con matrice di transizione
Π = [πj,k ],
dove πj,k ≥ 0, ∀j, k e
K
k=1 πj,k
πj,k = P[Yt = k|Yt−1 = j]
= 1, ∀j
Gli elementi della matrice Π sono stimati tramite le frequenze di transizione
⎛
⎞
0.921 0.071 0.005 0.001 0.000 0.001 0.001 0.000
⎜ 0.004 0.903 0.087 0.005 0.001 0.000 0.000 0.000 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0.000 0.018 0.921 0.055 0.003 0.001 0.001 0.001 ⎟
⎜
⎟
⎟
Π̂ = ⎜
⎜ 0.000 0.002 0.038 0.909 0.041 0.005 0.002 0.003 ⎟
⎜ 0.000 0.000 0.001 0.061 0.839 0.076 0.012 0.011 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0.000 0.000 0.002 0.004 0.070 0.815 0.049 0.060 ⎠
0
0
0.002 0.004 0.012 0.146 0.532 0.304
Dati S&P per aziende USA nel periodo 1990-2009
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
Consideriamo la matrice Π(h) = [πj,k (h)] delle probabilità di transizione ad un
orizzonte di h periodi
πj,k (h) = P[Yt+h = k|Yt = j]
Teorema 1: Π(h) = Πh , h ≥ 1
Dimostrazione: Per h = 2
P[Yt+2 = k|Yt = j] =
K
P[Yt+2 = k|Yt+1 = l, Yt = j]P[Yt+1 = l|Yt = j]
l=1
=
K
P[Yt+2 = k|Yt+1 = l]P[Yt+1 = l|Yt = j]
l=1
=
K
πj,l πl,k = (Π2 )j,k
l=1
dal teorema delle probabilità totali e la proprietà di Markov. Patrick Gagliardini (USI e SFI)
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
Probabilità di default cumulate per le classi di rating investment grade:
0.14
probabilità di default cumulata
BBB
0.12
0.1
0.08
0.06
A
0.04
AA
0.02
AAA
0
1
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2
3
orizzonte h (anni)
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4
5
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
iv) Rischio di Recovery Rate (RR)
Loss Given Default LGD = 1 − RR è la percentuale del nominale non
recuperata dal creditore in caso di default della controparte
v.a. con valori nell’intervallo [0, 1]
LGD ∼ Beta(α, β)
con densità di probabilità
f (y) =
Γ(α + β) α−1
(1 − y)β−1 ,
y
Γ(α)Γ(β)
y ∈ (0, 1)
I parametri α, β > 0 possono essere stimati uguagliando i momenti teorici
E[LGD] =
α
,
α+β
V[LGD] =
αβ
(α +
β)2 (α
+ β + 1)
ai momenti empirici
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1. RISCHI E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
funzione di densità di probabilità Beta di LGD
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
LGD
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Parametri α̂ = 1.23 e β̂ = 1.44 stimati a partire da media 0.46 e deviazione
standard 0.26 di LGD per prestiti nella classe senior unsecured (Moody’s)
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2. MISURE DEL RISCHIO
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2. MISURE DEL RISCHIO
Le misure del rischio come
Value-at-Risk (VaR)
Expected Shortfall (ES)
Distortion Risk Measures (DRM)
sono alla base dei moderni approcci alla gestione del rischio e della attuale
regolamentazione
Le misure del rischio sono utilizzate per
determinare i requisiti di capitale allo scopo di coprire le perdite future
monitorare i rischi tramite modelli di rischio interni
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2. MISURE DEL RISCHIO
i) Il Value-at-Risk (VaR)
Sia t la data odierna,
Wt+h la perdita sul periodo [t, t + h], una v.a.,
α ∈ (0, 1) un livello di confidenza, ad esempio α = 0.99
Il VaR VaR(t, h, α) alla data t, per l’orizzonte h e al livello di confidenza α è
definito dall’equazione
Pt [Wt+h ≥ VaR(t, h, α)] = 1 − α
dove Pt [·] è la probabilità condizionale all’informazione alla data t
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2. MISURE DEL RISCHIO
densità di probabilità di W
t+h
Il VaR è un quantile della distribuzione delle perdite e dei profitti (Loss and
Profits, L&P)
probabilità α
0
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VaR(t,h,α)
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perdita W
t+h
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2. MISURE DEL RISCHIO
Il VaR al livello di confidenza α non è informativo sull’entità delle perdite nel
100(1 − α)% peggiore dei casi
ii) Expected Shortfall (a.k.a. Tail VaR)
Lo Expected Shortfall ES(t, h, α) è la perdita attesa nel caso in cui la perdita
oltrepassa il quantile VaR(t, h, α)
ES(t, h, α) = Et [Wt+h |Wt+h ≥ VaR(t, h, α)]
dove Et [·] è il valore atteso condizionale all’informazione alla data t
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2. MISURE DEL RISCHIO
Lo Expected Shortfall può essere interpretato come una media di VaR estremi
Teorema 2: Vale
1
ES(t, h, α) =
1−α
1
VaR(t, h, u)du
α
Dimostrazione: Sia W una v.a. con densità di probabilità f , funzione di
ripartizione F e funzione quantile Q = F−1 . Abbiamo:
∞
wf (w)dw
Q(α)
E[W|W ≥ Q(α)] =
P[W ≥ Q(α)]
∞
1
1
1
wf (w)dw =
Q(u)du
=
1 − α Q(α)
1−α α
con il cambio di variabile w = Q(u). Patrick Gagliardini (USI e SFI)
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2. MISURE DEL RISCHIO
iii) Distortion risk measures
Sia H una funzione di ripartizione convessa sull’intervallo [0, 1]
Una Distortion Risk Measure (DRM) è definita da
DRM(t, h, H) =
1
VaR(t, h, u)dH(u)
0
ES al livello di confidenza α è una DRM associata alla funzione di ripartizione
1
(u − α)+ (distribuzione uniforme sull’intervallo [α, 1])
H(u) = 1−α
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2. MISURE DEL RISCHIO
ESEMPIO: Misure del rischio in una distribuzione normale (caso statico)
Sia la perdita W ∼ N(μ, σ2 ) una v.a. normale. Il VaR si ottiene da:
P[W ≥ VaR(α)] = 1 − α ⇔ P[W ≤ VaR(α)] = α
⇔ VaR(α) = μ + σΦ−1 (α)
(1)
dove Φ è la funzione di ripartizione della distribuzione normale standard
Lemma 3: Sia W ∼ N(μ, σ2 ) e a ∈ R. Allora: E[W|W ≥ a] = μ + σ
dove φ è la densità di probabilità di una normale standard.
φ( a−μ
σ )
1 − Φ( a−μ
σ )
,
Dal Lemma 3 con a = μ + σΦ−1 (α) segue:
ES(α) = μ + σ
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φ[Φ−1 (α)]
1−α
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(2)
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2. MISURE DEL RISCHIO
V aR(t, h, α) e ES(t, h, α) per orizzonte h = 10 giorni
20
18
$
16
14
ES
12
VaR
10
0.95
0.955
0.96
0.965
0.97
0.975
α
0.98
0.985
0.99
0.995
1
VaR e ES a 10 giorni per un investimento di 100 USD nell’azione IBM sotto
l’ipotesi di rendimenti i.i.d.N(μ, σ2 ) con μ = 0.0006 e σ = 0.0203
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3. MODELLI FATTORIALI DEL RISCHIO
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3. MODELLI FATTORIALI DEL RISCHIO
Nella pratica le misure del rischio devono essere calcolate (anche) per grandi
portafogli di contratti individuali:
Portafogli di prestiti ad imprese e prestiti ipotecari
Portafogli di contratti assicurativi
Portafogli di Credit Default Swaps (CDS)
e per titoli derivati scritti su questi grandi portafogli:
Mortgage Backed Securities (MBS)
Collateralized Debt Obligations (CDO)
Derivati sull’ indice iTraxx
Insurance Linked Securities (ILS) e longevity bonds
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3. MODELLI FATTORIALI DEL RISCHIO
La modellizzazione dei rischi in portafogli finanziari (e assicurativi) e il calcolo
delle misure del rischio associate devono confrontarsi con
i) la grande dimensione dei portafogli (compresa tra 100 e
10, 000 − 100, 000 contratti)
ii) la nonlinearità connessa ai rischi di default, loss given default,
eventi assicurativi, ...
iii) la dipendenza tra i rischi individuali, che è indotta dalle
componenti sistematiche di tali rischi
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3. MODELLI FATTORIALI DEL RISCHIO
3.1 Modello di rischio fattoriale per un portafoglio omogeneo
I rischi individuali
yi = c(F, ui ),
i = 1, ..., n
dipendono dal vettore dei fattori sistematici F e dai rischi idiosincratici ui
Ipotesi distribuzionali
A.1: le v.a. F e (u1 , . . . , un ) sono indipendenti
A.2: le v.a. u1 , . . . , un sono indipendenti e identicamente distribuite
Il portafoglio è omogeneo poichè la distribuzione congiunta dei rischi
individuali è invariante rispetto a permutazioni degli indici
Il fattore sistematico F introduce dipendenza tra i rischi individuali
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3. MODELLI FATTORIALI DEL RISCHIO
Esempio 1: Modello lineare a 1 fattore [Buhlmann (1967), Gordy (2004)]
I rischi individuali sono una funzione lineare di un unico fattore sistematico
yi = F + u i
dove
F ∼ N(μ, η 2 ),
ui ∼ N(0, σ 2 )
Il modello descrive un portafoglio omogeneo di azioni quando yi è il
rendimento di un titolo e F = α + βX è una trasformazione del rendimento di
mercato X
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3. MODELLI FATTORIALI DEL RISCHIO
Esempio 2: Il modello del valore dell’impresa [Merton (1974), Vasicek
(1991)]
I rischi individuali yi sono gli indicatori di default
⎧
⎨ 1, se Ai < Li (default)
yi =
⎩
0, altrimenti
dove Ai e Li sono risp. il valore degli attivi e il debito dell’impresa i
I logaritmi dei rapporti attivi/debito soddisfano un modello lineare a 1 fattore:
log (Ai /Li ) = F + ui
Otteniamo il modello a 1 fattore
yi = 1{F + ui < 0}
considerato nella regolamentazione di Basilea 2 [BCBS (2001)]
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3. MODELLI FATTORIALI DEL RISCHIO
Esempio 2 (cont.): Il modello del valore dell’impresa [Merton (1974),
Vasicek (1991)]
Equivalentemente abbiamo un modello ad intensità in forma ridotta
yi ∼ i.i.d.B[1, p(F)],
condizionatamente a F
con probabità di default condizionale
p(F) = Φ−1 (−F)
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3. MODELLI FATTORIALI DEL RISCHIO
Esempio 3: Modello con default e Loss Given Default stocastici
La perdita alla scadenza sul prestito i è:
yi = Zi LGDi
dove Zi è l’indicatore di default e LGDi è il Loss Given Default
Condizionatamente al fattore F = (F1 , F2 ) , le v.a. Zi e LGDi sono indipendenti
e tali che
Zi ∼ B(1, F1 ), LGDi ∼ Beta(α(F2 ), β(F2 ))
I due fattori F1 e F2 controllano la probabilità di default e il Loss Given Default
stocastici
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3. MODELLI FATTORIALI DEL RISCHIO
3.2 Rischio del portafoglio
Il rischio totale del portafoglio è dato da:
Wn =
n
i=1
yi =
n
c(F, ui )
i=1
(una v.a. che corrisponde alla perdita di portafoglio)
La perdita di portafoglio per contratto individuale è Wn /n
Il VaR per contratto individuale VaRn (α) al livello di confidenza α si ottiene
dall’equazione
P[Wn /n ≥ VaRn (α)] = 1 − α
ES per contratto individuale:
ESn (α) = E[Wn /n|Wn /n ≥ VaRn (α)]
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3. MODELLI FATTORIALI DEL RISCHIO
Esempio 1: Modello lineare a 1 fattore (cont.)
La perdita per contratto individuale:
n
n
1
1
1 2
2
yi = F +
ui ∼ N μ, η + σ
Wn /n =
n
n
n
i=1
i=1
Dalle formule (1) e (2) otteniamo VaR e ES:
1
η 2 + σ 2 Φ−1 (α)
n
VaRn (α) = μ +
(3)
ESn (α) = μ +
1 φ[Φ−1 (α)]
η2 + σ2
n
1−α
Per grandi n, la distribuzione di Wn /n e le misure del rischio associate
convergono alle quantità corrispondenti per la v.a. F
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3. MODELLI FATTORIALI DEL RISCHIO
Nel caso generale, la distribuzione del rischio di un portafoglio Wn non è nota
in forma chiusa a causa della dipendenza tra i rischi e dell’aggregazione
Come derivare le misure di rischio del portafoglio?
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4. SIMULAZIONE NUMERICA
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4. SIMULAZIONE NUMERICA
SIMULAZIONE DI VARIABILI ALEATORIE
Sia U ∼ U(0, 1) una v.a. uniforme sull’intervallo [0, 1]
i) v.a. discrete
Sia p ∈ (0, 1). La v.a. binaria Y = 1{U ≤ p} è distribuita B(1, p)
ii) v.a. continue
Sia F una funzione di ripartizione continua e strettamente crescente. Allora la
v.a. Y = F −1 (U) ha funzione di ripartizione F
Infatti: P[Y ≤ y] = P[F −1 (U) ≤ y] = P[U ≤ F(y)] = F(y)
⇒ È possibile simulare la realizzazione di una “qualsiasi” v.a. a partire da un
generatore di numeri casuali con distribuzione uniforme U(0, 1)
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4. SIMULAZIONE NUMERICA
UN ALGORITMO DI SIMULAZIONE PER CALCOLARE MISURE DI
RISCHIO
Sia S un intero.
1. Simuliamo S realizzazioni indipendenti del vettore aleatorio (F, u1 , ..., un ):
(s)
(F (s) , u1 , ..., u(s)
n ),
s = 1, ..., S
2. Calcoliamo le perdite associate
1
(s)
c(F (s) , ui ),
n
n
Wn(s) /n =
s = 1, ..., S
i=1
n,S (α) al livello di confidenza α della
3. Calcoliamo il/un quantile VaR
(s)
distribuzione empirica di Wn /n, s = 1, ..., S
n,S (α)
Dalla teoria della stima dei quantili, sotto condizioni di regolarità VaR
converge in probabilità a VaRn (α) quando S → ∞
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4. SIMULAZIONE NUMERICA
Esempio 2: Il modello del valore dell’impresa (cont.)
Scriviamo il modello nella forma
Yi
= 1{Yi∗ < 0}
Yi∗
= −Φ−1 (PD) +
√ ∗ ρF + 1 − ρu∗i
dove F ∗ , u∗1 , ..., u∗n sono v.a. N(0, 1) indipendenti e i parametri PD e ρ sono
PD =
ρ
=
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P[Yi = 1] = probabilità di default
corr(Yi∗ , Yj∗ ) = asset correlation, per i = j
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4. SIMULAZIONE NUMERICA
0.075
0.074
0.073
0.072
0.071
0.07
0.069
0.068
0.067
0.066
0.065
1
2
S=10000
S=100000
Boxplot della distribuzione di ES(t, h, α) calcolato con simulazione numerica,
h = 1 anno e α = 0.99 per un portafoglio di n = 1000 prestiti nel modello del
valore dell’impresa con probabilità di default PD = 0.01 e asset correlation
ρ = 0.12
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4. SIMULAZIONE NUMERICA
VaR e ES per contratto in un portafoglio di n = 1000 prestiti
0.14
0.13
0.12
0.11
0.1
0.09
ES
0.08
0.07
0.06
VaR
0.05
0.04
0.99
0.991
0.992
0.993
0.994
0.995
α
0.996
0.997
0.998
0.999
VaR e ES a 1 anno in un portafoglio di n = 1000 prestiti con probabilità di
default PD = 0.01 e asset correlation ρ = 0.12. Simulazione numerica con
S = 100000
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5. TEORIA DELLA GRANULARITÀ
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5. TEORIA DELLA GRANULARITÀ
Permette di derivare delle approssimazioni in forma chiusa delle misure del
rischio di grandi portafogli
Precisione all’ordine O(1/n), dove n è il numero di contratti nel portafoglio
Alternativa alla simulazione numerica
Intuizione: la Legge dei Grandi Numeri e il Teorema del Limite Centrale (TLC)
possono essere applicati a
Wn /n =
1
1
yi =
c(F, ui )
n
n
n
n
i=1
i=1
condizionatamente al valore del fattore F !
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5. TEORIA DELLA GRANULARITÀ
Applicando il TLC condizionatamente a F, per grandi n abbiamo
X
Wn /n = m(F) + σ(F) √ + O(1/n)
n
dove
m(F) = E[yi |F] è il rischio atteso condizionale individuale
σ 2 (F) = V[yi |F] è la volatilità condizionale individuale
X è una v.a. normale standard e indipendente da F
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5. TEORIA DELLA GRANULARITÀ
Un portafoglio di dimensione infinita n = ∞ non è privo di rischio, poichè i
rischi sistematici non sono diversificabili!
Infatti, per n = ∞ abbiamo:
Wn /n = m(F)
stocastico
Deduciamo che la misura del rischio VaR∞ (α) per un portafoglio
infinitamente granulare è il quantile associato alla componente sistematica
m(F):
P[m(F) ≥ VaR∞ (α)] = 1 − α
[Vasicek (1991)]
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5. TEORIA DELLA GRANULARITÀ
Il risultato principale della teoria della granularità applicata alle misure del
rischio fornisce il termine di primo ordine nell’espansione di VaRn (α) rispetto a
n in un intorno di n = ∞
Teorema 4: Vale
1
VaRn (α) = VaR∞ (α) + GA(α) + o(1/n)
n
dove
GA(α)
=
d log g∞ (w)
E[σ 2 (F)|m(F) = w]
dw
d
2
E[σ (F)|m(F) = w]
+
dw
w = VaR∞ (α)
1
−
2
e g∞ è la densità di probabilità di m(F)
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5. TEORIA DELLA GRANULARITÀ
Esempio 2: Modello lineare a 1 fattore (cont.)
Abbiamo:
m(F) = F,
σ 2 (F) = σ 2 (costante)
e quindi
g∞ (F) =
1
φ
η
F−μ
η
Dal Teorema 4 si ottiene l’espansione VaRn (α) = VaR∞ (α) + 1n GA(α) con
VaR∞ (α) = μ + ηΦ−1 (α),
GA(α) =
σ 2 −1
Φ (α)
2η
che corrisponde all’espansione di Taylor all’ordine 1/n della formula (3)
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5. TEORIA DELLA GRANULARITÀ
Esempio 2: Il modello del valore dell’impresa (cont.)
1
n GA(0.99)
V aR∞ (0.99)
1
0.03
PD=0.5%
PD=1%
PD=5%
PD=20%
0.9
0.025
0.8
0.7
0.02
0.6
0.015
0.5
0.4
0.01
0.3
0.2
0.005
0.1
0
0
0.2
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0.4
ρ
0.6
0.8
1
0
0
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0.2
0.4
ρ
0.6
0.8
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5. TEORIA DELLA GRANULARITÀ
V aR∞ (0.99)
−3
1
20
0.9
18
0.8
16
0.7
14
0.6
12
1
n GA(0.99)
10
0.5
8
0.4
6
0.3
ρ=0.05
ρ=0.12
ρ=0.24
ρ=0.50
0.2
0.1
0
0
x 10
0.2
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0.4
PD
0.6
0.8
4
2
0
1
0
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0.2
0.4
PD
0.6
0.8
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1
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Riferimenti bibliografici
Basel Committee on Banking Supervision (2001): ”The New Basel Capital Accord”,
Consultative Document of the Bank for International Settlements, April 2001, Part 2:
Pillar 1.
Basel Committee on Banking Supervision (2003): ”The New Basel Capital Accord”,
Consultative Document of the Bank for International Settlements, April 2003, Part 3:
The Second Pillar.
Buhlmann, H. (1967): ”Experience Rating and Credibility”, ASTIN Bulletin, 4, 199-207.
Chamberlain, G., e M., Rothschild (1983): ”Arbitrage, Factor Structure and
Mean-Variance Analysis in Large Markets”, Econometrica, 51, 1281-1304.
Gagliardini, P., e C., Gouri éroux (2010): ”Granularity Theory”, CREST, DP.
Gagliardini, P., Gouri éroux, C., e A., Monfort (2010): ”Micro-information, Nonlinear
Filtering and Granularity”, CREST, DP.
Gordy, M. (2003): ”A Risk-Factor Model Foundation for Rating-Based Bank Capital
Rules”, Journal of Financial Intermediation, 12, 199-232.
Gordy, M. (2004): ”Granularity Adjustment in Portfolio Credit Risk Measurement”, in
Risk Measures for the 21.st Century, ed. G. Szego, Wiley, 109-121.
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Gourieroux, C., e J., Jasiak (2001): Financial Econometrics: Problems, Models and
Methods, Princeton Series in Finance, Princeton University Press.
McNeil, A., Frey, R., e P., Embrechts (2005): Quantitative Risk Management:
Concepts, Techniques, Tools, Princeton Series in Finance, Princeton University Press.
Merton, R. (1974): ”On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest
Rates”, Journal of Finance, 29, 449-470.
Vasicek, O. (1991): ”Limiting Loan Loss Probability Distribution”, KMV Corporation, DP.
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