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Anno accademico 2009/2010
Ingegneria Sismica –
Ingegneria Sismica – CIS
“L’analisi statica non lineare
secondo il D.M. 14/01/2008”
Emanuele Del Monte
E‐mail: [email protected]
Web: www.dicea.unifi.it/~emadelmo
Lezione scaricabile:
www.dicea.unifi.it/~emadelmo/lezione26042010.htm
Firenze, 26/04/2010
Metodi di analisi
ANALISI STATICA LINEARE
ANALISI DINAMICA MODALE
ANALISI STATICA NON LINEARE
ANALISI DINAMICA NON LINEARE
La capacità di una struttura di resistere a un evento sismico dipende fortemente
dalle sue capacità deformative e dalla sua duttilità
Analisi Pushover
Cos’è un’analisi statica non lineare o analisi pushover?
È un’analisi statica non lineare di tipo incrementale
V
Vengono
i i i l
inizialmente
t applicati
li ti i carichi
i hi verticali
ti li e dopo
d
un vettore
tt
di carico
i
orizzontale di tipo incrementale
Mantenendo costanti i carichi verticali, vengono amplificati quelli orizzontali fino al
raggiungimento del collasso strutturale.
La valutazione della risposta o capacità della struttura in termini di spostamento.
Analisi Pushover
Gli aspetti che differenziano le procedure statiche non lineari sono due:
- le distribuzioni di carico per la determinazione della curva di capacità
-la valutazione della risposta e della domanda sismica, (PP)
L distribuzioni
Le
di t ib i i di carico
i
possono essere di tipo
ti
i
invariante
i t o adattive.
d tti
Q ll
Quelle
invarianti rimangono costanti durante tutta l’analisi mentre quelle adattive variano la
loro forma in base allo stato di danneggiamento della struttura.
adattiva
Analisi Pushover
Si devono considerare almeno due distribuzioni di forze d’inerzia, ricadenti l’una nelle
distribuzioni principali (Gruppo 1) e l’altra nelle distribuzioni secondarie (Gruppo 2):
Gruppo 1 - Distribuzioni principali:
- distribuzione proporzionale alle forze statiche di cui al § 7.3.3.2, applicabile solo se il
modo
d di vibrare
ib
f d
fondamentale
t l nella
ll direzione
di i
considerata
id t ha
h una partecipazione
t i
i
di massa
non inferiore al 75% ed a condizione di utilizzare come seconda distribuzione la 2 a);
- distribuzione corrispondente ad una distribuzione di accelerazioni proporzionale alla
forma del modo di vibrare, applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella
direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75%;
- distribuzione corrispondente alla distribuzione dei tagli di piano calcolati in un’analisi
dinamica lineare, applicabile solo se il periodo fondamentale della struttura è superiore a TC.
Analisi Pushover
Si devono considerare almeno due distribuzioni di forze d’inerzia, ricadenti l’una nelle
distribuzioni principali (Gruppo 1) e l’altra nelle distribuzioni secondarie (Gruppo 2):
Gruppo 2 - Distribuzioni secondarie:
a) distribuzione uniforme di forze, da intendersi come derivata da una distribuzione
uniforme
if
di accelerazioni
l
i i lungo
l
l’ lt
l’altezza
d ll costruzione;
della
t i
b) distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamento del punto di controllo
in funzione della plasticizzazione della struttura.
adattiva
Analisi Pushover
Capacità vs Domanda
Metodo N2 – Metodo dell’oscillatore equivalente
 Fajfar, P. 2000. A nonlinear analysis method for performance-based seismic design.
Earthquake Spectra, 16(3): 573-592.
 D.M. [2008], Norme Tecniche per le Costruzioni
 CEN [2003], Eurocode 8, Design of structures for Earthquake resistant,
Part 1: General rules, Seismic action and rules for buildings.
 FEMA (2000). “Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of
Buildings”, Report FEMA 356, Federal Emergency Management Agency, U.S.A.
Capacity Spectrum Method
 ATC (1996). “Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings”,
Report ATC-40, Applied Technology Council, Redwood City, U.S.A.
 C. Casarotti, V. I. Bruno, R. Pinho, [2007],
Una versione adattiva del Capacity Spectrum Method,.
Method
Metodo N2 – Metodo dell’oscillatore equivalente
Fase 1: Calcolo della curva di capacità a M-GDL
Fbu
0.85-0.80 Fbu
du
Fase 2: Determinazione del sistema equivalente a 1-GDL a comportamento bilineare - T*  = T M
T M
*
d = dc ⁄
k 
*
Fy*
d *y
m*
T  2
k*
*
*
F = Fb ⁄
m* = TM
Fy
00.60
60 0.70 Fbu*
Fbu*
k*
0.85 0.80 Fbu*
Metodo N2 – Metodo dell’oscillatore equivalente
Fase 3: Calcolo della domanda sismica
0.14
5.00
4.50
3 50
3.50
3.00
2.50
 
Sa T * [ m / s 2 ]
1.740
2.00
1.50
1.00
0.00
0.00
T*
≥ TC
1.00
=
3.00
d*e,max
e max =
4.00
SDe (T*)
 [ m ]  d
0.073
S T*
d
0.06
*
e ,max
0.04
*
s 
T1.284
0.00
2.00
T [s]
d*max
0.08
0.02
*
s 
T
1.284
0.50
0.10
Sd [m]
Sa [m/s2]
0.12
2
 T 
S d T   S a  
 [m]
 2 
4.00
0.00
T* < TC
1.00
2.00
T [s]
*
de,max
*
dmax = *
q
1+ q* -11
3.00
4.00
Tc
T
*
*
≥de,max
dove q* = Se(T*)m*/ Fy*, rappresenta il rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del
sistema equivalente. Se risulta q*≤1 allora si ha d*max = de,max
Metodo N2 – Metodo dell’oscillatore equivalente
Fase 4: Conversione della domanda in quella effettiva del sistema a M-GDL
dmax = d*max
La verifica è soddisfatta se dmax < du e q*< 3
Metodo N2
Fajfar P., [2000]. A nonlinear analysis method for performance-based seismic design. Earthquake Spectra, 16(3): 573-592.
PASSO 1 – dati
Si realizza il modello strutturale non lineare del sistema a n-GDL, definisce l’azione sismica
tramite gli spettri di risposta elastici in accelerazione e spostamento.
 T 
SDe T   Se  

 2π 
Se [g]
[ ]
2
SDe
D [cm]
[ ]
Se(TC)
SDe(TD)
Se(TD)
SDe(TC)
SDe(TB)
TB
TC
TD
[secondi]
Metodo N2
Fajfar P., [2000]. A nonlinear analysis method for performance-based seismic design. Earthquake Spectra, 16(3): 573-592.
PASSO 2 – domanda sismica per il sistema a 1-GDL nel formato AD
Il formato AD assicura una interpretazione visiva diretta della procedura. Si procede alla
conversione dello spettro di risposta elastico; le ascisse devono essere determinate in funzione
dei valori delle ordinate
Se [g]
TB
TC
Se((TC)
- i periodi non compaiono esplicitamente, ma sono
rappresentati dalle rette radiali uscenti dall’origine degli
assi [la pendenza della generica retta per l’origine è pari
a (2π/T)2].
TD
Se(TD)
 T 
SDe T   Se  

 2π 
SDe(TB)
SDe(TC)
2
SDe(TD)
SDe [cm]
Metodo N2
Fajfar P., [2000]. A nonlinear analysis method for performance-based seismic design. Earthquake Spectra, 16(3): 573-592.
PASSO 2 – domanda sismica per il sistema a 1-GDL nel formato AD
Considerando un comportamento non lineare del sistema, si deve passare ad uno spettro di
domanda ridotto rispetto a quello elastico originario Se, lo spettro di risposta anelastico Sa
R :
Fattore di riduzione
delle forze
T



1

μ

1

TC
Rμ  
μ

per
T  TC
:
duttilità
per
T  TC
Vidic T., Fajfar P., Fischinger M., [1994]. Consistent inelastic design spectra: strength and displacement.
Earthquake Engineering and Structural Dynamics, vol. 23, pp. 502-521.
T  TC
T  TC
Metodo N2
Fajfar P., [2000]. A nonlinear analysis method for performance-based seismic design. Earthquake Spectra, 16(3): 573-592.
PASSO 2 – domanda sismica per il sistema a 1-GDL nel formato AD
Per determinare lo spettro di risposta anelastico Sa:
Sd  μ
SDe
 ascisse dello spettro di domanda anelastico
Rμ
(
=
- le rette radiali che identificano i periodi
TC
Sa(TC)
1.0
)
)
Sa [g]
Se
 ordinate dello spettro di domanda anelastico
Rμ
TB ( = 1.0)
TB ( = 3.0)
TB ( = 5.0
Sa 
 = 1.0
Se(TC)
C
T
=

=
(
=
0)
3.
domanda anelastici cambiano pendenza al
=
(
C
3 .0
T
)
5.0
variare della duttilità μ che contraddistingue lo
spettro anelastico considerato
5.
0
Sa((TD)
Se((TD)
TD
SDe(TB)
caratteristici (TB, TC, TD) degli spettri di
1
( =
.0)
SDe(TC) = Sd(TC)
)
TD ( = 3.0
TD ( = 5.0)
SDe(TD) = Sd(TD)
Sd [cm]
Metodo N2
Fajfar P., [2000]. A nonlinear analysis method for performance-based seismic design. Earthquake Spectra, 16(3): 573-592.
PASSO 3 – analisi pushover del sistema a n-GDL
Si determina la curva di capacità del sistema reale a n-GDL.
Il vettore dei carichi laterali {F} è definito in modo che la distribuzione dei carichi laterali
{} si mantenga costante nel corso dell'analisi e sia correlata alla forma del vettore degli
spostamenti di piano {Ф}.
F   λ    λ M  
Fb
Fbu
0.85-0.80 Fbu
dbu
du
d
Metodo N2
Fajfar P., [2000]. A nonlinear analysis method for performance-based seismic design. Earthquake Spectra, 16(3): 573-592.
PASSO 4 – si determinano le caratteristiche del sistema a 1-GDL a comportamento
bilineare equivalente
- Il tratto elastico si determina imponendo il passaggio per il punto (0.60-0.70 Fbu*) k*  0.60 Fbu*
d 0.60*
- Il tratto plastico è individuato dalla forza di plasticizzazione Fy*,
* individuato
uguagliando le aree sottese dalla bilineare e dalla curva di capacità.
Sistema
Si
t
a 1-GDL
1 GDL
equivalente
d*
m*
F*
F
curva di capacità del
sistema a 1-GDL equivalente
bilatera del sistema
a 1-GDL equivalente
Fbu*
Fy*
A*  0.5 Fy* d y*  Fy* d u*  d y*

 Fy*  k* d y*
Fy*  k* d u* 
0.60-0.70 Fbu*
0.85-0.80 Fbu*
d y*  d u* 
k* d u*2  2 k* A*
d u*2 
T*  2π
k*
F*
A*  0.5 Fy* d y*  Fy* d u*  d y*
d(0.60-0.70)* dy*
dbu*
du* d*
2A*
k*
m*
k*
Metodo N2
Fajfar P., [2000]. A nonlinear analysis method for performance-based seismic design. Earthquake Spectra, 16(3): 573-592.
PASSO 5 – si determina la domanda sismica per il sistema a 1-GDL
La procedura distingue in base al periodo proprio T* del modello bilineare:
se di breve durata (T* < TC), sistemi rigidi, o di medio-lunga durata (T* ≥ TC), sistemi flessibili.
In entrambi i casi, la domanda di spostamento dmax* corrisponde all’ascissa del punto di
intersezione fra la curva di capacità bilineare del sistema a 1-GDL equivalente e lo spettro
di domanda anelastico.
Se(T*) > Fy*/m*
Sa
Se T* < TC (sistemi rigidi):
T*
SDe(T*)
Se(T*)
spettro elastico
T
Tc
diagramma di capacità del
sistema 1-GDL equivalente
C
la domanda di spostamento
anelastico dmax*, richiesta al
spettro di
domanda
anelastico
sistema 1-GDL equivalente,
è maggiore di quella de,max* =
SDe(T*)
richiesta,
Fy*/m*
A
dal
medesimo sistema, in regime
elastico lineare.
B
O
dy*
D
de,max*
dmax*
du*
Sd(TD) = SDe(TD)
Sd
Metodo N2
Fajfar P., [2000]. A nonlinear analysis method for performance-based seismic design. Earthquake Spectra, 16(3): 573-592.
PASSO 5 – si determina la domanda sismica per il sistema a 1-GDL
La procedura distingue in base al periodo proprio T* del modello bilineare:
se di breve durata (T* < TC), sistemi rigidi, o di medio-lunga durata (T* ≥ TC), sistemi flessibili.
In entrambi i casi, la domanda di spostamento dmax* corrisponde all’ascissa del punto di
intersezione fra la curva di capacità bilineare del sistema a 1-GDL equivalente e lo spettro
di domanda anelastico.
Se(T*) ≤ Fy*/m*
Sa
Se T* < TC (sistemi rigidi):
SDe(T*)
de,max*
Se(T*)
diagramma di capacità del
sistema 1-GDL equivalente
A
Fy*/m*
la domanda di spostamento
anelastico dmax*, richiesta al
T*
T
TC
C
spettro elastico
sistema 1-GDL equivalente,
è maggiore di quella de,max* =
SDe(T*)
richiesta,
TD
dal
medesimo sistema, in regime
elastico lineare.
D
O
B
dmax* dy*
SDe(TD)
du*
Sd
Metodo N2
Fajfar P., [2000]. A nonlinear analysis method for performance-based seismic design. Earthquake Spectra, 16(3): 573-592.
PASSO 5 – si determina la domanda sismica per il sistema a 1-GDL
La domanda di spostamento
p
dmax* corrisponde
p
all’ascissa del p
punto di intersezione fra la
curva di capacità bilineare del sistema a 1-GDL equivalente e lo spettro di domanda
anelastico.
Se(T
(T*)) > Fy*/m*
/m
Se T* ≥ TC (sistemi flessibili),
uguale spostamento:
Sa
de,max* = SDe(T*)
Se(TC)
la domanda di spostamento
anelastico dmax*, richiesta al
spettro elastico
Tc
T*
Se(T*)
C
spettro di
domanda
anelastico
sistema 1-GDL equivalente,
è
uguale
al
massimo
spostamento
de,max*
SDe(T*)
il
che
Fy*/m*
A
=
sistema
subirebbe in comportamento
elastico lineare.
diagramma di capacità del
sistema 1-GDL equivalente
B
O
dy*
D
dmax*
du* Sd(TD) = SDe(TD)
Sd
Metodo N2
Fajfar P., [2000]. A nonlinear analysis method for performance-based seismic design. Earthquake Spectra, 16(3): 573-592.
PASSO 5 – si determina la domanda sismica per il sistema a 1-GDL
La domanda di spostamento
p
dmax* corrisponde
p
all’ascissa del p
punto di intersezione fra la
curva di capacità bilineare del sistema a 1-GDL equivalente e lo spettro di domanda
anelastico.
Se(T
(T*)) ≤ Fy*/m*
/m
Se T* ≥ TC (sistemi flessibili),
Sa
SDe(T
(T*))
uguale spostamento:
la domanda di spostamento
Fy*/m*
de,max*
anelastico dmax*, richiesta al
Se((TC)
sistema 1-GDL equivalente,
Se(T*)
è
uguale
al
TC
spettro elastico
l i
C
massimo
spostamento
de,max*
SDe(T*)
il
che
T*
T
A
diagramma di capacità del
sistema 1-GDL equivalente
q
=
TD
sistema
subirebbe in comportamento
elastico lineare.
D
O
dmax*
B
dy*
SDe(TD)
du*
Sd
Metodo N2
Fajfar P., [2000]. A nonlinear analysis method for performance-based seismic design. Earthquake Spectra, 16(3): 573-592.
PASSO 6 – si determina la domanda sismica globale per il sistema a n-GDL
d max   d max*  domanda
d
d di spostamen
t
t per il sistema n - GDL
to
PASSO 7 – si determina la domanda sismica locale per il sistema a n-GDL
PASSO 8 – valutazione della prestazione (capacità)
Fb
Fbu
0.85-0.80 Fbu
dbu
dmax
du
d
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Ingegneria Sismica –
Ingegneria Sismica – CIS
“L’analisi statica non lineare
secondo il D.M. 14/01/2008”
Emanuele Del Monte
E‐mail: [email protected]
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