UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA STRUTTURALE
ELABORATO DI LAUREA
Analisi sismica di edifici esistenti
in muratura con metodo RAN
RELATORE
ch.mo prof. ing. Nicola Augenti
CORRELATORE
dott. ing. Fulvio Parisi
ANNO ACCADEMICO 2007/2008
CANDIDATO
Stefano Carozza
matr. 520/604
Alla mia famiglia
“Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà,
non sono certe, e finché sono certe,
non si riferiscono alla realtà …”
(Sidelights on Relativity)
A. Einstein
Indice
Indice……………. ....................................................................................................................... 4
Sommario………......................................................................................................................... 8
Capitolo 1 -
L’analisi sismica degli edifici esistenti ................................................... 10
1.1
Premessa ..................................................................................................................... 10
1.2
Criteri generali per la verifica di strutture in muratura secondo il DM 14.01.200810
1.2.1
Valutazione della sicurezza............................................................................... 11
1.2.2
Considerazioni in presenza di azioni sismiche ................................................ 12
1.3
Criteri per la verifica di strutture in muratura secondo la circolare attuativa ...... 12
1.3.1
Requisiti di sicurezza ......................................................................................... 13
1.3.2
Analisi sismica globale e criteri di verifica....................................................... 14
1.3.3
Analisi dei meccanismi locali ............................................................................ 14
1.3.4
Classificazione degli interventi ......................................................................... 15
1.4
L’analisi sismica secondo il DM 14.01.2008 ............................................................. 16
1.4.1
Pericolosità sismica ............................................................................................ 16
1.4.2
Modellazione dell’azione sismica ..................................................................... 17
1.4.3
Forze sismiche equivalenti adottate nell’analisi statica lineare ...................... 19
Capitolo 2 -
Metodi di analisi sismica .......................................................................... 23
2.1
Considerazioni generali ............................................................................................ 23
2.2
Metodi di analisi previsti dal DM 14.01.2008 .......................................................... 25
2.2.1
Analisi statica lineare ......................................................................................... 25
- 4 -
- Indice _____________________________________________________________________________________________________________________________
2.2.2
Analisi dinamica modale ................................................................................... 26
2.2.3
Analisi statica non lineare ................................................................................. 27
2.2.4
Analisi dinamica non lineare ............................................................................ 30
2.3
Analisi strutturale in campo non lineare ................................................................. 31
2.3.1
Non linearità geometrica ................................................................................... 32
2.3.2
Non linearità del materiale................................................................................ 34
2.3.3
Ulteriori considerazioni ..................................................................................... 35
Capitolo 3 -
Il metodo di calcolo RAN ......................................................................... 37
3.1
Ipotesi di base e fasi del procedimento .................................................................... 37
3.2
Ripartizione dell’azione sismica ............................................................................... 39
3.3
Le sollecitazioni agenti sul pannello di maschio ..................................................... 43
3.4
Domini di resistenza dei pannelli di maschio ......................................................... 47
3.3.1
Domini di resistenza a presso-flessione ........................................................... 47
3.3.2
Domini di resistenza a taglio ............................................................................. 48
3.5
Curve caratteristiche V-δ........................................................................................... 51
3.4.1
Curva caratteristica di un pannello di maschio ............................................... 51
3.4.2
Curve caratteristiche di piano ........................................................................... 52
3.6
Verifica dei pannelli di maschio ............................................................................... 53
3.5.1
Verifica per carichi di progetto ......................................................................... 54
3.5.2
Verifica della capacità portante......................................................................... 55
3.7
Verifica dei pannelli di fascia.................................................................................... 56
3.6.1
Equilibrio delle fasce di piano ........................................................................... 56
3.6.2
Crisi dei pannelli di fascia non armati .............................................................. 58
3.6.3
Crisi per presso-flessione dei pannelli di fascia armati ................................... 61
Capitolo 4 4.1
Verifica di un edificio esistente in muratura ......................................... 65
Descrizione dell’edificio ............................................................................................ 65
- 5 -
- Indice _____________________________________________________________________________________________________________________________
4.2
Modellazione.............................................................................................................. 68
4.2.1
Modello geometrico ........................................................................................... 68
4.2.1.1
Elementi strutturali verticali..........................................................................69
4.2.1.2
Elementi strutturali orizzontali .....................................................................70
4.2.1.3
Organizzazione strutturale............................................................................70
4.2.2
Modello delle azioni .......................................................................................... 77
4.2.2.1
Caratterizzazione dell’input sismico ............................................................81
4.2.2.2
Combinazioni di carico ..................................................................................84
4.2.3
Modello dei materiali ......................................................................................... 86
4.2.3.1
Stima del fattore di confidenza .....................................................................88
4.2.3.2
Resistenze di progetto ....................................................................................89
4.3
Verifiche per azioni non sismiche............................................................................. 90
4.4
Analisi “manuale” con il metodo RAN.................................................................... 92
4.4.1
4.5
Ulteriori verifiche ............................................................................................... 95
Analisi “automatica” con il codice RAN.................................................................. 96
4.5.1
Dati di input ....................................................................................................... 96
4.5.2
Dati di output ................................................................................................... 103
Capitolo 5 -
Analisi parametriche ............................................................................... 109
5.1
Introduzione............................................................................................................. 109
5.2
Definizione dei parametri ....................................................................................... 110
5.2.1
Parametri di input ............................................................................................ 110
5.2.2
Definizione delle analisi .................................................................................. 111
5.2.3
Parametri di output nell’analisi per azioni non sismiche ............................. 115
5.2.4
Parametri di output nell’analisi statica lineare .............................................. 116
5.2.5
Parametri di output nell’analisi statica non lineare....................................... 121
5.3
Tasso di sollecitazione non sismico ........................................................................ 122
5.4
Analisi statica lineare............................................................................................... 128
5.4.1
Tasso di sollecitazione sismico dei pannelli ................................................... 128
- 6 -
- Indice _____________________________________________________________________________________________________________________________
5.4.1.1
Analisi della parete 3 per la combinazione n.23 allo SLV ......................... 129
5.4.1.2
Analisi delle pareti 5 e 8 per la combinazione n.32 allo SLV .................... 135
5.4.2
Tasso di sollecitazione sismico delle pareti .................................................... 142
5.4.3
Indice di danno e duttilità ............................................................................... 146
5.4.4
Vulnerabilità sismica in termini di PGA ........................................................ 152
5.4.5
Moltiplicatore di crisi ....................................................................................... 154
5.4.6
Rigidezza secante alla traslazione orizzontale............................................... 156
5.5
Analisi statica non lineare ....................................................................................... 158
5.5.1
Periodo proprio dell’oscillatore elasto-plastico equivalente......................... 161
5.5.2
Rapporto di sovraresistenza αu/α1 e fattore di struttura qsnl ......................... 166
5.5.3
Fattore di struttura dell’oscillatore elasto-plastico equivalente.................... 171
5.5.4
Tasso di sollecitazione sismico delle pareti .................................................... 175
5.5.5
Tasso di sollecitazione sismico dei pannelli di maschio ............................... 181
5.5.6
Duttilità e indice di danno ............................................................................... 184
5.5.7
Vulnerabilità sismica in termini di PGA ........................................................ 189
CONCLUSIONI… ................................................................................................................. 194
Risposta sismica parametrica della struttura .................................................................... 194
Analisi lineare e non lineare ............................................................................................... 196
Riferimenti Bibliografici ....................................................................................................... 198
Indice delle figure .................................................................................................................. 199
Indice delle tabelle................................................................................................................. 202
- 7 -
Sommario
Il presente elaborato di tesi ha quale obiettivo primario l’esecuzione di analisi sismiche
lineari e non lineari di edifici in muratura esistenti attraverso il metodo RAN che,
aggiornato secondo i criteri più evoluti della moderna Ingegneria Sismica, consente di
descrivere in maniera accurata il comportamento di strutture dotate anche di irregolarità
significative, sia in pianta che in altezza.
Lo studio si articola attraverso cinque capitoli distinti in una prima parte, dedicata ai
fondamenti teorici e alla discussione delle recenti Norme Tecniche per le Costruzioni, e in
una seconda parte, contenente le analisi condotte per un edificio esistente in muratura,
assunto quale caso di studio.
Il Capitolo 1 tratta sinteticamente i criteri forniti dal DM 14.01.2008 e dalla relativa
Circolare Attuativa per la verifica degli edifici esistenti in muratura, con particolare
riferimento alla condizione sismica.
Nel Capitolo 2 sono discussi i metodi di analisi sismica contemplati dalla normativa
italiana, evidenziandone prerogative e limiti.
Il Capitolo 3 descrive le fasi principali in cui si articola il metodo di calcolo RAN impiegato
per condurre l’analisi strutturale, sia per azioni gravitazionali che per azioni sismiche, di
edifici lapidei modellati attraverso macro-elementi di diverso tipo a seconda che siano
impiegati quali elementi portanti verticali (pannelli di maschio) o orizzontali (pannelli di
fascia).
Nel Capitolo 4 viene effettuata la verifica di un edificio esistente in muratura, nel rispetto
dei criteri e delle regole contenute nella normativa italiana. In particolare, partendo dalla
modellazione geometrica, meccanica e delle azioni, si conduce prima un’analisi
“manuale” attraverso l’impiego di semplici fogli elettronici e poi un’analisi “automatica”,
estesa anche al campo non lineare, con l’ausilio del Codice di calcolo RAN.
Il Capitolo 5 tratta l’esecuzione di analisi parametriche sull’edificio preso in esame, al fine
di verificare come e quanto alcuni dati di input relativi alle azioni, alla geometria e ai
- 8 -
- Sommario _____________________________________________________________________________________________________________________________
materiali influiscono sul comportamento della struttura, descritto sinteticamente
mediante opportuni parametri di controllo definiti in maniera diversa nell’analisi statica
lineare e in quella non lineare. Tale modo di procedere ha consentito di confrontare i
risultati ottenuti, non solo nell’ambito di uno stesso metodo di analisi, ma anche tra i due
procedimenti impiegati.
I risultati maggiormente significativi evidenziati mediante le analisi parametriche, sono
scaturiti dall’osservazione dei valori di output “globali” della struttura, valutati sia
attraverso l’analisi statica lineare che con quella non lineare. In particolare si è osservato
che: il periodo proprio di oscillazione ottenuto dall’analisi statica non lineare risulta circa
del 12% maggiore rispetto a quello della statica lineare; il fattore di struttura fornito dalla
normativa per l’analisi statica lineare supera di circa il 20% quello ottenuto con l’analisi
statica non lineare, a conferma del fatto che il valore assunto nell’analisi statica lineare
può condurre ad una sovrastima del comportamento duttile globale dell’edificio,
soprattutto nel caso di edifici esistenti irregolari in pianta.
Attraverso le analisi parametriche si sono conseguiti, inoltre, alcuni risultati significativi:
la similitudine che sussiste, in termini di andamento, tra duttilità richiesta e tasso di
sollecitazione; un legame diretto tra massima PGA sopportabile dall’edificio ed il
moltiplicatore α1 (valutabile anche attraverso un’analisi statica lineare); un legame tra la
PGAmax ed il moltiplicatore αu (valutabile esclusivamente attraverso un’analisi statica non
lineare); l’incidenza quantitativa dei parametri di pericolosità sismica e di modellazione
meccanica della muratura sui tassi di sollecitazione e sui fattori di duttilità; livelli
significativamente diversi di vulnerabilità sismica (in termini di PGA) tra le due
metodologie di analisi statica.
- 9 -
Capitolo 1 - L’analisi sismica degli edifici esistenti
1.1 Premessa
Nel presente capitolo vengono illustrati i criteri stabiliti dalle Norme Tecniche per le
Costruzioni di cui al DM 14.01.2008 e delle relative istruzioni applicative (attualmente
disponibili in forma di bozza) per la definizione della pericolosità sismica e delle azioni di
origine non sismica, al fine di valutare la sicurezza nei confronti degli stati limite.
1.2 Criteri generali per la verifica di strutture in muratura
secondo il DM 14.01.2008
Il capitolo 8 del DM 14.01.2008 illustra le metodologie disponibili per la verifica di
sicurezza delle strutture esistenti, nelle diverse condizioni possibili nell’arco della vita
utile.
Nelle costruzioni esistenti le situazioni concretamente riscontrabili sono sempre diverse
per cui è molto complicato definire a priori regole comuni di validità generale. Ne
consegue che spetta al progettista definire e giustificare il modello strutturale più idoneo
per compiere le verifiche di sicurezza nel rispetto dei criteri forniti dalla normativa.
- 10 -
- Capitolo 1 – L’analisi sismica degli edifici esistenti _____________________________________________________________________________________________________________________________
1.2.1 Valutazione della sicurezza
Per valutare la sicurezza di una costruzione esistente la normativa descrive in maniera
dettagliata le operazioni da compiere per delineare lo stato di conoscenza attraverso
parametri sintetici legati alla modellazione e alle verifiche di sicurezza da effettuare.
-
L’”analisi storico-critica” mira a conoscere il sistema strutturale dell’edificio
attraverso la ricostruzione del suo processo di realizzazione, delle successive
modificazioni subite nel tempo e degli eventi che lo hanno interessato.
-
Il “rilievo” consente di conoscere lo stato e la geometria dei singoli elementi
strutturali e dei relativi sistemi costruttivi in modo da individuare i meccanismi
resistenti, la qualità dell’opera, le condizioni di vincolo. Tra i principali obiettivi di
tale operazione vi è anche l’individuazione dei quadri fessurativi e degli eventuali
dissesti in atto.
-
La “caratterizzazione meccanica dei materiali” va effettuata mediante le
documentazioni disponibili, verifiche e indagini sperimentali. Particolare
importanza riveste la valutazione anche dello stato conservativo dei materiali in
funzione dell’ambiente in cui si trovano e della loro natura.
-
Le “azioni” dovute ai carichi permanenti si determinano per mezzo di un rilievo
geometrico e dei materiali mentre, per quelle accidentali e straordinarie si fa
riferimento ai valori dettati dalla normativa.
Sulla base delle informazioni ricavate per la struttura è possibile definire un “livello di
conoscenza” (LC) e associarvi un “fattore di confidenza” (FC) da utilizzare come un
ulteriore coefficiente parziale di sicurezza. La normativa italiana definisce tre livelli di
conoscenza contrassegnati dai simboli LC1, LC2, LC3.
- 11 -
- Capitolo 1 – L’analisi sismica degli edifici esistenti _____________________________________________________________________________________________________________________________
1.2.2 Considerazioni in presenza di azioni sismiche
Nelle costruzioni esistenti in muratura soggette ad azioni sismiche si possono manifestare
due tipi di meccanismi che definiscono altrettante modalità di collasso strutturale:
-
i “meccanismi locali”, che interessano singoli pannelli murari o insiemi di essi
quando sono assenti o scarsamente efficaci i collegamenti tra le pareti o tra esse e
gli orizzontamenti;
-
i “meccanismi globali”, che interessano l’intera costruzione ed impegnano i
pannelli murari prevalentemente nel loro piano di massima inerzia e resistenza.
La sicurezza della struttura dev’essere valutata nei confronti di entrambi i tipi di
meccanismo.
Per quanto riguarda l’analisi sismica nei riguardi dei meccanismi locali si può far ricorso a
metodi di analisi dell’equilibrio limite delle strutture murarie tenendo conto, tra l’altro,
anche dei collegamenti tra le pareti quali catene e tiranti. Con questi metodi è possibile
valutare la sicurezza della struttura, sia in termini di resistenza che di spostamenti.
L’analisi sismica globale deve considerare, invece, per quanto possibile un modello
strutturale che sia sufficientemente rappresentativo del reale comportamento esibito dalla
struttura, prestando particolare attenzione alle rigidezze esplicate, all’esistenza e
all’efficacia dei collegamenti e a tutto quanto possa caratterizzare la struttura nella sua
interezza.
1.3 Criteri per la verifica di strutture in muratura secondo la
circolare attuativa
La Circolare Attuativa del DM 14.01.08, attualmente in fase di riesame prima della sua
emanazione, ribadisce al capitolo 8 l’importanza dell’adozione di adeguati modelli di
verifica degli edifici esistenti. Il 42% del patrimonio edilizio italiano si compone di
- 12 -
- Capitolo 1 – L’analisi sismica degli edifici esistenti _____________________________________________________________________________________________________________________________
costruzioni in muratura e ben il 72% di esse necessita di adeguamenti antisismici, sia per
garantire la sicurezza e la salvaguardia della vita umana, sia per estendere la vita di tali
costruzioni soprattutto se dotate di un valore storico, architettonico,
artistico o
ambientale.
La valutazione della sicurezza ed il progetto degli interventi degli edifici esistenti sono
normalmente affetti da un grado di incertezza diverso rispetto a quello corrispondente
alle nuove costruzioni. Di fatto l’esistenza della struttura comporta la possibilità di
determinare le effettive caratteristiche meccaniche dei materiali e delle diverse parti
strutturali che, soprattutto per le costruzioni in materiale lapideo, possono essere
estremamente variabili da un punto all’altro della struttura. D’altro canto, una corretta e
accurata valutazione riduce le incertezze che in una nuova costruzione sono insite nel
passaggio dal dato di progetto alla realizzazione.
Le modalità di verifica per le nuove costruzioni sono basate sull’uso di coefficienti parziali
di sicurezza da applicare alle azioni e alle caratteristiche meccaniche dei materiali
concepiti, calibrati dal legislatore per tener conto dell’intero processo che va dalla
progettazione alla realizzazione. Nelle costruzioni esistenti è cruciale ottenere una
conoscenza dettagliata della struttura. È per tale motivo che viene introdotta un’altra
categoria di coefficienti, i “fattori di confidenza” (vedi appendice C8A della Circolare),
strettamente legati al livello di conoscenza conseguito con indagini condotte. Essi
riducono preliminarmente i valori medi delle proprietà dei materiali costituenti la
struttura esistente che possono essere ulteriormente ridotti attraverso i coefficienti parziali
di sicurezza.
1.3.1 Requisiti di sicurezza
La valutazione della sicurezza delle costruzioni esistenti in muratura richiede la verifica
degli Stati Limite definiti al § 3.2.1 delle Norme Tecniche per le Costruzioni di cui al DM
14.01.2008, di seguito riportate con l’acronimo NTC. In particolare si farà riferimento allo
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- Capitolo 1 – L’analisi sismica degli edifici esistenti _____________________________________________________________________________________________________________________________
Stato Limite di Danno (SLD) e allo Stato Limite di salvaguardia della Vita (SLV)
assumendo che il soddisfacimento della verifica nei riguardi del secondo implichi quello
della verifica relativa allo Stato Limite di Collasso (SLC).
Per la valutazione degli edifici esistenti, oltre all’analisi sismica globale da effettuarsi con i
metodi previsti dalle norme di progetto per le nuove costruzioni, va condotta anche
l’analisi dei possibili meccanismi locali.
1.3.2 Analisi sismica globale e criteri di verifica
L’analisi della risposta sismica globale può essere effettuata con uno dei metodi riportati
nel § 7.3 delle NTC, di cui si parlerà ampiamente nel seguito.
Per le verifiche di sicurezza nei riguardi del comportamento sismico globale si applica
quanto prescritto al § 7.8 delle NTC. Tali metodi di verifica sono quelli utilizzati per la
verifica degli edifici di nuova costruzione.
1.3.3 Analisi dei meccanismi locali
Negli antichi edifici in muratura sono spesso assenti elementi di collegamento tra le pareti
a livello degli orizzontamenti di piano; ciò comporta una possibile vulnerabilità nei
riguardi di meccanismi locali che possono interessare il collasso di singoli pannelli murari
o di intere porzioni della costruzione in direzione ortogonale al piano di massima inerzia
e resistenza.
Un possibile modello di riferimento per la valutazione della sicurezza nei confronti di tali
meccanismi è quello dell’analisi limite dell’equilibrio delle strutture murarie, considerate
come corpi rigidi non resistenti a trazione. L’appendice C8D della Circolare Attuativa alle
NTC propone un metodo che, mediante l’applicazione del principio dei lavori virtuali ad
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- Capitolo 1 – L’analisi sismica degli edifici esistenti _____________________________________________________________________________________________________________________________
ogni meccanismo locale, consente di valutare la capacità sismica in termini di resistenza o
di spostamento.
1.3.4 Classificazione degli interventi
La Circolare Attuativa prevede tre categorie di interventi. Indipendentemente dalla
categoria di appartenenza è opportuno che essi, anche se non antisismici, siano finalizzati
principalmente all’eliminazione o alla riduzione significativa delle possibili gravi carenze
legate ad errori di progetto o di esecuzione, al degrado, a danni o a trasformazioni e al
successivo rinforzo della struttura esistente.
Gli interventi previsti sono di seguito descritti:
-
Intervento di adeguamento. La valutazione della sicurezza in questo caso è
finalizzata a stabilire se la struttura, a seguito dell’intervento, è in grado di
resistere alle azioni di progetto dettate dalle NTC con il grado di sicurezza
richiesto dalle stesse. Non è necessario il soddisfacimento delle prescrizioni sui
dettagli costruttivi per gli edifici nuovi purché si dimostri che siano garantite
comunque le prestazioni in termini di resistenza, duttilità e deformabilità previste.
-
Intervento di miglioramento. La valutazione della sicurezza in tale caso è
finalizzata a determinare la massima entità delle azioni considerate nelle
combinazioni di progetto previste, cui la struttura può resistere con il grado di
sicurezza richiesto. Tale valutazione riguarderà necessariamente i meccanismi
globali e quelli locali.
-
Riparazione o intervento locale. In questa categoria ricadono tutti gli interventi di
riparazione, rafforzamento o sostituzione di singoli elementi strutturali non
adeguati alla funzione strutturale che devono svolgere, a condizione che
l’intervento non cambi significativamente il comportamento globale della
struttura, soprattutto ai fini della resistenza alle azioni sismiche, a causa di una
variazione non trascurabile di rigidezza o di peso.
- 15 -
- Capitolo 1 – L’analisi sismica degli edifici esistenti _____________________________________________________________________________________________________________________________
1.4 L’analisi sismica secondo il DM 14.01.2008
1.4.1 Pericolosità sismica
Il DM 14.01.2008 adotta un approccio prestazionale nella progettazione e nella verifica
delle strutture controllando nei riguardi dell’azione sismica il danneggiamento subito
dalla costruzione. La valutazione dell’azione sismica si esegue a partire dalla pericolosità
sismica di base definita in condizioni di suolo rigido e superficie topografica piana e
orizzontale. Per coerenza con le NTC, la pericolosità sismica deve essere valutata:
-
in termini di massima accelerazione orizzontale al suolo ag e dei parametri che
permettono di definire gli spettri di risposta;
-
in corrispondenza dei vertici di un reticolo definito dalla norma per l’intero
territorio nazionale;
-
per diversi valori della probabilità di superamento e del periodo di ritorno.
Le forme spettrali previste dalle NTC sono univocamente definite una volta determinati i
valori dei seguenti parametri di pericolosità:
-
ag : massima accelerazione orizzontale al suolo;
-
F0 : valore massimo di amplificazione dell’accelerazione spettrale orizzontale;
-
T*c : periodo di inizio del ramo a velocità costante dello spettro in termini di
accelerazione orizzontale.
Le forme spettrali previste sono caratterizzate da prescelte probabilità di superamento in
un periodo di riferimento per cui occorre fissare:
-
il periodo di riferimento della struttura VR;
-
la probabilità di superamento nel periodo di riferimento, PVR, associata a ciascuno
degli Stati Limite considerati.
- 16 -
- Capitolo 1 – L’analisi sismica degli edifici esistenti _____________________________________________________________________________________________________________________________
1.4.2 Modellazione dell’azione sismica
Dopo aver illustrato i parametri con cui le NTC definiscono la pericolosità sismica si
passa, ora, ad esaminare i procedimenti attraverso i quali è possibile valutare l’azione
sismica su una generica struttura esistente o da progettare. Nei confronti delle azioni
sismiche gli Stati Limite di Esercizio (SLE) e Ultimo (SLU) sono individuati riferendosi
alle prestazioni della costruzione sia quelle offerte dalla struttura sia quelle esibite dagli
impianti. La norma individua quattro Stati Limite, due di esercizio (Stato Limite di
Operatività, SLO, e Stato Limite di Danno, SLD) e due ultimi (Stato Limite di salvaguardia
della Vita, SLV, e Stato Limite di Collasso, SLC). Per le costruzioni ordinarie è sufficiente
verificare:
-
lo SLD cui si associa PVR = 63% e per il quale, a seguito del sisma, la costruzione nel
suo complesso (elementi strutturali e non) e le apparecchiature subiscono danni
tali da non mettere a rischio gli utenti e non compromettere significativamente
riduzioni di resistenza nei confronti di azioni orizzontali e verticali;
-
lo SLV cui si associa PVR = 10% e per il quale, a seguito del sisma, la struttura
subisce rotture e crolli degli elementi non strutturali, conserva una buona
resistenza per le azioni verticali e conserva parte della resistenza (come margine di
sicurezza) nei confronti del collasso per azioni sismiche.
Per definire l’azione sismica è necessario caratterizzare il suolo in termini di:
-
caratteristiche stratigrafiche dei depositi di terreno superficiali, per valutare la
possibile amplificazione del moto sismico nella propagazione dal bedrock alla
superficie;
-
condizioni topografiche, le quali sono responsabili delle amplificazioni del moto al
suolo dovute a onde sismiche a fenomeni di riflessione delle onde sismiche.
Secondo le NTC l’azione sismica è caratterizzata da due componenti orizzontali e una
verticale indipendenti tra loro. La “domanda” del sisma sulla struttura può essere
descritta, in campo elastico, attraverso lo spettro di risposta elastico in termini di
accelerazione la cui “forma” è riferita ad uno smorzamento convenzionale del 5% e va
- 17 -
- Capitolo 1 – L’analisi sismica degli edifici esistenti _____________________________________________________________________________________________________________________________
definita mediante la massima accelerazione orizzontale al suolo, ag, su un sito di
riferimento rigido orizzontale e i parametri Fo e T*C. Lo spettro di risposta elastica in
termini di accelerazione orizzontale è così definito:
per 0 ≤ T ≤ TB
T
1
S e (T ) = a g ⋅ S ⋅ η ⋅ F0 ⋅  +
 TB η ⋅ F0
per TB ≤ T ≤ TC
S e (T ) = a g ⋅ S ⋅ η ⋅ F0
per TC ≤ T ≤ TD
T
S e (T ) = a g ⋅ S ⋅ η ⋅ F0 ⋅ 
 TC
per TD ≤ T ≤ TE
 T ⋅T 
S e (T ) = a g ⋅ S ⋅ η ⋅ F0 ⋅  C 2 D 
 T


T
⋅ 1 −
 TB






essendo:
-
Se l’accelerazione spettrale ricercata;
-
T il periodo proprio di oscillazione della struttura che nel caso specifico di una
costruzione in muratura, può essere ricavato in forma approssimata come segue:
T = 0,05 ⋅ H
3
4
-
η lo smorzamento viscoso, che per edifici in muratura si assume pari a 0,82;
-
S
il coefficiente che tiene conto della categoria di sottosuolo e delle condizioni
topografiche:
S = Ss ⋅ ST ove Ss è il coefficiente di amplificazione stratigrafico
desumibile dalla tabella 3.2.V del DM 14.01.2008 in funzione della categoria di
sottosuolo ed ST è il coefficiente di amplificazione topografica, desumibile dalla
tabella 3.2.VI del sopracitato Decreto.
-
Fo il fattore che quantifica l’amplificazione spettrale massima. Esso è ottenibile,
unitamente alla massima accelerazione orizzontale, ag, e al periodo in corrispondenza
del quale ha inizio il ramo a velocità costante, T*C, dalla tabella contenuta
nell’Allegato “B” alla norma in funzione delle coordinate geografiche del sito, avendo
prima definito il periodo di riferimento della struttura VR e il periodo di ritorno del
sisma TR. Il periodo di riferimento della struttura è dato dal prodotto della vita
nominale VN per il coefficiente d’uso Cu.
- 18 -
- Capitolo 1 – L’analisi sismica degli edifici esistenti _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
TC il periodo corrispondente alla fine del ramo ad accelerazione costante, assunto
pari al prodotto tra T*C e il coefficiente CC desumibile dalla tabella 3.2.V di normativa
in funzione della categoria di sottosuolo.
-
TB il periodo corrispondente all’inizio del ramo ad accelerazione costante dello
spettro, definito dalla norma pari a Tc /3.
-
TD il periodo corrispondente all’inizio del ramo a spostamento costante dello spettro.
Esso è definito mediante la seguente relazione: TD = 4,0 ⋅
ag
g
+ 1,6 .
Risulta possibile a questo punto ricavare lo spettro di risposta elastico lineare Se(T) per
una struttura con comportamento elastico.
1.4.3 Forze sismiche equivalenti adottate nell’analisi statica lineare
In realtà le strutture esibiscono generalmente un comportamento elastoplastico
dissipando parte dell’energia di input rilasciata dal sisma. Ciò avviene grazie alla duttilità
dei materiali di cui si compone la struttura, cioè grazie al rapporto che esiste tra
deformazioni plastiche correnti e deformazioni al limite elastico della struttura, nonché
alla sua sovraresistenza, legata alla ridistribuzione delle sollecitazioni all’interno di essa.
Prima dell’avvento delle norme di nuova generazione le strutture si progettavano solo in
campo elastico considerando le risorse plastiche esclusivamente una riserva di sicurezza.
Si è poi capito che progettare una struttura in campo elastoplastico, sfruttando la duttilità
dei materiali, ci consente di prendere in considerazione, a parità di spostamento, forze
esterne minori di quelle considerate per un comportamento elastico lineare. Tale nuovo
modo di ragionare ha portato a definire uno spettro di progetto per mantenere ancora
valide le analisi lineari. Per quanto riguarda lo Stato Limite di Esercizio, coincide con lo
spettro elastico corrispondente alla probabilità di superamento PVR nel periodo di
riferimento VR considerato. Per quanto concerne invece lo Stato Limite Ultimo le capacità
dissipative della struttura ai fini sia del progetto che della verifica possono essere prese in
- 19 -
- Capitolo 1 – L’analisi sismica degli edifici esistenti _____________________________________________________________________________________________________________________________
considerazione attraverso l’impiego dello spettro di progetto Sd(T) ottenuto riducendo le
ordinate dello spettro elastico Se(T) mediante il termine 1/q (con q>1) posto in luogo del
fattore η che tiene conto dello smorzamento viscoso. Il coefficiente q è definito dalla
norma come fattore di struttura e consente di effettuare analisi statiche lineari
considerando, in maniera indiretta, il comportamento post-elastico evolutivo delle
strutture.
Al § 7.8.1.3 il DM 14.01.2008 definisce il fattore di struttura q con la seguente relazione:
q = q0 ⋅ K R
dove q0 rappresenta il valore massimo di q e KR un coefficiente che vale 1 per le strutture
“regolari” e 0,8 per le strutture “irregolari”, in pianta e/o in altezza. Il fattore q è tabellato
per le diverse tipologie costruttive e per le costruzioni in muratura ordinaria vale
q0 = 2,0 ⋅
-
αu
dove :
α1
α1 è il moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale, mantenendo
costanti le altre azioni, il primo pannello murario raggiunge la sua resistenza
ultima per crisi da taglio o da pressoflessione (se la crisi avviene per
pressoflessione e si adotta un approccio alle “deformazioni”, si può far
corrispondere α1 all’attingimento di una deformazione estensionale massima peri
a quella al limite elastico εk);
-
αu è il 90% del moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale,
mantenendo costanti le altre azioni, la costruzione raggiunge la massima forza
resistente.
Il rapporto di sovraresistenza αu/α1 è fornito al § 7.3.1 delle NTC in funzione del numero
di piani dell’edificio.
Nota l’azione sismica attraverso lo spettro di progetto, si deve determinare per ogni stato
limite considerato la forza equivalente al sisma, cioè quell’azione statica che produce gli
stessi effetti delle forze di inerzia generate a ciascun livello dall’eccitazione sismica
applicata alla base della struttura.
- 20 -
- Capitolo 1 – L’analisi sismica degli edifici esistenti _____________________________________________________________________________________________________________________________
Considerando una generica costruzione, la forza orizzontale equivalente al sisma è
valutabile, secondo il § 7.3.3.2 del DM 14.01.2008 nel seguente modo:
Fi = Fh ⋅ z i ⋅
wi
∑j z j ⋅ wj
essendo: Fh = ( S d (T ) / g ) ⋅ w ⋅ λ
In tale relazione:
-
Fi è la forza equivalente al sisma da applicare nel baricentro della massa i-esima.
Nell’ipotesi di impalcato rigido nel proprio piano le masse e le inerzie della
struttura possono assumersi concentrate al livello degli orizzontamenti, per cui Fi
rappresenta la forza statica equivalente al sisma applicata nel baricentro
dell’impalcato i-esimo.
-
Sd(T) è l’accelerazione spettrale di progetto.
-
wi e wj sono, rispettivamente, il peso sismico della massa i-esima e della massa jesima valutati secondo la combinazione di carico considerata.
-
w è il peso sismico complessivo della costruzione valutato secondo la
combinazione di carico considerata.
-
zi e zj sono le quote, rispetto al piano di fondazione delle masse i e j.
-
g è l’accelerazione di gravità.
-
λ è un coefficiente pari a 0,85 se la costruzione ha almeno tre orizzontamenti e se
T≤Tc, pari a 1,0 in tutti gli altri casi.
Si fa osservare che il termine z i ⋅
wi
rappresenta un coefficiente di distribuzione
∑j z j ⋅ wj
dell’azione sismica lungo l’altezza dell’edificio. La sua introduzione è scaturita dal fatto
che gli spettri di risposta valgono per sistemi ad un grado di libertà (oscillatore semplice)
mentre le strutture possiedono in realtà infiniti gradi di libertà. Questo coefficiente regola
la condizione secondo la quale due masse di pari entità poste in verticale in un sistema a
due gradi di libertà non possono subire lo stesso spostamento e, quindi, la stessa
accelerazione orizzontale. Senza la presenza di questo coefficiente l’azione sismica
- 21 -
- Capitolo 1 – L’analisi sismica degli edifici esistenti _____________________________________________________________________________________________________________________________
verrebbe ripartita tra gli impalcati solo in proporzione alle masse senza considerare la
quota a cui esse risultano applicate.
Se gli impalcati non possono essere considerati rigidi nel proprio piano è necessario
ripartire i pesi sismici in maniera che essi agiscano sugli elementi strutturali a cui sono
vincolati (nel caso di un solaio esso viene ripartito per aree di influenza sulle pareti),
ricavare tante forze equivalenti quanti sono i pesi sismici ed applicarle nei baricentri degli
elementi cui sono applicate.
- 22 -
Capitolo 2 - Metodi di analisi sismica
2.1 Considerazioni generali
L’analisi strutturale rappresenta quell’insieme di operazioni che consentono di descrivere
il comportamento reale (o quanto più vicino ad esso) di una struttura attraverso un
modello teorico e di studiarne il presumibile stato di sollecitazione attraverso la sua
risoluzione con metodi analitici. Quest’insieme di operazioni può essere suddiviso in tre
fasi distinte:
-
modellazione;
-
calcolo;
-
verifica.
La modellazione consiste tradurre un qualcosa di reale in un modello che ne rappresenti
il comportamento in un contesto noto attraverso ipotesi di base, semplificazione di realtà
complesse in fenomeni più semplici attraverso la scomposizione e sovrapposizione di
cause-effetti e utilizzo di risultati ottenuti dall’esperienza. Esistono diversi modelli
rappresentativi.
Il modello geometrico prevede la definizione della composizione della struttura
schematizzandola in elementi geometrici di dimensioni note. Gli elementi strutturali
saranno così rappresentati da sistemi monodimensionali (travi, pilastri), sistemi
bidimensionali
(piastre,
pareti)
o
sistemi
misti,
dove
esistono
sia
elementi
monodimensionali che bidimensionali. Oltre alla schematizzazione degli elementi
strutturali, il modello geometrico deve contemplare anche le condizioni di vincolo
(interne ed esterne), cercando rappresentare al meglio la reale configurazione della
struttura.
- 23 -
- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica _____________________________________________________________________________________________________________________________
Il modello meccanico, invece, consiste nella definizione del comportamento dei materiali di
cui la struttura è costituita. In particolare esso consiste nella definizione dei moduli elastici
o dei legami costitutivi dei materiali, della loro resistenza. Tale modello, insieme a quello
delle azioni, è quello cui si associano le maggiori incertezze in quanto sono evidenti le
difficoltà legate al dover esprimere analiticamente il comportamento meccanico dei
materiali mediante un limitato numero di parametri, semplici da definire ma, al
contempo, significativi.
Il modello delle azioni, a sua volta, considera tutti i carichi a cui la struttura è o sarà
sottoposta durante la propria vita valutando, in maniera opportuna, il modo in cui tali
azioni sono applicate e distribuite sui diversi elementi strutturali. La certezza di tale
modello è requisito essenziale per la valutazione delle condizioni in cui versa o potrebbe
versare una struttura: la mancata o errata considerazione di un’azione può essere causa di
collassi, dissesti o comunque esigui margini di sicurezza.
Il calcolo, ovvero l’analisi strutturale propriamente detta, altro non è che un insieme di
operazioni condotte secondo la logica della metodologia adottata, con lo scopo di
conoscere lo stato di sollecitazione e di deformazione della struttura sottoposta alle azioni
previste in fase di modellazione. I risultati del calcolo strutturale non costituiscono il reale
stato della struttura, ma solamente una sua rappresentazione molto sfocata la cui
approssimazione dipende, sia dagli strumenti utilizzati nel calcolo, sia dalle ipotesi di
base assunte nelle fasi di modellazione e di calcolo.
La verifica consiste, infine, nel confrontare le sollecitazioni e le deformazioni applicate
alla struttura con quelle sopportabili da essa. In particolare, nell’ambito del metodo semiprobabilistico agli stati limite, si verifica che risulti soddisfatta la seguente disequazione:
S d ≤ Rd
dove Sd sono le sollecitazioni di progetto indotte dai carichi applicati ed Rd le resistenze di
progetto. Le sollecitazioni di progetto si ottengono amplificando e combinando tra loro i
valori caratteristici delle azioni (dirette e indirette) applicate alla struttura, mentre le
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- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica _____________________________________________________________________________________________________________________________
resistenze di progetto si ricavano riducendo i rispettivi valori caratteristici. In condizione
sismica si parla, più in generale, rispettivamente di domanda (D) e di capacità (C)
verificando che risulti: D ≤ C.
2.2 Metodi di analisi previsti dal DM 14.01.2008
Il DM 14.01.2008 prevede quattro metodi di analisi, che di eseguito sono ordinati in senso
crescente per complessità e precisione dei risultati forniti:
-
analisi statica lineare;
-
analisi dinamica modale;
-
analisi statica non lineare;
-
analisi dinamica non lineare.
La scelta tra un metodo e l’altro dipende dalle caratteristiche e dall’importanza della
struttura che si intende analizzare. L’analisi dinamica non lineare è sicuramente in grado
di fornire la migliore predizione della risposta strutturale alle azioni sismiche.
2.2.1 Analisi statica lineare
L’analisi statica lineare consiste nel rappresentare l’azione sismica attraverso un sistema
di forze statiche applicate in corrispondenza degli impalcati di un edificio (dove si
ipotizzano concentrate le masse della struttura) e nel calcolare sollecitazioni e spostamenti
considerando la struttura come un sistema elastico lineare.
Il metodo prevede di considerare applicate alla struttura una distribuzione di forze
proporzionale al suo primo modo di vibrazione “linearizzato” e la conoscenza del suo
periodo consente di calcolare il tagliante alla base della struttura la cui distribuzione
- 25 -
- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica _____________________________________________________________________________________________________________________________
lungo l’altezza rappresenta proprio il sistema di forze statiche da applicare. Il periodo
fondamentale T1 può essere determinato facendo ricorso ai metodi della dinamica
strutturale oppure attraverso formule approssimate indicate dalla normativa.
Se masse e altezze d’interpiano sono uguali ai diversi piani la distribuzione delle azioni
sismiche risulta essere di tipo triangolare inversa.
Questo tipo d’analisi è in grado di fornire risultati soddisfacenti nel caso di strutture la cui
risposta non è significativamente influenzata dai modi superiori di vibrazione, circostanza
che si presenta quando sono rispettate le condizioni di regolarità in altezza previste dalla
normativa. Utilizzare l’analisi statica per lo studio di strutture irregolari può portare,
infatti, a stime di sollecitazioni e spostamenti significativamente lontane dai valori reali;
valutazione molto imprecisa della risposta che, pur essendo talvolta in favore di
sicurezza, possono condurre a strutture molto costose e meno compatibili con esigenze
architettoniche ed impiantistiche.
2.2.2 Analisi dinamica modale
L’analisi modale (o dinamica lineare o multi-modale) è un metodo di valutazione
convenzionale di sollecitazioni e spostamenti di progetto in base al quale la risposta di un
sistema ad n gradi di libertà (supposto a comportamento elastico lineare) viene riguardata
come sovrapposizione delle risposte di n sistemi ad un grado di libertà, ciascuna di essa
pesata attraverso un coefficiente opportunamente definito. A ciascun oscillatore semplice
sono associati una “forma” modale (ovvero un modo di vibrazione naturale), un
coefficiente di partecipazione, un periodo proprio di oscillazione ed una massa
partecipante. L’impiego di uno spettro di progetto consente, poi, di calcolare la massima
accelerazione alla base della struttura per ciascun modo e , dunque, le forze applicate ai
diversi livelli. Gli effetti (sollecitazioni e spostamenti) dei singoli modi di vibrare vanno,
infine, combinati tra loro per ottenere quelli della struttura reale.
- 26 -
- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica _____________________________________________________________________________________________________________________________
La maggiore differenza con l’analisi statica equivalente è legata alla considerazione dei
modi propri di vibrazione della struttura per tenere conto, nel calcolo dei parametri di
risposta, delle sue caratteristiche dinamiche.
Per poter svolgere questo tipo di analisi le masse dei piani della struttura possono essere
definite, attraverso uno dei seguenti approcci:
-
calcolo dell’inerzia traslazionale, pari alla somma di tutte le masse assunta uguale
in tutte le direzioni e dell’inerzia rotazionale (momento d’inerzia delle masse) del
piano concentrata nel baricentro;
-
calcolo delle inerzie traslazionali, supposte uguali in tutte le direzioni, dei diversi
elementi strutturali concentrate nei rispettivi nodi, sicché la distribuzione delle
masse concentrate nel piano tiene implicitamente conto dell’inerzia rotazionale;
-
attribuzione ad ogni elemento della massa per unità di lunghezza che gli compete,
tenendo in conto implicitamente, sia l’inerzia traslazionale, sia quella rotazionale.
L’accoppiamento dell’analisi modale con lo spettro di progetto in termini di accelerazione
espresso in g consente di calcolare i vettori “massimi” delle forze statiche equivalenti
relative ai vari modi, attraverso opportune relazioni. Questo modo di procedere non è
chiaramente sufficiente qualora si sia interessati ad analizzare la risposta evolutiva della
struttura. In tal caso, selezionato un gruppo di accelero grammi spettro-compatibili, si
può effettuare l’analisi dinamica lineare risolvendo l’equazione del moto per ciascun
oscillatore individuato mediante decomposizione modale.
2.2.3 Analisi statica non lineare
La capacità di una struttura di resistere all’evento sismico dipende fortemente dalla sua
capacità di deformazione e dalla sua duttilità. I metodi di analisi elastica lineare analizzati
(statico e dinamico modale) tengono conto del comportamento non lineare della struttura
tramite il fattore di struttura che permette di ridurre lo spettro di risposta elastico e,
quindi, le richieste di resistenza. Questi metodi non possono, però, cogliere cambiamenti
- 27 -
- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica _____________________________________________________________________________________________________________________________
nella risposta della struttura qualora i suoi elementi superino il limite elastico; da ciò
consegue l’assoluta mancanza di informazioni sulla distribuzione delle domande di
anelasticità.
L’analisi statica non lineare consiste nel sottoporre una struttura ai carichi gravitazionali e
ad un sistema di forze laterali che simulano le forze d’inerzia e che, mantenendo i rapporti
relativi tra di esse, sono variate in conseguenza di un incremento monotono dello
spostamento orizzontale di un punto di controllo della struttura (ad es. il baricentro
dell’ultimo piano) sino al raggiungimento di uno spostamento di target che rappresenta la
domanda sismica valutata mediante lo spettro elastico di normativa.
Il risultato finale dell’analisi è la curva1 taglio alla base (somma di tutte le forze
orizzontali) -spostamento del punto di controllo, che rappresenta la capacità della
struttura. Essa va confrontata con la domanda, individuata sulla curva stessa in
corrispondenza di valori dello spostamento orizzontale ottenuti sullo spettro di
spostamento fornito dalla normativa. Con tale analisi è possibile verificare la sicurezza
della struttura sia in termini di resistenza che di deformabilità tenendo conto, sia delle
non linearità geometriche, sia di quelle meccaniche. Questo tipo di analisi permette,
inoltre, di ricavare interessanti informazioni sulla risposta di sistemi strutturali
soprattutto se impiegato per la verifica di edifici esistenti o per ottimizzare la
progettazione di costruzioni nuove.
In particolare l’analisi statica non lineare può essere effettuata per gli scopi seguenti:
-
valutare i rapporti di sovraresistenza α u α1 ;
-
verificare l’effettiva distribuzione della domanda anelastica negli edifici progettati
con il fattore di riduzione q = q 0 ⋅ K R ;
-
come metodo di progetto per gli edifici di nuova costruzione2 sostitutivo dei
metodi d’analisi lineari;
-
1
2
come metodo per la valutazione della capacità sismica di edifici esistenti.
In realtà è una successione di punti ottenuti con un metodo numerico.
Nella letteratura scientifica si parla di “Displacement-Based Design”, DBD.
- 28 -
- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica _____________________________________________________________________________________________________________________________
La metodologia proposta dalle norme si basa sull’assunzione che la risposta di un sistema
a più gradi di libertà possa essere correlata alla risposta di un sistema equivalente ad un
grado di libertà con un’appropriata caratteristica isteretica.
Il metodo si articola nei passi seguenti:
-
determinazione di un legame forza-spostamento generalizzato tra la risultante
delle forze applicate (“taglio alla base” Vb) e lo spostamento orizzontale Δt di un
“punto di controllo”, usualmente scelto coincidente con il baricentro dell’ultimo
impalcato;
-
determinazione delle caratteristiche di un sistema ad un grado di libertà a
comportamento bi-lineare equivalente;
-
determinazione della massima domanda in termini di spostamento attraverso
l’impiego dello spettro di risposta elastico;
-
conversione dello spostamento del sistema equivalente così determinato nella
configurazione deformata effettiva dell’edificio e verifica della compatibilità degli
spostamenti (elementi/meccanismi duttili) e delle resistenze (elementi/ meccanismi
fragili).
Figura 2.1 – Distribuzione di forze orizzontali
Figura 2.2 – Curva di capacità V – Δ
In conclusione va osservato che l’analisi statica non lineare, pur utilizzando sempre forze
applicate alla struttura (direttamente se l’analisi è in controllo di forza o indirettamente se
l’analisi è in controllo di spostamento), considera in modo esplicito il ruolo fondamentale
dello spostamento e della deformazione, che sono le reali cause distruttive del sima.
- 29 -
- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica _____________________________________________________________________________________________________________________________
Gli elementi chiave di un’analisi non lineare sono la “capacità”, la “domanda” e la
“prestazione”. La “domanda” è una rappresentazione della richiesta di prestazione del
moto sismico alla struttura. La “capacità” è l’abilità della struttura di resistere alla
domanda sismica. La “prestazione” rappresenta la misura dell’incontro tra capacità e
domanda; la struttura deve avere la capacità di resistere alla domanda sismica in modo
che la prestazione sia compatibile con gli obiettivi di progetto 3.
2.2.4 Analisi dinamica non lineare
Nell’analisi dinamica non lineare la risposta della struttura è calcolata integrando
direttamente l’equazione del moto del sistema non lineare utilizzando un modello
tridimensionale dell’edificio ed un “sufficiente” numero di accelerogrammi come definito
dalla normativa italiana ed europea.
Questo è sicuramente il metodo di analisi più raffinato perché consente di conoscere
sollecitazioni e deformazioni della struttura nel tempo, ma anche quello più complesso e
richiede per questo una particolare attenzione.
Due sono gli aspetti significativi: il primo consiste nell’individuazione di un modello che
sia in grado di descrivere il comportamento post-elastico degli elementi sotto cicli di
carico e la relativa dissipazione di energia; il secondo consiste nella scelta degli
accelerogrammi da utilizzare come input, che devono essere rappresentativi degli eventi
attesi nella zona in cui è situato l’edificio oggetto di studio e, al contempo, compatibile con
lo spettro di normativa.
L’esecuzione di un’analisi dinamica si articola nelle seguenti fasi:
-
Definizione del modello geometrico tridimensionale della struttura tenendo conto
delle particolari indicazioni del codice di calcolo automatico utilizzato per
descrivere particolari condizioni quali, ad esempio, piani rigidi e nodi travecolonna. Modelli definiti in maniera grossolana possono produrre risultati.
3
Nella letteratura scientifica si parla di “Performance-Based Desig”, PBD.
- 30 -
- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
Definizione delle masse che possono essere eccitate dinamicamente dall’evento
sismico e loro applicazione nel modello .
-
Definizione dello smorzamento della struttura che, nel problema di equilibrio,
dinamico governato dall’equazione del moto, è rappresentato dalla matrice degli
smorzamenti da dedurre necessariamente in base al comportamento non lineare
dei materiali costituenti.
-
Definizione dei legami costitutivi non lineari isteretici (evolutivi e non degradanti)
dei materiali oppure della posizione e del diagramma momento-curvatura delle
cerniere plastiche, qualora si effettui una modellazione a plasticità concentrata;
-
Definizione dell’input sismico (set di accelerogrammi).
-
Verifica della struttura.
Svolta l’analisi e calcolata la risposta nel tempo della struttura sollecitata da un evento
sismico rappresentato da un gruppo di accelerogrammi, è possibile conoscere in ogni
istante su ogni elemento della struttura gli effetti del sisma (momenti, tagli, spostamenti),
controllando la compatibilità degli spostamenti negli elementi che presentano un
comportamento duttile e delle resistenze negli elementi con comportamento fragile.
Se nel procedimento di calcolo è stato utilizzato un gruppo di tre accelerogrammi le
verifiche degli elementi strutturali, riguarderanno i valori massimi degli effetti, mentre se
sono stati considerati più accelerogrammi (in numero almeno pari a 7) le verifiche
riguarderanno i valori medi delle azioni calcolate.
2.3 Analisi strutturale in campo non lineare
Il passaggio tra analisi statica lineare e analisi statica non lineare, con il metodo RAN o
qualsiasi altro metodo di calcolo, avviene nel momento in cui si rimuove l’ipotesi di
azione sismica applicata con una forza statica equivalente e si considera il sisma come
- 31 -
- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica _____________________________________________________________________________________________________________________________
applicato gradualmente alla struttura. Tale considerazione fa si che ad ogni variazione
dell’azione sismica nel tempo corrisponde una soluzione statica diversa per l’istante di
tempo considerato dove in ognuno di questi istanti oltre a variare le sollecitazioni variano
anche i parametri che nell’input di un’analisi statica lineare risultano essere costanti.
Nel passaggio tra le due analisi si riscontrano due tipologie di non linearità:
-
non linearità geometrica
-
non linearità del materiale.
2.3.1 Non linearità geometrica
Quando un corpo elastico si deforma in maniera significativa non è più valida ipotesi
della teoria della elasticità lineare secondo la quale è possibile, in un processo
deformativo, confondere la configurazione finale con quella iniziale. Questa ipotesi
implica, in termini di modellazione, di utilizzare un sistema di riferimento che rimane
invariato durante l’analisi e, in termini di soluzione, una linearità tra cause ed effetti.
Un’analisi in grado di cogliere le non linearità geometriche prevede due passi successivi:
-
la scomposizione della struttura nei suoi elementi e la ricerca per ciascun
elemento, nel sistema di riferimento locale associato alla deformata corrente, della
nuova configurazione di equilibrio;
-
la trasformazione di questa configurazione e degli effetti conseguenti (azioni
interne) dal sistema di riferimento locale a quello globale, in modo che sia
possibile procedere all’assemblaggio, ovvero alla ricostruzione dell’intera struttura
e alla definizione della risposta globale.
È possibile individuare due cause di non linearità geometrica.
1) Grandi deformazioni. Data l’elevata deformabilità del materiale, lo sviluppo in
serie di Mac Laurin delle deformazioni va arrestato ad un termine di ordine
superiore al primo.
- 32 -
- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica _____________________________________________________________________________________________________________________________
2) Grandi spostamenti/rotazioni. Si considera che all’aumentare del carico
l’elemento cambia configurazione rispetto a quella iniziale. Assunto un sistema di
riferimento locale per la sezione di applicazione della forza, esso risulterà ruotato
rispetto alla direzione del carico agente in modo tale che la componente del carico
ortogonale dell’asse non crescerà più linearmente con lo spostamento. Di
conseguenza,
il
momento
flettente
e
il
taglio
aumentano
meno
che
proporzionalmente con lo spostamento in quanto parte del carico induce uno
sforzo normale di trazione.
Si consideri una mensola sollecitata da una forza trasversale F all’estremo libero (ved.
Figura 2.3a).
Figura 2.3 – Legame taglio-spostamento in campo non lineare geometrico
Con riferimento alla Figura 2.4, supporre che le configurazioni indeformata e deformata
coincidano corrisponde a considerare il sistema di riferimento dell’elemento fisso e,
quindi, il carico verticale sempre parallelo all’asse della colonna. Se invece (come è anche
intuibile fisicamente) si considera che a causa dello spostamento δ, la configurazione
“attuale” dell’elemento è diversa rispetto a quella iniziale per la sua inflessione, assunto
solidale con il corpo un sistema di riferimento locale, quest’ultimo risulterà ruotato
rispetto alla direzione dei carichi agenti variando il reale stato di sollecitazione.
- 33 -
- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 2.4 – Momento flettente comprensivo degli effetti del second’ordine
2.3.2 Non linearità del materiale
La considerazione della non linearità del materiale assume fondamentale importanza se si
vuole avvicinare il più possibile i risultati del calcolo al comportamento reale della
struttura. Gli approcci che permettono di considerare questa non linearità sono il modello a
plasticità concentrata e il modello a plasticità diffusa.
Plasticità concentrata. Questo tipo di modellazione prevede che tutti gli elementi
costituenti la struttura rimangano sempre in campo elastico e che vengano introdotti, alle
estremità degli stessi, conci di lunghezza finita con comportamento anelastico detti
“cerniere plastiche” laddove si prevede una concentrazione del danneggiamento.
La non linearità della struttura viene pertanto concentrata in pochi elementi. Il vantaggio
di questa modellazione è che permette di lavorare principalmente con elementi elastici
più facilmente gestibili concentrando in pochi punti della struttura la non linearità del
materiale. Il limite di questa modellazione è che richiede una certa esperienza per stabilire
come distribuire gli elementi non lineari e per adottare lunghezze e curve caratteristiche
che permettano di cogliere il reale comportamento anelastico della struttura.
Plasticità diffusa. In questo caso gli elementi strutturali si considerano dotati di
comportamento anelastico diffus, sia trasversalmente che longitudinalmente, attraverso
una discretizzazione in fibre. Questo modello prevede che lo stato tenso-deformativo di
- 34 -
- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica _____________________________________________________________________________________________________________________________
una sezione del generico elemento sia ottenuto tramite l’integrazione della risposta
sforzo-deformazione uniassiale non lineare di ciascuna fibra. Se dal un punto di vista
computazionale un modello a plasticità distribuita, adottando legami costitutivi non
lineari per ciascun materiale costituente l’elemento, risulta più oneroso rispetto ad uno a
plasticità concentrata, da un punto di vista operativo, il primo non necessita di una
particolare esperienza nella modellazione.
2.3.3 Ulteriori considerazioni
Va osservato che l’analisi lineare e quella non lineare non differiscono esclusivamente per
il modo con il quale considerano le azioni esterne (nella prima applicata staticamente con
l’intensità totale e nella seconda applicata con legge incrementale monotona) e per
l’introduzione delle non linearità geometriche e meccaniche, bensì si distinguono anche
per il tipo di controllo che sulle analisi si effettua.
L’analisi statica lineare può essere condotta esclusivamente in controllo di forza; nella
determinazione della capacità portante (e quindi del moltiplicatore di crisi) si incrementano
le forze fino a quando esse fanno attingere il collasso della struttura. In questo modo è
possibile valutare lo spostamento ultimo della costruzione in corrispondenza del sistema
di forze che genera la crisi, ma non è possibile valutare ciò che avviene nella curva di
capacità dopo la crisi del primo elemento perché il taglio sopportabile risulta sempre più
inferiore al suo massimo valore e non può essere determinato dal momento che
analiticamente ad uno stesso valore del taglio corrispondono due valori dello
spostamento, uno associato al ramo crescente della curva e l’altro associato al ramo
discendente di essa.
L’analisi statica non lineare, oltre che on controllo di forza, può essere condotta anche in
controllo di spostamento, ovvero incrementando monotonamente gli spostamenti applicati
alla struttura si valuta il massimo sforzo orizzontale sopportabile dalla stessa ed il suo
- 35 -
- Capitolo 2 – Metodi di analisi sismica _____________________________________________________________________________________________________________________________
spostamento ultimo. Procedendo in tal modo è possibile tracciare graficamente la curva di
capacità anche dopo il collasso del primo elemento sino all’attingimento della crisi globale
della struttura.
- 36 -
Capitolo 3 - Il metodo di calcolo RAN
3.1 Ipotesi di base e fasi del procedimento
Il metodo di calcolo RAN, proposto per la prima volta da Augenti e Raithel al Convegno
ASSIRCO tenutosi a Ferrara nel 1984, è stato concepito per l’analisi agli Stati Limite di
edifici in muratura composti da pareti (regolari o irregolari) schematizzabili come insieme
di macro-elementi (pannelli di maschio, di nodo e di fascia) sollecitati da azioni verticali e
orizzontali, sismiche e non sismiche, che possono attingere il collasso per taglio o per
presso-flessione.
Le ipotesi alla base di tale metodologia di calcolo sono di seguito sintetizzate.
-
La generica parete di un edificio è discretizzabile in macro-elementi. Ad ogni piano,
prolungando le linee di contorno dei vani, si individuano i pannelli di maschio
(elementi portanti verticali) vincolati ad una o entrambe le estremità di base dai
pannelli di nodo i quali, a loro volta, sono confinati ai lati (interamente o
parzialmente) dai pannelli di fascia (elementi portanti orizzontali). I pannelli murari
sono assimilabili ad elementi mono-dimensionali di sezione rettangolare costante.
-
Le azioni sismiche orizzontali si considerano applicate, in altezza al livello di
ciascun impalcato e in pianta nel baricentro delle masse, se gli impalcati si
suppongono rigidi nel proprio piano e sufficientemente resistenti per la
trasmissione delle azioni alle pareti.
-
La ripartizione delle azioni orizzontali tra i pannelli di maschio di uno stesso
impalcato è effettuata in proporzione alla rigidezza tagliante e flessionale che ogni
pannello è in grado di esibire. La ripartizione viene effettuata “alla Engesser” così
come descritto nel § 3.2.
-
Gli sforzi normali applicati a ciascun pannello di maschio dipendono anche
dall’azione sismica orizzontale ripartita su ogni pannello.
- 37 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
Il massimo carico orizzontale che ogni piano può sopportare corrisponde al
raggiungimento dello Stato Limite del pannello (nell’analisi statica lineare) o del
piano (nell’analisi statica non lineare) più debole.
-
La muratura si suppone caratterizzata da un legame costitutivo di tipo elastico
lineare perfettamente plastico (nell’analisi statica lineare) o elasto-plastico
(nell’analisi statica non lineare).
-
La resistenza a trazione nelle sezioni di estremità dei pannelli di maschio si
assume nulla in virtù della ridottissima influenza che essa esercita sul massimo
taglio sopportabile per presso-flessione.
Il metodo RAN si articola, essenzialmente, nelle seguenti fasi:
-
Definizione del modello geometrico dell’edificio; discretizzazione delle pareti in
macro-elementi; individuazione del modello meccanico del materiale.
-
Definizione del modello di carico attraverso l’analisi delle azioni verticali ed
orizzontali, sismiche e non sismiche, secondo quanto stabilito dalle NTC. Ogni
parete forata sarà costituita da nxm pannelli, sollecitati dal peso proprio Q, dalla
risultante delle azioni trasmesse dagli impalcati P, dagli sforzi di taglio e gli sforzi
normali derivanti dalle forze orizzontali; la risultante degli sforzi di taglio F
presenta eccentricità f rispetto alle sezioni superiori dei pannelli di maschio che si
considerano vincolati in maniera diversa a seconda della tipologia di parete presa
in esame.
-
Determinazione della capacità di resistenza, sia a presso-flessione che a taglio, dei
pannelli di maschio e dei pannelli di fascia.
-
Definizione delle curve caratteristiche di piano, cioè del legame che sussiste tra la
risultante dei tagli applicati ai pannelli di maschio di un medesimo livello e lo
spostamento orizzontale relativo. Attraverso tali curve è possibile, sia pervenire
alla determinazione della capacità portante (ovvero della massima forza orizzontale
a cui la struttura è in grado di resistere), sia costruire la curva di capacità e
determinare lo spostamento ultimo dell’edificio o di una singola parete
nell’ambito dell’analisi statica non lineare.
- 38 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
Verificare i pannelli di fascia di ciascun piano.
3.2 Ripartizione dell’azione sismica
Nell’ambito dell’analisi statica lineare le forze equivalenti al sisma calcolate secondo
quanto descritto al § 1.4.3 vanno ripartite tra i diversi pannelli di maschio di ciascun piano
in proporzione alla loro rigidezza alla traslazione orizzontale.
Innanzi tutto va precisato che, in corrispondenza di un adeguato collegamento tra le
pareti murarie l’azione sismica orizzontale viene fronteggiata essenzialmente dai i
pannelli di maschio disposti con il piano medio di massima inerzia parallelo ad essa.
Dato, però, che per siti ubicati ad una certa distanza dalla faglia il sisma non agisce
generalmente secondo una direzione preferenziale, non è possibile a priori disporre le
pareti essa ed è necessario considerare l’azione sismica applicata in più direzioni e versi
mediante molteplici combinazioni. Le NTC impongono di combinare gli effetti dell’azione
sismica pensata agente in una direzione con la sua massima intensità e nella direzione
ortogonale con il 30% di essa.
- 39 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 3.1 – Ripartizione dell’azione sismica
Con riferimento al generico impalcato, in Figura 3.1 sono rappresentati i generici pannelli
di maschio indicando con:
-
u i pannelli di maschio disposti lungo la direzione x;
-
v i pannelli di maschio disposti lungo la direzione y.
Si indicano poi con XG e YG le coordinate del centro di massa dell’impalcato, con Xu e Yu le
coordinate del centro di massa del generico pannello di maschio in direzione x e con Xv e
Yv le coordinate del cento di massa del generico pannello di maschio in direzione y.
La risultante delle reazioni esplicate dai pannelli per fronteggiare l’azione sismica si
considera applicata in un punto denominato centro delle rigidezze.
- 40 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 3.2 – Pannello di maschio vincolato “alla Grinter”
Per un edificio in muratura in cui le pareti sono ben collegate da cordoli si può assumere
che le fasce di piano siano rigide rispetto ai pannelli di maschio. In tale ipotesi ciascuno di
tali macro-elementi può essere supposto vincolato alla base da un incastro e in sommità
da una catena di pendoli inestensibili (ved. Figura 3.2). Tale pannello, se sottoposto ad una
forza orizzontale agente in sommità, è dotato di:
-
rigidezza flessionale K f =
-
rigidezza tagliante K v =
12 ⋅ EI
;
H3
G⋅A
.
1,2 ⋅ H
dove:
I = s ⋅ B 3 / 12 ;
-
I
momento di inerzia della sezione
-
E
modulo di elasticità normale;
-
G
modulo di elasticità tangenziale;
-
1,2
fattore di taglio di una sezione rettangolare;
-
A
area della sezione di base del pannello A = s ⋅ B .
Assumendo che i meccanismi resistenti a presso-flessione e a taglio del generico pannello
siano disposti in parallelo rispetto alla forza alla forza orizzontale applicata in sommità
del pannello, la deformazione complessiva alla traslazione orizzontale è pari alla somma
delle deformabilità a flessione e a taglio, per cui la rigidezza si può esprimere come:
K=
1
1
1
+
K f Kv
- 41 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
Note le rigidezze dei pannelli di maschio a ciascun piano dell’edificio è possibile
determinare la posizione del loro baricentro applicando semplicemente il teorema del
momento statico ad un sistema di vettori paralleli, ognuno applicato nel baricentro del
generico pannello, con modulo proporzionale alla rigidezza e con direzione e verso
coincidenti con quelli dell’azione orizzontale da equilibrare.
Le coordinate del centro di rigidezza relativo al generico piano dell’edificio in muratura
sono dunque, espresse da:
XC =
∑K
vy
⋅ xv
yC =
Ky
∑K
ux
⋅ yu
Kx
essendo Kvy la rigidezza del generico pannello v e Kux la rigidezza del generico pannello u.
Nel punto C sarà pertanto applicata una forza uguale ed opposta all’azione sismica agente
nel baricentro delle masse G. Se nasce però un’eccentricità tra azione e reazione dovuta al
fatto che centro di rigidezza e centro di massa non coincidono, le due forze generano una
coppia torcente che, se è garantita la rigidezza estensionale dell’impalcato e la sua
resistenza per azioni incrementate del 30%, viene equilibrata, anziché per torsione
primaria dei pannelli, per torsione secondaria ovvero da un sistema di tagli di risultante
nulla. Detti tagli andranno a incrementare o a ridurre quelli che equilibrano l’azione
sismica esterna alla traslazione orizzontale.
Le NTC prescrivono di aggiungere all’eccentricità strutturale un’eccentricità accidentale
per tener conto delle incertezze che si compiono nel valutare la posizione del centro di
massa degli impalcati e della variabilità del moto sismico. Tale eccentricità suppletiva è da
assumersi in ognuna delle due direzioni non inferiore al 5% della lunghezza massima
dell’edificio nella direzione considerata. Il segno dell’eccentricità accidentale deve essere
sempre tale da incrementare l’effetto provocato dall’eccentricità reale.
A questo punto è possibile ripartire sui singoli pannelli sia l’azione sismica che la coppia
torcente tramite la formula di Engesser che, nel caso specifico di forza applicata in
direzione x, assume la seguente forma:
- 42 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
[
]
 [(xG − xC ) ± 0,05 ⋅ Lx ]⋅ ( yu − yc )
 1 ( y − y ) ± 0,05 ⋅ Ly ⋅ ( yu − yc )
Fux = ± Fx ⋅ K ux ⋅  + G C

 ± 0,3 ⋅ Fy ⋅ K ux ⋅ 
Ic
Ic


 Kx

dove:
-
Fux è la forza che compete al generico pannello u in direzione x;
-
Fx
-
Fy è la forza equivalente al sisma in direzione y;
-
Kux è la rigidezza del generico pannello u esibita lungo la direzione x;
-
Kx è la rigidezza totale che tutti i pannelli u esibiscono lungo la direzione x;
-
[(yG – yc)±0,05∙Ly] è la somma dell’eccentricità strutturale e di quella accidentale in
è la forza equivalente al sisma in direzione x;
direzione y;
-
[(xG – xc)±0,05∙Lx] è la somma dell’eccentricità strutturale e di quella accidentale in
direzione x;
-
(yu – yc) è la distanza tra il baricentro del generico pannello e il centro di rigidezza,
valutata lungo la direzione y;
-
IC
è l’inerzia polare dei pannelli e vale
I C = ∑ K ux ⋅ ( yu − yc ) 2 + ∑ K vy ⋅ ( xv − xc ) 2
3.3 Le sollecitazioni agenti sul pannello di maschio
Prima di analizzare il comportamento sismico negli edifici in muratura è necessario
classificare le pareti in tre tipologie:
-
Pareti del I tipo, composte da maschi murari indipendenti tra loro per l’assenza di
qualsiasi tipo di collegamento strutturale;
- 43 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
Pareti del II tipo, composte da maschi murari collegati alla traslazione orizzontale
da impalcati rigidi nel loro piano che possono essere riguardati alla stregua di
livelli inestensibili;
-
Pareti del III tipo, in cui le fasce di piano si suppongono rigide e sufficientemente
resistenti, sia a presso-flessione che a taglio.
Per semplicità di calcolo nel seguito si assumeranno sempre pareti del III tipo, ove il
generico pannello di maschio risulta “alla Grinter”. È ancora in fase di studio preliminare,
infatti, la possibilità di attribuire ai diversi pannelli condizioni di vincolo differenti e
variabili con lo stato di sollecitazione e di deformazione ottenuto dall’analisi strutturale.
Per il pannello vincolato come in Figura 3.2 lo stato di sollecitazione è, come noto dalla
Scienza delle Costruzioni, di tipo emisimmetrico (ved. Figura 3.3).
Figura 3.3 – Caratteristiche della sollecitazione interna agenti sul pannello di maschio
Definendo con:
4
5
-
σk la resistenza di calcolo a compressione σ k = 0,85 ⋅ f d ;
-
τk la resistenza di calcolo a taglio puro per trazione τ k = β ⋅ σ k ; 4
-
τc
-
σkt la resistenza di calcolo a trazione;
-
τt
la resistenza di calcolo a taglio puro per scorrimento τ c = γ ⋅ σ k ; 5
la resistenza di calcolo a taglio per trazione;
Il coefficiente β pu ò essere assunto ad esempio pari a 0,02
Il coefficiente γ pu ò essere assunto pari a β
- 44 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
τa
la resistenza di calcolo a taglio per scorrimento.
Si ipotizzano:
-
il materiale non reagente a trazione in corrispondenza delle basi;
-
il peso proprio del pannello di maschio trascurabile ai fini della resistenza a
presso-flessione di tale elemento;
-
le tensioni normali distribuite con legge lineare o costante nell’ambito della sola
analisi statica lineare.
Assegnando il pedice s alle sollecitazioni relative alla base superiore e il pedice i alle
sollecitazioni relative alla base inferiore è possibile effettuare analisi tensionali su ognuna
delle sezioni di estremità del pannello di maschio. Limitando la trattazione che segue al
procedimento di calcolo impiegato nell’analisi statica lineare, gli stati tensionali possibili
sono:
-
stato elastico a sezione interamente reagente;
-
stato limite elastico a sezione interamente reagente;
-
stato limite elastico a sezione parzialmente reagente;
-
stato elasto-plastico a sezione parzialmente reagente;
-
stato limite di plasticizzazione a sezione parzialmente reagente;
-
stato limite di plasticizzazione a sezione interamente reagente.
Definendo ora lo sforzo normale ultimo come:
Nu = σ k ⋅ B ⋅ s
è possibile adimensionalizzare sforzo normale e taglio rispetto allo sforzo normale ultimo
e l’eccentricità rispetto alla base del pannello.
N=
N
;
Nu
V =
V
;
Nu
- 45 -
e=
e
B
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
Mentre in condizione non sismica lo sforzo normale agente su ogni pannello di maschio è
pari alla sola risultante di carichi gravitazionali, in quella sismica vi è un’altra aliquota S
indotta dalle azioni sismiche orizzontali. Risulta pertanto:
N = R±S
dove:
-
R è l’aliquota di sforzo normale agente sulla base superiore del pannello di
maschio, calcolata utilizzando la combinazione sismica dei carichi;
-
S incremento o decremento di sforzo normale agente sul generico pannello di
maschio indotta dalla coppia ribaltante che nasce a causa dell’azione sismica che
agisce sulla parete al livello di ogni impalcato.
Lo sforzo S può essere semplicemente determinato utilizzando la seguente relazione
scritta in forma generalizzata:
S (i +1), j = ψ (i +1), j ⋅ ∑ Fr ⋅ Dr ,(i +1)
con
ψ i, j =
ρ i, j ⋅ d i, j
∑ρ
i, j
⋅ d i2, j
essendo:
-
ψ un coefficiente di ripartizione;
-
ρ la rigidezza estensionale del pannello e vale ρ i , j = (EA )i , j / H i , j ;
-
d la distanza tra il baricentro del pannello j e il centro delle rigidezze
estensionali;
-
Fr la forza sismica applicata ad ognuno dei due impalcati relativa alla parete
considerata;
-
Dr la distanza tra la forza Fr e il baricentro del pannello di maschio j.
L’ascissa xj,0 del centro delle rigidezze estensionali è valutata in un sistema di riferimento
cartesiano sovrapposto al piano medio della parete, attraverso la seguente relazione:
- 46 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
x j ,0 =
∑ρ ⋅x
∑ρ
i, j
i, j
i, j
Si può scrivere, dunque, che:
d i , j = xi , j − x j ,0
dove xi,j è l’ascissa del baricentro del pannello di maschio i,j.
3.4 Domini di resistenza dei pannelli di maschio
3.3.1 Domini di resistenza a presso-flessione
Per valutare il massimo taglio sopportabile a presso-flessione dal pannello di maschio
occorre definire, preliminarmente, i campi in cui possono variare e ed N :
-
per la sezione interamente reagente
-
per la sezione parzializzata
0<e<
1
1
<e< ;
6
2
1
;
6
0< N <
1
< N < 1;
2
1
.
2
Scrivendo le equazioni di equilibrio per il generico pannello di maschi tenendo in conto le
ipotesi e i parametri introdotti ai paragrafi precedenti, è possibile ottenere le relazioni che
legano taglio e sforzo normale negli stati limite elastico e plastico. Tali equazioni
descrivono le frontiere dei domini di interazione (N-V) e contengono la geometria del
pannello, il modello del materiale e l’eccentricità.
Si scrivono ora le tre equazioni di frontiera in forma adimensionalizzata per un generico
pannello vincolato a mensola:
-
per lo stato limite elastico a sezione parzializzata
[
(
)
2
1 B
V e = ⋅ ⋅ N ⋅ 3 + 6 ⋅ es − 4 ⋅ N
6 H
-
]
per lo stato limite elastico a sezione interamente reagente
- 47 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
[
(
1 B
V l = ⋅ ⋅ 1 − N ⋅ 1  6 ⋅ es
6 H
-
per lo stato limite plastico
Vp =
[
(
)
)]
2
1 B
⋅ ⋅ N ⋅ 1 + 2 ⋅ es − N
2 H
]
Ponendo e s = 0 e dividendo per due l’altezza del pannello, si ottengono relazioni analoghe
per un pannello vincolato alla Grinter:
-
Stato limite elastico a sezione parzializzata
Ve =
2
B 
4
⋅ N − ⋅ N 
H 
3

-
Stato limite elastico per sezione interamente reagente
Vl =
1 B
⋅ ⋅ 1− N
3 H
-
Stato limite plastico
Vp =
2
B
⋅ N−N
H
(
(
)
(6)
)
A queste si può aggiungere l’equazione complementare alla seconda per 0 ≤ N ≤ ½:
1 B
Vl = ⋅ ⋅N
3 H
che rappresenta il limite delle sezioni interamente reagenti nell’intervallo [0, ½].
3.3.2 Domini di resistenza a taglio
Le relazioni sino ad ora ricavate descrivono la crisi del pannello per presso-flessione. In
realtà il pannello di maschio può esibire anche un altro meccanismo di crisi: quello per
taglio.
Il diagramma delle tensioni tangenziali nelle sezioni di estremità e media hanno
andamento parabolico se il pannello è snello, altrimenti esso risulta pressoché
rettangolare. La massima tensione tangenziale, agente in corrispondenza della fibra
baricentrica della sezione, risulta pari a 1,5 volte quella media nel primo caso, mentre può
assumersi uguale ad essa nel secondo. Il coefficiente di proporzionalità tra le due tensioni
si indica con p e vale, quindi, 1 per un pannello tozzo e 1,5 per un pannello snello.
6
La relazione scritta definisce lo stato limite indicato per ½
≤N≤1
- 48 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
Di ogni pannello di maschio a questo punto si conoscono la tensione normale media e
quella tangenziale media:
σn =
N
B⋅s
τ max = p ⋅ τ n =
p ⋅V
B⋅s
Rappresentando lo stato tensionale agente sulla sezione media del pannello su un piano
di Mohr, è possibile valutare le variazione delle tensioni
σ,τ aumentando la forza
orizzontale applicata V a parità di sforzo normale N. In generale si evincono due
condizioni di rottura del pannello:
1) crisi per taglio da trazione;
2) crisi per taglio da scorrimento.
La prima si attinge nel momento i cui la circonferenza di Mohr fa assumere, in
corrispondenza di σ = 0, il valore di τ = τk definita in precedenza come resistenza di
calcolo a taglio puro da trazione. Dal punto di vista fisico il pannello subisce una rottura
di tipo diagonale e le due parti tendono ad allontanarsi l’una dall’altra. Da considerazioni
di equilibrio tra le tensioni al raggiungimento dello stato limite corrisponde, ponendo
Vk = B ⋅ s ⋅ τ k , la relazione:
Vt = Vk ⋅ 1 +
N
p ⋅ Vk
che nel piano V-N descrive la frontiera di un dominio semidefinito i cui punti interni di
coordinate (N, V) rappresentano stati di integrità della muratura non necessariamente
equilibrati. I punti appartenenti alla frontiera corrispondono a stati di crisi per taglio da
trazione.
La seconda condizione di rottura si attinge, invece, nel momento in cui la circonferenza di
Mohr fa assumere, in corrispondenza di N = 0, il valore di τ = τc definita in precedenza
come resistenza di calcolo a taglio puro per scorrimento. Dal punto di vista fisico il
pannello subisce una rottura in direzione orizzontale o diagonale e le due parti tendono a
scorrere l’una rispetto all’altra. La condizione di crisi è descritta dal criterio di MohrCoulomb, per il quale il massimo taglio sopportabile per scorrimento risulta pari a:
- 49 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
Va =
B⋅s
⋅ (τ c + µ a ⋅ σ n )
p
ove se si adotta un coefficiente d’attrito μa costante 7 si parla di taglio al limite elastico per
scorrimento apparente (Vaa), mentre se si adotta un coefficiente di attrito μe variabile
secondo la relazione:
µe =
0,17
σn 
 
σk 
2
3
si parla di taglio al limite elastico per scorrimento effettivo (Vae).
In Figura 3.4 si riporta una rappresentazione del tutto generale e in forma
adimensionalizzata dei domini di resistenza di un pannello di maschio.
Figura 3.4 – Domini di resistenza di un pannello di maschio
7
Le Norme Tecniche per le Costruzioni di cui al DM 14.01.2008 pongono il coefficiente di attrito costante μa = 0,4
- 50 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
3.5 Curve caratteristiche V-δ
3.4.1 Curva caratteristica di un pannello di maschio
Per le pareti del II e del III tipo la capacità resistente di un pannello di maschio è
generalmente inferiore a quella valutata attraverso il solo dominio di resistenza poiché
deve essere tale da rispettare anche la compatibilità cinematica con gli altri pannelli del
medesimo piano, ovvero l’uguaglianza degli spostamenti orizzontali. È dunque
necessario definire la cosiddetta curva caratteristica, che descrive graficamente il legame
presente tra taglio applicato sul pannello V e lo spostamento orizzontale relativo δ ad
esso duale.
Come descritto al § 3.3.1 si definisce con:
-
Vl il taglio al limite elastico proporzionale;
-
Ve il taglio al limite elastico non proporzionale;
-
Vp il taglio al limite plastico.
Al variare dello sforzo di taglio V applicato sul pannello si calcolano gli spostamenti δ con
le seguenti relazioni:
-
per V ≤ Vl,
δl = χ ⋅
V ⋅ H V ⋅ H3
+
G ⋅ A 12 ⋅ EI
-
per Vl ≤ V ≤ Ve,
δe = χ ⋅
V⋅H
V ⋅ H3
⋅ ζ eV +
⋅ ζ eM
G⋅A
12 ⋅ EI
-
per Ve ≤ V ≤ Vp,
δp = χ ⋅
V⋅H
V ⋅ H3
⋅ ζ pV +
⋅ ζ pM
G⋅A
12 ⋅ EI
dove i coefficienti ζ hanno le seguenti espressioni:
-
ζ eV =
1 

3
⋅ 1 − 2 ⋅ ln ⋅ (1 − η)
3 η 
2


-
ζ eM =
1
(3η)3
-
ζ pV =


1 
2
⋅ 1 + 2 ⋅ ln 

3ς 
 3 ⋅ (1 − ς )  
 17 η − 5

3
⋅
+ 12 ⋅ ln ⋅ (1 − η)

2
 1− η
- 51 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
ζ pM =
1
1
⋅
+
(3ς)3  6
2 ⋅ (ς − 1) ⋅ ln[1,5 ⋅ (1 − ς )] − 3 ⋅ ς + 1 

ς−1

avendo posto:
η=
H V
⋅
B N
e
ς=
V ⋅H
.
(Nu − N ) ⋅ B
3.4.2 Curve caratteristiche di piano
La capacità portante di piano, per ogni parete sottoposta alle azioni sismiche, si ottiene
sommando analiticamente (o anche graficamente) le curve caratteristiche di ogni pannello
dello stesso piano. Si precisa che è possibile aggiungere alla curva caratteristica di un
pannello un ramo di plasticità perfetta a (V costante all’aumentare dello spostamento δ) se
la rottura avviene per taglio. La lunghezza di tale ramo è definita assumendo un fattore di
duttilità μ = 1,5.
Si fa osservare, altresì, che la capacità portante di piano valutata per una generica parete
non è la somma delle capacità dei singoli pannelli di maschio valutate a parità di
spostamento. Nell’ambito dell’analisi statica lineare la capacità di un piano, di una parete
e di un intero edificio risulta limitata dai valori minimi dello spostamento orizzontale.
Sulla curva caratteristica di piano si definiscono, infatti, tre punti notevoli:
-
L ≡ (δb; Vb), che rappresenta il limite elastico proporzionale;
-
I ≡ (δd; Vd), che rappresenta il limite elastico proporzionale;
-
P ≡ (δu; Vu), che rappresenta il limite elastico proporzionale;
i cui spostamenti δb, δd, e δu sono quelli minimi sopportati ai diversi stati limite dei
pannelli di maschio di un medesimo piano (ved. Figura 3.5).
- 52 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 3.5 – Curve caratteristiche
3.6 Verifica dei pannelli di maschio
La verifica dei pannelli di maschio va condotta in maniera diversa a seconda se essi
appartengono ad una parete regolare o irregolare. Atteso che nella maggior parte dei casi
gli edifici in muratura sono costituiti da pareti regolari, nel seguito si esporrà il
procedimento di verifica specifico per esse. In particolare si definisce “parete regolare”
quella formata da pannelli di maschio tutti della stessa altezza e da vani allineati in
direzione verticale. In tali condizioni la variazione S dello sforzo normale dipende
esclusivamente dalla distribuzione e dall’intensità dell’azione sismica lungo l’altezza della
parete.
Le operazioni che si possono eseguire sono sostanzialmente due:
-
la verifica della parete per carichi di progetto;
-
la determinazione della capacità portante della parete.
- 53 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
3.5.1 Verifica per carichi di progetto
Tale verifica consiste nel confrontare il massimo taglio sopportabile al limite elastico o
plastico (che si può leggere graficamente sulla curva caratteristica di piano) con il
tagliante di piano dovuto alle forze di progetto. La verifica può essere condotta allo SLE o
allo SLU.
Nel caso in cui si effettui una verifica allo SLE deve risultare Vd > Ti. Se tale condizione è
verificata, il piano è in grado di sopportare le azioni di progetto assegnate. Dal punto di
vista analitico la determinazione dei tagli che sollecitano ogni pannello si differenzia in
due casi:
-
0 < Ti ≤ Vbi.
Tutti i pannelli di maschio sono interamente reagenti ed esibiscono
un comportamento elastico lineare. Lo sforzo di taglio a cui ogni pannello è
sottoposto è pari a quello valutato con la formula di Engesser perché le rigidezze
alla traslazione orizzontale sono pari a quelle assunte nella ripartizione dell’azione
sismica e le variazioni S di sforzo normale valutate per ogni pannello risultano
corrette;
-
Vbi < Ti ≤ Vdi. Almeno uno dei pannelli di maschio risulta parzializzato, il che
implica che le variazioni S di sforzo normale precedentemente calcolate sono
sbagliate. In tal caso si procede iterativamente alla determinazione dei tagli che
competono a ciascuno dei pannelli di maschio appartenenti al piano considerato.
Dal punto di vista grafico risulta, infatti, che il tagliante di progetto interseca il
ramo curvilineo della curva caratteristica.
Nel caso, invece, in cui si esegua una verifica allo SLU deve risultare Vu ≥ Ti. Se tale
condizione è soddisfatta il piano è in grado di sopportare le azioni di progetto assegnate
allo stato limite plastico. In caso contrario occorre modificare le caratteristiche
geometriche o meccaniche dei pannelli attraverso variazioni del progetto originario, se
l’edificio è di nuova costruzione, oppure interventi di consolidamento se l’edificio è
esistente.
- 54 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
3.5.2 Verifica della capacità portante
Tale operazione consente di conoscere il reale grado di sicurezza posseduto da una parete
in quanto consente di confrontare le azioni cui la parete è soggetta con le massime
sollecitazioni tollerabili. Contrariamente a quanto si potrebbe pensare il massimo carico
sopportabile dalla parete non coincide con Vu perché tale sforzo è calcolato in funzione
delle azioni di progetto assegnate. È evidente, infatti, che mutando le azioni iniziali
cambia il valore di Vu.
Per valutare la capacità portante di un piano è necessario applicare una procedura
iterativa assegnando alle azioni orizzontali valori progressivamente crescenti 8 e
ricavando, in corrispondenza del tagliante, il massimo carico sopportabile per il quale si
verifica la crisi del pannello più cimentato; le iterazioni, o meglio le analisi, si arrestano
quanto il valore del tagliante è circa uguale a quello del massimo sforzo orizzontale
sopportabile dal piano oppure quando lo sforzo normale in uno dei pannelli di maschio
decompressi diviene nullo.
Se questo procedimento iterativo lo si applica ponendo pari ad uno il coefficiente parziale
di sicurezza della muratura, si può pervenire al reale grado di sicurezza della costruzione
nei confronti dello stato limite esaminato. Nel caso in cui, invece, i domini di resistenza e
le curve caratteristiche durante le diverse iterazioni siano calcolati utilizzando un
coefficiente parziale di sicurezza γm > 1 è possibile solo valutare il rapporto tra massimo
sforzo di progetto sopportabile e quello applicato al piano.
Il coefficiente moltiplicativo dei carichi che determina la capacità portante della parete k al
generico piano i è detto moltiplicatore di crisi e lo si indica genericamente come ξi,k. Fatta
l’analisi della capacità portante per ognuna delle pareti ad ogni piano il moltiplicatore di
crisi dell’edificio, cioè quello cui corrisponde la capacità portante dell’intera struttura, è il
minore tra tutti i moltiplicatori di crisi determinati.
8 Adottare questo tipo di procedura iterativa incrementando le azioni applicate è in accordo con il principio di “controllo
di forza” sul quale l’analisi statica lineare si fonda.
- 55 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
Va osservato che la capacità così valutata rientra, sostanzialmente, nell’ambito dell’analisi
statica lineare mentre, nell’analisi push-over, essa è pressoché proporzionale al
moltiplicatore α1 costituente il denominatore del rapporto di sovraresistenza in base al
quale si può valutare un più realistico fattore di struttura q.
3.7 Verifica dei pannelli di fascia
3.6.1 Equilibrio delle fasce di piano
Al termine delle verifiche dei pannelli di maschio per essi risultano essere noti:
-
lo sforzo normale N applicato sulle sezioni di estremità;
-
lo sforzo di taglio V applicato sulle sezioni di estremità;
-
il momento flettente M proporzionale all’eccentricità posseduta da N per garantire
l’equilibrio alla rotazione.
Le sollecitazioni a cui sono sottoposti i pannelli di fascia si possono ricavare, attraverso
equazioni di equilibrio, a partire dai pannelli maschio e passando per i pannelli di nodo. Il
modo di procedere consiste nel determinare innanzitutto le sollecitazioni di un pannello
di nodo posto al livello più alto della parete e ad uno dei due estremi in modo tale da
essere parzialmente contornato da un pannello di maschio sottostante e da un pannello di
fascia adiacente.
- 56 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 3.6 – Equilibrio del pannello di nodo
In questo modo le uniche sollecitazioni incognite risultano essere quelle presenti sulla
faccia destra del pannello di nodo. Esse possono essere calcolate risolvendo le tre
equazioni di equilibrio:
∑F
i O ,i
=0
∑F
i V ,i
=0
∑m
i
i
=0
Le sollecitazioni ricavate in questo modo sono quelle che agiscono sulla faccia sinistra del
pannello di fascia adiacente al pannello di nodo.
Figura 3.7 – Equilibrio del pannello di fascia
- 57 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
Procedendo in questo modo è possibile ricavare, ancora attraverso le equazioni cardinali
della statica, le sollecitazioni agenti su tutte le facce di tutti i pannelli della fascia di piano
più elevata.
Per le fasce di piano intermedie il procedimento è del tutto analogo. Nella Figura 3.8 è
rappresentato un pannello di nodo sollecitato lungo l’intero perimetro.
Figura 3.8 – Generica condizione di equilibrio
3.6.2 Crisi dei pannelli di fascia non armati
Il pannello di fascia risulta più complesso da analizzare perché:
- 58 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
è caricato solo sulle sezioni laterali e tende a raggiungere sempre la crisi per
presso-flessione;
-
se si lesiona la parete non è più del III tipo, per cui le verifiche effettuate per i
pannelli di maschio non sono più corrette.
La verifica dei pannelli di fascia è condotta, pertanto, allo SLE in quanto si vuole garantire
sempre l’ipotesi di fascia di piano rigida posta alla base della verifica dei pannelli di
maschio supposti vincolati “alla Grinter”.
Atteso che i pannelli di fascia non sono vincolati come quelli di maschio, le sollecitazioni
sono diverse tra sezione di destra e sezioni di sinistra sicché entrambe devono essere
oggetto di verifica.
Proprio per tale motivo i domini V-N dei pannelli di fascia non sono più bidimensionali,
ma presentano come terza variabile indipendente l’eccentricità.
Per procedere alla verifica si considera il pannello di fascia sottoposto alle seguenti azioni
esterne ed interne:
Figura 3.9 – Pannello di fascia
La convenzione che si assume sui segni è:
-
N > 0 se lo sforzo è di compressione;
-
M > 0 se ha verso destrogiro;
-
V > 0 se genera momenti orari rispetto al pannello;
-
e>0
se N genera momenti orari.
Si definiscono inoltre:
Nu = σ k ⋅ H ⋅ s ;
N = N / Nu ;
- 59 -
V = V / Nu ;
e = e/ H
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
P = P / Nu ;
Q = Q / Nu ;
f = f /H
F = F / Nu ;
La logica che si segue nelle verifiche è quella di considerare le sollecitazioni presenti su
una faccia e verificare se per quelle sollecitazioni si raggiunge la crisi sull’altra faccia. Da
queste considerazioni, chiaramente effettuate allo SLE, si giunge all’espressione che
esprime il taglio in funzione della geometria del pannello, dello sforzo normale,
dell’eccentricità, della forza orizzontale con la sua eccentricità, del peso del pannello e del
carico trasmesso dall’impalcato.
V = f (N , e, H , B, F , P, Q, f )
Si riportano, di seguito, le espressioni in forma adimensionalizzata che consentono di
procedere in maniera pratica alle verifiche dei pannelli di fascia per 0 ≤ N ≤ 0 ,5 .
-
SLE sulla sezione di sinistra:
d
d
V max
-
(
) ( )
( ) ( )
(
) (
)
2
d
d
3B 
H  d
⋅ 3 N ⋅ 2e + 1 − 4 ⋅ N − F + 6 F ⋅ f − 1 + P + Q ⋅ 
6B 
H
2
d
d
3B 
H  d
=−
⋅ 3N ⋅ 2e − 1 − 4 ⋅ N − F + 6 F ⋅ f + P + Q ⋅ 
6B 
H
V min = −
(
)
(
)
SLE sulla sezione di destra:
s
(
s
V max
) ( )
) ( )
2
s
s
3B 
H  s
⋅ 3 N ⋅ 2e + 1 − 4 ⋅ N − F + 6 F ⋅ f − P + Q ⋅ 
6B 
H
2
s
s
3B 
H  s
=−
⋅ 3 N ⋅ 2e − 1 + 4 ⋅ N − F + 6 F ⋅ f − 1 − P + Q ⋅ 
6B 
H
V min = −
(
(
) (
)
Queste relazioni, così come quelle riportate per i pannelli di maschio, definiscono i domini
di resistenza N-V con la particolarità che per i pannelli di fascia essi risultano
tridimensionali. E’ tuttavia possibile la rappresentazione di tali domini fissando una
variabile tra sforzo normale, taglio e momento flettente e rappresentando il dominio
bidimensionale che si ha per l’aver reso costante la variabile scelta.
Oltre alla crisi per presso-flessione, il pannello di fascia può trovarsi anche in una
condizione di crisi per taglio. Le relazioni che definiscono i domini semidefiniti per crisi
di taglio da trazione e taglio da scorrimento sono le medesime introdotte e definite per la
verifica dei pannelli di maschio.
- 60 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
Dall’esperienza risulta comunque che la crisi del pannello di fascia avviene generalmente
per il raggiungimento dello Stato Limite di Esercizio per presso-flessione.
3.6.3 Crisi per presso-flessione dei pannelli di fascia armati
Per lo studio della crisi per pressoflessione dei pannelli di fascia armati si formulano le
seguenti ipotesi relative ai materiali:
-
muratura priva di resistenza a trazione, comportamento a compressione elastofragile dove si fa corrispondere la tensione normale di rottura ad una deformazione
al limite elastico εme;
-
armatura resistente a trazione e a compressione costituita da un materiale dotato
di un comportamento elasto-plastico con deformazione al limite elastico εae
corrispondente alla tensione al limite elastico fa e deformazione ultima εu. Nel caso in
cui l’armatura sia realizzata in acciaio la si farà lavorare solo in campo elastico e la
tensione fa la si assumerà pari a quella di snervamento fy;
-
si trascura la presenza dell’armatura in zona compressa.
Si esaminano ora i tre casi di sollecitazione possibili:
a) sezione parzializzata con armatura tesa;
b) sezione parzializzata con armatura compressa;
c) sezione interamente reagente compressa.
Per quanto riguarda il caso a) lo sforzo normale al limite di elasticità della muratura in
presenza di armatura vale:
N=
b ⋅ s ⋅σ k
− Aa ⋅ σ a
2
indicando con:
-
b
la distanza dall’asse neutro della sezione al bordo compresso;
-
Aa l’area dell’armatura del pannello;
-
σa la tensione normale dell’armatura.
- 61 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
Nell’ipotesi di conservazione delle sezioni piane, indicando con h l’altezza utile della
sezione si deve avere:
ε me
b
=
εa
( h − b)
Ricavando la profondità dell’asse neutro b da questa relazione e sostituendo
nell’equazione di equilibrio alla traslazione della sezione, si ottiene:
2 ⋅ Aa ⋅ E a ⋅ ε a2 + (2 ⋅ N + 2 ⋅ Aa ⋅ E a ⋅ ε me ) ⋅ ε a − h ⋅ ε me ⋅ s ⋅ σ k + 2 ⋅ ε me ⋅ N = 0
Quando l’armatura raggiunge il limite elastico la profondità dell’asse neutro raggiunge il
suo valore minimo, definita da:
be =
ε me
⋅h
ε me + ε ae
cui corrisponde lo sforzo normale al limite elastico della muratura:
Ne =
ε me
s ⋅σ k
⋅h⋅
− Aa ⋅ f a
2
ε me + ε ae
Tale valore di sforzo normale separa due tipologie di comportamento della sezione:
-
N < Ne l’armatura è in campo plastico risultando b < be ed εa > εae;
-
N > Ne l’armatura è in campo elastico risultando b > be ed εa < εae. Questa è la
condizione in cui è necessario trovarsi se si vuole mantenere l’ipotesi di pareti del
III tipo.
L’armatura resta tesa fino a quando il valore dello sforzo normale (che viene chiamato No
in questo caso) non raggiunge il valore corrispondente a σa ed εa. Nell’intervallo Ne < N <
N0 l’armatura risulta essere sempre tesa in campo elastico e la sezione sempre
parzializzata.
Per passare da sezione parzializzata a sezione interamente reagente (caso b)) è necessario
che uno dei due bordi attinga il valore nullo di tensione che corrisponde a:
εa =
c ⋅ ε me
H
con c che rappresenta il copriferro dell’armatura. Il valore dello sforzo normale
corrispondente, dunque, al limite elastico di parzializzazione della sezione risulta essere pari
a:
- 62 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
Nr =
H ⋅ s ⋅σ k
c
+ Aa ⋅ E a ⋅ ⋅ ε me
2
H
Per No < N < Nr la sezione risulta parzializzata con armatura compressa in regime elastico
e muratura al limite elastico.
Per quanto riguarda invece il caso c) relativo alla sezione interamente reagente, tale
circostanza si verifica quando risulta Nr < N < Nm con:
Nm =

H ⋅ s ⋅σ k 
ε
⋅  H − 2c + ae ⋅ H  + Aa ⋅ f a
2 ⋅ ( H − c) 
ε me

che rappresenta il massimo valore dello sforzo normale sopportabile dal pannello armato
allo stato limite elastico.
In conclusione, nel caso di pannello di fascia armato, per definire i domini di resistenza
occorre determinare i valori dello sforzo normale al limite elastico Ne, Nr, Nm grazie ai
quali è possibile individuare il comportamento della sezione per effetto dello sforzo
normale realmente applicato.
Si riportano, di seguito, le espressioni in forma adimensionalizzata che consentono di
procedere in maniera pratica alle verifiche dei pannelli di fascia per N e ≤ N ≤ N r .
-
SLE sulla sezione di sinistra:
)
(
(
)
d
s 
 d s
1
B

⋅ N ⋅ e + e + P + Q ⋅
+ F ⋅  f − − e 
2H
2



s
 s ⋅σ k ⋅ b  H b 
1
H 

ee = ± s
⋅
⋅  −  + Aa ⋅ E a ⋅ ε a ⋅  h − 
2 
N ⋅H  2

 2 3
d
V =−
H
B
d
e =
-
Md
Nd ⋅H
(
Ns = Nd −F
)
SLE sulla sezione di destra:
- 63 -
- Capitolo 3 – Il metodo di calcolo RAN _____________________________________________________________________________________________________________________________
)
(
(
)
d
d 
 s s
B
1

⋅ N ⋅ e + e − P + Q ⋅
+ F ⋅  f − + e 
2H
2



d
 s ⋅σ k ⋅ b  H b 
1
H 

ee = ± d
⋅
⋅  −  + Aa ⋅ E a ⋅ ε a ⋅  h − 
2 
N ⋅H  2

 2 3
s
V =−
H
B
s
e =
Ms
Ns ⋅H
(
)
Nd = Ns + F
Il segno positivo dell’eccentricità è riferito all’armatura superiore e quello negativo
all’armatura inferiore.
Queste relazioni, così come quelle mostrate in precedenza, definiscono dei domini di
resistenza tridimensionali. Come già detto in precedenza, è tuttavia possibile la
rappresentazione piana di tali domini fissando una variabile tra sforzo normale, taglio e
momento flettente.
- 64 -
Capitolo 4 - Verifica di un edificio esistente in muratura
Il seguente capitolo tratta le verifiche di sicurezza di una costruzione esistente in
muratura nel rispetto delle NTC di cui al DM 14.01.2008 e della bozza di Circolare
Attuativa recante la data 07.03.2008, condotte attraverso il metodo di calcolo RAN.
4.1 Descrizione dell’edificio
L’edificio di cui si intende effettuare la verifica è un manufatto destinato a civili abitazioni
sito nel Comune di Torino. Esso presenta una pianta ad L e si compone di quattro cellule
abitative disposte su due livelli collegati da una scala unica in c.c.a. a soletta rampante.
L’ingresso dell’edificio è unico ed è costituito da un atrio dal quale hanno accesso le due
cellule abitative al piano terreno. Attraverso la scala è possibile raggiungere il piano
superiore ove sono ubicati altri due appartamenti. Le quattro unità abitative risultano
essere a due a due uguali lungo le due verticali dell’edificio per forma ma non per
superficie utile in quanto a causa del restringimento delle sezioni strutturali nel passaggio
dal piano terreno a quello superiore, essa risulta maggiore per quest’ultimo. L’altezza di
interpiano è pari 4,00 m, mentre l’altezza totale dell’edificio risulta pari a 8,00 m. La
copertura è piana e non praticabile.
Si riportano di seguito (Figura 4.1 e Figura 4.2) le piante architettoniche dell’edificio di cui
si intende effettuare la verifica.
- 65 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.1 – Pianta architettonica del piano terra
- 66 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.2 – Pianta architettonica del piano primo
- 67 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
4.2 Modellazione
4.2.1 Modello geometrico
La struttura presenta, come detto, pianta ad L con dimensioni massime pari a 18,45 m e
26,15 m (ved. Figura 4.1 e Figura 4.2).
Il DM 14.01.2008 definisce AL § 7.2.2 i criteri di seguito riportati per la definizione della
regolarità in pianta e in altezza degli edifici.
Una costruzione è “regolare in pianta” se tutte le seguenti condizioni sono rispettate:
a) la configurazione in pianta è compatta e approssimativamente simmetrica rispetto
a due direzioni ortogonali, in relazione alla distribuzione di masse e rigidezze;
b) il rapporto tra i lati di un rettangolo in cui la costruzione risulta inscritta è inferiore
a 4;
c) nessuna dimensione di eventuali rientri o sporgenze supera il 25% della
dimensione totale della costruzione nella corrispondente direzione;
d) gli orizzontamenti possono essere considerati infinitamente rigidi nel loro piano
rispetto agli elementi verticali e sufficientemente resistenti.
Una costruzione è “regolare in altezza” se tutte le seguenti condizioni sono rispettate:
e) tutti i sistemi resistenti verticali (quali pareti e telai) si estendono per l’intera
altezza della costruzione;
f) massa e rigidezza rimangono costanti o variano gradualmente, senza bruschi
cambiamenti, dalla base alla sommità della costruzione (le variazioni di massa da
un orizzontamento all’altro non superano il 25%, la rigidezza non si riduce da un
orizzontamento a quello sovrastante più del 30% e non aumenta più del 10%);
g) nelle strutture intelaiate il rapporto fra la resistenza effettiva e quella richiesta9,
calcolata ad un generico orizzontamento, non deve differire più del 20%
Il rapporto tra resistenza effettiva e quella richiesta è esattamente l’inverso del “tasso di sollecitazione” definito al §
5.2.4. Il tasso di sollecitazione, dunque, può essere utilizzato anche come indice di regolarità di una struttura.
9
- 68 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
dall’analogo rapporto determinato per un altro orizzontamento con eccezione per
l’ultimo orizzontamento di strutture intelaiate di almeno tre orizzontamenti;
h) eventuali restringimenti della sezione orizzontale della costruzione avvengono in
modo graduale da un orizzontamento al successivo, rispettando i seguenti limiti:
ad ogni orizzontamento il rientro non supera il 30% della dimensione
corrispondente
al
primo
orizzontamento,
né
il
20%
della
dimensione
corrispondente all’orizzontamento immediatamente sottostante. Fa eccezione
l’ultimo orizzontamento di costruzioni di almeno 4 piani per il quale non sono
previste limitazioni di restringimento.
Secondo i criteri innanzi elencati la struttura oggetto di verifica risulta essere irregolare in
pianta, perché non sono rispettate le condizioni (a) e (c) e, irregolare in altezza, non
essendo rispettata la condizione (e). La rigidezza estensionale degli impalcati si ritiene
garantita dal momento che essi risultano costituiti da solai latero-cementizi con soletta di
spessore 5 cm.
Per le costruzioni non regolari in pianta, così come previsto al § 7.3.1 delle NTC, è
comunque possibile eseguire un’analisi statica lineare a patto di adottare un rapporto di
sovraresistenza αu/α1 pari alla media tra il valore 1,0 e quello tabellato in funzione della
tipologia strutturale10.
4.2.1.1 Elementi strutturali verticali
Tutti gli elementi strutturali verticali della costruzione in oggetto sono costituiti da pareti
in muratura di pietrame dello spessore di 80 cm per il piano terra e di 70 cm per il primo
piano (il restringimento della sezione strutturale è inferiore al 20% così come previsto dal
§ 7.2.2 del DM 14.01.2008). La muratura è a singolo paramento non listata. Considerazioni
più specifiche circa la sua composizione sono fatte nel § 4.2.3 relativo al modello
meccanico.
Nel caso di costruzioni in muratura con almeno due piani fuori terra il valore del rapporto di sovraresistenza fornito
dalle NTC è pari a 1,8.
10
- 69 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Per la tipologia di muratura presente nell’edificio il § 4.5 del DM 14.01.2008, relativo alle
costruzioni lapidee pone le seguenti restrizioni sulla sezione delle pareti:
-
s ≥ 500mm;
-
H/s ≥ 10;
-
B/H ≥ 0,5.
Esse risultano sempre soddisfatte così come si evince dagli elaborati grafici.
Tutte le pareti sono collegate tra loro da cordoli di piano in cemento armato avente la
funzione di conferire un comportamento “scatolare” all’edificio, ovvero di farle
collaborare insieme nell’assorbimento delle azioni sismiche orizzontali. In tali condizioni
pareti disposte in direzione parallela a quella delle forze esterne fronteggiano
quest’ultima in maniera proporzionale alla loro rigidezza alla traslazione orizzontale.
4.2.1.2 Elementi strutturali orizzontali
Gli elementi strutturali orizzontali (impalcati) risultano essere costituiti da solai in
calcestruzzo armato misto a laterizi, gettati in opera. L’orditura di tali solai è desumibile
dagli allegati grafici ed ha lo scopo di caricare la struttura nel modo più uniforme e
naturale possibile (ved. Figura 4.3).
Lo spessore del solaio è di 25 cm e rispetta la condizione imposta dalle NTC:
h=
1
1
⋅ lmax =
⋅ 5,25 m = 21 cm < 25 cm
25
25
4.2.1.3 Organizzazione strutturale
Circa l’organizzazione strutturale le costruzioni in muratura possono suddividersi in tre
tipologie:
- 70 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
I classe.
Edifici in cui, oltre agli elementi verticali, anche gli impalcati sono in
muratura. Le pareti risultano caricate da forze verticali ed orizzontali che,
combinandosi, generano presso-flessione. Occorre, quindi, che esse abbiano
spessori elevati.
-
II classe.
Edifici in cui gli impalcati sono costituiti da travi in legno o in acciaio e,
non trasmettendo carichi orizzontali, consentono la realizzazione di pareti più
snelle. Tali solai non garantiscono alcun collegamento tra le pareti.
-
III classe. Edifici in cui gli impalcati sono realizzati in cemento armato. Potendo
assumere gli orizzontamenti rigidi nel proprio piano, è possibile ripartire l’azione
sismica sugli elementi strutturali verticali (pannelli di maschio) in maniera
proporzionale alle rispettive rigidezze.
L’edificio in muratura che oggetto di verifica è di III classe ed esibisce un comportamento
strutturale di tipo “scatolare” grazie ai seguenti requisiti:
-
collegamento delle pareti;
-
impalcati rigidi nel proprio piano.
In realtà sarebbe da menzionare anche la presenza di spigoli ben solidali ma, essendo una
condizione non sempre rispettata dalle maestranze in cantiere e difficilmente modellabile
con accuratezza, si preferisce non tenerne conto.
Il collegamento delle pareti garantisce che tutte le pareti siano chiamate a fronteggiare
l’azione sismica ed è realizzato con cordoli di piano in calcestruzzo armato, la cui
larghezza è pari alla metà dello spessore della parete.
Il fatto che gli impalcati possano essere assunti rigidi nel proprio piano garantisce che la
ripartizione dell’azione sismica orizzontale tra le pareti avvenga in modo proporzionale
alle rispettive rigidezze.
Si riportano di seguito gli elaborati grafici relativi alla modellazione geometrica della
struttura secondo quando stabilito dal metodo RAN.
- 71 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.3 – Pianta strutturale con discretizzazione pareti lungo l’asse x
- 72 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.4 – Pianta strutturale con discretizzazione pareti lungo l’asse y
- 73 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.5 – Prospetto parete 1
Figura 4.6 – Prospetto parete 2
Figura 4.7 – Prospetto parete 3
- 74 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.8 – Prospetto parete 4
Figura 4.9 – Prospetto parete 5
Figura 4.10 – Prospetto parete 6
- 75 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.11 – Prospetto parete 7
Figura 4.12 – Prospetto parete 8
Figura 4.13 – Prospetto parete 9
- 76 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Nella Figura 4.3 e nella Figura 4.4 si possono osservare le piante strutturali dell’edificio
oggetto di verifica, nelle quali è visibile la discretizzazione in macro-elementi secondo la
direzione x ed y. Nelle Figure dalla 4.5 alla 4.13, invece, si mostrano i prospetti strutturali
delle pareti. In particolare, si fa osservare che la numerazione dei livelli (fasce di piano e
strisce orizzontali comprendenti pannelli di maschio e vani) è stata assunta crescente
dall’alto
verso
il
basso,
mentre
quella
delle
strisce
verticali
(comprendenti,
alternativamente, le coppie pannello di maschio-pannello di nodo e vano-pannello di
fascia) è stata definita come crescente da sinistra verso destra. Ciascun pannello risulta,
pertanto, identificato dagli indici i,j,k rappresentativi della striscia verticale, del livello e
della parete di appartenenza.
4.2.2 Modello delle azioni
Una buona analisi strutturale deve necessariamente essere sostenuta da un’accurata
modellazione delle azioni. E’ infatti assolutamente indispensabile, per garantire la
sicurezza, considerare tutte le azioni che possono intervenire sulla struttura
schematizzandole opportunamente nel modello di calcolo.
Una prima distinzione che può essere fatta tra le azioni è la seguente:
-
azioni DIRETTE, cioè schematizzabili con forze o coppie;
-
azioni INDIRETTE, cioè schematizzabili con distorsioni e spostamenti impressi.
Nel progetto che si sta eseguendo non vengono prese in considerazione distorsioni o
spostamenti imposti dovuti a cedimenti vincolari, variazioni termiche o altro, per cui le
azioni si ritengono sempre applicate direttamente alla struttura.
Un’altra classificazione è quella che divide le azioni in:
-
STATICHE, se non imprimono accelerazioni alla struttura;
-
DINAMICHE, se imprimono velocità e accelerazioni alle masse applicate alla
costruzione.
- 77 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Risulta ovviamente conveniente (sebbene sia impreciso) trattare le azioni dinamiche
(sismiche o meno) come statiche equivalenti, cioè applicate alla struttura senza eccitare le
masse ivi presenti ma tali da indurre gli stessi effetti di quelli realmente agenti. Ciò
premesso è lecito effettuare per la struttura esistente in oggetto analisi statiche lineari e
non lineari.
In accordo con il § 2.5.1.8 del DM 14.01.2008, le azioni che saranno prese in considerazione
nell’analisi strutturale si classificano comee segue:
-
G1
azioni permanenti dovute a pesi propri o a carichi strutturali;
-
G2
azioni permanenti dovute a pesi propri o a carichi non strutturali;
-
Q1
azioni variabili di lunga durata (nel caso specifico carichi accidentali);
-
Q2
azioni variabili di breve durata (nel caso specifico carichi da neve).
Individuate le azioni agenti sulla struttura secondo la loro categoria di appartenenza è
possibile, ai fini delle verifiche, eseguire la loro combinazione a mezzo dei coefficienti di
combinazione ψ e dei coefficienti parziali di sicurezza γ che amplificano le azioni, definiti
nelle tabelle 2.5.I e 2.6.I del DM 14.01.2008.
Le combinazioni di carico utilizzate per l’analisi dell’edificio in muratura sono riportate
nel seguito al § 4.2.2.2 del presente elaborato di tesi.
Si riportano, di seguito, le Tabelle da 4.1 a 4.4 contenenti l’analisi dei carichi dei solai
presenti nell’edificio in oggetto.
Solaio Tipo
Elemento
n.
Soletta in c.a.
Travetti in c.a.
2
L
H
γ
Peso unitario
[m]
[m]
[kN/m3]
[kN/m2]
1,00
0,05
25
1,25
0,10
0,20
25
1,00
G1 =
Pignatte
2
2,25
0,40
0,20
8
1,28
Sottofondo pavimentazione
1,00
0,04
15
0,60
Pavimento in marmo
1,00
0,03
20
0,60
Intonaco di calce
1,00
0,015
20
0,30
Incidenza tramezzi
1,20
G2 =
- 78 -
3,98
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Q1 =
2,00
Tabella 4.1 – Analisi dei carichi per il solaio tipo
Solaio Copertura
Elemento
n.
Soletta in c.a.
Travetti in c.a.
2
L
H
γ
Peso unitario
[m]
[m]
[kN/m3]
[kN/m2]
1,00
0,05
25
1,25
0,10
0,20
25
1,00
G1 =
Pignatte
2
2,25
0,40
0,20
8
1,28
Mass. pendenze + imperm.
1,00
0,20
15
3,00
Intonaco di calce
1,00
0,015
20
0,30
G2 =
4,58
Q1 =
0,50
Q2 =
0,43
Tabella 4.2 – Analisi dei carichi per il solaio di copertura
Sbalzi
Elemento
n.
Soletta in c.a.
Travetti in c.a.
2
L
H
γ
[m]
[m]
[kN/m ]
1,00
0,05
25
1,25
0,10
0,20
25
1,00
Peso unitario
3
G1 =
Pignatte
2
[kN/m2]
2,25
0,40
0,20
8
1,28
Sottofondo pavimentazione
1,00
0,04
15
0,60
Pavimento in marmo
1,00
0,03
20
0,60
Intonaco di calce
1,00
0,015
20
0,30
Tabella 4.3 – Analisi dei carichi per gli sbalzi
- 79 -
G2 =
2,78
Q1 =
4,00
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Scale
Elemento
n.
Soletta in c.a.
L
H
γ
[m]
[m]
[kN/m ]
1,00
0,15
25
Peso unitario
3
[kN/m2]
G1 =
3,75
3,75
Sottofondo pavimentazione
1,00
0,04
15
0,60
Pavimento in marmo
1,00
0,03
20
0,60
Intonaco di calce
1,00
0,015
20
0,30
G2 =
1,50
Q1 =
4,00
Tabella 4.4 – Analisi dei carichi solaio scale
Si precisa che il valore dei carichi variabili Q1 è stato desunto, in funzione della tipologia
di solaio trattato, dalla tabella 3.1.II del DM 14.01.2008; quello relativo al carico variabile
da neve Q2 è stato invece ricavato come segue, rispettando le prescrizioni contenute nel §
3.4.1 del medesimo Decreto.
Il carico da neve in copertura, valutato per l’unità di superficie, può essere espresso come:
q s = µ i ⋅ q sk ⋅ C E ⋅ Ct
dove:
-
μi
è il coefficiente di forma definito al § 3.4.5 delle NTC che, nel caso in esame,
vale 0,8;
-
qsk è il valore di riferimento del carico neve al suolo fornito al § 3.4.2 delle NTC
per un periodo di ritorno di 50 anni che, nel caso in esame, vale 0,6 kN/m2;
-
CE
è il coefficiente di esposizione fornito al § 3.4.3 delle NTC che, nel caso in
esame, vale 0,9;
-
Ct è il coefficiente termico fornito al § 3.4.4 delle NTC che, nel caso in esame, vale
1,0.
Si ottiene pertanto:
qs = Q2 = 0,43 kN / m 2
- 80 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
4.2.2.1 Caratterizzazione dell’input sismico
Si caratterizzano nel presente paragrafo i parametri descritti al § 1.4 per l’edificio oggetto
della verifica sismica. Esso è ubicato su di un suolo classificabile nel seguente modo:
-
categoria C. Depositi di terreni a grana grossa mediamente addensati o a grana
fine mediamente consistenti;
-
categoria T1. Superficie pianeggiante con isolati rilievi o pendii con i ≤ 15%.
Attraverso questa classificazione è possibile definire il parametro S, coefficiente che tiene
conto della categoria del sottosuolo e delle condizioni topografiche. Esso è pari a:
S = S S ⋅ ST
dove Ss è il coefficiente di amplificazione stratigrafico definito nella tabella 3.2.V del DM
14.01.2008 in funzione della categoria del suolo; risulta nel caso specifico pari a 1,50 per
entrambi gli stati limite considerati. ST è, invece, il coefficiente di amplificazione
topografica desumibile dalla tabella 3.2.VI del sopracitato Decreto e, in tal caso, risulta
pari a 1,0. Risulta pertanto:
S = 1,50
Per quanto riguarda la determinazione del fattore che quantifica l’amplificazione spettrale
massima Fo dell’accelerazione orizzontale massima ag e del periodo di inizio del ramo a
velocità costante T*C, i loro valori sono ottenibili dalla tabella allegata alle NTC in funzione
delle coordinate geografiche del sito, una volta definiti il periofo di riferimento della
struttura VR e il periodo di ritorno TR. Le coordinate del sito sono: latitudine 45°,078 Nord
e longitudine 7°,676 Est. Il periodo di riferimento della struttura è dato dal prodotto della
vita nominale VN, che per le costruzioni di tipo II (quale è quella in oggetto) è pari a 50
anni, per il coefficiente d’uso che, per un edificio con normale affollamento di classe II, è
pari a 1,0. Risulta dunque: VR = 50.
allo SLD TR = 1 ∙ VR = 1 ∙ 50 = 50 anni
allo SLV TR = 1 ∙ VR = 9,5 ∙ 50 = 475 anni
Dall’Allegato “A” alle NTC si evincono, dunque, i seguenti valori di parametri di
pericolosità di base:
- 81 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Stato Limite
TR [anni]
ag [g]
F0
T*C [s]
SLD
50
0,0287
2,592
0,195
SLV
475
0,0549
2,759
0,271
Tabella 4.5 – Pericolosità sismica di base allo SLD e allo SLV
Si possono definire inoltre:
-
TC. Periodo corrispondente alla fine del ramo ad accelerazione costante, definito
come il prodotto tra T*C e il coefficiente CC desubile dalla tabella 3.2.V in funzione
della categoria di sottosuolo. Tc risulta, pertanto, pari a 0,351 s allo SLD e a 0,438 s
allo SLV.
-
TB. Periodo corrispondente all’inizio del ramo ad accelerazione costante dello
spettro. È definito dalle NTC come Tc / 3, per cui nel caso in esame vale 0,117 s allo
SLD e 0,146 s allo SLV.
-
TD. Periodo corrispondente all’inizio del ramo a spostamento costante dello
spettro. Esso è definito come TD = 4 ,0 ⋅
ag
g
+ 1,6 , per cui nel caso specifico risulta pari
a 1,715 s allo SLD e 1,820 s allo SLV.
Dal § 7.8.1.3 del DM 14.01.2008 si evince che il fattore di struttura q è dato da:
q = q0 ⋅ K R
ove q0 rappresenta il valore massimo del fattore di struttura, assunto per le costruzioni in
muratura ordinaria pari a:
q0 = 2,0 ⋅
αu
α1 .
Il rapporto αu/α1, secondo quanto sancito al § 7.3.1 delle NTC, per una struttura non
regolare in pianta è da ritenersi pari, alla media aritmetica tra 1,0 e 1,8 (valore fornito dalla
norma per le costruzioni in muratura ordinaria con due o più piani). Secondo lo stesso
paragrafo del Decreto il fattore riduttivo KR è da ritenersi pari a 0,8 per le strutture non
regolari in altezza. Risulta pertanto:
- 82 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
q = 2,0 ⋅ 1,4 ⋅ 0,8 = 2,24
Risulta ora possibile tracciare graficamente gli spettri di risposta di progetto in termini di
accelerazione Sd(T) e valutare quest’ultima in corrispondenza del periodo proprio di
oscillazione della struttura, definito dalla normativa pari a:
3
3
T = 0,05 ⋅ H 4 = 0,05 ⋅ (8,00) 4 = 0,238 s .
Stato
Sd(T)
Limite
[g]
SLD
0,0915
SLV
0,1015
Tabella 4.6 – Accelerazioni sismiche di progetto
Figura 4.14 – Spettri di progetto in termini di accelerazione
- 83 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
In considerazione di quanto descritto al § 1.4.3 e con riferimento alla combinazione di
carico sismica N. 23 definita al successivo § 4.2.2.2 per la quale si esegue in maniera
completa l’analisi statica lineare allo Stato Limite di salvaguardia della Vita, le forze
equivalenti al sisma assumono i valori riportati nella tabella seguente:
Impalcato
Fx,y [kN]
i=1
889,56
i=3
800,73
Tabella 4.7 – Distribuzione dell’azione sismica lungo l’altezza
La generica forza orizzontale Fi si considera applicata, separatamente lungo le direzioni x
e y della pianta, nel baricentro delle masse dell’impalcato le cui coordinate cartesiane sono
riportate nella seguente tabella:
Impalcato
XG [m]
YG [m]
i=1
12,62
10,89
i=3
12,48
10,75
Tabella 4.8 – Coordinate dei baricentri delle masse
4.2.2.2 Combinazioni di carico
Per la verifica dell’edificio oggetto di studio si utilizzano le seguenti combinazioni di
carico, secondo quanto stabilito al § 2.5.3 del DM 14.01.2008.
-
Analisi in condizione non sismica
- 84 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
N.
GK1
GK2
QK1
QK2
Sisma x
Sisma y
ex
ey
1
1,3
1,3
1,5
0
0
0
0
0
2
1
1
0,5
0
0
0
0
0
3
1
1
0,3
0
0
0
0
0
Tabella 4.9 – Combinazioni di carico per azioni non sismiche
-
Analisi statiche lineari allo SLV
N.
GK1
GK2
QK1
QK2
Sisma x
Sisma y
ex
ey
1
1
1
0,3
0
- 0,3
-1
0
-1
2
1
1
0,3
0
- 0,3
-1
-1
0
3
1
1
0,3
0
- 0,3
-1
0
1
4
1
1
0,3
0
- 0,3
-1
1
0
5
1
1
0,3
0
- 0,3
1
0
-1
6
1
1
0,3
0
- 0,3
1
-1
0
7
1
1
0,3
0
- 0,3
1
0
1
8
1
1
0,3
0
- 0,3
1
1
0
9
1
1
0,3
0
-1
- 0,3
0
-1
10
1
1
0,3
0
-1
- 0,3
-1
0
11
1
1
0,3
0
-1
- 0,3
0
1
12
1
1
0,3
0
-1
- 0,3
1
0
13
1
1
0,3
0
-1
0,3
0
-1
14
1
1
0,3
0
-1
0,3
-1
0
15
1
1
0,3
0
-1
0,3
0
1
16
1
1
0,3
0
-1
0,3
1
0
17
1
1
0,3
0
1
- 0,3
0
-1
18
1
1
0,3
0
1
- 0,3
-1
0
19
1
1
0,3
0
1
- 0,3
0
1
20
1
1
0,3
0
1
- 0,3
1
0
21
1
1
0,3
0
1
0,3
0
-1
22
1
1
0,3
0
1
0,3
-1
0
23
1
1
0,3
0
1
0,3
0
1
24
1
1
0,3
0
1
0,3
1
0
25
1
1
0,3
0
0,3
-1
0
-1
26
1
1
0,3
0
0,3
-1
-1
0
27
1
1
0,3
0
0,3
-1
0
1
28
1
1
0,3
0
0,3
-1
1
0
29
1
1
0,3
0
0,3
1
0
-1
30
1
1
0,3
0
0,3
1
-1
0
31
1
1
0,3
0
0,3
1
0
1
32
1
1
0,3
0
0,3
1
1
0
Tabella 4.10 – Combinazioni di carico per le analisi statiche lineari allo SLV
- 85 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
Analisi statiche non lineari (push-over)
N.
GK1
GK2
QK1
QK2
Sisma x
Sisma y
ex
ey
1
1
1
0,3
0
1
0
0
1
2
1
1
0,3
0
1
0
0
-1
3
1
1
0,3
0
-1
0
0
1
4
1
1
0,3
0
-1
0
0
-1
5
1
1
0,3
0
0
1
1
0
6
1
1
0,3
0
0
1
-1
0
7
1
1
0,3
0
0
-1
1
0
8
1
1
0,3
0
0
-1
-1
0
Tabella 4.11 – Combinazioni di carico per le analisi push-over
4.2.3 Modello dei materiali
La modellazione dei materiali consiste nel descrivere il comportamento fisico-meccanico
di un materiale attraverso equazioni e parametri che siano sufficientemente semplici da
definire e da trattare analiticamente.
Per modellare matematicamente il comportamento di un materiale è necessario conoscere:
-
il legame costitutivo, che descrive come il materiale di deforma al variare delle
tensioni 11;
-
il valore della tensione massima che esso può sopportare;
-
il valore della deformazione in corrispondenza della tensione massima;
-
la deformazione ultima e la tensione ad essa associata;
-
eventuali singolarità in termini di isotropia, omogeneità, etc.
La muratura è un assemblaggio di due materiali: unità lapidee e malte. E’ evidente,
quindi, che essa non è un materiale poiché si presenta eterogenea, anisotropa e dotata di
un comportamento elasto-plastico non lineare. Per adattare dunque i procedimenti della
11 Nella Teoria dell’Elasticità, supponendo valide le ipotesi di isotropia e di omogeneità del materiale, sono sufficienti per
la definizione del legame costitutivo solo due coefficienti: il modulo di elasticità normale E e il modulo di elasticità
tangenziale G.
- 86 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Meccanica del Continuo alla muratura bisogna modellarla attraverso un materiale
equivalente ipotizzato isotropo e omogeneo. Per caratterizzare matematicamente il
materiale equivalente è necessario aver ben presente che le caratteristiche della muratura
dipendono dalla: qualità della pietra, della malta e della posa in opera.
Di seguito si caratterizza la muratura di cui si compongono le pareti della struttura
oggetto di verifica.
Nel caso specifico essa è realizzata con elementi di pietrame naturale di dimensioni miste,
senza listature, singolo paramento e con malta di tipo cementizia in buono stato, priva di
lesioni e spaccature tali da sgretolarsi al tatto.
Per quanto riguarda resistenze e moduli elastici di tale muratura, si può fare riferimento
ai valori forniti nella tabella C8B.1 della Bozza di Istruzioni per l’applicazione delle
Norme Tecniche per le Costruzioni di cui al D.M. 14.01.2008 e di seguito riportate nella
Tabella 4.12.
Tipologia Muratura
Muratura in pietrame disordinato
fm [MPa]
τ0 [MPa]
E [MPa]
γ [kN/m3]
1,80
0,032
1350
19
Tabella 4.12 – Caratteristiche meccaniche della muratura
In essa si è indicato con:
-
fm la resistenza media della muratura a compressione;
-
τ0
la resistenza media a taglio della muratura;
-
E
il modulo di elasticità normale della muratura;
-
γ
il peso per unità di volume della muratura.
La Circolare fornisce valori di base di detti parametri per la muratura in pietrame
disordinato legato con malta scadente. Nel caso in cui si utilizzino malte di buona qualità
è possibile, però, incrementare tali valori attraverso un coefficiente correttivo assunto pari
a 1,5 nella tabella C8B.2 della Circolare. Atteso che la malta presente nella muratura
oggetto di verifica, seppure cementizia, si suppone fortemente degradata, l’incremento di
resistenza non viene applicato.
- 87 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Secondo quanto stabilito al § 11.10.3.4 del DM 14.01.2008, che i moduli di elasticità
possono essere desunti, in assenza di determinazioni sperimentali, attraverso le seguenti
relazioni:
-
E
modulo di elasticità normale E = 1000 ⋅ fk ;
-
G
modulo di elasticità tangenziale G = 0 ,4 ⋅ E .
4.2.3.1 Stima del fattore di confidenza
Secondo quanto stabilito al cap. C8A della Circolare attuativa del DM 14.01.2008, per la
determinazione del livello di conoscenza dell’edificio in oggetto con relativo fattore di
confidenza sono stati esaminati i seguenti dettagli costruttivi:
a) pareti ben collegate tra loro;
b) qualità del collegamento tra pareti e orizzontamenti garantita dalla presenza di
cordoli;
c) tutte le aperture dotate di architravi (non si conosce il grado della loro efficienza
strutturale);
d) assenza di spinte provocate da carichi non sismici;
e) assenza di elementi non strutturali ad elevata vulnerabilità;
f) tipologia di muratura in pietrame irregolare ad un paramento, senza riempimento
a sacco, non listata eseguita.
La Circolare prevede due tipologie di verifiche in-situ volte a per stabilire il livello di
conoscenza sulla base dei dettagli costruttivi. Per la costruzione in oggetto è stata eseguita
una verifica in-situ estesa ed esaustiva basata su rilievi di tipo visivo, effettuando saggi nella
muratura mirati ad esaminarne le caratteristiche, lo spessore murario, il collegamento tra i
muri ortogonali e tra solai e pareti. Risultano esaminati non cura i dettagli costruttivi
menzionati precedentemente ai punti e) ed f).
Per quanto riguarda le proprietà dei materiali, la Circolare pone particolare attenzione
sulla valutazione delle loro caratteristiche meccaniche che deve avere come finalità
- 88 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
principale quella di stabilire se la muratura in esame è capace di esibire un
comportamento strutturale idoneo a sostenere le azioni statiche e dinamiche prevedibili
per l’edificio in oggetto, tenuto conto della categoria del suolo, opportunamente
identificate secondo quanto indicato al § 3.3.3 del DM 14.01.2008.
La Circolare prevede tre tipologie di verifiche in-situ che si possono effettuare per stabilire
il livello di conoscenza circa le proprietà dei materiali. Per la costruzione in oggetto è stata
eseguita una verifica in-situ estesa. Questo tipo di verifica è stata effettuata con prove di
caratterizzazione meccanica della pietra e della malta con saggi superficiali ed interni
eseguiti in maniera estesa e sistematica. Tali prove hanno validato i valori dei parametri
meccanici forniti per questo tipo di muratura dalla tabella C8B.1 della Circolare, per cui si
è scelto di utilizzare proprio essi, così come già precisato al § 4.2.3.
Sulla base di quanto scritto finora è si può ritenere raggiunto il livello di conoscenza della
struttura LC2 in quanto, così come afferma la Circolare, sono stati effettuati il rilievo
geometrico, verifiche in-situ estese ed esaustive sui dettagli costruttivi, indagini in-situ
estese sulle proprietà dei materiali. La Circolare associa a questo livello di conoscenza il
seguente fattore di confidenza:
FC = 1,2
4.2.3.2 Resistenze di progetto
Il DM 14.01.2008 al § 11.10.3 sancisce che nel caso di muratura costituita da elementi
naturali si assumono convenzionalmente le resistenze caratteristiche a compressione e a
trazione pari a:
f k = 0,75 ⋅ f m ;
f vk 0 = 0,7 ⋅ f vm
Per le verifiche sismiche si utilizza il coefficiente parziale di sicurezza γm = 2 ottenendo i
seguenti valori delle resistenze, previa ulteriore riduzione operata attraverso il fattore di
confidenza della struttura FC = 1,2.
- 89 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
f bd =
0,75 ⋅ f bm 0,75 ⋅ 1,8
=
= 0,563MPa
γ m ⋅ FC
2 ⋅ 1,2
f vd =
0,7 ⋅ f vm 0,7 ⋅ 0,032
=
= 0,01MPa
γ m ⋅ FC
2 ⋅ 1,2
4.3 Verifiche per azioni non sismiche
Le verifiche per azioni non sismiche sono trattate al § 4.5 del DM 14.01.2008. Esse vanno
effettuate per carichi verticali (peso degli elementi, carichi e sovraccarichi applicati) e
carichi orizzontali non sismici (spinte). Nel caso in esame, questi ultimi, sono del tutto
assenti sicché la verifica si riduce ai soli carichi verticali.
Prima di procedere alla descrizione della verifica è necessario introdurre alcuni parametri.
Essi nascono da considerazioni che si possono effettuare analizzando la geometria del
pannello in direzione trasversale (visto che è in riferimento a questa che si esegue la
verifica) e la disposizione delle forze agenti su di esso. Tali parametri sono:
-
eccentricità di costruzione c, dovuta al fatto che tra primo e secondo piano le
murature subiscono una risega per la diminuzione di spessore;
-
eccentricità da impalcato p, che dipendono dal modo in cui si decide di modellare
l’andamento delle tensioni normali di contatto tra solaio e pannello; si è scelto, per
questa analisi, un andamento costante di tali tensioni per cui, considerando che il
cordolo per ogni solaio occupa metà dello spessore s della parete si ha p = s/4;
-
eccentricità strutturali r, che rappresentano la distanza della risultante dei carichi
agenti sul generico pannello (Ri-1 = Ri+1 + Qi + Pi) dalla linea media del pannello;
-
eccentricità accidentale a, pari ad H/200 (dove H è l’altezza del pannello più la
distanza tra l’estradosso del pannello e l’impalcato) atteso che la normativa
- 90 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
impone di considerare per incertezze nel calcolo delle altre eccentricità e nella
verticalità delle pareti.
Nel procedere alla verifica dei pannelli si ipotizza:
-
che nel passare tra un pannello e quello successivo il carico sia centrato in virtù
della diffusione delle tensioni normali lungo l’altezza;
-
il peso dei pannelli sia applicato al pannello sottostante e non al pannello di
maschio stesso dato che esso risulta poco influente sullo stato di sollecitazione di
quest’ultimo;
-
il carico trasmesso dai pannelli di nodo sia comprensivo della metà dei carichi che
agiscono sui pannelli di fascia ad esso adiacenti.
La verifica di normativa per azioni non sismiche consiste, in definitiva, nell’accertare che
risulti soddisfatta la seguente relazione:
σ=
0,75 ⋅ f m
R
f
≤ fd = k =
B ⋅ s ⋅φ
γm
γm
Dove:
-
R
è la risultante dei carichi verticali agenti sul pannello;
-
B
è la larghezza del pannello;
-
s
è lo spessore del pannello;
-
γm
è il coefficiente di sicurezza per azioni non sismiche 12;
-
φ
è un coefficiente minore di 1 che ha lo scopo di ridurre l’area reagente. Esso è
fornito dal DM 14.01.2008 nella tabella 4.5.III in funzione di:
H
;
s
-
λ, snellezza convenzionale pari a λ = ρ ⋅
-
m, coefficiente di eccentricità pari a m = 6 ⋅
e
s
dove e è l’eccentricità
convenzionale che la norma prescrive di assumere pari a e = r + a .
12 Il coefficiente di sicurezza per azioni non sismiche, per il caso in esame, è assunto pari a 2 supponendo che la muratura
sia composta da elementi resistenti di categoria I, malta a prestazione garantita e classe di esecuzione I (tab. 4.5.2 DM
14.01.2008).
- 91 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
4.4 Analisi “manuale” con il metodo RAN
La verifica dell’edificio in muratura è stata eseguita mediante il metodo RAN, sia in
maniera “manuale” (limitatamente all’analisi in condizione non sismica e all’analisi statica
lineare) che “automatica” (comprensiva anche dell’analisi push-over). Entrambe le
procedure sono state applicate sulla scorta dei criteri descritti al Capitolo 3.
Nelle prossime pagine sono riportati i tabulati di calcolo relativi all’analisi “manuale” (in
condizione non sismica e per l’analisi statica lineare) con particolare riferimento alla parete
6 dell’edificio (ved. Figura 4.10) per la quale, a titolo di esempio, si esegue il calcolo
strutturale in maniera compiuta.
La Tabella 4.13 mostra la discretizzazione della parete in macro-elementi con calcolo dei
pesi propri di ogni pannello e i carichi che su di esso gravano, la determinazione dei pesi
simici e dell’azione sismica equivalente, ripartita tra i diversi pannelli di maschio secondo
la procedura illustrata al § 3.2 della presente tesi.
j
B
[m]
H
[m]
s
[m]
Q
[kN]
Solai
o a sx
[m]
Solai
oa
dx
[m]
1
5,80
1,40
0,70
108,00
2,53
2,63
2
1,50
1,40
0,70
27,93
2,53
2,63
1 3
2,95
1,40
0,70
54,93
2,53
2,63
4
1,50
1,40
0,70
27,93
2,53
2,63
i
2,53
2,63
G1
[kN
]
67,2
1
17,3
8
34,1
8
17,3
8
77,6
4
G2
[kN]
Q1
[kN
]
Q2
[kN
]
136,8
0
14,9
4
12,8
4
35,38
3,86
69,58
7,60
35,38
3,86
158,0
3
17,2
5
W
[kN]
Fx
[kN]
Fy
[kN]
1006,7
6
2978,6
4
893,5
9
(Xv , Yv)
[m]
Kvy
[kN/m]
6,53
3,32
14,8
4
6,70
1,40
0,70
124,75
1
5,80
2,60
0,70
200,56
5,4
0
2,90
6,59E+0
5
2
1,50
2,60
2 3
2,95
2,60
0,70
102,01
5,4
0
8,78
2,84E+0
5
4
1,50
2,60
5
6,70
2,60
0,70
231,69
5,4
0
15,1
0
7,73E+0
5
1
5,80
1,40
0,80
123,42
2,50
2,60
3 2
1,50
1,40
0,80
31,92
2,50
2,60
3
2,95
1,40
0,80
62,78
2,50
2,60
117,7
3
30,45
59,88
Fvy
[kN
]
3,32
5
66,5
6
17,2
1
33,8
5
Ky
[kN/m]
59,1
6
15,3
0
30,0
9
- 92 -
1569,5
5
800,73
240,2
2
26,1
6
6,62E+0
6
11,2
8
30,7
0
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
17,2
1
76,8
8
30,45
15,3
0
68,3
4
4
1,50
1,40
0,80
31,92
2,50
2,60
5
6,70
1,40
0,80
142,58
2,50
2,60
1
5,80
2,60
0,80
229,22
5,4
0
2,90
7,53E+0
5
2
1,50
2,60
4 3
2,95
2,60
0,80
116,58
5,4
0
8,78
3,24E+0
5
4
1,50
2,60
5
6,70
2,60
0,80
264,78
5,4
0
15,1
0
8,83E+0
5
136,0
0
23,6
2
7,56E+0
6
10,1
8
27,6
3
Tabella 4.13 – Modello di ripartizione delle forze sui pannelli (parete 6)
La Tabella 4.14 mostra, invece, le verifiche effettuate per i pannelli di maschio, così come
descritto al § 3.6.
Pan.
R [kN]
S
[kN]
N [kN]
2, 1
357,87
-14,76
343,12
2, 3
243,13
-0,63
2, 5
407,04
15,38
4, 1
925,98
-49,94
Vl
[kN]
Ve
[kN]
Vp
[kN]
0,1770 255,14
585,02
630,12
242,50
0,2461
91,72
185,04
422,43
0,1877 362,86
815,14
876,04
0,3954 651,41
0,5251 202,59
N
Vt
[kN]
Vaa
[kN]
Vae
[kN]
V
[kN]
δ
[mm]
118,97 174,46 185,31
26,16
0,112
207,57
70,35
115,93 105,09
11,28
0,112
883,50
141,45 211,96 218,30
30,70
0,112
925,32
1182,55 197,66 319,25 276,97
49,78
0,187
202,59
319,25
4, 3
594,85
-2,13
592,72
115,28 176,38 154,77
21,46
0,187
4, 5
1056,70
52,06
1108,80 0,4333 952,46 1208,96 1621,07 238,53 378,73 329,21
58,43
0,187
Tabella 4.14 – Verifiche dei pannelli di maschio della parete 6
La Tabella 4.15 si riferisce alla determinazione delle sollecitazioni agenti sui pannelli di
nodo e sui pannelli di fascia dei livelli 1 e 3 della parete 6. Come § 3.6.1, essa viene
effettuata attraverso le equazioni di equilibrio.
Faccia Superiore
k i
6
Faccia Inferiore
j
N
[kN]
V
[kN]
M
[kNm]
N
[kN]
V
[kN]
M
[kNm]
1
0,00
0,00
0,00
343,12
26,16
-117,52
2
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1 3
0,00
0,00
0,00
242,50
11,28
13,73
4
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
5
0,00
0,00
0,00
422,43
30,70
532,92
23,62
31,85
876,04
49,78
-92,19
3 1
Faccia Sinistra
V
[kN]
M
[kNm]
0,00
0,00
0,00
4,74
-26,22
9,16
-4,74
-26,22
9,16
-0,80
-55,73
9,09
-0,80
-55,73
-9,09
-0,42
25,59
23,36
0,00
-0,42
-25,59
-23,36
-5,96
-56,36
42,56
205,18
-5,96
-56,36
-42,56
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
4,28
-6,90
-47,62
- 93 -
N
[kN]
Equilibrio Faccia Destra
N
[kN]
V
[kN]
M
[kNm]
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
2
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-4,28
-6,90
-47,62
-0,72
-77,27
1,65
3
350,22
10,18
13,73
592,72
21,46
26,48
0,72
77,27
1,65
-0,38
5,40
35,28
4
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-0,38
5,40
35,28
-5,38
-78,77
86,80
37,38
1108,8
0
58,43
244,63
5,38
78,77
86,80
0,00
0,00
0,00
5
686,37
27,63
Tabella 4.15 – Equilibrio delle fasce di piano della parete 6
La Tabella 4.16 mostra le verifiche condotte sui pannelli di fascia non armati, come scritto
al § 3.6.2.
PAN.
1, 2, 6
1, 4, 6
3, 2, 6
3, 4, 6
V
[kN]
M
[kN]
e
[m]
sx
-4,74 -26,22
9,16
-1,38
dx
-0,80 -55,73
9,09
8,11
sx
0,42
dx
-5,96 -56,36 42,56
5,10
sx
-4,28
47,62
-7,95
dx
-0,72 -77,27
1,65
1,63
sx
0,38
dx
-5,38 -78,77 86,80
sez.
N
[kN]
-25,59 -23,36 -39,90
-6,90
-5,40
-35,28 -66,74
11,53
Nu
[kN]
F
468,56 0,0111
468,56 0,0111
535,50 0,0348
535,50 0,0177
N
Q
-0,0095
0,0016
0,0008
0,0119
-0,0077
0,0013
0,0007
0,0097
P
f
0,0596 0,1151 1,0000
0,0596 0,1151 1,0000
0,0596 0,0976 1,0000
0,0596 0,0976 1,0000
Ve
min
[kN]
Ve
max
[kN]
0,00
0,00
-47,38
-51,87
51,23
56,70
-72,13
-71,74
0,00
0,00
-43,50
-47,54
60,80
65,75
-102,46 -102,11
Tabella 4.16 – Verifica a presso-flessione dei pannelli di fascia (parete 6)
La Tabella 4.17 fa riferimento, infine, alle verifiche per carichi non sismici condotte per la
parete 6, come descritto al § 4.3 della presente tesi.
PAN.
R [kN]
|r| [m]
a [m]
e [m]
λ
m [m]
φ
σ [MPa]
2, 1
357,87
0,00
0,02
0,02
5,603
0,171
0,850
0,10
2, 3
243,13
0,00
0,02
0,02
5,603
0,171
0,850
0,14
2, 5
407,04
0,00
0,02
0,02
5,603
0,171
0,850
0,10
4, 1
925,98
0,00
0,02
0,02
4,903
0,150
0,875
0,23
4, 3
594,85
0,00
0,02
0,02
4,903
0,150
0,875
0,29
4, 5
1056,87
0,00
0,02
0,02
4,903
0,150
0,875
0,23
Tabella 4.17 – Verifica per carichi non sismici della parete 6
- 94 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
4.4.1 Ulteriori verifiche
La normativa italiana prevede verifiche diverse da quelle effettuate con il metodo RAN
nei confronti della presso-flessione nel piano degli elementi in muratura.
La verifica a presso-flessione (§ 7.8.2.2.1 del DM 14.01.2008) di una sezione di un
elemento strutturale si effettua confrontando il momento di calcolo agente con il momento
ultimo resistente valutato assumendo la muratura non reagente a trazione ed
un’opportuna distribuzione non lineare delle tensioni normali di compressione. Nel caso
di una sezione rettangolare tale momento ultimo può essere calcolato come:
 l 2 ⋅ t ⋅σ 0  
σ0 
 ⋅ 1 −

M U = 
2
0
,
85
f
⋅
d

 

dove:
-
Mu è il momento corrispondente al collasso per presso-flessione;
-
l è la lunghezza complessiva della parete (compresa la zona tesa);
-
t è lo spessore della zona compressa della parete;
-
σ0 è la tensione normale media riferita all’area totale della sezione, pari a P/(lt),
essendo P la forza assiale agente (positiva se di compressione). Se P è di trazione, si
assume Mu = 0;
fd =
-
fk
è la resistenza a compressione di calcolo della muratura.
FC ⋅ γ m
Per la verifica a taglio la normativa (§ 7.8.2.2.2 del DM 14.01.2008) valuta la resistenza a
taglio di ciascun elemento a mezzo della seguente relazione:
Vt = l ' ⋅ t ⋅ f vd
dove:
-
l’ è la lunghezza della parte compressa della parete;
-
t è lo spessore della parete;
- 95 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
fvd = fvk / FC γM è definito al § 4.5.6.1 delle NTC, calcolando la tensione normale
media (indicata con σn nel paragrafo appena citato) sulla parte compressa della
sezione (σn = P/ (l’t).
Per quanto riguarda la verifica a presso-flessione nel piano dei pannelli armati la
normativa stabilisce, al § 7.8.3.2.1 del DM 14.01.2008, che in presenza di azione assiale
nota (come è nel caso in esame) la verifica va effettuata analogamente a quanto stabilito
per i pannelli non armati.
La verifica a presso-flessione e a taglio eseguita secondo normativa risulta essere meno
restrittiva di quella eseguita secondo il metodo RAN per cui (come concesso dalle stesse
NTC) si ritiene di verificare i pannelli di fascia dell’edificio in oggetto esclusivamente
attraverso il detto metodo.
4.5 Analisi “automatica” con il codice RAN
L’analisi “automatica” è stata condotta mediante il codice di calcolo RAN (i cui autori
sono il prof. ing. Nicola Augenti e l’ing. Elia Acconcia). Nel seguito si riportano, come
immagini, le “finestre” del programma relative sia all’inserimento dei dati nella fase di
input, sia alla fase di output contenenti i risultati dell’analisi.
4.5.1 Dati di input
Il codice di calcolo RAN è composto da una serie di schermate semplici ed intuitive che, in
maniera interattiva, consentono l’immissione di tutti i dati di input necessari per
l’esecuzione delle analisi.
- 96 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Nella schermata intitolata Dati Generali si immettono i dati relativi al numero di pareti,
alla tipologia di edificio (se nuovo o esistente con relativo Fattore di Confidenza), la classe
dell’edificio e il numero di pareti e di livelli (Figura 4.15).
Figura 4.15 – Dati generali
Nella schermata “Materiali” si definiscono tutti i parametri meccanici relativi ai materiali
costituenti la struttura portante dell’edificio oggetto di analisi (Figura 4.16).
- 97 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.16 - Materiali
Definiti il modello dei materiali e i dati generali, bisogna costruire il modello delle azioni
simiche e non sismiche. Per la definizione delle prime si procede, come si fa osservare in
Figura 4.17, alla caratterizzazione sismica del luogo in cui la costruzione risiede. Per
quanto riguarda, invece, le azioni non sismiche si definiscono le tipologie di solai presenti
suddividendo il loro carico così come previsto dal DM 14.01.2008 (Figura 4.18).
- 98 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.17 – Input sismico e domanda di progetto
Figura 4.18 – Azioni non sismiche
Il successivo passo da compiere è quello di immettere i coefficienti delle combinazioni di
carico che, per ognuna delle verifiche e degli Stati Limite considerati, devono essere presi
in esame in accordo con quanto stabilito dal DM 14.01.2008. Nella Figura 4.19 si riportano,
- 99 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
a titolo di esempio, i coefficienti delle 32 combinazioni di carico per le verifiche sismiche
allo SLV.
Figura 4.19 – Coefficienti delle combinazioni allo SLV
Terminate le fasi descritte fino ad ora resta da effettuare esclusivamente la definizione
della geometria delle pareti e dei carichi competenti ad ogni pannello. Tali operazioni
avvengono in tre finestre del programma RAN. La prima (ved. Figura 4.20) consente di
posizionare planimetricamente le pareti inserendo le coordinate del filo della parete più
vicino agli assi; la seconda (ved. Figura 4.21) permette di definire la geometria di ogni
pannello murario; la terza (ved. Figura 4.22) consente di assegnare i carichi a ciascun
pannello di ogni parete dell’edificio.
- 100 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.20 – Definizione planimetrica delle pareti
Figura 4.21 – Discretizzazione delle pareti in macro-elementi
- 101 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.22 – Definizione dei carichi applicati per le diverse pareti
Il codice RAN consente anche la visualizzazione grafica dell’edifico in prospettiva
tridimensionale (ved. Figura 4.23), oltre che in pianta e in prospetti secondo i piano
coordinati (x, y) e (y, z)..
- 102 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.23 – Vista prospettica dell’edificio
4.5.2 Dati di output
Successivamente alla definizione dei dati di input si procede all’esecuzione delle analisi,
al termine delle quali non è più possibile modificare i dati di input a meno che non si
“sblocchi” il lucchetto apposito del codice. I risultati sono forniti sia attraverso finestre
analoghe a quelle di input, sia attraverso la stampa di tabelle relative ai diversi risultati
desiderati.
La visualizzazione tridimensionale dell’edificio in fase di output (ved. Figura 4.24)
presenta la particolarità di mostrare con colori diversi i pannelli a seconda se essi
risultano verificati (colore blu) o non verificati (colore rosso). Tale visualizzazione grafica
consente dunque di avere, anche dal punto di vista globale, idea di ciò che accade alle
varie pareti dell’edificio sottoposte ai carichi di progetto.
- 103 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.24 – Visualizzazione prospettica ad analisi eseguita
Il risultati che il codice fornisce attraverso le finestre di output sono:
a) verifica per azioni non sismiche (ved. Figura 4.25);
b) analisi statica lineare:
-
valori forze sismiche (ved. Figura 4.26);
-
verifica dei pannelli di maschio (ved. Figura 4.27);
-
domini di resistenza dei pannelli di maschio (ved. Figura 4.28);
-
curve caratteristiche di piano (ved. Figura 4.29);
-
verifica dei pannelli di fascia (ved. Figura 4.30);
-
calcolo della capacità portante delle pareti (ved. Figura 4.31).
- 104 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.25 – Verifica per azioni non sismiche
Figura 4.26 – Forze sismiche
- 105 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.27 – Verifica dei pannelli di maschio
Figura 4.28 – Domini di resistenza del pannello di maschio (4,3,6)
- 106 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.29 – Curve caratteristiche al livello 4 della parete 6
Figura 4.30 – Verifica dei pannelli di fascia
- 107 -
- Capitolo 4 – Verifica di un edificio esistente in muratura _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 4.31 – Capacità portante delle pareti
Terminata la verifica dell’edificio in muratura attraverso analisi condotte sia in maniera
manuale che automatica con il metodo RAN, si è constatato che il codice di calcolo RAN
restituisce valori delle sollecitazioni e dei parametri di verifica perfettamente identici a
quelli ricavati con l’analisi manuale. Tale software risulta, dunque, affidabile per l’analisi
di edifici esistenti in muratura anche in presenza di significative irregolarità dal punto di
vista sismico.
Per quanto detto sarà pertanto possibile effettuare molteplici analisi parametriche (come
scritto nel cap. 5 del presente elaborato di tesi), impiegando esclusivamente il codice di
calcolo automatico che, ovviamente, risulta di gran lunga più veloce, affidabile e meno
oneroso da applicare rispetto al calcolo manuale.
- 108 -
Capitolo 5 - Analisi parametriche
5.1 Introduzione
Le analisi parametriche sono una tipologia di analisi che consentono di studiare l’effetto
sulla risposta (sismica e non) della struttura dovuto alla variazione di alcuni parametri di
input, nel modello di calcolo della struttura, attraverso il controllo di altri parametri o
indici di output detti “di controllo”. Tali analisi hanno molteplici scopi e forniscono
informazioni circa:
a) l’incidenza della geometria della struttura;
b) l’incidenza dei parametri elasto-meccanici dei materiali costituenti la struttura;
c) l’incidenza del coefficiente di sicurezza e del fattore di confidenza;
d) l’incidenza dei parametri derivanti dalla caratterizzazione sismica del sito.
Attraverso lo studio e la comprensione del legame che sussiste tra parametri di input
variati e parametri di output osservati è possibile:
1) ottimizzare la progettazione di nuove strutture secondo la logica di realizzare
edifici le cui rigidezze, resistenze e capacità di spostamento degli elementi
strutturali siano distribuite in maniera da consentire la riduzione delle
sollecitazioni all’interno della struttura;
2) progettare interventi di consolidamento su strutture esistenti che siano poco
invasivi, economici ed efficienti.
La valutazione circa le variazioni dei parametri di output (definiti in maniera esplicita tra
breve) ha senso solo se per ognuna delle analisi cambia un solo parametro di input a
partire da una medesima configurazione di base. Solo in questo modo è possibile capire
se, quanto e come incide ciascuno dei parametri che si andranno a variare sul
comportamento della struttura.
- 109 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
5.2 Definizione dei parametri
Nei paragrafi che seguono saranno definiti in maniera dettagliata:
1) i parametri di input;
2) i parametri di output.
A tal fine va precisato che la configurazione parametrica di base a partire dalla quale si
eseguono tutte le analisi è dell’edificio esistente verificato.
5.2.1 Parametri di input
I parametri di input sono classificati a seconda che siano relativi alle azioni, ai materiali,
all’altezza dell’edificio o agli effetti torsionali indotti dalle azioni sismiche orizzontali.
a) Parametri di input relativi alle azioni:
1) coefficiente d’uso Cu (per le classi d’uso II, III, IV);
2) coefficiente di amplificazione stratigrafica SS (per le categorie di sottosuolo B, C e
D).
b) Parametri di input relativi ai materiali:
1) peso dell’unità di volume γ (per muratura di pietrame pari a 16 kN/m3, 19 kN/m3 e
22 kN/m3);
2) resistenza caratteristica a compressione monoassiale della muratura fk (per la
muratura di pietrame pari a 1,05 MPa, 1,35 MPa e 1,65 MPa);
3) resistenza caratteristica a taglio puro da scorrimento fvk0 e taglio puro da trazione
ftk0 (per la muratura di pietrame entrambe pari a 0,022 MPa, 0,036 MPa e 0,050
MPa);
4) fattore di confidenza FC (pari a 1,0, 1,2 e 1,35);
5) coefficiente di sicurezza della muratura per azioni non sismiche γm (assunto pari a
2, 2,5 e 3).
c) Parametri di input relativi all’altezza dell’edificio:
- 110 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
numero di piani pari a 2, 3, 4 e 5.
d) Parametri di input relativi agli effetti torsionali indotti dalle azioni sismiche orizzontali
(da immettere nelle combinazioni di carico):
-
coefficiente delle eccentricità accidentali pari a ± 1 e coefficiente del sisma in
direzione trasversale pari a ± 0,3.
Si precisa che in tutte le analisi parametriche non varieranno mai:
a) le relazioni che legano i moduli elastici E e G alla resistenza caratteristica a
compressione fk, riportate al § 4.2.3 del presente elaborato di tesi;
b) le relazioni che legano i valori medi delle resistenze a quelli caratteristici, riportate
al § 4.2.3.2;
c) il coefficiente di sicurezza della muratura per azioni sismiche γm = 2.
5.2.2 Definizione delle analisi
Alla luce dei parametri di input appena definiti si esplicitano, di seguito, le analisi
parametriche che si intende effettuare indicando con il colore rosso i parametri variati
rispetto all’analisi di base. In particolare, sono definite n.18 analisi parametriche.
Analisi Base B1
-
N. Piani = 2
-
Classe d’Uso = II
-
Categoria Sottosuolo = C
-
γm = 19 kN/m3
-
Classe d’Uso = III
-
fk = 1,35 MPa
-
Categoria Sottosuolo = C
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
-
γm = 19 kN/m3
-
FC = 1,2
-
fk = 1,35 MPa
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
-
Combinazione non sismica = tutte
-
FC = 1,2
-
Combinazioni sismiche = tutte
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
Analisi B2
- 111 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
Combinazione non sismica = 1
-
Classe d’Uso = II
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
Categoria Sottosuolo = D
-
N. Piani = 2
-
γm = 19 kN/m3
-
fk = 1,35 MPa
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
Analisi B3
-
Classe d’Uso = IV
-
FC = 1,2
-
Categoria Sottosuolo = C
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
γm = 19 kN/m3
-
Combinazione non sismica = 1
-
fk = 1,35 MPa
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
-
N. Piani = 2
-
FC = 1,2
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
Combinazione non sismica = 1
-
Classe d’Uso = II
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
Categoria Sottosuolo = C
-
N. Piani = 2
-
γm = 16 kN/m3
-
fk = 1,35 MPa
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
Analisi B6
Analisi B4
-
Classe d’Uso = II
-
FC = 1,2
-
Categoria Sottosuolo = B
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
γm = 19 kN/m3
-
Combinazione non sismica = 1
-
fk = 1,35 MPa
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
-
N. Piani = 2
-
FC = 1,2
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
Combinazione non sismica = 1
-
Classe d’Uso = II
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
Categoria Sottosuolo = C
-
N. Piani = 2
-
γm = 22 kN/m3
-
fk = 1,35 MPa
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
Analisi B7
Analisi B5
- 112 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
FC = 1,2
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
Combinazione non sismica = 1
-
Classe d’Uso = II
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
Categoria Sottosuolo = C
-
N. Piani = 2
-
γm = 19 kN/m3
-
fk = 1,35 MPa
-
fvk0 = ftk0 = 0,036 MPa
Analisi B10
Analisi B8
-
Classe d’Uso = II
-
FC = 1,2
-
Categoria Sottosuolo = C
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
γm = 19 kN/m3
-
Combinazione non sismica = 1
-
fk = 1,05 MPa
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
-
N. Piani = 2
-
FC = 1,2
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
Combinazione non sismica = 1
-
Classe d’Uso = II
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
Categoria Sottosuolo = C
-
N. Piani = 2
-
γm = 19 kN/m3
-
fk = 1,35 MPa
-
fvk0 = ftk0 = 0,050 MPa
Analisi B11
Analisi B9
-
Classe d’Uso = II
-
FC = 1,2
-
Categoria Sottosuolo = C
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
γm = 19 kN/m3
-
Combinazione non sismica = 1
-
fk = 1,65 MPa
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
-
N. Piani = 2
-
FC = 1,2
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
Combinazione non sismica = 1
-
Classe d’Uso = II
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
Categoria Sottosuolo = C
-
N. Piani = 2
-
γm = 19 kN/m3
Analisi B12
- 113 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
fk = 1,35 MPa
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
-
N. Piani = 2
-
FC = 1,0
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
Combinazione non sismica = 1
-
Classe d’Uso = II
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
Categoria Sottosuolo = C
-
N. Piani = 2
-
γm = 19 kN/m3
-
fk = 1,35 MPa
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
Analisi B15
Analisi B13
-
Classe d’Uso = II
-
FC = 1,2
-
Categoria Sottosuolo = C
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 3
-
γm = 19 kN/m3
-
Combinazione non sismica = 1
-
fk = 1,35 MPa
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
-
N. Piani = 2
-
FC = 1,35
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
Combinazione non sismica = 1
-
Classe d’Uso = II
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
Categoria Sottosuolo = C
-
N. Piani = 2
-
γm = 19 kN/m3
-
fk = 1,35 MPa
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
Analisi B16
Analisi B14
-
Classe d’Uso = II
-
FC = 1,2
-
Categoria Sottosuolo = C
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
γm = 19 kN/m3
-
Combinazione non sismica = 1
-
fk = 1,35 MPa
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
-
N. Piani = 3
-
FC = 1,2
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2,5
-
Combinazione non sismica = 1
Analisi B17
-
- 114 -
Classe d’Uso = II
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
-
Categoria Sottosuolo = C
-
γm = 19 kN/m3
-
Classe d’Uso = II
-
fk = 1,35 MPa
-
Categoria Sottosuolo = C
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
-
γm = 19 kN/m3
-
FC = 1,2
-
fk = 1,35 MPa
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
fvk0 = ftk0 = 0,022 MPa
-
Combinazione non sismica = 1
-
FC = 1,2
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
Coeff. Sicurezza non sismico = 2
-
N. Piani = 4
-
Combinazione non sismica = 1
-
Combinazioni sismiche = 23 ; 32
-
N. Piani = 5
Analisi B18
5.2.3 Parametri di output nell’analisi per azioni non sismiche
Nell’ambito dell’analisi per azioni non sismiche, il controllo che viene effettuato consiste
nel monitorare la massima tensione normale indotta dalle azioni verticali e orizzontali.
Tale tensione è valutata, come scritto nel paragrafo relativo alle verifiche per azioni non
sismiche, per uno sforzo normale centrato grazie all’introduzione di un coefficiente di
riduzione della sezione trasversale φ.
σ=
R
≤ fd
B ⋅ s ⋅φ
Il parametro di output che si introduce per l’analisi delle azioni non sismiche è il tasso di
sollecitazione:
ρ ns =
σ max
fd
- 115 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
che consente di di monitorare come varia il rapporto tra tensione normale massima e la
resistenza di progetto della muratura al variare dei parametri di input sopracitati. In
particolare, risulta interessante valutare il comportamento sismico delle pareti e dei
singoli pannelli di maschio alla luce dei diversi di sfruttamento delle risorse di resistenza
in condizione non sismica.
5.2.4 Parametri di output nell’analisi statica lineare
Per quanto riguarda l’analisi statica lineare, l’obiettivo delle analisi parametriche è quello
di valutare e controllare le richieste di resistenza e di duttilità a due livelli di osservazione:
1. richieste dell’edificio, della parete e del piano: indici di prestazione sismica della
struttura a livello globale;
2. richieste dei singoli pannelli di maschio: rappresentative del grado di regolarità,
sia planimetrico che altimetrico, della struttura e della sua influenza sul
comportamento sismico globale dell’intero edificio.
Alla luce di quanto detto è possibile definire per ciascun piano i della generica parete k, il
tasso di sollecitazione del piano:
ρ sl ,(i ,k ) =
T(i ,k )
Vu ,(i ,k )
dove T(i,k) è il tagliante di piano e Vu,(i,k) il massimo taglio sopportabile dal piano. Risulta
altresì possibile determinare anche la duttilità disponibile del piano:
µ d ,( i , k ) =
δ u ,( i , k )
δ d ,( i , k )
- 116 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
e la duttilità richiesta del piano:
µ r ,( i , k ) =
δ r ,( i , k )
δ d ,( i , k )
dove: δd,(i,k) rappresenta il massimo spostamento orizzontale sopportabile dal piano al
limite elastico non proporzionale; δu,(i,k) rappresenta il massimo spostamento orizzontale
sopportabile dal piano al limite plastico (che nell’analisi statica lineare coincide con lo
spostamento corrispondente al massimo taglio sopportabile per presso-flessione o per
taglio, essendo condotta in controllo di forza) e δr,(i,k) rappresenta lo spostamento
orizzontale indotto dal tagliante di piano T(i,k).
La logica seguita fino ad ora può essere applicata per ciascun pannello di maschio (i,j)
della generica parete k. Si può quindi valutare il tasso di sollecitazione del pannello di maschio:
ρ sl ,(i , j ,k ) =
V(i , j ,k )
Vu ,(i , j ,k )
dove: V(i,j,k) è lo sforzo di taglio applicato sulla sezione di sommità del pannello; Vu,(i,j,k) è il
massimo taglio sopportabile al limite plastico dal pannello (esso è pari a Vp se si attinge la
crisi per presso-flessione e a Vt o a Va se si attinge la crisi per taglio da trazione o da
scorrimento).
Analogamente a quanto fatto per il piano alla generica parete, si definiscono per ogni
pannello la duttilità disponibile e la duttilità richiesta.
µ d ,( i , j , k ) =
δ u ,( i , j , k )
δ d ,( i , j , k )
µ r ,( i , j , k ) =
δ r ,( i , j , k )
δ d ,( i , j , k )
Si osserva che nel caso in cui il generico pannello di maschio attinga lan crisi per taglio (da
trazione o da scorrimento) il fattore di duttilità disponibile viene stabilito a priori
- 117 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
nell’analisi strutturale, per cui è già noto, mentre restano da determinarsi gli altri
parametri.
A partire dalla definizione delle duttilità, per il piano e per i pannelli, è possibile definire
anche un indice di danno Dμ:
Dµ =
µr −1
µd −1
il quale fornisce informazioni sul grado di danneggiamento dell’elemento strutturale cui è
riferito. Esplicitando i fattori di duttilità risulta:
δr
−1
δd
δ −δd
= r
Dµ =
δu
δu − δd
−1
δd
dove il termine al numeratore rappresenta, in termini di spostamento, quanto l’elemento
risulta “lontano” dal limite di elasticità; se tale limite è superato il valore è positivo, in
caso contrario è negativo. Il denominatore rappresenta, invece, la “distanza” tra lo
spostamento ultimo e quello elastico ed è la scala di riferimento rispetto alla quale si
valuta il danneggiamento. Il denominatore è posto uguale a zero quando la rottura è di
tipo fragile (cosa che avviene ad esempio quando l’elemento raggiunge la crisi per
trazione) perché in questo caso l’elemento passa direttamente da uno stato di integrità alla
rottura.
Nel caso in cui il termine al numeratore del rapporto sia negativo l’indice di danno Dμ è
posto uguale a zero perché, non essendo stato raggiunto il limite elastico, l’elemento non
ha subito alcun danneggiamento.
- 118 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Nel caso in cui la crisi dell’elemento avvenga per taglio, gli spostamenti al limite elastico
sono legati dalla duttilità imposta a priori secondo la relazione:
δ µ= 1,5 ⋅δ d
per cui l’indice di danno assume la seguente fora:
Dµ =
δ

δr −δd
δr −δd
=
= 2 ⋅  r − 1
δ u − δ d 1,5 ⋅ δ d − δ d
δd

In ogni caso si ha:
per Dμ < 0
Dμ = 0
per Dμ ≠ 0
Dμ ≠ 0
per δu
– δd < 0
Dμ = 1
È possibile definire, infine, un indice di danno globale della struttura valutato come somma
pesata degli indici di danno dei singoli pannelli di maschio:


 Ve,( i , j ,k ) ⋅ (δ r ,( i , j ,k ) − δ e,( i , j ,k ) )

⋅ D µ ,( i , j , k ) 
Dµ = ∑ 
i , j , k ∑ Ve ,( i , j , k ) ⋅ (δ r ,( i , j , k ) − δ e ,( i , j , k ) )
 i , j ,k



dove:
-
Ve,(i,j,k)
è il taglio al limite elastico non proporzionale;
-
δr,(i,j,k)
è lo spostamento a cui il pannello è sottoposto;
-
δe,(i,j,k)
è lo spostamento al limite elastico non proporzionale del pannello.
- 119 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Ai fini delle analisi parametriche è possibile valutare altri due parametri significativi circa
la vulnerabilità sismica dell’edificio. Il primo è il moltiplicatore di crisi ξi,k di ciascun piano
(già definito al § 3.5.2), il secondo è la massima accelerazione sismica orizzontale al suolo
sopportabile dall’edificio (PGAmax). Per il calcolo del moltiplicatore di crisi si rimanda al §
3.5.2, mentre quello della PGAmax si effettua come descritto nel seguito.
A partire dal taglio ultimo determinato con la capacità portante si determina (dividendo il
taglio ultimo per il peso sismico) la massima accelerazione spettrale sopportabile dalla
struttura. In funzione del periodo proprio di oscillazione della struttura si inverte la
relazione corrispondente all’intervallo in cui esso ricade (ved. § 1.4.2 ) e si determina la
massima accelerazione al suolo sopportabile (PGAmax). Nel caso in cui risulti TB < T < TC
(eventualità tipica degli edifici in muratura) si ha, dunque:
PGA max = S ⋅a g ,max =
S d (T ) ⋅ q
F0
L’ultimo parametro che s’intende controllare in ciascuna delle analisi è la distribuzione
delle rigidezze secanti alla traslazione orizzontale di ogni piano i per ogni parete k,
definite come rapporto tra il tagliante di piano e lo spostamento orizzontale relativo da
esso subito (valutato attraverso la curva caratteristica). La rigidezza è determinata quindi
come:
k i ,k =
Ti ,k
δ i ,k
Attraverso il calcolo della rigidezza si può verificare la regolarità in altezza dell’edificio che,
in accordo con quanto stabilito dalla normativa, può ritenersi soddisfatta se risulta:
0,7 ≤
k i ,k
k i + 2,k
≤ 1,1
- 120 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
5.2.5 Parametri di output nell’analisi statica non lineare
Attraverso la costruzione della curva di capacità (fatta separatamente per ogni direzione,
verso, eccentricità e distribuzione di azioni orizzontali) è possibile determinare i
parametri discussi di seguito:
a) il periodo proprio di vibrazione T*, da confrontare con quello assunto nell’analisi statica
lineare;
b) il fattore di struttura q*;
c) il rapporto di sovraresistenza αu/α1, definito come rapporto tra il 90% del massimo taglio
alla base sopportabile e quello che determina l’attingimento della resistenza del primo
pannello;
d) il fattore di struttura qsnl = q0 ∙ KR , da confrontare con quello assunto nell’analisi statica
lineare indicato con qsl.
Si possono, inoltre, determinare gli stessi parametri valutati per l’analisi statica lineare
(descritti al § 5.2.4):
-
duttilità disponibile del piano e del pannello, μd;
-
duttilità richiesta dal piano e dal pannello, μr;
-
indice di danneggiamento del piano e del pannello, Dμ;
-
tasso di sollecitazione del piano e del pannello, ρ;
-
vulnerabilità sismica in termini di PGA.
Si rimanda, per ulteriori spiegazioni in merito ai parametri sopra elencati, ai relativi
sottoparagrafi del § 5.5.
- 121 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
5.3 Tasso di sollecitazione non sismico
Il primo parametro di output oggetto di valutazione è il tasso di sollecitazione non sismico
precedentemente definito. Esso cambia, a partire dall’analisi di base, al variare del peso
specifico della muratura, della resistenza caratteristica a compressione della muratura, del fattore
di confidenza e del coefficiente di sicurezza nei confronti delle azioni non sismiche. Le analisi
che si prendono in considerazione per la valutazione del tasso di sollecitazione non
sismico sono, pertanto, le seguenti: B6; B7; B8; B9; B12; B13; B14; B15.
Le variazioni attese di tale parametro consistono in un aumento di ρns per:
-
aumento del peso specifico della muratura;
-
diminuzione della resistenza caratteristica a compressione della muratura;
-
aumento del fattore di confidenza;
-
aumenti del coefficiente di sicurezza per azioni non sismiche.
In Figura 5.1 la rappresentazione grafica del tasso di sollecitazione non simico della parete
2 relativo all’analisi di base B1. Per tale parete avvengono le variazioni più significative
del parametro di output da valutare in tale paragrafo. Confronti numerici specifici
saranno effettuati per i pannelli di maschio 2,7 e 4,7.
Figura 5.1 – Analisi B1 della parete 2
La prima valutazione è fatta relativamente agli effetti conseguenti alla variabilità del peso
specifico della muratura. La variazione di tale parametro di input (aumentato e diminuito
di circa il 16% rispetto al peso specifico base di 19 kN/m3 nelle analisi B6 e B7) genera
- 122 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
escursioni del tasso di sollecitazione tali che le rappresentazioni grafiche presentino le
stesse campitura dei pannelli riportate in Figura 5.1. Nella Tabella 5.1 si mostrano le
variazioni percentuali di ρns per i pannelli di maschio 2,7 e 4,7 della parete 2. Tali
variazioni risultano pressoché dello stesso ordine di grandezza per tutte le pareti
dell’edificio esaminato.
Analisi
B1
B6
B7
Pannello (i,j,k)
2,7,2
2,7,4
2,7,2
2,7,4
2,7,2
2,7,4
γ [kN/m3]
19
16
22
ρns
Δρns [%]
0,2510
/
0,7122
0,2309
- 8,01
0,6405
- 10,07
0,2711
8,01
0,7838
10,07
Tabella 5.1 – ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B6 e B7)
L’aumento e la diminuzione di ρns si spiegano perché la variazione del peso specifico della
muratura provoca una variazione dello stato tensionale sulle sezioni di ogni pannello
analogamente a quanto accadrebbe per un incremento o decremento di carico portato
dalle pareti.
La seconda valutazione riguarda la resistenza caratteristica a compressione della
muratura. La variazione di tale parametro di input (aumentato e diminuito di circa il 22%
rispetto alla fk base di 1,35 MPa nelle analisi B8 e B9) genera le escursioni del tasso di
sollecitazione mostrate in Figura 5.2 e in Figura 5.3.
- 123 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.2 – Analisi B8 della parete 2
Figura 5.3 – Analisi B9 della parete 2
La Tabella 5.2 mostra quantitativamente la variazione del tasso di sollecitazione per i
pannelli presi in considerazione.
Analisi
B1
B8
B9
Pannello (i,j,k)
2,7,2
2,7,4
2,7,2
2,7,4
2,7,2
2,7,4
fk [MPa]
1,35
1,05
1,65
ρns
0,2510
0,7122
Δρns [%]
/
0,3227
28,57
0,9157
28,57
0,2054
- 18,17
0,5827
- 18,17
Tabella 5.2 - ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B8 e B9)
- 124 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Il risultato utile fornito da questa analisi è che un aumento o una diminuzione della
resistenza caratteristica a compressione della muratura provoca, rispettivamente, il
medesimo aumento e la stessa diminuzione (in termini di variazione percentuale) del
tasso di sollecitazione, indipendentemente dall’appartenenza del pannello considerato al
livello 2 o al livello 4. Ciò significa, estendendo il ragionamento alle pareti dell’intero
edificio, che variando la resistenza caratteristica a compressione della muratura, i pannelli
di maschio subiscono una eguale variazione del tasso di sollecitazione.
La terza valutazione interessa il fattore di confidenza. La variazione di tale parametro di
input (aumentato e diminuito nelle analisi B12 e B13) genera le escursioni del tasso di
sollecitazione mostrate in Figura 5.4 e in Figura 5.5.
Figura 5.4 – Analisi B12 della parete 2
Figura 5.5 – Analisi B13 della parete 2
- 125 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
La Tabella 5.3 mostra quantitativamente la variazione del tasso di sollecitazione per i
pannelli presi in considerazione.
Analisi
B1
B12
B13
Panello (i,j,k)
2,7,2
2,7,4
2,7,2
2,7,4
2,7,2
2,7,4
FC
1,20
1,00
1,35
ρns
0,2510
0,7122
Δρns [%]
/
0,2092
- 16,66
0,5935
- 16,66
0,2824
12,50
0,8012
12,50
Tabella 5.3 - ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B12 e B13)
La quarta valutazione riguarda il coefficiente di sicurezza per azioni non sismiche. La
variazione di tale parametro di input (incrementato e diminuito nelle analisi B12 e B13)
genera le escursioni del tasso di sollecitazione mostrate in Figura 5.6 e in Figura 5.7.
Figura 5.6 – Analisi B14 della parete 2
- 126 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.7 – Analisi B15 della parete 2
La Tabella 5.4 mostra quantitativamente la variazione del tasso di sollecitazione per i
pannelli esaminati.
Analisi
Pannrllo (i,j,k)
2,7,2
B1
2
2,7,4
2,7,2
B14
2,5
2,7,4
2,7,2
B15
γm
3
2,7,4
ρns
0,2510
0,7122
Δρns [%]
/
0,3138
25,00
0,8902
25,00
0,3765
50,00
1,0683
50,00
Tabella 5.4 - ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B14 e B15)
A valle delle valutazioni parametriche fino ad ora condotte è possibile dimostrare, con
estrema semplicità, la validità dei risultati numerici ottenuti.
Il tasso di sollecitazione non sismico può essere scritto, esplicitando i termini a partire dai
quali lo si determina, nel seguente modo:
ρ ns =
σ max
fd
R
R ⋅ γ m ⋅ FC
B ⋅ s ⋅φ
=
=
fk
B ⋅ s ⋅φ ⋅ f k
γ m ⋅ FC
- 127 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Da questa relazione risulta evidente che per un aumento del coefficiente di sicurezza γ da
2 a 2,5 (incremento del 25%) si ha un eguale aumento del tasso di sollecitazione.
Ovviamente, ciò vale anche per FC e per fk, portando ad affermare che la variazione
relativa del tasso di sollecitazione non dipende dal pannello o dalla parete considerata.
5.4 Analisi statica lineare
5.4.1 Tasso di sollecitazione sismico dei pannelli
La valutazione del tasso di sollecitazione sismico viene effettuata a partire dall’analisi di
base B1, rispetto alla quale si variano tutti quei parametri di input (dei quali si è parlato in
precedenza) che generano un cambiamento o dell’azione sismica o della risposta sismica
della struttura. È importante, per il conseguimento di un buon risultato da queste analisi,
ricordare che il tasso di sollecitazione sismico, oltre ad essere ovviamente dipendente dai
parametri di input, è legato anche:
a) alla combinazione di carico considerata;
b) alla condizione di carico cui è sottoposta la parete;
c) alla posizione geometrica della parete (principio di centrifugazione delle
rigidezze).
Per questi tre motivi non è certamente possibile fare valutazioni sul tasso di sollecitazione
sismico dei pannelli che siano del tutto generalizzabili e indipendenti dal caso di studio.
Ciò premesso, si intende ora esaminare per due combinazioni di carico allo SLV (N.23 e
N.32) il comportamento esibito dai pannelli di maschio appartenenti alle pareti il cui
sviluppo longitudinale avviene nella direzione del sisma principale, in quanto le analisi
- 128 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
hanno mostrato che quelle disposte in direzione trasversale subiscono piccolissime
escursioni del tasso di sollecitazione dovute al solo regime torsionale.
Per quanto riguarda la combinazione N.23 il sisma principale è in direzione x per cui si
prende in considerazione la parete 3; per la combinazione N.32, dove il sisma principale è
in direzione y, si prendono in considerazione la parete 5 (caricata da solai) e la parete 8
(sulla quale non poggiano i solai).
5.4.1.1 Analisi della parete 3 per la combinazione n.23 allo SLV
In Figura 5.8 si riporta lo stato della parete 3 in termini di tasso di sollecitazione relativo
all’analisi parametrica B1.
Figura 5.8 – Analisi B1 della parete 3
La prima valutazione interessa la variazione della classe d’uso dell’edificio e, quindi, del
relativo coefficiente d’uso. I valori di CU adottati sono 1,5 e 2.
Dall’analisi si vede che utilizzando CU pari a 1,5 i tassi di sollecitazione non risentono di
una variazione consistente; il contraria accade quando si adotta CU pari a 2 (ved. Figura
5.9).
- 129 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.9 – Analisi B3 della parete 3
Analisi
B1
B2
B3
Pannello (i,j,k)
2,7,3
4,7,3
2,7,3
4,7,3
2,7,3
4,7,3
CU
1
1,5
2
ρsl
Δρsl [%]
0,430
/
0,505
0,498
15,81
0,589
16,63
0,551
28,14
>1
rottura
Tabella 5.5 – ρsl relativo ai pannelli della parete 3 (Analisi B2 e B3)
Il coefficiente d’uso è un parametro che tiene conto del grado di affollamento cui è
sottoposta la struttura. Esso provoca un incremento dell’azione sismica (in termini di
spettro di progetto) per strutture maggiormente affollate in modo da aumentarne la
sicurezza. L’incremento dell’azione simica indotto dall’aumento di CU da 1 a 2 genera un
altrettanto aumento del tasso di sollecitazione sismico dei pannelli dell’ordine del 30%.
L’importanza di questo risultato non va sottovalutata poiché descrive l’incremento di
sollecitazioni che si avrebbe negli elementi strutturali dell’edificio nel momento in cui se
ne volesse cambiare la destinazione d’uso portandola, ad esempio, da civile abitazione
(Classe II – CU=1) a pubblica funzione (Classe IV – CU=2).
La seconda valutazione è fatta relativamente alla variazione della categoria del sottosuolo
su cui l’edificio è situato. La Figura 5.10 è rappresentativa della Categoria B di sottosuolo
mentre la Figura 5.11 è rappresentativa della Categoria D di sottosuolo.
- 130 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.10 – Analisi B4 della parete 3
Figura 5.11 – Analisi B5 della parete 3
Analisi
B1
B4
B5
Pannello (i,j,k)
2,7,3
4,7,3
2,7,3
2,7,3
2,7,3
4,7,3
Sottosuolo
C
B
D
ρsl
0,430
0,505
Δρsl [%]
/
0,335
- 22,09
0,394
- 21,98
0,554
24,55
>1
rottura
Tabella 5.6 – ρsl relativo ai pannelli della parete 3 (Analisi B4 e B5)
La categoria di sottosuolo consente di tenere conto nelle analisi del modo di propagarsi
delle onde sismiche negli strati di terreno. I risultati ottenuti mettono in luce quanto
incide la corretta valutazione della categoria di sottosuolo nell’analisi degli edifici
- 131 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
esistenti. La variazione del tasso di sollecitazione sismico tra una categoria di sottosuolo
ed un’altra è compresa tra il 20 e il 30%.
La terza e la quarta valutazione vengono effettuate in merito alla variazione del peso
specifico e della resistenza caratteristica a compressione della muratura. Per tali
valutazioni parametriche non sono riportate né figure e né tabelle riassuntive perché, per
l’edificio oggetto di studio, la rottura dei pannelli è sempre determinata dalla scarsa
resistenza a taglio della muratura. La variazione di parametri come il peso specifico o la
resistenza a compressione incide pochissimo sul tasso di sollecitazione. In realtà, la logica
porterebbe a pensare che, ad esempio, l’incremento del peso specifico della muratura,
provocando un aumento di sforzo normale sui pannelli di maschio, faccia aumentare i
massimi sforzi di taglio applicabili sui pannelli diminuendo, quindi, il tasso di
sollecitazione, atteso che la crisi avviene per taglio. Ciò è vero, ma l’incremento del peso
specifico valutato in queste analisi parametriche è basso e non induce incrementi
significativi della resistenza a taglio dei pannelli, sicché diminuiscono di pochissimo i
valori dei tassi di sollecitazione.
La quinta valutazione riguarda la variazione della resistenza caratteristica a taglio puro
da trazione e da scorrimento della muratura (fvk0 = ftk0). Dato che per l’edificio in oggetto la
rottura dei pannelli avviene sempre per taglio non v’è dubbio che sia questa la
valutazione parametrica maggiormente interessante tra quelle effettuate. Il valori delle
resistenze a taglio sono assunti pari a 0,036 MPa per l’analisi di cui alla Figura 5.12 e pari a
0,050 MPa per l’analisi di cui alla Figura 5.13.
- 132 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.12 – Analisi B10 della parete 3
Figura 5.13 – Analisi B11 della parete 3
Analisi
B1
B10
B11
Pannello (i,j,k)
2,7,3
4,7,3
2,7,3
4,7,3
2,7,3
4,7,3
fvk0, ftk0 [MPa]
0,022
0,036
0,050
ρsl
Δρsl [%]
0,430
/
0,505
0,324
- 24,65
0,381
- 24,55
0,269
- 37,44
0,349
- 30,89
Tabella 5.7 – ρsl relativo ai pannelli della parete 3 (Analisi B10 e B11)
Come si vede incrementando la resistenza a taglio della muratura si ottengono notevoli
miglioramenti nello stato di sollecitazione dei pannelli, proprio perché essi esibiscono
sempre crisi per taglio. Se, invece, i pannelli avessero subito tutti una crisi per pressoflessione la variazione della resistenza a taglio della muratura non avrebbe influito
- 133 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
significativamente sul tasso di sollecitazione. I miglioramenti in termini di sollecitazione
scaturiti dall’incremento della resistenza a taglio puro della muratura da 0,022 MPa a 0,05
0MPa oscillano tra il 30% e il 40% nei pannelli mediamente caricati.
La sesta valutazione interessa la variazione del fattore di confidenza. Chiaramente tale
parametro influisce analogamente ad un coefficiente parziale di sicurezza relativo alle
resistenze di progetto. Nell’analisi i cui risultati sono mostrati in Figura 5.14 si è assunto
FC = 1 mentre in quella sintetizzata in Figura 5.15 si è assunto FC = 1,35.
Figura 5.14 – Analisi B12 della parete 3
Figura 5.15 – Analisi B13 della parete 3
Analisi
B1
B12
Pannello (i,j,k)
2,7,3
4,7,3
2,7,3
FC
1,2
1,0
- 134 -
ρsl
0,430
0,505
0,384
Δρsl [%]
/
- 10,70
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
4,7,3
2,7,3
B13
1,35
4,7,3
0,448
- 11,29
0,468
8,34
0,550
8,92
Tabella 5.8 – ρsl relativo ai pannelli della parete 3 (Analisi B12 e B13)
Nell’analisi in cui si utilizza un fattore di confidenza pari a 1,0 si ha un’ovvia diminuzione
del tasso di sollecitazione in quanto l’unico coefficiente che riduce la resistenza per le
verifiche sismiche è quello parziale di sicurezza per azioni sismiche. I tassi di
sollecitazione ottenuti nell’analisi B12 sono, dunque, pari a quelli che si sarebbero ottenuti
se l’edificio oggetto di studio fosse stato di nuova progettazione. Le analisi parametriche
condotte
utilizzando
diversi
fattori
di
confidenza
consentono
di
misurare
quantitativamente l’influenza, in termini di sollecitazioni, dello stato conoscenza della
struttura, ossia del valore attribuito al fattore di confidenza FC.
5.4.1.2 Analisi delle pareti 5 e 8 per la combinazione n.32 allo SLV
Per la combinazione che interessa il sisma in direzione y si considerano la parete 5, sulla
quale grava il carico dei solai e la parete 8, completamente scarica. Per quanto riguarda la
parete 5 si riportano, di seguito, le figure in cui è rappresentato graficamente il tasso di
sollecitazione e le relative tabelle per due pannelli. Per i pannelli di maschio appartenenti
a tale parete valgono le considerazioni fatte al variare dei parametri di input di cui al §
5.4.1.1.
- 135 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.16 – Analisi B1 della parete 5
Figura 5.17 – Analisi B3 della parete 5
Analisi
B1
B2
B3
Pannello (i,j,k)
2,3,5
4,3,5
2,3,5
4,3,5
2,3,5
4,3,5
CU
1
1,5
2
ρsl
0,636
0,709
Δρsl [%]
/
0,706
11,01
0,793
11,85
0,761
19,65
0,894
26,09
Tabella 5.9 – ρsl relativo ai pannelli della parete 5 (Analisi B2 e B3)
- 136 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.18 – Analisi B4 della parete 5
Figura 5.19 – Analisi B5 della parete 5
Analisi
B1
B4
B5
Pannello (i,j,k)
2,3,5
4,3,5
2,3,5
4,3,5
2,3,5
4,3,5
Sottosuolo
C
B
D
ρsl
0,636
0,709
Δρsl [%]
/
0,509
- 19,97
0,571
- 19,46
0,764
20,13
0,900
26,94
Tabella 5.10 – ρsl relativo ai pannelli della parete 5 (Analisi B4 e B5)
- 137 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.20 – Analisi B10 dellaparete 5
Figura 5.21 – Analisi B11 della parete 5
Analisi
B1
B10
B11
Pannello (i,j,k)
2,3,5
4,3,5
2,3,5
4,3,5
2,3,5
4,3,5
fvk0, ftk0 [MPa]
0,020
0,036
0,050
ρsl
Δρsl [%]
0,636
/
0,709
0,480
- 24,53
0,549
- 22,57
0,394
- 38,05
0,459
- 35,26
Tabella 5.11 – ρsl relativo ai pannelli della parete 5 (Analisi B10 e B11)
- 138 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.22 – Analisi B12 della parete 5
Figura 5.23 – Analisi B13 della parete 5
Analisi
B1
B12
B13
Pannello (i,j,k)
2,3,5
4,3,5
2,3,5
4,3,5
2,3,5
4,3,5
FC
1,2
1,0
1,35
ρsl
0,636
0,709
Δρsl [%]
/
0,574
- 9,75
0,648
- 8,60
0,679
6,76
0,759
7,05
Tabella 5.12 – ρsl relativo ai pannelli della parete 5 (Analisi B12 e B13)
Per quanto riguarda invece la parete 8, su di essa è possibile effettuare una considerazione
a priori rispetto alle analisi parametriche. La parete in oggetto, non essendo caricata dai
- 139 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
solai (l’unica azione che determina lo sforzo normale nei pannelli di maschio è il peso
proprio), ha una resistenza all’azione sismica molto esigua in quanto:
-
la variazione di sforzo normale S causata dal sisma può facilmente indurre sforzi
di trazione nei pannelli di maschio;
-
a causa dei bassi valori di sforzo normale nei pannelli di maschio, essi possono
fronteggiare limitati valori di taglio.
I risultati delle analisi confermano quanto appena affermato. Per tutte le analisi condotte
la crisi della parete 8 avviene per taglio e lo stato di sollecitazione è visibile in Figura 5.24.
Figura 5.24 – Stato di sollecitazione della parete 8
Tale modalità di crisi permane fino a quando, nelle valutazioni parametriche, non si fa
variare le resistenze a taglio da trazione e da scorrimento della muratura (analisi B10
riportata in Figura 5.25 e analisi B11 riportata in Figura 5.26). Alle dette figure seguono le
relative tabelle riassuntive.
- 140 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.25 – Analisi B10 della parete 8
Figura 5.26 – Analisi B11 della parete 8
Analisi
B1
B10
B11
Pannello (i,j,k)
2,3,8
4,3,8
2,3,8
4,3,8
2,3,8
4,3,8
fvk0, ftk0
0,020
0,036
0,050
ρsl
>1
>1
Δρsl [%]
/
>1
/
0,974
/
0,906
/
0,791
/
Tabella 5.13 – ρsl relativo ai pannelli della parete 8 (Analisi B10 e B11)
- 141 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
5.4.2 Tasso di sollecitazione sismico delle pareti
Analogamente a quanto fatto per i pannelli di maschio, si può valutare il tasso di
sollecitazione sismico per le pareti ad ognuno dei due livelli dell’edificio. Così come in
precedenza, si sceglie di valutare la variazione del tasso di sollecitazione per le pareti in
cui essa è maggiormente significativa, ovvero quelle considerate al § 5.4.1: la parete 3 per la
combinazione SLV n. 23, la parete 5 (caricata da solai) e la parete 8 (non caricata da solai)
per la combinazione SLV n. 32.
Si riporta nella figura che segue la variazione del tasso di sollecitazione per la parete 3,
valutato per la combinazione di carico SLV n. 23.
1,200
Tasso di sollecitazione ρsl
1,000
0,800
0,600
0,400
0,200
0,000
Liv. 1
Liv. 3
Figura 5.27 – ρsl della parete 3 per la combinazione SLV n. 23
Come si vede, il tasso di sollecitazione (rappresentato per entrambi i livelli) assume valori
variabili (ovviamente) al variare dei parametri che influenzano, sia l’azione sismica, sia le
caratteristiche di risposta della struttura. Come si è già ripetuto più volte in precedenza, la
- 142 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
struttura oggetto di studio esibisce un comportamento ed una modalità di crisi fortemente
influenzati dalla scarsa resistenza a taglio della muratura che la costituisce. Si nota, infatti,
che il tasso di sollecitazione dell’analisi di base B1 (che per entrambi i livelli assume
valore pari a circa 0,8) si riduce fortemente nelle analisi B10 e B11 dove si incrementano le
resistenze a taglio puro della muratura. Per l’analisi B10 si ha una riduzione percentuale
del tasso di sollecitazione di circa il 25%, mentre per l’analisi B11 si osserva una riduzione
percentuale del tasso di sollecitazione di circa il 37,5%. Per come è stato definito il tasso di
sollecitazione:
ρ sl ,(i ,k ) =
T(i ,k )
Vu ,(i ,k )
risulta naturale capire che l’incremento della resistenza a taglio della muratura comporta
un aumento del taglio ultimo del pannello (e quindi della parete), riducendo il tasso di
sollecitazione stesso.
Un altro parametro che incide solo sul taglio ultimo applicabile alla parete è la variazione
del fattore di confidenza che, ridotto ad 1.0 e incrementato a 1.35, fa variare il tasso di
sollecitazione riducendolo e incrementandolo, rispettivamente, di circa il 20%.
Si fa osservare che per le analisi B3 e B5 e per le analisi B7, B8 e B9 si hanno valori del tasso
di sollecitazione quasi identici. Per la B3 e la B5 si vede che, a partire dall’analisi di base,
variare la classe d’uso da II a IV (analisi B3) genera sollecitazioni del tutto analoghe a
quelle generate variando la categoria del sottosuolo da C a D (analisi B5). Per la B7, B8 e
B9, invece, si desume che, a partire dall’analisi di base, incrementare il peso specifico della
muratura del 16% (analisi B7) o cambiare la resistenza a compressione della muratura di ±
20% (analisi B8 e B9) genera modeste fluttuazioni dei tassi di sollecitazione a
dimostrazione del fatto che tali parametri influiscono praticamente pochissimo sul
meccanismo di crisi della struttura.
In Figura 5.28 è visibile la variazione del tasso di sollecitazione della parete 5 per la quale
valgono (trattandosi anche in tal caso di parete caricata dal solaio, come avviene per la
parete 3) le stesse considerazioni svolte per la parete 3.
- 143 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
1,00
Tasso di sollecitazione ρsl
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
Liv. 1
Liv. 3
Figura 5.28 - ρsl della parete 5 per la combinazione SLV n. 32
Nella Figura 5.29 si mostra, invece, la variazione del tasso di sollecitazione sismico per la
parete 8, sulla quale non poggia alcun solaio.
- 144 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
2,00
Tasso di sollecitazione ρsl
1,80
1,60
1,40
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
Liv. 1
Liv. 3
Figura 5.29 - ρsl della parete 8 per la combinazione SLV n. 32
Poiché la parete considerata non è caricata da solai, sui suoi pannelli di maschio sono
applicati sforzi normali di esiguo valore, per cui i massimi valori di taglio (Vt e Va)
sopportabili sono di gran lunga più bassi rispetto a quelli riscontrabili in una parete
caricata. Per questa ragione, essendo il meccanismo di crisi per questo edificio sempre
legato al taglio, i tassi di sollecitazione relativi a questa parete sono molto alti rispetto a
quelli delle pareti caricate. Per le diverse analisi parametriche condottesi nota, comunque,
che la variazione del tasso di sollecitazione, com’era ovvio aspettarsi, è legata ai parametri
di input nello stesso modo in cui avveniva per le pareti caricate sopra descritte. Particolare
attenzione va posta sul fatto che per le analisi B3 e B5 non è stato possibile valutare il tasso
di sollecitazione al livello 1 in quanto attraverso le curve caratteristiche non è possibile
ripartire il tagliante di piano tra i diversi pannelli di maschio a causa del raggiungimento
della crisi già per valori inferiori a quello di progetto.
- 145 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
5.4.3 Indice di danno e duttilità
Alla luce di quanto definito al § 5.2.4 si valutano l’indice di danno e le duttilità disponibile
e richiesta delle pareti e dei pannelli di maschio, già presi in considerazione
precedentemente (parete 3, pannelli 2,7 e 4,7, comb. SLV n.23; parete 5, pannelli 2,3 e 4,3, comb.
SLV n.32; parete 8, pannelli 2,3 e 4,3, comb. SLV n.32).
Si riportano, di seguito, i valori degli indici sopra menzionati in forma tabellare e
l’andamento dei fattori di duttilità in forma grafica (istogrammi), al variare dei parametri
di input.
PARETE 3
Livello 1
Livello 3
Pannello 2,7,3
Pannello 4,7,3
Analisi
μr
Dμ
μr
Dμ
μd
Analisi
μr
Dμ
μr
Dμ
μd
B1
1,069
0,138
1,106
0,212
1,5
B1
0,430
0
0,683
0
1,5
B2
1,245
0,49
1,301
0,602
1,5
B2
0,498
0
0,797
0
1,5
B3
1,385
0,77
-
1
1,5
B3
0,551
0
_
1
1,5
B4
0,821
0
0,849
0
1,5
B4
0,335
0
0,531
0
1,5
B5
1,393
0,786
_
1
1,5
B5
0,554
0
_
1
1,5
B6
1,024
0,048
1,067
0,134
1,5
B6
0,402
0
0,522
0
1,5
B7
1,106
0,212
1,149
0,298
1,5
B7
0,458
0
0,907
0
1,5
B8
1,063
0,126
1,112
0,224
1,5
B8
0,430
0
0,683
0
1,5
B9
1,069
0,138
1,104
0,208
1,5
B9
0,430
0
0,504
0
1,5
B10
0,707
0
0,821
0
1,5
B10
0,323
0
0,666
0
1,5
B11
0,483
0
0,679
0
1,5
B11
0,263
0
0,666
0
1,5
B12
0,922
0
0,976
0
1,5
B12
0,384
0
0,448
0
1,5
B13
1,182
0,364
1,211
0,422
1,5
B13
0,469
0
1,102
0,204
1,5
B16
_
1
_
1
1,5
B16
_
1
_
1
1,5
B17
_
1
_
1
1,5
B17
_
1
_
1
1,5
B18
_
1
_
1
1,5
B18
_
1
_
1
1,5
Tabella 5.14 – Duttilità e danneggiamento della parete 3
- 146 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
1,600
1,400
Duttilità μ
1,200
1,000
0,800
0,600
0,400
0,200
0,000
μr - Liv.1
μr - Liv.3
μd
Figura 5.30 – Duttilità della parete 3
1,600
1,400
Duttilità μ
1,200
1,000
0,800
0,600
0,400
0,200
0,000
μr - 2,7,3
μr - 4,7,3
μd
Figura 5.31 – Duttilità dei pannelli di maschio della parete 3
- 147 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
PARETE 5
Livello 1
Livello 3
Pannello 2,3,5
Pannello 4,3,5
Analisi
μr
Dμ
μr
Dμ
μd
Analisi
μr
Dμ
μr
Dμ
μd
B1
0,786
0
0,879
0
1,5
B1
0,636
0
0,709
0
1,5
B2
0,880
0
0,994
0
1,5
B2
0,706
0
0,793
0
1,5
B3
0,954
0
1,132
0,264
1,5
B3
0,761
0
0,894
0
1,5
B4
0,619
0
0,694
0
1,5
B4
0,509
0
0,571
0
1,5
B5
0,958
0
1,140
0,28
1,5
B5
0,764
0
0,900
0
1,5
B6
0,741
0
0,835
0
1,5
B6
0,601
0
0,672
0
1,5
B7
0,828
0
0,933
0
1,5
B7
0,669
0
0,753
0
1,5
B8
0,786
0
0,885
0
1,5
B8
0,636
0
0,714
0
1,5
B9
0,786
0
0,885
0
1,5
B9
0,636
0
0,714
0
1,5
B10
0,586
0
0,667
0
1,5
B10
0,480
0
0,549
0
1,5
B11
0,472
0
0,563
0
1,5
B11
0,389
0
0,459
0
1,5
B12
0,706
0
0,803
0
1,5
B12
0,574
0
0,648
0
1,5
B13
0,840
0
0,943
0
1,5
B13
0,679
0
0,759
0
1,5
B16
1,341
0,682
1,261
0,522
1,5
B16
1,055
0,11
0,967
0
1,5
B17
_
1
_
1
1,5
B17
_
1
_
1
1,5
B18
_
1
_
1
1,5
B18
_
1
_
1
1,5
Tabella 5.15 – Duttilità e danneggiamento della parete 5
- 148 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
1,600
1,400
Duttilità μ
1,200
1,000
0,800
0,600
0,400
0,200
0,000
μr - Liv.1
μr - Liv.3
μd
Figura 5.32 – Duttilità dellaparete 5
1,600
1,400
Duttilità μ
1,200
1,000
0,800
0,600
0,400
0,200
0,000
μr - 2,3,5
μr - 4,3,5
μd
Figura 5. 33 – Duttilità dei pannelli di maschio della parete 5
- 149 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
PARETE 8
Livello 1
Livello 3
Dμ
μr
Pannello 2,3,8
Dμ
Pannello 4,3,8
Analisi
μr
μd
Analisi
μr
Dμ
μr
Dμ
μd
B1
_
_
1,5
B1
_
1
_
1
1,5
B2
_
_
1,5
B2
_
1
_
1
1,5
B3
_
1
_
1
1,5
B3
_
1
_
1
1,5
B4
_
1
_
1
1,5
B4
_
1
_
1
1,5
B5
_
1
_
1
1,5
B5
_
1
_
1
1,5
B6
_
1
_
1
1,5
B6
_
1
_
1
1,5
B7
_
1
_
1
1,5
B7
_
1
_
1
1,5
B8
_
1
_
1
1,5
B8
_
1
_
1
1,5
B9
_
1
_
1
1,5
B9
_
1
_
1
1,5
B10
_
1
1,302
0,604
1,5
B10
_
1
1,302
0,604
1,5
B11
0,905
0
0,791
0
1,5
B11
0,905
0
0,791
0
1,5
B12
_
1
_
1
1,5
B12
_
1
_
1
1,5
B13
_
1
_
1
1,5
B13
_
1
_
1
1,5
B16
_
1
_
1
1,5
B16
_
1
_
1
1,5
B17
_
1
_
1
1,5
B17
_
1
_
1
1,5
B18
_
1
_
1
1,5
B18
_
1
_
1
1,5
1,600
1,600
1,400
1,400
1,200
1,200
1,000
1,000
Duttilità μ
Duttilità μ
Tabella 5.16 – Duttilità e danneggiamento della parete 8
0,800
0,600
0,800
0,600
0,400
0,400
0,200
0,200
0,000
0,000
B10 B11 fvk=0,036 fvk=0,05
μr - Liv.1
μr - Liv.3
B10 B11 fvk=0,036 fvk=0,05
μd
μr - 2,3,5
μr - 4,3,5
μd
Figura 5.34 – Duttilità della parete 8
Circa i risultati riportati nelle tabelle e negli istogrammi, occorre osservare quanto segue.
- 150 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Al variare dei parametri di input, l’andamento della duttilità richiesta sui pannelli e sulle
pareti di ogni piano è analogo a quello dei tassi di sollecitazione precedentemente
valutati. Questo risultato chiaramente atteso e conferma che la duttilità richiesta ad un
elemento strutturale viene per fronteggiare l’azione sismica è strettamente dipendente
dalla domanda sismica in termini di accelerazione spettrale, analogamente a quanto
accade per il tasso di sollecitazione. Mentre il tasso di sollecitazione, però, fornisce
informazioni circa lo stato di sollecitazione dell’elemento strutturale (rapportando lo
sforzo applicato al massimo sforzo sopportabile), la duttilità richiesta fornisce
informazioni inerenti il tasso di spostamento orizzontale cui il pannello è sottoposto.
Onde evitare ripetizioni, vista l’analogia tra la variazione della duttilità richiesta e la
variazione del tasso di sollecitazione, per considerazioni riguardanti l’influenza
qualitativa dei parametri di input su tali variazioni si rimanda al § 5.4.1 e al § 5.4.2 della
presente trattazione.
Ricordando poi la definizione di duttilità richiesta e di indice di danno:
µr =
δr
δd
Dµ =
µr − 1
µd − 1
è possibile effettuare la seguente considerazione. Quando δr è minore di δd si ha che
l’elemento strutturale a cui tali spostamenti sono riferiti va in crisi in campo elastico
(proporzionale o non proporzionale). In questa condizione (μr < 1) il danneggiamento
fessurativo è chiaramente reversibile elasticamente e l’indice di danno, per come è stato
definito, risulta minore di zero. In questo caso si assume comunque l’indice di danno pari
a zero, cosa che esprime certamente in maniera anche intuitiva il comportamento
meccanico dell’elemento strutturale.
Un’altra osservazione riguarda il valore della duttilità disponibile μd (sia per i pannelli che
per le pareti, ad ogni piano) il quale, nel caso specifico, risulta sempre pari ad 1,5. Nel
modello di calcolo è stato ipotizzato che nel caso di crisi per taglio del pannello in campo
elastico per un dato spostamento δr (< δd), lo spostamento ultimo che quel pannello può
esibire è da ritenersi pari a δu = 1,5 ∙ δd. Avendo definito la duttilità disponibile come:
µd =
δu
δd
- 151 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
è evidente che se tale rapporto è sempre pari a 1,5, la crisi degli elementi strutturali
avviene sempre per taglio in campo elastico.
Per quanto riguarda le analisi B16, B17 e B18 relative all’edificio con 3, 4 e 5, piani non è
stata possibile la determinazione degli spostamenti dei pannelli e delle pareti presi in
considerazione, a causa del raggiungimento del loro stato di crisi. Non è possibile,
pertanto, determinare la duttilità richiesta per tali elementi strutturali.
Un’ultima riflessione interessa l’indice di danno dell’intero edificio (definito al § 5.2.4
della presente tesi). Per ognuna delle analisi parametriche eseguite si verifica sempre che
almeno un pannello di maschio raggiunge la condizione di crisi, sicché il valore
dell’indice di danno globale assume sempre valore unitario.
5.4.4 Vulnerabilità sismica in termini di PGA
La valutazione dell’accelerazione massima al suolo viene effettuata come descritto al
§ 5.2.4. Si riportano di seguito i valori della PGAmax e un grafico in cui se ne mostra
l’andamento per le analisi parametriche in cui variazione di PGA è significativa,
relativamente alle sole combinazioni allo SLV n.23 e n.32.
PGAmax [g]
Analisi
SLV-23
SLV-32
B1
0,014
0,014
B10
0,018
0,018
B11
0,020
0,020
B12
0,015
0,016
B13
0,012
0,014
B16
0,010
0,010
B17
0,008
0,008
B18
0,001
0,001
Tabella 5.17 – PGAmax
- 152 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
0,025
PGAmax [g]
0,020
0,015
0,010
0,005
0,000
B1
B10 B11 fvk=0,036 fvk=0,05
B12 FC=1
SLV-23
B13 FC=1,35
B16 np=3
B17 np=4
B18 np=5
SLV-32
Figura 5.35 – PGAmax [g]
I risultati ottenuti evidenziano che la massima accelerazione al suolo sopportabile
dall’edificio permane costante per le prime nove analisi dove, come si è già spiegato in
precedenza, i parametri di input variati non influenzano il meccanismo di crisi per taglio
della struttura. I valori più alti di PGAmax sopportabili, infatti, si hanno proprio in
corrispondenza delle analisi B10 e B11 dove si va ad incrementare la resistenza a taglio
della muratura.
Cosa sicuramente interessante nasce dal confronto tra la PGAmax sopportabile e
l’accelerazione al suolo del sito in cui l’edificio in muratura in oggetto si trova. Allo SLV
l’accelerazione massima al suolo risulta pari a:
PGA = a g ⋅ S = 0,055 g ⋅1,5 = 0,0825 g
Essa è, dunque, sempre maggiore della PGAmax sopportabile dall’edificio, a conferma del
fatto che in nessuna delle analisi parametriche la struttura risulta verificata per le azioni
sismiche di progetto e con i coefficienti di sicurezza adottati.
La vulnerabilità sismica dell’edificio, inoltre, aumenta drasticamente (forte riduzione della
PGAmax sopportabile) quando si considera l’edificio composto da 5 piani. In questo caso è
sufficiente un’accelerazione pari a circa il 10% dell’accelerazione massima al suolo attesa
- 153 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
al sito per produrre sollecitazioni tali da far attingere la crisi al pannello più debole
dell’edificio.
5.4.5 Moltiplicatore di crisi
Per quanto detto al paragrafo precedente ci si aspetta che i moltiplicatori di crisi siano
tutti inferiori all’unità perché, come è stato detto, l’edificio non è risultato mai in grado di
resistere alle azioni sismiche di progetto. In realtà, però, bisogna riflettere sul fatto che il
moltiplicatore di crisi, cosi come è stato definito al § 3.5.2, vuole essere un parametro che
misura il reale grado di sicurezza della struttura la cui determinazione parte con il porre
tutti i coefficienti di sicurezza nei confronti delle azioni sismiche pari ad uno.
ξ
Analisi
SLV n.23
SLV n.32
B1
1,1228
1,0101
B2
1,0136
1,0000
B3
0,9413
0,8452
B4
1,4063
1,2626
B5
0,9375
0,8417
B6
1,1500
1,0015
B7
1,0937
0,8826
B8
1,1250
1,0101
B9
1,1250
1,0101
B10
1,4670
1,1789
B11
1,8173
1,1789
B12
1,2384
1,0897
B13
1,0583
1,0000
B16
0,8657
0,6628
B17
0,7209
0,5365
B18
0,6864
0,4943
Tabella 5.18 – Moltiplicatore di crisi ξ
- 154 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
2,00
1,80
Moltiplicatore di cisi ξ
1,60
1,40
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
SLV-23
SLV-32
Figura 5.36 – Moltiplicatore di crisi ξ
La Figura 5.36 mostra che, pur ponendo il coefficiente di sicurezza per azioni sismiche
pari ad 1, in alcune delle analisi il moltiplicatore di crisi è inferiore all’unità, a
dimostrazione del fatto che, anche facendo a meno dei coefficienti di sicurezza, la
struttura è in grado di resistere solo ad azioni inferiori a quelle di progetto.
Un aspetto importante su cui è bene riflettere è che:
-
la PGAmax fornisce informazioni sulla vulnerabilità sismica globale dell’edificio,
fornendo il valore dell’azione sismica che induce crisi della struttura;
-
ξ rappresenta il grado di sicurezza dell’edificio (se tutti i coefficienti parziali di
sicurezza sono assunti unitari) nelle condizioni di progetto.
In altri termini la PGAmax è un parametro rappresentativo dello stato di collasso
convenzionale valutato per la particolare struttura presa in esame, il moltiplicatore di crisi
è, invece, un parametro che denuncia la “distanza” elle condizioni di progetto dal
collasso.
- 155 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
5.4.6 Rigidezza secante alla traslazione orizzontale
Per quanto attiene la valutazione della rigidezza secante, come introdotto al § 5.2.4, è da
dire che per l’edificio oggetto di studio il taglio di piano interseca la curva caratteristica di
piano sempre nel ramo elastico lineare. Per questa ragione il rapporto tra le rigidezze ai
vari livelli rimane ovunque pressoché costante. Nella Tabella 5.19 e nella Tabella 5.20 si
mostrano le rigidezze secanti con la relativa valutazione della regolarità in altezza in
termini di rigidezza per la sola analisi B1 secondo le combinazioni allo SLV n.23 e n.32.
Combinazione SLV - N.23
PARETE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
T [kN]
δ [mm]
K [kN/m]
Liv. 1
97,08
0,375
2,59E+05
Liv. 3
184,65
0,622
2,97E+05
Liv. 1
282,99
0,428
6,61E+05
Liv. 3
537,77
-
-
Liv. 1
223,52
0,391
5,72E+05
Liv. 3
424,49
0,644
6,59E+05
Liv. 1
286,24
0,380
7,53E+05
Liv. 3
543,28
0,631
8,61E+05
Liv. 1
55,46
0,110
5,04E+05
Liv. 3
105,75
0,184
5,75E+05
Liv. 1
68,14
0,112
6,08E+05
Liv. 3
129,67
0,187
6,93E+05
Liv. 1
68,98
0,114
6,05E+05
Liv. 3
130,98
0,190
6,89E+05
Liv. 1
43,20
0,117
3,69E+05
Liv. 3
81,80
0,194
4,22E+05
Liv. 1
31,18
0,120
2,60E+05
Liv. 3
58,87
0,198
2,97E+05
K1/K3
0,7 ≤ K1/K3 ≤ 1,1
0,87
SI
-
-
0,87
SI
0,87
SI
0,88
SI
0,88
SI
0,88
SI
0,88
SI
0,87
SI
Tabella 5.19 – Rigidezza secante delle pareti (comb. SLV n.23)
Combinazione SLV - N.32
PARETE
T [kN]
δ [mm]
K [kN/m]
- 156 -
K1/K3
0,7 ≤ K1/K3 ≤ 1,1
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Liv. 1
14,74
0,056
2,63E+05
Liv. 3
28,36
0,095
2,99E+05
Liv. 1
70,63
0,094
7,51E+05
Liv. 3
134,67
0,156
8,63E+05
Liv. 1
72,47
0,122
5,94E+05
Liv. 3
137,48
0,203
6,77E+05
Liv. 1
113,25
0,150
7,55E+05
Liv. 3
214,17
0,249
8,60E+05
Liv. 1
164,25
0,327
5,02E+05
Liv. 3
312,80
0,545
5,74E+05
Liv. 1
215,39
0,355
6,07E+05
Liv. 3
409,54
0,590
6,94E+05
Liv. 1
231,83
0,384
6,04E+05
Liv. 3
440,15
0,670
6,57E+05
Liv. 1
157,22
-
-
Liv. 3
298,19
-
-
Liv. 1
121,60
0,488
2,49E+05
Liv. 3
230,33
-
-
0,88
SI
0,87
SI
0,88
SI
0,88
SI
0,88
SI
0,87
SI
0,92
SI
-
-
-
-
Tabella 5.20 – Rigidezza secante delle pareti (comb. SLV n.32)
È ovvio che nel caso in cui avvenga la crisi del livello non è possibile determinare alcun
valore della rigidezza secante e di conseguenza non è possibile effettuare (per quelle
pareti) valutazioni circa la regolarità in altezza in termini di rigidezza.
Va comunque sottolineato che l’edificio oggetto di verifica,attese l’irregolarità in altezza in
termini di masse e la regolarità in altezza in termini di rigidezze, potrebbe esibire un
comportamento sufficientemente regolare in campo elastico e significativamente
irregolare in campo plastico, ossia caratterizzato da una limitata ridistribuzione delle
sollecitazioni (sovraresistenza esigua).
- 157 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
5.5 Analisi statica non lineare
Il metodo tradizionale di analisi statica non lineare si può ritenere valido solo per
costruzioni il cui comportamento sotto la componente del terremoto considerata è
governato dal modo di vibrare naturale principale. L’analisi prevede che al sistema
strutturale reale venga associato un sistema strutturale equivalente ad un grado di libertà
Figura 5.37 – Sistema elasto-plastico equivalente ad un grado di libertà
(ved. Figura 5.37) dove la forza F* e lo spostamento d* sono legati alle corrispondenti
grandezze del sistema reale attraverso le relazioni fornite al § C7.3.4.1 della Circolare
Attuativa delle NTC.
Al fine di eseguire un paragone attendibile tra l’analisi statica lineare e quella non lineare
è necessario effettuare un confronto utilizzando le combinazioni che presentano, per
entrambe le metodologia di analisi, coerenza in termini di direzione e verso dell’azione
sismica ed eccentricità. Le combinazioni che saranno confrontate alla luce di quanto detto
saranno:
Statica lineare
Statica non lineare
SLV n. 23
n. 1
SLV n. 32
n. 5
- 158 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Ciascuna combinazione considerata per le analisi statiche non lineari presenta due
distribuzioni di forze orizzontali:
a) quella proporzionale alle masse;
b) quella proporzionale alle masse per gli spostamenti del primo modo di vibrare.
Ognuna delle analisi parametriche con le combinazioni scelte sarà effettuata in
considerazione delle due distribuzioni di forze.
Si riportano, di seguito, le curve di push-over per l’edificio B1.
Figura 5.38 – Legenda relativa alle curve di push-over
Figura 5.39 – Curve di push-over (combinazione 1, direzione x, distribuzione {A})
- 159 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.40 – Curve di push-over (combinazione 1, direzione x, distribuzione {B})
Figura 5.41 – Curve di push-over (combinazione 5, direzione y, distribuzione {A})
- 160 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.42 – Curve di push-over (combinazione 5, direzione y, distribuzione {B})
5.5.1 Periodo proprio dell’oscillatore elasto-plastico equivalente
Mentre nell’analisi statica lineare il valore del periodo proprio della struttura è assunto a
priori in funzione della sola altezza dell’edificio secondo la relazione:
3
4
3
4
T = 0,05 ⋅ H = 0,05 ⋅ (8,00) = 0,238 s
attraverso l’analisi statica non lineare è possibile determinare il valore del periodo proprio
a partire dalla definizione riportata nel § C7.3.4 della bozza della Circolare Attuativa delle
NTC:
T* =
2 ⋅π
ω*
=
2 ⋅π
k*
m*
= 2 ⋅π ⋅
m*
k*
dove m* è la massa dell’edificio e k* la rigidezza del suo sistema elasto-plastico
equivalente.
I valori del periodo di oscillazione così ottenuti sono di seguito riportati al variare dei
parametri di input definiti al § 5.2.-1928854296 valutati per la combinazione n.1. Si
riportano in forma grafica esclusivamente le variazioni maggiormente significative.
- 161 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
0,45
0,40
Periodo Proprio T* [s]
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
Distrubuzione proporzionale alle masse
Distribuzione proporzionale alle masse per gli spostamenti del primo modo
Figura 5.43 – Periodo proprio T* [s]
Distrubuzione
proporzionale alle
masse {A}
Distribuzione
proporzionale alle
masse per gli
spostamenti {B}
Analisi
T* [s]
T* [s]
B1
0,2692
0,2708
B6
0,2504
0,2520
B7
0,2784
0,2800
B8
0,3032
0,3073
B9
0,2378
0,2394
B10
0,2647
0,2666
B11
0,2505
0,2571
B12
0,2576
0,2596
B13
0,2701
0,2715
B16
0,3206
0,3244
B17
0,3667
0,3716
B18
0,4077
0,4166
- 162 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Tabella 5.21 – Periodo proprio di oscillazione T*
Risulta evidente che il periodo proprio adottato nell’analisi statica lineare non trova
preciso riscontro nell’analisi non lineare dove il valore del periodo cambia al variare di
alcuni parametri di input e della distribuzione di forze orizzontali considerata.
Lo scopo di questa trattazione, oltre ad essere quello di considerare le differenze tra il
periodo proprio adottato nell’analisi lineare e quello determinato con l’analisi non lineare,
è quello di accertare un valore del periodo proprio che rispecchi maggiormente il
comportamento reale della struttura e stabilire quanto vale l’errore commesso nell’analisi
statica lineare. Si ricavano, pertanto, per le due distribuzioni di forze (proporzionale alle
masse e proporzionale alle masse per gli spostamenti) i seguenti valori medi relativi alle
analisi dalla B1 alla B13:
Tm{ A} = 0,2647 s
Tm{ B} = 0,2669 s
Per valutare quanto mediamente i valori del periodo calcolati attraverso le analisi
parametriche distano dal valore medio è utile calcolare lo scarto quadratico medio:
N
∑ (T − T )
σ=
i =1
2
i
m
N −1
per cui risulta:
σ { A} = 0,0155 s
σ {B} = 0,0157 s
In considerazione di quanto detto si può affermare che il valore vero del periodo proprio
ricade nell’intervallo definito a partire dal valore medio nel modo seguente:
Tsnl = Tm ± σ = Tm (1 ± COV )
intendendo per COV il coefficiente di variazione:
COV =
σ
Tm
L’intervallo in cui può ricadere il valore vero del periodo proprio, a partire dal valore
medio, è proporzionale a:
COV { A} = ±0,0587
COV { B} = ±0,0590
- 163 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Assumendo, in maniera semplificativa, che il reale periodo proprio della struttura in
oggetto coincida con quello ottenuto come valore medio è evidente che il valore di Tsnl
differisce da Tsl delle seguenti percentuali:
{ A}
Tsnl
= 0,2647 s
{ B}
Tsnl
= 0,2669 s
Tsl = 0,2384 s
δ {B} = 11,94%
δ { A} = 11,02%
Risultati del tutto analoghi (in termini di dispersione dei valori) sono ottenuti
considerando i periodi propri di oscillazione ricavati a partire dalla combinazione n. 5. La
sola differenza ovviamente risiede nel valore medio del periodo e nella differenza
percentuale che tale valore medio ha rispetto al periodo adottato nell’analisi statica
lineare, che per la combinazione n. 5 è pari a:
{ A}
= 0,2726 s
Tsnl
{ B}
= 0,2751 s
Tsnl
Tsl = 0,2384 s
δ {B} = 15,39%
δ { A} = 14,36%
Dai confronti effettuati si nota che, attribuendo al periodo proprio di oscillazione della
struttura il valore ottenuto dalla relazione:
3
3
T = 0,05 ⋅ H 4 = 0,05 ⋅ (8,00) 4 = 0,238 s
si commette un errore dell’ordine del 15%. L’approssimazione compiuta nell’analisi
statica lineare, per la valutazione del periodo proprio fondamentale di oscillazione della
struttura potrebbe sembrare forte ma in realtà, almeno in termini di accelerazione
spettrale (ovvero richiesta di resistenza globale), non lo è. Il periodo proprio della
struttura nell’analisi statica lineare consente di determinare, a mezzo dello spettro di
risposta in accelerazione, l’azione sismica cui la struttura è soggetta. Per le costruzioni in
muratura a due piani, sia il periodo proprio adottato nell’analisi statica lineare che quello
ottenuto dall’analisi non lineare ricadono (nella maggior parte dei casi) nel ramo costante
dello spettro di risposta in accelerazione orizzontale, il che non implica alcun errore nella
determinazione dell’azione sismica nell’analisi statica lineare.
Si osserva, poi, che il periodo adottato nell’analisi statica lineare risulta inferiore a quello
mediamente ottenuto dalle analisi parametriche non lineari. Da questa osservazione si
deduce che:
- 164 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
a) se Tsl ricade nel ramo iperbolico o in quello lineare (se esso è decrescente) dello
spettro di progetto, le azioni simiche determinate nell’analisi statica lineare sono
leggermente sovrastimate il che, sebbene possa essere visto come conservativo, è
sicuramente un dato a discapito di economia della costruzione;
b) se Tsl ricade nel ramo lineare dello spettro ed esso è crescente, si effettua una
sottostima dell’azione sismica che, sebbene possa essere minima e dalla quale ci si
tuteli con i coefficienti di sicurezza, rappresenta comunque una incertezza sul
modello dell’analisi statica lineare.
Un’altra considerazione interessante nasce dal confronto tra i periodi propri valutati
secondo le due tipologie di analisi al variare del numero di piani. Nella Figura 5.44 e nella
Tabella 5.22 sono riportati i risultati ottenuti.
Si nota che il valore del periodo proprio adottato nell’analisi statica lineare è inferiore a
quello ottenuto con l’analisi statica non lineare per edifici bassi, mentre è maggiore per
edifici alti. Il punto in cui i periodi propri risultano pressoché uguali corrisponde ad un
numero di piani pari a tre. Questo dato non è certamente generalizzabile, nel senso che la
coincidenza tra i periodi valutati con le due metodologie di analisi per l’edificio a tre piani
può non essere sempre vera, poiché dipende dalla tipologia di edificio considerato e dalle
sue caratteristiche.
- 165 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
0,500
0,450
Periodo Ptoprio T
0,400
0,350
0,300
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
2
3
Statica Lineare
4
5
Statica Non Lineare
Figura 5.44 – Confronto tra le analisi sul calcolo di T
N.Piani
Tsl
Tsnl
2
0,238
0,2708
3
0,322
0,3244
4
0,400
0,3716
5
0,473
0,4166
Tabella 5.22 – Confronto tra Tsl e Tsnl
Si precisa che il detto confronto è stato effettuato a partire da risultati ottenuti con l’analisi
B1 (nell’statica lineare) e con la combinazione n. 1 con distribuzione proporzionale alle
masse per gli spostamenti del primo modo di vibrare (nell’analisi statica non lineare).
5.5.2 Rapporto di sovraresistenza αu/α1 e fattore di struttura qsnl
Il rapporto di sovraresistenza αu/α1, per l’analisi statica lineare, è definito al § 7.3.1 del DM
14.01.2008 in funzione del numero di piani e della regolarità dell’edificio. Tale rapporto è
- 166 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
da ritenersi, per l’edificio in oggetto, pari alla media aritmetica tra il valore 1,0 e 1,8 per
cui risulta pari ad 1,4. Definito tale rapporto, si determina il fattore di struttura q attraverso
la relazione:
q = 2,0 ⋅
αu
⋅ KR
α1
Il fattore riduttivo KR è definito al § 7.3.1 delle NTC in funzione della regolarità
dell’edificio. Nel caso specifico (costruzione non regolare in altezza) il fattore KR vale 0,8 e,
di conseguenza, si ha q = 2,24.
Attraverso l’analisi statica non lineare è possibile determinare il valore del rapporto αu/α1
con il fine di valutare, non solo l’attendibilità di quello utilizzato per l’analisi statica
lineare, ma
anche determinare un
rapporto
di sovraresistenza maggiormente
rappresentativo della struttura considerata.
Di seguito si riportano i valori del rapporto di sovraresistenza determinati con le analisi
statiche non lineari al variare dei parametri di input per i quali si hanno variazioni
significative (definiti al § 5.2.-1928854296), valutati per la combinazione n. 1 e n. 5.
2,000
Rapporto di sovraresistenza
1,800
1,600
1,400
1,200
1,000
0,800
0,600
0,400
0,200
0,000
B1
B10 B11 fvk=0,036 fvk=0,05
B12 FC=1
B13 FC=1,35
B16 np=3
B17 np=4
B18 np=5
Distrubuzione proporzionale alle masse
Distribuzione proporzionale alle masse per gli spostamenti del primo modo
Figura 5.45 – Rapporto di sovraresistenza (comb. 1)
- 167 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Distrubuzione
proporzionale alle
masse
Distribuzione
proporzionale alle
masse per gli
spostamenti del
primo modo
Analisi
αu/α1
qsnl
αu/α1
qsnl
B1
1,317
2,107
1,654
2,646
B10
1,148
1,837
1,096
1,754
B11
1,191
1,906
1,139
1,822
B12
1,204
1,926
1,107
1,771
B13
1,367
2,187
1,232
1,971
B16
1,308
2,093
0,924
1,478
B17
1,483
2,373
1,032
1,651
B18
1,72
2,752
1,367
2,187
media
1,342
2,148
1,194
1,910
Tabella 5.23 – αu/α1 e qsnl (comb. 1)
1,600
Rapporto di sovraresistenza
1,400
1,200
1,000
0,800
0,600
0,400
0,200
0,000
B1
B10 B11 fvk=0,036 fvk=0,05
B12 FC=1
B13 FC=1,35
B16 np=3
B17 np=4
B18 np=5
Distrubuzione proporzionale alle masse
Distribuzione proporzionale alle masse per gli spostamenti del primo modo
Figura 5.46 – Rapporto di sovraresistenza (comb. 5)
- 168 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Distrubuzione
proporzionale alle
masse
Distribuzione
proporzionale alle
masse per gli
spostamenti del
primo modo
Analisi
αu/α1
qsnl
αu/α1
B1
1,183
1,893
1,326
qsnl
2,122
B10
0,985
1,576
1,073
1,717
B11
1,000
1,600
1,112
1,779
B12
1,090
1,744
1,214
1,942
B13
1,123
1,797
1,330
2,128
B16
1,028
1,645
1,001
1,602
B17
1,178
1,885
1,143
1,829
B18
1,506
2,410
1,441
2,306
media
1,137
1,819
1,205
1,928
Tabella 5.24 – αu/α1 e qsnl (comb. 5)
La differenza tra il rapporto di sovraresistenza e il fattore di struttura adottati nell’analisi
statica lineare e quelli ottenuti con l’analisi statica non lineare può essere valutata, in
maniera sintetica, in termini medi (ved. Tabella 5.23 e Tabella 5.24). I valori medi del
rapporto di sovraresistenza e del fattore di struttura ottenuti dalle analisi risultano
sempre inferiori a quelli adottati nell’analisi statica lineare per una percentuale che oscilla
tra il 5% e il 20% (considerando anche le combinazioni non riportate).
Nell’analisi statica lineare sono possibili due tipi di approccio. Il primo è quello secondo il
quale la struttura può esistere esclusivamente in campo elastico; le risorse plastiche sono
viste come una riserva di sicurezza. Il secondo, invece, sfrutta le risorse anaelastiche della
struttura per dissipare buona parte dell’energia sismica.
- 169 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Tabella 5.25 – Risorse anaelastiche della struttura
Dalla Figura 5.25 si evince come, sfruttando la duttilità, sia possibile progettare le
strutture con forze sismiche notevolmente più basse di quelle derivanti dallo spettro
elastico. La riduzione dell’azione di progetto si massimizza con l’aumentare delle capacità
dissipative, deformative e con la regolarità della struttura, mentre tende a diminuire con
la progressiva riduzione della possibilità di distribuire uniformemente, nei vari elementi
strutturali, le sollecitazioni.
Come è noto, nell’analisi statica lineare, la riduzione dello spettro elastico in spettro di
progetto avviene attraverso il fattore di struttura q. Il valore dettato per esso dalla
normativa per l’edificio oggetto di studio, come detto in precedenza, risulta essere
maggiore (fino al 20% per alcune combinazioni) di quello determinato a mezzo
dell’analisi statica non lineare. In linea di principio con quanto scritto finora, un fattore di
struttura minore è indice di duttilità e sovraresistenza della struttura inferiori rispetto a
quelle supposte nell’analisi statica lineare. In oltre, nel modello di quest’analisi,
l’accelerazione spettrale di progetto è ottenuta a partire da quella spettrale elastica
attraverso la relazione:
S d (T ) =
S e (T )
η ⋅q
A parità di indice di smorzamento η, l’aver adottato nell’analisi statica lineare un fattore
di struttura q maggiore di circa il 20% rispetto a quello che più rispecchia il
- 170 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
comportamento reale della struttura (valutato con l’analisi statica non lineare) significa
aver utilizzato un’accelerazione spettrale di progetto inferiore di circa il 20%, alla quale
segue l’ovvia sottostima dell’azione sismica.
In talune condizioni questo tipo di errore può essere trascurato rispetto alla totalità delle
incertezze presenti nel modello dell’analisi statica lineare dalle quali ci si tutela a mezzo
dei coefficienti di sicurezza. È senz’altro utile, però, mostrare quanto sia possibile ridurre
le incertezze di un’analisi statica lineare utilizzando un fattore di struttura calcolato in
funzione delle effettive capacità anaelastiche della struttura.
Ulteriori considerazioni circa il rapporto di sovraresistenza αu/α1, con particolare
riferimento agli edifici aventi più di due piani, sono successivamente riportate al § 5.5.7
relativo alla vulnerabilità sismica.
5.5.3 Fattore di struttura dell’oscillatore elasto-plastico equivalente
Il modello dell’analisi statica non lineare consente di pervenire al calcolo del fattore di
struttura q* definito dalla Circolare Attuativa delle NTC al § C7.3.4.1 come rapporto tra la
forza elastica e la forza di prima plasticizzazione del sistema equivalente:
S e (T * ) ⋅ m*
q =
Fy*
*
Eseguendo le analisi parametriche tenendo sotto controllo, al variare dei parametri di
input, il fattore di struttura q* si nota che esso varia fortemente, non solo tra le due
distribuzioni di forze considerate, ma anche tra le combinazioni secondo cui le analisi
vengono condotte. Questo è chiaramente un risultato atteso in quanto, essendo q*
fortemente legato alle azioni di progetto, esso assume implicitamente valori diversi in
funzione della crisi e, quindi, in funzione delle combinazioni e delle distribuzioni di forze.
Si riportano, di seguito, i valori di q* ottenuti per le combinazioni n. 1 e n. 5 in funzione
dei parametri di input maggiormente significativi.
- 171 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
2,00
Fattore di struttura q*
1,80
1,60
1,40
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
Distrubuzione proporzionale alle masse
Distribuzione proporzionale alle masse per gli spostamenti del primo modo
Figura 5.47 – Fattore di struttura q* per la combinazione n.1
Distribuzione
Distrubuzione
proporzionale alle
proporzionale alle
masse per gli
spostamenti del
masse
primo modo
Analisi
q*
q*
B1
1,1012
1,4262
B2
1,2222
1,5823
B3
1,3161
1,7049
B4
0,8810
1,1457
B5
1,3214
1,7115
B10
0,9617
0,9368
B11
0,9134
0,7859
B12
1,0601
1,1169
B13
1,1120
1,4901
B16
1,4345
1,7942
B17
1,5273
1,8354
B18
0,9787
1,7200
Tabella 5.26 – Fattore di struttura (comb. n.1)
- 172 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Fattore di struttura q*
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
Distrubuzione proporzionale alle masse
Distribuzione proporzionale alle masse per gli spostamenti del primo modo
Figura 5. 48 – Fattore di struttura q* per la combinazione n.5
Distribuzione
Distrubuzione
proporzionale alle
proporzionale alle
masse per gli
masse
spostamenti del
primo modo
Analisi
q*
q*
B1
1,1939
0,7465
B2
1,3251
0,8200
B3
1,4269
0,8766
B4
0,9549
0,5971
B5
1,4327
0,8958
B10
1,0596
0,5118
B11
1,0643
0,4848
B12
1,1016
0,6510
B13
1,9779
0,7597
B16
1,4892
0,8790
B17
1,6187
0,8742
B18
1,4865
0,8497
- 173 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Tabella 5.27 – Fattore di struttura (comb. n.5)
Il parametro q* è utilizzato in questo studio come ulteriore elemento per la validazione
dell’analisi statica non lineare. La bozza della Circolare Attuativa delle NTC stabilisce che:
q* ≤ 3
per cui ogni qualvolta che il fattore q* assume valore maggiore di 3 la struttura viene
considerata comunque non verificata.
Il § C7.3.4.1 della detta Circolare stabilisce, con riferimento ad una struttura con T* < TC
che:
Figura 5.49 – Spostamento di riferimento
-
se q* ≤ 1 , la domanda anelastica in spostamento è uguale a quella di un sistema
elastico di pari periodo (Figura 5.49 sinistra);
-
se q* > 1, la domanda anelastica in spostamento è maggiore di quella di un sistema
elastico di pari periodo (Figura 5.49 destra).
Nel primo caso vale, infatti, il principio di uguaglianza degli spostamenti mentre nel
secondo vale il principio di uguaglianza delle energie.
Per quanto detto è possibile dedurre che ogni qualvolta dalle analisi strutturali eseguite si
determina un fattore q* > 1 essendo comunque sempre T* < TC, la struttura possiede
capacità plastiche di duttilità maggiori rispetto a quelle del sistema elastico equivalente in
- 174 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
quanto lo spostamento massimo che la struttura può esibire è maggiore rispetto a quello
elastico.
A questo punto il fattore q* diventa una misura indiretta del comportamento della
struttura in termini di duttilità globale della stessa. A partire dal valore di q* dell’analisi
base B1, si nota che i parametri che fanno diminuire il comportamento duttile dell’edificio
(rispetto a quello di base) sono quelli che influenzano l’incremento della resistenza
(aumento della resistenza a taglio da trazione e da scorrimento e anche riduzione del
fattore di confidenza), mentre i parametri che incrementano il comportamento duttile
della struttura son quelli che fanno aumentare l’azione sismica e fanno ridurre le
resistenze.
Cosa sicuramente interessante è scaturita dall’osservazione della variazione del fattore di
struttura q* al variare del numero di piani dell’edificio. Aumentando il numero di piani da
2 a 3 e poi a 4 si nota che il fattore si struttura dell’oscillatore equivalente tende ad
aumentare, sintomo che la capacità dissipativa dell’edificio aumenta. La struttura
composta da 4 piani è, infatti, in grado di esibire un comportamento plastico
maggiormente significativo rispetto all’edificio composto da due piani il che equivale ad
un maggiore sfruttamento delle risorse anaelastiche disponibili e a poter eseguire l’analisi
statica lineare della struttura con forze sismiche di progetto inferiori. Quando poi si
ipotizza la presenza di un ulteriore piano nella struttura, il meccanismo di crisi diventa
maggiormente incalzante ed avviene prima che la struttura possa esibire tutta la sua
duttilità; proprio per questo motivo si osserva un fattore di struttura q* decrescente.
5.5.4 Tasso di sollecitazione sismico delle pareti
Il tasso di sollecitazione della parete k al livello i è determinabile a mezzo della relazione
già definita precedentemente:
- 175 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
ρ snl ,(i ,k ) =
T(i ,k )
Vu ,(i ,k )
In un’analisi statica non lineare, il rapporto tra il taglio agente e il massimo sforzo
orizzontale sopportabile (sia per la parete che per il pannello di maschio) può essere
definito ad ogni passo dell’analisi, ossia per ogni valore dello spostamento della curva di
push-over. Certamente il tasso ρsnl maggiormente significativo, per lo scopo di questa tesi, è
quello determinato in corrispondenza del massimo valore dello spostamento richiesto dal
sisma:
ρ snl , (i , k ) =
T(i , k ) (δ max, SLV )
Vu , (i , k ) (δ max, SLV )
A causa del meccanismo di crisi fragile dell’edificio oggetto di studio (crisi per taglio in
campo elastico lineare per spostamenti molto piccoli) si ha, come si osserva dalle curve di
push-over riportate al § 5.5, che la struttura va in crisi prima di attingere lo spostamento
massimo richiesto dal sisma allo SLV. Questo fenomeno lo si riscontra in tutte le analisi
parametriche eccetto quelle in cui si incrementa il valore di resistenza a taglio (da trazione
e da scorrimento) della muratura (analisi B10 e B11). Per la ragione citata non è possibile
determinare il tasso di sollecitazione allo SLV per tutte le analisi parametriche ma lo si
può determinare esclusivamente per alcune delle distribuzioni di forze delle analisi B10 e
B11.
Si mostra ora la procedura impiegata per la determinazione del tasso di sollecitazione
della parete 3 al livello 2; esso è stato valutato per l’analisi B10 con la combinazione statica
non lineare n. 1 e la distribuzione di forze proporzionale alle masse.
- 176 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.50 – Curve di push-over (combinazione 1, direzione x, distribuzione {A})
In Figura 5.50 sono rappresentate le curva di push-over relative all’analisi B10. Dal grafico è
possibile evidenziare il valore del massimo spostamento richiesto dal sisma allo SLV
(0,475 mm) del punto di controllo rappresentato dal baricentro dell’impalcato di
copertura. Attraverso il codice di calcolo automatico RAN si stabilisce a quale passo della
push-over si attinge il valore di spostamento evidenziato in modo da leggere, per gli stessi
passi, lo spostamento massimo richiesto (allo SLV) della al livello 2 parete 3. In
corrispondenza di questo spostamento, attraverso le tabelle fornite dal codice, si
determinano i valori di taglio applicato (260,82 kN) e sforzo orizzontale ultimo (641,69 kN)
al livello 2 della parete, per cui si ha:
ρ snl , (i , k ) =
T(i , k ) (δ max, SLV )
Vu , (i , k ) (δ max, SLV )
=
260,82kN
= 0,406
641,69kN
Con la procedura appena descritta si valutano i rimanenti tassi di sollecitazione. Si
riporta, di seguito, la tabella riassuntiva dei valori dei tassi di sollecitazione determinati
con l’analisi statica lineare per un immediato confronto.
Parete
Analisi
Livello
2
3
B10
4
Distribuzione
ρsnl
{A}
0,406
{B}
0,348
{A}
0,187
{B}
0,421
- 177 -
ρsl
0,577
0,641
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
2
B11
4
2
B10
4
5
2
B11
4
2
B10
4
8
2
B11
4
{A}
0,260
{B}
0,185
{A}
0,132
{B}
0,183
{A}
0,274
{B}
_
{A}
0,345
{B}
_
{A}
0,333
{B}
0,240
{A}
0,165
{B}
0,270
{A}
0,553
{B}
_
{A}
0,551
{B}
_
{A}
0,819
{B}
0,536
{A}
0,373
{B}
0,564
0,455
0,534
0,485
0,553
0,4
0,461
1,103
0,98
0,914
0,812
Tabella 5.28 – ρsnl delle pareti
Di seguito si mettono a confronto, attraverso istogrammi, i valori del tasso di
sollecitazione determinati con l’analisi statica lineare e quelli determinato con l’analisi
statica non lineare (secondo le due distribuzioni di forze considerate).
- 178 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
0,70
Tasso di sollecitazione ρ
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
Liv.2 - B10
Liv.4 - B10
ρsnl {B}
ρsnl {A}
Liv.2 - B11
Liv.4 - B11
ρsl
Figura 5.51 – ρsnl della parete 3
0,60
Tasso di sollecitazione ρ
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
Liv.2 - B10
Liv.4 - B10
ρsnl {B}
ρsnl {A}
Liv.2 - B11
ρsl
Figura 5.52 – ρsnl della parete 5
- 179 -
Liv.4 - B11
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
1,20
Tasso di sollecitazione ρ
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
Liv.2 - B10
Liv.4 - B10
ρsnl {B}
ρsnl {A}
Liv.2 - B11
Liv.4 - B11
ρsl
Figura 5.53 – ρsnl della parete 8
Dall’osservazione della tabella e degli istogrammi si nota che:
a) i tassi di sollecitazione dell’analisi statica non lineare, a parità di combinazione e di
distribuzione, assumono valori sempre inferiori a quelli determinati con l’analisi
statica lineare;
b) i tassi di sollecitazione tendono a diminuire nel passaggio dall’analisi B10 alla B11
sia nell’analisi statica lineare che in quella non lineare coerentemente, con quanto
ci si attende dall’aumento della resistenza a taglio che sussiste nel passaggio tra le
analisi;
c) i tassi di sollecitazione valutati con l’analisi statica non lineare non possono essere
mai superiori all’unità in quanto, se così fosse, si avrebbe la crisi del livello con
immediata interruzione nel tracciamento della curva di push-over;
d) i tassi di sollecitazione valutati secondo la distribuzione {A} per il livello 2 sono
maggiori di quelli valutati secondo la distribuzione {B}; il contrario accade per il
livello 4.
Potendo attribuire all’analisi statica non lineare una maggiore precisione e accuratezza
rispetto all’analisi statica lineare, le differenze riscontrate in termini di tasso di
- 180 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
sollecitazione dimostrano ancora una volta quale sia il grado di approssimazione
dell’analisi statica lineare. In particolare, fornisce tassi di sollecitazione delle pareti
sovrastimati rispetto a quelli desunti dall’analisi non lineare, di una quantità che oscilla
tra il 10% e il 60%. Essendo approssimazioni in sovrastima di sollecitazioni l’incertezza in
sé, anche se così forte, in termini di sicurezza non è pericolosa in quanto fa apparire
maggiormente sollecitati gli elementi strutturali. Il punto, però, è che sebbene sia un
errore che non mette a repentaglio la sicurezza è pur sempre causa di mancata
ottimizzazione nella progettazione e nella verifica prestazionale delle strutture.
5.5.5 Tasso di sollecitazione sismico dei pannelli di maschio
Considerazioni del tutto analoghe a quelle effettuate sui tassi di sollecitazione relativi alle
pareti si possono effettuare per i pannelli di maschio. Si riportano in tabella i valori del
tasso di sollecitazione sismico (per i pannelli ove è stata possibile la determinazione con
l’analisi statica non lineare) confrontati con i valori desunti dall’analisi statica lineare
precedentemente effettuata.
Parete
Analisi
Pannello Distribuzione
2,7,3
B10
4,7,3
3
2,7,3
B11
4,7,3
2,3,5
B10
5
4,3,5
B11
2,3,5
ρsnl
{A}
0,280
{B}
0,215
{A}
0,114
{B}
0,255
{A}
0,159
{B}
0,113
{A}
0,082
{B}
0,110
{A}
0,271
{B}
_
{A}
0,341
{B}
_
{A}
0,327
{B}
0,235
- 181 -
ρsl
0,324
0,381
0,269
0,349
0,480
0,549
0,394
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
4,3,5
2,3,8
B10
4,3,8
8
2,3,8
B11
4,3,8
{A}
0,163
{B}
0,267
{A}
0,488
{B}
_
{A}
0,476
{B}
_
{A}
0,819
{B}
0,496
{A}
0,331
{B}
0,464
0,459
>1
0,974
0,906
0,791
Tabella 5.29 – ρsnl dei pannelli di maschio
Di seguito si mettono a confronto, attraverso istogrammi, i valori del tasso di
sollecitazione determinati con l’analisi statica lineare con quelli determinati con l’analisi
statica non lineare (secondo le due distribuzioni di forze considerate).
0,45
Tasso di sollecitazione ρ
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
2,7,3 - B10
4,7,3 - B10
ρsnl {B}
ρsnl {A}
2,7,3 - B11
4,7,3 - B11
ρsl
Figura 5.54 – ρsnl dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 3
- 182 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
0,60
Tasso di sollecitazione ρ
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
2,3,5 - B10
4,3,5 - B10
ρsnl {B}
ρsnl {A}
2,3,5 - B11
4,3,5 - B11
ρsl
Figura 5.55 – ρsnl dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 5
1,20
Tasso di sollecitazione ρ
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
2,3,8 - B10
4,3,8 - B10
ρsnl {B}
ρsnl {A}
2,3,8 - B11
4,3,8 - B11
ρsl
Figura 5.56 – ρsnl dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 8
I risultati ottenuti rispecchiano quanto già scritto in merito ai tassi di sollecitazione delle
pareti per cui, evitando inutili ripetizioni, si esamina un ulteriore aspetto.
- 183 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
Mettendo a confronto i tassi di sollecitazione valutati con le due tipologie di analisi
(lineare e non lineare) è stato possibile capire che, in virtù delle sovrastime che il modello
lineare commette nei confronti di quello non lineare, ciò che in un’analisi statica lineare
può sembrare uno stato locale di crisi (del piano di una parete o del pannello) in realtà
può non esserlo nell’analisi statica non lineare. Un esempio è ciò che accade al pannello
2,3,8. Per questo pannello di maschio, con l’analisi statica lineare B10 era stato
determinato un tasso di sollecitazione maggiore dell’unità, indice dello stato di crisi del
pannello. Eseguendo invece l’analisi non lineare, il tasso di sollecitazione dello stesso
pannello risulta essere pari a 0,488. Ciò significa che prima di intervenire sulla struttura
per eventuali consolidamenti per mancata verifica l’analisi statica lineare è più opportuno
eseguire un’analisi non lineare con il fine di determinare un grado di sollecitazione della
struttura molto più realistico.
5.5.6 Duttilità e indice di danno
La definizione di duttilità richiesta e disponibile effettuata nell’ambito dell’analisi statica
non lineare è del tutto analoga a quella illustrata per l’analisi statica lineare al § 5.2.4 della
presente tesi.
In corrispondenza di ogni passo dell’analisi push-over è impresso ad ogni elemento
strutturale (pannello di maschio o parete) uno spostamento δr. In corrispondenza dello
stesso passo, in virtù degli sforzi normali e degli sforzi di taglio che nascono, sono
definibili (per ogni elemento strutturale) uno spostamento al limite elastico non
proporzionale δb e uno spostamento ultimo δu (corrispondente al massimo sforzo
orizzontale applicabile sull’elemento). È evidente, a questo punto, che per ogni passo
dell’analisi statica non lineare è possibile definire valori di duttilità richiesta e disponibile,
in funzione degli spostamenti e degli sforzi corrispondenti al passo considerato. Per lo
scopo di questa tesi è necessario, naturalmente, avere un unico valore di duttilità
- 184 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
disponibile e richiesta per ogni elemento strutturale confrontabile con quello ottenuto
dall’analisi statica lineare. Per tale ragione i valori di duttilità sono determinati al passo
dell’analisi corrispondente al massimo spostamento del punto di controllo richiesto allo
SLV.
Si riportano di seguito i valori delle duttilità valutate per le analisi B10 e B11 per la parete 3
(comb. n.1), la parete 5 e la parete 8 (comb. n.5).
1,60
1,40
1,20
Duttilità μ
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
Liv.2 - B10
Liv.4 - B10
Liv.2 - B11
Liv.4 - B11
μr,snl {B}
0,391
0,668
0,191
0,266
μr,snl {A}
0,536
0,293
0,274
0,193
μr,sl
0,707
0,821
0,483
0,679
1,5
1,5
1,5
1,5
μd
Figura 5.57 – Duttilità della parete 3
- 185 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
1,60
1,40
1,20
Duttilità μ
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
Liv.2 - B10
Liv.4 - B10
Liv.2 - B11
Liv.4 - B11
μr,snl {B}
0,000
0,000
0,268
0,397
μr,snl {A}
0,346
0,510
0,367
0,244
μr,sl
0,586
0,677
0,472
0,563
1,5
1,5
1,5
1,5
μd
Figura 5.58 – Duttilità della parete 5
1,60
1,40
1,20
Duttilità μ
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
Liv.2 - B10
Liv.4 - B10
Liv.2 - B11
Liv.4 - B11
μr,snl {B}
0,000
0,000
0,500
0,612
μr,snl {A}
0,523
0,554
0,747
0,381
0
1,302
0,905
0,791
1,5
1,5
1,5
1,5
μr,sl
μd
Figura 5.59 – Duttilità della parete 8
- 186 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
1,60
1,40
1,20
Duttilità μ
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
2,7,3 - B10
4,7,3 - B10
2,7,3 - B11
4,7,3 - B11
μr,snl {B}
0,214
0,320
0,098
0,138
μr,snl {A}
0,284
0,142
0,141
0,100
μr,sl
0,323
0,666
0,263
0,666
1,5
1,5
1,5
1,5
μd
Figura 5.60 – Duttilità dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 3
1,60
1,40
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
2,3,5 - B10
4,3,5 - B10
2,3,5 - B11
4,3,5 - B11
μr,snl {B}
0,000
0,000
0,224
0,321
μr,snl {A}
0,288
0,411
0,311
0,196
μr,sl
0,480
0,549
0,389
0,459
1,5
1,5
1,5
1,5
μd
Figura 5.61 – Duttilità dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 5
- 187 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
1,60
1,40
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
2,3,8 - B10
4,3,8 - B10
2,3,8 - B11
4,3,8 - B11
μr,snl {B}
0,000
0,000
0,500
0,612
μr,snl {A}
0,523
0,554
0,747
0,381
μr,sl
0,000
0,974
0,905
0,791
1,5
1,5
1,5
1,5
μd
Figura 5.62 – Duttilità dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 8
Nei grafici sono riportati i valori della duttilità richiesta desunti dall’analisi statica non
lineare μr,snl (valutata secondo le due distribuzioni di forze previste), della duttilità
richiesta μr,sl desunta dall’analisi statica lineare e della duttilità disponibile μd.
Alla luce dei dati ottenuti limitatamente per le analisi B10 e B11 (in quanto sono le uniche
in cui la struttura collassa per uno spostamento maggiore di quello massimo richiesto allo
SLV) si possono svolgere le considerazioni seguenti.
In primo luogo, così come avveniva per l’analisi statica lineare, il valore della duttilità
disponibile μd dei pannelli e delle pareti ad ogni piano è sempre pari a 1,5. Il rapporto tra
spostamento ultimo e spostamento elastico permane pari a quello definito per crisi da
taglio in campo elastico. Dunque anche nella riduzione delle approssimazioni di calcolo
che si verificano nel passaggio dall’analisi lineare a quella non lineare il meccanismo di
crisi della struttura non varia.
Dall’osservazione dei valori delle duttilità richieste, valutate secondo la distribuzione {A}
di forze proporzionale alle masse e la distribuzione {B} di forze proporzionale alle masse
per gli spostamenti del primo modo di vibrare, si nota che per il livello di pannelli di
maschio più alto dell’edificio (livello 2) la duttilità richiesta dalla distribuzione {A} prevale
su quella richiesta dalla distribuzione {B}; il contrario accade al livello di pannelli di
- 188 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
maschio inferiore (livello 4). Questo dato collima perfettamente con quanto osservato per
il tasso di sollecitazione, a dimostrazione della perfetta analogia che esiste tra stato della
struttura in termini di forze e quello in termini di spostamento.
Un risultato molto interessante è costituito dal fatto che il valore della duttilità richiesta
valutata attraverso l’analisi statica lineare è sempre maggiore rispetto a quello valutato
con l’analisi statica non lineare. Stabilire una misura di riferimento della sovrastima è
alquanto arduo, in quanto essa oscilla tra il 10% e l’80%.
L’ultima considerazione riguarda l’indice di danno. Come si vede dai grafici riportati
sopra, il valore della duttilità richiesta (dei pannelli di maschio e delle pareti, ad ogni
piano) assume sempre valore inferiore all’unità. Così come scritto al § 5.4.3 nella
condizione in cui μr < 1 il danno fessurativo risulta chiaramente reversibile elasticamente e
l’indice di danneggiamento, per come è stato definito, è minore di zero. In questo caso si
assume comunque un indice di danno pari a zero.
5.5.7 Vulnerabilità sismica in termini di PGA
Così come fatto per l’analisi statica lineare, si procede alla valutazione della massima
accelerazione sopportabile al suolo dall’edificio come parametro che ne identifica la sua
vulnerabilità al variare dei parametri di input.
La massima accelerazione orizzontale sopportabile al suolo dal sistema ad un grado di
libertà è valutabile nell’analisi statica non lineare come:
S d (T ∗ ) =
Vbu∗
M∗
Noti la forma spettrale di progetto e il fattore di struttura (valutato in base al rapporto di
sovraresistenza determinato con l’analisi push-over) è possibile ottenere la massima
accelerazione sopportabile al suolo attraverso la seguente relazione:
PGAmax = S ⋅ a g ,max =
- 189 -
S d (T ∗ ) ⋅ q
F0
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
in quanto si ha che per TB ≤ T* ≤ TC:
1
S d (T ∗ ) = a g ,max ⋅ S ⋅ ⋅ F0
q
Di seguito si riportano gli istogrammi con la rappresentazione della massima PGA per le
due combinazioni e distribuzioni di forze considerate.
0,12
PGAmax [g]
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
B1
B10 B11 B12 - FC=1
B13 B16 - np=3 B17 - np=4 B18 - np=5
fvk=0,036 fvk=0,05
FC=1,35
Distrubuzione proporzionale alle masse
Distribuzione proporzionale alle masse per gli spostamenti del primo modo
Figura 5.63 – PGA [g] per la combinazione n.1 dell’analisi statica non lineare
- 190 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
0,09
0,08
PGAmax [g]
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
B1
B10 fvk=0,036
B11 B12 - FC=1
B13 B16 - np=3 B17 - np=4 B18 - np=5
fvk=0,05
FC=1,35
Distrubuzione proporzionale alle masse
Distribuzione proporzionale alle masse per gli spostamenti del primo modo
Figura 5.64 – PGA [g] per la combinazione n.5 dell’analisi statica non lineare
I parametri variati nelle analisi dalla B2 alla B9 non suscitano variazioni nella PGAmax
analogamente a come accadeva per le analisi statiche lineari. A cambiare sono, com’è
ovvio, i valori che tali accelerazioni assumono.
Si nota, dall’osservazione degli istogrammi innanzi riportati, che i valori di PGAmax
determinati con la distribuzione di forze proporzionale alle masse risultano essere sempre
maggiori (eccetto per l’analisi B11), a parità di analisi considerata, dei valori ottenuti
adottando una distribuzione di forze proporzionali alle masse per gli spostamenti del
primo modo di vibrare. Si può dunque affermare che che la distribuzione di forze
proporzionale alle masse per gli spostamenti del primo modo di vibrare risulta
globalmente più gravosa per l’edificio in oggetto, in quanto la sua vulnerabilità sismica
globale è maggiore (PGAmax sopportabile inferiore) rispetto all’altra distribuzione di forze.
Ciò non è vero localmente dove, osservando ad esempio i tassi di sollecitazione dei
pannelli e delle pareti, non è possibile stabilire quale delle due distribuzioni di forze sia
quella maggiormente gravosa.
A parità di analisi parametrica considerata, i valori di PGA massima sopportabile
nell’analisi statica non lineare risultano essere maggiori rispetto ai valori ottenuti con
- 191 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
l’analisi statica lineare di circa 4-5 volte. La ragione di questa differenza è insita, come
detto, nel modello e nel metodo di analisi impiegato.
Il valore di PGAmax viene determinato, nell’analisi statica lineare, attraverso lo studio della
capacità portante della struttura. Come già detto in precedenza, nel valutare la capacità
portante dell’edificio si incrementano le forze a mezzo di un moltiplicatore crescente ξ
fino al raggiungimento della condizione di crisi del primo pannello dell’edificio. In
corrispondenza di tale condizione, l’azione sismica in grado di generare le forze che
hanno portato al raggiungimento della capacità portante dell’edificio è rappresentativa
della PGAmax dell’edificio.
Nell’analisi statica non lineare, invece, tracciamento grafico della curva di push-over si
effettua incrementando lo spostamento del punto di controllo fino al raggiungimento
della crisi dell’edificio (intesa come collasso di un intero piano di una parete) e, in
corrispondenza di tale condizione, si valuta la PGAmax. La condizione di crisi in un’analisi
push-over è determinata, quindi, dal collasso di un intero piano di una parete e non dalla
crisi di un unico pannello, come invece avviene nell’analisi statica lineare. Per la ragione
citata e per le altre differenze concettuali che sussistono tra le due metodologie di analisi,
è alquanto ovvio che i valori di PGAmax determinati con l’analisi statica non lineare siano 45 volte più grandi di quelli ottenuti con l’analisi statica lineare.
Per quanto scritto, comunque, avendo ben chiara la definizione di rapporto di
sovraresistenza αu/α1, è ovvio il diretto legame che consegue tra la PGAmax,sl corrispondente
al moltiplicatore α1 (in quanto è proprio in corrispondenza del taglio proporzionale ad α1
che viene determinata la PGA) e la PGAmax,snl associata al moltiplicatore αu (in realtà
quest’ultima è una discendenza esclusivamente concettuale, in quanto la PGAmax,snl è
determinata in corrispondenza del taglio ultimo e αu invece si valuta solo al 90% del taglio
ultimo).
Quanto appena scritto serve a giustificare quanto segue.
Nelle valutazioni effettuate con l’analisi statica lineare la PGAmax,sl diminuisce fortemente
quando aumenta il numero di piani dell’edificio conseguentemente alla riduzione del
moltiplicatore α1. Nelle valutazioni effettuate mediante l’analisi statica non lineare, invece,
- 192 -
- Capitolo 5 – Analisi parametriche _____________________________________________________________________________________________________________________________
con l’aumento del numero dei piani il valore di PGAmax resta pressoché invariato o
comunque suscettibile di variazioni molto piccole, contrariamente a quanto ci si poteva
aspettare. In realtà, osservando quanto esposto al § 5.5.2, il rapporto di sovraresistenza
cresce con l’aumentare del numero di piani e ciò è coerente con la costanza di αu e la
diminuzione di α1:
αu
costante
→
→ aumenta
α1
diminuisce
Se il rapporto è crescente e il denominatore diminuisce allora necessariamente il
numeratore deve restare costante o deve aumentare. Avendo prima spiegato la
proporzionalità che c’è tra il moltiplicatore αu e il valore di PGAmax,snl, risulta chiaro che la
massima accelerazione sismica sopportabile non varia con l’aumentare del numero di
piani perché il taglio ultimo sopportabile dall’edificio non varia con il numero di piani.
L’ultima considerazione che si effettua è relativa alla vulnerabilità dell’edificio valutata
con l’analisi statica non lineare.
L’accelerazione al suolo del sito in cui l’edificio in muratura in oggetto è ubicato risulta
espressa allo SLV da:
PGA = a g ⋅ S = 0,055 g ⋅1,5 = 0,0825 g
Mentre nell’analisi statica lineare si otteneva che l’edificio non era mai globalmente
verificato in quanto la massima PGA sopportabile era sempre inferiore alla PGA del sito,
nell’analisi statica non lineare si osserva che per alcune combinazioni e distribuzioni di
forze l’edificio è in grado di sopportare accelerazioni sismiche al suolo maggiori di quella
del sito.
Ciò significa che i giudizi sulla vulnerabilità sismica degli edifici effettuati a seguito di
analisi statiche lineare sono fortemente condannati (di un ordine di grandezza e più)
rispetto alla reale vulnerabilità sismica degli stessi. Questa differenza è un risultato atteso
(chiaramente non in termini di valore, ma solo in linea di principio) in quanto è noto che a
causa delle approssimazioni insite nell’analisi statica lineare, i risultati forniti devono
essere più restrittivi proprio per poter compensare gli errori compiuti.
- 193 -
CONCLUSIONI
A valle delle analisi eseguite, i risultati ottenuti possono essere discussi in termini di:
a) mutamento della risposta sismica della struttura al variare dei parametri di input
definiti;
b) differenze tra le analisi statiche lineari e quelle non lineari.
Risposta sismica parametrica della struttura
Nelle analisi parametriche eseguite sono stati variati parametri relativi ai materiali, ai
coefficienti di sicurezza, all’azione sismica e all’altezza dell’edificio con l’obiettivo di
studiare la loro influenza sul comportamento della struttura. A tal fine, quest’ultimo è
stato “monitorato” attraverso parametri di controllo, quali tassi di sollecitazione, indici di
danno, fattori di duttilità, vulnerabilità sismica, etc., capaci di descriverlo in maniera
sintetica.
Per alcuni dei parametri di output (tassi di sollecitazione, fattori di duttilità, indici di
danno, vulnerabilità sismica) è stato possibile effettuare valutazioni e confronti,
nell’ambito sia dell’analisi statica lineare, sia in quello dell’analisi statica non lineare. Per
altri invece (quali il periodo proprio di oscillazione, il rapporto di sovraresistenza e il
fattore di struttura) è stato possibile effettuare la determinazione solo attraverso l’analisi
statica non lineare.
Dai risultati ottenuti attraverso l’analisi statica lineare si è osservato che per come è
costituita la struttura oggetto di studio, la cui risposta sismica di base è desumibile
dall’analisi B1, vi sono parametri che influenzano il suo comportamento in maniera quasi
trascurabile ed altri che invece lo mutano notevolmente. In particolare, avendo ben
presente le caratteristiche dell’edificio e i suoi meccanismi di crisi, osservando i tassi di
- 194 -
- CONCLUSIONI _____________________________________________________________________________________________________________________________
sollecitazione, le duttilità disponibili e richieste e gli indici di danno dei pannelli e delle
pareti determinati con l’analisi statica lineare, si nota che:
-
a partire dalla configurazione di base (analisi B1) i risultati cambiano poco se si
incrementa il peso specifico della muratura (analisi B7) e se si fa variare la
resistenza caratteristica a compressione della stessa (analisi B8 e B9);
-
l’analisi in cui si ipotizza la classe d’uso IV dell’edificio (analisi B3) e quella in cui si
suppone il suolo appartenente a categoria D (analisi B5) mostrano risultati molto
simili, per cui si può affermare in via preliminare che essi sembrano influenzare in
maniera del tutto analoga la domanda sismica;
-
il miglioramento che si ottiene nell’ipotizzare il suolo appartenente alla categoria B
(analisi B4) equivale a quello derivante dall’incremento della resistenza a taglio da
trazione e da scorrimento della muratura da 0,022 MPa a 0,036 MPa (analisi B10); il
tasso di sollecitazione si riduce di circa il 25%;
-
al variare delle analisi l’andamento della duttilità richiesta è analogo a quello dei
tassi di sollecitazione, a conferma del fatto che la duttilità richiesta ad un elemento
strutturale per fronteggiare l’azione sismica è strettamente dipendente dalla
domanda sismica stessa, analogamente a quanto accade per il tasso di
sollecitazione.
Dalle analisi parametriche statiche non lineari si è osservato invece che:
-
la vulnerabilità sismica in termini di PGA intesa come parametro di verifica e
indice di comportamento globale, varia poco a partire dalla situazione di base per
le analisi dalla B2 alla B9. Ciò significa che, sebbene alcuni parametri possano
apportare svantaggi o benefici alla struttura in maniera locale, il suo
comportamento globale resta invariato;
-
all’aumentare del numero di piani la PGAmax sopportabile resta pressoché invariata
in quanto il moltiplicatore αu (cui è legata la PGAmax,snl) resta costante;
-
il periodo proprio della struttura cambia non solo con il variare delle
caratteristiche intrinseche della struttura, ma anche al variare di quei parametri
che determinano l’azione sismica e della combinazione di carico considerata. Il
- 195 -
- CONCLUSIONI _____________________________________________________________________________________________________________________________
periodo proprio di oscillazione medio della struttura in oggetto vale 0,265 s ed è
maggiore di quello utilizzato nell’analisi statica lineare di circa il 12%;
-
il valore del periodo proprio di oscillazione della struttura determinato con
l’analisi statica non lineare per l’edificio a 3 piani risulta quasi uguale a quello
adottato nell’analisi statica lineare per cui esclusivamente in termini di periodo
proprio, le due metodologie di analisi convergono quando l’edificio assume
altezza pari a 12 m (3 piani);
-
il fattore di struttura qsnl è inferiore a qsl di circa il 20%, sicché il comportamento
duttile globale dell’edificio in oggetto è stato sovrastimato nell’analisi statica
lineare.
Analisi lineare e non lineare
Considerate già note le differenze relative alle ipotesi di base tra l’analisi statica lineare e
quella non lineare e le approssimazioni commesse nella prima rispetto alla seconda, si
confrontano, di seguito, i risultati ottenuti dalle due metodologie.
Una prima considerazione deriva dal confronto tra la pericolosità sismica (stimata
controllando il parametro PGAmax) valutata con l’analisi lineare e con quella non lineare. I
valori di PGAmax ottenuti dall’analisi push-over risultano (per tutte le analisi parametriche)
pari a circa 4-5 volte maggiori dei valori ricavati con l’analisi statica lineare. Ciò significa
che i giudizi sulla vulnerabilità sismica degli edifici effettuati mediante l’analisi statica
lineare sono eccessivamente conservativi.
L’approssimazione compiuta nell’analisi statica lineare per la valutazione del periodo
proprio di oscillazione della struttura potrebbe (in seguito a quanto scritto al § 5.5.1)
sembrare forte (mediamente il 12%) ma, almeno in termini di forza (richiesta di resistenza
globale), non lo è. Il periodo proprio della struttura nell’analisi statica lineare consente di
determinare, a mezzo dello spettro di risposta in accelerazione, l’azione sismica cui la
- 196 -
- CONCLUSIONI _____________________________________________________________________________________________________________________________
struttura è soggetta. Per le costruzioni in muratura a due piani, sia il periodo proprio
adottato nell’analisi statica lineare che quello ottenuto dall’analisi non lineare ricadono
(nella maggior parte dei casi) nel ramo ad accelerazione costante dello spettro di risposta,
il che non implica alcun errore nella determinazione dell’azione sismica nell’analisi statica
lineare. Si osserva, poi, che il periodo adottato nell’analisi statica lineare risulta inferiore a
quello mediamente ottenuto dalle analisi parametriche non lineari. Da questa
osservazione si deduce che:
a) se Tsl ricade nel ramo iperbolico o in quello lineare (se esso è decrescente) dello
spettro di progetto, le azioni simiche determinate nell’analisi statica lineare sono
leggermente sovrastimate il che, sebbene possa essere visto come un vantaggio in
favore della sicurezza, è sicuramente un dato a discapito di economia della
costruzione;
b) se Tsl ricade nel ramo lineare dello spettro ed esso è crescente, si effettua una
sottostima dell’azione sismica che, sebbene possa essere minima e dalla quale ci si
tuteli con i coefficienti di sicurezza, rappresenta comunque una incertezza sul
modello dell’analisi statica lineare.
Per quanto riguarda i parametri tasso di sollecitazione e duttilità richiesta, si è osservato
che l’analisi statica lineare fornisce valori sempre sovrastimati (tra il 10% e il 60% per il
tasso di sollecitazione e tra il 10% e l’80% per la duttilità richiesta).
La restrizione dei risultati dell’analisi statica lineare può essere vista, talvolta, in questo
modo: vantaggio di sicurezza a discapito però della conoscenza del reale comportamento
della struttura o, meglio, della conoscenza di quanto i risultati ottenuti siano “distanti”
dal comportamento reale. Con l’avvento della nuova concezione di progettazione
prestazionale multi-livello delle strutture, avendo i mezzi per eliminare determinati errori
si preferiscono sicuramente modelli di calcolo più sofisticati e accurati (quale è, appunto,
l’analisi statica non lineare) senza dubbio capaci di fornire risultati molto più vicini al
reale comportamento della struttura.
- 197 -
- Riferimenti Bibliografici _____________________________________________________________________________________________________________________________
Riferimenti Bibliografici
N. Augenti [2000] Il calcolo sismico degli edifici in muratura, UTET, Torino.
N. Augenti, E. Acconcia, Analisi sismica non lineare di edifici in muratura, in corso di
pubblicazione.
DM 14.01.2008 - Norme Tecniche per le Costruzioni, Roma.
Istruzioni per l’applicazione delle Norme Tecniche per le Costruzioni di cui al DM
14.01.2008, Bozza del 07.03.2008, Roma.
L. Petrini, R. Pinho, G. M. Calvi [2006] Criteri di Progettazione Antisismica degli Edifici, 3a
edizione, IUSS Press, Pavia.
- 198 -
Indice delle figure
Figura 5.1 – Analisi B1 della parete 2 .................................................................................... 122
Figura 5.2 – Analisi B8 della parete 2 .................................................................................... 124
Figura 5.3 – Analisi B9 della parete 2 .................................................................................... 124
Figura 5.4 – Analisi B12 della parete 2................................................................................... 125
Figura 5.5 – Analisi B13 della parete 2................................................................................... 125
Figura 5.6 – Analisi B14 della parete 2................................................................................... 126
Figura 5.7 – Analisi B15 della parete 2................................................................................... 127
Figura 5.8 – Analisi B1 della parete 3 .................................................................................... 129
Figura 5.9 – Analisi B3 della parete 3 .................................................................................... 130
Figura 5.10 – Analisi B4 della parete 3................................................................................... 131
Figura 5.11 – Analisi B5 della parete 3................................................................................... 131
Figura 5.12 – Analisi B10 della parete 3................................................................................. 133
Figura 5.13 – Analisi B11 della parete 3................................................................................. 133
Figura 5.14 – Analisi B12 della parete 3................................................................................. 134
Figura 5.15 – Analisi B13 della parete 3................................................................................. 134
Figura 5.16 – Analisi B1 della parete 5................................................................................... 136
Figura 5.17 – Analisi B3 della parete 5................................................................................... 136
Figura 5.18 – Analisi B4 della parete 5................................................................................... 137
Figura 5.19 – Analisi B5 della parete 5................................................................................... 137
Figura 5.20 – Analisi B10 dellaparete 5.................................................................................. 138
Figura 5.21 – Analisi B11 della parete 5................................................................................. 138
Figura 5.22 – Analisi B12 della parete 5................................................................................. 139
Figura 5.23 – Analisi B13 della parete 5................................................................................. 139
Figura 5.24 – Stato di sollecitazione della parete 8 ............................................................... 140
Figura 5.25 – Analisi B10 della parete 8................................................................................. 141
Figura 5.26 – Analisi B11 della parete 8................................................................................. 141
- 199 -
- Indice delle figure _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.27 – ρsl della parete 3 per la combinazione SLV n. 23 ............................................. 142
Figura 5.28 - ρsl della parete 5 per la combinazione SLV n. 32 .............................................. 144
Figura 5.29 - ρsl della parete 8 per la combinazione SLV n. 32 .............................................. 145
Figura 5.30 – Duttilità della parete 3...................................................................................... 147
Figura 5.31 – Duttilità dei pannelli di maschio della parete 3 ............................................. 147
Figura 5.32 – Duttilità dellaparete 5....................................................................................... 149
Figura 5. 33 – Duttilità dei pannelli di maschio della parete 5 ............................................ 149
Figura 5.34 – Duttilità della parete 8...................................................................................... 150
Figura 5.35 – PGAmax [g] ......................................................................................................... 153
Figura 5.36 – Moltiplicatore di crisi ξ .................................................................................... 155
Figura 5.37 – Sistema elasto-plastico equivalente ad un grado di libertà ........................... 158
Figura 5.38 – Legenda relativa alle curve di push-over ....................................................... 159
Figura 5.39 – Curve di push-over (combinazione 1, direzione x, distribuzione {A})......... 159
Figura 5.40 – Curve di push-over (combinazione 1, direzione x, distribuzione {B}) ......... 160
Figura 5.41 – Curve di push-over (combinazione 5, direzione y, distribuzione {A})......... 160
Figura 5.42 – Curve di push-over (combinazione 5, direzione y, distribuzione {B}) ......... 161
Figura 5.43 – Periodo proprio T* [s]....................................................................................... 162
Figura 5.44 – Confronto tra le analisi sul calcolo di T .......................................................... 166
Figura 5.45 – Rapporto di sovraresistenza (comb. 1)............................................................ 167
Figura 5.46 – Rapporto di sovraresistenza (comb. 5)............................................................ 168
Figura 5.47 – Fattore di struttura q* per la combinazione n.1 .............................................. 172
Figura 5. 48 – Fattore di struttura q* per la combinazione n.5 ............................................. 173
Figura 5.49 – Spostamento di riferimento ............................................................................. 174
Figura 5.50 – Curve di push-over (combinazione 1, direzione x, distribuzione {A})......... 177
Figura 5.51 – ρsnl della parete 3 ............................................................................................... 179
Figura 5.52 – ρsnl della parete 5 ............................................................................................... 179
Figura 5.53 – ρsnl della parete 8 ............................................................................................... 180
Figura 5.54 – ρsnl dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 3 .................................. 182
Figura 5.55 – ρsnl dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 5 .................................. 183
- 200 -
- Indice delle figure _____________________________________________________________________________________________________________________________
Figura 5.56 – ρsnl dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 8 .................................. 183
Figura 5.57 – Duttilità della parete 3...................................................................................... 185
Figura 5.58 – Duttilità della parete 5...................................................................................... 186
Figura 5.59 – Duttilità della parete 8...................................................................................... 186
Figura 5.60 – Duttilità dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 3 ......................... 187
Figura 5.61 – Duttilità dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 5 ......................... 187
Figura 5.62 – Duttilità dei pannelli di maschio appartenenti alla parete 8 ......................... 188
Figura 5.63 – PGA [g] per la combinazione n.1 dell’analisi statica non lineare ................. 190
Figura 5.64 – PGA [g] per la combinazione n.5 dell’analisi statica non lineare ................. 191
- 201 -
Indice delle tabelle
Tabella 4.1 – Analisi dei carichi per il solaio tipo ...................................................................79
Tabella 4.2 – Analisi dei carichi per il solaio di copertura .....................................................79
Tabella 4.3 – Analisi dei carichi per gli sbalzi .........................................................................79
Tabella 4.4 – Analisi dei carichi solaio scale............................................................................80
Tabella 4.5 – Pericolosità sismica di base allo SLD e allo SLV ...............................................82
Tabella 4.6 – Accelerazioni sismiche di progetto ....................................................................83
Tabella 4.7 – Distribuzione dell’azione sismica lungo l’altezza ............................................84
Tabella 4.8 – Coordinate dei baricentri delle masse ...............................................................84
Tabella 4.9 – Combinazioni di carico per azioni non sismiche ..............................................85
Tabella 4.10 – Combinazioni di carico per le analisi statiche lineari allo SLV...................... 85
Tabella 4.11 – Combinazioni di carico per le analisi push-over ..............................................86
Tabella 4.12 – Caratteristiche meccaniche della muratura .....................................................87
Tabella 4.13 – Modello di ripartizione delle forze sui pannelli (parete 6) ............................93
Tabella 4.14 – Verifiche dei pannelli di maschio della parete 6 .............................................93
Tabella 4.15 – Equilibrio delle fasce di piano della parete 6 ..................................................94
Tabella 4.16 – Verifica a presso-flessione dei pannelli di fascia (parete 6) ...........................94
Tabella 4.17 – Verifica per carichi non sismici della parete 6.................................................94
Tabella 5.1 – ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B6 e B7)................................... 123
Tabella 5.2 - ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B8 e B9) ................................... 124
Tabella 5.3 - ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B12 e B13)................................ 126
Tabella 5.4 - ρns relativo ai pannelli della parete 2 (Analisi B14 e B15)................................ 127
Tabella 5.5 – ρsl relativo ai pannelli della parete 3 (Analisi B2 e B3) ................................... 130
Tabella 5.6 – ρsl relativo ai pannelli della parete 3 (Analisi B4 e B5) ................................... 131
Tabella 5.7 – ρsl relativo ai pannelli della parete 3 (Analisi B10 e B11)................................ 133
Tabella 5.8 – ρsl relativo ai pannelli della parete 3 (Analisi B12 e B13)................................ 135
- 202 -
- Indice delle tabelle _____________________________________________________________________________________________________________________________
Tabella 5.9 – ρsl relativo ai pannelli della parete 5 (Analisi B2 e B3) ................................... 136
Tabella 5.10 – ρsl relativo ai pannelli della parete 5 (Analisi B4 e B5).................................. 137
Tabella 5.11 – ρsl relativo ai pannelli della parete 5 (Analisi B10 e B11).............................. 138
Tabella 5.12 – ρsl relativo ai pannelli della parete 5 (Analisi B12 e B13).............................. 139
Tabella 5.13 – ρsl relativo ai pannelli della parete 8 (Analisi B10 e B11).............................. 141
Tabella 5.14 – Duttilità e danneggiamento della parete 3 .................................................... 146
Tabella 5.15 – Duttilità e danneggiamento della parete 5 .................................................... 148
Tabella 5.16 – Duttilità e danneggiamento della parete 8 .................................................... 150
Tabella 5.17 – PGAmax .............................................................................................................. 152
Tabella 5.18 – Moltiplicatore di crisi ξ ................................................................................... 154
Tabella 5.19 – Rigidezza secante delle pareti (comb. SLV n.23) .......................................... 156
Tabella 5.20 – Rigidezza secante delle pareti (comb. SLV n.32) .......................................... 157
Tabella 5.21 – Periodo proprio di oscillazione T* ................................................................. 163
Tabella 5.22 – Confronto tra Tsl e Tsnl ..................................................................................... 166
Tabella 5.23 – αu/α1 e qsnl (comb. 1) ........................................................................................ 168
Tabella 5.24 – αu/α1 e qsnl (comb. 5) ........................................................................................ 169
Tabella 5.25 – Risorse anaelastiche della struttura ............................................................... 170
Tabella 5.26 – Fattore di struttura (comb. n.1) ...................................................................... 172
Tabella 5.27 – Fattore di struttura (comb. n.5) ...................................................................... 174
Tabella 5.28 – ρsnl delle pareti ................................................................................................. 178
Tabella 5.29 – ρsnl dei pannelli di maschio ............................................................................. 182
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“… non si può pensare di risolvere un problema
con la stessa mentalità che lo ha generato”.
A. Einstein