4. Codifica binaria dell’informazione Ing. Simona Colucci Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Codifica binaria dell’informazione • Tutte le informazioni vanno tradotte in bit(organizzati poi in byte o parole): – – – – – – Numeri naturali Numeri interi(con segno) Numeri frazionari Numeri reali Caratteri Immagini • Nell’interazione con il calcolatore la codifica in binario e la decodifica in formato leggibile sono trasparenti all’utente Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Numeri naturali: Sistemi di numerazione • Un sistema di numerazione è composto da: – Insieme finito di simboli o cifre – Regole che permettono di rappresentare i numeri naturali • Classificazione – Sistemi additivi (Es. sistema romano parzialmente): • Ogni cifra assume un valore prefissato • Il numero si ottiene addizionando le cifre che lo compongono • Impossibilità di rappresentare numeri molto grandi e difficoltà di esecuzione delle operazioni matematiche – Sistemi posizionali (Es. sistema decimale): • Le cifre acquistano un peso diverso a seconda della posizione che occupano • Un numero generico di m cifre è rappresentato in base p dalla sequenza: an, an-1, an-2,..., a0 an : cifra più significativa a0 : cifra meno significativa n = m-1 ai {0, 1, ..., p-1} • Compattezza di rappresentazione anche per numeri molto grandi e facilità di esecuzione delle operazioni Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi posizionali: Rappresentazione in base p Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Numero naturale N, composto da m cifre, in base p: • Rappresentazione n N p an p n an 1 p n 1 ... a1 p1 a0 p 0 ai p i i 0 • Spazio di Rappresentazione: numeri nell’intervallo discreto [0 , pm - 1] Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Il sistema decimale: rappresentazione in base 10 • Sistema posizionale – Esempio: 123 = 100 +20 +3 • Base: p = 10 • Insieme di simboli: ai {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} • Numero naturale N di m cifre: – Rappresentazione: • N10 = an·10n+an- 1·10n-1+…+a0·100 • Esempio, con m=3: 58710 = 5·102+8·101+7·100 n=m-1 – Spazio di rappresentazione: intervallo discreto [0, 10m-1] Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Sistema binario: Rappresentazione in base due • Sistema posizionale • Base binaria: p=2 • Insieme di simboli: ai {0, 1} – Simboli chiamati bit (binary digit) – Otto bit chiamati byte • Numero naturale N di m cifre: – Rappresentazione: • N2 = an·2n+ an-1·2n-1+…+a0·20 n=m-1 • Esempio, con m=5: 110112 = (1·24+1·23+0·22+1·21+1·20)10 = 2710 – Spazio di rappresentazione: • intervallo discreto [0 , 2m -1] • Esempio con m=8: [000000002 , 111111112], ovvero: [010 , 25510] Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari • • • • Il sistema binario: unità di misura kilobyte(Kb) = 210 byte = 1024 byte megabyte(Mb) = 220 byte = 1048576 byte gigabyte(Gb) = 230 byte = 1073741824 byte terabyte(Tb) = 240 byte = 1099511627776 byte Le approssimazioni a potenze di 10: • sono accettabili solo per i kilobyte: 1024 ~1000 • sono inaccettabili per 104 ,105 ,106 • le lettere maiuscole nel simbolo indicano che non si tratta delle potenze di 10 del sistema internazionale Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Basi ottale ed esadecimale DEE - Politecnico di Bari • Rappresentazione in base 8: – Base ottale: p=8; – Insieme di simboli ai {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – Numero N di m cifre: • Rappresentazione: N8 = (an·8n+an-1·8n-1+…+ a0·80)10 Es. 2348 = (2·82+3·81+4·80)10 = 15610 • Spazio di rappresentazione: [0, 8m-1] • n=m-1 Rappresentazione in base 16: – Base esadecimale: p=16; – Insieme di simboli ai {0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F} • Notare: “11” al posto di “B” e “15” al posto di “F”, i loro equivalenti in base dieci – Numero N di m cifre: • Rappresentazione: N16 = (an·16n+an-1·16n-1+…+ a0·160)10 Esempio: B7F16 = (11·162+7·161+15·160)10 = 294310 • Spazio di rappresentazione: [0, 16m-1] Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 n=m-1 Sistemi Informativi Conversioni di base DEE - Politecnico di Bari • Per convertire da base p a base 10: N p an p an 1 p n n 1 n ... a1 p a0 p ai p i 1 0 i 0 Esempio: 110112 = (1·24+1·23+0·22+1·21+1·20)10 = 2710 • Per convertire da base dieci a base due: – Metodo delle divisioni successive: esempio 331:2 165:2 82:2 41:2 20:2 10:2 5:2 2:2 1:2 = 165 = 82 = 41 = 20 = 10 = 5 = 2 = 1 = 0 con resto di 1 con resto di 1 con resto di 0 con resto di 1 con resto di 0 con resto di 0 con resto di 1 con resto di 0 con resto di 1 (331)10=(101001011)2 Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Conversioni di base • Le basi ottale ed esadecimale sono di interesse informatico per la facilità di conversione, con il metodo”per parti”: – Da base 2 a base 8: si converte a gruppi di tre bit, traducendo ciascuna tripla nella corrispondente cifra ottale (001010110111)2=(1267)8 – Da base 2 a base 16: si converte a gruppi di quattro bit, traducendo ciascuna quadrupla nella corrispondente cifra esadecimale (001010110111)2=(2B7)16 • La base ottale ed esadecimale consentono una grande sintesi di rappresentazione Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Somma DEE - Politecnico di Bari • Le cifre sono 0 e 1 ed il riporto può essere solo 1 Riporto precedente Somma Risultato Riporto 0 0+0 0 0 0 0+1 1+0 1 0 0 1+1 0 1 1 0+0 1 0 1 0+1 1+0 0 1 1 1+1 1 1 Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari • Esempio di somma e carry Esempio: 1 riporto 0101 + (510) 1001 = (910) -----1110 (1410) 111 riporti 1111 + 1010 = ------carry 11001 (1510) (1010) (2510 se uso 5 bit; 910 se considero 4 bit: errato) Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Numeri interi • Includono anche i numeri negativi • Rappresentati tramite il segno ed il valore del numero • Codifica binaria secondo uno delle due modalità seguenti: – Rappresentazione in modulo e segno – Rappresentazione in complemento a due Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Modulo e segno DEE - Politecnico di Bari • In un numero di m bit il primo bit è utilizzato per memorizzare il segno: – “1” numero negativo – “0” numero positivo • • Spazio di rappresentazione: tra -(2m-1-1) e (2m-1-1) Fenomeno dello zero positivo e negativo Esempio m=3 Num. intero, base 10 Num. intero, base due, modulo e segno –3 111 –2 110 –1 101 –0 100 +0 000 +1 001 +2 010 +3 011 Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Complemento a due (CPL2) DEE - Politecnico di Bari • Usando m bit: (-N)CPL2 = (2m - N10)2 • Spazio di rappresentazione: intervallo discreto [-2m-1 , 2m-1 - 1] – Asimmetria tra negativi e positivi – Esempio (m=8): [-128, +127], perché -27 = -128 e 27 - 1 = +127 • Tutti i numeri negativi cominciano con il bit più significativo posto a “1”, mentre tutti i positivi e lo zero iniziano con uno “0” Esempio m=3 (-N)CPL2 =(23-N10)2 Num. intero base 10 Trasformazione Num. intero, base 2, CPL2, -4 8-4=4 410 = 100 -3 8-3=5 510 = 101 -2 8-2=6 610 = 110 -1 8-1=7 710 = 111 0 nessuna 010 = 000 1 nessuna 110 = 001 2 nessuna 210 = 010 3 nessuna 310 = 011 Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 m=3 Sistemi Informativi Complemento a due (CPL2) DEE - Politecnico di Bari • Metodo alternativo per ottenere (-N)CPL2 – Complementare i bit della rappresentazione binaria del modulo N(cambiare gli 1 in 0 e viceversa) – Sommare 1 al risultato ottenuto Esempio: -N= -3 N=(3)10=(011)2 complemento ad 1 complemento a 2 100 101 Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari • • • Somma e sottrazione in CPL2 Somma: come per i naturali Sottrazione: N1 - N2 = N1 + (-N2)CPL2 Carry: – Il carry finale non viene considerato! • Overflow: – Se, sommando due interi di m bit dotati di segno concorde, ottengo un risultato di segno discorde (sempre considerando m bit), allora si ha un overflow (il risultato non è codificabile su m bit) e l’operazione è errata – L’overflow non può verificarsi se gli operandi sono di segno discorde Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Somma e sottrazione in CPL2 Esempi: m=7 spazio di rappresentazione [-64, +63] +5 0000101 +5 0000101 -5 1111011 -64 1000000 +8 0001000 -8 1111000 +8 0001000 -8 1111000 +13 0001101 -3 1111101 +3 (1)0000011 RIPORTO -72 [1](1)0111000 OVERFLOW RIPORTO •Perché ignorare il riporto finale(cifra m+1) in CPL2 ad m bit? Esempio: m=1 base=10 spazio di rappresentazioneCPL10= [-10, +9] 8-5= = 8 -5 +10-10= = 8+(10-5)-10= (10-5) è il complemento a 10 del sottraendo: (5)CPL10 = 8+5-10= si addiziona al minuendo il complemento a 10 del sottraendo = 13-10= questa sottrazione equivale a trascurare il bit m+1 di riporto =3 Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Numeri frazionari DEE - Politecnico di Bari Rappresentazione: • Relativa alla parte frazionaria • Ottenuta tramite la formula 1 2 N p a1 p a 2 p ... a n p n 1 a p i n i i Spazio di rappresentazione: • Per un numero di n cifre in base p, posso rappresentare numeri nell’intervallo continuo: [0 , 1-p-n] Errore di approssimazione: • minore di p-n Esempi con n=3: • base 10: Rappresentazione: (0,587)10= (5·10-1+8·10-2+7·10-3) Spazio di rapp.: [0, 1-10-3] = [0, 0.999] Errore : minore di 0.001 • base 2: Rappresentazione: (0,101)2 = (1·2-1+0·2-2+1·2-3)10 = (0,625)10 Spazio di rapp.: [0, 1-2-3] Errore : minore di 2-3 Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Conversioni di base parte frazionaria • Da base 2 a base 10: – Secondo la formula vista prima • Da base 10 a base 2: – Si moltiplica progressivamente per 2 la parte frazionaria – Si prendono le parti intere di ciascun prodotto dalla più alla meno significativa, con numero di bit proporzionale all’accuratezza – Esempio: 0.58710 0.587*2= 1.174 0.174*2= 0.348 0.348*2= 0.696 0.696*2= 1.392 0.392*2= 0.784 0.784*2= 1.568 parte intera 1 parte frazionaria 0.174 parte intera 0 parte frazionaria 0.348 parte intera 0 parte frazionaria 0.696 parte intera 1 parte frazionaria 0.392 parte intera 0 parte frazionaria 0.784 parte intera 1 parte frazionaria 0.568 ….. Risultato : 0.1001 con quattro cifre e approssimazione accurate entro il limite 2-4 0.100101 con sei cifre e approssimazione accurate entro il limite 2-6 Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Numeri reali DEE - Politecnico di Bari • Approssimati tramite numeri razionali • Rappresentazione relativa sia alla parte intera che a quella frazionaria • Modalità di rappresentazione alternative: – virgola fissa – virgola mobile • numeri molto grandi con poche cifre • numeri molto piccoli con precisione • Operazioni di somma e differenza tramite allineamento dei numeri Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Virgola fissa • Uso di m bit per parte intera e n bit per parte frazionaria con n ed m fissi – Esempio (m=8, n=6, tot. 14 bit): -123,2110 - 12310 = 100001012 - 0,2110 0011012 - 123,2110 10000101,0011012 • m e n scelti in base alla precisione che si vuole tenere • Precisione costante lungo l’asse reale R: R 0 Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari • Virgola mobile (floating point) Il numero è espresso come: r = m·bn – – – – – m e n sono in base p m: mantissa (numero frazionario con segno) b: base della notazione esponenziale (numero naturale) n: caratteristica (numero intero) Esempio (p=10, b=10): -331,6875 = -0,3316875103 m = -0,3316875 • Uso l1 bit e l2 bit per codificare m e n (incluso il segno): • Precisione variabile lungo l’asse reale R: – – n=3 valori rappresentabili molto vicini nell’intorno di 0 valori rappresentabili molto lontani nell’intorno del numero massimo esprimibile, positivo o negativo R 0 Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari • • Virgola mobile (floating point) Quando la mantissa comincia con una cifra diversa da zero, il numero in virgola mobile si dice normalizzato Es. –0,3316875103 è normalizzato perché la mantissa è “3316875” La normalizzazione permette di avere, a parità di cifre usate per la mantissa, una maggiore precisione. Es. Uso l1=5 cifre per la mantissa: +45,6768 +0,45676102 +0,00456104 Ho perso 0,0008 Ho perso 0,0768 Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari • • • Caratteri Codifica numerica tramite 1 byte ASCII (American Standard Code for Information Interchange) utilizza 7 bit (estesa talvolta a 8 bit per rappresentare altri 128 caratteri) L’ASCII codifica: – I caratteri alfanumerici (lettere maiuscole e minuscole e numeri), compreso lo spazio – I simboli (punteggiatura, @, #, …) – Alcuni caratteri di controllo che non rappresentano simboli visualizzabili (TAB, LINEFEED, RETURN, BELL, ecc) – Non codifica per esempio le lettere accentate o greche • L’ ottavo bit o un nono possono essere usati come bit di parità: rende pari il numero di 1 in modo che se esso risulta dispari ci si accorge di errori di immagazzinamento o trasmissione dati. Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Tabella ASCII (parziale) DEE - Politecnico di Bari DEC 48 CAR 0 DEC 65 CAR A DEC 75 CAR K DEC 97 CAR a DEC 107 CAR k 49 1 66 B 76 L 98 b 108 l 50 2 67 C 77 M 99 c 109 m 51 3 68 D 78 N 100 d 110 n 52 4 69 E 79 O 101 e 111 o 53 5 70 F 80 P 102 f 112 p 54 6 71 G 81 Q 103 g 113 q 55 7 72 H 82 R 104 h 114 r 56 8 73 I 83 S 105 i 115 s 57 9 74 J 84 T 106 j 116 t 85 U 117 u 86 V 118 v 87 W 119 w 88 X 120 x 89 Y 121 y 90 Z 122 z Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Codifica delle immagini DEE - Politecnico di Bari L’immagine digitale • • • • Le immagini sono codificate come sequenze di bit Digitalizzazione: passaggio dall’immagine alla sequenza binaria L’immagine è suddivisa in una griglia di punti (detti pixel) Ogni pixel è descritto da un numero (su 8, 16, 24, o 32 bit) che ne rappresenta il colore(un particolare tono di grigi nelle immagini bianco e nero) – Es. con 8 bit 28 = 256 combinazioni di colore • Per decodificare la sequenza binaria che codifica l’immagine bisogna conoscere: – le dimensioni dell’immagine : larghezza e altezza in pollici del rettangolo in cui è contenuta – la risoluzione dell’immagine :numero di pixel per pollice (dpi - dot per inch) – il numero di colori o toni di grigio disponibili per ogni pixel Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi L’immagine digitale DEE - Politecnico di Bari • Standard di codifica: – TIFF (Tagged Image File Format) – PNG (Portable Network Graphics) – JPEG • Tecniche di compressione – utilità: • ridurre lo spazio necessario a rappresentare i punti dell’immagine • ridurre la quantità di memoria necessaria a memorizzare l’immagine • ridurre il tempo necessario a trasmettere l’immagine tra i dispositivi – classificazione: • compressione lossless : comprime l’immagine senza deteriorarla (TIFF) – adatte solo per immagini con ampie aree monocromatiche. in cui sequenze di punti con la stessa tonalità vengono codificate in forma compatta • compressione lossy: comprimono (molto di più), ma deteriorano l’immagine (JPEG , PNG) – adatte ad immagini con molti colori, memorizzano le differenze cromatiche tra gruppi di pixel Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Operazioni con le informazioni • Aritmetiche – Es. Somma e differenza viste prima • Logiche – Utilizzano l’algebra di Boole Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Algebra di Boole DEE - Politecnico di Bari • Formalismo basato su tre operazioni logiche (dette anche operazioni booleane): – AND operatore binario – OR operatore binario – NOT operatore unario • • • • Le operazioni booleane si applicano ad operandi che possono assumere solo due valori: vero o falso Ogni formula scritta in algebra di Boole può assumere solo due valori: vero o falso Rappresentando vero con “1” e falso con “0” un bit può rappresentare un operando o il valore di una formula in algebra di Boole Tavole di verità: rappresentano il valore di una espressione logica(ottenuta a partire dai tre operatori logici) in funzione del valore degli operandi Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Operatori booleani DEE - Politecnico di Bari • Tavole di verità: A B A AND B A B A OR B 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 A NOT A 0 1 1 0 Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Operatori booleani: proprietà DEE - Politecnico di Bari • Commutativa: – A OR B = B OR A – A AND B = B AND A • Distributiva di uno verso l’altro: – A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C) – A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C) • Leggi di De Morgan: – A AND B = NOT ((NOT A) OR (NOT B)) – A OR B = NOT ((NOT A) AND (NOT B)) Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Espressioni booleane DEE - Politecnico di Bari • Regole di precedenza: – NOT ha la massima precedenza – poi segue AND – infine OR • • • Se voglio alterare queste precedenze devo usare le parentesi (a volte usate solo per maggior chiarezza) Per valutare un espressione booleana si usa la tabella della verità Due espressioni booleane sono equivalenti se e solo se le tabelle della verità sono identiche Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Dalla formula alla tabella DEE - Politecnico di Bari • Vediamo un esempio, per l’espressione: D = A AND NOT (B OR C) A B C D = A AND NOT (B OR C) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi Dalla tabella alla formula DEE - Politecnico di Bari • Se conosco la tabella della verità, posso ricostruire la formula logica. Partiamo dalla tabella: NOT A AND B A AND NOT B A AND B A B C1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 C1 = (NOT A AND B) OR (A AND NOT B) OR (A AND B) Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007 Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari • OR (x y) Gli operatori logici e le porte logiche x y • AND x .OR. y x y (x y) x .AND. y • NOT (x) x .NOT. x La composizione opportuna di porte logiche consente di realizzare circuiti elettronici che realizzano varie funzioni, in particolare i circuiti sommatori Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A. 2006-2007