Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
SPINTA DELLE TERRE E OPERE DI SOSTEGNO
► Le opere di sostegno servono a contenere la spinta di un terrapieno e
quella dovuta a eventuali sovraccarichi presenti su esso, equilibrandola
rispetto ai gradi di libertà del sistema.
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
Si distingue tra muri di sostegno e paratie:
MURI DI SOSTEGNO: la spinta del terreno è
equilibrata dal peso proprio della struttura (muri a
gravità) e dal peso del terreno sulla scarpa arretrata
(muri a mensola)
Muro a
gravità
Muro a
mensola
in cls
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
PARATIE: è il terreno che lavora come
elemento spingente e resistente, e la
paratia agisce solo da trasduttore di
sforzi
Paratia libera
Paratia
ancorata
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
► La spinta del terreno viene
valutata come:
H
F    'h dz
0
Il valore ’h è correlato a ’v
attraverso un coefficiente di spinta
K
 'h  K 'v
che può assumere tre differenti
valori.
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►  'h 
K 'v
-In tutte quelle situazioni in cui non sono attesi
movimenti della struttura soggetta alla spinta
(opere rigide) si utilizza il coefficiente di spinta a
riposo K0:
K0 = 0,3 ÷ 0,7 per argille NC e sabbie poco addensate;
K0 = 1 per argille OC con OCR<4;
K0 > 1 per argille OC con OCR>8.
Correlazioni di Jaky:
K0 = 1-sin j’ (terreni NC)
K0 = (1-sin j’)·OCRa con a=0,5 per molte argille
(terreni OC)
Pareti e puntoni RIGIDI
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►  'h 
K 'v
Se invece ci si attende lo spostamento della parete, si calcola la spinta
assumendo che il terreno spingente e/o reagente sia in condizioni di equilibrio
plastico, cioè in condizioni limiti di rottura.
Per il terreno si adotta un legame costitutivo rigido-plastico e si trascurano
pertanto le deformazioni del terreno nelle fasi che precedono la rottura.
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
-Se nel generico elemento di terreno a tergo della parete si arriva a rottura per
decremento della ’h, il valore della tensione a rottura viene detto tensione
attiva ’ha, ed il rapporto
Ka=’ha/’v
è detto coefficiente di spinta attiva.
Questa condizione è verosimile ipotizzando un cinematismo di rottura in cui la
parete trasla verso l’esterno.
D
t
j’
ha’ h0’ v0’
 v’

h’
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
-Se nel generico elemento di terreno a tergo della parete si arriva a rottura per
incremento della ’h, il valore della tensione a rottura viene detto tensione
passiva ’hp, ed il rapporto
Kp=’hp/’v
t
è detto coefficiente di spinta passiva.
Questa condizione è verosimile ipotizzando un
cinematismo di rottura in cui la parete trasla verso il terrapieno.
Il valore di Kp è maggiore del valore di Ka
j’
h0’ v0’
D
 v’
ha’ 
 h’
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►nonostante per il terreno si adotti un legame costitutivo rigido-plastico e si
trascurano pertanto le deformazioni del terreno nelle fasi che precedono la
rottura, occorre tenere presente che nella realtà i valori limiti ’ha e ’hp sono
mobilitati per valori molto diversi dello spostamento di parete.
Per raggiungere la condizione attiva
sono sufficienti spostamenti inferiori a
0,001 H, mentre per mobilitare la
resistenza passiva sono necessari
spostamenti pari a 0,01H÷0,05H
-Per valutare Ka e Kp ci sono due teorie:
la teoria di Rankine e la teoria di Coulomb.
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►Teoria di RANKINE:
Calcola Ka e Kp a partire da considerazioni sul cerchio di Mohr.
Si basa sulle seguenti ipotesi:
1) p.c. a monte del muro orizzontale (la direzione orizzontale e la verticale sono
direzioni principali) e muro con paramento verticale;
2) Superficie di rottura piana;
Piano di rottura in
3) Assenza di attrito muro-terreno
j'
condizioni di spinta attiva
45 
(spinta ortogonale alla perete).
2
1  sin j '
j'
2
Ka 
 tg (45  )
1  sin j '
2
1  sin j '
j'
1
2
Kp 
 tg (45  ) 
1  sin j '
2
Ka
45 
Piano di rottura in
condizioni di spinta
passiva
j'
2
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►Teoria di COULOMB:
Calcola Ka e Kp imponendo l’equilibrio del cuneo di terreno potenzialmente instabile.
Si basa sulle seguenti ipotesi:
1) Il p.c. a monte del muro può essere incinato, con inclinazione i sull’orizzontale
2) Superficie di rottura piana;
3) Presenza di attrito muro-terreno.
Ka 
Kp 
cos 2 (j '  )

sin(   j ' ) sin( j 'i) 
2
cos   cos(    ) 1 

cos(



)
cos(


i
)


2
i
cos 2 (j '  )

sin(   j ' ) sin( j 'i ) 
cos 2   cos(    ) 1 

cos(



)
cos(


i
)


2

In presenza dell’attrito muro-terreno si ha la rotazione della direzione spinta
(la spinta non è più ortogonale alla parete).
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
Se il muro si sposta verso l’esterno,
il terreno si abbassa rispetto alla parete

Il muro tende a opporsi all’abbassamento del terreno,
e quindi trasmette al terreno forze di attrito dirette
verso l’alto

E quindi, dualmente, il cuneo di terreno trasmette al
muro delle forze d’attrito dirette verso il basso

la spinta del terreno sul muro ha una componente
verso il basso
Fa

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
Se la paratia subisce un cedimento,
È la parete che si abbassa rispetto al terreno

il terreno trasmette alla paratia delle forze d’attrito
dirette verso l’alto (tenta di opporsi allo spostamento
verso il basso della paratia)

la spinta del terreno sulla paratia ha una
componente verso l’alto
Fa

Fp

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►Teoria di COULOMB:
Quanto vale ?
 = 0 per pareti metalliche
 = 2j’/3 per cls gettato in opera
 = j’/3 per cls prefabbricato
Ka 
cos 2 (j '  )

sin(   j ' ) sin( j 'i) 
cos   cos(    ) 1 

cos(    ) cos(   i) 

2
2
Kp 
cos 2 (j '  )

sin(   j ' ) sin( j 'i ) 
cos   cos(    ) 1 

cos(    ) cos(   i ) 

2
2
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►La presenza dell’attrito muro-terreno modifica sensibilmente la forme
della superficie di rottura (che è tutt’altro che piana!) e i valori delle
spinte.
Per quanto riguarda l’influenza che possono avere sulla determinazione di Ka e
Kp le assunzioni riguardanti la forma della superficie di rottura si può affermare
che:
-l’assunzione di una superficie di rottura piana nel caso di spinta attiva è
a favore di sicurezza, e non comporta che errori trascurabili dal punto
di vista progettuale; dato che ignorare  è a vantaggio di sicurezza, per
paramento verticale e terrapieno orizzontale si può adottare la teoria di
Rankine.
- Nel caso della resistenza passiva l’assumere una superficie piana
comporta errori grossolani sfavore di sicurezza. Occorre pertanto
riferirsi ad altre soluzioni, riferite a superfici di scivolamento rettilinee
(grafici di Caquot e Kerisel).
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►Se il criterio di resistenza presenta un valore non nullo della coesione efficace c’, i
valori di ’ha e ’hp sono rispettivamente dati da:
 'h a  K a 'v 2c' K a
 'h p  K p 'v 2c' K p
Quando si valuta la spinta a lungo termine in terreni argillosi si preferisce tuttavia
trascurare il contributo della coesione: a causa dello scarico di tensioni e dei
conseguenti processi di rigonfiamento e ammorbidimento dell’argilla a tergo del muro,
le caratteristiche di resistenza al taglio gradualmente di riducono e, a favore di sicurezza,
si fa affidamento solo sull’angolo di attrito.
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►Se si desidera eseguire una verifica a breve termine, immediatamente dopo
l’esecuzione dello scavo e la costruzione dell’opera di sostegno, la determinazione delle
spinte (trascurando l’adesione muro-terreno) scaturisce direttamente dal criterio di
rottura espresso in tensioni totali:
 h a   v 0  2cu
 h p   v0  2cu
t
Cu

vo -2cu
vo
vo +2cu
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►MURI DI SOSTEGNO (ESEMPIO: MURO A MENSOLA)
Superficie libera profonda
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►MURI DI SOSTEGNO (ESEMPIO: MURO A MENSOLA)
Si oppongono alla spinta del terrapieno con il proprio peso e con il peso del
terreno sopra la scarpa
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►MURI DI SOSTEGNO (ESEMPIO: MURO A MENSOLA)
Si oppongono alla spinta del terrapieno con il proprio peso e con il peso del
terreno sopra la scarpa
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►MURI DI SOSTEGNO (ESEMPIO: MURO A MENSOLA)
Si oppongono alla spinta del terrapieno con il proprio peso e con il peso del
terreno sopra la scarpa
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►MURI DI SOSTEGNO (ESEMPIO: MURO A MENSOLA)
H
(altezza
Sa = ½ (Ka H2 g)
“fuori tutto”)
H/3
Ka H g
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►MURI DI SOSTEGNO (ESEMPIO: MURO A MENSOLA)
A vantaggio di sicurezza, la spinta passiva a valle del muro non viene mai
considerata.
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►MURI DI SOSTEGNO (ESEMPIO: MURO A MENSOLA)
Se è presente un
sovraccarico q, questo
farà aumentare la
tensione verticale di q
ad ogni profondità
(rispetto al caso
litostatico), e perciò la
spinta dovuta al
sovraccarico sarà
Sq = q K a H
q
Sq = q Ka H
H/2
Ka q
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►MURI DI SOSTEGNO (ESEMPIO: MURO A MENSOLA)
Cosa accade
nell’ipotesi di
terrapieno
parzialmente (o
totalmente)
sommerso?
Parte del terreno è
sommerso (peso di
volume immerso) e in
più c’è da considerare
la spinta dell’acqua.
Al di sopra della
superficie libera, se il
terreno è asciutto, si
adotterà il peso
dell’unità di volume gd
H1
H2
Ka g H1
Ka g’ H2
gw H2
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►MURI DI SOSTEGNO (ESEMPIO: MURO A MENSOLA)
Alla base della scarpa,
sarà applicata le forza di
attrito al contatto muroterreno (oppure la forza
di adesione nel caso di
terreno di fondazione
argilloso e di verifiche a
breve termine)
T = S (Wi ) tg 
= 2/3j’
per cls gettato
(T = B a cu)
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►MURI DI SOSTEGNO
Alla traslazione sul piano di posa: F ≥ 1,3
Al ribaltamento: F ≥ 1,5
Stabilità del terreno di fondazione: F ≥ 2
Stabilità globale: F ≥ 1,3
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►MURI DI SOSTEGNO: VERIFICA ALLA TRASLAZIONE
Alla traslazione sul piano di posa: F ≥ 1,3
Terreno
granulare
g
W1
H
W2 P
Sa
W3
T
T
F=
 1,3
Sa
Sa =
1
2
g H2 Ka
T = S (Wi ) tg 
Ka g H
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►MURI DI SOSTEGNO: VERIFICA AL RIBALTAMENTO
Al ribaltamento: F ≥ 1,5
Terreno
granulare
d1
d2
H
g
W1
W2 P
Sa
d3
H/3
W3
O
T
F=
Ka g H
Mr =
Ms
Mr
1
 1,5
H Sa
3
Ms = S Wi di
di = braccio della forza
peso Wi rispetto ad O
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►MURI DI SOSTEGNO: VERIFICA DELLA FONDAZIONE
Alla fondazione: F ≥ 2
La verifica va effettuata
adottando la formula di
Terzaghi per le fondazioni
superficiali per il calcolo del
carico limite.
Occorrerà introdurre in essa
degli opportuni coefficienti
correttivi per tenere conto
dell’inclinazione del carico, e
considerare una larghezza
equivalente B* per tenere conto
della eccentricità dell’azione
normale al piano di posa.
H
W Sa
La risultante dei carichi agenti
sul terreno di fondazione
inclinata
è
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►MURI DI SOSTEGNO: VERIFICA DELLA STABILITA’ GLOBALE
Stabilità globale: F ≥ 1,3
Riguarda la stabilita’ del
terreno, nel quale e’ inserito
il muro, nei confronti di
fenomeni di scorrimento
profondo.
Viene eseguita attraverso i
metodi dell’equilibrio
limite.
H
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►PARATIE
La progettazione delle paratie consiste nel definire la profondità di infissione
del diaframma e il tipo di eventuali ancoraggi e/o puntoni oltre che nel
valutare il momento massimo agente sulla struttura.
Gli schemi di calcolo generalmente utilizzati nella pratica si differenziano a
seconda del tipo di struttura:
-diaframma a mensola
-diaframma ancorato
-diaframma ancorato a più livelli di vincolo
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►DIAFRAMMA A MENSOLA
Questo schema viene adottato nel caso di
struttura priva di vincoli: la stabilità è
possibile solo ammettendo di mobilitare
almeno parte (in genere si adotta 0,5 KP
÷0,6 KP anziché KP) della resistenza
passiva disponibile dal lato di valle.
H1
H2
C
KPgH2
KAgH1
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►DIAFRAMMA A MENSOLA
Si impone l’equilibrio dei momenti delle
forze agenti rispetto al punto C e si
ricava la profondità del punto C,
inizialmente incognita, e quindi
l’approfondimento del diaframma al di
sotto del fondo dello scavo.
Dall’equilibrio delle forze orizzontali si
rileva la necessità di ammettere la
presenza di una ulteriore forza agente nel
punto C che in pratica si garantisce
prevedendo un ulteriore
approfondimento del diaframma del
20%÷30% della lunghezza del tratto
infisso che si ricava dall’equilibrio dei
momenti.
H1
H2
C
KPgH2
KAgH1
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►DIAFRAMMA ANCORATO
Si considerano due schemi:
-diaframma ancorato libero di ruotare
alla base;
-diaframma con ancoraggio e con
incastro alla base.
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►DIAFRAMMA ANCORATO LIBERO DI RUOTARE ALLA BASE
Si impone l’equilibrio dei momenti agenti
rispetto al punto A di ancoraggio per ricavare la
profondità di infissione H.
Dall’equilibrio alla traslazione orizzontale si
ricava il tiro R sull’ancoraggio.
In teoria non è necessario maggiorare la
lunghezza di infissione che si ricava dal calcolo,
perché la rotazione alla base dell’opera in
questo caso fa parte del cinematismo e non è
necessario garantirne l’incastro. In pratica si
incremento comunque del 20% la lunghezza di
infissione per garantire un maggiore margine di
sicurezza nei confronti della stabilità globale e
indirettamente sulla deformabilità di insieme
del complesso terreno-struttura.
R
A
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►DIAFRAMMA ANCORATO CON ANCORAGGIO E INCASTRO ALLA
BASE
Si ipotizza che in prossimità del piede della
paratia gli spostamenti siano molto esigui, e il
tratto di estremità sia quindi corrispondente a
un vincolo di incastro.
Il problema è iperstatico e può essere risolto
unicamente introducendo alcune ipotesi sulla
deformata del diaframma.
Generalmente si fa ricorso alla soluzione della
trave equivalente: si ipotizza che nel punto B
(punto di inversione della deformata del
diaframma) si formi una cerniera plastica, e il
calcolo viene risolto risolvando l’equilibrio
delle due travi AB e BC;
R
A
B
C
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►DIAFRAMMA ANCORATO CON ANCORAGGIO E INCASTRO ALLA
BASE
R
A
Dalla soluzione della trave AB si ricava il tiro
R dell’ancoraggio e della reazione in B;
noto il valore della reazione in B si determina la
lunghezza del tratto BC imponendo l’equilibrio
alla rotazione nel punto C.
Anche in questo caso si maggiora la lunghezza
del tratto infisso di circa il 20%, per garantire
in C la presenza della reazione in figura.
B
C
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
►ARMATURE DEGLI SCAVI: DIAFRAMMI ANCORATI A PIU’ LIVELLI
DI INCASTRO
Per il sostegno degli scavi è spesso necessario,
per mantenere le pareti verticali, l’uso di
strutture provvisorie, speso formate da tavole
di legno, travetti e puntelli.
In questi casi non è possibile valutare la spinta
del terreno con le teorie viste, in quanto le
deformazioni di queste strutture sono
decisamente diverse da quelle ipotizzate per
le teorie classiche: in corrispondenza dei
puntelli lo spostamento è pressoché nullo,
mentre le deformazioni si verificano tra un
puntello e l’altro; la spinta è maggiore della
spinta attiva ed ha una distribuzione diversa,
specialmente nella parte più vicina alla
superficie.
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
Per queste strutture si adottano in genere
diagrammi di spinta empirici.
- Per terreni incoerenti si adotta un diagramma
di spinta uniforme (costante con la profondità)
di intensità (tensione)
0,65 g’ H Ka
H
con Ka = tg2(45°-j’/2)
0,65 g’ H Ka
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
-Per terreni argillosi si valuta un fattore
N0 = gH/cu
e si adottando due diversi diagrammi di spinta:
H/4
- se N0 > 3 ÷ 4 (tipicamente: argille NC) si
assume un diagramma di spinta a forma di
trapezio rettangolo come in figura;
il valore di Ka va valutato attraverso le
espressioni:
K a  1 0,4
4cu
gH
4c
K a  1  0,5  1 u
gH
H
se N0 = 7÷8
se N0 = 4÷6
g H Ka
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
-se N0 < 3 ÷ 4 (tipicamente: argille OC) si
assume un diagramma di spinta a forma di
trapezio isoscele come in figura;
H/4
Il valore 0,2 g H si adotta per argille OC con
OCR elevato.
Il valore 0,4 g H si adotta quando la durata o la
successione delle lavorazioni fanno presumere
che possano intervenire fenomeni di
decadimento della resistenza.
H
H/4
0,2 g H ÷ 0,4 g H
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
MURI DI SOSTEGNO - ESERCITAZIONE
Il muro a mensola in c.a.
rappresentato nella figura sostiene un
terrapieno costituito da sabbia. A tergo
del muro è installato un sistema
drenante e l’acqua non esercita quindi
alcuna spinta sull’opera di sostegno. Il
terreno di fondazione è costituito da
argilla satura.
Calcolare il coefficiente di sicurezza
del muro rispetto al ribaltamento ed
allo scorrimento.
Determinare il valore degli stessi
coefficienti di sicurezza nell'ipotesi che,
per un cattivo funzionamento del
sistema drenante a tergo del muro, la
superficie libera della falda idrica si
innalzi fino a 3,0 m dal piano di posa
del muro stesso.