Gli Insiemi
Gli Insiemi
Un insieme è un raggruppamento di elementi.
Ci sono insiemi i cui elementi non sono
facilmente individuabili:
- l’insieme delle rose più profumate;
- l’insieme dei ragazzi più studiosi;
- l’insieme dei giochi più divertenti.
Gli Insiemi
Un insieme è un raggruppamento di elementi.
Ci sono insiemi i cui elementi sono invece
facilmente individuabili:
- l’insieme delle città italiane;
- l’insieme dei professori della tua classe;
- l’insieme dei tuoi libri scolastici.
Gli Insiemi
Le città: «Bari, Brindisi, Foggia, Lecce, Taranto»
rappresentano un insieme matematico poiché gli
elementi dell’insieme sono elencati uno per uno
con il loro nome.
Gli Insiemi
«I calciatori della Roma» rappresentano un
insieme matematico poiché è chiaramente
definita la “proprietà” che consente di stabilire,
senza possibilità di equivoci, se un elemento
appartiene all’insieme.
Gli Insiemi
Un insieme matematico è un raggruppamento di
elementi definibili con precisione.
Quali, tra i seguenti, sono insiemi matematici?
- L’insieme delle vocali;
- L’insieme delle vie più belle di Roma;
-Terni, Perugia;
- L’insieme delle squadre di calcio della serie A;
- L’insieme delle torte più buone.
Rappresentazione degli insiemi
Gli insiemi vengono indicati con una lettera
maiuscola dell’alfabeto: A B C D … ,
mentre gli elementi che appartengono
all’insieme vengono indicati con le lettere
minuscole: a,b,c,d …
Rappresentazione degli insiemi
Un insieme si può rappresentare in tre modi:
• per elencazione;
• per caratteristica;
• rappresentazione grafica.
Rappresentazione degli insiemi
Elencazione
Per rappresentare un insieme per elencazione si
scrive la lettera maiuscola con la quale si vuole
indicare l’insieme, seguita dal segno uguale (=) e da
una parentesi graffa; all’interno di questa sono
contenuti tutti gli elementi dell’insieme, separati
uno dall’altro da una virgola.
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { cane, gatto, topo }
Rappresentazione degli insiemi
Caratteristica
Per rappresentare un insieme in forma
caratteristica si usa scrivere all’interno della
parentesi graffa la proprietà che caratterizza gli
elementi dell’insieme.
A = {x/x è una lettera della parola “cane” }
B = { x/x è una cifra dispari }
C = { x/x è capitale europea }
La barretta “/” si legge: «tale che»
Rappresentazione degli insiemi
Grafica
Per rappresentare un insieme in forma grafica si
utilizzano i diagrammi di Eulero–Venn. Essi sono
formati da una linea chiusa, che delimita una parte
di piano, all’interno della quale si segnano gli
elementi dell’insieme con un puntino seguito dal
nome.
L’appartenenza ad un insieme
Considera l’insieme delle vocali dell’alfabeto:
Per indicare che un elemento appartiene ad un
insieme si usa il simbolo ∈ e quindi si scrive a ∈V e
si legge: « a appartiene a V ».
L’appartenenza ad un insieme
La consonante « m » ovviamente non appartiene a V :
Per indicare che un elemento non appartiene ad un
insieme si usa il simbolo ∉ e quindi si scrive a ∉ V
e si legge: « a non appartiene a V ».
Insiemi finiti, infiniti, vuoti
Considera l’insieme dei numeri naturali. Quanti
sono i suoi elementi?
Quando un insieme è costituito da un numero
illimitato di elementi, si dice infinito.
Insiemi finiti, infiniti, vuoti
Considera l’insieme delle province del Lazio.
Quante sono?
Quando un insieme è costituito da un numero
limitato di elementi, si dice finito.
Insiemi finiti, infiniti, vuoti
Considera l’insieme dei mesi con 32 giorni. Quanti
sono?
Se un insieme è privo di elementi si dice vuoto e si
indica con il simbolo: ∅ oppure { } .
Sottoinsiemi
Considera l’insieme degli alunni di una prima media,
che indichiamo con A, e l’insieme degli alunni della
stessa classe che portano gli occhiali, che
indichiamo con B.
Sottoinsiemi
Rappresentiamo i due insiemi per caratteristica:
A = {x / x è un alunno di una classe di prima media};
B = {x / x è un alunno di una classe di prima media
che porta gli occhiali} .
Sottoinsiemi
È evidente che gli elementi dell’insieme B sono
anche elementi dell’insieme A. Si dice allora che
l’insieme B è “contenuto” nell’insieme A.
Sottoinsiemi
Ogni volta che un insieme B è contenuto in un
insieme A si dice che B è un sottoinsieme di A e si
scrive:
Sottoinsiemi
La scrittura
si legge «B è incluso (o contenuto)
in A» oppure «B è sottoinsieme di A»
Sottoinsiemi
La scrittura
contenuto) in A»
si legge «B non è incluso (o non è
oppure «B è non sottoinsieme di A»
Sottoinsiemi
Considera gli insiemi A, B, C. della figura. Cosa
puoi dire circa la loro inclusione o la non
inclusione?
Sottoinsiemi
Un insieme B si dice sottoinsieme dell’insieme A
se ogni elemento di B appartiene ad A.
Intersezione
Considera gli insiemi:
A= {x/x è un mammifero}
B= {x/x è un animale che vive nell’acqua}
La balena, il delfino, l’orca, …, sono mammiferi che
vivono nell’acqua, sono cioè “elementi” appartenenti
contemporaneamente sia all’insieme A sia all’insieme B.
Intersezione
Se consideriamo l’insieme C formato da tutti i
mammiferi che vivono nell’acqua, diremo che C
è l’intersezione degli insiemi A e B.
Intersezione
In simboli si scrive:
dove il simbolo significa intersezione e si legge
« l’insieme C è uguale ad A intersecato B »
Intersezione
Dati due insiemi A e B si dice intersezione di tali
insiemi, e si scrive A B, quel nuovo insieme C
formato dagli elementi comuni ad A e B.
Intersezione
Considera i due insiemi:
A= {x/x è un mammifero}
B= {x/x è un insetto}
Quali elementi hanno in comune gli insiemi A e B?
Intersezione
I due insiemi non hanno elementi in comune, si dice
che sono disgiunti, la loro intersezione è vuota.
Unione
Dati i due insiemi:
A= {x/x è una vocale dell’alfabeto}
B= {x/x è una consonante dell’alfabeto}
Se consideriamo l’insieme C formato da tutte le
lettere dell’alfabeto (vocali e consonanti),
diremo che è l’unione degli insiemi A e B.
Unione
Dati due insiemi A e B si dice unione di tali
insiemi, e si scrive A UB, quel nuovo insieme C
formato dagli elementi che appartengono ad A e
dagli elementi che appartengono a B presi una
sola volta.
Unione
Siano dati i due insiemi:
A= {x/x è una lettera della parola “amo”}
B= {x/x è una lettera della parola “more”}
La loro unione sarà:
= {x/x è una lettera della parola “amore”}
Insiemi equipotenti
Siano dati i due insiemi:
A= { a, e, i, o, u }
B= {pollice, indice, medio, anulare, mignolo}
Rappresentandoli con i diagrammi di Eulero-Venn:
Insiemi equipotenti
Se colleghiamo gli elementi dell’insieme A con gli
elementi di B, di cosa ci si accorge?
Insiemi equipotenti
Ci si accorge che gli elementi dell’insieme A sono
tanti quanti gli elementi dell’insieme B, cioè
hanno la stessa potenza.
Insiemi equipotenti
I due insiemi sono equipotenti.
La potenza di un insieme si chiama cardinalità.
Insiemi equipotenti
Il numero è il simbolo che esprime quanti sono
gli elementi di un insieme e di ogni altro insieme
a esso equipotente
Fine