Unità 2
Le
grandezze
e il
Sistema
Internazio
nale
1
Alcuni valori
U02 Le grandezze
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Il sistema internazionale
La descrizione completa di un fenomeno spesso richiede
che si misurino le proprietà dei corpi che vi partecipano.
Dall’Ottocento, si sono tentati “sistemi di
unità di misura” comuni.
Finalmente, nel 1954, è nato il
Sistema Internazionale (SI),
oggi il più diffuso.
Il Sistema Internazionale
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Il Sistema Internazionale
U02 Le grandezze
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La lunghezza
Una delle prime grandezze che l’uomo ha avuto necessità di misurare è
la lunghezza. Probabilmente per questo motivo essa è stata anche una
delle prime per le quali fu stabilita un’unità di misura.
Nel 1791 l’Accademia delle
Scienze di Parigi definì il metro
come la decimilionesima parte
dell’arco di meridiano terrestre
che collega l’equatore con il
polo Nord passando nei pressi
di Parigi.
Il Sistema Internazionale
U02 Le grandezze
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Nel corso dei secoli,
il riferimento è stato cambiato
più volte.
Attualmente, il metro
corrisponde alla distanza
percorsa dalla luce nel vuoto
in 1/299 792 458 s.
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La massa
La grandezza che più intuitivamente si collega alla fisicità degli oggetti
che ci circondano è la massa.
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Uno strumento col quale si
può misurare la massa di
un corpo è la bilancia a due
bracci.
Grazie a essa, il corpo in
esame viene confrontato
con alcune “masse
campione”, ossia con alcuni
corpi la cui massa è nota.
L’operazione si chiama
“pesata” e, pertanto, nel
linguaggio comune si dice
che si determina “il peso” di
un oggetto.
Il Sistema Internazionale
U02 Le grandezze
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In realtà, parlando in tal modo, si
confondono
la massa, ossia la quantità di
materia che forma il corpo,
indipendente dal luogo in cui esso
si trova, e il peso, che è la forza
con cui il campo gravitazionale
terrestre attira la massa del corpo
stesso, e può dunque variare da
luogo a luogo.
Il peso di un corpo dipende infatti
dall’accelerazione di gravità.
Precisamente, si ha:
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La differenza tra il peso e la massa di un corpo può essere messa in
evidenza con bilance basate su differenti principi di funzionamento.
In una bilancia a due bracci si confronta ogni volta l’oggetto da
misurare con delle masse campione. L’accelerazione di gravità agisce
allo stesso modo sui due bracci della bilancia, per cui la misura che si
ottiene, che è una misura di massa, è indipendente dall’accelerazione di
gravità del luogo in cui ci si trova.
In una bilancia a molla la misura viene letta su una scala preparata
utilizzando dei campioni di massa nota. In questo caso, ciò che si misura
è il peso del corpo. Tali bilance danno perciò misurazioni diverse se si
opera a una gravità diversa da quella a cui sono state tarate.
Il Sistema Internazionale
U02 Le grandezze 10
Il Sistema Internazionale
U02 Le grandezze 11
Il tempo
Anche il tempo è una grandezza che gli uomini hanno sempre sentito la
necessità di misurare.
La definizione del secondo ha
subìto vari cambiamenti nel corso
degli anni.
Per molto tempo, ci si è basati a
questo scopo su riferimenti
astronomici. Attualmente, si
definisce il secondo come
la durata di 9 129 631 770
oscillazioni della radiazione
emessa dall’isotopo 133 del cesio
posto in un campo magnetico.
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U02 Le grandezze 12
La temperatura
Tutti i campi scientifici ricorrono alla grandezza
temperatura per descrivere i fenomeni studiati.
Nelle produzioni industriali e anche nella vita di
tutti i giorni essa riveste un ruolo determinante.
La vita stessa degli organismi, del resto, può
avvenire solo entro limiti ristretti di temperatura.
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U02 Le grandezze 13
Sulla Terra la temperatura si mantiene entro valori molto ristretti,
se confrontati con quelli che incontriamo nell’Universo.
Il Sistema Internazionale
U02 Le grandezze 14
Per le esigenze quotidiane, è ancora
molto usato il grado centigrado o
Celsius (°C). La scala centigrada,
basata su di esso, è arbitraria, cioè
legata a stati fisici della materia scelti
come punti di riferimento, ai quali
sono stati assegnati valori di
temperatura ‘di comodo’. I riferimenti
scelti sono il punto di fusione del
ghiaccio e il punto di ebollizione
dell’acqua in condizioni standard di
pressione (1 atm). A questi punti sono
stati attribuiti rispettivamente i valori 0
°C e 100 °C.
Ad essi si fa riferimento per la
costruzione dei termometri.
Il Sistema Internazionale
U02 Le grandezze 15
I termometri tradizionali si basano
sulla proprietà dei liquidi di dilatarsi
o restringersi al variare della
temperatura ma esistono anche altri
modi per misurare la temperatura.
I termometri “digitali”, ad
esempio, sfruttano la variazione
delle proprietà elettriche dei corpi
in funzione della temperatura.
Oppure, la temperatura di un
corpo si può misurare rilevando la
quantità di raggi infrarossi che
esso emette: in tal modo, la
misura si può effettuare senza
entrare in contatto con il corpo
stesso.
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U02 Le grandezze 16
Confronto fra le tre scale termometriche più usate
Il Sistema Internazionale
U02 Le grandezze 17
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 18
Il volume
è una tipica grandezza derivata, visto che si ottiene
come prodotto di tre lunghezze.
Un’altra unità di misura del volume non
definita dal SI, ma molto usata sia in
chimica sia nella vita di tutti i giorni, è il
litro, che equivale a 1 dm3.
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 19
La densità
Un’altra grandezza derivata è la densità.
Quando si indica la densità di un corpo si deve sempre precisare la
temperatura alla quale la misura è stata effettuata.
Con l’aumentare della temperatura, infatti, mentre la massa dei corpi
rimane costante, il loro volume di norma aumenta. La densità sarà
perciò in generale tanto più bassa quanto più cresce la temperatura.
Tale variazione, minima nei solidi, diviene più significativa nei liquidi,
come si è visto costruendo il termometro.
Nei gas, la densità è fortemente collegata, oltre che alla temperatura,
anche alla pressione.
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 20
Per i solidi, la densità si ricava misurando separatamente massa e
volume e poi facendone il rapporto.
Per i liquidi, si può sfruttare il densimetro, un galleggiante tarato. Poiché
la spinta che riceve dal liquido è, per il principio di Archimede, tanto più
grande quanto più denso è il liquido stesso, dal livello di galleggiamento
si può ricavare la densità del liquido.
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 21
Strumenti per misurare la densità
Picnometro
Bilancia idrostatica
Le grandezze derivate
Densimetri
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Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 23
L’energia
È intuitivo associare l’energia a masse in movimento
come una cascata d’acqua, un cavallo in corsa o un
atleta che sollevi pesi. Anche la benzina, però,
possiede energia: infatti, se viene bruciata in un
motore, è in grado di far muovere una macchina.
Analogamente, però, anche un masso
immobile sulla cima di una montagna
ha in sé una grande energia.
L’energia si presenta insomma sotto
varie forme ed è necessario darne una
definizione abbastanza generale da
comprenderle tutte; per questo motivo
si ricorre al concetto di lavoro.
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 24
Un principio fondamentale della fisica afferma che
l’energia non si crea né si distrugge.
Essa, tuttavia, si trasforma continuamente dall’una
all’altra delle sue forme.
Così, i composti chimici contenuti in una pila
trasformano la loro energia chimica in energia
elettrica, che a sua volta può mettere in azione un
motore, che fornisce energia meccanica.
La stessa energia elettrica può causare
il riscaldamento di una resistenza e tramutarsi in
energia termica. Anche il calore infatti è una forma
di energia.
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 25
Per tutte le forme di energia si utilizza sempre la stessa unità di misura,
il joule. Il joule è un’unità derivata da quelle fondamentali del SI:
1 J = 1 N · 1 m = 1 kg · 1 m2 · 1 s−2
Vi è anche un’altra unità ancora molto usata per la misura dell’energia,
soprattutto in riferimento agli alimenti: la caloria (cal), che non
appartiene al SI e per la quale vale la conversione:
1 cal = 4,184 J
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 26
Quando si devono indicare grandi quantità di energia, si utilizza talvolta
come unità di misura la tep (tonnellata equivalente di petrolio).
1 tep è la quantità di energia mediamente ottenibile dalla combustione
di 1000 kg (ossia una tonnellata) di petrolio e si ha:
1 tep = 42 GJ
1000 kg
di petrolio corrispondono
approssimativamente a
5,5 barili
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 27
NON confondiamo temperatura e calore!
La temperatura di un corpo dipende dall’energia cinetica media delle
sue particelle; il suo calore è l’energia termica complessiva che possiede.
Facciamo un paragone.
Cadendo da uguale altezza, corpi diversi cedono
quantità di energia diverse a seconda della loro
massa.
Analogamente, una tazza e una pentola piene di
acqua bollente hanno la stessa temperatura, ma il
calore che possono cedere e gli effetti che
possono produrre sull’ambiente sono ben diversi.
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 28
La pressione
Anche la pressione è una grandezza derivata del SI.
Una stessa forza può esercitare pressioni
diverse a seconda della superficie su cui
agisce, come succede camminando sulla
neve fresca: con i soli scarponi si affonda
facilmente, ma se usiamo le racchette da
neve si cammina senza difficoltà; lo
stesso peso (forza) esercita ora sulla
neve una pressione minore, perché si
distribuisce su una superficie più ampia.
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 29
Anche se spesso non ci pensiamo, l’aria, che ha ovviamente
una massa, a causa della forza di gravità che l’attira verso la Terra
esercita sul suolo una pressione.
L’aria esercita una pressione diversa anche a seconda che sia più umida
o più secca, più calda o più fredda.
Quando masse di aria molto grandi con caratteristiche diverse vengono a
contatto, si possono produrre fenomeni atmosferici spettacolari
e devastanti.
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 30
La pressione è la grandezza che, assieme alla
temperatura, determina lo stato fisico di un corpo.
Il nucleo interno della Terra ha temperature tali
che i suoi costituenti, essenzialmente nichel e
ferro, dovrebbero essere allo stato liquido: è invece
solido a causa della fortissima pressione prodotta
dalle enormi masse che gravano su di esso.
Alcuni minerali si formano solo in
determinate condizioni di
temperatura e pressione. La loro
presenza in una roccia ne indica
pertanto le condizioni di formazione.
La coesite, per esempio, è la
versione ad “alta pressione” del
comune quarzo: se una roccia la
contiene, deve essersi formata a
decine di kilometri di profondità o
aver subito un impatto meteorico.
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 31
L’unità di misura della pressione, il pascal (Pa),
corrisponde alla pressione esercitata da una
forza unitaria su una superficie unitaria.
Si ha quindi:
1 Pa = 1 N · m−2
Ricordando dunque che 1 N = 1 kg · m · s−2, si
può scrivere:
1 Pa = 1 kg · m−1 · s−2
Il pascal ha un valore molto piccolo, per cui è usato frequentemente un
suo multiplo, il kilopascal (kPa).
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 32
Sono spesso usate anche altre tre unità di misura, non incluse nel SI:
• il bar, che è la pressione equivalente a 100 kPa;
• il millimetro di mercurio (mmHg), chiamato anche torr, che è la
pressione esercitata da una colonna di mercurio alta 1 mm;
• l’atmosfera (atm), che è la pressione esercitata dall’aria, al livello del
mare, a una latitudine di 45° e che viene equilibrata da una colonna di
mercurio alta 760 mm.
Fra queste tre unità di misura della pressione vale la relazione:
760 mmHg = 1 atm = 101,325 kPa = 1,01325 bar
Le grandezze derivate
U02 Le grandezze 33
Grandezze intensive ed estensive
Le grandezze vengono divise in due categorie fondamentali:
grandezze intensive e grandezze estensive.
Consideriamo, per esempio, la densità. Essa è costante per una data
sostanza, indipendentemente dalla quantità che se ne considera. La
densità del rame, infatti, è uguale sia che se ne prenda in esame un
grammo, sia che ci si riferisca a 1000 kg.
Un discorso del tutto analogo può essere fatto per la temperatura, per la
pressione o per la velocità.
Un comportamento esattamente contrario ha la massa. La massa di una
sostanza dipende ovviamente dal corpo a cui ci riferiamo.
Lo stesso discorso vale per la lunghezza o il volume di un corpo.
Grandezze intensive ed estensive
U02 Le grandezze 34
Errori
È facile riscontrare che quando una stessa misura viene effettuata più
volte, si trovano generalmente valori discordanti. E questo perfino se a
effettuarla è la stessa persona e utilizzando lo stesso strumento.
Questo fatto si spiega considerando che ogni misura è soggetta a errore.
Gli errori che si compiono eseguendo una misura, pur di diversa natura,
si possono classificare in due gruppi: errori sistematici ed errori casuali.
Errori
U02 Le grandezze 35
Gli errori sistematici sono legati all’abilità con
cui si effettuano le misure e alla qualità degli
strumenti impiegati.
Per esempio, un analista che non sia in grado
di percepire velocemente un cambiamento di
colore o una bilancia che presenti un difetto di
fabbricazione compiono tipicamente errori
sistematici.
Gli errori sistematici, per la loro natura, hanno la caratteristica di ripetersi
in modo costante; si possono quindi ‘smascherare’ confrontando i
risultati delle misure con quelli ottenuti da un’altra persona o con un altro
strumento.
Errori
U02 Le grandezze 36
Gli errori casuali sono invece dovuti a fattori
non determinabili né prevedibili.
Possono essere provocati da particolari
situazioni, come fluttuazioni di temperatura e di
pressione, dall’affaticamento dell’occhio, dalla
disattenzione dovuta alla stanchezza ecc.
La natura casuale di tali errori fa sì che a volte le misure ottenute si
discostino dal valore vero talvolta per eccesso e talvolta per difetto.
Ciò consente di minimizzarli ripetendo più volte la misurazione e
considerando la media dei risultati ottenuti.
Errori
U02 Le grandezze 37
La “bontà” di una misura viene valutata in base a due parametri:
accuratezza e precisione.
buona accuratezza
e scarsa precisione
scarsa accuratezza
e buona precisione
Errori
U02 Le grandezze 38
scarsa accuratezza
e scarsa precisione
buona accuratezza
e buona precisione
Errori
U02 Le grandezze 39
Per quanto detto a proposito degli errori, si può facilmente osservare
che un’accuratezza elevata si raggiunge quanto più si riducono gli errori
sistematici.
Analogamente, una buona precisione si ha quando sono ben bilanciati
gli errori casuali.
La precisione di una serie di misure può essere valutata grazie a una
funzione matematica, la deviazione standard (s), che è data
dall’espressione:
Errori
U02 Le grandezze 40
Errori
U02 Le grandezze 41
Calcolare la deviazione standard è facile!
Spesso, per riportare una misura e la sua
precisione, si utilizza una formula più semplice, anche se meno
significativa: si fa la media delle misure e si esprime il risultato come:
dove xmax e xmin rappresentano il valore massimo e quello minimo della
serie in questione. Allora, l’espressione:
si dice errore assoluto del risultato ed esprime la precisione della serie
di misure.
Talvolta, è necessario rapportare l’errore assoluto al valore medio della
serie e si parla allora di errore relativo:
Errori
U02 Le grandezze 42
Al contrario della precisione
che, come si è visto, si
determina a partire dalle sole
misure, l’accuratezza può
essere valutata solo se è noto
il valore vero, nel qual caso si
possono calcolare
direttamente l’errore assoluto
e quello relativo.
In genere, però, il valore vero
non si conosce e al suo posto
si usa quello ritenuto più
probabile perché basato su
prove generalmente accettate.
Errori
U02 Le grandezze 43
Alcuni valori
Alcuni valori
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Alcuni valori
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Alcuni valori
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Le cifre significative
Quando diciamo che la statura di una persona è
1,83 m, intendiamo che essa è 1,83 volte l’unità di
misura delle lunghezze, rappresentata da 1 m.
Per esprimere una misura, in effetti, è sempre
necessario indicare un numero e l’unità rispetto alla
quale la misura è effettuata.
Ogni strumento consente una misura,
ma non tutti hanno la capacità di
ottenere dati ugualmente accurati.
Se consideriamo per esempio due
bilance digitali, notiamo che esse
possono misurare la massa di uno
stesso oggetto con un numero maggiore
o minore di cifre decimali.
Cifre significative
U02 Le grandezze 47
La misura, infatti, viene espressa con un numero di cifre che riflette le
caratteristiche dello strumento; in particolare, la sua sensibilità.
Proviamo a misurare la
larghezza di un foglio di
carta con un metro da sarto
e con un righello.
Con il metro da sarto se ne
può agevolmente
determinare la larghezza in
centimetri.
Con il righello, tuttavia, è
possibile effettuare la
misura anche in millimetri.
Il foglio è largo 14 cm; anzi,
no: 148 mm.
Cifre significative
U02 Le grandezze 48
Entrambe le misure della larghezza del foglio che abbiamo ottenuto,
dunque, sono corrette.
Se invece avessimo scritto 14,81 cm o 148,53 mm avremmo sbagliato: i
nostri strumenti non hanno l’accuratezza indicata da queste cifre e le
misure così espresse sarebbero risultate ingannevoli.
In pratica, il valore che si ricava quando si misura una grandezza viene
espresso utilizzando solo le cifre che sono chiaramente definibili, dette
cifre significative.
La misura effettuata con il metro da sarto ha tre cifre significative, quella
con il righello ne ha quattro.
Le cifre di una misura correttamente eseguita sono tutte significative, a
eccezione degli eventuali zero iniziali.
Cifre significative
U02 Le grandezze 49
Esiste un modo per esprimere le misure in maniera che siano subito
evidenti le cifre significative: la cosiddetta notazione scientifica.
Cifre significative
U02 Le grandezze 50
Per esprimere un numero in notazione scientifica si procede nel modo
seguente.
Se il numero considerato è maggiore di dieci:
• si scrive il numero in questione come un decimale minore di dieci;
• lo si moltiplica per una potenza di dieci il cui esponente è uguale al
numero delle cifre rimaste a destra della virgola;
• si eliminano gli zero finali.
Se al contrario il numero da rappresentare in notazione scientifica è
minore di uno:
• si eliminano gli eventuali zero iniziali spostando la virgola verso
destra;
• si moltiplicano cifre rimanenti per una potenza negativa di dieci, il cui
esponente corrisponde al numero degli spostamenti effettuati.
Cifre significative
U02 Le grandezze 51