Il ruolo dell’equilibrio e della deformazione
Obiettivo del Corso è quello di fornire un approccio metodologico per la trattazione
analitica dei modelli meccanici della parte resistente della Costruzione.
La trattazione è fondata su un linguaggio geometrico-fisico-matematico universale.
Il primo passo consiste nell’individuare nella Costruzione una parte cui è demandato di
resistere alle sollecitazioni dovute ai carichi; questa parte modellata in modo opportuno,
viene chiamata struttura.
Per alcune costruzioni è immediato individuare la struttura ed il suo funzionamento.
Ad esempio, osservando un viadotto o un ponte è immediato riconoscere:
- i carichi che deve sostenere;
- la struttura, che si compone di impalcati e pile;
- il suo funzionamento statico (ossia il percorso dei carichi fino in fondazione).
Schema di scarico di un viadotto con
travate semplicemente appoggiate
Schema di scarico di un ponte strallato
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Il ruolo dell’equilibrio e della deformazione
Una struttura, per sua natura, cerca di far fronte alle azioni applicate nel modo più
semplice. Vale, quindi, il principio del percorso più breve, secondo cui i carichi vengono
trasmessi al suolo seguendo la via più breve.
Ad esempio, i carichi gravitazionali nel telaio in figura arrivano in fondazione secondo la
via più diretta.
Nella travatura reticolare in figura sono coinvolte le sole aste AC e CB.
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Il ruolo dell’equilibrio e della deformazione
Una struttura costituita da elementi di diversa deformabilità, ma predisposti in modo
tale da fornire percorsi ugualmente semplici, si affida agli elementi più rigidi.
Vale, quindi, il principio del percorso di maggiore rigidezza.
In figura due elementi, uno molto rigido ed uno molto
deformabile, sono collegati in parallelo. Di
conseguenza, sotto l’azione di un certo carico, essi
subiscono la stessa deformazione: a parità di
deformazione l’elemento rigido manifesta una forza di
reazione maggiore dell’elemento deformabile.
Più in generale, la funzione strutturale è sempre legata alla deformazione.
Ad esempio, in figura si può
notare come la presenza di un
muro divisorio posizionato al di
sotto di una trave in legno,
impedendone la deformazione
per flessione, diventa esso
stesso portante, contribuendo a
sostenere i carichi agenti sulla
trave.
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Il ruolo dell’equilibrio e della deformazione
Esempio.
Si consideri un pilastro di altezza h=15 m, composta da un nucleo interno in
conglomerato ed un rivestimento in marmo.
Il problema, pur in forma
drasticamente semplificata, è
rappresentativo di quello dei piloni
del Duomo di Milano, restaurati
negli anni ’80.
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Il ruolo dell’equilibrio e della deformazione
Stessa considerazione per azioni orizzontali:Una struttura costituita da
elementi di diversa deformabilità, ma predisposti in modo tale da fornire
percorsi ugualmente semplici, si affida agli elementi più rigidi.
Vale, quindi, il principio del percorso di maggiore rigidezza.
Il ruolo dell’equilibrio e della deformazione
Il ruolo dell’equilibrio e della deformazione
Un esempio significativo è quello dell’arco.
Un arco monolitico, perfettamente rigido, che non si
deforma sotto l’azione dei carichi verticali applicati,
non è spingente: le reazioni vincolari, cioè, sono
verticali. Nella realtà, tuttavia, gli archi si deformano,
e quindi spingono: le reazioni vincolari, cioè,
presentano una componente orizzontale non nulla.
Nel passare dallo schema trilitico allo schema arcuato, dunque, occorre eliminare la
spinta, ad esempio mediante una catena metallica o ampliando il piedritto.
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Il Principio di Azione e Reazione
– Il principio di azione e reazione, formulato da Newton come III
principio della Dinamica, afferma che ad ogni azione corrisponde una
reazione uguale e contraria.
– Si può pensare come un’estensione del principio di forza contro forza,
che stava alla base delle prime forme strutturali.
– Governa l’equilibrio tra forze agenti sulla stessa retta d’azione:
l’immobilità del sistema è garantita dal mutuo bilancio tra azione e
reazione.
Il Principio di Azione e Reazione
Principio di forza contro forza:
Due forze aventi la stessa retta d’azione sono in equilibrio se e solo se hanno
modulo uguale
Il Postulato delle Reazioni Vincolari
Un corpo si dice vincolato quando alcuni possibili movimenti sono preclusi.
-In virtù del principio di azione e reazione, le forze esterne agenti su un solido
vincolato provocano delle reazioni dei vincoli, che dipendono dai movimenti che i
vincoli stessi impediscono al corpo. Infatti un vincolo può generare una reazione
solo nella direzione del movimento che impedisce.
-Nello studio dell’equilibrio dei corpi vincolati si può immaginare di togliere i
vincoli e sostituirli con le reazioni che essi esplicano (postulato delle reazioni
vincolari).
Il Postulato delle Reazioni Vincolari
Un corpo si dice vincolato quando alcuni possibili movimenti sono preclusi.
Nello studio dell’equilibrio dei corpi vincolati si può immaginare di togliere i vincoli
e sostituirli con le reazioni che essi esplicano (postulato delle reazioni vincolari).
Incastro
•
Carrello
Cerniera
Il Problema della Leva
Con il solo principio di azione e reazione non è possibile, in generale, valutare le
reazioni vincolari con rette d’azione diverse da quelle delle forze attive.
?
?
In alcuni semplici casi il problema può essere ricondotto ad un problema della leva.
Il Problema della Leva
Un contributo fondamentale fu dato da Archimede di Siracusa (287-212 a.C.) con i
suoi postulati sulla leva:
• Sono in equilibrio pesi uguali applicati a distanze uguali dal fulcro;
150 cm
150 cm
50 kg
50 kg
100 kg
• Non sono in equilibrio pesi uguali applicati a distanze diseguali dal fulcro.
120 cm
180 cm
50 kg
50 kg
Il Principio di Equilibrio dei Momenti
• Da esperienze condotte su leve di vario genere, Archimede dedusse
la seguente legge semi-empirica:
Due pesi si fanno equilibrio quando le loro grandezze sono
inversamente proporzionali alla lunghezza dei bracci ai quali essi sono
applicati.
b = 180 cm
a = 120 cm
PB = 50 kg
PA = 75 kg
R = 125 kg
Definizione di momento e prodotto vettoriale
Il vettore forza ed il vettore momento sono quantità non
riconducibili l’una all’altra
PA × a = PB × b
r
Il momento di una forza F rispetto ad un
punto C , è un vettore di modulo r F × d ,
essendo d la distanza della forza F dal
punto C , valutata ortogonalmente alla
retta di azione della forza.
Definizione di momento e prodotto vettoriale
Il Principio di Equilibrio dei Momenti
•Da cui segue la legge dell’equilibrio rotazionale:
PA × a = PB × b
r
In modo alternativo si può affermare che il modulo del momento della forza peso PA
rispetto al fulcro,rdeve essere uguale al modulo del momento rispetto allo stesso punto
della forza peso PB (principio di equilibrio dei momenti)
r
Il momento di una forza F rispetto ad un punto C , infatti, è un vettore di modulo F × d
r
essendo d la distanza della forza F dal punto C valutata ortogonalmente alla retta
di azione della forza.
Il Problema dell’Architrave
• Utilizzando il principio di azione e di reazione ed il principio di equilibrio dei
momenti, è possibile valutare le reazioni vincolari di un architrave
semplicemente appoggiato su due colonne, su cui grava un peso P
ì
R + RB = P
ï
ï A
í
ï
R × a = RB × b
ï
î A
Da cui:
RA =
P× b
(a + b)
;
RB =
P× a
(a + b)
Modelli meccanici per le costruzioni
Per le costruzioni di civile abitazione, il progetto architettonico fornisce tutti gli
elementi per costruire il modello strutturale.
Ad esempio, il timpano comporta un carico
triangolare sulla trave su cui poggia.
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Modelli meccanici per le costruzioni
Appoggi ed incastri simulano differenti condizioni di vincolo.
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Modelli meccanici per le costruzioni
Vediamo più in dettaglio il caso delle capriate lignee, la tipologia di copertura di gran
lunga più utilizzata per gli edifici in muratura.
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Modelli meccanici per le costruzioni
Occorre modellare correttamente i vincoli per il collegamento tra puntoni e travicelli.
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Modelli meccanici per le costruzioni
In taluni casi si utilizzano coperture lignee inclinate.
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Le Condizioni per l’Equilibrio
• Le strutture, soggette a carichi statici, devono rimanere immobili.
• Le condizioni di equilibrio devono riguardare la struttura sia nella
sua globalità, equilibrio esterno, sia nelle singole parti, equilibrio
interno.
• La ’’Statica’’ studia le condizioni di equilibrio dei corpi ovvero le
leggi cui azioni e reazioni devono soddisfare affinché alla
struttura sia garantita l’inamovibilità .
• Una struttura è composta da materiale deformabile per cui il suo
equilibrio è accompagnato da deformazioni strettamente connesse
alle forze interne o sforzi che si generano in essa affinché la
struttura sia in equilibrio. L’entità delle deformazioni dipende dal
materiale che compone la struttura
Le Condizioni per l’Equilibrio
u=
F
k
F
Legno
k1
u1
F
Calcestruzzo Armato
u2
k 2 > k1
F
u3
Acciaio
k 3 > k2
Le Condizioni per l’Equilibrio
• Sebbene la funzionalità della struttura dipende dall’entità delle
deformazioni, il primo obiettivo di un progettista è determinare le
condizioni di equilibrio senza il quale la struttura non può chiamarsi tale.
• Alcuni tra i problemi fondamentali nell’analisi delle strutture possono
essere risolti senza dovere considerare la deformazione e le proprietà di
deformabilità dei materiali, ma esaminando esclusivamente le condizioni di
equilibrio.
• Ciò può farsi se la disposizione e la molteplicità totale dei vincoli è
strettamente necessaria per il calcolo delle reazioni vincolari e se gli
spostamenti e le deformazioni della struttura siano piccolissimi rispetto
alle sue dimensioni, cioè nel caso di spostamenti infinitesimi.
• Se tali condizioni sono verificate la struttura può essere assimilata ad un
corpo rigido o ad un insieme di corpi rigidi. Si possono quindi applicare le
leggi della Statica e Cinematica dei corpi rigidi.
Prerequisiti minimi per seguire il corso di
Scienza delle Costruzioni
• Meccanica delle Strutture
– geometria analitica
– teoria dei vettori liberi ed applicati
– equazioni differenziali ordinari del 2° ordine
– algebra delle matrici
– teoria matriciale dei vettori
– statica e cinematica del corpo rigido
• Meccanica dei Solidi & Resistenza dei Materiali
– integrali semplici e multipli
– geometria delle masse
– equazioni differenziali alle derivate parziali
– problema agli autovalori
Testi Consigliati
• 1° parte del corso.
– G. Muscolino & G. Falsone, “Introduzione alla Scienza delle
Costruzioni - Statica e Cinematica delle Travi”, Pitagora (Bologna).
– E. Viola, “Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni – Vol. 1°”,
Pitagora.
• 2° parte del corso.
– G. Muscolino, “Lezioni di Scienza delle Costruzioni”, Bonanzinga
(Messina).
– L. Gambarotta, L. Nunziante & A. Tralli, “Scienza delle Costruzioni”,
McGraw-Hill (Milano).
– C. Comi & L. Corradi Dell’Acqua, “Introduzione alla Meccanica
Strutturale”, McGraw-Hill (Milano).
– E. Viola, “Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni – Vol. 2°”,
Pitagora (Bologna).