Come vincere con
certezza (!) nei giochi
di scommesse
Progetto realizzato dagli alunni delle classi III
e IV dell’Istituto Tecnico Paritario “Plateja” –
Taranto, Istituto Tecnico Industriale (ITI),
Indirizzo Elettronica e Telecomunicazioni
A.S. 2008-2009
Supervisione: prof. Luca Urselli
Premessa
Scopo di questo percorso didattico è studiare, dal punto di
vista matematico, alcuni fra i più noti giochi di
scommesse italiani (Lotto, Superenalotto, Totocalcio,
Totogol, scommesse sportive) e vari giochi classici
(roulette, poker ed altri giochi di carte, giochi di dadi).
Utilizzando gli strumenti elementari del calcolo
combinatorio e del calcolo delle probabilità discrete, si
arriva a concludere come non possa essere costruito
alcun metodo di gioco che garantisca di vincere.
La conclusione è anzi che, per essere sicuri di vincere
occorre essere i gestori del gioco. Tuttavia, per essere
sicuri di non perdere, è sufficiente… non giocare!
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Calcolo Combinatorio
Il Calcolo Combinatorio è la branca della
matematica che studia i modi per raggruppare
e/o ordinare, secondo date regole, gli elementi
di un insieme finito di oggetti, con l’obiettivo
finale di contare il numero dei possibili
raggruppamenti e/o ordinamenti.
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Disposizioni semplici (1/2)
Dati n oggetti distinti, si dicono
disposizioni semplici di n oggetti di
classe k, con k  n, tutte le possibili file
che si possono formare con k degli n
oggetti, distinti fra loro, considerando
distinte due file se differiscono per
l’ordine o per qualche elemento.
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Disposizioni semplici (2/2)
Il numero delle disposizioni semplici di
n oggetti di classe k è dato da
Dn,k = n (n-1) … (n-k+1),
cioè Dn,k è uguale al prodotto dei k
interi consecutivi decrescenti a partire
da n.
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Permutazioni semplici (1/2)
Si dicono permutazioni semplici di n
oggetti le disposizioni semplici di n
oggetti di classe n.
In altri termini, le permutazioni di n
oggetti sono tutti i possibili modi diversi
di mettere in fila gli n oggetti.
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Permutazioni semplici (2/2)
Il numero delle permutazioni di n oggetti
è dato da
Pn  n(n 1)(n  2)   2 1
cioè è il prodotto dei primi n numeri
naturali.
Tale prodotto viene indicato con il
simbolo n!, che si legge n fattoriale o
fattoriale di n.
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Disposizioni con ripetizione
Dati n oggetti distinti, si dicono disposizioni
con ripetizione di n oggetti di classe k,
tutte le possibili file di k degli n oggetti, non
necessariamente distinti fra loro, considerando
distinte due file se differiscono per l’ordine o
per qualche elemento.
Il numero delle disposizioni con ripetizione di n
oggetti di classe k è dato da
Drn,k  nk
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Esercizi sulle disposizioni
1.Quante parole di due lettere distinte si
possono formare con le cinque vocali
a, e, i, o, u?
2.In una gara di Formula 1 con 22 piloti,
quante sono le possibili terne
candidate a salire sul podio?
3.Dati i simboli 1, X, 2, quante colonne
di 14 simboli siffatti si possono
costruire? (gioco del Totocalcio)
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Soluzioni esercizi (1/2)
Esercizio 1
Le parole formate da due vocali distinte
sono:
D5,2 = 5 x 4 = 20
Queste sono infatti:
a
e
e
i
i
o
o
u
u
a
a
i
e
o
i
u
o
a
u
e
a
o
e
u
i
a
o
e
u
i
a
u
e
a
i
e
o
i
u
o
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Soluzione esercizi (2/2)
Esercizio 2
Esercizio 3
Tutti i possibili podi di un
Gran Premio di F1 con 22
piloti partecipanti alla gara
sono:
Tutte le possibili colonne
della schedina del
Totocalcio sono:
D22,3 = 22*21*20
= 9240
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Dr3,14 = 314
= 4.782.969
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Combinazioni semplici
Dati n oggetti distinti, si dicono combinazioni
semplici di classe k, con k  n , tutti i possibili
gruppi che si possono formare con k degli n
oggetti, considerando distinti due gruppi se
differiscono per almeno un elemento.
Il numero delle combinazioni semplici di n
oggetti di classe k è dato da
Cn,k 
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Dn,k
k!
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Coefficienti binomiali
Si usa denotare il numero delle combinazioni
semplici di n oggetti di classe k con il simbolo
che si legge “n su k” e prende il nome di
coefficiente binomiale.
n
 
k 
Proprietà:
1)  n 
2)
n  n 
   

k  n  k 
3)  n  1  n   n 
4)
 n  n
      1
 0  n
n!
  
 k  k!(n  k)!

     

 k   k   k  1
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Esercizi sulle combinazioni
4.Un barman dispone di 30 liquori
diversi. Quanti cocktail potrà preparare
usando, ogni volta, tre dei predetti
liquori?
5.Quante sono le diagonali di un
poligono convesso avente n lati?
6.Quante sestine si possono fare al gioco
del Superenalotto?
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Soluzioni esercizi (1/3)
Esercizio 4
Supposto che non conti l’ordine con cui
vengono aggiunti i liquori, il numero di
cocktail che il barman può preparare è
dato da:
C30,3
 30  30  29  28
 

 4060
3  2 1
 3 
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Soluzioni esercizi (2/3)
Esercizio 5
Un poligono convesso con n lati ha n
vertici. Ogni lato unisce due vertici
consecutivi. Ogni diagonale unisce
due vertici non consecutivi.
Cn,2 è il numero di tutte le coppie
di vertici che possiamo unire. Il
numero delle diagonali è allora
dato da:
Cn,2
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n(n  3)
n 
2
Esagono:
Lati n = 6
Diagonali C6,2-6 = 9
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Soluzioni esercizi (3/3)
Esercizio 6
Nel SuperEnalotto vengono estratti 6 numeri
tra i primi novanta numeri naturali. Le possibili
sestine sono:  90  90!

 
 622.614.63 0
 6  6!84!
Curiosità
Supponiamo di fare la giocata minima (2 colonne da sei
numeri ciascuna) per tre volte alla settimana. Sapete
quanto tempo impiegheremo per giocare tutte le
combinazioni?
Circa 2 milioni di anni!!!
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Calcolo delle Probabilità
(discrete)
Il Calcolo delle Probabilità è quella branca della
matematica che studia i metodi per assegnare un
“grado di verificabilità” ad eventi casuali, ossia un
numero che misuri la facilità o meno che quell’evento
ha di realizzarsi. Per i nostri scopi ci occupiamo solo di
probabilità “discrete”, ossia riguardanti eventi
verificabili nell’ambito di un numero finito di possibilità.
In tale ambito solitamente si adotta la definizione
“classica” di probabilità: la probabilità di un dato
evento è data dal rapporto fra il numero di casi
favorevoli al realizzarsi dell’evento ed il numero di tutti
i casi possibili. Si fa l’implicita assunzione che tutti i
casi possibili abbiano eguale facilità di verificarsi.
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Lancio di una moneta
Si lanci una moneta e si voglia prevedere il risultato del
lancio (testa o croce). Si suppone che i due possibili esiti
abbiano uguale probabilità, allora la probabilità di
ciascuno di essi è 1/2 = 0,5.
Se si scommette una posta in denaro sul risultato, è
giusto ricevere, in caso di vincita, una somma pari alla
posta scommessa divisa per la probabilità. Ossia, in
questo gioco, la vincita equa sarebbe pari al doppio della
posta giocata (se scommetto un euro e vinco, dovrei
ricevere 2 euro).
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Lancio di una moneta
Se la moneta viene lanciata un certo numero n di volte,
si vuole indovinare la disposizione di teste e croci. Il
numero di disposizioni (con ripetizione) di 2 oggetti (i
simboli testa e croce) ad n ad n è Dr2,n = 2n.
La probabilità di indovinare è quindi 1/2n.
Se si scommette una posta in denaro sul risultato, è
giusto ricevere, in caso di vincita, una somma pari alla
posta scommessa divisa per la probabilità. Ossia, in
questo gioco, la vincita equa sarebbe pari a 2n volte la
posta giocata (se scommetto un euro e vinco, dovrei
ricevere 2n euro).
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Lancio di un dado
Si lanci un dado e si voglia prevedere il risultato del
lancio. Si suppone che i sei possibili esiti abbiano uguale
probabilità, allora la probabilità di ciascuno di essi è 1/6
= 0,1667.
Se si scommette una posta in denaro sul risultato, è
giusto ricevere, in caso di vincita, una somma pari alla
posta scommessa divisa per la probabilità. Ossia, in
questo gioco, la vincita equa sarebbe pari al sestuplo
della posta giocata (se scommetto un euro e vinco,
dovrei ricevere 6 euro).
Analogamente al caso della moneta si procede nel caso
di più lanci del dado (o del lancio di più dadi).
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Gioco della roulette
Nel gioco della roulette la pallina, fermandosi su una
delle caselle, ha 37 possibili esiti, cioè i numeri naturali
da 0 a 36. La probabilità di ciascun numero è quindi
1/37 = 0,027. Il giocatore ha varie possibilità di
scommessa, ma non può scommettere sullo zero.
Se si scommette una posta in denaro sul singolo
numero, la vincita equa sarebbe pari a 37 volte la posta
giocata (se scommetto un euro e vinco, dovrei ricevere
37 euro). Invece il banco paga solamente 36 volte la
posta. In pratica il banco fa finta che non esista lo zero
(non si può scommettere su esso e non viene
considerato nel pagare le vincite). Tuttavia, se lo zero
esce, tutti i giocatori perdono la posta puntata…
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Gioco della roulette
Si può poi scommettere sul tipo di numero uscito: pari o
dispari, oppure rosso o nero (i numeri dall’1 al 36 sono
contrassegnati da questi colori, metà sono rossi e metà
sono neri, mentre lo zero è verde). La probabilità di
vincere, però, non è 1/2 come nel gioco della monete,
ma leggermente inferiore: 18/37 = 0,486. Ovviamente
a causa della presenza dello zero, che il banco non
considera né pari né dispari, né rosso né nero: se esce
zero, vince il banco.
Tuttavia, anche in questo caso, le vincite sono pagate
come se lo zero non ci fosse: la vincita equa sarebbe
pari a 37/18 della posta giocata, il banco paga invece 2
volte la posta giocata.
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Gioco della roulette
Quindi, nelle scommesse su rosso o nero e su pari o
dispari, giocando un euro e vincendo, si ricevono
effettivamente 2 euro, mentre la vincita equa sarebbe di
37/18 = 2,06 euro.
Si può scommettere anche sulle “dozzine” di
appartenenza del numero uscito, con tre possibilità: da
1 a 12, da 13 a 24 e da 25 a 36. La probabilità di vincita
non è 1/3 ma, a causa dello zero, di 12/37 = 0,324.
Tuttavia la vincita pagata dal banco è di 3 volte la posta,
anziché di 37/12 volte (se scommetto un euro e vinco,
ricevo 3 euro anziché 3,08 euro come sarebbe giusto).
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Gioco della roulette
Sono ammesse altre possibilità di scommessa: si può
scommettere su una coppia di numeri (probabilità
2/37), su una terna (probabilità 3/37), su una quaterna
(probabilità 4/37). In tutti i casi non è ammessa la
puntata sullo zero ed il banco paga le vincite come se lo
zero non ci fosse (ossia come se le suddette probabilità
fossero, rispettivamente, 1/18, 1/12, 1/9).
Complessivamente il banco, grazie allo zero, guadagna
circa 1/37 di tutte le giocate della serata (in quanto
mediamente, nel corso della serata, lo zero viene
estratto una volta ogni trentasette giri di roulette). Può
sembrare una quantità irrisoria, ma è proprio su essa
che si basa il guadagno del casino!
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Gioco della roulette
In un casino, infatti, vengono fatte centinaia di
estrazioni in ogni serata, e vengono puntate decine di
migliaia di euro. Di queste, 36/37 vengono impiegate,
mediamente, per pagare le vincite, ma mediamente
1/37 resta al casino. E 1/37 di decine di migliaia di euro
non è poco. Il giocatore che pure ha vinto, è stato in
realtà “scippato” di una piccola parte della sua vincita.
In alcune roulette, oltre allo zero, esiste anche il “doppio
zero”, ossia 00. In questo caso, la “tassa” che il banco si
assicura di incassare aumenta: non più 1/37 ma 2/38,
ossia 1/19 delle giocate. Tutto sommato sono quantità
che i vincitori accettano volentieri di devolvere al banco
(che in qualche modo deve pur mantenersi).
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Concorsi pronostici
I concorsi pronostici gestiti dallo Stato sono decisamente
più “disonesti” rispetto alla roulette. La “tassa” che i
gestori del gioco incamerano, pagando le vincite con
cifre inferiori rispetto a quelle matematicamente eque, è
decisamente superiore ad 1/37.
Andiamo a vedere cosa succede nel Lotto, nel
Superenalotto, nel Totocalcio e nel Totogol.
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Lotto
Vi sono undici “ruote”, dieci delle quali abbinate ad
altrettante città italiane ed una invece “nazionale”. In
ciascuna ruota vengono estratti cinque numeri dall’1 al
90. Sebbene i numeri vengano estratti in un certo
ordine, per cui si può parlare di primo estratto, secondo
estratto, terzo estratto, quarto estratto e quinto
estratto, in realtà ai fini delle vincite non occorre
indovinare l’ordine di estrazione, ma solo i numeri
estratti. Possiamo quindi parlare di combinazioni di 90
oggetti a 5 a 5. Il numero di possibili esiti dell’estrazione
su una ruota è quindi pari al coefficiente binomiale di 90
su 5. Calcolandolo, esso vale 43.949.268. Quindi quasi
quarantaquattro milioni di possibilità!
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Lotto
Giocando sull’estratto semplice, ossia sull’indovinare uno
dei numeri estratti, i casi favorevoli sono dati da tutte le
cinquine che contengono il numero giocato. Esse
possono avere, accanto ad esso, quattro qualsiasi fra i
restanti 89 numeri. Il numero di casi favorevoli è quindi
uguale al coefficiente binomiale di 89 su 4, che vale
2.441.626. Dividendo per il precedente numero di casi
possibili, si ha una probabilità di vittoria pari ad 1/18 =
0,056. La vincita matematicamente equa sarebbe quindi
di 18 volte la puntata.
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Lotto
Giocando sull’ambo, ossia sull’indovinare due dei numeri
estratti, i casi favorevoli sono dati da tutte le cinquine
che contengono i due numeri giocati. Esse possono
avere, accanto ad essi, tre qualsiasi fra i restanti 88
numeri. Il numero di casi favorevoli è quindi uguale al
coefficiente binomiale di 88 su 3, che vale 109.736.
Dividendo per il numero di casi possibili, si ha una
probabilità di vittoria pari a 2/901 = 0,002. La vincita
matematicamente equa sarebbe quindi di 400,5 volte la
puntata. Invece la vincita pagata dallo Stato è
solamente di 250 volte la puntata.
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30/40
Lotto
Giocando sul terno, ossia sull’indovinare tre dei numeri
estratti, i casi favorevoli sono dati da tutte le cinquine
che contengono i tre numeri. Esse possono avere,
accanto ad essi, due qualsiasi fra i restanti 87 numeri. Il
numero di casi favorevoli è quindi uguale al coefficiente
binomiale di 87 su 2, che vale 3.741. Dividendo per il
numero di casi possibili, si ha una probabilità di vittoria
pari ad 1/11.748. La vincita matematicamente equa
sarebbe quindi di 11.748 volte la puntata. Anche qui lo
Stato paga una vincita notevolmente inferiore.
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Lotto
Giocando sulla quaterna, ossia sull’indovinare quattro
dei numeri estratti, i casi favorevoli sono dati da tutte le
cinquine che contengono questi quattro numeri. Esse
possono avere, accanto ad essi, uno qualsiasi fra i
restanti 86 numeri. Il numero di casi favorevoli è quindi
uguale al coefficiente binomiale di 86 su 1, cioè proprio
86. Dividendo per il numero di casi possibili, si ha una
probabilità di vittoria pari ad 1/511.038. La vincita
matematicamente equa sarebbe quindi di 511.038 volte
la puntata. Ancora una volta la vincita pagata dallo
Stato è inferiore.
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32/40
Lotto
Giocando sulla cinquina, ossia sull’indovinare tutti i
numeri estratti, vi è evidentemente un unico caso
favorevole. Dividendo per il numero di casi possibili, si
ha una probabilità di vittoria pari ad 1/43.949.268. Qui
lo Stato la combina davvero grossa. Una cinquina viene
infatti pagata un milione di volte la posta giocata.
Sembra tanto, ma la vincita matematicamente equa
sarebbe di 43.949.268 volte la puntata!
In pratica, chi gioca un euro sulla cinquina e vince,
crede di aver vinto un milione di euro, ma in realtà lo
Stato gli ha sottratto quasi altri 43 milioni di euro sotto
forma di tassa di gioco nascosta. In più il vincitore dovrà
pagare ulteriori tasse sul milione vinto…
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Lotto
Tutte queste considerazioni giustificano il nome che
alcuni danno a queste tasse nascoste applicate nei
giochi pronostici, realizzate col meccanismo
regolamentare di diminuire notevolmente il premio
matematicamente equo: la tassa sull’ignoranza.
Va ricordato che esiste la possibilità di giocare più
combinazioni contemporaneamente (ad esempio
giocando più numeri e/o effettuando la giocata su più di
una ruota). In tali casi la vincita viene suddivisa per il
numero di combinazioni effettivamente giocate (e qui lo
Stato dimostra viceversa di conoscere bene il calcolo
combinatorio…).
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Superenalotto
La combinazione vincente del Superenalotto è formata
da sei numeri dall’1 al 90, ricavati dai primi estratti di
sei determinate ruote del Lotto. Ulteriori due ruote
forniscono ulteriori due numeri (numero Jolly e numero
Superstar) per creare ulteriori possibilità di vincita di cui
non ci occupiamo. Esiste anche un meccanismo per
creare comunque la combinazione vincente di sei numeri
nel caso in cui su alcune ruote del Lotto esca lo stesso
numero come primo estratto. In ogni caso, comunque,
la combinazione vincente viene formata da sei numeri
casuali, tutti diversi tra loro, compresi tra 1 e 90. Anche
qui non conta l’ordine (combinazioni semplici di 90
oggetti a 6 a 6).
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35/40
Superenalotto
Si giocano “colonne” di 6 numeri (occorre giocare
almeno due colonne) e ogni colonna ha un costo fisso.
La propria colonna vince se ha almeno tre numeri in
comune con la colonna vincente. Vi sono quattro
categorie di vincita, a seconda che siano stati indovinati
tre numeri, quattro, cinque o tutti e sei.
Qui il guadagno dello stato è semplice. Ad esempio, se si
realizza il sei, come si è già visto si dovrebbe ricevere
622.614.630 volte la posta giocata. Invece la vincita
non tiene assolutamente conto del calcolo probabilistico,
ma viene calcolata raggruppando tutti i vincitori nelle
quattro categorie e dividendo fra essi delle quote del
montepremi (ed una quota va comunque allo Stato).
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Totocalcio, Totogol
Analogo discorso riguarda Totocalcio e Totogol. Vi sono
14 partite di calcio nella “schedina”. Nel Totocalcio
occorre individuare chi vince ciascuna partita (vi sono
tre possibilità contrassegnate dai segni 1, X e 2, dove X
indica il pareggio e gli altri indicano la vittoria della
prima o della seconda squadra). Sono disposizioni con
ripetizione di tre oggetti a 14 a 14. Nel Totogol occorre
indovinare il numero complessivo di gol realizzati in
ciascuna partita (vi sono quattro possibilità
contrassegnate dai segni 01, 2, 3 e 4+). Sono
disposizioni con ripetizione di quattro oggetti a 14 a 14.
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Totocalcio, Totogol
Anche qui i premi, in base al numero di partite
indovinate (almeno 12 nel Totocalcio, almeno 10 nel
Totogol), sono basati solo su una suddivisione del
montepremi e non sul calcolo combinatorio. E ben due
terzi del montepremi vanno agli organizzatori…
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