FILTRI ATTIVI
1
Introduzione
I filtri vengono in genere suddivisi in alcune categorie in
base al modo in cui la tensione di uscita varia rispetto a
quella d’ingresso. Tali categorie sono:
• Passa basso
• Passa alto
• Pasa banda
• Elimina banda
2
Filtro Passa Basso
La banda passante di un PASSA BASSO è, per
definizione, compresa tra 0 Hz (segnale continuo) e la
frequenza di taglio fc , in corrispondenza della quale il
tensione di uscita diventa il 70.7% del valore massimo
assunto dalla stessa tensione nella banda passante.
3
Filtro Passa Basso
La banda passante ideale, rappresentata in figura
dalla zona in colore compresa tra le linee tratteggiate,
si porta istantaneamente a zero (cioè è caratterizzata
da una pendenza infinita) in corrispondenza della
frequenza fc .
La larghezza di banda di questo tipo di filtro risulta
pertanto uguale ad fc.
4
Filtro Passa Basso
Sebbene una risposta ideale non sia praticamente
realizzabile, è comunque possibile ottenere pendenze
(roll-off ) di -20 dB/decade e anche maggiori.
La figura riporta alcune risposte in frequenza ideali di un
filtro passa basso, ciascuna caratterizzata da una
pendenza diversa.
5
Filtro Passa Basso
La pendenza di -20 dB/decade si ottiene mediante un'unica
rete RC composta da una resistenza e da un
condensatore.
Per realizzare pendenze maggiori occorre collegare
opportunamente tra loro più reti RC.
Ciascuna di tali reti viene chiamatata POLO (anche se tale
denominazione è, da un certo punto di vista, impropria per
quanto riguarda la teoria dei sistemi controllati).
La frequenza di taglio di un filtro RC è quella per cui si ha
che Xc = R e pertanto è data dalla relazione
1
fc 
2RC
6
Filtro Passa Alto
La risposta del filtro PASSA ALTO consiste nella
attenuazione di tutti i segnali con frequenze inferiori a fc ,
e nel lasciare invece passare tutti i segnali con frequenze
superiori a fc.
Come per il Passa Basso la frequenza di taglio è la frequenza
in corrispondenza della quale il valore della tensione di
uscita diventa il 70.7% del valore massimo assunto dalla
stessa tensione nella banda passante (figura).
7
Filtro Passa Alto
Come nel caso del filtro passa basso RC, anche la
frequenza di taglio del Passa Alto corrisponde alla
frequenza in corrispondenza della quale si ha Xc = R e,
di conseguenza, è data dalla relazione
1
fc 
2RC
La risposta di un filtro Passa Alto si estende da fc
fino a una frequenza il cui valore risulta fissato dalle
limitazioni imposte dall'elemento attivo (transistor o
amplificatore operazionale) utilizzato nel filtro.
8
Filtro Passa Alto
La risposta ideale, indicata dalla zona in colore racchiusa
nelle linee tratteggiate, si porta istantaneamente a zero
(pendenza infinita) in corrispondenza di fc.
Tale comportamento è, ovviamente, irrealizzabile.
E’ però possibile ottenere pendenze di 20 dB/decade o
multiple di questo valore, tenendo presente che ciascun
POLO (cioè ciascuna rete RC) introduce una
pendenza di 20 dB/decade.
9
Filtro Passa Banda
Un filtro Passa Banda consente il passaggio di tutti i
segnali le cui frequenze fanno parte di una BANDA
compresa tra una frequenza limite inferiore e una
frequenza limite superiore, mentre impedisce il passaggio
di tutti i segnali con frequenze esterne alla suddetta
banda.
10
Filtro Passa Banda
La larghezza di banda (BW) è definita come la
differenza tra la frequenza di taglio superiore (fc2) e la
frequenza di taglio inferiore (fc1):
BW
fc2fc1
Le frequenze di taglio sono le ascisse della risposta in
frequenza in corrispondenza delle quali l'ampiezza della
risposta stessa è il 70.7% del suo valore massimo.
11
Filtro Passa Banda
Queste frequenze di taglio vengono anche chiamate
frequenze a -3 dB.
La frequenza rispetto alla quale risulta centrata la banda
passante viene chiamata FREQUENZA CENTRALE f0 .
Essa è definita come media geometrica delle frequenze
di taglio:
f0  fc1 fc2
12
Filtro Passa Banda
Il fattore di qualità Q di un filtro passa banda è il rapporto
tra la frequenza centrale e la larghezza di banda del filtro
stesso:
f0
Q
BW
Il valore di Q è un'indicazione della SELETTIVITÀ di un filtro
Passa Banda.
Quanto più elevato è Q, tanto più stretta risulta la larghezza
di banda e, di conseguenza, migliore risulta la selettività
del filtro per un dato valore di Q.
13
Filtro Passa Banda
I filtri Passa Banda vengono talvolta classificati:
• a banda stretta se è Q > 10
• a banda larga se è Q < 10
Il fattore di qualità Q può anche essere espresso in
funzione del fattore di smorzamento DF (damping factor)
del filtro nel modo seguente:
1
Q
DF
14
Filtro Elimina Banda
Un'altra categoria di filtri attivi è quella deí filtri
Elimina Banda (che vengono a volte designati anche con
il termine inglese NOTCH ).
Il comportamento di questo tipo di filtro esattamente
I’opposto di quello del filtro passa banda.
Nel filtro Elimina Banda, infatti, tutti i segnali con frequenze
comprese in una data larghezza di banda vengono respinti
mentre è consentito il passaggio a tutti i segnali con
frequenze esterne ad essa.
15
Filtro Elimina Banda
Nella figura è riportato un esempio di risposta in frequenza
di un filtro elimina banda.
Si noti che, esattamente come nel caso della risposta in
frequenza del filtro Passa Banda, la larghezza di banda è
l'insieme di frequenze comprese tra i punti a 3dB.
16
Check-up
• La larghezza di banda di un filtro Passa Basso è
determinata da……..
• Che cosa limita la larghezza di banda di un filtro
Passa Alto?
• In un filtro Passa Banda, che relazione esiste tra il
Q e la larghezza di banda?
• In che modo la selettività di un filtro dipende dal Q
del filtro?
17
Filtri: caratteristiche delle risposte
Ciascun tipo di risposta (Passa Basso, Passa Alto,
Passa Banda o Elimina Banda), può essere
opportunamente sagomata attribuendo certi valori ai
componenti circuitali.
Si ottengono così la caratteristica Butterworth, la
caratteristica di Chebyshev o quelIa di Bessel.
Ognuna di queste è riconoscibile dal particolare
andamento (sagoma) della corrispondente risposta in
frequenza e può risultare più o meno vantaggiosa delle
altre a seconda delle applicazioni.
18
Filtri: caratteristiche delle risposte
Caratteristica di Butterworth Q = 0.707
• Risposta in frequenza massimamente piatta nella banda
passante.
• roll-off di -20 dB/decade per polo
• banda di transizione larga
• risposta in ampiezza sempre decrescente al crescere della
frequenza
• la pulsazione naturale, ω0 , coincide con quella a - 3 dB,
per ogni ordine del filtro
• risposta all’impulso con overshot
19
Filtri: caratteristiche delle risposte
Caratteristica di Bessel
Q = 0.577
• Risposta in frequenza meno piatta nella banda passante.
• roll-off iniziale minore di -20 dB/decade per polo
• banda di transizione meno larga rispetto a Butterworth
• risposta in ampiezza sempre decrescente al crescere
della frequenza
• la pulsazione naturale, ω0 , NON COINCIDE con quella
a - 3 dB, per ogni ordine del filtro
• risposta all’impulso priva di overshot.
20
Filtri: caratteristiche delle risposte
Caratteristica di Chebyshev
0.707 < Q < 1.306
1.306
• Risposta in frequenza caratterizzata da una serie di
ondulazioni nella banda passante.
• roll-off iniziale maggiore di -20 dB/decade per polo
• banda di transizione meno larga rispetto a Butterworth
• risposta in ampiezza sempre decrescente al crescere
della frequenza
• la pulsazione naturale, ω0 , NON COINCIDE con quella
a - 3 dB, per ogni ordine del filtro
• risposta all’impulso priva di overshot.
21
Filtri: caratteristiche delle risposte
Il fattore di smorzamento
Un filtro attivo può essere progettato in modo tale da
esibire una risposta di tipo
• Butterworth,
• Chebyshev
• Bessel
indipendentemente dal fatto che si tratti di un
passa-basso, di un passa-alto, di un passa-banda o di
un filtro elimina-banda.
È il fattore di smorzamento DF (damping factor) di un
filtro attivo che stabilisce qual è il tipo di risposta
che caratterizza il filtro stesso.
22
Filtri: caratteristiche delle risposte
Struttura di un filtro attivo
Per spiegare questo concetto,consideriamo
la struttura generalizzata di filtro attivo riportata in
figura.
Essa risulta costituita da
• un amplificatore,
• un circuito di retroazione negativa
• una sezione di filtraggio.
23
Filtri: caratteristiche delle risposte
L’ amplificatore e la retroazione sono connessi in
configurazione non invertente.
Il fattore di smorzamento è determinato dal circuito di
retroazione negativa e risulta definito dalla seguente
espressione:
1
DF  α 
Q
R1
K  1
 ACL
R2
R1
R1
DF  2 
 3  (1
)  3 K
R2
R2
K  3 
DF  3  K
24
Filtri: caratteristiche delle risposte
Il valore di DF che fornisce un certo tipo di risposta
dipende dall’ordine del filtro, cioè dal numeri di poli.
Esempio 1: per ottenere una risposta alla Butterworth
deve essere Q = 0,707 e quindi
1
DF   1,414
Q
da cui
R2
 2  DF  2  1,414  0,586
R1
e, ponendo R1 = 10 000Ω, si ottiene R2 = 5 860Ω
Pertanto il GUADAGNO ad anello chiuso dell’ A.D. sarà
R2
AcL  1  1 0,586  1,586  (4dB)
R1
25
Filtri: caratteristiche delle risposte
Esempio 2: per ottenere una risposta alla Bessel si pone
Q = 0,577 e quindi
1
1
DF 

 1,73
Q 0,577
da cui
R2
 2  DF  2  1,73  0,27
R1
e, ponendo R1 = 10 000Ω, si ottiene R2 = 2 700Ω
Pertanto il GUADAGNO ad anello chiuso dell’A.D. sarà
R2
AcL  1 
 1  0,27  1,27
R1
26
Filtri: caratteristiche delle risposte
La frequenza di taglio è determinata dai componenti
che compongono la rete RC selettiva del filtro.
Polo singolo:
fc 
1
2RC
pendenza - 20 dB/decade
Scambiando C con R si ottiene un filtro Passa Alto con
uguale fc
R
U1
+
OUT
C
-
R2
R1
27
Filtri: caratteristiche delle risposte
• Filtri con tre o più poli ( pendenza > 20 dB/decade ) si
ottengono prendendo in cascata più sezioni del 2° e
1° ordine.
Vi n
RETE
U1
+
RETE
OUT
-
U2
+
R
RETE
OUT
OPAMP
-
U3
+
R
Vo ut
OUT
OPAMP
-
R
OPAMP
R
R
R
28
Filtri: caratteristiche delle risposte
Quando si pongono però più sezioni in cascata, i fattori di
smorzamento devono essere scelti in base a precisi
criteri ed in base al tipo di sagoma che si vuole ottenere.
Ad esempio per realizzare filtri alla Butterworth, fino al 6°
ordine, bisogna utilizzare i valori della tabella seguente:
29
Filtri: caratteristiche delle risposte
1°STADI 2°
3°
O
POLI
DF
R2/R1 STADIO
POLI
DF
R2/R1 STADIO
POLI
DF
R2/R1
ORDINE
PENDENZA
1°
20
1
-
-
-
-
-
-
-
-
2°
40
2
1,41
0,586
-
-
-
-
-
-
3°
60
2
1,00
1
1
1,00
1
-
-
-
4°
80
2
1,85
0,152
2
0,765
1,23
-
-
-
5°
100
2
1,00
1
2
1,62
0,38
1
0,62
1,38
6°
120
1
1,93
0,068
2
1,41
0,586
2
0,52
1,48
30
Filtri: caratteristiche delle risposte
Esempio: si vuole progettare un filtro a 4 poli con
frequenza di taglio di 2 680 Hz e sagoma alla Butterworth.
Sono date RA = RB = 1,8 KΩ
CA1
RA1
RB1
Vin
CA2
U1
+
RA2
RB2
OUT
-
U2
+
R2
Vout
OUT
CB1
-
R4
CB2
R1
R3
31
Filtri: caratteristiche delle risposte
-
Dovendo essere alla Butterworth, il filtro sarà composto da due
sezioni del 2° ordine con uguale fc.
fc 
1
2RC
C
1
1

 0,032F
2fcR 2  2680  1800
-
Quindi CA1 = CA2 = CB1 = CB2 = C = 0,032 uF
Si può scegliere, per semplificare, R1 = R3 = 1 800 Ω
-
Primo stadio: dalla tabella,
DF 1  1,85 

R2  0,15  R1  0,15 1800  270 
-
Secondo stadio: dalla tabella,
R2
 0,15
R1
R4
DF 2  0,765 

 1,235
R3
R 4  1,235  R3  1,235  1800  2,22 K
32