L’ENERGIA
Lavoro
Energia
Conservazione dell’energia totale
Energia cinetica e potenziale
Conservazione dell’energia meccanica
Forze conservative e dissipative
Potenza
Rendimento di una macchina
L’energia
pag.1
Lavoro
→ →
Lavoro = F·s = F·s·cosα
forza||•spostamento =
forza•spostamento||
Simile al concetto di sforzo,
ma dipendente dalla direzione
relativa tra forza e spostamento
L = F||•s
→
= F•s||
F
α
Camminando con una valigia in mano,
il lavoro della forza peso è:
in piano
L=0
in salita
L<0
in discesa
L>0
→
s
Es.
Relazione tra joule e erg:
J = N•m
joule
SI cgs pratici
joule erg
energia
(kWh, cal, eV,...)
Es.
1 J = 1 N • m = (105 dine) • (102 cm) = 107 dine • cm = 107 erg
L’energia
pag.2
Energia
Energia =
capacità “potenziale” di compiere
lavoro meccanico
- cinetica
stessa unità di misura
del lavoro: joule
L’energia si manifesta in forme diverse
e si puo’ trasformare da una forma all’altra.
Il lavoro compiuto su un corpo
diventa energia “immagazzinata”,
cioe’ capacita’ di compiere ulteriore lavoro.
-
potenziale gravità
potenziale elastica
potenziale elettrica
termica (calore)
chimica
nucleare
...............
PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA
In un sistema isolato, l’energia totale rimane costante.
L’energia non si crea e non si distrugge: si trasforma!
L’energia
pag.3
Energia cinetica
Ogni corpo in movimento e’ dotato di energia
in base alla sua massa e alla sua velocita’
Energia cinetica: T = ½ mv2
Aumento di velocita’ = somministrazione di energia (e viceversa)
Teorema dell’energia cinetica
(conservazione dell’energia)
L = ∆T = T2-T1 = ½ mv22 – ½ mv21
Il lavoro compiuto da una forza su un corpo
e’ uguale alla variazione della sua energia cinetica.
L’energia
pag.4
Forze conservative e dissipative - 1
Una forza e’ conservativa se il lavoro
compiuto contro di essa per spostare un
corpo dal punto A al punto B non
dipende dal cammino seguito, ma solo
dalla posizione relativa dei punti A e B.
A
(1)
(3) (2)
B
In questo caso il corpo (o meglio il sistema corpo-campo)
“immagazzina” questo lavoro sotto forma di energia
potenziale (Ep), riutilizzabile per compiere altro lavoro.
NB: NON ha senso definire una Ep per un corpo isolato
Se invece il lavoro dipende dal cammino seguito,
viene perduto sotto forma di energia non riutilizzabile
(es. energia termica, cioè calore, negli attriti)
e la forza e’ detta dissipativa.
L’energia
pag.5
Forze conservative e dissipative - 2
Definizione equivalente:
Una forza e’ conservativa se il lavoro
(1)
A
compiuto contro di essa per spostare
(3) (2)
un corpo dal punto A al punto B e’ uguale e
contrario al lavoro compiuto per farlo ritornare
B
da B a A, indipendentemente dal cammino seguito.
Quindi il lavoro di “andata e ritorno” lungo qualunque
traiettoria chiusa e’ nullo.
Es.
Lavoro delle forze di attrito
(sempre contrarie allo spostamento):
LAB (< 0) + LBA (<0) = Ltot <0
sempre negativo (mai nullo)
L’energia
s→
→
FA
A
→
s
B
→
FA
pag.6
Forze conservative e dissipative - 3
Se una forza e’ conservativa si può
(1)
A
definire una opportuna funzione
(3) (2)
scalare della posizione (U(x) = f(x) + k)
detta energia potenziale, sempre definita
a meno di una costante arbitraria, in modo che:
B
LAB = UA – UB = -∆U
Questo permette di ricavare una importante relazione
funzionale tra F e U:
F = -dU/dx
F = -(dU/dx, dU/dy, dU/dz)
→
(caso 1-D)
(caso 3-D)
→ Nota l’energia potenziale si ricava la forza
e viceversa.
L’energia
pag.7
Esempio: energia potenziale gravitazionale
linee di forza
Lavoro compiuto
da/contro la forza peso
A
y
• nella caduta da A a B: LAB
• nel sollevamento da B a A: -LAB
F = mg , || s=h=hA-hB
LAB = mg•(hA-hB)
hA
x
z
→
→
p = mg
suolo
B
Energia potenziale gravitazionale:
U(h) = mgh + k
LAB = U(hA) – U(hB)= mghA-mghB
Forza peso: -dU/dh = -mg
h = hA–hB
hB
NB:
U = U(h), dipende solo
dall’altezza h rispetto al
suolo (coord.y), non dalle
coord. orizzontali x e z.
Tipicamente si pone
U(0) = k = 0J
L’energia potenziale e’ relativa a un punto di riferimento arbitrario
(dipende dal “dislivello” tra due punti, non dall’altezza assoluta)
L’energia
pag.8
Energia potenziale gravitazionale: esempio I
Gia
L’energia
pag.9
Esempio: energia potenziale elastica
Energia potenziale elastica:
U(x) = k/2⋅⋅d2 + cost.
con d = x – x0
Forza elastica (lungo asse x):
F = - dU/dx = -k⋅⋅(x – x0)
NB: al solito entra in gioco d = x - x0 , cioè
l’allungamento (d > 0) o la compressione (d < 0)
della molla rispetto alla posizione di equilibrio x0.
U è quindi relativa rispetto a questo punto,
in cui si pone tipicamente: U(x0) = cost. = 0J.
La forza
pag.10
Conservazione dell’energia meccanica
Energia meccanica = energia cinetica T + energia potenziale U
In generale, in un campo di forze conservative:
}
L = ∆T = TB-TA
L = UA–UB
TB-TA = UA–UB TA+UA = TB+UB
CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA
(per un sistema isolato)
In un campo di forze conservative
(es. moto senza attriti sotto l’azione della forza peso),
la somma dell’energia cinetica e potenziale rimane costante.
L’energia
pag.11
Esempio: moto di caduta dei gravi
Trascurando gli attriti, l’energia totale (meccanica) e’ costante:
Etot = Tin + Uin = Tfin + Ufin
all’inizio: Tin = 0J,
Uin = mgh
alla fine: Tfin =
Ufin = 0J
Etot = mgh =
altezza iniziale
h = v2/2g
½mv2,
½mv2
m
h
velocita’ finale
v = 2gh
(indipendenti dalla massa)
Stessi risultati ottenuti con la cinematica ....
L’energia
pag.12
Conservazione energia meccanica: esempio II
Gia
L’energia
pag.13
Conservazione energia meccanica: esempio III
Gia
L’energia
pag.14
Conservazione energia meccanica: esempio IV
Pendolo semplice
Problema: determinare v(ϑ
ϑ), se inizialmente il
pendolo è in quiete a ϑ = ϑo = 10°.
Metodo-I: a partire dall’equazione del moto lungo
l’arco di circonferenza (coordinata x = Lθ
θ)
F = ma → - mg⋅⋅sinθ
θ = md2x/dt2 = mLd2ϑ/dt2
→ d2ϑ/dt2 = - g/L⋅⋅sinθ
θ
facilmente risolvibile nell’approssimazione a piccoli angoli
sinϑ
ϑ ∼ ϑ (dallo sviluppo di Taylor: sinϑ
ϑ ∼ ϑ - ϑ3/3! + …. )
→ d2ϑ/dt2 = - g/L⋅θ
⋅θ, la cui soluzione che soddisfa
alle condizioni iniziali (ϑ
ϑ(0) = ϑ0, dϑ
ϑ/dt|0 = 0) è
ϑ(t) = ϑ0cos(ω
ωt), con ω = √(g/L)
→ moto periodico con periodo T = 2π√
π√(L/g)
π√
e ampiezza ϑ0 (isocronismo delle piccole oscillazioni)
→ v(ϑ
ϑ) = Ldϑ
ϑ/dt = - Lωϑ
ωϑ0sin(ω
ωt) = - Lωϑ
ωϑ0√(1-cos2ωt)
→ |v(ϑ
ϑ)| ∼ Lω√
ω√(ϑ
ϑ02 - ϑ2 ))
ω√ ϑ02 - ϑ2 ) = √(gL(ϑ
Metodo-II: considerando la conservazione dell’energia meccanica (ad un generico ϑ)
Ti + Ui = Tf + Uf , con Ti = 0J; Tf = 1/2mv2(ϑ
ϑ); Ui = mgL(1-cosϑ
ϑ0); Uf = mgL(1-cosϑ
ϑ);
→ |v(ϑ
ϑ)| = √(2gL(cosϑ
ϑ - cosϑ
ϑ0)) ∼ √(gL(ϑ
ϑ20- ϑ2)) per piccoli angoli (cosϑ
ϑ ∼ 1 - ϑ2/2! + …)
NB: soluzione NON approssimata, ottenuta in modo “immediato” !!!
L’energia
pag.15
Conservazione dell’energia
Etot = Emec + Eth + Ein
Etot = energia totale
Emec = energia meccanica = T (cin.) + U (pot.)
Eth = energia termica (energia cinetica “interna”)
Ein = energia interna (generica, diversa da Eth)
Principio di CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA
L’energia totale Etot di un sistema può variare solo
se viene trasferita energia dal/al di fuori del sistema
Es.: forza esterna che compie un lavoro L sul sistema
⇒ L = ∆Etot = ∆Emec + ∆Eth + ∆Ein
L’energia
pag.16
Potenza meccanica
potenza = lavoro compiuto
tempo impiegato
P = L/∆
∆t
Una macchina e’ tanto piu’ “potente” quanto
piu’ riesce a fornire una certa energia
(tipicamente lavoro) nel minor tempo possibile.
W = J/s
→ →
L
⋅
F
s
P=
=
= F⋅v
∆t
∆t
MKS: watt
cgs: erg/s
pratico: hp=735 watt
watt
Definizione equivalente:
Potenza = forza • velocita’
kilowattora:
1kWh = 1kW•1h = 103 W•3600 s = 3.6•106 J
unita’ di lavoro, non di potenza
L’energia
pag.17
Rendimento di una macchina
rendimento =
lavoro utile prodotto
energia totale impiegata
In presenza di attriti,
una parte dell’energia
impiegata va dispersa
sotto forma di calore e
non puo’ essere utilizzata
per gli scopi richiesti.
η =
(100•)
L/Etot
%
adimensionale
η<1 (<100%)
Es.
Rendimento del cuore: η ≈ 10-15 %
Processi biochimici contrazione muscolare produzione di
energia potenziale chimica lavoro meccanico + calore
L’energia
pag.18
Esercizi (I)
Es. 1
Una cassa viene trascinata mediante una corda su un pavimento senza
attrito per una distanza d = 1 m. Si supponga che la forza con cui la corda
viene tirata sia pari a 100 N e che la direzione della corda formi un angolo
θ = 45° rispetto all’orizzontale. (a) Quanto vale il lavoro effettuato dalla
forza sulla cassa? (b) Per quale valore di θ tale lavoro è massimo?
Es. 2 (Esempio 6.4 - Gia)
Una palla da baseball di 145 gr viene lanciata con una velocità di 25 m/s.
(a) Quale è la sua energia cinetica? (b) Che lavoro totale viene compiuto
sulla palla per farle raggiungere tale velocità, se è partita da ferma?
Es. 3 (Esempio 6.5 - Gia)
Quanto lavoro è necessario per accelerare un’auto di massa 1000 Kg da
20 m/s a 30 m/s ?
Es. 4 (Esempio 6.6 - Gia)
Un’auto che viaggia a 60km/h è in grado, frenando, di fermarsi in un tratto
di 20 m. Se l’auto stesse viaggiando ad una velocità doppia (120 Km/h),
quale sarebbe la sua distanza di arresto? Si assuma che la massima forza
frenante sia indipendente dalla velocità.
L’energia - Esercizi
pag.19
Esercizi (II)
Es. 5
Un corpo si trova a 10 m dalla superficie terrestre. Quale deve essere il
valore della sua massa per cui la sua energia potenziale in questa posizione,
rispetto a quella relativa al suolo, sia pari a 4.9 J ?
Es. 6
Supponiamo che un atleta, avente una massa di 70 Kg, effettui una marcia
di 10 Km lungo un percorso in salita che lo porti dal livello del mare sino a
1000 m di altezza. Quale è l’aumento del suo consumo energetico (in calorie)
rispetto ad un percorso in piano di 10 Km? Si trascurino gli eventuali effetti
legati al cambiamento del metabolismo umano con l’altezza.
Es. 7 (Esempio 6.8 - Gia)
Una pietra viene fatta cadere da un’altezza di 3 m rispetto al suolo.
Determinare la sua velocità quando arriva ad un’altezza di 1 m dal terreno.
Es. 6.58 (Gia)
Quanto impiega un motore da 1750 W per sollevare un pianoforte di 315 Kg
sino alla finestra del sesto piano, a 16 m di altezza dal suolo?
L’energia - Esercizi
pag.20
Esercizi (III)
Es. 6.59 (Gia)
Se un’auto sviluppa 18 hp di potenza mentre viaggia a una velocità costante
di 88 Km/h, quale deve essere la forza media esercitata dall’attrito e dalla
resistenza dell’aria sull’auto?
Es. 8.59 (HRW)
Una palla di massa 0.5 Kg viene gettata verticalmente in aria con velocità
iniziale di 4 m/s e raggiunge la massima altezza di 0.8 m.
Quale è la variazione di energia meccanica del sistema palla-Terra, durante
l’ascesa, da attribuirsi alla forza di resistenza aerodinamica?
Es. 8.61 (HRW)
Si tiene sotto osservazione la temperatura di un cubo di plastica mentre
viene spinto per 3 m strisciando sul pavimento sotto l’azione di una forza
orizzontale di intensità 15 N. dal rilevamento si calcola che l’energia termica
del cubo è cresciuta di 20 J. Di quanto è cresciuta l’energia termica del
pavimento?
Es. 8.63 (HRW)
Un nuotatore avanza in acqua alla velocità media di 0.22 m/s. Che potenza
dissipa sapendo che la resistenza dell’acqua presenta una forza di 110 N ?
L’energia - Esercizi
pag.21