UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRIESTE
LAUREA TRIENNALE IN INGEGNERIA CIVILE
DISPENSE DEL CORSO DI STRADE, FERROVIE ED AEROPORTI
Parte I
Geometria dell’asse stradale
A.A. 2006/07
Ing. Paolo Perco
Corso di Strade, Ferrovie ed Aeroporti –Laurea Triennale in Ingegneria Civile – Università degli Studi di Trieste
Paolo Perco
BOZZA – dispense parte I - A.A. 2006/2007
1
INDICE
Introduzione
Condizioni di rotolamento della ruota – l’aderenza
Il moto dei veicoli stradali
Le distanze di visibilità
L’equilibrio di un veicolo in curva
La velocità operativa
La progettazione dell’asse della strada
L’andamento planimetrico dell’asse
L’andamento altimetrico dell’asse
Il diagramma delle velocità
Il coordinamento planoaltimetrico
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INTRODUZIONE
La progettazione di una strada si divide sostanzialmente nello studio del suo asse geometrico e della
sua sezione trasversale. La presente dispensa, dopo una necessaria panoramica sui principi che
stanno alla base del moto di un veicolo, affronta la progettazione della linea d’asse presentando i
principi che la regolano e approfondendo le norme di riferimento italiane per la progettazione
stradale (“Norme Funzionali e Geometriche per la costruzione delle strade” allegate al D.M.
05.11.2001). La necessità di definire delle regole per la progettazione dell’asse stradale è dovuta
innanzitutto alla forte influenza che la geometria d’asse ha sulla sicurezza stradale. Ogni anno in
Italia gli incidenti stradali causano circa 6000 morti e 320.000 feriti. Questi valori presentano un
trend decrescente negli ultimi anni grazie agli efficaci interventi che sono stati attuati su tutti tre i
fattori che, interagendo tra loro, possono causare l’incidente: la strada, il guidatore, il veicolo. La
progettazione stradale, sia che si riferisca ad una nuova infrastruttura che all’adeguamento di
un’infrastruttura esistente, può promuovere in modo significativo tale riduzione se correttamente
condotta.
L’attività di progettazione dell’asse della strada consiste, in sintesi, nella definizione di un
andamento planimetrico ed altimetrico della linea d’asse che, nel rispetto delle regole di
composizione previste dalle norme di riferimento, consenta l’inserimento della strada nell’ambiente
attraversato. Tale inserimento va inteso nel senso più ampio del termine, ovverosia come orografia e
geologia del territorio, presenza di altre infrastrutture, urbanizzazione ed antropizzazione,
salvaguardia ambientale, il tutto nel contesto di un vincolo di tipo economico sostenibile. Il compito
è complesso e multidisciplinare poiché la linea d’asse della strada è il primo elemento progettuale
che si definisce nell’affrontare un progetto stradale, subito dopo averne definito la categoria. Solo
una volta definito l’andamento della linea d’asse possono essere sviluppate le diverse progettazioni
specialistiche (ponti, viadotti, gallerie, opere idrauliche, opere di ripristino ambientale, ecc…) che
concorrono al completamento del progetto stradale.
La presente dispensa deve essere affiancata dalle “Norme Funzionali e Geometriche per la
costruzione delle strade” allegate al D.M. 05.11.2001 poiché esse rappresentano le norme di
riferimento e ad esse nel testo si fa spesso riferimento. Queste norme inoltre affrontano anche altri
aspetti oltre a quelli approfonditi in questa dispensa che sono altrettanto importanti per la corretta
definizione del progetto stradale.
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CONDIZIONI DI ROTOLAMENTO DI UNA RUOTA – L’ADERENZA
L’attrito tra due superfici
Si supponga un corpo di peso P appoggiato su un piano. Se si applica al corpo una forza Ft parallela
al piano, il corpo resta fermo fino a che il valore di Ft non supera un certo valore limite Ft lim oltre il
quale il corpo inizia a strisciare. Ciò significa che il piano è in grado di esercitare una reazione
avente la componente A, parallela ad esso, capace di opporsi a Ft e di valore massimo Alim uguale a
Ft lim.
Risulta che:
Alim = fa × Rn
Dove:
fa
il Coefficiente adimensionale di Attrito Statico dipende dai materiali e dalle condizioni delle
due superifici a contatto.
Rn
la componente della reazione normale al piano. Se la forza applicata Ft è parallela al piano e
questo è orizzontale, Rn equivale al peso P del corpo.
Per cui, affinché non vi sia moto relativo tra le superfici deve valere: Ft = Alim ≤ fa × Rn
L’attrito tra due superfici a contatto è causata dalle caratteristiche delle due superfici ed alla forza
con la quale le due superfici sono “schiacciate” l’una contro l’altra. Infatti, le superfici sono in
realtà irregolari, sia a livello microscopico che a livello macroscopico, e l’area reale di contatto è
solo una parte di quella apparente totale. Tanto è maggiore la forza di compressione tra le due, tanto
più le deformazioni elastiche e plastiche delle due superfici aumentano l’area di contatto reale e
creano una sorta di “incastro” tra queste irregolarità. Dal punto di vista microscopico, esso è dovuto
alle forze di interazione tra gli atomi dei materiali a contatto.
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Le condizioni di rotolamento di una ruota
Il moto di rotolamento di una ruota su un piano risulta dalla composizione del moto di rotazione
intorno all’asse della ruota e dalla traslazione dell’asse parallelamente al piano.
Se si considera la ruota motrice di un veicolo, sul suo asse agisce un momento torcente M
trasmesso dal motore che tende a farla girare attorno all’asse di rotazione O.
Il momento torcente M può pensarsi sostituito da due forze +T e –T, di valore pari a M/r, applicate
in O ed in C, punto di contatto ruota-piano.
P è il carico agente sulla ruota;
R è la somma di tutte le resistenze al moto che si oppongono all’avanzamento del veicolo;
A è la reazione tra le due superfici a contatto (pavimentazione e pneumatico) nel punto C.
La ruota si comporta come un corpo vincolato in O ed in C in cui nascono delle reazioni vincolari le
cui componenti parallele alla direzione del moto sono rispettivamente R ed A.
Possono verificarsi tre condizioni diverse:
T<R
T < Alim
T>R
T < Alim
T<R
T > Alim
Le forze di resistenza R e di reazione A sono superiori alle forze di trazione T
applicate alla ruota per cui essa resta in equilibrio e non si muove
La resistenza R è inferiore alla forza di Trazione T in O ma la reazione A è superiore
alla forza di trazione T in C: trasla solo il punto O ed il punto C resta fermo
La resistenza R è superiore alla forza di trazione T in O ma la reazione A è inferiore
alla forza di trazione T in C: il punto O resta fermo e la ruota slitta
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Pertanto, affinché il veicolo si muova è necessario che ci si trovi nella situazione 2, ovvero si
verifichi una rotazione istantanea attorno al punto C, detto Centro di Istantanea Rotazione. In questo
caso il moto della ruota è la composizione contemporanea di due moti: traslazione del punto O e
contemporanea rotazione attorno al punto O.
In definitiva, affinché si abbia rotolamento e non slittamento, occorre che lo sforzo di trazione T sia
almeno pari alle resistenze (M / r =T ≥ R) ma che sia inferiore alla reazione tangenziale della strada
((M / r =T < Alim).
Un esempio può aiutare a comprendere:
Per far slittare i pneumatici dell’automobile in partenza, a parità di condizioni della pavimentazione e dei pneumatici
(Alim costante), è necessario accelerare a fondo: ciò significa che a parità di A, ovvero delle condizioni delle due
superfici, bisogna aumentare T fino a che diviene T > Alim per trovarsi nella condizione 3.
A parità di pressione sul pedale dell’acceleratore (T costante) sulla pavimentazione asciutta i pneumatici non slittano
ma sulla pavimentazione bagnata o ghiacciata invece i pneumatici slittano e l’automobile resta ferma: ciò significa che a
parità di T, ovvero del momento torcente trasmesso dal motore, nel primo caso si ha la condizione T > R e T < Alim,
mentre nel secondo caso, anche se rimane T > R, ci si trova nella condizione T > Alim.
Le condizioni di equilibrio della ruota si possono valutare anche in altre due condizioni:
Ruota Trainata (non motrice): il momento torcente è pari a 0 e vi è una sola forza T applicata nel
punto O. L’unica forza resistente è l’attrito sui perni della ruota che può essere considerato pari ad
un momento torcente Ma applicato in senso contrario a quello del moto di rotazione. Affinché
questo moto di rotazione possa verificarsi, è necessario che Ma sia equilibrato dalla coppia formata
dallo sforzo di trazione T, applicato in O, e dalla forza di reazione A, applicata in C, questa volta
diretta in senso opposto a quello del veicolo, ovvero Ma ≤ Alim × r .
Ruota Frenata: non è presente il momento torcente motore M, mentre viene applicato un momento
torcente frenante Mf che va ad aggiungersi al momento resistente Ma del caso precedente. Non
essendoci distinzione fra le ruote motrici e le ruote trainate, le resistenze al moto si distribuiscono in
modo uguale su tutte le ruote. La ruota inoltre è soggetta ad una forza di inerzia Fi applicata nel
punto O. Affinché durante la fase di frenatura le ruote non si blocchino è necessario che Ma + Mf sia
equilibrato dalla coppia formata dalla forza di inerzia Fi e dalla forza di reazione A, anche questa
volta diretta in senso opposto a quello del veicolo, ovvero che (Ma + Mf) ≤ Alim × r.
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Il coefficiente di aderenza
Quanto detto fino ad ora permette di comprendere l’importanza della reazione A necessaria sia per
permettere la traslazione del veicolo sia per garantirne la sicurezza in frenatura.
A prende il nome di forza di aderenza ed il suo valore limite Alim è proporzionale, attraverso un
coefficiente di aderenza fa, alla componente perpendicolare al piano viabile della forza che grava
sulla ruota. Questa forza corrisponde normalmente alla quota parte del peso del veicolo agente sulla
ruota. Ne segue che per aumentare la forza di aderenza è opportuno aumentare più possibile il peso
gravante sulle ruote.
Alim = fa × P
Proprio per aumentare il peso aderente, ovvero il peso che grava sulle ruote motrici, le autovetture sportive sono dotate
di appendici aerodinamiche che permettono di generare la forza di deportanza che, diretta verso il basso, si aggiunge
alla forza peso consentendo di aumentare la reazione di aderenza tra pneumatico e pavimentazione. Il fenomeno è
esattamente lo stesso che genera la forza di portanza che consente il sostentamento dell’aeroplano, con la differenza che
in questo caso il profilo alare è rovesciato per generare la portanza verso il basso, detta appunto deportanza. Questa
forza aumenta all’aumentare della velocità con la quale il profilo alare si muove nel fluido (l’aria in questo caso).
Pertanto, le dimensioni e l’angolo del profilo alare rispetto alla direzione del moto devono essere regolati in modo da
fornire una sufficiente deportanza alle velocità di percorrenza delle curve, lungo le quali è importante disporre di
un’elevata aderenza trasversale ma, al contempo, da non penalizzare eccessivamente la resistenza aerodinamica in
rettifilo che penalizza la massima velocità raggiungibile dall’autovettura.
Per valutare la reazione di aderenza, ovvero il coefficiente di aderenza fa, è innanzitutto necessario
rilevare che in realtà, a differenza di quanto visto nel precedente schema teorico dell’attrito radente,
affinché si sviluppi una reazione di aderenza è necessario che vi sia uno scorrimento relativo tra
pneumatico e pavimentazione. Le modalità con cui si verifica tale scorrimento sono diverse nel caso
di ruota motrice e ruota frenata.
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Ruota motrice
Durante il rotolamento di una ruota motrice (T>0; a ≥ 0), ad un giro completo della ruota di raggio r
(circonferenza
2πr),
l’avanzamento
effettivo
del
veicolo
è
dato
da
(1-ψ)2πr
e,
contemporaneamente, si verifica uno scorrimento della ruota sulla strada di lunghezza 2ψπr ove ψ è
lo scorrimento (0 ≤ ψ ≤ 1):
(1-ψ) 2πr = 2πr - 2ψπr
lunghezza effettivamente percorsa
circonferenza della ruota
lunghezza “persa” per lo slittamento
Ciò significa, riferendosi all’unità di tempo, che il prodotto ω·r (velocità angolare · raggio della
ruota) è maggiore della velocità di traslazione della ruota v. Lo scorrimento ψ si definisce come:
Ψ=
v
ω ⋅r −v
= 1−
ω ⋅r
ω⋅r
Dove:
ψ
scorrimento
ω
velocità angolare della ruota [rad/s]
r
raggio della ruota [m]
v
velocità di traslazione [m/s]
Le condizioni limite per la ruota motrice sono:
ψ = 0 → v = ωr
rotolamento puro
ψ=1→v=0
rotazione intorno all’asse e la ruota non trasla
Ruota Frenata
Se si considera una ruota frenata (T=0; a < 0) la situazione si inverte: infatti, durante un giro
completo di una ruota di raggio r (circonferenza 2πr), l’avanzamento del veicolo è dato da
(1+ψ)2πr poiché si verifica anche uno scorrimento della ruota sulla strada di lunghezza ψ 2πr ove
ψ è lo scorrimento:
(1+ψ) 2πr = 2πr + ψ 2πr
lunghezza effettivamente percorsa
circonferenza della ruota
lunghezza “guadagnata” per lo slittamento
Lo scorrimento ψ in questo caso si definisce come:
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Ψ=
v −ω ⋅r
ω ⋅r
= 1−
v
v
Dove:
ψ
scorrimento
ω
velocità angolare della ruota [rad/s]
r
raggio della ruota [m]
v
velocità di traslazione [m/s]
Le condizioni limite per la ruota motrice sono:
ψ = 0 → v = ωr
rotolamento puro
ψ=1→ω=0
ruota bloccata che striscia sulla pavimentazione
Il coefficiente di aderenza fa
L’andamento del coefficiente di aderenza fa in funzione dello scorrimento ψ è rappresentato in
figura 1. Le misure sono solitamente condotte in senso longitudinale, cioè nella direzione del moto,
oppure in senso ortogonale e danno origine ad un diverso andamento del coefficiente in funzione
dello scorrimento.
fl longitudinale
ft trasversale
Figura 1
L’andamento del coefficiente di aderenza in funzione dello scorrimento misurato in
senso longitudinale ed in senso trasversale al piano di rotolamento del pneumatico
Il valore del coefficiente di aderenza fa è molto variabile e dipende innanzitutto dalla natura delle
superfici di contatto, ovvero dal tipo e dalle condizioni del battistrada (mescola, usura, scolpitura,
ecc.) e della pavimentazione. Inoltre dipende anche dall’eventuale presenza di uno strato di acqua o
polvere, dalla pressione del pneumatico e dalla velocità di marcia.
Le caratteristiche superficiali della pavimentazione sono individuate essenzialmente dalla regolarità
del piano viabile e dalla sua rugosità o scabrezza (tessitura). Le caratteristiche superficiali si
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distinguono in funzione dell’osservazione del profilo superficiale della pavimentazione. Tra esse, la
macrotessitura (h 0.01÷20 mm) e la microtessitura (0,001÷0,5 mm) influiscono essenzialmente
sull’aderenza sviluppata all’interfaccia tra pneumatico e pavimentazione. La prima è dovuta alle
asperità superficiali della pavimentazione dovute a forma, dimensione e assortimento
granulometrico dei diversi elementi lapidei presenti nella superficie della miscela bituminosa,
mentre la seconda è dovuta alla scabrezza della superficie dei singoli elementi lapidei.
La figura 2 riporta l’andamento del coefficiente di aderenza fa in funzione della velocità v su
pavimentazione bagnata con uno spessore del velo idrico pari ad s. Si nota che il valore di fa
diminuisce al crescere della velocità e all’aumentare dello spessore del velo idrico; inoltre, in
funzione dello spessore s, esiste un valore della velocità v oltre la quale si verifica il
“sostentamento” del pneumatico da parte del velo idrico, ovvero si manifesta il fenomeno
dell’aquaplaning. In tali condizioni si ha un valore di fa pressoché nullo e di conseguenza, il veicolo
non è più controllabile. Il fenomeno dell’aquaplaning si manifesta quando l’acqua che si raccoglie
davanti alla ruota, che in condizioni normali viene espulsa di lato e attraverso la scolpitura del
pneumatico, a causa della alta velocità non riesce più ad allontanarsi e viene compressa fino a
raggiungere una pressione pari a quella di gonfiaggio del pneumatico. Nel caso di pavimentazione
asciutta l’andamento del coefficiente di aderenza fa è quasi costante con la velocità v.
Per tutte le considerazioni sopra esposte, risulta evidente che il coefficiente di aderenza può variare
significativamente in funzione delle numerose variabili che influiscono sulla sua quantificazione. La
sua misura sperimentale è strettamente connessa al tipo di apparecchiatura utilizzata ed alle
modalità operative del test (entità dello scorrimento, inclinazione della ruote rispetto alla direzione
del movimento, superficie bagnata o asciutta, velocità, ecc..). Pertanto, nei casi in cui è necessario
assumere un valore del coefficiente aderenza fa, così come avviene ad esempio per calcolare a
distanza di arresto o l’equilibrio di un veicolo in curva, è necessario utilizzare un opportuno
coefficiente di sicurezza.
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Figura 2
L’andamento del coefficiente fa in funzione della velocità per pavimentazione bagnata
L’ellisse di aderenza
Su un veicolo in movimento non agiscono solamente forze longitudinali ovvero nel senso del moto,
come quelle fino ad ora considerate (sforzo di trazione o di frenatura) ma anche forze trasversali,
ovvero ortogonali al senso del moto, quali la forza centrifuga che agisce su un veicolo quando
percorre una curva circolare, o la presenza di vento laterale. Ovviamente, anche tali sollecitazioni
generano sulla superficie di contatto pneumatico-pavimentazione una reazione di aderenza che
permette al veicolo di non traslare lateralmente. Nel caso di forze longitudinali si parla di aderenza
longitudinale e quindi di coefficiente di aderenza longitudinale fl, nel caso di forze trasversali si
parla di aderenza trasversale e quindi di coefficiente di aderenza trasversale ft.
Il coefficiente di aderenza fa non è, a rigore, uguale in tutte le direzioni , tuttavia la piccola
differenza tra il valore longitudinale e quello trasversale può essere trascurata nella pratica e si può
assume l’ipotesi di polarsimmetria (fa = fl = ft) :
Il legame presente tra il coefficiente di aderenza longitudinale fl e il coefficiente di aderenza
trasversale ft può essere rappresentato mediante l’ellisse di aderenza che riporta l’andamento del
coefficiente di aderenza al variare della risultante delle forze longitudinali e trasversali applicate al
pneumatico:
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Figura 3 L’ellisse di aderenza.
La quota parte di aderenza longitudinale y e di aderenza trasversale x che è possibile impegnare
contemporaneamente è quindi data da (equazione ellisse):
1=
x2
ft
2
+
y2
fl
2
Il significato dell’ellisse di aderenza è estremamente importante perché permette di calcolare, in
base al coefficiente di aderenza impegnato in una direzione, quello disponibile nella direzione
ortogonale.
Infatti, tra il pneumatico e la pavimentazione si può sviluppare al massimo una forza di aderenza
Alim = fa × P in qualsiasi direzione (a meno della piccola differenza che, come sopra già accennato,
può essere trascurata), ma questa va scomposta tra le sue due componenti (lungo la direzione del
moto Al e trasversalmente ad essa At) per valutare l’effettiva aderenza disponibile per effettuare una
specifica manovra.
Ad esempio, se tutta l’aderenza disponibile (Alim = fa × P) è utilizzata in senso longitudinale per
frenare (Alim = Al) non esiste una riserva di aderenza trasversale (ponendo nell’equazione dell’ellisse
y = fl ne segue x = 0) per compensare eventuali forze trasversali. Ciò significa che nel caso queste si
presentino (ad es. un colpo di vento o la necessità di una sterzata improvvisa), esse provocheranno
la perdita del controllo del veicolo. Viceversa, se tutta l’aderenza disponibile (Alim = fa × P) è
utilizzata in senso trasversale (Alim = At), ad esempio per percorrere una curva, non esiste una riserva
di aderenza longitudinale (ponendo nell’equazione dell’ellisse x = ft ne segue y = 0) per compensare
eventuali forze longitudinali. Anche in questo caso pertanto, se queste si presentano (ad es la
necessità di una frenata improvvisa) provocheranno la perdita del controllo del veicolo.
Ne consegue che nei calcoli (ad es. per la distanza di arresto o per l’equilibrio del veicolo in curva)
si utilizza sempre solo una “quota parte” del coefficiente di aderenza longitudinale fl o,
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rispettivamente, trasversale ft al fine di garantire una “riserva” di aderenza a disposizione per altre
eventuali manovre di emergenza.
In particolare, il D.M. 05.11.2001 ipotizza di utilizzare lo 0,9 dell’aderenza disponibile in senso
longitudinale per l’azione di frenatura; la quota parte che rimane disponibile per compensare
eventuali forze tangenziali si può ottenere dall’equazione dell’ellisse:
1=
x2
ft
2
+
y2
fl
2
poiché si assume fa = fl = ft
1=
x2
fa
2
+
(0.9 ⋅ f a )2
fa
2
da cui
x 2 = f a2 − (0.9 ⋅ f a ) = 0.19 ⋅ f a2
2
e pertanto la quota parte x disponibile trasversalmente è pari a:
x = 0.44 ⋅ fa
I coefficienti di aderenza impegnabili longitudinalmente fl previsti dal D.M. 05.11.2001 per tutte le
strade ad eccezione della categoria A (autostrade) sono riportati in tabella 1. Da essi si possono
ricavare i coefficienti di aderenza impegnabili trasversalmente ft [~ (fl / 0.9)×0.44] previsti dallo
stesso D.M. 05.11.2001 e riportati in tabella 2.
Velocità km/h
fl (cat. B-C-D-E-F)
25
40
60
80
100
120
140
0,45
0.43
0.35
0.30
0.25
0.21
0.18*
*interpolato dai valori precedenti
Tabella 1 Il coefficiente di aderenza impegnabile longitudinalmente (D.M. 05.11.2001).
Velocità km/h
ft (cat. A-B-C-F extraurbane)
ft (cat. D-E-F urbane)
25
40
60
80
100
120
140
-
0,21
0,17
0,13
0,11
0,10
0,09
0,22
0,21
0,20
0,16
-
-
-
Tabella 2 Il coefficiente di aderenza impegnabile trasversalmente (D.M. 05.11.2001).
La ripartizione del coefficiente di aderenza tra la componente longitudinale e quella trasversale
prevista dal D.M. 05.11.2001 garantisce pertanto che è sempre possibile percorrere una curva alla
Velocità di Progetto e contemporaneamente avere una “riserva” di aderenza sufficiente per frenare
con le modalità previste nello stesso D.M..
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IL MOTO DEI VEICOLI STRADALI
Le resistenze al moto
Come già osservato, se ad una ruota motrice di un veicolo è applicato un momento motore M il cui
corrispondente sforzo di trazione è T (T × r = M) e sulla ruota grava il peso aderente P, il
rotolamento della ruota si avrà solo se fa × P ≥ T ≥ R ove R rappresenta l’insieme delle resistenze
che si oppongono al moto. In particolare:
moto uniforme (velocità costante)
T=R
moto accelerato
T>R
moto decelerato (solo se velocità iniziale > 0)
T<R
La resistenza R è data dalla somma di diverse resistenze:
R = μ ⋅ P ± i ⋅ P + Rc ± P ⋅
β
g
⋅ a + k ⋅ S ⋅V 2
[kg]
Dove:
P
peso [kg]
μ
coefficiente per le resistenze al rotolamento
i
pendenza longitudinale in valore assoluto [%/100]
V
velocità [km/h]
g
accelerazione di gravità 9,81 [m/s2]
β
coefficiente per le resistenze di inerzia
a
accelerazione [m/s2]
Rc
Resistenza in curva [kg]
In particolare, le resistenze che intervengono sono:
Resistenza al rotolamento μP
La resistenza al rotolamento è direttamente proporzionale al peso P ed è dovuta alla deformazione
del pneumatico, agli slittamenti tra le due superfici ed al movimento dell’aria tra le due superfici.
Dipende dalle condizioni del pneumatico e della pavimentazione, dalla pressione di gonfiaggio e
cresce al crescere della velocità. Valori orientativi del coefficiente μ per le autovetture:
μ = 0,015 [kg/kg] per V = 20 [km/h]
μ = 0,020 [kg/kg] per V = 100 [km/h]
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Resistenza della pendenza longitudinale iP
La resistenza dovuta alla pendenza longitudinale è dovuta alla componente del peso P diretta nel
verso contrario al senso del moto (in salita) con i pendenza longitudinale espressa in valore assoluto
(sen β ≈ tg β = i). Ovviamente nel caso la componente del peso P sia diretta nel verso del moto
(discesa) il suo contributo alle resistenze sarà negativo (ovvero si somma allo sforzo di trazione T).
Resistenza aerodinamica dell’aria KSV2
La resistenza che l’aria oppone all’avanzamento del veicolo è dovuta alle sovrapressioni che si
generano di fronte al veicolo. Questa resistenza è direttamente proporzionale alla sezione maestra
del veicolo S (~ 1,2 ÷ 2,2 m2 per le autovetture) ed alla velocità V (in km/h), attraverso un
coefficiente K (0,0015 ÷ 0,0025 per le autovetture).
K=
1
⋅ ρ ⋅ Cx
g ⋅ 2 ⋅ 3.6 2
(
)
dove:
Cx
coefficiente che dipende dalla forma del corpo
ρ
massa volumica dell’aria [kg/m3]
Resistenza d’inerzia P/g β a
Ogni variazione della velocità (accelerazione a) induce una resistenza dovuta all’inerzia a cui
contribuisce anche la presenza di masse rotanti per tener conto delle quali è utilizzato il coefficiente
β (1,05 ÷ 1,10). Come nel caso della pendenza longitudinale, anche questa resistenza può assumere
un valore negativo nel caso il moto sia decelerato.
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Resistenze addizionali in curva Rc
Un veicolo che percorre una curva è soggetto a delle forze resistenti dovute alle deformazioni in
senso trasversale del pneumatico ed inversamente proporzionali al raggio della curva. Tuttavia,
questa resistenza, direttamente proporzionale al peso P attraverso il coefficiente di aderenza
trasversale ft impegnato, per le autovetture che percorrono raggi superiori a 100m è trascurabile
rispetto alle altre resistenze.
Tutte le resistenze, ad eccezione di quella aerodinamica, sono proporzionali al peso P. Pertanto,
l’Equazione delle Resistenze al Moto può essere scritta come:
R = P ⋅ (μ ± i + μ c ± ⋅
β dv
⋅
g dt
) + k ⋅ S ⋅V 2
[kg]
Mentre la corrispondente Equazione Generale del Moto
T = R = P ⋅ (μ ± i + μ c ± ⋅
β dv
⋅ ) + k ⋅ S ⋅V 2
g dt
[kg]
Le prestazioni dei veicoli stradali
Pendenza limite all’avviamento
La pendenza massima imax di una livelletta sulla quale un veicolo inizialmente fermo può avviarsi si
può ricavare direttamente dall’Equazione Generale del Moto:
imax ⋅ P = T − P ⋅ ( μ + μ c +
β dv
⋅
g dt
) − k ⋅ S ⋅V 2
Da cui, trascurando il termine KVS2 poiché nelle fasi iniziali di avviamento la velocità è molto
bassa, e ipotizzando di avviarsi in rettilineo:
imax =
β dv
T
− (μ + ⋅ )
P
g dt
Dall’equazione è possibile osservare che il valore di imax dipende dal massimo valore che può
raggiungere il rapporto T/P. Questo valore può essere limitato dalla sforzo di trazione del veicolo T:
Ad esempio:
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autovettura:
peso
P = 1400 kg
sforzo di trazione (a 20 km/h) T = 1000 kg (~10 KN)
accelerazione
imax =
a = 0,4 m/s2
1000
1.05
− (0.02 +
⋅ 0.4) = 0.65 = 65%
1400
9.81
Autoarticolato medio:
peso
P = 32000 kg
sforzo di trazione (a 20 km/h) T = 6000 kg (~60 KN)
accelerazione
imax =
a = 0,3 m/s2
6000
1.06
− (0.03 +
⋅ 0.3) = 0.12 = 12%
32000
9.81
D’altra parte è necessario che lo sforzo di trazione non sia superiore alla reazione dell’aderenza
poiché in caso contrario le ruote motrici slitterebbero senza far avanzare il veicolo (T = fa × Pa):
imax =
f a ⋅ Pa
β dv
− (μ + ⋅ )
P
g dt
Assumendo un coefficiente di aderenza fa = 0,45 (pneumatico e pavimentazione in buono stato,
pavimentazione bagnata, velocità inferiore a 40 km/h)
autovettura:
imax =
P = 1400 kg
peso aderente
Pa = 750 kg
accelerazione
a = 0,4 m/s2
0.45 ⋅ 750
1.05
− (0.02 +
⋅ 0.4) = 0.18 = 18%
1400
9.81
Autoarticolato medio:
imax =
peso
peso
P = 32000 kg
peso aderente
Pa = 10000 kg
accelerazione
a = 0,3 m/s2
0.45 ⋅ 10000
1.06
− (0.03 +
⋅ 0.3) = 0.08 = 8%
32000
9.81
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Pendenza limite a velocità costante
La massima velocità costante che un veicolo può mantenere su una livelletta di pendenza costante o
viceversa, la massima pendenza di una livelletta che può essere affrontata ad una velocità costante
possono essere ricavate a partire dall’Equazione Generale del Moto:
imax ⋅ P = T − P ⋅ ( μ + μ c +
β dv
⋅
g dt
) − k ⋅ S ⋅V 2
Da cui, eliminando il termine P ⋅
β dv
⋅
relativo alla resistenza di inerzia poiché la velocità è
g dt
costante:
imax =
T − k ⋅ S ⋅V 2
−μ
P
Come nel caso dell’avviamento in salita, anche in questo caso la pendenza massima dipende dallo
sforzo di trazione T che però non può superare il limite dell’aderenza fa × Pa.
Lo sforzo di trazione T è direttamente proporzionale alla velocità del veicolo:
T=
N ⋅ 3,6
V
Dove:
T
sforzo di trazione [kN]
N
potenza effettiva alla ruota [kW]
V
velocità [km/h]
Si ricorda in proposito che la potenza [Watt] è data dal lavoro [Joule] svolto nell’unità di tempo:
potenza [W] = lavoro [J] / tempo [s]
Lavoro [J] = Forza [N] × Spostamento [m]
Ad esempio:
autovettura:
imax
peso
P = 16 KN
potenza alle ruote
N = 60 KW
velocità
V = 100 km/h
Sezione maestra
S = 2,0 m2
Coefficiente aerodinamico
K = 1,8 × 10-5
⎞
⎛ 3.6 ⋅ 60
− 2.0 ⋅ 1.8 ⋅ 10 −5 ⋅ 100 2 ⎟
⎜
100
⎠ − 0.025 ≅ 0.088 = 8.8%
=⎝
16
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Considerando invece il limite dato dal coefficiente di aderenza fa
autovettura:
imax =
peso
P = 16 KN
peso aderente
Pa = 8,80 KN
coefficiente di aderenza
fa = 0,26
velocità
V = 100 km/h
Sezione maestra
S = 2,0 m2
Coefficiente aerodinamico
K = 1,8 × 10-5
(0.26 ⋅ 8.80 − 2.0 ⋅1.8 ⋅10
−5
⋅ 100 2
16
) − 0.025 ≅ 0.093 = 9.3%
Pendenze inferiori al 6,0% hanno poca influenza sulle prestazioni delle autovetture. Al contrario, i
veicoli pesanti, che dispongono di un rapporto potenza/peso (N/P) più sfavorevole, sono fortemente
penalizzati dalla presenza di pendenze elevate che li costringono a significativi rallentamenti.
Allo scopo di fornire al progettista un utile strumento che consenta di valutare, sulla base del
rapporto potenza/peso dei veicoli pesanti e della pendenza della livelletta, la massima velocità di
marcia raggiungibile e lo spazio percorso al variare della velocità, sono disponibili (ad esempio
nella Norma Svizzera o nel Highway Capacity Manual) degli appositi diagrammi simili a quello qui
di seguito riportato.
Variazione della velocità in funzione della pendenza e della lunghezza della livelletta per autocarro
pesante (W/N = 0,83 pari a 11 CV/t)
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LE DISTANZE DI VISIBILITA’
Distanza di visibilità per l’arresto
La distanza di visibilità per l’arresto è pari al minimo spazio necessario perché un conducente possa
arrestare il veicolo in condizioni di sicurezza davanti ad un ostacolo imprevisto (definizione D.M.
05.11.2001). Questa distanza di visibilità deve essere garantita lungo tutto lo sviluppo del tracciato.
La distanza di visibilità per l’arresto è data dalla somma dello spazio percorso durante il tempo di
percezione e reazione e dallo spazio percorso durante l’effettiva fase di frenatura:
Da = v ⋅ t pr + s f
[m]
Dove:
v
velocità iniziale [m/s]
tpr
tempo di percezione e reazione [s]
sf
spazio di frenatura per passare dalla velocità iniziale v alla velocità 0 [m]
il tempo di percezione e reazione, che rappresenta il tempo che trascorre dal momento in cui il
conducente percepisce l’ostacolo al momento in cui è applicata l’effettiva forza frenante, dipende
dalla velocità è può essere calcolato come:
t pr = 2.8 − 0.01 ⋅ V
[s]
Dove:
V
velocità [km/h]
Lo spazio percorso durante l’azione di frenatura sf si può ricavare direttamente dall’Equazione
Generale del Moto, considerando che non vi è lo sforzo di trazione (T=0) mentre è presente una
resistenza aggiuntiva dovuta al momento frenante Mf.
P ⋅ (μ ± i + μ c −
β dv
⋅
g dt
) + Ra +
Mf
r
=0
Dove:
Ra
resistenza aerodinamica = k S V2
Mf
momento frenante
r
raggio della ruota
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Il segno negativo della resistenza di inerzia è dovuto al fatto che tale forza, nella fase di frenatura,
tende a far proseguire il veicolo nel suo moto e quindi si oppone alla diminuzione della velocità.
Volendo calcolare lo spazio minimo in cui arrestare il veicolo senza che le ruote si blocchino, è
necessario effettuare la frenatura al limite dell’aderenza. In particolare è corretto utilizzare la
componente longitudinale fl del coefficiente di aderenza fa (vedi ellisse di aderenza):
Mf
r
= fl ⋅ P
Dove:
Mf
momento frenante
r
raggio della ruota
fl
coefficiente di aderenza longitudinale
P
peso sulla ruota
Pertanto l’Equazione Generale del Moto in fase di frenatura può scriversi nella forma:
P ⋅ (μ ± i + μ c −
β dv
⋅ + f l ) + Ra = 0
g dt
Si può ora ricavare la decelerazione
dv
, tenendo presente che, oltre alla resistenza aerodinamica Ra,
dt
anche la resistenza al rotolamento μ ed il coefficiente di aderenza longitudinale fl dipendono dalla
velocità mentre che la resistenza in curva μc per le autovetture può essere trascurata:
R (v ) ⎞
dv g ⎛
= ⋅ ⎜ μ (v ) ± i + f l (v ) + a ⎟
dt β ⎝
P ⎠
Ricordando che v =
ds
dv
e che a =
ne consegue che:
dt
dt
dv
ds = v
a
s1
v1
0
v0
v
∫ ds = ∫ a dv
quindi la distanza di arresto sf a partire dalla velocità vi può essere calcolata come:
vi
s f = −∫
0
v
g ⎡
Ra(v) ⎤
⋅ ⎢ μ (v ) ± i + f l (v ) +
P ⎥⎦
β ⎣
Il segno – è dovuto al fatto che
dv
dv
è una decelerazione.
dt
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In conclusione, esprimendo la velocità v in km/h, la pendenza longitudinale i in % e trascurando il
coefficiente β che tiene conto dell’inerzia delle masse rotanti, si ottiene la formula della distanza di
visibilità per l’arresto riportata dal D.M. 05.11.2001:
V
Da =
0
V0
1
⋅ t pr −
⋅
3 .6
3.6 2 ∫0
V
i
Ra(V ) ⎤
⎡
+ f l (V ) +
g ⋅ ⎢ μ (V ) ±
100
P ⎥⎦
⎣
dV
Il D.M. 05.11.2001 prevede che la velocità V0 sia assunta pari alla velocità di progetto Vp desunta
puntualmente dal diagramma della velocità.
Il D.M. 05.11.2001 presenta una tabella ed un abaco che riportano i valori che possono essere
utilizzati per il coefficiente di aderenza longitudinale fl per le autostrade e per tutte le altre categorie
di strade. Tali valori sono compatibili anche con superficie stradale leggermente bagnata (spessore
del velo idrico 0,5 mm).
Per le autostrade sono stati adottati valori maggiori in considerazione del fatto che su tale
categoria di strade, caratterizzati da standard geometrici elevati nonché da piani viabili di qualità,
l’utente tende ad impegnare l’aderenza disponibile in misura maggiore. (estratto dal D.M.
05.11.2001).
Si sottolinea inoltre che il D.M. 05.11.2001 definisce il coefficiente fl , richiamando i concetti legati
all’ellisse di aderenza, come:
quota limite del coefficiente di aderenza impegnabile longitudinalmente per la frenatura.
Figura 5.1.2.a del D.M. 05.11.2001
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Velocità [km/h]
25
40
60
80
100
120
140
fl Autostrade
-
-
-
0.44
0.40
0.36
0.34
fl Altre strade
0,45
0.43
0.35
0.30
0.25
0.21
Tabella 1 Il coefficiente di aderenza impegnabile longitudinalmente (D.M. 05.11.2001)
Figura 5.1.2.b del D.M. 05.11.2001
-
Figura 5.1.2.c del D.M. 05.11.2001
Distanza di visibilità per il sorpasso
La distanza di visibilità per effettuare in sicurezza una manovra di sorpasso può essere stimata sulla
base di un modello schematico di questa manovra. In particolare, questo modello può essere di due
tipi:
Sorpasso in velocità: il veicolo sorpassante sopraggiunge a velocità costante e, raggiunto il veicolo
più lento, lo sorpassa senza modificare la propria velocità poiché la strada nel senso opposto è
libera.
Sorpasso in accelerazione: il veicolo più veloce raggiunge il veicolo più lento ed è costretto ad
accodarsi ad esso rallentando; quando la strada in senso opposto è libera esso inizia la manovra di
sorpasso accelerando a partire dalla velocità del veicolo più lento.
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Entrambi i modelli calcolano la distanza di visibilità per effettuare in sicurezza il sorpasso come
somma della distanza percorsa dal veicolo sorpassante per effettuare la manovra di sorpasso e
rientrare nella corsia, più la distanza percorsa nel medesimo tempo da un veicolo sopraggiungente
in senso opposto, più una eventuale ulteriore distanza di sicurezza.
Il modello utilizzato dal D.M. 05.11.2001 prevede un sorpasso in velocità ed ipotizza che il veicolo
sorpassante e quello proveniente in senso opposto viaggino alla stessa velocità v:
D s = d 1 + d 2 + d 3 + d 4 = v ⋅ t1 + v ⋅
l a + lb
+ v ⋅ t 3 + v ⋅ (t1 + t 2 + t 3 )
Δv
Dove:
v
velocità del veicolo sorpassante [m/s]
t1
tempo necessario per effettuare il cambio corsia: 4 secondi
t2
t2 =
t3
tempo necessario per effettuare la manovra di rientro: 4 secondi
la
lunghezza del veicolo sorpassante
lb
lunghezza del veicolo sorpassato
Δv
differenza di velocità tra il veicolo sorpassante ed il veicolo sorpassato
l a + lb
tempo necessario per sopravanzare il veicolo sorpassato: 2 secondi
Δv
Il tempo t2 è assunto pari a 2 secondi in considerazione del fatto che se lb è grande (veicolo pesante)
è ragionevole presumere che anche Δv sia grande. Per esempio:
due autovetture la = lb = 5 m ; Δv = 5 m/s (18 km/h) si ottiene t2 = 2 secondi
autovettura la = 5 m ; mezzo pesante lb = 15 m ; Δv = 10 m/s (36 km/h) si ottiene t2 = 2 secondi
Pertanto la distanza di visibilità per il sorpasso si può assumere pari a:
Ds = v ⋅ 4 + v ⋅ 2 + v ⋅ 4 + v ⋅ (4 + 2 + 4 ) = v ⋅ 20 ≅ V ⋅ 5.5
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Dove:
v
velocità del veicolo sorpassante [m/s]
V
velocità del veicolo sorpassante [km/h]
Il D.M. 05.11.2001 prevede che la velocità V sia assunta pari alla velocità di progetto Vp desunta
puntualmente dal diagramma della velocità.
Distanza di visibilità per la manovra di cambiamento di corsia
La distanza di visibilità per la manovra di cambiamento di corsia serve per garantire all’utente la
necessaria visuale libera per il passaggio da una corsia a quella adiacente in corrispondenza di punti
singolari del tracciato quali incroci, deviazioni, piste di uscita, ecc… Tale distanza di visibilità deve
essere garantita in presenza di più corsie per senso di marcia e permette all’utente che viaggia in
corsia di sorpasso di vedere con un adeguato preavviso la situazione particolare (ad esempio l’uscita
di uno svincolo a livelli sfalsati) in modo da poter rientrare nella corsia di marcia prima di compiere
la manovra appropriata (ad esempio affrontare l’uscita). Si calcola come somma di un tempo
psicotecnico, necessario a percepire e riconoscere la situazione che può essere anche complessa (ad
esempio la lettura di segnaletica di indicazione), pari a 5 secondi, e di un tempo necessario a
compiere l’effettiva manovra di cambiamento corsia, pari a 4,5 secondi. Pertanto, la distanza di
visibilità per la manovra di cambiamento di corsia richiesta dal D.M. 05.11.2001 è pari a:
Dc = 9,5 × v = 2,6 × V
Dove:
v
velocità del veicolo sorpassante [m/s]
V
velocità del veicolo sorpassante [km/h]
Il D.M. 05.11.2001 prevede che la velocità V sia assunta pari alla velocità di progetto Vp desunta
puntualmente dal diagramma della velocità.
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L’EQUILIBRIO DI UN VEICOLO IN CURVA
Velocità limite di sbandamento
Un veicolo di peso P che percorre una traiettoria circolare, di raggio R, a velocità costante v è
soggetto ad una forza centrifuga pari a Fc =
P v2
⋅ .
g R
In questo caso interviene la reazione di aderenza trasversale. Infatti, se non essa non si sviluppasse
tra pneumatico e pavimentazione il veicolo sarebbe spinto dalla forza centrifuga verso l’esterno
della curva. Pertanto, affinché ciò non avvenga, è necessario che la forza centrifuga Fc non sia
superiore alla massima reazione di aderenza che dipende dal coefficiente di aderenza trasversale ft
(ellisse di aderenza), poiché la forza è trasversale rispetto alla direzione del moto della ruota.
ft × P ≥ Fc
Pertanto, la velocità limite di sbandamento è pari a:
vlim sb = g ⋅ R ⋅ f t
Velocità limite di ribaltamento
La forza centrifuga è applicata al baricentro del veicolo mentre la reazione di aderenza è applicata
nel punto di contatto pneumatico – pavimentazione. Pertanto, il veicolo è soggetto ad un momento
Mr che tende a ribaltare il veicolo a cui si oppone la forza peso P. Al limite del ribaltamento vale:
M r = Fc ⋅ h = P ⋅
D
2
Dove:
h
altezza del baricentro del veicolo dal piano viabile
D
Distanza trasversale tra i due pneumatici
Pertanto:
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vlim ri =
D
⋅g⋅R
2h
Confrontando le due velocità limite si nota che esse sono uguali per f t =
D
; tuttavia le autovetture
2h
moderne presentano un baricentro molto basso e per esse si può assumere D ≈ 2h da cui ne segue
che vlim-ri
= vlim-sb per ft = 1. Poiché tale valore del coefficiente di attrito trasversale non è
raggiungibile, ne consegue che vale sempre vlim-ri > vlim-sb e pertanto un autovettura normalmente
sbanda prima di ribaltarsi.
La sopraelevazione trasversale
Le due velocità limite sono state calcolate presupponendo il piano viabile orizzontale. In realtà, per
aumentare la velocità in curva o, a parità di velocità, per diminuire la quota parte di forza centrifuga
compensata dalla reazione dell’aderenza, è possibile sopraelevare il piano viabile rialzando il ciglio
esterno della pavimentazione. In tal modo la componente della forza peso P parallela al piano si
oppone alla componente della forza centrifuga parallela al piano.
Le forze P e Fc che agiscono su un veicolo che percorre a velocità costante una curva circolare di
raggio R e con una sopraelevazione α possono scomporsi nelle due componenti parallela e
perpendicolare al piano viabile. L’equazione di equilibrio nella direzione parallela al piano può
quindi scriversi come:
Fc ⋅ cos α − P ⋅ senα = f t ⋅ (P ⋅ cos α + Fc ⋅ senα )
Sostituendo Fc =
P v2
⋅
e semplificando il peso P si ottiene:
g R
⎛
⎞
v2
v2
⋅ cos α − senα = f t ⋅ ⎜⎜ cos α +
⋅ senα ⎟⎟
gR
gR
⎝
⎠
Ovvero, dividendo tutto per cosα:
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28
⎞
⎛
v2
v2
− tgα = f t ⋅ ⎜⎜1 +
⋅ tgα ⎟⎟
gR
gR
⎠
⎝
v2
⋅ tgα poiché molto piccolo rispetto all’unità (l’angolo α assume valori
Trascurando il termine
gR
modesti nella progettazione stradale):
v2
= g ⋅ ( f t + tgα )
R
Esprimendo le velocità in km/h (v × 3,6 = V), assumendo g = 9,81 m/s2 e ponendo tgα ≈ q poiché α
è molto piccolo, si ottiene:
V2
= 127 ⋅ ( f t + q)
R
Questa equazione rappresenta la relazione che lega V, R, q ed ft al limite dello sbandamento ed è
utilizzata dal D.M. 05.11.2001.
L’equazione proposta, ottenuta sulla base di un modello teorico semplificato, consente la
determinazione della velocità di percorrenza V di una curva di raggio R e pendenza trasversale q, in
funzione del coefficiente di aderenza trasversale ft adottato. Come è già stato esposto ai paragrafi
precedenti, il valore ft può variare sensibilmente in funzione delle modalità con le quali è stato
valutato che, peraltro, non corrispondono mai alle reali condizioni di esercizio di un veicolo.
Pertanto, la velocità che si ottiene da tale equazione è una velocità teorica che dipende sia dalle
modalità di valutazione di ft che dal coefficiente di sicurezza adottato per questa valutazione.
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LA VELOCITA’ OPERATIVA
Le velocità istantanee dei singoli veicoli su una sezione stradale non sono tutte uguali ma seguono
una distribuzione normale. L’andamento di tale distribuzione è ovviamente influenzato da
molteplici fattori e può variare sensibilmente in funzione delle condizioni ambientali, del traffico
presente e della sua composizione nel periodo di osservazione. Tutti questi fattori influenzano
infatti il guidatore nella scelta della velocità che avviene sulla base di una valutazione soggettiva del
livello di rischio in funzione della situazione “percepita”. Tuttavia, esiste una velocità che, in
assenza di condizionamenti esterni, cioè quando il guidatore non è condizionato dalla presenza di
altri veicoli (sia nel proprio senso di marcia che in quello opposto) né dalle condizioni ambientali
(pioggia, neve, nebbia, ecc…) egli ritiene adeguata in base alle sole condizioni geometriche del
tracciato e, più in generale, dell’ambiente stradale (distanza di visibilità disponibile, ostacoli laterali,
orografia, ecc..). Ovviamente, tale velocità varia da guidatore a guidatore, in base alla capacità
sensoriale (vista, udito), alla propensione al rischio, all’aggressività, alla fretta, alla stanchezza, e a
tutte le altre capacità o condizioni emotive che caratterizzano un soggetto. Anche la distribuzione su
una sezione stradale di queste velocità “desiderate” segue un andamento normale. E’ quindi
possibile identificare un indicatore proprio della loro distribuzione che le “rappresenti”.
L’indicatore utilizzato per rappresentare tale distribuzione in campo stradale è l’85° percentile,
ovvero il valore della velocità al di sotto del quale rimangono l’85% delle velocità osservate. In
pratica, scegliendo tale indicatore solo il 15% dei veicoli è più veloce della velocità presa a
riferimento della distribuzione. L’85° percentile delle velocità osservate sulla sezione è detta
velocità operativa e rappresenta il indicatore internazionalmente riconosciuto per rappresentare la
“reale” velocità tenuta dai veicoli su una sezione stradale in condizioni di flusso libero.
Così come le velocità dei singoli utenti dipendono dalle caratteristiche geometriche della strada,
anche la velocità operativa , che “rappresenta” la loro distribuzione, dipende da esse. In particolare,
è possibile individuare delle relazioni tra la velocità operativa e le caratteristiche geometriche
dell’elemento (curva o rettifilo) su cui è stata rilevata. Tali relazioni sono di natura empirica poiché
si ricavano mediante un’analisi statistica (analisi di regressione) condotta sulle velocità operative e
le caratteristiche geometriche di un campione di siti opportunamente scelto e quindi hanno validità
solo in condizioni analoghe a quelle in cui è stato raccolto il campione di dati (categoria della
strada, strada urbana o extraurbana, numero di corsie per senso di marcia, rettifilo o curva, ecc…).
Tuttavia, il loro utilizzo è estremamente utile poiché, se utilizzate correttamente, permettono di
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30
stimare il valore della velocità operativa, ovvero della reale velocità tenuta dagli utenti, in base alle
sole variabili geometriche della strada.
Nel caso di una curva circolare (il caso più studiato) la variabile che ha la maggior influenza sulla
velocità operativa è il raggio, sebbene anche altre variabili presentano una correlazione significativa
con la velocità operativa (tra cui: lunghezza della curva, larghezza della piattaforma, velocità di
avvicinamento, distanza di visibilità disponibile, ecc…).
Figura
La velocità operativa in curva in funzione del raggio per le strade extraurbane secondarie
(60 siti - R2 = 0.80) (Perco, 2006); La velocità ambientale in funzione del CCR per le
strade extraurbane secondarie (11 siti - R2 = 0.85) (Crisman, Marchionna, Perco, Robba,
Roberti, 2005).
Nel caso dei lunghi rettifili, ovvero quelli per i quali la lunghezza è tale da consentire al guidatore di
raggiungere e mantenere una velocità costante, la velocità operativa, detta in questo caso velocità
ambientale, dipende principalmente dal CCR (Curvature Change Rate) del tronco di strada
omogeneo, ovvero con simili caratteristiche geometriche lungo tutto il suo sviluppo, a cui il rettifilo
appartiene. Il CCR rappresenta la “tortuosità” del tracciato ed è ottenuto dal rapporto tra la somma
degli angoli di deviazione delle curve del tratto e la lunghezza del tratto stesso (∑gon/m). Anche in
questo caso vi sono altre variabili che influiscono sulla velocità operativa (tra cui: larghezza della
piattaforma, distanza di visibilità disponibile, ecc…).
Questo approccio di tipo sperimentale, produce delle relazioni tra la velocità operativa e una o più
variabili geometriche della curva, che sono un’interessante alternativa all’equazione di equilibrio
del veicolo in curva ottenuta dal modello teorico semplificato presentata nel precedente paragrafo.
Numerose norme hanno adottato relazioni di questo tipo e le hanno poste a base di modelli più o
meno complessi, per legare la velocità di percorrenza alle caratteristiche geometriche del tracciato.
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31
LA PROGETTAZIONE DELL’ASSE DELLA STRADA
La progettazione della linea d’asse di una strada si realizza studiando separatamente l’andamento
planimetrico (o tracciato orizzontale) e l’andamento altimetrico (o profilo longitudinale).
L’andamento planimetrico é la proiezione dell’asse della strada sul piano orizzontale.
L’andamento altimetrico è la linea piana in cui si trasforma l’asse stradale disegnato su una
superficie cilindrica a generatrici verticali avente come direttrice il tracciato orizzontale. Insieme
all’andamento altimetrico si rappresenta l’intersezione della superficie cilindrica con il terreno.
Sebbene questi due andamenti siano studiati separatamente essi concorrono a creare un’unica linea
d’asse tridimensionale che si sviluppa nello spazio e devono pertanto essere adeguatamente
coordinati e compatibili. Inoltre, il progetto dell’andamento planimetrico, che è il primo ad essere
sviluppato, deve essere affrontato valutando da subito le conseguenze che esso avrà sul successivo
andamento altimetrico. Infatti, un andamento planimetrico sviluppato senza considerare l’altimetria
del territorio attraversato può non consentire la sovrapposizione di un accettabile andamento
altimetrico.
In generale, per le strade ad unica carreggiata si assume come linea d’asse proprio l’asse della
carreggiata (che nella pratica è rappresentato dalla linea bianca di mezzeria). Nelle strade a due
carreggiate complanari e ad un’unica piattaforma l’asse si colloca a metà del margine interno. Negli
altri casi occorre considerare due assi distinti.
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32
ANDAMENTO PLANIMETRICO DELL’ASSE
Il tracciato planimetrico è costituito da una successione di elementi geometrici che possono essere
di tre tipi: rettifili, curve circolari, raccordi a raggio variabile. Tra due elementi a raggio costante
(curva circolare o rettifilo) è necessario inserire un raccordo a raggio variabile lungo il quale si
ottiene la graduale modifica della piattaforma stradale cioè della pendenza trasversale e della
larghezza.
Le definizione degli elementi costituenti il tracciato planimetrico è connessa soprattutto a esigenze
di sicurezza della circolazione. Tale definizione riguarda sia il singolo elemento geometrico (ad
esempio il raggio di una curva circolare o la lunghezza di un rettifilo), sia la sequenza di due
elementi geometrici che si susseguono lungo il tracciato (ad esempio il raggio della curva che segue
un rettifilo in funzione della lunghezza di quest’ultimo). Infatti, le caratteristiche geometriche degli
elementi del tracciato planimetrico influiscono in modo significativo sulla velocità di percorrenza e
quindi, sulla sicurezza della circolazione. Al contrario, numerose ricerche hanno dimostrato che
l’andamento altimetrico non ha un’influenza significativa sulla velocità fino a che le pendenze non
superano valori del ±5÷6 %. Poiché le caratteristiche geometriche degli elementi planimetrici
influenzano la velocità di percorrenza, è logico porre a base della progettazione di questi elementi
una velocità da assumere quale riferimento per le scelte progettuali. In tal modo è possibile
garantire che tutti gli elementi del tracciato siano dimensionati coerentemente con questa velocità e
che le sue variazioni lungo il tracciato non presentino pericolose incongruenze. Questa velocità di
riferimento prende il nome di Velocità di Progetto nel D.M. 05.11.2001.
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33
La velocità di progetto
Il D.M. 05.11.2001, conformemente a quanto previsto dall’art. 2 D.Lgs. n.285/1992 e s.m.i. (Codice
della Strada), classifica le strade, per quanto riguarda le loro caratteristiche costruttive, tecniche e
funzionali, nelle seguenti categorie:
A - Autostrade (extraurbane ed urbane)
B - Strade extraurbane principali
C - Strade extraurbane secondarie
D - Strade urbane di scorrimento
E - Strade urbane di quartiere
F - Strade locali (extraurbane ed urbane)
Per ogni categoria il D.M. 05.11.2001 indica un Intervallo della Velocità di Progetto Vp che
definisce il campo dei valori della velocità in base ai quali devono essere definite le caratteristiche
dei vari elementi planimetrici (rettifili, curve circolari, curve a raggio variabile) ed altimetrici
(livellette, raccordi verticali) del tracciato della strada.
La Velocità di Progetto Vp può essere definita come la massima velocità con la quale un veicolo
isolato può percorrere un elemento geometrico planimetrico (curva), in assenza di condizionamenti
dovuti al traffico e in buone condizioni metereologiche, quando la velocità è limitata dalle sole
caratteristiche geometriche dell’elemento stesso.
Il limite superiore dell’intervallo, detto Massima Velocità di Progetto Vp
max,
è il limite di
riferimento per la progettazione degli elementi meno vincolanti del tracciato (rettifili, curve di
grande raggio) ed è pari alla velocità massima consentita dal D.Lgs. n.285/1992 e s.m.i. (Codice
della Strada) per quella categoria di strada (limiti generali di velocità) aumentata di 10 km/h.
Il limite inferiore dell’intervallo, detto Minima Velocità di Progetto Vp min, è il limite di riferimento
per la progettazione degli elementi plano-altimetrici più vincolanti. In particolare, la minima
velocità di progetto definisce il Minimo Raggio Planimetrico Rmin che può essere utilizzato per la
categoria di strada prescelta. Il valore di questo raggio influisce direttamente sull’inseribilità del
tracciato nell’ambiente da attraversare poiché più esso è piccolo, più il tracciato può essere
plasmato per seguire la naturale conformazione del territorio ed evitarne i vincoli esistenti. D’altro
canto, più il tracciato è tortuoso, meno si adatta a flussi di traffico elevati ed a spostamenti di lunga
percorrenza, che prevedono alte velocità di marcia. Per tale ragione al diminuire della funzione
della strada diminuisce il limite inferiore dell’intervallo della Velocità di Progetto e quindi
diminuisce anche il raggio minimo.
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34
Il rettifilo
La lunghezza di un rettifilo deve essere limitata poiché lunghezze eccessive hanno conseguenze
negative sulla sicurezza della circolazione. Infatti, lungo un rettifilo il guidatore è soggetto ad un
basso carico di lavoro (workload) e pertanto l’effetto di monotonia che ne consegue porta ad un
aumento progressivo della velocità e ad una diminuzione dell’attenzione. Inoltre, in rettifilo il
guidatore valuta con maggiore difficoltà le distanze e la velocità di un veicolo in avvicinamento.
Infine lungo il rettifilo si pone il problema dell’abbagliamento durante la guida notturna. Per tutte
queste ragioni il D.M. 05.11.2001 limita la lunghezza del rettifilo a:
Lp = 22 × Vp max
Dove:
Vp max
limite superiore dell’intervallo della velocità di progetto della strada [km/h]
Il D.M. 05.11.2001 richiede anche una lunghezza minima per un rettifilo affinché possa essere
percepito come tale dall’utente. La lunghezza minima si desume dalla seguente tabella; la velocità è
la massima raggiunta sul rettifilo considerato desunta dal diagramma di velocità.
Velocità [km/h]
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
Lunghezza minima [m]
30
40
50
65
90
115
150
190
250
300
360
Tabella 1
La lunghezza minima del rettifilo in funzione della massima velocità su di esso
raggiunta (D.M. 05.11.2001).
La curva circolare
Il parametro geometrico che caratterizza le curve circolari è il raggio di curvatura R. Il raggio è
l’elemento geometrico che maggiormente condiziona la velocità e, di conseguenza, la sicurezza
della circolazione. Il legame tra raggio e velocità sarà analizzato ai paragrafi successivi. Il secondo
parametro geometrico importante per la curva circolare è lo sviluppo dell’arco di cerchio. Infatti,
affinché la curva possa essere correttamente percepita è necessario che l’arco presenti uno sviluppo
Lc maggiore dello sviluppo minimo Lc min che il D.M. 05.11.2001 fissa pari alla distanza percorsa in
2,5 secondi alla velocità di progetto della curva:
Lc ≥ Lc min = 2,5 × vp
Dove:
vp
velocità di progetto della curva [m/s]
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I criteri di composizione dell’asse stradale
Il D.M. 05.11.2001 riporta alcuni criteri di composizione dell’asse stradale che regolano la
sequenza con la quale elementi geometrici diversi possono essere accostati. Tali criteri sono
necessari per evitare che la successione di elementi caratterizzati da velocità di percorrenza
sensibilmente diverse richieda riduzioni di velocità non compatibili con la normale condotta di
guida. Infatti, gli elementi caratterizzati da un’elevata velocità di approccio rispetto alla propria
velocità di percorrenza sono caratterizzate da un’elevata incidentalità. Il caso più evidente è quello
della curva di piccolo raggio che segue un lungo rettifilo sui cui possono essere raggiunte velocità
elevate. Proprio per evitare il verificarsi di tale condizione il D.M. 05.11.2001 stabilisce, per la
sequenza rettifilo-curva, una relazione tra la lunghezza del rettifilo LR ed il raggio R della curva:
R > LR
per
LR < 300 m
R ≥ 400 m
per
LR ≥ 300 m
Per limitare la variazione di velocità tra due elementi successivi, nonché per promuovere
un’adeguata regolarità del tracciato, il D.M. 05.11.2001 stabilisce una relazione tra i raggi R1 ed R2
di due curve circolari che, con l’inserimento di un raccordo a raggio variabile, si susseguono lungo
il tracciato di strade di categoria A, B, C, D, F extraurbane. Tale relazione si deduce dalla seguente
figura. Il rapporto tra i raggi R1 e R2 deve collocarsi nella zona “buona” dell’abaco per le strade di
categoria A e B, mentre può collocarsi anche nella zona “accettabile” per le strade di categoria C, D
ed F extraurbane.
Figura
figura 5.2.2.a (D.M. 05.11.2001)
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Il legame VP – R – q
Il D.M. 05.11.2001 utilizza l’equazione di equilibrio del veicolo in curva per stabilire il legame tra
le grandezze geometriche che intervengono nel dimensionamento della curva planimetrica, ovvero:
la Velocità di progetto Vp, il raggio R e la pendenza trasversale q:
V2
= 127 ⋅ ( f t + q)
R
eq. (1)
In particolare, tale equazione trova applicazione per il calcolo del raggio minimo Rmin.
Il D.M. 05.11.2001 fornisce due abachi che legano Vp, R e q:
Figura 5.2.4.a del D.M. 05.11.2001
Figura 5.2.4.b del D.M. 05.11.2001
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L’utilizzo di questi abachi, realizzati in scala bilogaritmica, avviene procedendo nel modo di
seguito descritto:
1. In funzione della categoria di strada, e quindi della minima velocità di progetto Vp min e della
massima velocità di progetto Vp max, si individua la curva da utilizzare.
2. Nel tratto compreso tra Rmin ed R*, la pendenza trasversale rimane costante, verso l’interno della
curva, pari alla massima pendenza trasversale qmax ammessa per la categoria di strada prescelta;
Si utilizza l’equazione (1) per calcolare la relativa velocità di progetto Vp che in questo
intervallo passa da Vp min (per Rmin) a Vp max (per R*).
3. Per raggi superiori a R* la velocità di progetto non può più aumentare, essendo stato raggiunto il
limite superiore dell’intervallo della velocità di progetto Vp max; pertanto tra R* e R2,5 al crescere
del raggio cala la pendenza trasversale fino ad arrivare allo 0,025 verso l’interno della curva in
corrispondenza di R2,5.
4. Per raggi superiori a R2,5, ormai fuori dall’abaco, e fino al valore di R’ (tabellati nel D.M.
05.11.2001), la pendenza rimane costante, pari allo 0,025 sempre verso l’interno della curva.
5. Per raggi superiori a R’ può essere mantenuta la sagoma della piattaforma presente in rettifilo,
cioè può essere mantenuta per la corsia esterna una pendenza dello 0,025 verso l’esterno della
curva.
L’utilizzo dell’equazione (1) e le modalità con le quali questi abachi sono stati ottenuti sono esposte
nei successivi paragrafi.
La pendenza trasversale q
La pendenza trasversale in rettifilo nasce dall’esigenza di allontanamento dell’acqua meteorica dalla
piattaforma stradale. A seconda della categoria di strada il D.M. 05.11.2001 adotta per la
piattaforma stradale le sistemazioni riportate in figura 5.2.3.a.
STRADE TIPO
PIATTAFORMA
PENDENZE TRASVERSALI
A, B, D
a due o piu' corsie per
carreggiata
E
a quattro corsie
altre strade
Figura 5.2.3.A del D.M. 05.11.2001
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Indipendentemente dal tipo di strada, la pendenza minima delle falde della piattaforma, qmin, è dello
0,025 (2,5%). Valori inferiori sono utilizzati, con gli accorgimenti previsti nel D.M. 05.11.2001,
solo nei tratti di transizione tra elementi di tracciato caratterizzati da diverse pendenze trasversali
(es. rettifilo-curva).
In curva la piattaforma è inclinata verso l’interno e la pendenza è la stessa su tutto l’arco di cerchio.
Solo nel caso il raggio sia maggiore al valore R’, riportato in tabella, è possibile mantenere la
sagoma in contropendenza, come in rettifilo.
Categoria
strada
A
B
C
F extraurbane
D
E
F urbane
R’ [m]
10250
7500
5250
2000
1150
TABELLA 1 (D.M. 05.11.2001)
Il D.M. 05.11.2001 fissa il valore massimo della pendenza trasversale qmax in funzione della
categoria della strada:
Strade categoria A, B, C, F extraurbane e relative strade di servizio
qmax = 0,070
Strade categoria D
qmax = 0,050
Strade categoria E, F urbane
qmax = 0,035
Nel caso le strade siano soggette a frequente innevamento il D.M. 05.11.2001 richiede di limitare la
pendenza trasversale massima qmax allo 0,06.
La pendenza trasversale massima qmax si utilizza nell’intervallo tra Rmin e R*. Per raggi superiori a
R* la pendenza trasversale q diminuisce al crescere del raggio secondo una legge che sarà esposta
nei prossimi paragrafi.
La scelta di una pendenza trasversale massima qmax minore per le strade urbane rispetto a quelle
extraurbane è dovuta al fatto che al margine delle strade urbane possono essere presenti edifici,
marciapiedi, accessi carrai ecc…Di conseguenza, una eccessiva differenza di quota tra i due lati
della strada potrebbe comportare difficoltà di inserimento della strada nell’ambiente attraversato.
La pendenza massima qmax pari allo 0,07 deriva dalla condizione di equilibrio di un veicolo fermo in
curva in condizioni di bassa aderenza trasversale (es. presenza di ghiaccio). In questo caso infatti la
forza centrifuga Fc è nulla e quindi, per evitare che il veicolo scivoli verso l’interno, tutta la
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componente della forza peso P parallela al piano viabile deve essere compensata dalla reazione di
aderenza:
P ⋅ senα = f t ⋅ P ⋅ cos α
Ovvero:
f t = tgα
In tale situazione si è ritenuto adeguato un coefficiente di aderenza trasversale ft = 0,07, che
corrisponde all’aderenza disponibile nelle peggiori condizioni (es. ghiaccio).
Il coefficiente di aderenza trasversale ft
Il D.M. 05.11.2001 presenta una tabella con il coefficiente di aderenza trasversale da utilizzare
nell’equazione (1) in funzione della velocità e della categoria della strada. Lo stesso D.M. definisce
il coefficiente ft, richiamando i concetti legati all’ellisse di aderenza, come: quota parte del
coefficiente di aderenza impegnato trasversalmente
In particolare il testo riporta (estratto dal D.M. 05.11.2001):
Per quanto riguarda la quota limite del coefficiente di aderenza impegnabile trasversalmente ft
max, valgono i valori di seguito riportati. Tali valori tengono conto, per ragioni di sicurezza, che
una quota parte dell’aderenza possa essere impegnata anche longitudinalmente in curva.
Velocità km/h
aderenza trasv. max imp. ft max per
strade tipo A, B, C, F extra urbane, e
relative strade di servizio
25
40
60
80
100
120
140
-
0,21
0,17
0,13
0,11
0,10
0,09
aderenza trasv. max imp. ft max per
strade tipo D, E, F urbane, e relative 0,22
0,21
0,20
0,16
strade di servizio
TABELLA 2 coefficiente di aderenza impegnabile trasversalmente (D.M. 05.11.2001)
-
Per le velocità intermedie fra quelle indicate si provvede all’interpolazione lineare.
L’equazione (1), e quindi i coefficienti ft riportati in questa tabella, sono utilizzati per calcolare il
valore del raggio in funzione della velocità di progetto Vp nell’intervallo tra Rmin e R*. Per raggi
superiori a R* l’impegno di aderenza trasversale diminuisce al crescere del raggio e non valgono
più i coefficienti ft tabellati.
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Il raggio minimo Rmin
Il D.M. 05.11.2001 fissa, per ogni categoria di strada, un intervallo della velocità di progetto Vp.
Pertanto, per ogni categoria di strada è possibile calcolare il Raggio Minimo Rmin con l’equazione
(1) utilizzando la minima velocità di progetto Vp
min,
la massima pendenza trasversale qmax della
categoria di strada prescelta ed il coefficiente trasversale ft corrispondente a Vp
min
desunto dalla
tabella 2 riportata nello stesso D.M..
V p min
2
= 127 ⋅ ( f t max lim imp + q max )
Rmin
Per esempio, per una strada di categoria C2:
Vp min = 60 km/h
ft max lim imp = 0,17
qmax = 0,07
da cui ne segue che Rmin
60 2
=
= 118m
127 ⋅ (0.17 + 0.07 )
Il raggio minimo R* per la massima velocità di progetto Vmax
Il raggio R* è il minimo raggio planimetrico che può essere percorso alla massima velocità di
progetto Vmax. Per ogni categoria di strada è possibile calcolare il R* con l’equazione (1) utilizzando
la massima velocità di progetto Vp max, la massima pendenza trasversale qmax della categoria di strada
prescelta ed il coefficiente trasversale ft corrispondente a Vp
max
desunto dalla tabella 2 riportata
nello stesso D.M.
V p max
R*
2
= 127 ⋅ ( f t max lim imp + q max )
Per esempio, per una strada di categoria C2:
Vp min = 100 km/h
ft max lim imp = 0,11
qmax = 0,07
da cui ne segue che Rmin =
100 2
= 437 m
127 ⋅ (0.11 + 0.07 )
Per un valore R del raggio compreso tra Rmin e R* (Rmin ≤ R < R*), la pendenza trasversale rimane
constante e pari a qmax, mentre variano la velocità di progetto Vp, tra Vp min e Vp max, ed il coefficiente
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di aderenza trasversale limite impegnabile ft in funzione di Vp secondo la tabella 2. In questo
intervallo del raggio il legame tra queste variabili è rappresentato dall’equazione (1).
Il raggio R2,5
Il D.M. 05.11.2001 definisce il raggio R2,5 come il raggio per il quale la pendenza trasversale q è
pari allo 0,025 inclinata verso l’interno della curva. Il raggio R2,5 varia in funzione della Vp max della
categoria di strada e può essere calcolato come:
R2,5 = R* × 5
Tale rapporto deriva dalle considerazioni che saranno affrontate nei prossimi paragrafi.
Per valori del raggio R compresi tra R2,5 ed R’ (R2,5 ≤ R < R’) la pendenza rimane costante, pari allo
0,025 verso l’interno della curva.
Variazione della pendenza q tra R* e R2,5
Per raggi maggiori di R* la velocità di progetto Vp rimane costante, pari alla Vp
max,
mentre cala la
pendenza trasversale q, che passa dalla qmax alla qmin (0,025). Tale riduzione della pendenza
trasversale avviene imponendo un aumento relativo della accelerazione centrifuga compensata dalla
sopraelevazione rispetto a quella compensata dall’aderenza trasversale.
L’accelerazione centrifuga
V2
R
dell’equazione (1) si può scomporre nelle due componenti
compensate rispettivamente dalla pendenza trasversale q e dall’aderenza trasversale ft, dette z e w:
V2
= 127 ⋅ ( f t + q)
R
eq. (1)
Da cui
1=
R
R
R
⋅ 127 ⋅ ( f t + q ) = 2 ⋅ 127 ⋅ f t + 2 ⋅ 127 ⋅ q = w + z = 1
2
V
V
V
Dove:
R
⋅ ft
V2
componente dell’accelerazione centrifuga compensate dall’aderenza
R
⋅q
V2
componente dell’accelerazione centrifuga compensate dalla sopraelevazione
w = 127 ⋅
z = 127 ⋅
Il D.M. 05.11.2001 ricava il valore del raggio R2,5 imponendo che il rapporto tra la frazione di
accelerazione centrifuga compensata dalla pendenza trasversale in corrispondenza di R2,5 e la
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frazione di accelerazione centrifuga compensata dalla pendenza trasversale in corrispondenza di R*
sia uguale a 1,785 cioè:
z 2 ,5
z 7,0
=
127 ⋅
127 ⋅
R2,5
V2
R*
V2
⋅ 0,025
= 1,785
⋅ 0,070
Da cui si ottiene il rapporto già visto:
R2,5 = 5,0 ⋅ R *
Il D.M. 05.11.2001 impone per z una variazione crescente del tipo:
z = k ⋅ Rn
con 0 < n < 1
Imporre una funzione crescente per z all’aumentare del raggio significa imporre, a velocità V
costante, un aumento relativo di z rispetto a w, e quindi dall’accelerazione compensata dalla
pendenza trasversale rispetto a quella compensata dall’aderenza.
Sostituendo questa funzione nell’equazione di z si ottiene:
127 ⋅
1
⋅ q = k ⋅ R n −1
2
V
eq. (2)
Si nota immediatamente che deve valere:
n<1
perché (n-1) deve essere negativo poiché all’aumentare di R, q decresce per V costante
n>0
poiché z = k ⋅ R n deve essere una quantità crescente per l’ipotesi che z (R2,5) > z (R*),
cioè che la quota parte di accelerazione centrifuga compensata dalla pendenza deve
crescere rispetto a quella compensata dall’aderenza (vale z + w = 1 costante)
L’equazione (2) può essere scritta come:
⎛ k ⋅V 2
log q = log⎜⎜
⎝ 127
⎞
⎟⎟ + (n − 1) ⋅ log R
⎠
Ovvero:
log q = a + b ⋅ log R
Che è l’equazione di una retta nel piano bilogaritmico R-q
Il coefficiente angolare b = (n-1) si ottiene calcolando la retta, per ogni Vp
max,
nei due punti
(R*;qmax) e (R2,5;qmin):
n −1 =
log q min − log q max
log R2,5 − log R *
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Sostituendo i valori nell’equazione si ottiene:
n - 1 = - 0,64 → n = 0,36 per tutti i valori di Vp max cioè le rette sono tutte parallele
Il termine k si calcola dall’equazione (2)
127 ⋅
1
V p max
2
⋅ q max = k ⋅ R *n −1
Da cui si ottiene, per le categorie di strade previste dal D.M. 05.11.2001:
Vp max = 60 km/h - qmax = 0,035 – R* = 121 m
k = 0,0266
Vp max = 80 km/h - qmax = 0,050 – R* = 240 m
k = 0,0331
Vp max = 100 km/h - qmax = 0,070 – R* = 437 m
k = 0,0435
Vp max = 120 km/h - qmax = 0,070 – R* = 667 m
k = 0,0396
Vp max = 140 km/h - qmax = 0,070 – R* = 964 m
k = 0,0368
⎛ k ⋅V 2
Calcolando anche il termine costante b = log⎜⎜
⎝ 127
R-q le rette tra R* e R2,5 per ogni Vp
max
⎞
⎟⎟ è possibile tracciare nel piano bilogaritmico
⎠
. Tali rette sono quelle riportate negli abachi di Figura
5.2.4.a e 5.2.4.b del D.M. 05.11.2001.
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LE CURVE A RAGGIO VARIABILE
Nel passaggio tra due elementi caratterizzati da una curvatura costante ma diversa tra loro, ad
esempio un rettifilo ed una curva, vi è una variazione puntuale della curvatura 1/R e quindi anche
dell’accelerazione trasversale V2/R a cui sarebbe sottoposto un veicolo che dovesse muoversi
seguendo rigidamente questi due elementi. Tale problema è particolarmente rilevante per i veicoli
ferroviari poiché essi sono vincolati alla rotaie attraverso il bordino della ruota e la loro inscrizione
in curva avviene con una serie di urti contro la rotaia esterna. Pertanto, fin dall’origine della
trazione ferroviaria, si sentì la necessità di inserire tra due elementi a curvatura costante un
elemento caratterizzato da una curvatura progressivamente variabile da quella dell’elemento
precedente a quella dell’elemento successivo. Questo elemento è detto curva di raccordo o curva a
raggio variabile. In campo stradale questo problema riveste una minore importanza poiché il veicolo
non è vincolato alla strada ed il guidatore, sfruttando la larghezza della corsia, percorre una
traiettoria a raggio variabile durante la rotazione dello sterzo. Tuttavia anche in campo stradale,
derivando l’esperienza dalla progettazione ferroviaria, sono utilizzate le curve a raggio variabile per
raccordare elementi caratterizzati da diversa curvatura.
La clotoide multiparametro
La curva normalmente utilizzata è la clotoide, che fa parte della famiglia delle spirali, la cui
equazione intrinseca è:
r ⋅ s n = A n +1
Dove:
r
raggio di curvatura
s
ascissa curvilinea
A
parametro o fattore di scala
n
fattore di forma
Le curve appartenenti a questa famiglia aventi 0 < n < ∞ sono convenzionalmente definite clotoidi
multiparametro. Il fattore di forma n determina il modo con cui varia la curvatura 1/R:
n = -1
r=s
Spirale
n=0
r=A
Cerchio
n=1
r × s = A2
Clotoide
n=∞
r=∞
Retta
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La lunghezza ridotta l e la curvatura ridotta ρ, sono definite come:
l=s/L
ρ=R/r
dove R il raggio di curvatura in corrispondenza dell’ascissa curvilinea finale L.
r ⋅ s n = A n +1
nel punto generico r; s
R ⋅ Ln = A n +1 nel punto finale R; L
Dividendo le due equazioni:
n
r ⎛s⎞
⋅⎜ ⎟ =1
R ⎝L⎠
Da cui, sostituendo le variabili:
1
ρ
⋅ln =1
Ovvero:
ρ = ln
In figura 1 è rappresentato l’andamento delle clotoidi multiparametro nel piano (l, ρ)
FIGURA 1 Andamento delle clotoidi multiparametro nel piano (l, ρ)
Si osserva che il diagramma di figura 1 rappresenta anche l’andamento dell’accelerazione
centrifuga V2/r lungo la curva al variare dell’ascissa curvilinea s da 0 ad L, se si suppone la velocità
V sulla curva costante.
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Per n ≠ 1 (retta) le curve sono tangenti nell’origine all’asse l per n > 1 ed all’asse ρ per 0 < n < 1.
Infatti, la derivata dell’equazione, che corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente,
calcolata il l = 0 vale:
0 < n < 1; l = 0
1
dρ
= n ⋅ l n −1 = n ⋅ 1− n = ∞
dl
l
n > 1; l = 0
dρ
= n ⋅ l n −1 = n ⋅ 0 n −1 = 0
dl
Nel piano cartesiano x, y le curve sono tangenti nell’origine all’asse x con curvatura 1/r = 0. Le
curve, partendo dal cerchio per n = 0, si “distendono” allungandosi lungo l’asse delle x al crescere
di n fino a divenire una retta e coincidere con esso per n = ∞.
FIGURA 1 Andamento delle clotoidi multiparametro nel piano (x, y)
L’applicazione delle clotoidi multiparametro nel campo della progettazione del tracciato stradale è
normalmente subordinata all’ipotesi che questa curva è percorsa a velocità costante. Tale ipotesi
normalmente non corrisponde alla realtà poiché, essendo la clotoide posta tra due elementi a
curvatura costante, su di essa avviene parte della variazione di velocità necessaria per passare dal
primo al secondo elemento (decelerazione in ingresso di curva e accelerazione in uscita di curva).
Tuttavia, tale ipotesi (v = cost), consente di definire semplicemente gli andamenti delle grandezze
caratterizzanti il moto del veicolo in curva:
at =
dv
dt
accelerazione trasversale at =
v2
r
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c=
da t
dt
contraccolpo, ovvero variazione di accelerazione trasversale per unità di tempo [m/s3]
da cui, avendo fatto l’ipotesi che v è costante e ricordando il teorema della derivata di “funzione di
funzione” (r=r(s) e s=s(t) allora dr/dt = dr/ds × ds/dt), si ottiene:
⎛ v2
d ⎜⎜
r
da
c= t = ⎝
dt
dt
⎞
⎛1⎞
⎟⎟
d⎜ ⎟
⎠ = v2 ⎝ r ⎠ = v2
dt
⎛1⎞
d⎜ ⎟
⎝ r ⎠ ⋅ ds = v 3
ds dt
⎛1⎞
d⎜ ⎟
⎝r⎠
ds
Pertanto, a meno del fattore v3, il contraccolpo c coincide con la derivata della curvatura 1/r rispetto
alla lunghezza s.
Ricordando che vale:
r ⋅ s n = A n +1
Sostituendo s si ottengono le seguenti equazioni:
Accelerazione trasversale
Contraccolpo
at =
v2 v2 ⋅ sn
= n +1
r
A
⎛1⎞
d⎜ ⎟
v 3 ⋅ n ⋅ s n −1
r
c = v3 ⎝ ⎠ =
ds
A n +1
Lo studio dell’andamento del contraccolpo c al variare dell’ascissa curvilinea s in funzione del
fattore di forma n può essere fatto ponendo A = R = L = 1 senza perdere di generalità poiché A è
solo il parametro di scala della clotoide. Il diagramma di figura 2 riporta l’andamento del rapporto
c/v3 , ovvero del contraccolpo c a meno della costante v3, al variare dell’ascissa curvilinea s tra 0 ed
L:
FIGURA 2 Il rapporto c/v3 in funzione dell’ascissa curvilinea s e del fattore di forma n
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L’esame della funzione diagrammata
c
= n ⋅ s n −1 evidenzia che:
v3
¾
la clotoide (n = 1) presenta un valore del contraccolpo costante lungo tutto il suo sviluppo
¾
le iperclotoidi (n > 1) presentano un andamento crescente che parte da c = 0 per s = 0 e cresce
fino ad arrivare ad un valore del contraccolpo c = n (a meno della costante v3) per s = 1;
valutando la derivata prima si osserva che per (1 < n < 2) la tangente in s = 0 è verticale
mentre per (n > 2) la tangente in s = 0 è orizzontale
¾
1 < n < 2; s = 0
d (n ⋅ s n −1 )
1
= n ⋅ (n − 1) ⋅ s n − 2 = n ⋅ (n − 1) 2− n = ∞
ds
s
n > 2; s = 0
d (n ⋅ s n −1 )
1
= n ⋅ (n − 1) ⋅ s n − 2 = n ⋅ (n − 1) 2− n = 0
ds
s
le ipoclotoidi (0 < n < 1) presentano un andamento decrescente, con asintoto iniziale s = 0 (c =
∞) per poi decrescere fino ad arrivare ad un valore del contraccolpo c = n (a meno della
costante v3) per s = 1.
1
c
= n ⋅ s n −1 = n ⋅ 1− n
3
v
s
poiché (0 < n < 1) pertanto per s = 0 → c = ∞
L’andamento del contraccolpo c in funzione del fattore di forma n permette di identificare quali
clotoidi multiparametro possono essere utilizzate nella progettazione stradale. Infatti, è necessario
limitare il valore del contraccolpo c per evitare problemi di comfort per gli occupanti dei veicoli e,
al limite, anche per evitare problemi di instabilità del veicolo dovuti ad un’eccessiva rapidità
nell’applicazione della forza centrifuga (impulso) che potrebbe compromettere l’efficienza delle
sospensioni.
Le iperclotoidi (n > 1) presentano un valore del contraccolpo c finito, il cui valore massimo è
raggiunto nel punto finale. Pertanto, a condizione di scegliere un valore di n che rispetti il limite
imposto al contraccolpo c, è possibile utilizzarle nella progettazione stradale e la verifica sulla
limitazione di c va condotta nel punto finale.
Al contrario, le ipoclotoidi (n < 1) presentano nel punto di origine l’asintoto verticale e quindi un
contraccolpo c infinito; poiché, come già detto, è necessario limitare il valore di c queste curve non
possono essere usate nella progettazione stradale, con una significativa eccezione: il raccordo di
continuità. In questo caso infatti la curva è utilizzata per collegare due cerchi di raggio diverso,
percorsi nello stesso senso. In tale raccordo la curvatura nel punto iniziale non è nulla ma è uguale a
quella del primo cerchio e, di conseguenza, se la verifica del contraccolpo c è soddisfatta proprio
nel punto iniziale, la curva di raccordo può essere utilizzata.
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La clotoide
La clotoide, che si ottiene ponendo il fattore di forma n = 1, è la curva a raggio variabile
normalmente utilizzata nella progettazione del tracciato planimetrico stradale. L’equazione della
clotoide è:
r⋅ s = A2
dove A è detto parametro della clotoide.
La clotoide ha la caratteristica di variare linearmente la curvatura 1/r in funzione dell’ascissa
curvilinea s, dal valore iniziale ∞ per s = 0 fino ad una valore finale R per s = L:
1
1
= s⋅ 2
r
A
L’angolo τ rappresenta l’angolo che la tangente alla curva nel punto P di ascissa curvilinea s forma
con l’asse x delle ascisse. In base a questo angolo τ, detto angolo di deviazione, è possibile
determinare le funzioni parametriche della clotoide.
Prendendo in esame un elemento infinitesimo ds immediatamente a sinistra di P e chiamando dτ
l’angolo che tale elemento infinitesimo sottende, risulta:
dτ =
ds s ⋅ ds
= 2
r
A
Integrando questa equazione (la costante di integrazione è nulla poiché per s = 0 vale τ = 0):
τ
s
s
ds
s ⋅ ds
s2
τ = ∫ dτ = ∫ = ∫ 2 =
r
2A 2
0
0
0 A
Ricordando l’equazione della clotoide (r⋅ s = A2), l’angolo τ può essere scritto anche come:
τ=
s2
s
A2
=
=
2 A 2 2r 2r 2
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Usando queste relazioni è possibile scomporre l’elemento infinitesimo ds nelle due componenti dx,
parallela all’asse delle ascisse che coincide con la tangente alla clotoide in O (s = 0; r = ∞), e dy,
parallela all’asse delle ordinate:
dx = ds ⋅ cosτ
dy = ds ⋅ senτ
1
A 2 −2
sostituendo ds =
⋅ τ ⋅ dτ , (ottenuto derivando s = A 2 ⋅ τ ) le coordinate cartesiane del
2
generico punto P nel sistema xy si possono esprimere come
s
τ
0
0
s
τ
0
0
1
A 2 −2
⋅ τ ⋅ cosτ ⋅ dτ
2
x p = ∫ cosτ ⋅ ds = ∫
y p = ∫ senτ ⋅ ds = ∫
1
A 2 −2
⋅ τ ⋅ senτ ⋅ dτ
2
lo sviluppo in serie le funzioni seno e coseno è:
∞
cosτ = ∑ (− 1)
⋅
i =1
∞
τ (2i − 2 )
i +1
(2i − 2)!
i +1
senτ = ∑ (− 1)
⋅
i =1
τ (2i −1)
(2i − 1)!
Pertanto, sostituendo al seno ed al coseno il corrispondente sviluppo in serie ed integrando si
ottengono le espressioni delle coordinate del punto P:
i +1
⎡∞
⎤
τ (2i − 2 )
x p = A ⋅ 2τ ⋅ ⎢∑ (− 1) ⋅
(4i − 3) ⋅ (2i − 2)!⎥⎦⎥
⎣⎢ i =1
i +1
⎡∞
⎤
τ (2i −1)
y p = A ⋅ 2τ ⋅ ⎢∑ (− 1) ⋅
(4i − 1)⋅ (2i − 1)!⎥⎦⎥
⎣⎢ i =1
Troncando lo sviluppo in serie al primo termine (i = 1) si ottengono le formule approssimate:
x p = A ⋅ 2τ ⋅ 1 = s
y p = A ⋅ 2τ ⋅
τ
3
=
s2
6r
Nella figura seguente sono riportate le grandezze geometriche caratteristiche della clotoide che sono
utilizzate per realizzare il tracciamento della curva. Tutte queste grandezze possono essere calcolate
conoscendo l’angolo di deviazione τ.
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Coordinate del centro M del cerchio di raggio R tangente in P alla clotoide:
XM = xp – R ⋅ senτ
YM = yp + R ⋅ cosτ = R +Δr
Ovvero:
XM
i +1
⎤
τ (2i − 2 )
2τ ⎡ ∞
= A⋅
⋅ ⎢∑ (− 1) ⋅
(2i − 1)!⋅(4i − 3)⎥⎦⎥
2 ⎣⎢ i =1
YM = A ⋅
2τ
2
i +1
⎡1 ∞
τ ( 2 i −1 ) ⎤
⋅ ⎢ + ∑ (− 1) ⋅
(2i )!⋅(4i − 1)⎥⎥⎦
⎢⎣τ i =1
Troncando lo sviluppo in serie al primo termine (i = 1) si ottengono le formule approssimate:
XM =
L
2
YM = R +
L2
24 ⋅ R
Scostamento Δr tra l’asse x ed il cerchio:
l’equazione di Δr si ricava dall’equazione di YM:
Δr = yp + R ⋅ cosτ - r = yp + R ⋅ ( cosτ - 1)
Ovvero
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A4
Δr =
24 ⋅ R 3
i +1
⎡1 ∞
6 ⋅ τ (2 i − 2 ) ⎤
⋅ ⎢ + ∑ (− 1) ⋅
(2i )!⋅(4i − 1)⎥⎥⎦
⎢⎣τ i =1
Troncando lo sviluppo in serie al primo termine (i = 1) si ottiene la formula approssimata:
Δr =
L2
24 ⋅ R
Tangente lunga Tl:
Tl = xp – yp ⋅ cotgτ
ovvero
i +1
∞
⎡∞
⎤
τ (2i − 2 )
Tl = A ⋅ 2τ ⋅ ⎢∑ (− 1) ⋅
− ∑ .......⎥
(2i − 1)!⋅(4i − 3) i =1 ⎥⎦
⎢⎣ i =1
Troncando lo sviluppo in serie al primo termine (i = 1) si ottiene la formula approssimata:
Tl =
2
⋅L
3
Tangente corta Tk:
Tk = yp / senτ
Ovvero
i +1
⎡∞
⎤
τ (2i −1)
⎢∑ (− 1) ⋅
(2i − 1)!⋅(4i − 1)⎥⎦⎥
⎢ i =1
⎣
Tk = A ⋅ 2τ ⋅
⎡∞
⎤
⎢∑ ........⎥
⎣ i =1
⎦
Troncando lo sviluppo in serie al primo termine (i = 1) si ottiene la formula approssimata:
Tk =
1
⋅L
3
Le espressioni di tutte le grandezze geometriche caratteristiche della clotoide sono direttamente
proporzionali al parametro A. Proprio per tale motivo A è detto “parametro di scala”. Questo fatto
ha reso possibile la costruzione di tabelle che riportano tutte le grandezze geometriche calcolate per
la clotoide unitaria (A = 1); le grandezze relative ad una clotoide con parametro A ≠ 1 si ottengono
moltiplicando quelle della clotoide unitaria riportate in queste tabelle per il valore del parametro A
presecelto. L’avvento dei calcolatori ha reso inutili tali tabelle che non sono più utilizzate.
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Il tracciamento della clotoide
Il tracciamento della clotoide si effettua per punti andando ad imporre un incremento costante
all’ascissa curvilinea s, come raffigurato in figura.
La lunghezza L è suddivisa in un numero adeguato di incrementi Δs quindi, partendo da s = 0 fino a
s = L, per ogni lunghezza si si può calcolare il relativo angolo di deviazione τi e con esso, calcolare
con le formule note le coordinate xi, yi del punto finale pi.
Per si 0 → L con incrementi Δs:
2
τi =
si
2A 2
i +1
⎡∞
⎤
τ i (2i − 2 )
x pi = A ⋅ 2τ i ⋅ ⎢∑ (− 1) ⋅
(4i − 3) ⋅ (2i − 2)!⎥⎦⎥
⎣⎢ i =1
i +1
⎡∞
⎤
τ i (2i −1)
y pi = A ⋅ 2τ i ⋅ ⎢∑ (− 1) ⋅
(4i − 1) ⋅ (2i − 1)!⎥⎦⎥
⎣⎢ i =1
Dimensionamento della clotoide come elemento del tracciato stradale
La clotoide nel tracciamento di un asse stradale è utilizzata per collegare due elementi caratterizzati
da una curvatura 1/r costante (rettifili e archi di cerchio). L’utilizzo di una curva a raggio variabile
permette di realizzare:
ƒ
la variazione dell’accelerazione centrifuga non compensata (contraccolpo) contenuta entro
valori accettabili;
ƒ
la rotazione della pendenza trasversale limitando la velocità di rotazione della piattaforma ;
ƒ
la corretta percezione ottica dell’andamento del tracciato.
Dimensionare la clotoide significa, in pratica, sceglierne la lunghezza L in base al raggio dell’arco
di cerchio al quale deve essere tangente. Tale scelta deve rispettare alcune regole, o criteri secondo
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il D.M. 05.11.2001, per garantire i vantaggi sopra elencati. Peraltro, il D.M. 05.11.2001 impone le
verifiche sul parametro A e non sulla lunghezza (ovviamente il principio è il medesimo visto che,
fissato il raggio R, i due termini sono legati: A2 = RL).
Il D.M. 05.11.2001 richiede l’inserimento della clotoide ogni qualvolta sia necessario raccordare
due elementi a raggio costante. In questa sede è opportuno osservare che le principali normative dei
estere non sempre richiedono obbligatoriamente l’utilizzo della clotoide e, quando lo fanno, fissano
un limite al valore del raggio oltre il quale non è necessario ricorrere ad essa.
La limitazione del contraccolpo c
L’accelerazione centrifuga varia lungo la clotoide; una parte di essa è compensata dalla pendenza
trasversale q poiché anche la rotazione della piattaforma avviene lungo la stessa clotoide. Pertanto,
la quota parte di accelerazione centrifuga non compensata dalla pendenza è pari a:
a n ,c
v2
=
− g ⋅q
r
Il corrispondente contraccolpo c, facendo l’ipotesi che v è costante e ricordando il teorema della
derivata di “funzione di funzione”, è pari a:
⎛ v2
⎞
d ⎜⎜ − g ⋅ q ⎟⎟
da n ,c
r
⎠=
= ⎝
c=
dt
dt
⎛ v2
d ⎜⎜
⎝ r
dt
⎞
⎛1⎞
⎟⎟
d⎜ ⎟
⎠ − d (g ⋅ q ) = v 3 ⋅ ⎝ r ⎠ − v ⋅ d (g ⋅ q )
dt
ds
ds
eq. (1)
La variazione della pendenza trasversale q lungo la clotoide, supposta lineare, è pari a:
q (s ) =
q f − qi
L
⋅ s + qi
Dove:
L
Lunghezza della clotoide lungo la quale avviene la rotazione
qf
pendenza trasversale finale per s = L
qi
pendenza trasversale iniziale per s = 0
s
ascissa curvilinea lungo la clotoide 0 ≤ s ≤ L
pertanto, derivando q(s) rispetto allo spazio e ricordando che (r⋅s = A2), l’eq. (1) diviene:
⎛ s
d⎜ 2
da n ,c
A
c=
= v3 ⋅ ⎝
dt
ds
⎞
⎟
3
3
⎠ − v ⋅ g ⋅ d (q(s )) = v − v ⋅ g ⋅ q f − qi = v − v ⋅ g ⋅ R ⋅ q f − qi
ds
L
A2
A2
A2
Ovvero, il parametro A è uguale a:
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A=
q f − qi
v3
−v⋅g⋅R⋅
c
c
eq. (2)
Questa è la formula riportata dal D.M. 05.11.2001 per il criterio della “limitazione del
contraccolpo”.
Per ragioni di comfort degli occupanti del veicolo è opportuno limitare il valore che può assumere il
contraccolpo c. Il D.M. 05.11.2001 assume un valore massimo del contraccolpo pari a:
c max =
14
v
[m/s3]
ovvero, con v espresso in km/h
c max =
50,4
V
[m/s3]
Trascurando il secondo termine dell’equazione (2) ed assumendo questo valore massimo per il
contraccolpo si ottiene la formula semplificata riportata dal D.M. 05.11.2001:
A ≥ 0.021 ⋅ V 2
con V in km/h
La norma svizzera riporta una tabella con i valori limite del contraccolpo c in funzione della
velocità di progetto della curva Vp, che possono essere utilizzati nell’equazione 2:
Vp
Km/h
40
50
60
70
80
90
100
110
120
c
m/s3
0.85
0.79
0.68
0.62
0.51
0.45
0.41
0.36
0.30
La sovrapendenza longitudinale dei cigli
Il D.M. 05.11.2001 impone di realizzare la rotazione della sagoma trasversale lungo la clotoide per
passare gradualmente dal valore della sopraelevazione dell’elemento a curvatura costante posto
prima della clotoide al valore della sopraelevazione dell’elemento a curvatura costante posto al
termine della clotoide (ad esempio, per passare dalla sagoma “a tetto” con pendenza del 2,5% in
rettifilo, alla sagoma in curva inclinata verso l’interno con una pendenza del 7,0%). La velocità
angolare con cui la piattaforma ruota deve essere limitata per garantire il comfort degli occupanti il
veicolo e per non compromettere la stabilità trasversale del veicolo durante la fase di ingresso in
curva (eccessiva velocità di rollio). Limitare la velocità di rotazione corrisponde a fissare una
lunghezza minima lungo la quale effettuare la rotazione della sagoma trasversale. Poiché la
variazione della pendenza avviene lungo la clotoide, ciò significa fissare una lunghezza minima
della clotoide.
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Figura
La rotazione della carreggiata in ingresso di curva ed il corrispondente diagramma con
l’andamento dei cigli (fig. 5.2.6.b D.M. 05.11.2001).
Dove:
L
Lunghezza lungo la quale avviene la rotazione
qi
pendenza trasversale iniziale
qf
pendenza trasversale finale
Bi
distanza tra l’asse di rotazione e l’estremità della carreggiata
Δi
sovrapendenza longitudinale del ciglio esterno rispetto all’asse di rotazione
Pertanto, la pendenza longitudinale del ciglio esterno rispetto all’asse della strada (detta
“sovrapendenza”) sulla distanza L è pari a:
Δi =
Bi ⋅ (qi + q f ) ⋅ 100
L
[%]
Ovvero, la sovrapendenza Δi dipende dalla velocità con cui varia q:
Δi =
dh Bi ⋅ dq Bi dq
=
=
⋅
ds
v ⋅ dt
v dt
Ad esempio:
strada categoria C2: sequenza rettifilo – clotoide A = 193 m - curva R = 339 m. Quindi:
Bi = 3,50 m
L = 110 m
qi = 2,50 %
qf = 7,00 %
e quindi la sovrapendenza longitudinale del ciglio Δi vale:
Δi =
3.50 ⋅ (0.025 + 0.070 )
= 0.003 = 0.30%
110
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Per limitare il valore della sovrapendenza Δi si fissa un limite alla velocità di rotazione con cui ruota
la pendenza trasversale q. Il D.M. 05.11.2001 calcola il valore di Δimax massimo in funzione della
massima velocità di rotazione ω = dq/dt, pari a 0,05 rad/s:
Δimax =
Bi dq
B
⋅ ⋅ 100 = i ⋅ 18
v dt
V
[%]
La lunghezza minima L, su cui avviene la rotazione con la sovrapendenza Δimax è pertanto pari a:
L=
Bi ⋅ (qi + q f ) ⋅ 100
Δimax
Ricordando che A2 = RL si ottiene la formula riportata nel D.M. 05.11.2001:
R ⋅ Bi ⋅ (qi + q f ) ⋅ 100
A≥
Δimax
Il criterio ottico
Per garantire la corretta percezione ottica del raccordo si impone che l’angolo di deviazione τ della
clotoide sia maggiore di:
τ≥
1
rad ≈ 3°
18
ovvero, ricordando la relazione che lega τ , R ed A:
1
A2
2 2 R
τ=
≥ rad → A ≥
R =
2
18
18
3
2R
Inoltre, per garantire la corretta percezione dell’arco di cerchio posto al termine della clotoide è
necessario limitarne la lunghezza e pertanto deve valere:
A≤ R
In conclusione il criterio ottico prevede che il parametro A della clotoide sia compreso all’interno di
un intervallo i cui estremi sono definiti da:
R
≤ A≤ R
3
L’inserimento della clotoide nel tracciato stradale
I casi in cui la clotoide può essere utilizzata nel tracciamento di un asse stradale sono riassunti nella
figura 5.2.5.c del D.M. 05.11.2001 e riportata di seguito. Alcune composizioni dell’asse che
possono influire negativamente sulla percezione della strada e, in particolare, della curvatura sono
da evitare e sono indicati nella medesima figura. Deve essere osservato che anche i casi della
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continuità e, ancor peggio del raccordo tra cerchi secanti con cerchio ausiliario, possono in realtà
influire negativamente sulla corretta percezione della curvatura e pertanto andrebbero anch’essi
tralasciati sebbene permessi dal D.M. 05.11.2001. I tre casi più comuni sono:
Transizione: la curva tra due rettifili è costituita da un arco di cerchio e da due clotoidi che
raccordano il cerchio stesso ai due rettifili.
Flesso: due archi di cerchio da percorrere in senso opposto sono raccordati da due clotoidi tangenti
tra loro nel punto di origine.
Continuità: due archi di cerchio concentrici da percorrere nello stesso senso sono raccordati da un
tratto di clotoide tangente ad entrambi.
Figura
I casi in cui la clotoide è inserita nel tracciato stradale (fig. 5.2.5.c D.M. 05.11.2001).
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La transizione
Il raccordo di transizione consente di collegare due rettifili che formano un angolo di deviazione α
nel vertice V mediante un arco di cerchio collegato ad essi da due clotoidi che possono avere
parametro uguale, caso normalmente da preferire detto transizione simmetrica, oppure diverso.
Per tracciare il raccordo di transizione tra i due rettifili che formano un angolo di deviazione α nel
vertice V, noti il raggio R dell’arco di cerchio ed i parametro A1 ed A2, scelti in funzione di R con i
criteri visti in precedenza, si deve posizionare il centro del cerchio rispetto ai due rettifili. Per fare
ciò è necessario calcolare la distanza dal vertice V delle origini O1 ed O2 delle due clotodi. La
formula per calcolare tali distanze O1V ed O2V può essere ottenuta per via grafica.
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Noti R, A1 ed A2, è possibile calcolare gli scostamenti ΔR1 e ΔR2. Questi possono essere riportati
parallelamente ai due rettifili e quindi è possibile riportare sul lato del ΔR maggiore come in figura,
anche la loro differenza.
Quindi è possibile tracciare l’asse di simmetria passante per il centro C che divide in due angoli
uguali, pari a α/2, l’angolo al centro α.
A questo punto è possibile dimostrare che il triangolo VBD è isoscele ed in particolare i due lati
uguali di lunghezza l sono quelli lungo i due rettifili. Ciò può essere fatto considerando i suoi angoli
come nella figura seguente, ricordando che la somma degli angoli interni ad un triangolo è pari a
180° e che i due angoli β sono uguali perché l’asse che li divide è di simmetria.
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Quindi l’angolo DBV è uguale a β e DV = BV = l e vale:
l ⋅ cos(90 − α ) = ΔR2 − ΔR1
l=
ΔR2 − ΔR1
senα
Pertanto, le distanze possono essere espresse come somme di:
O1V = O1P + PD + DV
O2V = O2R + RB - VB
Quindi sostituendo si ottengono le formule finali
O1V = X M 1 + (R + ΔR1 ) ⋅ tg
α
O2V = X M 2 + (R + ΔR2 ) ⋅ tg
2
α
2
+l
−l
Particolare attenzione va posta nella scelta del segno per la lunghezza l poiché, a seconda che ΔR1
sia maggiore o minore di ΔR2, il segno cambia.
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Il flesso
Il raccordo di flesso è utilizzato per raccordare due archi di cerchio le cui curvature hanno segno
opposto. Questo raccordo è costituito da due clotoidi contrapposte le cui origini coincidono nel
punto O (punto di flesso). Nel punto di flesso le due clotoidi sono tangenti tra loro, ovvero, sono
entrambe tangenti al rettifilo degenere che si è ridotto al solo punto O. Da notare che, essendo le
due clotoidi tangenti tra loro in O, origine di entrambi i sistemi di riferimento, gli assi dei due
sistemi di riferimento coincidono. La figura seguente può aiutare a comprendere la costruzione del
raccordo di flesso.
Per tracciare il raccordo di flesso, note le coordinate dei loro centri C1 e C2 ed i loro raggi R1 ed R2,
e quindi la distanza D tra i due cerchi, è necessario trovare i due parametri A1 ed A2 e la posizione
dei sistemi di assi xy a cui essi sono riferite.
Per risolvere questo problema è necessario ipotizzare di conoscere la posizione del sistema di assi
Oxy e considerare il triangolo C1C2G riportato nella seguente figura. E’ importante osservare che,
ad eccezione del caso in cui il raccordo sia simmetrico (R1 = R2; A1 = A2), la retta congiungente C1 e
C2 non passa per l’origine O.
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Poiché il triangolo è un triangolo rettangolo, è possibile applicare il teorema di Pitagora:
2
C1C 2 = C1G 2 + C 2 G 2
I due cateti, paralleli agli assi x ed y dei sistemi di riferimento a cui sono riferite le due clotoidi,
possono essere scritte come la somma delle coordinate dei due centri espressi rispetto agli stessi
sistemi di riferimento:
( R1 + D + R2 ) 2 = ( X c1 + X c 2 ) 2 + (Yc1 + Yc 2 ) 2
Tenendo conto delle equazioni per calcolare le coordinate del centro del cerchio nel sistema di
riferimento della clotodie
Xc = xp – R ⋅ senτ
Yc = yp + R ⋅ cosτ
E possible scrivere
( R1 + D + R2 ) 2 = [( x p1 − R1 ⋅ senτ 1 ) + ( x p 2 − R2 ⋅ senτ 2 )] 2 + [( y p1 + R1 ⋅ cos τ 1 ) + ( y p 2 + R2 ⋅ senτ 2 )] 2
sostituendo a xp1, yp1 e xp2, yp2 le equazioni complete con lo sviluppo in serie e ricordando che vale
τ1 =
A1
2
2R1
2
e τ2 =
A2
2
2R2
2
Si ottiene un’equazione complessa con incognite A1 ed A2.
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Poiché l’equazione presenta due incognite è necessario introdurre un’ulteriore relazione. Pertanto si
deve fissare il rapporto tra A1 ed A2. Normalmente, questo rapporto deve essere scelto in modo che,
noti R1 ed R2, le due clotoidi abbiano lunghezze simili e quindi può variare tra 0.7≤ A1 / A2 ≤ 1.3
non discostandosi troppo dall’unità.
Calcolate tutte le grandezze geometriche caratteristiche delle due clotoidi è possibile posizionare nel
piano rispetto ai due cerchi il sistema di riferimento Oxy per tracciare il raccordo.
Infatti, l’angolo ε tra la congiungente i due centri e l’asse y è pari a:
ε=
X c1 + X c 2
Yc1 + Yc 2
Pertanto, si possono riportare a partire dai centri C1 e C2 i segmenti di lunghezza rispettivamente Yc1
e Yc2 inclinati di ε rispetto alla congiungente i due centri identificando i punti M ed N per i quali
passa l’asse x; spostandosi lungo l’asse x da M della lunghezza Xc1 o da N della lunghezza Xc2 è
quindi possibile posizionare l’origine O del sistema di riferimento.
La continuità
Il raccordo di continuità è costituito da un arco di clotoide che raccorda due archi di cerchio, uno
interno all’altro ma non concentrici, le cui curvature hanno segno uguale, cioè sono percorsi nello
stesso senso. A differenza degli altri raccordi, nel raccordo di continuità il punto iniziale non ha
curvatura 1/R infinita poiché non è tangente ad un rettifilo bensì ad un arco di cerchio. Il raccordo di
continuità è costituito da una porzione di un’unica clotoide di parametro A che parte dal punto P1 di
curvatura 1/R1 tangente al cerchio di centro C1 e termina nel punto P2 di curvatura 1/R2 tangente al
cerchio di centro C2. La seguente figura consente di meglio comprendere il raccordo di continuità.
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Per risolvere questo problema è necessario ipotizzare di conoscere la posizione del sistema di assi
Oxy e considerare il triangolo C1C2G riportato nella seguente figura.
Poiché il triangolo è un triangolo rettangolo, è possibile applicare il teorema di Pitagora:
2
C1C 2 = C 2 G 2 + C1G 2
I due cateti, paralleli agli assi x ed y del sistema di riferimento Oxy a cui è riferita la clotoide,
possono essere ottenuti dalle coordinate dei due centri:
( R1 − R2 − D) 2 = ( X c 2 − X c1 ) 2 + (Yc1 − Yc 2 ) 2
Tenendo conto delle equazioni per calcolare le coordinate del centro del cerchio nel sistema di
riferimento della clotodie
Xc = xp – R ⋅ senτ
Yc = yp + R ⋅ cosτ
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E possible scrivere
( R1 − R2 − D ) 2 = [( x p 2 − R2 ⋅ senτ 2 ) − ( x p1 − R1 ⋅ senτ 1 )] 2 + [( y p1 + R1 ⋅ cos τ 1 ) − ( y p 2 + R2 ⋅ senτ 2 )] 2
sostituendo a xp1, yp1 e xp2, yp2 le equazioni complete con lo sviluppo in serie e ricordando che vale
τ1 =
A2
2 R1
2
e τ2 =
A2
2 R2
2
Si ottiene un’equazione complessa con incognita il parametro A.
Calcolate tutte le grandezze geometriche caratteristiche della clotoide è possibile posizionare nel
piano rispetto ai due cerchi il sistema di riferimento Oxy per tracciare il raccordo.
Infatti, l’angolo ε tra la congiungente i due centri e l’asse y è pari a:
ε=
X c 2 − X c1
Yc1 − Yc 2
Pertanto, si può riportare a partire dai centri C1 e C2 i segmenti di lunghezza rispettivamente Yc1 e
Yc2 inclinati di ε rispetto alla congiungente i due centri identificando i punti M ed N per i quali
passa l’asse x; spostandosi lungo l’asse x da M della lunghezza Xc1 o da N della lunghezza Xc2 è
quindi possibile posizionare l’origine O del sistema di riferimento.
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Considerazioni critiche sull’utilizzo e sul dimensionamento della clotoide
Le motivazioni per le quali la clotoide è utilizzata nel tracciamento dell’asse stradale sono già state
presentate. La motivazione principale, ovvero la limitazione del contraccolpo, trae origine dalla
progettazione ferroviaria nella quale la geometria del binario deve comprendere dei raccordi a
raggio variabile tra due elementi a curvatura costante poiché il veicolo è rigidamente vincolato ad
esso. In campo stradale la traiettoria del veicolo non è vincolata dalla via ma è decisa dal guidatore
che ruotando lo sterzo la imposta in base alla propria condotta di guida. In particolare, numerose
osservazioni sperimentali dimostrano che il guidatore normalmente non segue la linea d’asse della
strada in ingresso ed in uscita di curva, nemmeno se la strada è dotata di clotoidi. Pertanto, l’ipotesi
secondo la quale la traiettoria del veicolo coincide con quella dell’asse della strada è, in realtà,
disattesa. In secondo luogo, le osservazioni sperimentali dimostrano che anche la sua velocità non è
in realtà costante ma varia lungo la clotoide, decelerando in ingresso di curva ed accelerando in
uscita di curva. Anche l’ipotesi di clotoide percorsa a velocità costante è quindi disattesa. Queste
evidenze sperimentali inficiano la validità delle valutazioni che portano alle limitazioni imposte dal
criterio della limitazione del contraccolpo.
In realtà, i pochi studi che hanno valutato l’influenza della presenza della clotoide sull’incidentalità
hanno dato risultati contrastanti e, nel caso positivi, comunque molto modesti. Questa incertezza è
dovuta al fatto che non è tanto la presenza della clotoide che può significativamente influenzare
l’incidentalità, quanto piuttosto la sua lunghezza. In pratica, una clotoide posta in ingresso di curva
può avere un effetto positivo o negativo in funzione della sua lunghezza. Questo fatto è dovuto alla
forte influenza che la sua presenza ha sulla percezione visiva che il guidatore ha della curvatura.
In avvicinamento ad una curva il guidatore, circa 1-2 secondi prima di iniziare la manovra di
sterzatura, sposta il punto di osservazione sul margine interno della curva al fine di percepire le
informazioni di cui ha bisogno per impostare la manovra stessa di sterzatura.
FIGURA Punto di osservazione dello sguardo per una curva destrorsa, un rettifilo ed una curva
sinistrorsa (Land, 1994).
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In questa fase le informazioni visive utilizzate sono contenute in uno spazio temporale
relativamente limitato, che secondo i diversi studi, varia da 2 a 4 secondi davanti al veicolo (cioè
entro una distanza che, alla velocità del veicolo, sarà raggiunta in 2–4 secondi). La principale
informazione visiva utilizzata è la curvatura, in base alla quale il guidatore decide la manovra di
sterzatura, ovvero la traiettoria di ingresso e l’eventuale riduzione di velocità. La manovra di
sterzatura dura circa 2–3 secondi e, se le valutazioni fatte dal guidatore prima di sterzare sono state
corrette, al termine di essa la traiettoria e la velocità impostate sono corrette per percorrere la curva.
FIGURA Tempi medi di sterzatura in ingresso di curva ottenuti da rilievi sperimentali su strade
extraurbane secondarie (Perco, 2006).
La clotoide può intervenire in tale sistema falsando l’informazione visiva e quindi inducendo il
guidatore a delle valutazioni errate. Ciò avviene quando la clotoide è molto lunga e, in particolare,
quando è più lunga sia della massima distanza alla quale il guidatore raccoglie le informazioni
visive sia della distanza percorsa durante la sterzatura. In pratica ciò avviene quando la clotoide ha
una lunghezza superiore alla distanza percorsa dal veicolo in 3-4 secondi. In questo caso la
curvatura che il guidatore percepisce ed utilizza per impostare la sterzatura non è quella dell’arco di
cerchio ma è valutata lungo un tratto di clotoide che presenta una curvatura minore di quella
dell’arco di cerchio successivo. Il guidatore pertanto imposta la sterzatura e la riduzione della
velocità sulla base di una curvatura minore di quella che in realtà ha la curva circolare. La sterzatura
termina lungo la clotoide. A questo punto però la curvatura inaspettatamente continua a crescere
poiché la clotoide non è finita ma il guidatore ha ormai “esaurito” la sterzatura che aveva impostato
così come il conseguente spostamento trasversale verso l’interno della corsia( “taglio” dell’ingresso
di curva). Il guidatore deve pertanto correggere la traiettoria impostata agendo sullo sterzo e, nei
casi peggiori, anche ridurre la velocità. In caso di scarsa aderenza e di clotoidi molto lunghe questa
correzione può avere conseguenze molto negative.
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FIGURA 19 Una curva di raggio 200 m senza clotoide, vista da 72 m prima del suo inizio.
FIGURA
Una curva di raggio 200 m vista dall’inizio di una clotoide lunga 72 m.
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FIGURA
Una curva di raggio 200 m vista dall’inizio di una clotoide lunga 200 m.
FIGURA Studio before/after: numero di incidenti su una curva prima e dopo l’eliminazione delle
lunghe clotoidi di ingresso (Stewart, 1990).
Proprio tali evidenze sperimentali hanno portato molte norme a richiedere clotoidi “corte” in modo
da non influenzare la manovra di sterzatura e, al contempo, da permettere comunque quei vantaggi
che li sono riconosciuti (tratto lungo la quale effettuare la rotazione della piattaforma e possibilità di
migliorare la rappresentazione ottica del tracciato evitando la presenza di punti angolosi). Poiché il
D.M. 05.11.2001 non riporta tali indicazioni, è buona norma, nel rispetto dei criteri da esso previsti,
scegliere clotoidi che non abbiano la lunghezza superiore alla distanza percorsa in 4 secondi alla
velocità di progetto della curva.
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La variazione della pendenza trasversale
Nel passaggio tra due elementi planimetrici caratterizzati da diversa curvatura è necessario ruotare
la carreggiata per passare dalla pendenza trasversale del primo elemento a quella del secondo
elemento. Il D.M. 05.11.2001 prevede che tale rotazione avvenga lungo la curva a raggio variabile
che, come richiesto dallo stesso D.M., deve essere sempre inserita tra due elementi a curvatura
costante. La rotazione della carreggiata avviene attorno al suo asse per le strade a carreggiata unica
e per le strade a carreggiate separate con spartitraffico di larghezza superiore a 4,0 m. Per larghezze
di spartitraffico minori, per evitare che lo spartitraffico acquisti un’eccessiva pendenza trasversale, è
necessario far ruotare le due vie intorno alle estremità interne delle carreggiate.
Gli elementi che fiancheggiano la carreggiata (banchina, corsia di emergenza, corsie specializzate,
piazzole di sosta) presentano la stessa pendenza trasversale della carreggiata.
a
B
>4.0
B
b
B
<4.0
c
B
Figura
B
L’asse di rotazione della carreggiata (fig. 5.2.6.a D.M. 05.11.2001).
Nelle strade ad unica carreggiata, la cui sagoma in rettifilo è a doppia falda (detta anche a “tetto”), il
passaggio dalla sagoma del rettifilo a quella della curva circolare e viceversa avviene in due tempi:
in una prima fase ruota soltanto la semicarreggiata esterna intorno all’asse della carreggiata fino a
realizzare un’unica superficie piana con la semicarreggiata interna, quindi ruota l’intera carreggiata
sempre intorno al suo asse. La rotazione avviene in modo da far variare linearmente la quota dei
cigli rispetto all’asse di rotazione come è chiaramente indicato nella figura che riporta l’andamento
dei cigli.
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72
Figura
La rotazione della carreggiata in ingresso di curva ed il corrispondente diagramma con
l’andamento dei cigli (fig. 5.2.6.b D.M. 05.11.2001).
La variazione della pendenza trasversale è rappresentata attraverso l’andamento o profilo dei cigli
che è di norma riportato nel medesimo elaborato progettuale del profilo longitudinale al di sotto di
questo. Il profilo dei cigli è realizzato riportando il profilo longitudinale dei bordi della carreggiata
rispetto all’asse intorno a cui avviene la rotazione che è rappresentato orizzontale anche se in realtà
non lo è poiché ciò che interessano sono le quote e le pendenze relative rispetto all’asse di rotazione
stesso. Per tale motivo la pendenza Δi del ciglio misurata rispetto all’asse di rotazione è detta
sovrapendenza: essa infatti non è una pendenza assoluta rispetto all’orizzontale ma una pendenza
misurata rispetto all’asse di rotazione che, a sua volta, può avere una pendenza longitudinale dovuta
all’andamento altimetrico della strada.
Δi =
qi ⋅ B + q f ⋅ B
L
Dove:
Δi
sovrapendenza del ciglio
B
Distanza fra l’asse di rotazione e l’estremità della carreggiata [m]
L
Lunghezza della clotoide lungo la quale avviene la rotazione [m]
qi
pendenza trasversale iniziale
qf
pendenza trasversale finale
Nella figura seguente è rappresentato l’andamento dei cigli nel caso di raccordo rettifilo-arco di
cerchio. Il D.M. 05.11.2001 riporta la figura 5.2.6.c ove sono rappresentati gli andamenti dei cigli
negli altri casi di raccordo che possono presentarsi che possono presentarsi.
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Figura
L’andamento dei cigli per un raccordo tra rettifilo-arco di cerchio di una strada a unica
carreggiata. Sono rappresentati anche il diagramma delle curvature e le sezioni
trasversali.
Massima sovrapendenza longitudinale
Per limitare la velocità di rotazione trasversale, ovvero la velocità di rollio del veicolo, si fissa un
limite alla velocità con cui varia la pendenza q da cui deriva un valore massimo della
sovrapendenza Δi:
Δi =
dh B ⋅ dq B dq
=
= ⋅
ds v ⋅ dt
v dt
Dove:
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Δi
sovrapendenza del ciglio
B
Distanza fra l’asse di rotazione e l’estremità della carreggiata [m]
dq
dt
variazione della pendenza trasversale nell’unità di tempo [rad/s]
v
velocità di progetto [m/s]
Il D.M. 05.11.2001 fissa la velocità di rotazione massima
Δimax = 18 ⋅
dq
= 0.05 rad/s da cui
dt
B
V
Dove:
Δimax
sovrapendenza massima del ciglio [%]
V
velocità di progetto [km/h]
Pertanto, la lunghezza minima L, su cui avviene la rotazione con la sovrapendenza Δimax è pari a:
L=
Bi ⋅ (qi + q f ) ⋅ 100
Δimax
Si nota che il rispetto del criterio della sovrapendenza longitudinale per la scelta del parametro della
clotoide richiede proprio il rispetto della Δimax.
Minima sovrapendenza longitudinale
La minima pendenza trasversale prevista dal D.M., utilizzata in rettifilo e sulle curve di ampio
raggio, è pari al 2,50% poiché questo valore consente di allontanare le acque meteoriche dalla
piattaforma stradale. Tuttavia, nella fase di rotazione della piattaforma stradale la semicarreggiata
esterna presenta per un una pendenza inferiore a questo limite quando ruota dal -2,50% fino al
+2,50%. Questo caso si verifica nel tratto iniziale di un raccordo rettifilo-arco di cerchio (e
viceversa) oppure nella parte centrale di un raccordo di flesso. Per evitare il ristagno dell’acqua è
quindi necessario limitare la lunghezza della strada lungo la quale si presenta una pendenza
trasversale inferiore al 2,50%. Pertanto, si fissa un limite inferiore Δimin alla sovrapendenza
longitudinale pari a:
Δimin = 0,1 × B [%]
Se la sovrapendenza Δi calcolata lungo la lunghezza L della clotoide risulta inferiore a Δimin è
necessario “spezzare” in due parti il profilo del ciglio esterno, realizzando il passaggio dal -2,50%
fino al +2,50% utilizzando la sovrapendenza Δimin e completando quindi la rotazione del ciglio con
la pendenza risultante che sarà inferiore a Δimin.
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Figura
L’andamento dei cigli per un raccordo tra rettifilo-arco di cerchio di una strada a unica
carreggiata nel caso sia necessario “spezzare” il ciglio.
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ANDAMENTO ALTIMETRICO DELL’ASSE
Il tracciato altimetrico è costituito da una successione di livellette (tratti a pendenza costante) e di
raccordi concavi (sacche) e convessi (dossi).
Le livellette sono definite dal D.M. 05.11.2001 attraverso la massima pendenza longitudinale
poiché questa ha effetto sulle prestazioni dei veicoli e quindi sulla massima velocità che possono
essere mantenute in salita, con particolare attenzione per i veicoli pesanti. La scelta del raggio dei
raccordi verticali dipende invece dalla accelerazione verticale a cui sono soggetti i veicoli che li
percorrono e, soprattutto, dalla distanza di visibilità che deve essere garantita lungo il raccordo.
La livelletta a pendenza costante
La massima pendenza longitudinale che può essere utilizzata per una livelletta dipende, come si è
visto nei paragrafi precedenti, dalle caratteristiche dei veicoli e, in particolare, dai valori minimi di
velocità e accelerazione che è possibile accettare sulla strada in progetto. Questa scelta dipende
quindi fortemente dall’importanza, ovvero dalla categoria, della strada. Infatti, mantenere una
pendenza limitata in terreni dall’orografia complessa significa realizzare gallerie e/o viadotti che
sono opere molto costose e, pertanto, giustificate solo se i volumi di traffico che impegneranno la
strada sono rilevanti. Per questo motivo il D.M. 05.11.2001 prevede la massima pendenza
longitudinale funzione della categoria della strada, oltre che dell’ambito attraversato.
Categoria della strada
Ambito Urbano
Ambito Extraurbano
6%
5%
B – Extraurbana Principale
-
6%
C – Extraurbana Secondaria
-
7%
D – Urbana di Scorrimento
6%
-
E – Urbana di Quartiere
8%
-
F – Locale
10%
10%
A- Autostrada
La norma permette di aumentare i valori contenuti nella tabella di un’unità qualora, in base ad una
verifica specifica, risulti che lo sviluppo della livelletta sia tale da non penalizzare eccessivamente
la circolazione, in termini di riduzione delle velocità e della qualità del deflusso.
Nei casi in cui non sia possibile evitare l’utilizzo di livellette dalle pendenze elevate è possibile
ricorrere all’utilizzo delle corsie di arrampicamento per i mezzi pesanti che in tal modo possono
spostarsi dalla corrente di traffico delle autovetture e quindi non penalizzare la qualità del deflusso.
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In galleria, per le strade categoria A, B e D è opportuno non superare la pendenza del 4%, ed ancor
meno in caso di lunghe gallerie, per contenere le emissioni di sostanze inquinanti e dei fumi e per
minimizzare il rischio di surriscaldamento (incendio) per i veicoli pesanti.
Quando si utilizzano pendenze longitudinali elevate, è importante verificare la pendenza geodetica J
che è la risultante della combinazione della pendenza trasversale it e di quella longitudinale il.
2
J = it + il
2
Infatti, per evitare che essa presenti valori eccessivi che potrebbero causare il scivolamento del
veicolo in condizioni di bassa velocità e bassa aderenza (ad es. veicolo pesante fermo su
pavimentazione ghiacciata) la pendenza geodetica J non deve superare il valore del 10% per le
strade di categoria A e B e del 12% per le altre. Nel caso di frequente innevamento tale valore limite
è dell’8%.
Ad esempio:
strada categoria C2:
curva di raggio R = 339 m. quindi la pendenza trasversale è it = 7.0%
livelletta il = 5.0%
e quindi la pendenza geodetica vale:
J = 0.07 2 + 0.05 2 = 0.09 = 9.0%
Il raccordo verticale
I raccordi verticali si inseriscono tra due livellette a pendenza costante. Essi si suddividono in
concavi (o sacche), quando la differenza tra le due livellette è negativa e la concavità è rivolta verso
l’alto, e in convessi (o dossi) quando la differenza tra le due livellette è positiva e la concavità è
rivolta verso il basso.
Tenendo conto degli usuali valori delle pendenze in campo stradale, raramente superiori al 10%, è
possibile fare la seguente semplificazione:
tgα = i ≅ α ≅ senα
Con α espresso in radianti.
Ad esempio
i = 10% → tgα = 0.10; α = 0.0996rad ; senα = 0.0993; cos α = 0.995
Conseguentemente, le lunghezze delle livellette e dei raccordi sono misurate in orizzontale, mentre
l’angolo formato dale due livellette è pari alla differenza algebrica delle pendenze: Δi = i2 – i1
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I raccordi verticali possono essere circolari o parabolici. La differenza tra i due è poco rilevante
anche se i raccordi parabolici appaiono migliori poiché hanno una variazione costante per unità di
lunghezza della pendenza. Il D.M. 05.11.2001 richiede che il tracciamento dei raccordi verticali sia
effettuato mediante archi di parabola quadratica.
Assumendo come origine del sistema di assi cartesiani a cui è riferita la parabola il punto iniziale
del raccordo, cioé il punto di tangenza tra la prima livelletta e la parabola, l’equazione si scrive:
y = ax 2 + bx
a < 0 per i raccordi convessi
a > 0 per i raccordi concavi
Figura
Coordinate di un punto P della parabola
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Figura
Fig. 5.3.2.b del D.M. 05.11.2001
Dalla figura è possibile osservare due proprietà caratteristiche della parabola di secondo grado:
1.
Le proiezioni sull’asse delle ascisse delle due tangenti alla parabola condotte da un punto
esterno hanno uguale lunghezza. Ne consegue che il raccordo di lunghezza L si divide in due
lunghezze uguali pari ad L/2 rispetto al vertice V formato dalle due livellette;
2.
una qualsiasi corda alla parabola tra due suoi punti è parallela alla tangente alla parabola nel
punto medio della corda.
Dalla figura è facile notare inoltre che il vertice della parabola A non ha, ovviamente, la stessa
ascissa del vertice V formato dalle due livellette.
La variazione totale di pendenza lungo il raccordo parabolico è Δi = i2 – i1, mentre la variazione
unitaria lungo il raccordo parabolico vale Δi / L.
I coefficienti a e b dell’equazione della parabola si ottengono analizzando la derivata prima della
parabola. Infatti, nel punto iniziale (x = 0) la tangente alla parabola ha pendenza i1, mentre nel punto
finale (x = L) la tangente alla parabola ha pendenza i2.
⎛ dy ⎞
⎜ ⎟ = b = i1
⎝ dx ⎠ x =0
⎛ dy ⎞
= 2aL + i1 = i2
⎜ ⎟
⎝ dx ⎠ x = L
da cui
a=
i2 − i1 Δi
=
2L
2L
Pertanto, l’equazione della parabola è
y=
Δi 2
⋅ x + i1 ⋅ x
2L
In cui le pendenze i2 ed i1 vanno prese con il proprio segno per cui risulta sempre Δi < 0 per i
raccordi convessi e Δi > 0 per i raccordi concavi.
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L’ascissa del vertice A della parabola si ottiene ponendo pari a 0 la derivata prima (tangente
orizzontale):
dy Δi
=
⋅ 2 x + i1 = 0
dx 2 L
da cui
xA = −
i1
⋅L = 0
Δi
E quindi, sostituendo nell’equazione della parabola, l’ordinata è pari a
2
i
Δi
2
yA =
⋅ x A + i1 ⋅ x A = − 1 ⋅ L
2L
2 ⋅ Δi
Osservando l’equazione della parabola si nota che per tracciare il raccordo parabolico tra due
livellette di pendenza nota, è sufficiente conoscere la lunghezza L del raccordo. La lunghezza L si
calcola con l’equazione
L = Δi × Rv
Dove Rv è il raggio del cerchio oscuratore nel vertice della parabola (cerchio che presenta il
medesimo raggio di curvatura del vertice).
Il D.M. 05.11.2001 definisce le regole per calcolare il valore minimo di Rv il cui scopo è fondato su
tre criteri:
ƒ
assicurare l’iscrizione geometrica del veicolo nel raccordo;
ƒ
assicurare il comfort degli occupanti il veicolo limitando l’accelerazione verticale;
ƒ
assicurare le visuali libere necessarie alla sicurezza.
E’ importante sottolineare che i valori del raggio Rv che si ottengono dalla verifica di questi criteri
sono da intendersi come minimi, ma è opportuno adottare valori anche sensibilmente maggiori,
compatibilmente con i vincoli al contorno, al fine di garantire la miglior percezione ottica possibile
del tracciato planimetrico, in particolare quando il raccordo verticale si sovrappone, o precede, una
curva planimetrica.
Iscrizione della sagoma del viecolo
Il rispetto di questo criterio garantisce che nessuna parte del veicolo, eccetto le ruote, abbia contatti
con la superficie stradale. Tale criterio origina dei raggi limite Rv molto bassi e quindi trova
giustificazione soprattutto in condizioni particolari (ad es. rampe di parcheggi, strade urbane molto
tortuose, ecc..). I valori limite sono:
Rv > Rv minimo = 20 m nei dossi
Rv > Rv minimo = 40 m nelle sacche
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Limitazione dell’accelerazione verticale
Per il comfort degli occupanti il veicolo è necessario che l’accelerazione verticale av non superi un
valore limite av
lim
che dipende dalla velocità con la quale è percorso il raccordo (da desumersi
puntualmente dal diagramma della velocità di progetto):
av =
vp
2
Rv
≤ a v lim
Dove:
vp
velocità di progetto (desunta puntualmente dal diagramma di velocità) [m/s]
Rv
raggio del raccordo verticale [m]
av lim
accelerazione verticale limite pari a 0.6 m/s2
Visuali libere
Lungo tutto il tracciato della strada deve essere garantita la distanza di visibilità per l’arresto.
Inoltre, nei tratti in cui è prevista la manovra di sorpasso deve essere garantita la distanza di
visibilità per il sorpasso. Prima delle intersezioni e degli svincoli deve essere garantita la distanza di
visibilità per il cambiamento di corsia. Infine, l’analisi del diagramma di visibilità ha definito le
distanze di visibilità di transizione da garantire in avvicinamento alle curve circolari. E’ quindi
possibile definire lungo il tracciato un inviluppo delle distanze di visibilità richieste dal D.M.
05.11.2001 che ovviamente, non devono essere limitate dall’andamento altimetrico della strada, ed
in particolare dai raccordi verticali. Pertanto la scelta del raggio Rv deve garantire la distanza di
visibilità D che altre considerazioni hanno imposto. Questa verifica deve essere fatta sia per i
raccordi convessi che per quelli concavi. L’occhio del guidatore è posto ad un’altezza h1 (1.1 m) dal
piano stradale, mentre l’oggetto da osservare è posto ad un altezza h2 dal piano stradale. L’altezza
h2 è pari a 0.1 m nel caso di distanza di visibilità per l’arresto, mentre è pari a 1.1 m nel caso di
distanza di visibilità per il sorpasso. Il D.M. 05.11.2001 non fissa invece una regola per definire
cosa il guidatore deve vedere per verificare la distanza di visibilità per il cambiamento di corsia o la
distanza di transizione. Pare ragionevole affermare che egli deve vedere una porzione sufficiente
dell’elemento considerato dalla verifica per percepirne correttamente le caratteristiche. Nel caso di
verifica della distanza di transizione egli dovrà quindi vedere un tratto di arco circolare di lunghezza
pari alla distanza percorsa in almeno 2÷4 secondi per percepirne la corretta curvatura ed evitare la
negativa influenza della clotoide sulla percezione (vedere il paragrafo relativo).
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Il raccordo convesso (dosso)
Il raccordo convesso è effettivamente in grado di limitare la distanza di visibilità D per tutte le
distanze di visibilità la cui verifica è richiesta dal D.M. 05.11.2001. Il calcolo del valore del raggio
Rv in funzione della distanza D si distingue in due casi, a seconda che D sia minore o maggiore
della lunghezza del raccordo L. Nel primo caso il valore minimo del raggio Rv dipenderà solo dalla
distanza di visibilità D da garantire, mentre nel secondo sarà funzione anche della differenza di
pendenza Δi.
Caso D < L
Applicando il teorema di Pitagora ai due triangoli rettangoli si ha:
( R + h1 ) 2 = X 2 + R 2
( R + h2 ) 2 = Y 2 + R 2
Ovvero
2
R 2 + h1 + 2 Rh1 = X 2 + R 2
2
R 2 + h2 + 2 Rh2 = Y 2 + R 2
Semplificando R2 e considerando che h1 << 2 Rh1 e h2 << 2 Rh2 poiché h1 = 1.1 m, h2 = 1.1 m
2
2
(sorpasso) o h2 = 0.1 (arresto) m mentre R è pari a centinaia o migliaia di metri, si ottiene
2 Rh1 ≅ X 2
2 Rh2 ≅ Y 2
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Da cui
D = X + Y = 2h1 R + 2h2 R
Quindi
D 2 = ( 2h1 R + 2h2 R ) 2 = 2 R ⋅ (h1 + h2 + 2 h1 h2 )
Da cui si può ricavare il valore di R, ovviamente indipendente da Δi
R=
D2
(A)
2 ⋅ (h1 + h2 + 2 h1 h2 )
Questa è la relazione riportata dal D.M. 05.11.2001 per calcolare il raggio R del raccordo verticale
convesso nel caso D < L.
Caso D > L
D = EA + AB + BF
AB = R ⋅ tg
α
2
+ R ⋅ tg
(1)
β
2
EA =
h1
senα
BF =
h2
senβ
poichè le pendenze, e quindi gli angoli α e β, sono piccoli in ambito stradale
1
1
1
1
AB ≅ R ⋅ tgα + R ⋅ tgβ = R ⋅ (tgα + tgβ ) = R ⋅ Δi
2
2
2
2
(2)
Vale inoltre la relazione
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AB ⋅ senα = BC ⋅ senγ
e quindi
senα =
Ricordando che gli angoli sono piccoli
BC
⋅ senγ
AB
(pertanto vale la semplificazione senγ ≅ tgγ ≅ Δi ) e
sostituendo AB con la (2) si ha
senα ≅
BC
2
2
⋅ Δi = BC ⋅
⋅ Δi = BC ⋅ ≅ tgα
AB
R ⋅ Δi
R
inoltre
senβ ≅ tgβ ≅ tgγ − tgα ≅ Δi − tgα = Δi − BC ⋅
2
R
Pertanto è possibile esprimere EA e BF come
EA = h1 ⋅
R
2 ⋅ BC
BF = h2 ⋅
R
R ⋅ Δi − 2 BC
La (1) si può quindi esprimere come
D = h1 ⋅
1
R
R
+ R ⋅ Δi + h2 ⋅
2 ⋅ BC
2
R ⋅ Δi − 2 BC
(3)
Da questa equazione si osserva che la distanza D dipende non solo da R ma anche dalla lunghezza
BC, e quindi dipende dalla posizione del veicolo e dell’ostacolo rispetto al raccordo. Volendo
valutare il valore da assicurare al raggio R nella posizione più sfavorevole poiché è necessario
garantire sempre la distanza di visibilità D, è necessario annullare la derivata prima rispetto a BC.
1
2R
∂D
R
= −h1 ⋅
+ R ⋅ Δi + h2 ⋅
=0
2
∂BC
2
2 ⋅ BC
( R ⋅ Δi − 2 BC ) 2
La lunghezza BC per la quale questa derivata si annulla è pari a
BC =
(
R ⋅ Δi
⋅ h1 − h1 ⋅ h2
2 ⋅ (h1 − h2 )
)
(4)
Sostituendo la (4) nella (3)
D=
RΔi h1 + h2 + 2 ⋅ h1 ⋅ h2
+
Δi
2
Da cui
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R=
h + h2 + 2 ⋅ h1 ⋅ h2
2 ⎛⎜
⋅ D− 1
Δi ⎜⎝
Δi
⎞
⎟
⎟
⎠
(B)
A differenza dell’equazione ottenuta nel caso in cui D < L, in questo caso il raggio R del raccordo
dipende dalla variazione di pendenza Δi. L’equazione presenta un andamento crescente al crescere
della differenza di pendenza Δi, raggiunge il punto di massimo per D = L, oltre il quale decresce al
crescere della differenza di pendenza Δi. Questa è la relazione riportata dal D.M. 05.11.2001 per
calcolare il raggio R del raccordo verticale convesso nel caso D > L.
Le equazioni (A) e (B) danno origine, nel piano Δi-R per una distanza D fissata, a due curve valide
nei rispettivi campi D < L e D > L, la cui unione genera le curva riportata nei due diagrammi
proposti dal D.M. 05.11.2001 per il calcolo del raggio R dati Δi e D. I due diagrammi si
differenziano poiché il primo è calcolato per la distanza di visibilità per arresto con h1 = 1.1 m e h2
= 0.1 m, mentre il secondo per la distanza di visibilità per il sorpasso con h1 = 1.1 m e h2 = 1.1 m.
Figura 5.3.3.a del D.M. 05.11.2001
Figura 5.3.3.b del D.M. 05.11.2001
Dai diagrammi si può osservare che per Δi piccoli, quando D > L, la curva interseca l’asse delle
ascisse. Ciò significa che la distanza di visibilità D è garantita anche senza inserire un raccordo
verticale. Ovviamente, anche in questo caso il raccordo deve essere utilizzato in base agli altri due
criteri di dimensionamento del raggio minimo del raccordo verticale.
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Il raccordo concavo (sacca)
Il raccordo concavo, a differenza di quello convesso, non limita la distanza di visibilità in tutti i
casi, ma solo in particolari condizioni. In effetti, di giorno, in condizioni di buona luminosità un
oggetto posto sulla carreggiata può essere visto dal guidatore indipendentemente dal valore del
raggio Rv del raccordo, così come un veicolo che proviene in senso opposto. Analogamente, anche
di notte un veicolo che proviene in senso opposto è identificato poiché i suoi fari sono ben visibili
nel buio. In effetti, l’unica distanza di visibilità D che deve essere verificata per un raccordo
concavo è quella relativa all’arresto ma limitatamente al caso notturno. Infatti, in questo caso è
necessario che il fascio di luce prodotto dai fari del veicolo illumini l’ostacolo posto sulla
carreggiata ad una distanza superiore o, al limite uguale, alla distanza di visibilità per l’arresto.
Caso D < L
Poiché AA’ è piccolo rispetto ad AC ed inoltre R è grande si può ritenere che:
AC ≅ A' C ≅ D
Con riferimento alla figura vale
BC = BB'+ B' C = h f + A' C ⋅ senε ≅ h f + D ⋅ senε
Con hf altezza dei fari ed ε semiapertura degli stessi fari; vale inoltre
AC
α
= R ⋅ sen
2
2
L’angolo BAC vale
quindi
α
2
sen
α
2
=
AC
D
≅
2R 2R
(1)
e pertanto
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BC = AC ⋅ sen
α
2
(2)
Unendo le equazioni (1) e (2) si ottiene
BC = AC ⋅
D D2
≅
2R 2R
Sostituendo BC
h f + D ⋅ senε =
D2
2R
Da cui si può ricavare il valore di R, ovviamente indipendente da Δi
R=
D2
2 ⋅ (h f + D ⋅ senε )
(C)
Questa è la relazione riportata dal D.M. 05.11.2001 per calcolare il raggio R del raccordo verticale
concavo nel caso D < L.
Caso D > L
Nel caso D > L, procedendo in modo simile a quello utilizzato per il raccordo convesso, si perviene
alla seguente equazione:
R=
(h f + D ⋅ senε )⎤
2 ⎡
⋅ ⎢D −
⎥
Δi ⎣
Δi
⎦
(D)
L’equazione dipende dalla differenza di pendenza Δi e presenta un andamento simile a quello della
corrispondente equazione del raccordo convesso: cresce al crescere della differenza di pendenza Δi,
raggiunge il punto di massimo per D = L, oltre il quale decresce al crescere della differenza di
pendenza Δi.
Analogamente al caso del raccordo convesso, le equazioni (C) e (D) danno origine, nel piano Δi-R
per una distanza di visibilità D fissata, a due curve valide nei rispettivi campi D < L e D > L, la cui
unione genera le curva riportata nel diagramma proposto dal D.M. 05.11.2001 per il calcolo del
raggio R dati Δi e D. Il diagramma è calcolato per la distanza di visibilità per arresto con h1 = 1.1 m
e h2 = 0.1 m.
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Figura 5.3.4.a del D.M. 05.11.2001
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89
IL DIAGRAMMA DELLE VELOCITA’
Numerosi studi hanno evidenziato la relazione che esiste tra il raggio della curva ed il tasso di
incidentalità. All’ aumentare del raggio si riscontra una diminuzione significativa dell’incidentalità
fino a raggi dell’ordine dei 300÷400 m. Oltre tali valori l’incidentalità decresce molto più
lentamente fino a raggiungere un tasso costante.
Figura
L’andamento del rateo di incidentalità in funzione del raggio della curva circolare secondo
diversi studi (Lamm et al. 1994).
In effetti, questo legame tra raggio ed incidentalità può essere spiegato ricorrendo alla velocità.
Infatti, tanto più è piccolo il raggio tanto maggiore è la riduzione di velocità che, mediamente, deve
essere realizzata per percorrere la curva in sicurezza. e, di conseguenza, tanto più è facile che un
guidatore sottovaluti la riduzione necessaria provocando l’incidente. Questa semplicistica
spiegazione rivela che il legame tra raggio ed incidentalità è complesso e non dipende solo dal
raggio della curva ma anche dalla velocità di avvicinamento alla curva stessa. Infatti, una curva di
raggio medio-basso non presenta un tasso di incidentalità particolarmente elevato se il tracciato
della strada a monte permette velocità di avvicinamento comparabili con la velocità alla quale la
stessa curva può essere percorsa in condizioni di sicurezza. Sintetizzando, un elemento geometrico
che presenta certe caratteristiche geometriche non è pericoloso di per sé, ma in base al tracciato nel
quale è inserito. Proprio per verificare la “coerenza” (consistency) di un tracciato stradale, cioè
l’assenza di pericolose variazioni di velocità dovute ad un errato accostamento dei diversi elementi
geometrici, si utilizza il diagramma delle velocità (speed-profile). Il diagramma delle velocità si
realizza assegnando ad ogni elemento geometrico una velocità di percorrenza, unendo queste
velocità sulla base di opportune leggi di accelerazione e decelerazione e verificando quindi che le
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90
differenze di velocità tra gli elementi contigui non superino determinati valori di riferimento.
Inoltre, la disponibilità dell’andamento delle velocità lungo tutto il tracciato permette anche la
verifica delle distanze di visibilità (arresto, sorpasso, intersezioni, ecc). In letteratura esistono
modelli di diagrammi delle velocità che utilizzano la velocità operativa (ad esempio l’Interactive
Highway Safety Design Module della Federal Highway Administration) oppure la velocità di
progetto desunta da modelli teorici di equilibrio.
Il diagramma delle velocità proposto nel D.M. 05.11.2001 per la verifica del tracciato si costruisce
sulla base del solo tracciato planimetrico utilizzando la velocità di progetto. La sua costruzione si
basa sulle seguenti ipotesi:
1.
In rettifilo, sugli archi di cerchio con raggio non inferiore a R2,5 e sulle clotoidi, la velocità
tende al limite superiore dell’intervallo della velocità di progetto Vp max;
2.
la velocità è costante lungo gli archi di cerchio con raggio inferiore a R2,5 e corrisponde alla
velocità di progetto Vp calcolata in funzione del raggio R della curva;
3.
i valori dell’accelerazione e della decelerazione sono pari a 0,8 m/s2;
4.
gli spazi di accelerazione all’uscita delle curve circolari e quelli di decelerazione all’ingresso
delle curve circolari ricadono soltanto sui rettifili, sugli archi di cerchio con raggio non
inferiore a R2,5 e sulle clotoidi;
5.
il profilo longitudinale non influenza la velocità.
La lunghezza di transizione DT è la lunghezza che serve per passare dalla velocità Vp1 alla velocità
Vp2 di due elementi che si succedono lungo il tracciato:
2
DT =
v p1 − v p 2
2a
2
=
ΔV ⋅ Vm
12.96 ⋅ a
Dove:
vp1
velocità di progetto del primo elemento [m/s]
vp2
velocità di progetto del secondo elemento [m/s]
a
accelerazione o decelerazione [m/s2]
ΔV
differenza di velocità tra Vp1 e Vp2 [km/h]
Vm
velocità media tra Vp1 e Vp2 [km/h]
Affinché il guidatore in avvicinamento ad una curva inizi a decelerare per tempo, ovvero ad una
distanza DT dalla curva, è necessario che il guidatore veda la curva e quindi la distanza di visibilità
disponibile DV che precede la curva deve essere maggiore della lunghezza di transizione DT;
DV ≥ DT
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Inoltre, la lunghezza di transizione DT deve essere minore della massima distanza di visibilità alla
quale un guidatore può vedere la curva e apprezzarne il raggio poiché in caso contrario egli non
inizierebbe la decelerazione. Tale distanza di visibilità, detta distanza di riconoscimento Dr,
corrisponde alla massima distanza di visibilità entro la quale il guidatore riconosce le informazioni
visive e le utilizza per modificare la condotta di guida ed è pari alla distanza percorsa in 12 secondi
alla velocità di avvicinamento:
DT ≤ Dr = 12 × vp avv
La costruzione del diagramma delle velocità è rappresentata nella figura seguente (tratta dal D.M.
05.11.2001) e si compone di diverse fasi. Innanzitutto, è necessario redigere il diagramma delle
curvature dell’asse stradale. Ai tratti a curvatura costante si associano le relative velocità di progetto
e quindi, identificati i punti di inizio accelerazione e termine decelerazione, si possono riportare le
distanze di transizione DT.
R= -386
D6
R= -546
D5
A= 450
A= 450
R= -730
A= 450
R= -1000
A= 450
A= 450
R= 880
R= 667
A= 360
A= 360
R= -820
A1=550
A2=450
R=1500
3
Curvatura 1/R X 10
2
A= 550
DIAGRAMMA DELLE CURVATURE
3
1
0
-1
-2
-3
D1
D2
D3
D4
D7
Velocità di progetto (km/h)
150
Velocità di progetto (km/h)
Progressive
150
140
DIAGRAMMA DELLE VELOCITA'-PRIMA FASE
VP1
140
130
VP6
VP4
VP2
140
135
131
VP5
VP3
120
125
120
VP7
110
110
VP8
100
95
90
80
Progressive
140
DIAGRAMMA DELLE VELOCITA'-FASE FINALE
VP1
140
130
VP6
VP4
VP2
140
135
131
VP5
VP3
120
VPmax = 140
V*
P6
135
125
120
VP7
110
110
VP8
100
95
90
80
1
2
3
Progressive
4
5 6
7
verso di percorrenza
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I casi che si possono presentare dipendono dalla distanza D esistente tra le due curve con velocità di
progetto Vp1 e Vp2 e le relative distanze di transizione DT1 e DT2 calcolate tra la velocità di progetto
della curva e la Vp max:
D > DT1 + DT2
La Vp max è raggiunta e mantenuta per una lunghezza pari a (D - DT1 + DT2) tra
le due curve;
D = DT1 + DT2
La Vp max è raggiunta in un unico punto tra le due curve;
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D < DT1 + DT2
con D ≥ max(DT1; DT2). La massima velocità raggiunta lungo D è V*, che è
inferiore alla Vp max. La V* è calcolata con il seguente sistema in cui le distanze
di transizione dT1 e dT2 sono calcolate tra la velocità di progetto della curva e la
velocità V*:
dT1 =
dT 2 =
v *2 −v p1
2
2a
v * 2 −v p 2
2
2a
D = dT1 + dT2
D < DT1 + DT2
con D < max(DT1; DT2). In questo caso l’andamento del diagramma delle
velocità dipende dal rapporto tra Vp1 e Vp2 ricordando che non è possibile
percorrere una curva circolare a velocità superiore alla sua velocità di progetto.
Se Vp1>Vp2 è necessario iniziare a decelerare lungo la prima curva per arrivare
sul punto di tangenza della curva successiva alla Vp2. Se Vp1<Vp2 tutta la prima
curva è percorsa alla Vp1 ma, accelerando a partire dal punto di tangenza finale,
la Vp2 non è raggiunta sul punto di tangenza della seconda curva e quindi
l’accelerazione continua all’interno di essa.
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Una volta costruito il diagramma delle velocità e verificato che per tutte le curve la lunghezza di
transizione DT non sia superiore alla distanza di visibilità DV ed alla distanza di riconoscimento Dr,
occorre verificare il diagramma per entrambi i sensi di marcia per assicurare l’omogeneità del
tracciato.
Per strade con Vp max≥ 100 km/h (autostrade, strade extraurbane principali secondarie, locali):
nel passaggio da un tratto caratterizzato dalla Vp max ad una curva con una Vp inferiore, la differenza
di velocità non deve superare 10 km/h. Tra due curve successive questa differenza, comunque mai
superiore a 20 km/h, è preferibile non superi i 15 km/h.
Per strade con Vp max≤ 80 km/h (strade urbane di scorrimento, di quartiere, locali):
nel passaggio da un tratto caratterizzato dalla Vp max ad una curva con una Vp inferiore, la differenza
di velocità non deve superare 5 km/h. Tra due curve successive questa differenza, comunque mai
superiore a 20 km/h, è preferibile non superi i 10 km/h.
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IL COORDINAMENTO PLANOALTIMETRICO
Nei capitoli precedenti sono stati illustrati i criteri per la progettazione separata dell’andamento
planimetrico e di quello altimetrico dell’asse stradale. Tuttavia, la definizione separata di questi due
andamenti, anche se si sono rispettati i criteri e le regole previste, può non condurre ad una
soluzione complessiva accettabile. Infatti, come già osservato in precedenza, l’asse stradale è in
realtà una linea tridimensionale che si sviluppa nello spazio e pertanto una sfavorevole
sovrapposizione dell’andamento planimetrico e di quello altimetrico può dar luogo a difetti di
percezione ottica che possono avere conseguenze anche sulla sicurezza della circolazione. Infatti, il
guidatore attinge la maggior parte delle informazioni visive che utilizza per definire la condotta di
guida dall’andamento del nastro stradale e della relativa segnaletica orizzontale. Ad esempio, la
figura seguente permette di osservare come la sovrapposizione di un raccordo verticale ad una curva
planimetrica possa influenzare la percezione della sua curvatura e indurre quindi l’utente ad una
errata valutazione sulla sua velocità di percorrenza.
Figura
L’influenza sulla percezione della curvatura di una curva planimetrica (caso d) della
sovrapposizione di un raccordo convesso (caso e) e concavo (caso f) (Lamm et al. 1994).
La migliore sovrapposizione dell’andamento altimetrico a quello planimetrico si ottiene quando il
raccordo verticale è inserito solo in un tratto rettilineo e ad una distanza dalle curve circolari tale da
non influire sulla loro percezione. In particolare, deve essere verificato che un raccordo convesso
posto subito prima di una curva circolare non la nasconda agli occhi del guidatore in avvicinamento,
ovvero che la distanza di visibilità in avvicinamento alla curva sia superiore alla lunghezza di
transizione prevista dal diagramma delle velocità.
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Per evitare che l’errata sovrapposizione dell’andamento planimetrico e di quello altimetrico crei
condizioni che possono influire la percezione ottica o, nei casi peggiori, mascherare parte del
tracciato, il D.M. 05.11.2001 riporta una serie di “difetti” di coordinamento che devono essere
evitati o, perlomeno, limitati aumentando quanto più possibile il valore del raggio del raccordo
verticale.
Infine, quando un raccordo concavo segue, anche con l’interposizione di una livelletta a pendenza
costante, un raccordo convesso l’utente può non vedere una parte del tracciato. Questa situazione si
definisce come perdita di tracciato. La mancanza di un tratto di tracciato nel campo visivo del
guidatore può creare una condizione di incertezza e disagio, in particolare se la strada ricompare a
breve distanza. Pertanto, il D.M. 05.11.2001 riporta una tabella che, in funzione della velocità di
avvicinamento, riporta la distanza di ricomparsa, ovvero la minima distanza al di sotto della quale
non può ricomparire la strada. Occorre evitare che si verifichi la perdita del tracciato in particolare
quando nella parte di strada al di fuori della vista del conducente vi sono curve o intersezioni.
Figura
La perdita di tracciato e la distanza di ricomparsa (fig. 5.5.3.a D.M. 05.11.2001).
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