Gli Elementi di Euclide
Libro VII
Definizioni
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Unità è ciò secondo cui ciascun ente è detto uno.
Numero è una pluralità composta da unità.
Un numero è “parte” di un [altro] numero, il minore di
quello maggiore, quando esso misuri il maggiore (= lo
divida).
È “parti” invece di un numero, quando non lo misuri (=
non lo divida).
Un numero maggiore è multiplo di un numero minore,
quando sia misurato (= sia diviso) dal minore.
Numero pari è quello che è divisibile in due parti (=
numeri) uguali.
Numero dispari è quello che non è divisibile in due
parti (= numeri) uguali, ossia quello che differisce di
un’unità da un numero pari.
8) Numero parimente pari è quello che è misurato (= è
diviso) da un numero pari secondo un numero pari.
9) Numero parimente dispari è quello che è misurato (è
diviso) da un numero pari secondo un numero dispari.
10) Numero disparimente dispari è quello che è misurato (=
è diviso) da un numero dispari secondo un numero
dispari.
11) Numero primo è quello che è misurato (= è diviso)
soltanto dall’unità.
12) Numeri primi tra loro sono quelli che hanno soltanto
l’unità come misura (= divisore) comune.
13) Numero composto è quello che è misurato da (ha per
divisore) un qualche numero.
14) Numeri composti fra loro sono quelli che hanno un
qualche numero come misura comune (= hanno un
numero per divisore comune).
15) Si dice che un primo numero moltiplica un secondo
numero, quando si ottenga un terzo numero componendolo
con la somma di tante volte il secondo per quante sono le
unità del primo.
16) Quando due numeri, moltiplicandosi fra loro, producano
un terzo numero, il prodotto si chiama numero piano, ed i
numeri che si moltiplicano fra loro si chiamano i suoi “lati”.
17) Quando tre numeri, moltiplicandosi fra loro, producono un
quarto numero, il prodotto si chiama numero solido, ed i
numeri che si moltiplicano fra loro si chiamano i suoi “lati”.
18) Numero quadrato è quello che è prodotto di due numeri
uguali, ossia è un numero piano che ha per lati due numeri
uguali.
19) [Numero] cubo è quello che è prodotto di tre numeri
uguali, ossia è un numero solido che ha per lati tre numeri
uguali.
20) [Quattro] numeri sono in proporzione quando, a seconda
che il primo sia multiplo, sottomultiplo, o una frazione
qualunque del secondo numero, corrispondentemente il
terzo sia lo stesso multiplo, o lo stesso sottomultiplo, o la
stessa frazione del quarto.
21) Numeri piani e solidi simili [fra loro] sono quelli che
hanno i lati proporzionali.
22) Numero perfetto è quello che è uguale alla somma delle
proprie parti (= dei suoi divisori).
Proposizione I
Se si prendono due numeri disuguali e si procede [a
sottrazioni successive], togliendo di volta in volta il
minore dal maggiore, [la differenza dal minore e così
via], se il numero che [ogni volta] rimane non divide mai
quello che immediatamente lo precede, finché rimanga
soltanto l’unità, i numeri dati all’inizio saranno primi tra
loro.
Infatti, dati i due numeri AB, CD e continuandosi a sottrarre
di volta in volta il minore dal maggiore, le differenza dal
minore e così via, il numero che ogni volta rimane non
divida mai quello che immediatamente lo precede, finché
rimane soltanto l’unità; dico che AB e CD sono primi tra
loro, vale a dire che soltanto l’unità misura AB, CD.
Se AB, CD difatti non fossero primi fra loro, un altro
numero li dividerebbe. Li divida, e sia esso E; e CD d’altra
parte, dividendo BF, lasci [il resto] FA minore di CD,
mentre AF, dividendo DG, lasci [il resto] CG
A
minore di AF, e CG, dividendo FH, lasci [come
H
resto] l’unità HA. Poiché dunque E divide CD,
C
F
e CD divide BF, anche E divide BF (ass. 3); ma
G
esso divide pure tutto quanto BA, per cui
dividerà anche la differenza AF (ass. 2).
E
B
D
Ma AF divide DG; anche E quindi divide DG (ass. 3); ed
esso divide pure tutto quanto DC, per cui dividerà anche
la differenza CG. Ma CG divide FH; anche E quindi
divide FH (ass. 3); ed esso divide pure tutto quanto FA,
per cui dividerà anche la differenza, cioè l’unità AH (ass.
2), pur essendo un numero: il che è impossibile. Nessun
altro numero può quindi dividere i numeri AB, CD;
dunque AB, CD sono primi tra loro (VII, def. XII).
C.D.D.
È applicata in VII, 2.
Proposizione 2
Dati due numeri che non siano primi fra loro, trovare il
loro massimo comun divisore.
Siano AB, CD i due numeri dati che non sono primi fra
loro. Si deve dunque trovare il massimo comun divisore
di AB, CD.
Supponiamo dapprima che CD divida AB; ma esso d’altra
parte, divide anche sé medesimo per cui CD [in tal caso]
è divisore comune di CD, AB. Ed è evidente che è anche
il massimo; infatti nessun numero maggiore di CD può
dividere CD.
A
E
Se invece CD non divide AB, ed a partire da AB,
CD si continua a sottrarre di volta in volta il
C
numero minore dal maggiore, la differenza dal
F
minore, e così via, rimarrà un numero che
dividerà quello immediatamente
G
B
D
precedente. Infatti, non si avrà come ultimo resto l’unità; in
caso contrario AB, CD sarebbero primi fra loro (VII, 1), il
che non è per ipotesi. Si avrà quindi un numero, come
ultimo resto, che dividerà quello immediatamente
precedente. E CD allora, dividendo BE, lasci il resto EA
minore di CD, mentre EA dividendo DF, lasci il resto FC
minore di EA, e si supponga che CF divida AE. Poiché
dunque CF divide AE, ed AE divide DF, si ha che dividerà
pure DF (ass. 3); ma divide anche se stesso, per cui
dividerà anche tutta quanta la somma CD (ass. 1).
Ma CD divide BE; quindi anche CF divide BE (ass. 3); ma
divide pure EA, per cui dividerà anche tutta quanta la somma
BA (ass. 1); ma esso divide pure CD; quindi CF è divisore
comune è divisore comune di AB, CD. Dico ora che è anche
il massimo. Infatti, se CF non fosse il massimo comun
divisore di AB, CD, un altro numero, che fosse maggiore di
CF, dividerebbe i numeri AB, CD. Li divida e sia esso G. E
poiché G divide CG, ma CG divide BE, anche G divide BE
(ass. 3); ma esso divide pure tutta quanta la somma BA, per
cui dividerà anche la differenza AE (ass. 2). Ma AE divide
DF; quindi anche G dividerà DF (ass. 3); ma esso divide
pure tutta quanta la somma CD, per cui dividerà anche la
differenza CF (ass. 2), cioè un numero maggiore dividerebbe
un numero minore- il che è impossibile; non può quindi un
altro numero che sia maggiore di CF, dividere i numeri AB,
CD; dunque CF è il massimo comun divisore di AB, CD.
Applica VII, 1
È applicata in VII, 3, 4.
Corollario
È da ciò evidente che, se un numero divide [altri] due
numeri, dividerà anche il loro massimo comun divisore.
Proposizione 3
Dati tre numeri che non siano primi fra loro, trovare il loro massimo
comun divisore.
Siano A, B, C i tre numeri dati che non sono primi fra loro; si deve
dunque trovare il loro massimo comun divisore.
Infatti, si prenda il massimo comun divisore dei due numeri A, B (VII,
2), e sia esso D. Ora D o divide C o non lo divide. Lo divida, dapprima;
ma esso divide anche A, B, per cui D divide A, B, C. Dico ora che è
anche il massimo. Infatti, se D non fosse il massimo comun divisore di
A, B, C, un altro numero, che fosse maggiore di D, dividerebbe i
numeri A, B, C. Li divida, e sia esso E. Poiché dunque E divide A, B,
C, dividerà pure A, B; dividerà quindi anche il massimo comun divisore
di A, B (VII, 2, coroll.). Ma è D il massimo comun divisore di A, B, per
cui E dividerebbe D, cioè un numero maggiore dividerebbe un numero
minore: il che è impossibile. Non può quindi un altro numero, che sia
maggiore di D, dividere i numeri A, B, C; dunque D è il massimo
comun divisore A, B, C.
Ma sia adesso il caso in cui D [cioè il massimo comun
divisore di A, B] non divida per ipotesi il [terzo] numero
C; dico in primo luogo, che C, D non sono numeri primi
tra loro. Infatti, poiché A, B, C non sono primo fra loro, li
dividerà un qualche numero. Il numero che divida A, B, C
dividerà così anche A, B, e dividerà pure il massimo
comun divisore di A, B, cioè D (VII, 2, coroll.); ma esso
divide anche C, per cui si avrà che un numero divida
entrambi i numeri D, C; non sono quindi D, C primi fra
loro. Si prenda dunque il loro massimo comun divisore, e
sia E (VII, 2). Poiché E divide D, e D divide A, B, anche
E divide A, B (ass. 3); ma esso divide pure C, per cui E
divide A, B, C; è quindi E divisore comune di A, B, C.
Dico ora che è anche il massimo. Infatti, se non fosse E il
massimo comun divisore di A, B, C, un altro numero, che
fosse maggiore di E, dividerebbe i numeri A, B, C. Li
divida, e sia F [il divisore supposto maggiore di E].
Poiché F divide A, B, C, divide pure A, B; dividerà quindi
anche il massimo comun divisore di A, B (VII, 2, coroll.).
Ma è D il massimo comun divisore di A, B; perciò F
divide [in tal caso] D; ma esso divide anche C, per cui F
divide D, C; dividerà quindi anche il massimo comun
divisore di D, C (VII, 2, coroll.). Ma è E il massimo
comun divisore di D, C; perciò F divide E, cioè un
numero maggiore dividerebbe un numero minore: il che è
impossibile. Non può quindi un altro numero, che sia
maggiore di E, dividere i numeri A, B, C; dunque E è il
massimo comun divisore di A, B, C
C.D.D.
Prop. 19. Se quattro numeri sono proporzionali, il
prodotto del primo per il quarto sarà uguale al prodotto
del secondo per il terzo; e se il prodotto di un primo
numero per un quarto è uguale a quello di un secondo per
un terzo, i quattro numeri saranno proporzionali.
Prop. 20. I numeri più piccoli fra quanti abbiano fra loro
[a due a due] lo stesso rapporto, sono equisottomultipli
dei numeri che hanno tra loro a due a due lo stesso
rapporto, [rispettivamente] il numero maggiore del
maggiore e quello minore del minore.
Prop. 21. I numeri primi fra loro sono i più piccoli fra
quanti abbiano tra loro a due a due lo stesso rapporto.
Proposizione 29
Ogni numero primo è primo rispetto ad ogni altro numero
che esso non divida.
Sia A un numero primo e non divida B; dico che B, A
sono primi fra loro. Infatti, se B, A non fossero primi fra
loro, un altro numero li dividerebbe. Li divida C. Poiché
C divide in tal caso B, ma A non divide B, il numero C
non sarebbe uguale ad A. Ma poiché C divide B, A, esso
anche dividerebbe A, che è primo pur non essendo uguale
ad esso: il che è impossibile. Non può quindi un altro
numero dividere B, A. Dunque A, B sono primi fra loro.
C.D.D.
È applicata in: VII, 30; IX, 12, 36.
Proposizione 30
Se due numeri si moltiplicano fra loro, ed un altro
numero, che sia primo, divide il prodotto, esso dividerà
anche uno dei fattori.
Infatti, i due numeri A, B moltiplicandosi fra loro diano il
prodotto A x B, ed un altro numero D, che è primo divida
il prodotto A x B; dico che D divide uno dei numeri A, B.
Supponiamo difatti che D non divida A; ora D è primo,
per cui A e D sono primi fra loro (VII, 29). E per quante
volte D è contenuto in A x B, altrettante unità siano in E.
Poiché dunque D è contenuto in A x B altrettante volte
quante sono le unità contenute in E, si ha che D se
moltiplica E, risulta dare il prodotto A x B (VII, def. XV).
Ma tuttavia pure A, moltiplicando B, risulta dare il
prodotto A x B; perciò il prodotto di D per E è uguale a
quello ci A x B. Quindi D sta ad A come B sta ad E (VII,
19). Ma D, A sono primi fra loro, i numeri primi fra loro
sono anche i più piccoli possibili tra tutti quelli aventi a
due a due lo stesso rapporto (VII, 21), ed i numeri più
piccoli possibili sono equisottomultipli di quanti abbiano
fra loro a due a due lo stesso rapporto, rispettivamente il
numero maggiore del maggiore e quello minore del
minore (VII, 20), vale a dire l’antecedente divide
l’antecedente ed il conseguente divide il conseguente;
quindi D divide B [cioè è un sottomultiplo di B].
Similmente potremo anche dimostrare che, qualora D non
divida B, esso dividerà A. Dunque D divide [in ogni caso]
uno dei numeri A, B. C.D.D.
Proposizione 31
Ogni numero composto ha per divisore un numero primo.
Sia A un numero composto; dico che A è diviso da un
numero primo. Infatti, poiché A è composto, un altro numero
lo dividerà. Lo divida, e sia esso B. Se allora B è primo, si
sarebbe già conseguito quanto proposto. Ma se è composto,
lo dividerà un altro numero. Lo divida, e sia esso C. Ora,
poiché C divide B, ma B divide A, anche C divide in tal caso
A (ass. 3). Se allora C è primo, si sarebbe già conseguito
quanto proposto. Se invece è composto, lo dividerà un altro
numero. Procedendo così in una tale ricerca, si finirà col
trovare un numero primo che farà da divisore. Se infatti non
lo si trovasse, infiniti numeri dividerebbero il numero A, dei
quali uno sarebbe sempre minore dell’altro: il che è
impossibile nel caso di numeri. Si finirà quindi col trovare un
numero primo che divida il numero ad esso precedente, e che
dividerà anche A. Dunque ogni numero composto....(secondo
l’enunciato). C. D. D.
Proposizione 32
Ogni numero o è primo o ha per divisore un numero
primo.
Sia A un numero; dico che A o è primo o A per divisore un
numero primo. Se supponiamo dunque che A sia primo, si
sarebbe già conseguito quanto proposto. Ma se è
composto, lo dividerà un altro numero che sia primo (VII,
31). Dunque, ogni numero... (secondo l’enunciato).
C.D.D.
Proposizione 34
Dati due numeri, trovare il numero più piccolo che essi
dividano (cioè: trovare il loro minimo comune multiplo).
Proposizione 35
Se due numeri dividono un altro numero, anche il loro
minimo comune multiplo dividerà quello stesso numero.
Proposizione 36
Dati tre numeri, trovare il loro minimo comune multiplo.
Gli Elementi di Euclide
Libro VII
Proposizione 11
Fra due numeri quadrati esiste un numero medio
proporzionale, ed un numero quadrato ha con l’altro
numero quadrato rapporto duplicato rispetto a quello che
il lato [dell’uno] ha col lato [dell’altro].
Proposizione 12
Fra due numeri cubi esistono due numeri medi
proporzionali, ed un numero cubo ha con l’altro numero
cubo rapporto triplicato rispetto a quello che il lato
dell’uno ha col lato dell’altro.
Proposizione 14
Se un numero quadrato ne divide un altro, anche il lato
del primo dividerà il lato del secondo; e se il lato di un
numero quadrato divide il lato di un altro numero
quadrato, anche il primo quadrato dividerà il secondo
quadrato.
Proposizione 15
Se un numero cubo ne divide un altro, anche il lato del
primo dividerà il lato del secondo; e se il lato di un
numero cubo divide il lato di un altro numero cubo, anche
il primo numero cubo dividerà il secondo numero cubo.
Gli Elementi di Euclide
Libro IX
Proposizione XX
Esistono [sempre] numeri primi in numero maggiore di
quanti numeri primi si voglia proporre. [cioè la serie dei
numeri primi è illimitata]
Siano A, B, C i numeri primi proposti; dico che esistono
numeri primi in maggior numero che A, B, C [cioè che ne
esiste almeno un altro, oltre ad A, B, C]. Infatti, si prenda
il minimo comune multiplo di A, B, C (VII, 36) e sia esso
K; si aggiunga a K l’unità U. Ora il numero K + U o è
primo o non lo è. Dapprima, sia un numero primo; si sono
dunque trovati i numeri primi A, B, C, K + U che sono in
maggior numero che A, B, C.
Ma sia adesso il caso in cui, per ipotesi, K + U non è
primo, per cui esso è diviso da un numero primo (VII,
31). Sia diviso dal numero primo D; dico che D non è
uguale a nessuno dei numeri A, B, C. Infatti, se possibile,
sia uguale [a qualcuno di essi]. Ma A, B, C dividono K;
perciò anche D dividerebbe K. Ma D divide pure K + U;
ossia D dividerebbe, pur essendo un numero, anche
l’unità U che rimane di K + U [ossia dividerebbe anche la
differenza fra i due numeri consecutivi K + U e K, vale a
dire, pur essendo un numero, dividerebbe l’unità U]: il
che è assurdo. Quindi D non è uguale a nessuno dei
numeri A, B, C. Ed è per ipotesi primo. Dunque si sono
trovati numeri primi, cioè A, B, C, D, più numerosi di
quanti numeri primi si siano proposti, cioè A, B, C.
C.D.D.
Proposizione 36
Se, partendo dall’unità, si prendano quanti si voglia
numeri raddoppiando successivamente sino a che la loro
somma venga ad essere un numero primo, e se la somma
stessa viene moltiplicata per l’ultimo dei numeri
considerati, il prodotto sarà un numero perfetto.