MATEMATIZZAZIONE
Con il termine “Matematizzazione”
intendiamo quel processo
attraverso il quale si tenta di
“tradurre” nel formalismo
matematico un problema espresso
nel linguaggio comune, generando
un “modello matematico”.
Attenzione
-Non è detto che un problema, espresso nel
linguaggio comune, possa essere sempre
espresso nel linguaggio matematico;
- Non è detto che il modello matematico sia
unico;
- Non è detto che il modello “funzioni” (con
tutte le ambiguità ed imprecisioni che tale
locuzione porta con sé).
Alcuni Punti Nodali
• Formulazione chiara e precisa, già nel
linguaggio comune, di tutti i termini del
problema;
• Idea di un possibile obiettivo (= soluzione
accettabile, prevedibile ,…);
• Riconoscimento, anche solo parziale, di quelli
che potrebbero essere i “costituenti” essenziali
del problema, anche in funzione dell’obiettivo
atteso;
• Analisi di alcune situazioni ideali/limite;
• Riconoscimento dei concetti matematici che
possono tradurre i “costituenti” individuati;
• Formalizzazione del Modello Matematico;
• Studio del Modello:
• Qualità matematiche “a priori” della soluzione;
• Esistenza di soluzioni;
• Unicità della soluzione
• Rappresentazione della/e soluzioni
• Approssimazione della/e soluzioni
• Dipendenza dai dati
• Verifica delle soluzioni matematiche in termini di
“predicibilità” .
Un esempio interno alla Matematica
La riduzione a problemi di Algebra e di
Analisi di molti problemi di Geometria.
In questi problemi si osserva anche una
peculiarità della modellizzazione:
La riduzione matematica, pur motivata da
una situazione concreta e ben precisa,
permette poi di estendere le informazioni
ottenute ad una ampia classe di problemi
che, a prima vista, potevano sembrare
lontani da quello originario
Pregio dellla MATEMATIZZAZIONE
Il Problema concreto da cui si è partiti
diviene uno dei tanti ai quali si può dare
una qualche risposta studiando il modello.
Spesso la modellizzazione rivela delle
“vicinanze” insospettate tra problemi
concreti riferibili a contesti umani
lontanissimi tra di loro; la concretezza dei
contesti, con la loro ricchezza di
informazioni, non permette, generalmente,
di osservare, utilizzando il solo linguaggio
comune, la “vicinanza” dei problemi.
Analisi di un esempio
Esercizio concreto di Geometria
Controllo
Modello Algebrico-Analitico concreto
Passaggio ad esercizio con parametri
Controlli
Modello parametrico
Classi di esercizi
ALCUNE OSSERVAZIONI SUI MODELLI
1. ACQUISIRE UNO, O PIU’, DEI POSSIBILI
SIGNIFICATI
CONCRETI
DEL
MODELLO,
PRIVILEGIANDO, SE POSSIBILE, UN PROBLEMA
2. ANALIZZARE I PARAMETRI CONTENUTI NEL
MODELLO, COMPRENDERNE IL SIGNIFICATO E
STUDIARE IL COMPORTAMENTO DEL MODELLO
PER VALORI SIGNIFICATIVI DEI PARAMETRI SUL
PROBLEMA GUIDA
3. CONFRONTARE IL MODELLO CON ALTRI CHE
INTERESSANO IL PROBLEMA ED INDAGARE LE
ANALOGIE CON ALTRI MODELLI MATEMATICI.
ESERCIZIO 1
• Se 2x+1=8 quanto vale 4x+1 ?
• Risoluzione: x = 7/2 allora …
Ma si può procedere anche così:
2x + 1 = 8  2(2x+1) = 16  4x+ 2 =16
 4x+1 = 15
ESERCIZIO 2
Sia dato il triangolo rettangolo in figura;
supponendo che AB = 12, CB = 5 e che inoltre
AN = AB e CM = CB, determinare MN .
A
12
M
N
Basta osservare che
posto x = MN si ha:
12 + 5 –x = (AC =) 13
C
5
B
ESERCIZIO 3
Quali termini togliere dalla somma seguente
affinché la somma dei restanti sia 1 ?
1 1 1 1 1
1
   

2 4 6 8 10 12
Risposta: Consideriamo il
mcm; esso è 120;
riscriviamo la somma riducendo tutti gli addendi allo
stesso denominatore; si ottiene che la precedente
somma si può scrivere così:
60  30  20 1512 10
120
ESERCIZIO 4
Siano a, b, c, d numeri reali diversi da zero e
siano x,y per cui: ax+b=0 e cy+d=0. Allora
dire x<y equivale a dire:
1. bc < ad
2. ad < bc
3. ac < bd
4. c/a < d/b
5. d/c < b/a
La risposta esatta è la n. 5. L’errore che spesso
si commette, in situazioni di questo genere, è
quello di ritenere che i coefficienti siano di segno
assegnato.
ESERCIZIO 5
Prendiamo i numeri dispari e disponiamoli in
cinque colonne come segue:
1
3
5
7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
33 35 37 39
….
In quale delle colonne comparirà il numero
1985 ( 2003 ) ?
Osservazione importante.
Considerando le cinque colonne si
nota questo fatto: le prime due righe
hanno la caratteristica di essere base
per le successive modulo 16; cioè un
numero sta in una colonna se il resto
della divisione per 16 sta nella
colonna. Pertanto la risposta è …
ESERCIZIO 6
Consideriamo il seguente schema formato
da quadrati unitari: Quanto è l’area del
poligono ?
Famosa Formula:
A = Numero punti interni -1 + ½ Numero
dei punti sul bordo
ESERCIZIO 7
Sei sacchetti di palline di cui uno solo di palline
rosse; gli altri contengono palline di altro colore;
Gianna sceglie tre sacchetti e Gianni due; rimane il
sacchetto delle palline rosse. Contando le palline,
Gianna ha il doppio delle palline di Gianni.
Sapendo che i sei sacchetti contenevano 18, 19, 21,
23, 25, 34 palline, Quante sono le palline rosse ?
Detto x il numero delle palline di Gianni ed y quelle
rosse, si ha:
3x + y = 140; pertanto 140 – y deve essere un
multiplo di 3.
Se ne deduce, dopo breve verifica, che y = 23.
ESERCIZIO 8
Consideriamo il cerchio in figura ed il triangolo rettangolo
ADC sul diametro AD; dal centro O si conduca la
perpendicolare al diametro che incontra il cateto AC in B.
Sapendo che OB = 5 e che gli angoli OBA e COD sono di
60°, calcolare BC.
Osserviamo che gli angoli
A
C
B
5
O
D
AOB
e
OAC
sono
entrambi
di
30°;
il
triangolo
COD
è
equilatero
e
quindi,
essendo l’angolo DCA
retto, anche l’angolo BCO
è di 30°. Ne segue che il
triangolo COB è isoscele
sulla base OC. Pertanto
BC=5.
ESERCIZIO 9
• Un parallelepipedo ha i lati in progressione
geometrica ed il volume è di 8 cm3; La superficie
totale è di 32 cm2; quanto vale la lunghezza di tutti
i suoi spigoli ?
x1 , a x1 , a2 x1 sono le tre
lunghezze;
dobbiamo
sapere
quanto vale
x3
x1
x2
S
=
4(x1+x2+x3)=4x1(1+a+a2),
sapendo : x1 x2 x3 = (x1a)3 = 8 e
x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 16 = (x1)2 ( a
+ a3 + a3 ). Si vede che x1 a = 2 ;
pertanto 8 = x1 (1+a+a2).
Dunque S = 32
ESERCIZIO 10
• Sia dato il triangolo ABC con l’angolo in C
triplo dell’angolo in A; sia CB = 27 cm e AB
= 48 cm; quanto è lungo AC ?
B
27
C
H
K
D 48
A
Il triangolo CBD è isoscele sulla
base CD e
il triangolo CDA è
isoscele sulla base AC. Ne segue
che DB = 27; CD = AD = 21.
Nei
triangoli rettangoli CKD e BHD, che
sono simili, si ha subito che BH = ½
(2475)1/2 e,
DB = CD = BH:CK = DH:DK.
Possiamo così calcolare CK e DK e
quindi applicare il teorema di
Pitagora al triangolo AKC, per
ricavare l’ipotenusa AC (=35).
ESERCIZIO 11
Data la parabola y = a x2 + b x + c ,
avente vertice V = (4,2) e passante per
P = (2,0) determinare quanto vale abc.
(4,2)
Il punto (6,0) sicuramente è
punto della parabola, pertanto
l’equazione della parabola
sarà del tipo
y = a (x-2)(x-6)
(2,0)
(6,0)
Imponendo che V appartenga
alla parabola si ottiene a = ½; se ne deduce che, siccome
b = -8a e c = 12 a, allora a b c
= 12
ESERCIZIO 12
• Siano dati x < y < z e sia m = (x + y + z)/3;
siano m* = (x + y)/2 ed m** = (m* + z)/2 .
Sotto quali condizioni m** = m ?
m** = m  ((x + y)/2 + z)/2 = (x + y + z)/3
 (x + y + 2z)3 = (x + y + z)4  2z = (x + y)
 z = (x + y)/2 …… quindi ……
ESERCIZIO 13
• Sia dato il triangolo ABC, con AB = 8 cm, AC = 6
cm e BC = 7 cm. Prolungare CB dalla parte di C e
fissare un punto P per cui i triangoli PAB e PCA
siano simili. Quanto vale PC ?
P
C
6
A
7
Angoli: APC = APB ; PCA = PAB ;
PAC = PBA .
Proporzioni: 6:8 = PC:AP = AP:PB ;
PB = 8 + PC
Qualche conto e poi: PC = 9.
8
B
Una dimostrazione diretta del risultato ?!?
ESERCIZIO 14
• Situazione: Stanza buia, cassetto con calzini di
vari colori (100 rossi, 80 verdi, 60 blu, 40 neri);
occorre prendere 10 paia di calzini. Quanti calzini
almeno devo prendere per essere sicuro di avere
le 10 paia ?
20 calzini devono essere presi (altrimenti non
potrò considerare 10 paia); in questo modo
almeno 16 sono appaiati e quindi abbiamo
sicuramente 8 paia e i restanti 4 (colori) possono
essere spaiati; alla 21 presa rimarranno spaiati 3
soli colori e avremo 9 paia; la 22 potrebbe essere
dello stesso colore della precedente presa e
quindi in definitiva occorre almeno prendere 23
calzini per essere sicuri di avere 10 paia di calzini.
ESERCIZIO 15
• Sia dato un esagono regolare di lato 2 km.
Partendo da un vertice V, in senso antiorario, si
percorrano due lati e la metà del terzo e si
consideri tale punto P; quanto vale VP ?
P
T
V
H
2
Per
note
proprietà
dell’esagono regolare:
TV = 4;
(3/4)1/2
TH = ½ ; PH =
Pertanto PV = (13)1/2
•
•
•
•
ESERCIZIO 16
Sia a numero reale ed f : NxN → R tale che:
f(m,n) = a f(m, n-1) + (1-a) f(m-1, n-1) m, n ½0
f(0,0)= 1
f(m,0) = f(0,m) = 0.
Trovare a per cui : |f(m,n)|  2003 per ogni n, m .
f(p,1) = a f(p,0) + (1-a) f(p-1,0) = 0;
f(1,1) = (1-a) ;
f(2,2) = a f(2,1) + (1-a) f(1,1) = (1-a)2 ; e per induzione:
f(m,m) = (1-a)m per ogni m.
Siccome vogliamo che f sia limitata, deve essere |1-a|  1.
Siccome è anche f(1,n) = (1-a) an-1 (ancora per induzione) deve essere
anche |a|  1. Pertanto a  [0,1].
Supponiamo ora che |f(m,n)|  2003 allora, utilizzando la prima
condizione:
|f(m, n+1)|  a|f(m,n)| + (1-a) |f(m-1, n-1)|  (a + (1-a)) 2003 = 2003
ESERCIZIO 17
Determinare tutte le funzioni F: [0, + ) → [0, + )
per cui
• F(u(Fv))F(v) = F(u+v)
• F(2) = 0
• F(u) diverso da zero per 0 < u < 2.
F(0) = 1 ; difatti per u = 0 si ha: F(0)F(v) = F(v); preso v in ]0,2[
consegue l’asserto.
F(u+2) = 0 ; difatti preso v = 2, si ha F(u+2) = F(uF(2))F(2) = 0.
Sia ora v in ]0,2[ allora v + u  2  u F(v)  2  u  2/F(v)
per ogni u > 0.
Pertanto 2 – v = 2/F(v); quindi
F(v) = 2/(2-v)
per v in ]0,2[
ESERCIZIO 18
• Provare che non esiste f : N → N tale che
f(f(n)) = n + 2003 per ogni n.
Intanto se una siffatta f esistesse si avrebbe che, per ogni n :
f f(n + 2003) = n +2003 + 2003 = f(n) + 2003; per induzione si
prova che:
f f(n + 2003 k) = f(n) +2003 k ,
per ogni n e k.
Allora possiamo definire una funzione tra le classi di N
modulo 2003 ponendo F([n]) = [f(n)]. Si ha:
F F = Identità
Ne segue che esiste r per cui F([r]) = [r]; perciò
r + 2003 = f f(r) = f( r + 2003 k) = f(r) + 2003 k = r + 2003 h +
2003 k; assurdo.
Si può dare una dimostrazione meno “tecnica” ?!?
ESERCIZIO 19
• Se f: R → R verifica le seguenti proprietà
1. f(x + y)  f(x) + f(y) per ogni x, y;
2. f(x)  0 per ogni x,
allora f(x) = 0 per ogni x.
Per ogni x fissato, si ha f(x + y )  f(x) + f(y)  f(x);
pertanto ogni punto x è punto di minimo per la
funzione; ne segue che essa deve essere
costante; se in un punto avesse valore
strettamente positivo si avrebbe f(x) = f(x + y)  f(x)
+ f(y) = 2 f(x) e quindi un assurdo.
•
ESERCIZIO 20
Sia f: R → R verificante le seguenti proprietà
1. f(x + y)  f(x) + f(y) per ogni x, y;
2. f(x0) > 0 ;
3. f continua in R.
Allora esiste x* per cui f(x*) = 0.
Per l’esercizio precedente non può essere f(x) 0 per
ogni x in R, altrimenti dovrebbe coincidere con la
funzione nulla contro la seconda condizione; allora
esisterà un punto y per cui f(y) < 0; pertanto
nell’intervallo di estremi x* ed y potremo applicare il
teorema dell’esistenza degli zeri per le funzioni
continue.
AUGURI
• PER LA VOSTRA PARTECIPAZIONE
ALLE OLIMPIADI (Siate sportivi, ma con
impegno)
E
• PER GLI ESAMI
• PER LA SCELTA UNIVERSITARIA
SIAMO CON VOI
AUGURI