OLTRE GLI INTERI
Obiettivi :
Scoprire i numeri irrazionali
Estrarre la radice quadrata di un numero
Costruire segmenti di lunghezza √n
Utilizzare la geometria per costruire segmenti di lunghezza √n
Approfondire la conoscenza di p e di e
Scoprire le frazioni continue
Contenuti :
I numeri irrazionali
Diagonale del quadrato √2
Diagonale del cubo √3
Costruzione di √n
Teorema di Pitagora
II teorema di Euclide
Rettangoli reciproci
Quadrature
p , e , logaritmi
Le frazioni continue
Materiali
Schede di lavoro
Disegni
Cartelloni
Origami
Sito web sui numeri irrazionali , su √2 , su √n,
su p , su e , sulle frazioni continue
Metodologie:
Problem solving
Cooperative learning
Scoperta guidata
Lavorare per progetti
I numeri Irrazionali
La scoperta dei numeri irrazionali viene tradizionalmente
attribuita a Pitagora, o più precisamente al
pitagorico Ippaso di Metaponto, che produsse una
argomentazione dell'irrazionalità e di √ 2. Secondo la
tradizione Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre
tentava di rappresentare la √2 come frazione
Pitagora dalla Scuola di
Atene di Raffaello
Tuttavia Pitagora credeva
nell'assolutezza dei numeri, e non poteva
accettare l'esistenza dei numeri
irrazionali. Egli non era in grado di
confutare la loro esistenza con la logica,
ma le sue credenze non potevano
tollerarne l'esistenza e, secondo una
leggenda, per questo condannò Ippaso a
morire annegato.
Possiamo dimostrare l'irrazionalità di √2 con un
origami
La diagonale del quadrato di lato 12 è
12 √2
che è molto vicino a 17
Se √ 2 fosse un numero razionale , per esempio
proprio 17/12 , la diagonale misurerebbe 17 , e
piegando il lato sulla diagonale resterebbe un
triangolo rettangolo isoscele di ipotenusa 7 e
cateti 5 , per cui √2 sarebbe anche 7/5 ,mentre un
numero razionale ammette un'unica
rappresentazione sotto forma di frazione ridotta
ai minimi termini,mentre qui 17/12 e 7/5 sono due
numeri razionali distinti.
Quindi √2 è un numero irrazionale
Dimostrazione dell’irrazionalità di √2
Se √ 2 fosse un numero razionale , per
esempio proprio m/n , la diagonale
misurerebbe m, e riportando il lato sulla
diagonale mediante un arco di
circonferenza, resterebbe un triangolo
rettangolo isoscele di ipotenusa n-(m-n) =
2n-m e cateti m-n , per cui √2 sarebbe
anche (2n-m)/(m-n) ,mentre un numero
razionale ammette un'unica
rappresentazione sotto forma di frazione
ridotta ai minimi termini,mentre qui m/n e
(2n-m)/(m-n) sono due numeri razionali
distinti.
Quindi √2 è un numero irrazionale
Altra dimostrazione dell’irrazionalità di √2
Se m e n sono i più piccoli numeri primi tra loro tali che
m2 = 2 n2 sovrapponendo
i quadrati di lato n, risulta anche n2= 2 (m-n)2 mentre m e
n erano gli unici per cui valeva m2 = 2 n2 quindi √2 è un
numero irrazionale
Costruzione di un segmento di lunghezza √ n
Partiamo da un triangolo rettangolo isoscele con i cateti
di lunghezza unitaria , l'ipotenusa sarà √2, facciamo
diventare questa ipotenusa il cateto di un nuovo
triangolo rettangolo con l'altro cateto unitario, ora
l'ipotenusa sarà √ 3, ora facciamo diventare questa
ipotenusa come cateto di un nuovo triangolo rettangolo
con l'altro cateto unitario , l'ipotenusa sarà ora √4 ,ecc.
Applicazione del teorema di
Pitagora
1
1
1
1
1
1
1
1
1
√2
√3
√4
√5
√6
√7
√8
√9
Rappresentazione
geometrica di √n
1
Rettangolo reciproco
Dato un rettangolo di lati a e b il suo reciproco è simile al primo
essendo uguali i rapporti tra i lati
Quando un rettangolo reciproco è la meta del rettangolo
di partenza ?
Occorre che a2/b = b/2
Ossia b/a = √2
Per esempio b= 2 √2
a=2
Il rettangolo verde è il reciproco di quello rosso
2
2√2
√2
Se vogliamo che il rettangolo reciproco sia
1/3 del rettangolo ab occorre che
a2/b= b/3
b/a= √3
a
a
b
Per a=1
a2/b
b=√3
a2/b=√3/3
Quindi…
Per a=1 b=√3
√3/3
√3/3
√3/3
1
√3
√3/3
In generale
Applicazioni
Catena di rettangoli reciproci
Se vogliamo fogli di carta
rettangolari
aXb in modo tale che il
foglio iniziale A0
abbia superficie di 1 m2
e ogni foglio diviso a metà
per il lato lungo b
dia due parti di formato
uguale occorre che il
rapporto sia b/a =√2
aXb = 1000000 mm2
b/a = √2 b = a √2
a2 √2 = 1000000
a = 841 mm
b =1189 mm
Ecco quindi le misure dei
vari formati
•
•
•
•
•
•
A0 = 841 X 1189
A1 = 841 X 594
A2 = 420 X 594
A3 = 420 X 297
A4 = 210 X 297
ecc…
Duplicazione di un
quadrato
Il
quadrato
rosso
ha area
2 a2
2
a
a
a/√2
a/√2
a√2
a/√2
Duplicazione di un cerchio
Dato un cerchio di raggio R l’area è pR2
Se vogliamo un cerchio di area doppia 2 pR2 occorre che il raggio r sia
r = √2 R
Ogni volta che vogliamo moltiplicare la superficie di un cerchio una, due, tre volte
dobbiamo moltiplicare il raggio per
Approsimativamente
1,41
2
2,8
4
5,64
8
11,28
16
In fotografia
√2 determina l’apertura degli obiettivi delle
camere fotografiche utilizzando la
sequenza delle potenze di √2 espresse in
forma decimale : i numeri f
Quadratura di un triangolo
AP2 =bc
Il quadrato
scuro è la
metà del
quadrato di
lato AP
Il triangolo
rettangolo
scuro è
equivalente al
quadrato scuro
Quadratura di un poligono
Ogni poligono si può scomporre in tanti triangoli rettangoli, ognuno
equivalente ad un quadrato e sommati costruiscono un quadrato
grande di area pari all’area del poligono
Lunula
L + M = pR2/4
T + M = p R2/4 quindi
L=T=Q
Q
R/2
Quadratura della
doppia luna
( L + M ) + ( L’ + M’ ) = M + M’ + T quindi
L + L’ = T
Dimostrazione geometrica
di √(a+b) < √a+√b
<
in quanto in un qualunque triangolo ogni lato è
minore della somma degli altri due
Applicazione del 2° teorema di
Euclide
AH ∙ HB = CH2
Se AH = 1
e HB = n
CH =√n
Da H tracciamo
la perpendicolare ad AB
che incontra la
semicirconferenza in C.
Il segmento CH ha
lunghezza √n
Dim infatti per il
II teorema di Euclide
CH2= AH • HB
Se AH = 1
BH = n
CH = √n
In architettura
Parc Guëll dell’architetto
Antonio Gaudì
Le colonne su cui poggia la piazza del Parco Guëll sono centrate
in una grata perfetta dove √2 è di fondamentale importanza
Tavoletta YBC7289 –Collezione Università di Yale
Un testo cuneiforme appartenente
alla collezione di Yale contiene la
figura di un quadrato , della
diagonale del quadrato ed il rapporto
tra la diagonale ed il lato che risulta
una approssimazione della radice
quadrata di 2 a meno di un
milionesimo !!
I numeri segnati sulla tavoletta sono
sessagesimali e rappresentano il
calcolo di √2 :
1 + 24/60 +
51/602
+
10/603 =
1 + 0,4 + 0,014166667 + 0,000046296 = 1,41421296
( √2 = 1,41421356..... )
Metodo babilonese per il
calcolo di √n
I babilonesi usavano un metodo matematico per
calcolare una buona approssimazione di √n
Algoritmo babilonese per il calcolo della radice
quadrata di a
Sia a1 una approssimazione per difetto
b1=a/a1 per eccesso
a2=(a1+b1)/2 per eccesso
b2= a/a2 per difetto Clicca qui se vuoi lanciare il programma che
calcola la √n col metodo babilonese
a3=(a2+b2)/2
Calcolo di √2
•
•
•
•
•
•
a=2
a1=1
approssimazione per difetto di √2
b1= a/a1 = 2/1
a2=(a1+b1)/2=(1+2)/2=1,5
b2=a/a2=2/1,5 = 1,3 approssimata per difetto
a3=(1,5+1,3)/2= 1,4 ecc..
La radice cubica di 2
Il Problema di Delo
Delo è un'isola dell'arcipelago greco, patria di Apollo.
Durante una pestilenza ad Atene , gli abitanti
mandarono un
emissario a chiedere all'oracolo di Apollo a Delo cosa
fare.
L'oracolo rispose che la pestilenza sarebbe cessata
non appena gli
Ateniesi avessero raddoppiato la grandezza
dell'altare di Apollo.
La pestilenza non cessò perchè gli Ateniesi non
seppero costruire, con riga e compasso , unici
strumenti che possedevano,un cubo di lato la radice
cubica di 2 , per raddoppiare un
cubo di lato 1
Oggi sappiamo che non è possibile
con solo riga e compasso
x
1
y
√3/2
1/2
1
1
XY=1 Costruendo la figura avvicinando
un esagono regolare di lato1 alla riga fino
a toccarla in B,congiungendo X con A e
Y con A si ottiene 1:x=y:2
Le regole di Euclide non prevedono di fare segni sulla riga,
ma se si mettono due segni X e Y a distanza 1 sulla riga, con
la costruzione della figura si costruisce un segmento YB di
lunghezza radice cubica di 2
x
1
√3/2
1/2
1
y
1
XY=1 YB =x AX =y AD=2
1:x=y:2
xy=2 (*)
BH= √3/2 AH=1/2 XH=y+1/2
XB=1+x
XB2=(1+x)2=XH2+BH2=(y+1/2)2+3/4
1+2x+x2=y2+y+1/4 +3/4
2x+x2=y2+y
posto y=x2 che soddisfa la (*)
2x +x2=x4+x2 x4=2x x3=2 x=radice cubica di 2
Altra costruzione per la radice cubica di 2:
Mediante le coniche :
mettendo a sistema l' iperbole xy=2 con la parabola y=x2
il punto di intersezione ha come ascissa la radice cubica di 2:
xy=2
y=x2
y=2/x
2/x=x2
x3= 2
x=radice cubica di 2
x
1,0
y=2/x
y=x*x
2
1
1,1 1,818182
1,21
1,2 1,666667
1,44
1,3 1,538462
1,69
1,4 1,428571
1,96
1,5 1,333333
2,25
1,6
1,25
2,56
1,7 1,176471
2,89
1,8
1,111111
3,24
1,9 1,052632
3,61
2,0
1
4
2
x
y=2/x
y=xx
1,2
1,666667
1,44
1,21
1,652893
1,4641
1,22
1,639344
1,4884
1,23
1,626016
1,5129
1,24
1,612903
1,5376
1,25
1,6
1,5625
1,26
1,587302
1,5876
1,27
1,574803
1,6129
1,28
1,5625
1,6384
1,29
1,550388
1,6641
0,4
1,3
1,538462
1,69
0,2
1,31
1,526718
1,7161
1,32
1,515152
1,7424
1,33
1,503759
1,7689
1,34
1,492537
1,7956
1,35
1,481481
1,8225
1,8
1,6
1,4
1,2
y=2/x
1
y=xx
0,8
0,6
0
1,15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,26 è un’approssimazione della radice cubica di 2
1,58 è un’approssimazione della radice cubica di 4
√3
Diagonale del cubo di lato 1
1
√3
1
√2
1
Schede lavoro alunni
•Disegnare il segmento √2 come diagonale del
quadrato di lato 1
•Disegnare il segmento √3 come diagonale del
cubo di lato 1
•Disegnare i segmenti √n con le due costruzioni
suggerite
•Calcolare la √2 col metodo babilonese
•Costruire un segmento radice cubica di 2
Il numero p
Per definizione è il rapporto tra la lunghezza della
circonferenza e il diametro
di conseguenza anche :
la lunghezza di una circonferenza di diametro1,
oppure l'area di un cerchio di raggio 1.
Fin dai Babilonesi si è tentato di calcolare un valore
approssimato di p
Archimede ottenne un'approssimazione di p
calcolando l'area di un poligono di 96 lati, inscritto in
un cerchio di raggio 1
(Inizio del Trattato
"Misura del
Cerchio"nell'edizione
di Basilea dell'opera
di Archimede(1544)
L'astronomo cinese Tsu Ch'ung chih
(nato nel 430 d.C.) aveva trovato
come approssimazione 22/7 ed una
più accurata 355/113;
il grande matematico indiano
Brahmagupta(600 d.C.) aveva
calcolato come approssimazione di p
la radice di 10
Partendo dalla considerazione che la
successione numerica delle aree dei
poligoni di 4 ,8,16 ecc.. lati inscritti
in un cerchio di raggio 1 tende a p
nel 1593 Francois Viéte esibì
una formula di p
Alla fine del 1500 in Germania Ludolph
van Ceulen, che aveva passato gran
parte della sua vita nel calcolo di p,
calcolò 20 cifre decimali di p.
Il tedesco Lambert nel 1761 dimostrò
che p non è un numero razionale e
Lindemann nel 1882 che p non è
soluzione di nessuna equazione
algebrica con coefficienti interi
Costruzione di un segmento lungo
p
Nel quadrante di raggio unitario
costruire
AB =1/8 BC=7/8 DG=1/2
Con facili calcoli (..BG= √113/8 ,
DE=7√113/226, EG=4√113/113,
CE=(113-4√113)/113,
EF=(28√113-112)/791)
si arriva a :
FG = 16/113 = 0,1415929....
e siccome
355/113 = 3+16/113
=3,1415929...
che è un'approssimazione di p a
meno di un milionesimo,
per costruire un segmento che
approssimi p, basta
aggiungere un segmento lungo 3
al segmento FG
Un'approssimazione statistica di p
Calcoliamo la probabilità di colpire la parte
interna di un cerchio di raggio r inscritto in
un quadrato:
prob = n. eventi favorevoli/n. eventi possibili =
p r2/4 r2= p /4
prob = p/4
p = prob X 4
dopo aver ottenuto per via sperimentale la
probabilità di colpire la parte interna del
cerchio inscritto nel quadrato(10000, 20000
tiri ), oppure mediante una simulazione al
computer ,per cui prob = 0.785398...
di conseguenza
p = 0.785398... X 4 = 3.141592....
Programmi e animazioni
• Tiro al bersaglio
• Tiro al bersaglio con animazione
• Animazione flash del tiro al bersaglio
Scheda di lavoro
• Costruire un segmento che abbia come
misura un’approssimazione di p
• Costruire la successione numerica delle aree
dei poligoni regolari di 4, 8, 16 lati inscritti
in un cerchio di raggio 1 e verificare che
tende a p
• Utilizzare la simulazione del tiro al bersagli
per trovare un’approssimazione di p
Il numero e
e = 2,7182818284……
lim (1+1/n)n = e
Ma anche
e = 1 + 1/1! + 1/2! + +1/n!
clicca qui per il
lanciare il programma
che calcola
un’approssimazione di e
John Nepier
(Scozia * 1550 - † 1617)
Non era un matematico di
professione, infatti la
matematica fu solo un hobby,
per il quale tra l'altro non aveva
molto tempo. S'impegnò a
trovare un metodo per eseguire
più velocemente i calcoli di
quozienti e prodotti al fine di
semplificare i calcoli
trigonometrici.
Meglio conosciuto come Nepero, non era
un matematico di professione. Nacque in
Scozia nel 1550 ed a soli 13 anni fu
iscritto alla St. Andrews University
dove si appassionò alla Teologia; ma
completò gli studi all'estero, forse a
Parigi. Tornò in Scozia nel 1571 dove si
dedicò alla cura delle proprietà della
famiglia, in particolare all'agricoltura
verso la quale ebbe un approccio
scientifico sperimentando vari tipi di
concimi. Morì nel 1617.
Il numero e , calcolato da Nepero,
entrò inizialmente nella matematica
senza assumere particolare rilievo.
Solo nel 1618, quando in un'appendice
al lavoro sui logaritmi apparse una
tavola che dava i logaritmi naturali di vari
numeri, si comprese il suo valore.
Anche per Nepero non mancarono le solite
leggende che lo volevano in contatto col
diavolo. Si diceva che fosse solito
passeggiare in camicia e berretto da notte
o andare in giro con un gallo ricoperto di
fuliggine. D'altra parte non è
sorprendente che un uomo di tale
intelletto apparisse strano ai suoi
contemporanei e che, considerando la
superstizione di quei tempi, strane storie
circolassero sul suo conto.
Il numero di Nepero e
Consideriamo le due progressioni numeriche per es. :
0
1
1
3
2
9
3
27
4
81
5
243
6
729
7
2187
Il prodotto di due termini della progressione geometrica
appartiene ancora alla progressione
e dista dall'unità quanto la somma delle distanze dei due
fattori
(es. 9X243 = 2187 2+5 = 7 ) (i numeri in rosso sono i
log dei numeri neri in base 3 )
Queste osservazioni furono fatte da
Archimede ma riprese da Stifel
(1544) che costruì una prima tavola
dei logaritmi in base 2
Ma solo Burgi e Napier (Nepero)
riuscirono a costruire tavole dei
logaritmi organiche anzi Burgi un po'
prima di Nepero ma quest'ultimo le
pubblicò per primo(nel 1614).
0
1
k
(1+k)
2k
(1+k)2
ponendo
3k
(1+k)3
a=(1+k)n
......
e
nk
(1+k)n
(1)
(2)
b= nk
a=(1+k)b/k = ((1+k)1/k))b
quindi b è il logaritmo di a in base
(1+k)1/k
ossia i termini della progressione aritmetica (1) sono i logaritmi dei relativi
termini della progressione geometrica (2) nella base (1+k)1/k
Ora quanto più piccolo è k tanto più piccola sarà la
differenza tra due termini della (1) e
migliore sarà il sistema di calcolo dei logaritmi per
cui la base migliore è quella per cui k->0
(1/k=n
n
∞ ) ossia
lim (1+1/n)n=e
n ∞
Compare così il numero di Nepero e
anche se esso resta indissolubilmente
legato al nome di Eulero
( che fu il primo a chiamarlo e) il
quale definisce e come somma della
serie
1 + 1/1! +1/2! + 1/3! + ......+1/n! + ...
Nepero scelse k= 1/107 e preferì utilizzare
come base (1- 1/107 )107=0,9999999 ∙107
Per evitare cifre decimali moltiplicò il numero per 107
ossia N=107(1-1/107)L dove L è il logaritmo neperiano di N per cui
il logaritmo di 107 è 0
il logaritmo di 9999999 è 1
Si vede subito che tale logaritmo non è quello che oggi
chiamiamo neperiano ,ossia in base e, infatti
(i log calcolati sono in base e)
log N = log107+ L log (1-1/107)
con L =logaritmo di Nepero
quindi L = (log N -log 107 )/ log (1-1/107)
• Nel 1615 Briggs fece visita a
Nepero e gli propose di costruire
una tavola di logaritmi in base 10 ,
ma dovette portare da solo a
termine il progetto per la
sopraggiunta morte di Nepero nel
1617
Egli risolse il problema utilizzando estrazioni di
radici successive
es . √10 = 3,162277
quindi log 3,162277 =0,5
10 3/4 = √(10 √10) = √( 10 X 3,162277)
= √31,62277=5,62341 quindi
log 5,62341=3/4 =0,75 ecc...
Briggs nell'anno della morte di Nepero pubblicò la
tavola dei logaritmi in base 10 da 1 a 1000
Anche Burgi aveva costruito delle tavole
di logaritmi ma era partito da
(1+1/104)104 ed aveva moltiplicato il
numero per 108 ossia
N=108(1+1/104)L
con
L =logaritmo di N
Eulero
• Uno dei più grandi matematici di ogni
tempo. Fu l'allievo del grande
matematico Johann Bernoulli, dal
quale fu definito il "Principe dei
Matematici". Approfondì il numero
scoperto da Nepero, attribuendogli la
lettera "e".
Leonhard Euler
• Meglio conosciuto come Eulero. Non vi è dubbio che sia stato uno dei
più grandi matematici di tutti i tempi, certamente il più grande del suo
secolo, il Settecento, il "secolo dei lumi". Il contributo di Eulero alla
matematica è stato così importante ed esteso che espressioni come "la
formula di Eulero", "il teorema di Eulero", "la congettura di Eulero" o "
la costante di Eulero" vengono ancora oggi utilizzate in diversi
contesti.
Nacque il 15 aprile 1707 a Basilea, dove la famiglia si era rifugiata per
sfuggire alle guerre di religione, e dove studiò alla scuola del grande
matematico Johann Bernoulli. Nel 1727 si trasferì a San Pietroburgo
alla corte di Caterina I, grande imperatrice di tutte le Russie, al
seguito del figlio di Johann, Daniel Bernoulli che era stato nominato
professore di matematica presso l' Imperiale Accademia delle Scienze.
Nel 1733 assunse la cattedra di Bernoulli e la tenne fino al 1741,
quando fu nominato professore di Matematica e Fisica all' Accademia
di Berlino. Qui rimase fino al 1766, anno in cui fece ritorno a San
Pietroburgo dove rimase fino alla morte nel 1873. La sua "Introductio
in Analisyn Infinitorum" in due volumi del 1748 è considerata la base
della moderna analisi matematica.
• Se a Nepero può essere attribuita la scoperta del
numero, ad Eulero va attribuito il merito di averlo
approfondito e reso popolare ed di averlo indicato
con la lettera "e". In verità Eulero ha dato un
nome a molte costanti ed operatori matematici,
nomi ancora oggi in uso; fu lui per primo a usare il
simbolo " p " [ in onore di Pitagora] , l'unità
immaginaria "i" [ √ -1 ], l'operatore "funzione" f(x)
e il” S ” la sommatoria e tante altre ancora oggi in
uso.
• L'opera di Eulero consta di quasi 90 opere in ogni settore
scientifico, molte delle quali prodotte negli ultimi anni della
sua vita quando era ormai cieco.
•
Eulero fu l' allievo preferito di Johann Bernoulli, il che non
era cosa facile per l' indole sospettosa ed invidiosa del
maestro. Pare che gli dedicasse una lezione privata ogni
sabato pomeriggio.
•
Quando Eulero si trasferì all' estero, la corrispondenza fra
il vecchio maestro e l'allievo fu sempre intensa e cordiale,
fino al riconoscimento della superiorità dell'allievo ed alla
sua definizione di "Principe dei matematici"
• Calcolo del logaritmo in una data base,
a confronto con il log in base 10 e in base
e
Schede di lavoro
• Costruire un’approssimazione di e
utilizzando
lim (1+1/n)n = e
ma anche
e = 1 + 1/1! + 1/2! + +1/n!
Le frazioni continue
1+
Questa è una frazione
continua
1
1
1
1
1
1
1
2
E’ uguale a 13/8
Viene scritta anche
così
[1,1,1,1,2]
Anche questa è una
frazione continua
1
3+
E’ uguale a 182/53
1
2
3
1
1
3
2
Viene scritta anche
così
[3,2,3,3,2]
Al contrario
se conosco il numero
razionale di partenza posso
costruire la frazione
continua
Esempio
8
3
1
1
1
1
1 1 1
1
1
5
2
1
1
5
5
1
1
1
3
1
3
3
1
2
2
8
1
quindi
1
 1,1,1,2
1
5
1
1
1
2
Ma posso costruire la
frazione continua anche di
un numero irrazionale
(approssimato a meno di un
certo numero di cifre
decimali)
Un’approssimazione di p
314
14
1
1
1
p  3,14 
 3
 3
 3
 3
 3,7,7
100
2
1
100
100
7
7
14
14
7
quindi
p  3
1
1
7
7
 3,7,7
Usiamo un programma che
calcoli la frazione continua
di un numero razionale
assegnato
Frazione continua
Usiamo ora un programma
che dalla frazione continua
risale al numero razionale
Dalla frazione continua al
numero razionale
E quando il numero è negativo?
• Clicca qui per il programma
• Es. a/b con a<0
7
1
  1 
  1,4,2
1
9
4
2
Il primo numero (-1) è quel numero che moltiplicato per 9 e
sottratto a -7 mi dà il più piccolo resto positivo
Altro esempio
11
4
1
1
  3   3   3 
  3,1,4
5
1
5
5
1
4
4
Il primo numero (-3) è quel numero che moltiplicato per 5 e sottratto a
-7 mi dà il più piccolo resto positivo
Schede di lavoro
• Costruire una frazione continua dei
numeri
23/12 34/13 17/12
1,4142
3,14 3,1415 2,71 -8/3 -37/44
Date le frazioni continue risalire ai
numeri:
[1,2,3,4,5] [1,1,1,1,2] [0,2,2,1,2]