Sistemi in moto relativo traslazionale
Sistemi in moto relativo rotazionale con velocità
angolare costante
Il caso unidimensionale (traslazione dei sistemi di
riferimento e moto dei corpi nella stessa direzione)
Il caso bidimensionale (traslazione dei sistemi di
riferimento e moto dei corpi nel piano)
Sistemi di riferimento in moto traslazionale:
il caso unidimensionale
Jill e Jack stanno viaggiando nello stesso pulman. Jill vede Jack fermo
rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Jack.
Il caso unidirezionale
Jill e Jack stanno viaggiando nello stesso pulman. Jill vede Jack fermo
rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Jack.
Un osservatore che vede passare il pulman attribuisce a Jill e Jack la
stessa velocità del pulman (25 mph)
Jill lancia ora a Jack un dolce a 30mph.
Un’osservatrice che cammina in bicicletta nella stessa direzione
del pulman a 10mph dirà che Jill e Jack hanno una velocità pari a
25-10=15mph mentre il dolce ha la velocità di 30+25-10=45mph
Passare da un sistema di riferimento ad un altro
(fiume, uomo che cammina, barche)
Il caso unidirezionale (trattazione quantitativa)
Poiché tutto avviene in un’unica direzione le grandezze in gioco
possono essere trattate come grandezze scalari.
Se si indica con xa la posizione del corpo in movimento (biscottino,
Jill o Jack) rispetto ad un sistema di riferimento fisso (detto anche
assoluto), con xr la stessa posizione ma rispetto al sistema di
riferimento in moto, cioè solidale con il pulman, (detto sistema
relativo) e con xo la posizione del sistema relativo rispetto a quello
assoluto si ha:
xa = xr + xo
xo
xr
xa
derivando
va = vr + vo
Derivando ancora
aa = ar + ao
aa = a r + ao
Si osservi che l’accelerazione osservata nel sistema di riferimento
relativo è diversa da quella osservata nel sistema assoluto.
Si può infatti ricavare facilmente
ar = - ao + aa
Nei due sistemi di riferimento si osserveranno variazioni diverse
della velocità.
Da tutto ciò nascono le così dette forze fittizie.
Cosa succede in treno
Cosa succede in auto
Senza cinture
Con cinture
Sistemi di riferimento in moto traslazionale:
il caso bidimensionale
In questo caso tutte le relazioni precedenti vanno scritte in forma
vettoriale
ra = rr + ro
va = v r + vo
aa = a r + ao
Occorre osservare che le traiettorie dei corpi nei due sistemi di
riferimento appaiono completamente diverse, anche se il sistema
relativo non è accelerato rispetto a quello assoluto.
Caso di un corpo che si muove con accelerazione
costante (oggetto lasciato cadere dal treno)
Caso di un corpo che si muove con accelerazione
costante (oggetto lasciato cadere da un aereo)
Ancora un esperimento lungo il fiume (caso
bidimensionale)
Un esperimento reale
Si osservi che le traiettorie del corpo appaiono diverse nei due
sistemi di riferimento, in questo come in tutti gli altri esempi
precedenti.
Poiché in tutti i casi fin qui esaminati il sistema di riferimento
realtivo ha accelerazione nulla rispetto a quello assoluto, in entambi
verranno osservate le stesse accelerazioni (ossia entrambi gli
osservatori diranno che i corpi hanno accelerazione g rivolta
verso il basso.
E’ noto che quando una barca attraversa
un fiume, la corrente di questo trascina
la barca.
Moto di una barca in un fiume (attraversamento)
Velocità angolare w costante
Quando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di
derivazione sui vettori rr e v risulta più complicata poiché varia
r
anche l’orientazione dei versori
Y’
Y
j’j
i i’
X
X’
Velocità angolare w costante
Quando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di
derivazione sui vettori rr e v risulta più complicata poiché varia
r
anche l’orientazione dei versori
Y
j
i
X
Velocità angolare w costante
Quando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di
derivazione sui vettori rr e v risulta più complicata poiché varia
r
anche l’orientazione dei versori
Y
j
i
X
Velocità angolare w costante
Quando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di
derivazione sui vettori rr e v risulta più complicata poiché varia
r
anche l’orientazione dei versori
Y
j
i
X
Velocità angolare w costante
Quando il sistema di riferimento relativo ruota l’operazione di
derivazione sui vettori rr e v risulta più complicata poiché varia
r
anche l’orientazione dei versori
Y
j
i
X
Supponendo che il sistema di riferimento ruoti senza traslare attorno
all’asse z si può dimostrare che:
  

va  ω  r  vr

  
  
a a  ω  (ω  r )  2ω  v r  a r
Le equazioni scritte
appaiono complicate
ma vedremo più
semplicemente il
loro significato
Y
j
i
X
Spieghiamo prima il significato della realazione

ω
  

va  ω  r  vr
È il vettore velocità angolare il cui modulo è stato già definito e
la cui direzione e verso sono riportate in figura

ω


ω

ω
È il simbolo di prodotto vettoriale

Definizione di prodotto vettoriale: dati due vettori
e r il
 
vettore risultante dal prodotto ω  r ha modulo ω r senθ
direzione
perpendicolare al piano individuato da
e
eω
versorstabilito
tramite la regola della mano destra.

ω
X
È la velocità angolare con la quale ruota il
sistema di riferimento

r
 
ω r
Si osservi che il modulo è w r
Y
Come un corpo a riposo appare muoversi in un
sistema di riferimento che ruota (nell’applet porre
la velocità del corpo = 0)
Nell’applet che precede si è visto che un corpo fermo in un sistema di
riferimento assoluto appare ruotare in un sistema di riferimento
relativo in direzione contraria a quella del sistema relativo. Infatti:
  
0  ω  r  vr
 

vr  ω  r
Spieghiamo ora i vari termini della relazione

  
  
a a  ω  (ω  r )  2ω  v r  a r

ω
X
È la velocità angolare con la quale ruota il
sistema di riferimento
 
ω

r
  
ω  (ω  r ) Y
Si osservi che il modulo è w r
Si osservi che il modulo è w2 r
  
ω  (ω  r )
Questo termine rappresenta accelerazione
centripeta ed è sempre presente anche se il
corpo è fermo nel sistema relativo.
Spieghiamo ora i vari termini della relazione

  
  
a a  ω  (ω  r )  2ω  v r  a r
 
2ω  vr
Questo termine è detto accelerazione di Coriolis ed è
presente quando il corpo è in moto nel sistema relativo.

ω
X
È la velocità angolare con la quale ruota il
sistema di riferimento
 
2ω  vr

vr
Y
Si osservi che è sempre perpendicolare a vr perciò produce una rotazione
Spieghiamo ora i vari termini della relazione

  
  
a a  ω  (ω  r )  2ω  v r  a r
Le accelerazioni viste nel sistema relativo saranno
 
  
 
a r  a a  ω  (ω  r )  2ω  v r
Accel. centrifuga
Accel. di Coriolis apparirà col
verso invertito
Una palla su una giostra
Effetti dell’accelerazione di Coriolis
Come appare un moto rettilineo rispetto ad un
Sistema di riferimento che ruota
Come appare un moto di rivoluzione rispetto ad un
sistema di riferimento in rotazione
Come appare un moto rettilineo rispetto ad un
Sistema di riferimento che ruota
Come appare un moto di rivoluzione rispetto ad un
sistema di riferimento in rotazione
Il moto dei pianeti nel sistema tolemaico
I tornado
Il moto dei pianeti nel sistema copernicano
Passare da un sistema di riferimento ad un altro
(fiume, uomo che cammina, barche)
Esercizi sul moto circolare
Caso in cui la velocità del corpo è perpendicolare
a quella del sistema di riferimento
Un oggetto lasciato cadere dal treno
Moto di una barca in un fiume (attraversamento)
Come appare un moto rettilineo rispetto ad un
Sistema di riferimento che ruota (accelerazione di
Coriolis)
Come appare un moto di rivoluzione rispetto ad un
sistema di riferimento in rotazione
Sistemi di riferimento in rotazione 1
Sistemi di riferimento in rotazione 2
Sistemi di riferimento in rotazione 1
Jill e Jack stanno viaggiando nello stesso pulman. Jill vede Jack fermo
rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Jack.
Jill e Jack stanno viaggiando nello stesso pulman. Jill vede Jack fermo
rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Jack.
Un osservatore che vede passare il pulman attribuisce a Jill e Jack la
stessa velocità del pulman (25 mph)
Jill lancia ora a Jack un dolce a 30mph.
Un’osservatrice che cammina in bicicletta nella stessa direzione
del pullman a 10mph dirà che Jill e Jack hanno una velocità pari a
25-10=15mph mentre il dolce ha la velocità di 30+25-10=45mph
xo
xr
xa
xa = xr + xo
derivando
va = vr + vo
A
A
Elettromagnetismo e
velocità della luce
Esperimenti sulla velocità di
propagazione delle luce
Verso una nuova relatività
La velocità di propagazione delle onde
elettromagnetiche
nel vuoto è:
c 1
 0 0
c=300.000 Km/s
La lunghezza d’onda ed il
periodo sono legati insieme
dalla relazione:
λ
c
T
A
La Terra gira intorno al proprio asse alla velocità di 1100 km/hr
(all’equatore)
La Terra orbita attorno al sole alla velocità di 108 000 km/hr
Venere orbita attorno al sole alla velocità di 130 000 km/hr
Marte orbita attorno al sole alla velocità di 87 000 km/hr
A
A
A
Che cosa è l’interferenza
A
Che cosa è un interferometro
Interferometri a riposo e in moto
L’esperimento di Michelson-Morley
A
A
A
Che cosa è l’interferenza
A
Che cosa è un interferometro
Interferometri a riposo e in moto
L’esperimento di Michelson-Morley
A
A
Le frange di interferenza che si riscontrano sullo schermo
dipendono dai diversi tempi impiegati dai due raggi a
percorrere i due diversi cammini
Chiamando t1 e t2 tali tempi e applicando le
Trasfomazioni di Galileo la differenza tra i due
tempi doveva essere data da:
t  t 1  t 2 
2d 2
c v
2
2

2d 1c
c2  v2
2d 2 c
2d 1
t '  t 1't 2'  2 2 
c v
c2  v2
1^ posizione dell’Interferometro
Interferometro ruotato di 90°
La teoria di Galileo prevedeva dunque che ruotando
l’apparecchiatura anche le frange di interferenza dovevano
cambiare. Ed invece ciò non avveniva!
La rotazione dell’apparato non provocava alcuno
spostamento delle frange.
1. Le leggi e i principi della fisica
hanno la stessa forma in tutti i
sistemi di riferimento inerziali
1. Le leggi e i principi della fisica
hanno la stessa forma in tutti i
sistemi di riferimento inerziali
2. La velocità della luce è la stessa
in tutti i sistemi di riferimento
inerziali
Se la velocità della luce deve essere la stessa in
tutti i sistemi di riferimento inerziali, ne
segue che lo spazio ed il tempo devono essere
relativi.
2L
t' 
c
Se la velocità della luce deve essere la stessa in
tutti i sistemi di riferimento inerziali, ne
segue che lo spazio ed il tempo devono essere
relativi.
2L
t' 
c
Quale sarà il tempo
misurato da questo
orologio in moto?
1. La dilatazione dei tempi
h h
h
t  2
c c
c
h
L
d  vt
d
2
1 
h   d   L2
2 
2
2
 ct   1 
    vt 
 2  2 
2
 c t 
 
2
2
2. La dilatazione dei tempi
coefficiente di dilatazione
t
t 
 
2
v
1 2
c
Einstein dice che gli
orologi in moto
ritardano
Mis.
Or. Luc.
1
v2
1 2
c
Esiste una evidenza sperimentale?
Esiste una evidenza sperimentale?
La contrazione delle lunghezze
La distanza tra le due
bandierine è allora
D=V*T
Clicca sulle immagini per avviare i filmati
…ma dal dirigibile il tempo
trascorso è minore …quindi
la distanza tra le due
bandierine è minore
d = V* T’
La contrazione delle lunghezze
2
v
x  1  2 x
c
Se un corpo si muove appare più corto
La contrazione delle lunghezze
2
v
x  1  2 x
c
Se un corpo si muove appare più corto
La contrazione delle lunghezze
2
v
x  1  2 x
c
Se un corpo si muove appare più corto
La contrazione delle lunghezze
2
v
x  1  2 x
c
Se un corpo si muove appare più corto
Un esercizio sui tempi e gli spazi relativistici
Conseguenze
Non esistono più tempi e
spazi assoluti
F1 relativistica
Gli eventi contemporanei
in un sistema di
riferimento non sono
contemporanei nell’altro
Un esercizio sugli eventi contemporanei
contemporaneità
Un volo relativistico
Un volo relativistico
Un viaggio relativistico
lungo le strade di una città
Clicca sulle immagini per avviare il filmato
Un sito per voli relativistici
Alcuni paradossi noti
Lee vola per 10 anni con una
velocità v = 0,98c rispetto
alla terra. Per Jim è passato
un tempo più lungo
A
t
10
1  (0.98)
II paradosso dei gemelli
2
anni  50 anni
Linee di universo e cono di luce
Una semplice introduzione ai
Diagrammi spazio-tempo
ct
A
ct
Diagrammi spazio-tempo
paradosso dei gemelli
A
A
La curvatura dello spazio
A
Curvatura dello spazio
A
Orbite in uno spazio curvo
A
Confronto con la teoria classica
Un esercizio per meglio comprendere il punto di partenza della
Relatività generale
Esempi di prova finale