CALCOLO COMBINATORIO E
PROBABILITA’
Con calcolo combinatorio si indica quel settore della matematica che studia
i possibili modi di raggruppare ed ordinare oggetti presi da un insieme
assegnato, con l‘obiettivo finale di contare il numero dei possibili
raggruppamenti od ordinamenti;
permette quindi di rispondere alle domande del tipo «in quanti modi …?»
oppure «quanti sono…?».
Col termine probabilità si indica la possibilità che un certo evento si verifichi,
cioè che diventi realtà. La regola operativa per calcolare la probabilità che un
dato evento (E) si verifichi è:
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖
𝑃 𝐸 =
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖
Dove per contare i casi favorevoli all’evento e i casi possibili, è a volte necessario
ricorrere al calcolo combinatorio.
Calcolo combinatorio:
definizioni e regole di calcolo.
• Fattoriale di un numero: il fattoriale di un
numero naturale n , che si scrive n!, è dato dal
valore di quel numero moltiplicato per tutti gli
interi precedenti fino ad arrivare a 1:
n! = n(n-1)(n-2)…1.
Per esempio, 5! = 5x4x3x2x1= 120
Supponiamo di avere n elementi (persone, numeri, lettere, caramelle… un qualsiasi
gruppo di oggetti), e di dover creare dei gruppi con questi elementi.
Per esempio: in quanti modi possono sedersi sei persone a tavola? In quanti modi posso
estrarre a caso due persone perché siano rappresentanti di classe? Quanti numeri di 5
cifre tutte dispari ci sono? Se lancio una moneta 20 volte, in quanti modi posso ottenere
10 volte croce?
Per rispondere, bisogna innanzi tutto tenere conto di alcune caratteristiche fondamentali
dei gruppi che dobbiamo creare, che portano a identificare diverse regole di calcolo. Tali
caratteristiche sono:
Devo selezionare solo alcuni elementi da quel gruppo, oppure li devo considerare tutti?
L’ordine degli elementi del gruppo è importante oppure no? Cioè, un gruppo con gli
stessi elementi in ordine diverso, è un gruppo effettivamente diverso?
E’ possibile che all’interno di un gruppo un elemento venga ripetuto?
PERMUTAZIONI
(considero tutti gli
n elementi)
semplici:
𝑛!
con ripetizione:
𝑛!
𝑟1 ! ∙ 𝑟2 ! ∙ 𝑟3 ! …
DISPOSIZIONI
COMBINAZIONI
(k elementi su n,
l’ordine conta)
(k elementi su n,
l’ordine non conta)
semplici:
𝑛!
𝑛−𝑘 !
semplici:
𝑛!
𝑘! ∙ 𝑛 − 𝑘 !
con ripetizione:
con ripetizione:
(𝑛 + 𝑘 − 1)!
𝑘! ∙ 𝑛 − 1 !
𝑛𝑘
Quindi, per decidere che forma usare, i
dobbiamo porre alcune domande:
SI: sono disposizioni.
NO. Possono essere
disposizioni o
combinazioni.
DEVO UTILIZZARE TUTTI
GLI n ELEMENTI
DELL’INSIEME?
L’ORDINE CONTA?
SI. Allora sono
permutazioni.
POSSO RIPETERE GLI
ELEMENTI?
NO: sono combinazioni.
POSSO RIPETERE GLI
ELEMENTI?
POSSO RIPETERE GLI
ELEMENTI?
Una volta riconosciuto se si tratta di combinazioni, disposizioni o
permutazioni, devo sempre chiedermi se posso ripetere gli
elementi (con ripetizione) oppure no (semplici).
PERMUTAZIONI
(considero tutti gli
n elementi)
DISPOSIZIONI
COMBINAZIONI
(k elementi su n,
l’ordine conta)
(k elementi su n,
l’ordine non conta)
In quanti modi
possono sedersi 6
persone su 6 poltrone
al cinema?
In quanti modi tre
persone possono
alternarsi sul podio, in
un gara con 10
partecipanti?
In quanti modi posso
estrarre a caso due
persone per
un’interrogazione?
Quanti sono gli
anagrammi della
parola MATEMATICA?
Quanti numeri di 5
cifre dispari ci sono?
In quanti modi posso
distribuire 10
caramelle uguali a tre
bambini?
Teoremi sulla probabilità
Consideriamo solo eventi indipendenti (cioè il verificarsi dell’uno
non influenza il verificarsi dell’altro) ed equiprobabili (non ci
sono casi ‘truccati’ o che si possono verificare con più facilità).
• Intersezione di due eventi: è la probabilità che due eventi si
verifichino contemporaneamente: un evento E anche l’altro
(per esempio, pescare da un mazzo una figura di picche):
𝑃 𝐸1 ∩ 𝐸2 = 𝑃(𝐸1 ) ∙ 𝑃(𝐸2 )
• Unione di due eventi: è la probabilità che si verifichi un
evento OPPURE un altro (esempio, roulette: rosso o pari):
𝑃 𝐸1 ∪ 𝐸2 = 𝑃 𝐸1 + 𝑃 𝐸2 − 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 )
(se due eventi non possono verificarsi insieme sono
incompatibili – es: sia rosso che nero)
Evento complementare
Un evento 𝐸 si definisce complementare di 𝐸 se
il verificarsi di uno esclude che si verifichi l’altro,
e l’unione di 𝐸 ed 𝐸 è la somma di tutti i casi
possibili. Esempio:
evento 𝐸 = lancio un dado ed esce 4
evento 𝐸 = lancio un dado ed esce 1, oppure 2,
oppure 3, oppure 5, oppure 6 = non esce 4.
→ 𝑃 𝐸 = 1 − 𝑃(𝐸 )
utile perché a volte è più facile calcolare la
probabilità dell’evento complementare.
In un vassoio ci sono 100 caramelle: 35 all’arancia, 33
alla menta e 32 al limone. Se ne estraggo una, che
probabilità c’è che non sia alla menta?
𝐸 = 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎
𝐸 = 𝑛𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎
33
𝑃 𝐸 =
100
33
67
𝑃 𝐸 =1−
=
100 100
17
=
= 0,67
25
Oppure:
non menta = 35+32=67
𝑃 𝐸 = 𝑛𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎
67
=
100
Se lancio una moneta 6 volte, quante probabilità
ho di fare esattamente 4 volte testa?
Casi possibili
Qual è l’insieme di partenza? Quello che contiene gli
esiti di ogni lancio: testa o croce. n = 2.
→ Devo prendere tutti gli elementi?
No, potrei avere solo teste o solo croci.
→ L’ordine conta?
Si, perché l’evento testa – croce è diverso da croce –
testa.
→ Posso ripetere?
Si, può venire più volte testa o croce.
→ sono disposizioni con ripetizione, 𝑛𝑘 = 26 = 64
Se lancio una moneta 6 volte, quante probabilità
ho di fare esattamente 4 volte testa?
Casi favorevoli
Qual è l’insieme di partenza? Stavolta è quello che contiene il
numero di teste e di croci richiesto: 4 teste e 2 croci.
→Devo considerare tutti i suoi elementi?
Si, per fare 6 lanci devo considerarli tutti e 6 (TTTTCC).
→L’ordine conta?
Si.
→Posso ripetere?
Si, perché ho 4 elementi uguali (T) e 2 elementi uguali (C).
→sono permutazioni con ripetizione:
6!
2!4!
=
6∙5∙4!
2∙4!
= 15
A questo punto, 𝑃(4𝑇) =
• Questo vale per ogni
esercizio di questo
genere:
Casi possibili su n lanci:
𝑛𝑘 = 2𝑙𝑎𝑛𝑐𝑖/𝑚𝑜𝑛𝑒𝑡𝑒 ;
Casi favorevoli alla richiesta:
𝑛𝑢𝑚. 𝑙𝑎𝑛𝑐𝑖!
𝑛𝑢𝑚. 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒! ∙ 𝑛𝑢𝑚𝑐𝑟𝑜𝑐𝑖!
15
64
• Analogamente, se si
tratta di lanciare un dado
varie volte, il numero di
casi possibili è 𝑛𝑘 =
6𝑙𝑎𝑛𝑐𝑖
Infatti i 6 numeri che fanno
parte dell’insieme «esito del
lancio» si possono ripetere e
possono non uscire tutti.
I casi favorevoli dipendono
dalla richiesta.
Tirando contemporaneamente 5 dadi con facce numerate
da 1 a 6, qual è la probabilità di ottenere 5 numeri pari?
1
1
1 1 1 5
;
;
; ;( )
10 25 32 6 6
• Ogni lancio è indipendente dal precedente e dal
successivo. Quindi, devo considerare la probabilità che in
un lancio esca un numero pari: essa è ½.
• Poi, considero che la richiesta è un caso di intersezione di
eventi: pari nel primo lancio E nel secondo E nel terzo…
quindi la probabilità richiesta è:
1 1 1 1 1
∙ ∙ ∙ ∙
2 2 2 2 2
=
1
32
E se avessi voluto usare casi favorevoli / casi possibili sui 5 lanci, ricavandoli usando
il calcolo combinatorio?
So che i casi possibili sono 6𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜.𝑙𝑎𝑛𝑐𝑖 , però NON posso calcolare i casi favorevoli,
perché devo considerare di scegliere 5 elementi su 3 dei 6 in maniera selettiva. Però
posso comunque rispondere: noti i casi possibili, escludo l’ultima perché troppo bassa,
la prima e la seconda perché 10 e 25 non sono multipli di 65 , e resta la scelta fra due,
ma 1/6 è troppo alta.
Determinare quante sono le parole di 7 lettere (anche
prive di senso) che si possono formare usando solo le
lettere A, C, G, T.
→ devo usare tutti gli n elementi (le lettere)?
No, niente nel testo lo rende obbligatorio. AAATTGG andrebbe
bene.
→ l’ordine conta?
Si, perché la parola TAAATGG è diversa dalla precedente pur
avendo gli stessi elementi.
→ posso ripetere?
Si, altrimenti con 4 lettere mai potrei formare una parola di 7!
→ DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE, 𝑛𝑘 = 47
Attenzione: n = 4, sono gli elementi (le lettere) dell’insieme di
partenza, e k=7, elementi dei gruppi che formo.
Tredici persone si stringono la mano. Ciascuna stringe
la mano a tutte le altre. Quante sono le strette di
mano totali? 13; 78; 26; 156; 169.
→ come prima cosa escludiamo 13 e 26 (sono poche, se consideriamo che una
persona stringe 12 mani).
→ escludiamo anche 169, che è 13x13: se ogni persona stringe 12 mani, 13x13
è troppo.
→ devo considerare tutti gli elementi?
No, perché le strette avvengono fra due persone alla volta. n = 13, k = 2.
→ l’ordine conta?
No: la stretta fra me e paolo e quella fra paolo e me non sono due strette
diverse, ma la stessa stretta che va considerata una volta sola.
→ posso ripetere un elemento?
No, perché vorrebbe dire che una persona stringe la mano a se stessa.
→ COMBINAZIONI SEMPLICI
𝑛!
13!
13 ∙ 12 ∙ 11! 13 ∙ 12
=
=
=
= 13 ∙ 6 = 78
𝑘! 𝑛 − 𝑘 ! 2! 11!
2 ∙ 11!
2
Quanti sono i numeri naturali di 4 cifre dispari distinte?
20; 5; 60; 625; 120
→ devo considerare tutti gli n elementi?
No. Infatti, le cifre dispari sono 5 (1,3,5,7,9), se formo numeri
di 4 cifre una resta esclusa.
→ l’ordine conta?
Si! Il numero 7539 è diverso dal numero 5937!
→ posso ripetere gli elementi?
No. Lo dice chiaramente il testo: cifre distinte.
→ DISPOSIZIONI SEMPLICI:
𝑛!
𝑛−𝑘 !
=
5!
5−4 !
=
5!
1!
= 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
Lanciando contemporaneamente due dadi
regolari a 6 facce, qual è la probabilità che la
somma sia 4?
→ i casi favorevoli sono solo tre: 2+2, 3+1, 1+3
→ i casi possibili sono 6𝑛.𝑙𝑎𝑛𝑐𝑖 = 62 : infatti,
lanciare due dadi contemporaneamente è la stessa
cosa che lanciarne uno due volte.
Allora 𝑃 𝐸 =
3
36
=
1
12
I casi favorevoli potevo contarli solo ‘a mano’,
perché la richiesta (somma 4) rendeva specifiche le
possibilità di esito.
Da un mazzo di 40 carte (10 picche, 10 fiori, 10 cuori, 10 quadri) se
ne estraggono 3. Qual è la probabilità di avere tre carte di fiori, se
non rimetto le carte estratte nel mazzo?
3
9
25
7
11
;
;
;
;
247
800
1482
10
247
→ La probabilità di ottenere nella prima estrazione la carta di fiori è
10
40
=
9
1
4
.
→ La probabilità che nella seconda estrazione esca una carta di fiori è (non
39
ho rimesso la carta nel mazzo).
8
→ La probabilità che nella terza estrazione esca una carta di fiori è =
38
(non ho rimesso la carta nel mazzo).
4
19
→ La probabilità richiesta è un’intersezione delle tre: stesso seme nella prima
E nella seconda E nella terza estrazione:
1 9 4
3
3
∙
∙
=
=
4 39 19 13 ∙ 19 247
4 italiani, 3 francesi e 5 tedeschi devono sedersi ad uno
stesso tavolo. Le persone di stessa nazionalità devono
rimanere vicine. In quanti modi si può fare?
Devo tenere in considerazione che devo lasciare vicine
persone della stessa nazionalità.
→ Quindi mi chiedo: in quanti modi possono sedersi
all’interno dello stesso gruppo? Devo tenere tutti gli
elementi (persone), e non posso ripetere un elemento
(persona!), quindi sono permutazioni semplici: Italiani 4!,
francesi 3!, Tedeschi 5!
→ In quanti modi posso sistemare i tre gruppi? 3! (sono
sempre disposizioni semplici).
𝑔𝑟𝑢𝑝𝑝𝑖 𝑑𝑖 𝑛𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡à 𝑥 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑖 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑝𝑖
= 4! ∙ 3! ∙ 5! 𝑥(3!)
Logica proposizionale
La logica proposizionale si propone di formalizzare e
quindi analizzare i ragionamenti che, nel nostro
linguaggio naturale, possono es25/03/2014sere
formulati ricorrendo ad affermazioni (quindi niente
esclamazioni, domande, ecc.) composte fra loro
usando particelle come: e, o, sia...sia, né… né, ma
non, o...o, e/o.
Non possiamo prendere in considerazioni frasi dal
significato ambiguo o soggettivo.
• «Il cioccolato con le nocciole è più buono del
cioccolato bianco»
• «Pioverà domani?»
• «Il fratello di Marco è più alto di Luca»
Solo l’ultima è una proposizione, cioè una
affermazione che descrive un fatto a cui è possibile
attribuire un valore di verità.
Attraverso la logica possiamo attribuire (o no) valore
di verità ad affermazioni complesse a partire dalla
verità di quelle più semplici che le compongono.
Gli elementi che fanno parte di un sistema logico
sono essenzialmente di due tipi:
• Atomi (o oggetti), che possono essere numeri,
frasi, o altri oggetti, nei quali non vogliamo, o
non possiamo, distinguere elementi più
semplici.
• Predicati: i predicati esprimono proprietà che
uno o più atomi possono avere.
I vari elementi del sistema possono essere collegati tra
loro mediante i seguenti operatori: (non importa il
simbolo, ma il significato!!)
CONNETTIVI LOGICI:
= uguaglianza
¬ negazione (non)
∧ congiunzione (e)
∨ disgiunzione (o)
→ implicazione (se…, allora)
QUANTIFICATORI:
Ǝ esiste almeno uno
Ǝ! esiste un solo
∀ per ogni
Attenzione:
Dire TUTTI non ammette
eccezioni.
Dire NESSUNO non ammette
eccezioni.
«alcuni», «quasi tutti»,
«quasi nessuno», «qualcuno»
ammettono eccezioni.
NEGAZIONE: Data una proposizione, la sua
negazione è la proposizione che è vera quando
essa è falsa e viceversa.
Proposizione: «tutti i gatti sono neri»
Negazione: «non tutti i gatti sono neri», «c’è
almeno un gatto non nero», «nessun gatto è
nero».
NB: per negare, mi basta una eccezione.
CONGIUNZIONE: date due proposizioni, la
congiunzione è la proposizione che è vera
quando entrambe sono vere e falsa altrimenti.
«per essere ammessi al concorso, bisogna essere
diplomati E maggiorenni»
«per poter salire sulla giostra, è necessario essere
più alti di 1,50m E avere più di 10 anni»
IMPLICAZIONE
(condizioni necessarie, condizioni sufficienti)
Se «A», allora «B»: A → B
(cioè «A» implica «B»)
A condizione sufficiente per B
B condizione necessaria per A
«A» se e solo se «B»: A ←→ B
(cioè «A» implica «B» e viceversa)
A condizione necessaria e sufficiente per B
CONDIZIONE SUFFICIENTE:
A è sufficiente per B equivale a dire che "se A è vera, allora B è vera", oppure che
"ogni qualvolta si avvera A, si avvera anche B".
Mi basta avere A per sapere che c’è B, ma B potrebbe esserci anche senza A.
CONDIZIONE NECESSARIA:
B è necessaria per A se vale la formulazione "se B non è vera, allora A non è
vera".
Se ho A, sono sicura di avere anche B, dato che A senza B non c’è.
 «essere padre» implica essere «biologicamente maschio»:
A condizione sufficiente per B
B condizione necessaria per A
• Essere padre è condizione sufficiente per essere biologicamente maschio.
• Essere biologicamente maschio è condizione necessaria per essere padre.
• B può esserci senza A: si può essere «biologicamente maschio» senza «essere
padre». Essere biologicamente maschio non è condizione sufficiente per
essere padre.
CONDIZIONE SUFFICIENTE:
A è sufficiente per B equivale a dire che "se A è vera, allora B è vera", oppure
che "ogni qualvolta si avvera A, si avvera anche B". Mi basta avere A per sapere
che c’è B, ma B potrebbe esserci anche senza A.
CONDIZIONE NECESSARIA:
B è necessaria per A se vale la formulazione "se B non è vera, allora A non è
vera". Se ho A, sono sicura di avere anche B, dato che A senza B non c’è.
 «essere modenese» implica «essere emiliano»:
• Essere modenese è condizione sufficiente per essere emiliano.
• Essere emiliano è condizione necessaria per essere modenese.
• Posso essere emiliano senza essere modenese
 «essere emiliano» implica essere «modenese»: è FALSA!
• Essere emiliano non è condizione sufficiente per essere modenese.
• Essere modenese non è condizione sufficiente per essere emiliano
Condizione sufficiente, ma non necessaria, affinché al Liceo Pitagora l'anno scolastico si
concluda con una festa è che le interrogazioni terminino entro la fine del mese di
maggio.
Determinare quale delle seguenti situazioni è INCOMPATIBILE con l'affermazione
precedente.
• A) Nel 2008 le interrogazioni sono terminate a marzo, e poi non c'è stata la festa
• B) Nel 2006 uno studente è stato interrogato il 4 giugno, e poi c'è stata la festa
• C) Nel 2003 uno studente è stato interrogato il 4 giugno, e poi non c'è stata la festa
• D) Nel 2010 uno studente è stato interrogato il 3 aprile, e poi non c'è stata la festa
• E) Da quando esiste il Liceo Pitagora la festa c'è stata ad anni alterni
cosa significa sufficiente ma non necessaria?
sufficiente: → se «concludo le interrogazioni a maggio» è vera, «faccio la festa» è vera.
Ogni volta che le interrogazioni si concludono a maggio, la festa c’è.
non necessaria: → se «concludo le interrogazioni a maggio» è falsa, «faccio la festa»
può essere vera o falsa.
(infatti, se fosse necessaria, non concludere le interrogazioni implicherebbe non fare la
festa, ma dato che NON è necessaria, non so con certezza cosa accade se le
interrogazioni non sono concluse).
ALLORA LA RISPOSTA CORRETTA E’ LA A.
Quale di questi ragionamenti è corretto da un punto di vista deduttivo:
A) Carlo frequenta la prima elementare. La maggioranza dei bambini
che frequentano la prima elementare ha sei anni, quindi Carlo ha sei
anni
Errata. La maggior parte non vuol dire tutti, Carlo potrebbe essere nella
minoranza.
B) Carlo ha 4 anni. I bambini sopra 4 anni sono biondi. Quindi Carlo non
è biondo
Errata. Non so nulla sui bambini sotto ai 4 anni.
C) Carlo ha 4 anni. I bambini di 4 anni sono tutti biondi. Quindi Carlo è
biondo.
Corretta. Se «tutti» sono biondi, Carlo non è un’eccezione, ed è biondo.
D) Carlo ha 4 anni. I bambini sopra 4 anni non sono biondi. Quindi Carlo
è biondo.
Errata. Non so nulla sui bambini sotto ai 4 anni
E) se Carlo avesse sei anni e frequentasse la prima elementare, e se tutti
gli altri bambini di quella classe fossero biondi, Carlo sarebbe biondo.
Errata. «tutti gli altri» non è «tutti in generale», quindi Carlo potrebbe
essere un’eccezione.
INSIEMISTICA
Dati gli insiemi A e B, possiamo definire:
 Intersezione di A e B: gli elementi in comune fra A e B.
(esempio: A = donne, B = biondi: intersezione = donne bionde)
 Unione di A e B: gli elementi di A più gli elementi di B (quelli di solo A +
quelli di solo B + quelli che appartengono all’intersezione).
(donne more + uomini biondi + donne bionde)
 Differenza fra A e B: gli elementi che appartengono ad A ma NON a B.
(donne more)
 A e B sono disgiunti se non hanno elementi comuni.
(A= donne B =pennuti)
• Identificare le proposizioni semplici contenute in quelle
più complesse.
• Identificare le implicazioni.
• «non tutti» = «alcuni», quindi «non tutti» è
incompatibile con «tutti», e anche con «nessuno».
• Per ‘abbattere’ una certezza basta una sola eccezione:
per negare ‘tutti’, e ‘nessuno’ mi basta ‘almeno uno’.
• Controllare che la risposta che consideriamo esatta
corrisponda a tutte le implicazioni e renda vere tutte le
proposizioni semplici (compatibilità).
• Concentrarsi sulle richieste.
• Controllare con dei controesempi la risposta che
consideriamo esatta.
• Attenzione ai ‘giri di parole’.
A quale delle seguenti affermazioni equivale la frase:
“Non tutti i miopi portano gli occhiali”?
• A) Nessun miope porta gli occhiali
• B) Tutti i miopi portano gli occhiali
• C) Non vi è un miope che non porti gli occhiali
• D) C’è almeno un miope che non porta gli occhiali
• E) Tutti i miopi evitano di portare gli occhiali
«non tutti» = «alcuni lo fanno e altri no»
Quindi, non lo fanno tutti: la B non va bene, e neanche la
C, che dice la stessa cosa. Però alcuni lo fanno, e allora la
A non va bene. La E è uguale alla A.
Quella corretta è la D.
Alberto, Carlo, Roberto, Paolo e Sergio sono nati in cinque città
diverse: Amsterdam, Cagliari, Roma, Pavia, Siracusa.
Alberto e Sergio mentono sempre mentre Paolo non mente
mai. (queste sono proposizioni vere)
Alberto afferma di essere nato ad Amsterdam e che Sergio è
nato a Siracusa.
Paolo afferma di essere nato a Pavia e riferisce che Alberto gli
ha detto di essere nato a Cagliari.
Dove può essere nato Alberto?
• Alberto: «sono nato ad Amsterdam»→ FALSA → Alberto
NON è nato ad Amsterdam.
• Paolo: «sono nato a Pavia e Alberto mi dice di essere nato a
Cagliari» → VERA → Alberto NON è nato a Cagliari; Alberto
NON è nato a Pavia.
→ Alberto può essere nato a Siracusa o a Roma
“Paolo è così amico di Giuseppe e di Claudio che quando lui va alle feste ci vanno anche i
suoi due amici”. Data la frase precedente, quale delle seguenti affermazioni è certamente
vera?
•
•
•
•
•
A) Ieri c’era una festa alla quale Paolo non è andato, quindi anche Giuseppe e Claudio
non c’erano
B) Ieri Claudio è andato ad una festa, quindi c’è andato anche Paolo
C) Giuseppe e Claudio ieri erano ad una festa, quindi c’era anche Paolo
D) Paolo ieri è andato ad una festa, quindi sicuramente c’erano anche Giuseppe e
Claudio
E) Giuseppe ieri era ad una festa, quindi sicuramente c’è andato anche Claudio
Cosa so: «Paolo alla festa» implica «Giuseppe e Claudio alla festa»
Cosa significa:
 Se Paolo è a una festa ci sono i suoi amici. (Paolo condizione sufficiente)
COERENTE CON D.
 Se non ci sono Giuseppe e Claudio, non c’è Paolo (G&C condizioni necessarie, se loro
non ci sono vuol dire che lui non c’è)
 Se Paolo non c’è, non posso sapere se ci sono Claudio e Giuseppe: vanno sempre alle
feste quando c’è lui, ma non sappiamo cosa fanno quando lui non c’è. (Paolo non è
condizione necessaria, G&C non sono sufficienti). ESCLUDO LA A, LA B e LA C
 Non posso sapere cosa fanno Claudio e Giuseppe uno rispetto all’altro.
ESCLUDO LA E
LA RISPOSTA CORRETTA E’ LA D.
“In un cinema ci sono 200 spettatori: 40 sono italiani, 50 sono donne, e 60 preferiscono
i film di genere fantasy”. Sulla base di queste informazioni, di quanti spettatori si può
affermare con certezza che sono allo stesso tempo italiani, donne e amanti del genere
fantasy?
• A) Di cinquanta
• B) Di cento
• C) Di nessuno
• D) Di dieci
• E) Di quaranta
→ la richiesta è: quanti sono gli elementi che di sicuro appartengono all’intersezione dei
tre insiemi (italiani, donne e amanti del fantasy). Prima di tutto devo quindi chiedermi
se tale intersezione esiste obbligatoriamente (con certezza!); devo cioè domandarmi se
esiste almeno una possibilità che gli insiemi siano disgiunti (niente certezza) oppure se
tale possibilità non esiste.
→ 40 + 50 + 60 < 200, quindi è possibile che i tre insiemi non abbiano elementi in
comune; cioè non è obbligatorio che l’intersezione esista.
Data la richiesta «con certezza», LA RISPOSTA CORRETTA E’ LA C.
→ se avessero chiesto «al massimo di quanti si può affermare che potrebbero..», la
risposta sarebbe stata 40 (cioè tutti gli italiani sono anche donne che amano il fantasy.
Non di più perché non ci sono abbastanza italiani)
“In un cinema ci sono 100 spettatori: 40 sono italiani, 50 sono donne, e 60 preferiscono i
film di genere fantasy”. Sulla base di queste informazioni, di quanti spettatori si può
affermare con certezza che sono allo stesso tempo italiani, donne e amanti del genere
fantasy?
• A) Di cinquanta
• B) Di cento
• C) Di nessuno
• D) Di dieci
• E) Di quaranta
→ 40 + 50 + 60 > 100, quindi (al contrario di prima) sono sicura che ci sono persone con
più di una caratteristica.
Quindi, per capire se è possibile che non esista l’intersezione richiesta (è quello che
esclude la certezza) devo chiedermi se è possibile che un insieme sia disgiunto
dall’unione degli altri due (due caratteristiche ma non tre).
→ 60 + 40 = 100, quindi può essere che dei 40 italiani nessuno ami il fantasy, e quindi
l’intersezione non esiste con certezza.
→ 40 + 50 < 100, quindi può essere che dei 40 italiani nessuno sia donna, e quindi
l’intersezione non esiste con certezza.
→ 50 + 60 > 100, quindi almeno 10 persone sono donne che amano il fantasy. Però,
supponendo che siano 10, restano 90 persone che hanno solo una caratteristica, e il 40
italiani possono essere fra questi.
LA RISPOSTA ESATTA E’ ANCORA LA C.
“In un cinema ci sono 70 spettatori: 40 sono italiani, 50 sono donne, e 60 preferiscono i
film di genere fantasy”. Sulla base di queste informazioni, di quanti spettatori si può
affermare con certezza che sono allo stesso tempo italiani, donne e amanti del genere
fantasy?
• A) Di cinquanta
• B) Di cento
• C) Di nessuno
• D) Di dieci
• E) Di quaranta
→ 40 + 50 + 60 > 70, quindi sono sicura che ci sono persone con più di una
caratteristica.
Quindi, per capire se è possibile che non esista l’intersezione richiesta (è quello che
esclude la certezza) devo chiedermi se è possibile che un insieme sia disgiunto
dall’unione degli altri due (due caratteristiche ma non tre).
→ 60 + 40 = 100, quindi per rispettare il vincolo di 70 persone, posso dire che (almeno)
30 sono italiani che amano il fantasy.
→ supponiamo quindi che 30 persone abbiano due caratteristiche: ne restano 40 che
ne hanno una sola.
→ ipotizzando che queste 40 siano tutte donne (ragioniamo sempre al limite), per
arrivare a 50 ne restano comunque 10 che devono ricadere nelle 30 persone che sono
italiane e amano il fantasy.
LA RISPOSTA ESATTA E’ LA D.
(al minimo, con certezza, 10. potrebbero essere di più, potrei avere 40 donne italiane
che amano il fantasy e i restanti 30 non italiani, ma non posso saperlo.)
Tutti i piccioni mangiano le fave – alcuni uccelli non mangiano le fave –
dunque ...................... non sono piccioni. S’individui il CORRETTO
COMPLETAMENTO del sillogismo:
• A) le fave
• B) alcuni uccelli
• C) alcuni piccioni
• D) alcune fave
• E) tutti gli uccelli
Non è un piccione chi non mangia le fave, perché tutti i piccioni le
mangiano. Chi non mangia le fave? Alcuni uccelli. Allora «alcuni uccelli
non sono piccioni». La B.
A e D non hanno senso. Le fave non sono piccioni e non sono uccelli,
sono quelle che vengono mangiate. Anche la C non ha senso, i piccioni
sono piccioni.
La E è sbagliata perché sono solo alcuni, gli uccelli che non mangiano
fave, non tutti.
Mario è nato martedì 8 febbraio. Stella è nata mercoledì 8 marzo, nello
stesso anno. Di quale anno potrebbe trattarsi?
• A) 1976
• B) 1973
• C) 1970
• D) 1979
• E) 1982
La risposta è legata al fatto che l’anno sia bisestile o meno. Infatti,
quando febbraio ha 28 giorni (multiplo di 7) i giorni della settimana
hanno, a marzo, gli stessi numeri progressivi. Quindi, in un anno NON
bisestile, a martedì 8 febbraio segue martedì 8 marzo. Se invece i giorni
sono 29, si avrà mercoledì 8 marzo. Quale di questi anni è bisestile,
quindi?
Un anno è bisestile se il suo numero è divisibile per 4, con l'eccezione
degli anni secolari (quelli divisibili per 100) che non sono divisibili per
400.
A questo punto, l’unico divisibile per 4 è 1976.
“Quando prende il treno, Carlo arriva sempre in ritardo a destinazione”.
Quale delle seguenti affermazioni può essere dedotta dalla frase
precedente?
• A) Carlo è arrivato in ritardo, quindi ha preso il treno
• B) Carlo è arrivato in orario, quindi non ha preso il treno
• C) Carlo non ha preso il treno, quindi è arrivato in ritardo
• D) Carlo è arrivato in orario, quindi ha preso il treno
• E) Carlo non ha preso il treno, quindi è arrivato in orario
L’affermazione mi dice che: «prendere il treno» è condizione sufficiente
per «ritardo». Non è però necessaria: Carlo arriva sempre in ritardo se è
in treno, ma può arrivare in ritardo anche in altri casi (‘quando’, non
‘solo quando’).
→ la A e la E non vanno bene perché presuppongono il treno come
condizione «necessaria» al ritardo.
→ la C e la D sono in contraddizione con l’affermazione, quindi le
escludo.
→ quella corretta è la B.
Si legga la seguente cronaca elettorale: A ha conseguito il 36,4%
dei voti, mentre in lieve flessione rispetto alle elezioni del 2005
appare B (fermo al 28,5); C ha quasi raddoppiato i consensi
(20,9) e D, al battesimo delle urne, si attesta al 14,2. Quale è
l'unico risultato delle elezioni del 2005 che sia compatibile col
quadro appena delineato?
• A) A 18,3 - B 41,4 - C 40, 3
• B) A 63,3 - B 26,2 - C 10,5
• C) A 58,3 - B 30,7 - C 11,0
• D) A 43,3 - B 30,3 - C 10,9 - D 15,5
• E) A 36,4 - B 32,4 - C 20,7 - D 10.5
Le informazioni utili (cioè di confronto col 2005) sono solo tre:
 Nel 2005 D non c’era . → escludo D ed E
 C ha quasi raddoppiato, quindi nel 2005 deve aver ottenuto
poco più del 10,45%. → escludo la A, restano B e C
 B ha leggermente diminuito rispetto al 2005. → C.
Ad una festa partecipano 8 studenti, i quali complessivamente possiedono 17 cellulari.
Determinare quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera.
A) Almeno un ragazzo possiede almeno 3 cellulari
B) C'è un unico ragazzo che possiede almeno 3 cellulari
C) Almeno un ragazzo possiede esattamente 3 cellulari
D) C'è un unico ragazzo che possiede esattamente 3 cellulari
E) Nessun ragazzo possiede più di 3 cellulari
Valutiamo il caso più estremo: un ragazzo ha tutti e i 17 i cellulari. Essendo possibile, escludo la E.
Distribuiamoli considerano il numero minimo di cellulari ciascuno se li distribuiamo ‘equamente’: sono
in 8, ne hanno 2 a testa, e un solo ragazzo ne ha 3.
Ovviamente, potrebbe poi succedere che qualcuno ne abbia solo uno o nessuno: in questo caso, o più
di una persona ne ha 3, o una persona ne ha più di tre.
In ognuno di questi casi, almeno una persona ne ha 3 come minimo, e questa è l’unica cosa che posso
dire con certezza. Questo è compatibile con la A, che è in effetti la risposta corretta.
Non posso dire «uno solo ne ha almeno 3» (B), perché potrebbe essere 3 3 3 0 2 2 2 2. Questo esclude
anche la D (uno solo esattamente 3)
Non posso dire «almeno uno ESATTAMENTE 3» (C) perché potrebbe essere 4 4 4 2 2 1 0 0. Questo
esclude anche la E, di nuovo. (nessuno più di tre).
→ ricordare che basta una eccezione a demolire una affermazione.
→ « certezza logica» non è per forza «la cosa più sensata». Anzi…
L’analisi dei risultati di un test ha evidenziato che, per ognuna delle 70 domande
proposte, c'è stato almeno un candidato che ha fornito la risposta corretta.
Determinare quale delle seguenti situazioni è compatibile con questa analisi.
• A) Tutti hanno risposto in maniera errata alla domanda 47
• B) Esiste un candidato che ha risposto in maniera errata a tutte le domande
• C) Nessuno ha fornito una risposta alla domanda 53
• D) Nessuno ha risposto correttamente alla domanda 70
• E) Almeno due domande hanno ricevuto risposte errate da parte di tutti i
concorrenti
Rendiamo più semplice l’affermazione: «per ogni domanda, c’è stata almeno una
risposta corretta»
(che NON vuol dire «ogni candidato ha dato almeno una risposta corretta»)
A, C, D non sono compatibili perché affermano che una domanda non abbia avuto
risposta corretta.
E non è compatibile perché comporta che addirittura due o più domande non
abbiano avuto neanche una risposta corretta.
B invece è compatibile, perché un candidato può aver sbagliato tutto, questo non
da informazioni su cosa hanno fatto gli altri: è possibile che le altrui risposte
comprendano almeno una risposta corretta per ogni domanda.
Di solito Laura pota le rose nel mese di novembre, ma lo scorso anno ha dimenticato di farlo. Ha
aspettato, invece, che terminasse il gelo invernale per poi potarle nel mese di marzo. Quest’estate
Laura ha avuto la più abbondante fioritura di rose che si fosse mai vista nel suo giardino. Quindi, il
gelo fa bene alle rose. Quale delle seguenti risposte costituisce il passaggio logico errato nel brano
precedente?
• A) Si presuppone che il gelo abbia causato l’abbondante fioritura di rose
• B) Si presuppone che non ci siano gelate nel mese di marzo
• C) Si presuppone che le rose debbano essere potate
• D) Si presuppone sulla base di un solo caso che una tarda potatura faccia bene a tutte le piante
in generale
• E) Si presuppone che il mese di novembre e il mese di marzo siano gli unici mesi in cui si può
effettuare la potatura
Analizziamole tutte, e vediamo quali sono, innanzi tutto, passaggi logici davvero fatti nel testo.
A → «QUINDI il gelo fa bene alle rose» è una deduzione del testo, ma è corretta?
B → non è vero, ha aspettato che salisse la temperatura e poi le ha potate a marzo. Non c’è scritto
«dato che a marzo non ci sono gelate».
C → parla di un’abitudine di Laura, ma non dice che lo fa perché «si deve».
D → non si fa collegamento fra il ritardo e la potatura, né si parla di altre piante. Però, il fatto che
un solo caso non basta per una deduzione logica è vero, e supporta la scelta della A.
E → non è vero, e in fatti si specifica che Laura lo fa «di solito» a novembre, una sua abitudine e
non una condizione obbligatoria. E anche marzo è casuale, dopo il gelo.
Una galleria d’arte ospita la mostra di Jamie Singer. All’ingresso un filmato di 11
minuti viene proiettato continuamente durante tutta la giornata, con un
intervallo di 3 minuti tra una proiezione e l’altra. Le proiezioni iniziano alle ore
9:15 e terminano alle ore 18:00. La mattina, quando il filmato inizia ad essere
proiettato, parte sempre dall’inizio.
Quante volte il filmato viene proiettato per intero nel corso di una giornata?
• A) 35
• B) 36
• C) 37
• D) 38
• E) 39
Dalle 9.15 alle 18 ci sono 8 ore e 45 minuti, cioè (480+45) 525 minuti. Dall’inizio
di una proiezione all’inizio di un’altra ci sono 14 minuti.
525:14 = 37,5: per intero viene proiettata 37 volte.
Oppure: 35 di sicuro, e 35x14 = (35x10)+(35x4) = 350 + 140 = 490.
Avanzano 35 minuti, durante i quali viene proiettata solo 2 volte (28 min) per
intero. 37.
Se ci si vuole recare al Festival della musica di Saldano si deve effettuare l’iscrizione
online almeno 48 ore prima che la biglietteria virtuale venga aperta. Marta vuole
certamente acquistare biglietti per il Festival, quindi si è iscritta online. Quale delle
seguenti affermazioni segue la stessa struttura logica del ragionamento appena illustrato?
A) Se si vogliono ottenere buoni voti agli esami non si deve andare a letto tardi la notte
prima dell’esame. Alessandra è andata a letto tardi la notte prima dell’esame, quindi non
otterrà buoni risultati.
B) Franco è dimagrito molto. Potrebbe aver seguito una dieta oppure potrebbe aver fatto
molto esercizio fisico. È impossibile che Franco abbia fatto molto esercizio fisico, quindi
deve aver seguito una dieta.
C) Per andare negli Stati Uniti bisogna ottenere il visto. Giacomo deve andare negli Stati
Uniti, quindi ha fatto domanda per ottenere il visto.
D) Sonia sta imparando a guidare. La maggior parte delle persone passano l’esame di
guida dopo aver fatto 30 lezioni di guida. Sonia ha prenotato 30 lezioni, quindi dovrebbe
passare l’esame di guida dopo aver terminato le lezioni.
E) Se Maria smette di recarsi al lavoro a piedi, deve per forza prendere o l’autobus o la
macchina. Maria ha smesso di recarsi al lavoro a piedi, quindi deve per forza prendere o
l’autobus o la macchina.
→ «condizione necessaria per andare al festival è fare l’iscrizione 48 ore prima. Maria
vuole andarci e soddisfa la condizione necessaria» Dobbiamo cercare un’altra frase fra
quelle date che abbia una condizione necessaria che viene soddisfatta.
A) Se si vogliono ottenere buoni voti agli esami non si deve
andare a letto tardi la notte prima dell’esame. Alessandra è
andata a letto tardi la notte prima dell’esame, quindi non
otterrà buoni risultati.
Andare a letto presto è condizione necessaria per avere buoni
voti, non soddisfarla comporta non avere buoni voti. Potrebbe
essere?
B) Franco è dimagrito molto. Potrebbe aver seguito una dieta
oppure potrebbe aver fatto molto esercizio fisico. È
impossibile che Franco abbia fatto molto esercizio fisico,
quindi deve aver seguito una dieta.
Qui ci sono due opzioni, una affermazione e una deduzione
relativa a Franco. Nessuna condizione necessaria: il
ragionamento è diverso, quindi NON è corretta.
D) Sonia sta imparando a guidare. La maggior parte
delle persone passano l’esame di guida dopo aver
fatto 30 lezioni di guida. Sonia ha prenotato 30
lezioni, quindi dovrebbe passare l’esame di guida
dopo aver terminato le lezioni.
Qui dice che «la maggior parte» passa dopo 30
lezioni, non è condizione necessaria. E’ diverso.
E) Se Maria smette di recarsi al lavoro a piedi, deve
per forza prendere o l’autobus o la macchina. Maria
ha smesso di recarsi al lavoro a piedi, quindi deve per
forza prendere o l’autobus o la macchina.
Qui ci sono due opzioni in alternativa, una
affermazione e una conseguente deduzione, è
diverso da quello del testo.
C) Per andare negli Stati Uniti bisogna ottenere il visto. Giacomo deve andare
negli Stati Uniti, quindi ha fatto domanda per ottenere il visto.
C’è una condizione necessaria (il visto), Giacomo vuole andare negli stati uniti e
quindi la soddisfa. Anche questa sembra corretta.
A) Se si vogliono ottenere buoni voti agli esami non si deve andare a letto tardi
la notte prima dell’esame. Alessandra è andata a letto tardi la notte prima
dell’esame, quindi non otterrà buoni risultati.
«Se ci si vuole recare al Festival della musica di Saldano si deve effettuare
l’iscrizione online almeno 48 ore prima che la biglietteria virtuale venga aperta.
Marta vuole certamente acquistare biglietti per il Festival, quindi si è iscritta
online.»
Quali sono le differenze fra A e C, che sembrano entrambe corrette?
Nella C, abbiamo la condizione che «si deve» verificare e un soggetto che
«vuole/deve» ottenere uno scopo, quindi la soddisfa, come nel testo dato.
Invece nella A abbiamo la condizione che «non si deve» verificare, un soggetto
che la soddisfa e che quindi non ottiene lo scopo. Manca la volontà di
Alessandra (non sappiamo se voglia fare l’esame e se voglia ottenere buoni
voti).
Allora, è corretta la C.
Il fan club di un famoso gruppo musicale mette in vendita varie tipologie di confezioni di poster tramite
proprio sito. I clienti possono scegliere i poster che desiderano ricevere. Sono a disposizione sia poster
grandi dell’intero gruppo che poster di formato ridotto di ciascun membro del gruppo. Il costo di ciascuna
confezione comprende un prezzo fisso diverso per ogni tipo di poster. Le spese di spedizione sono le stesse
per ogni tipologia di confezione e sono incluse nei prezzi qui sotto riportati. Le tipologie di confezioni
disponibili sono le seguenti:
• Confezione mini: 3 poster del gruppo completo e 4 poster di un singolo membro del gruppo $14
• Confezione media: 4 poster del gruppo completo e 3 poster di un singolo membro del gruppo $16
• Confezione maxi: 5 poster del gruppo completo e 3 poster di un singolo membro del gruppo $19
Calcolare il costo delle spese di spedizione. A) $1, B) $2, C) $3, D) $4, E) $5
Non conosco: le spese di spedizione (x), il costo del poster grande (g) e il costo di
quello piccolo (p), ma so che:
3𝑔 + 4𝑝 + 𝑥 = 14
4𝑔 + 3𝑝 + 𝑥 = 16
5𝑔 + 3𝑝 + 𝑥 = 19
5𝑔 − 4𝑔 + 3𝑝 − 3𝑝 + 𝑥 − 𝑥 = 19 − 16 → 𝑔 = 3
9 + 4𝑝 + 𝑥 = 14
4𝑝 + 𝑥 = 5
𝑝=1
→𝑥=1
12 + 3𝑝 + 𝑥 = 16 → 3𝑝 + 𝑥 = 4 → 3 + 𝑥 = 4
Qui non conviene provarle tutte perché restano comunque incogniti i valori p e g,
il sistema è la via più rapida.
Quanti sono i numeri di due cifre in cui la somma
delle cifre è 12?
• A) 7
• B) 6
• C) 36
• D) 45
• E) 4
Sembra calcolo combinatorio, ma non lo è! Devo
pensarli ‘a mano’: 12 = 6+6 (66), 5+7 (57 e 75), 4+8
(48 e 84), 3+9 (39 e 93) e basta (2+10 non sono 2
cifre).
Allora sono 7.
Alan lancia contemporaneamente due dadi non truccati con le
facce numerate da 1 a 6. Qual è la probabilità che esca lo
stesso numero su entrambi i dadi?
1
1
1
1
1
𝐴) , 𝐵) , 𝐶)
, 𝐷) , 𝐸)
2
3
36
6
18
Casi possibili: 6numero lanci = 62 = 36
Casi favorevoli: 1 per ogni numero, quindi 6.
1
1
Oppure:
𝑥
𝑥6
6
6
cioè la probabilità che esca un certo numero col primo E col
secondo, intersezione di eventi (E), moltiplico le probabilità.
Poi, moltiplico per tutti i numeri che potrebbero uscire, dato
che non ne viene chiesto uno specifico.
Attenzione alla C!!!
Il pavimento di un locale a forma rettangolare, di lati rispettivamente 4 e 6
metri, è stato ricoperto con piastrelle di forma simile al rettangolo del
pavimento. Il costo di ogni piastrella è stato di € 4 e quello di tutte le
piastrelle di € 1.600. Quali sono le dimensioni di ogni piastrella ?
• A) 10 cm e 15 cm
• B) 25 cm e 50 cm
• C) 20 cm e 30 cm
• D) 18 cm e 27 cm
• E) 12 cm e 18 cm
→ simile a quello del pavimento significa uno i 2/3 dell’altro (4 è 2/3 di 6):
posso eliminare B e D.
→ sono state acquistate 1600: 4 = 400 piastrelle,
per coprire un’area di 24 m2.
0,2mx0,3mx400 = 24 m2
0,1m x 0,15mx400 = 6 m2
0,12x0,18x400 = 8,64 m2
Nel lancio di un dado con sei facce, sia E l’evento «esce un numero
maggiore di due». Qual è la probabilità del suo complementare?
• A) 2/3
• B) -2/3
• C) 1/3
• D) 3/4
• E) 1/2
La B è sbagliata in ogni caso.
Il complementare dell’evento richiesto è «esce un numero minore di due
o uguale a due», che nel caso del dato implica l’uscita o dell’1 o del 2.
2
6
Quindi, la probabilità dell’evento complementare è P 𝐸 = =
Volendo usare la definizione di complementare:
4 2
2 1
𝑃 𝐸 = = →𝑃 𝐸 =1− =
6 3
3 3
1
3
La probabilità che tre uomini colpiscano un bersaglio è P(A) =
1/6, P(B) = ¼, P(C) = 1/3. Qual è la probabilità che uno solo
colpisca il bersaglio?
Cosa è richiesto? Che il bersaglio venga colpito da uno solo,
cioè SI NO NO oppure NO SI NO oppure NO NO SI. Andrebbe
bene SI SI NO? No, perché dice uno solo. Allora ciascuna delle
opzioni è una intersezione di eventi:
1 3 2
6
SI NO NO = 𝑥 𝑥 =
6 4 3
6𝑥4𝑥3
5 1 2
10
NO SI SI = 𝑥 𝑥 =
6 4 3
6𝑥4𝑥3
5 3 1
15
NO NO SI 𝑥 𝑥 =
6 4 3
6𝑥4𝑥3
Probabilità totale:
6+10+15
6𝑥4𝑥3
=
31
72
Tre marinai sbucciano un sacco di patate rispettivamente in 4, 6 e 12 ore. Quante ore impiegano a
sbucciare insieme le patate di 1 sacco?
A) 4
B) 12
C) 2
D) 22
E) Non è possibile rispondere in base ai dati forniti
→ se sono insieme, non possono metterci né di più né quanto ci metterebbe il più lento.
Elimino la B e la D.
→ se sono insieme, ci metteranno meno di quanto ci mette il più veloce da solo, dato che ha un aiuto!
Elimino la A.
→ so benissimo che volendo posso completare il ragionamento e calcolare il tempo esatto, quindi
elimino la E, scelgo la C.
Per esempio, potrei calcolare la velocità di pelata oraria di ciascuno, e vedere quanto possono
sbucciare in un’ora, insieme:
1 1 1
3+2+1
6
1
+ +
=
=
= sacco.
4 6 12
12
12 2
Quindi, in due ore, un sacco intero.
Oppure, per scrupolo, scegliendo fra C ed E sommo quanto ciascuno pela in due ore: mezzo sacco il
primo, un terzo di sacco il secondo, un sesto di sacco il terzo:
1
2
1
3
1
6
+ + =
3+2+1
6
=1
Per raggiungere il suo ufficio, Davide può percorrere due strade diverse.
La prima è una strada di 6 Km lungo la quale si incontrano tre semafori, che
costringono Davide a fermarsi al rosso a ciascun semaforo per tre minuti in
media. La seconda è una strada di 8 Km, lungo la quale si incontra solo un
semaforo che costringe Davide a fermarsi per due minuti in media. Quando
Davide non è fermo ad un semaforo, guida ad una velocità media di 24 Km/h.
Quanto tempo risparmia in media Davide percorrendo la strada più veloce?
•
•
•
•
•
A) 1 minuto
B) 2 minuti
C) 4 minuti
D) 5 minuti
E) 7 minuti
24𝑘𝑚
6 𝑘𝑚 𝑖𝑛 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑖 𝑢𝑛 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑑 ′ 𝑜𝑟𝑎
→
8 𝑘𝑚 𝑖𝑛 20 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑖 (𝑢𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑 ′ 𝑜𝑟𝑎)
ℎ
Prima strada: 15 minuti + 3x3 = 9 minuti per i semafori, 24 minuti.
Seconda strada: 20 minuti + 2 minuti semaforo, 22 minuti.
Sia a = 10012- 9992. Determinare quale delle seguenti
relazioni è verificata.
A) a < 1000
B) 1000 < a < 3000
C) 5000 < a < 7000
D) 3000 < a < 5000
E) a > 7000
(1000 + 1)2 − 1000 − 1 2 =
10002 + 2000 + 1 − 10002 − 1 + 2000 = 4000
(certe volte una domanda è meno antipatica di quello che
sembra.)
𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑎: 𝜋𝑟 2 ;
S = semicirconferenza grande – semicirconferenza piccola;
𝑟
2
𝜋
𝜋𝑟
2
−
2
2
2
𝜋𝑟 2
𝜋𝑟 2 3𝜋𝑟 2
=
−
=
2
8
8