ASCISSA SOPRA UNA RETTA
Sia data una retta r, si fissi:
1) Un verso positivo di percorrenza
2) Un punto O detto Origine
3) Un segmento u detto unità di misura
O
r-
u
r+
r
ASSE DELLE ASCISSE
• Preso un punto P sull’asse delle ascisse, a P
si può sempre associare xPR, ovvero la
misura del segmento OP, presa col segno +
(-) se P appartiene al semiasse positivo
(negativo) xP è chiamata ascissa di P
• Viceversa, xR ! P  r : x= xP .
• Esiste una corrispondenza biunivoca tra
numeri reali e punti della retta.
COORDINATE CARTESIANE NEL
PIANO
Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti
nel punto O, si fissi su ciascuna:
1) Un verso positivo di percorrenza
2) Una unità di misura
Si ottiene così un sistema di riferimento
cartesiano
Ortogonale / obliquo
Monometrico / dimetrico
COORDINATE CARTESIANE NEL
PIANO
• Si dimostra che ad ogni punto P del piano si
può associare una coppia ordinata P=(x,y)
II
III
I
IV
ESEMPIO
P=(-2,3)
3
-2
P=(2,1)
1
-1
P=(-2,-1)
-2
2
P=(2,-2)
ANGOLO
• Prendiamo due semirette a e b aventi la
stessa origine, il piano resta diviso in due
parti, ciascuna delle quali viene detta
angolo.
ANGOLO ORIENTATO
• Verso positivo di rotazione antiorario
b
+
a
a
b
ARCO
• La parte di circonferenza compresa tra i lati
dell’angolo.
B
A
SISTEMI DI MISURA DI
ANGOLI
• SESSAGESIMALE:
grado sessagesimale = la 360a parte
dell’angolo giro.
• CENTESIMALE:
grado centesimale = la 400a parte
dell’angolo giro
• RADIANTE
RADIANTE
• L’angolo al centro che insiste su un arco che
rettificato ha lunghezza pari al raggio.
Misura in radianti di un angolo
• È uguale alla misura dell’arco diviso il
raggio:
• Angolo giro = 2pr / r = 2p
• Angolo piatto = pr / r = p
• Angolo retto = p/2
Misura in radianti di un angolo
p/2
(3/4)p
p
p/4
0
(5/4)p
(7/4)p
(3/2)p
Misura in radianti di un angolo
(4/6)p p/2
(5/6)p
p
(7/6)p
(2/6)p
p/6
0
(11/6)p
(8/6)p (3/2)p (10/6)p
Misura in radianti di un angolo
• Per passare dal sistema sessagesimale a
quello radiante:
360 : 2p = as : ar
Ex: 360 : 2p = 20 : ar
ar = p/9
CIRCONFERENZA
GONIOMETRICA
• Fissato nel piano un sistema di riferimento
cartesiano, la circonferenza con raggio 1 e
centro nell’origine è detta circonferenza
y
goniometrica.
A=(1,0)
x
Seno e coseno
• Seno = ordinata del punto M
• Coseno = ascissa del punto M
y
M=(cos(a), sin(a))
A=(1,0)
Tangente
• Tangente = ordinata del punto T
• tan(a) = sin(a) / cos(a)
y
T = (1, tan(a))
A=(1,0)
Cotangente
Cotangente = ascissa del punto T’
cot(a) = 1 / tan(a) = cos(a) / sin(a)
y
B=(0,1)
T’ = (cot(a), 1)
A=(1,0)
f(x) = sin (x)
y
p/2
y
1
2p x
A=(1,0)
p
(3/2)p
-p/2
p/2
-1
(3/2) p
p
x
2p
Funzione seno
• Dominio R
• Codominio [-1, 1]
• Periodica di periodo 2p
y = cos (x)
y
p/2
y
2p x
A=(1,0)
p
(3/2) p
-p/2
p/2
p
(3/2)p
x
Funzione coseno
• Dominio R
• Codominio [-1, 1]
• Periodica di periodo 2p
y = tan (x)
p/2
y
T = (1, tan(a))
2p
A=(1,0)
p
(3/2) p
y
-p/2
p/2
p
(3/2)px
Funzione tangente
• Dominio = R \ p/2 + kp k  Z
• Codominio = R
• Periodica di periodo p
y = cot(x)
p/2
y
B=(0,1)
T’ = (cot(a), 1)
2p
A=(1,0)
p
(3/2) p
y
x
-p/2
p/2
p
(3/2)p
2p
Relazione tra seno e coseno
• sin2(x) + cos2(x) = 1
y
M=(cos(a), sin(a))
A=(1,0)
sin( x)   1  cos ( x)
2
Relazione tra seno e coseno
• Esempi:
cos (x) = ½
x  [0, p/2]
3
sin( x)  1  1 / 2 
2
2
2
sin( x) 
2
p
x [ ,p ]
2
2
2
cos( x)   1   
4
2
Relazione tra seno, coseno e
tangente
• sin2(x) + cos2(x) = 1
1
1  tan ( x) 
2
cos ( x)
2
1
cos ( x) 
2
1  tan ( x)
2
1
cos( x)  
2
1  tan ( x)
Relazione tra seno, coseno e
tangente
• sin(x) = tan(x) cos(x)
1
sin( x)   tan( x)
2
1  tan ( x)
Valori in archi particolari : p/6
p
1
sin( ) 
6
2
p
3
cos( ) 
6
2
p
1
tan( ) 
6
3
p
cot( )  3
6
Valori in archi particolari: p/3
p
3
sin( ) 
3
2
p
1
cos( ) 
3
2
p
tan( )  3
3
p
1
cot( ) 
3
3
Valori in archi particolari: p/4
p
2
sin( ) 
4
2
p
2
cos( ) 
4
2
p
tan( )  1
4
p
cot( )  1
4
ARCHI SUPPLEMENTARI
• La cui somma è p:
sin(pa) = sin(a)
cos(pa) = - cos(a)
tan(pa) = - tan(a)
cot(pa) = - cot(a)
y
x
ARCHI che differiscono di p
sin(pa) = - sin(a)
cos(pa) = - cos(a)
tan(pa) = tan(a)
cot(pa) = cot(a)
y
x
ARCHI la cui somma è 2p
sin(2pa) = - sin(a)
cos(2pa) = cos(a)
tan(2pa) = - tan(a)
cot(2pa) = - cot(a)
y
x
ARCHI complementari
• La cui somma è p/2:
sin(p/2a) = cos(a)
cos(p/2a) = sin(a)
tan(p/2a) = cot(a)
cot(p/2a) = tan(a)
y
x
ARCHI che differiscono di p/2
sin(p/2a) = cos(a)
cos(p/2a) = - sin(a)
tan(p/2a) = - cot(a)
cot(p/2a) = - tan(a)
y
x
EQUAZIONI
GONIOMETRICHE
• Equazioni in cui le variabili compaiono come
argomento di funzioni goniometriche.
sin(x) = a
cos(x) = a
|a| >1
impossibile
a=1
1 soluzione fondamentale
a= -1
1 soluzione fondamentale
-1< a < 1
2 soluzioni fondamentali
EQUAZIONI
GONIOMETRICHE
tan(x) = a
cot(x) = a
Mai impossibile
1 soluzione fondamentale
ESEMPI
sin(x) = ½
x1 = p/6 + 2kp
x2 = (5/6) p + 2kp
2
cos( x) 
2
x1 = p/4 + 2kp
x2 = (7/4) p + 2kp
ESEMPI
• tan(x) = 1
x = p/4 + kp
• cot(x) = -1
x = (3/4)p + kp