Nella lezione precedente:







Abbiamo definito le regioni di campo
Introdotto delle approssimazioni degli operatori per
calcolare più semplicemente campo a grande distanza e
campo lontano, verificandole su un dipolo hertziano
Introdotto e dimostrato il teorema di reciprocità
Abbiamo introdotto il concetto di reazione e di equazione
integrale
Usato il teorema di reciprocità per verificarne le
implicazioni sul comportamento delle antenne in spazio
libero
Introdotto i concetti di Altezza Efficace (e di fattore di
antenna) e di Area Efficace
Calcolata la relazione tra Guadagno ed Area Efficace
Nella lezione precedente:



Abbiamo utilizzato tale relazione per ottenere l’equazione
del “collegamento radio”
Usando la sovrapposizione degli effetti, abbiamo introdotto
l’antenna filiforme rettilinea
Abbiamo riportato una soluzione approssimata per la
distribuzione di corrente, utile per il calcolo del campo
lontano ma non per l’impedenza di ingresso
Antenna Corta
V0
I0
Abbiamo visto che la corrente su una antenna è circa
sink ( L  z )
2V0 sink ( L  z )
I ( z)  j
 I0

cos kL
sinkL
Una antenna è “corta” se lo è rispetto alla lunghezza d’onda
L<<l o in generale se kL<<1
il seno somiglia in tal caso ad un triangolo: del resto
approssimiamo il seno con l’argomento ed il coseno con 1
 2V
z
2V0 sink ( L  z )
2V0
0
I ( z)  j
 j
k ( L  z )  I 0 (1  )
I0  j
kL

cos kL


L
Antenna Corta
Notate: un’antenna corta non è un dipolo Hertziano!
La corrente non è uniforme; nel dipolo Hertziano questa si
può ottenere solo mettendo ai capi serbatoi di carica
Campo lontano?
r
2(2 L) 2
l
Partiamo dall’espressione generale per antenna filiforme
1
e  jkr L
jkz cos
E  j
sin
I
(
z
)
e
dz

2l
r L
Consideriamo che l’esponenziale è circa 1, ed inseriamo
l’espressione triangolare della corrente
L 
z
1
e  jkr
E  j
sin
I 0  1  dz

2l
r
L 
L 
Antenna Corta
L 
z
1
e  jkr

E  j
sin
I 0  1  dz

2l
r
L 
L 
Da cui
 jkr
L
e
E  j
sin
2l
r
I0
H 
E

Notate: se confrontiamo con l’espressione per il dipolo Hertziano
e  jkr
E  j
sin
l
r
I0L
(NB: nell’espressione originaria avevamo h/2l, ma h, lunghezza
totale, è qui 2L)
Vediamo che il campo prodotto da un’antenna corta è pari a
quello prodotto da un dipolo di metà lunghezza
del resto: nel dipolo elementare l’integrale della corrente è I0h (trattandosi di
un “rettangolo”) mentre ora è I0h/2 (area di un triangolo)
Antenna Corta
Volendosi calcolare il diagramma di radiazione, usiamo la
definizione
E ( ,  )
f ( ,  ) 
 sinu
E ( max ,  max )
E quindi il solido di radiazione (una componente, quindi un
solido solido)
r  f ( ,  )  sin
Ovviamente come il dipolo elementare
Calcoliamo altre quantità, come la potenza irradiata: la densità è

1
P  Re E  H *
2

1 E

2 
2

2 2
2
ur 
I
L
sin
u r
2 2 0
8l r
Antenna Corta
Da cui la potenza attraverso una superficie sferica intorno
all’antenna

2
 2 2 sin 
2 L 
2
Wr   P  dS  2 I 0 L  2 2r sind  40   I 02
8l
l
S
0 r
2
Per la resistenza di radiazione invece
Rrad 
2Wr
I 02
2 L 
 80  
l
2
Che è 1/4 del valore trovato per il dipolo Hertziano
Quanto alla Direttività
2
1

2 2
E
I
L
0
2 2
( max , max ) Pr , ,   2
2

 8l r
D

4

r
2
Wr
 av
Pis
L


2
2
2
40

I


0
4r
l
3

2
Antenna Corta
L’altezza efficace? Ricordate che è tale che il campo sia
jk 
e  jkr
j
e  jkr
E(r , ,  ) 
Ih( ,  )

Ih( ,  )
4
r
2l
r
Poiché abbiamo visto che
L’altezza efficace è
L
e  jkr
E  j
sin
I0
2l
r
h  Lsinu
corrispondente a metà antenna
Per l’area efficace, ricorriamo alla relazione con il guadagno (e
quindi con la direttività in assenza di perdite)
D 4
 2
A l
l2 3 3 2
A

l
4 2 8
NB: stessa del dipolo
Antenna a mezz’onda
Consideriamo il caso 2L=l/2
in tal caso kL=/2 e dalla soluzione di Hallen


sin  k z 
2

I z   I 0
 I 0 cosk z  I 0 cos kz

sin
2
2jV sinkL
Dove I 0 
 cos kL
notate che il denominatore di I0 si annulla per l’antenna a
mezza lunghezza d’onda; ricorderete tuttavia che in una linea di
trasmissione dove c’è un massimo di corrente c’è un minimo di
tensione
Per una linea in circuito aperto, tale minimo è zero, per cui nel
nostro modello anche V al numeratore tende a zero, ed il
rapporto resta finito
Antenna a mezz’onda
Calcoliamo il campo lontano sostituendo l’espressione
della corrente
L
1
e  jkr
1
e  jkr L
jkz cos
jkz cos
E  j
sin
I
(
z
)
e
dz

j

sin

I
cos(
kz
)
e
dz

0 
2l
r L
2l
r
L
Identità di Eulero
L
 cos(kz)coskz cos   jsin kz cos dz
L
perché dispari in z
l
L
4
0
0
 2  cos(kz)coskz cos dz   coskz1  cos   coskz1  cos dz 
l
sinkz1  cos  4 sinkz1  cos 


k 1  cos  0
k 1  cos 
l
 

 

sin

cos

sin

cos





4
2 2
2 2






k 1  cos 
k 1  cos 
0
Antenna a mezz’onda
 

 

sin  cos  sin  cos 
2 2
 2 2


k 1  cos 
k 1  cos 
 





cos
cos

cos
cos

cos
cos








1   2
2

2

2



1  cos   k
k  1  cos 
sin 2




Quindi il campo lontano diventa


cos cos   jkr
I0 2
e
2


E  j
2l k
sin
r
H 
E

Antenna a mezz’onda
Il diagramma di radiazione è quindi


cos cos 
2

f ( ,  ) 
sin
z
  cos  

2

cos
sin 
x
sin 
Calcoliamo la potenza irradiata: partiamo dal vettore di Poynting
P 
I 02
8 2


cos 2  cos 
1
2
u
r
2
2
r
sin 
Antenna a mezz’onda
quindi integriamo

2 
cos
cos



2 
I0
1
2

 2r 2 sind 
Wr   P  dS   2  2
2
8

r
sin

S
0



2 
2 
cos
cos

cos
cos





2
I 02 
2

 d
2
 d

 60 I 02 

4 0
sin
sin
0
L’integrale non ha forma chiusa in termini di funzioni elementari;
occorrono i “seni e coseni integrali” che sono tabellati
In ogni caso, risolvendo numericamente (provate…anzi
proviamo insieme) si ha
2
Wr  0.6093 60I 0
Antenna a mezz’onda
La resistenza di radiazione è
Rrad 
2Wr
I 02
 120  0.6093  73
Per la direttività
D
Pr , ,   max
Pis
L’altezza efficace
 120 
I 02 1
4r 2
8 2 r 2 0.6093  60 I 02
1

 1.65
0.6093




cos cos 
cos cos 
2
2

u
l
2

u
h ,   
 

k
sin

sin
Antenna a mezz’onda
L’area efficace: come al solito dal confronto con la direttività
D 4
 2
A l
l
ll
 A
1.65 
4
2 4
2
Appare come l’area efficace sia maggiore della superficie fisica;
per ricordare:
l/2
l/4
Antenna Marconiana
Si consideri un’antenna corta, disposta verticalmente sul
suolo ed alimentata rispetto ad esso
V0/2
L<<l
Si assuma un suolo perfettamente conduttore
Per il teorema delle immagini, equivale ad un dipolo corto
di lunghezza doppia, almeno per il campo irradiato
Molto diffuso alle basse frequenze;
spesso per migliorare la conducibilità del
suolo nelle vicinanze dell’antenna viene
disposta una raggiera di fili di rame con
centro nell’antenna
V0
Monopolo in quarto d’onda su piano di massa
Come prima, ma ora di consideri un’antenna di un quarto
d’onda
V0/2
L=l/4
V0
Si assuma un suolo perfettamente conduttore
Per il teorema delle immagini, equivale ad un dipolo in
quarto d’onda (la tensione è doppia ma la corrente uguale)
Tuttavia per la potenza irradiata e la resistenza di radiazione
occorre considerare che irradia solo in metà spazio
Monopolo in quarto d’onda su piano di massa
Quindi
l
E (monopolo )  E (dipolo immagine)
4
l
1
Wr (monopolo )  Wr (dipolo immagine)
4
2
l
1
Rrad (monopolo )  Rrad (dipolo immagine)  36 .5
4
2
L’altezza efficace è pari a quella del dipolo immagine
Altezza efficace di un’antenna verticale in
presenza del suolo
J
Consideriamo un’antenna con altezza
efficace h in presenza di suolo
perfettamente conduttore
r
d
d
r2
2dcos J
Il campo totale sarà quello dovuto
all’antenna più la sua immagine
La distanza del punto di osservazione dall’immagine r2
può essere approssimata (nel termine di fase) r2  r  2d cosJ
mentre al denominatore r2 può essere approssimata con r
per cui, ricordando la definizione di altezza efficace
j
e  jkr j
e  jk r  2d cos 
E(r , ,  ) 
Ih( ,  )

Ih( ,  )
2l
r
2l
r
Altezza efficace di un’antenna verticale in
presenza del suolo
j
e  jkr j
e  jk r  2d cos 
E(r , ,  ) 
Ih( ,  )

Ih( ,  )
2l
r
2l
r

j  jkr

e
Ih( ,  ) 1  e  j 2 kd cos
2lr

j  jkr

e
Ih( ,  )2e  jkd cos coskd cos 
2lr
Quindi l’altezza efficace complessiva è
ht ( , )  2h( , )e  jkd cos coskd cos 
per d=0 si riottiene che l’altezza efficace complessiva è
doppia dell’antenna singola
Altezza efficace di un’antenna orizzontale in
presenza del suolo
I
r
J
d
r2
d
2dsin J
Consideriamo un’antenna con altezza
efficace h orizzontale in presenza di
suolo perfettamente conduttore
Il campo totale sarà quello dovuto
all’antenna meno la sua immagine
La distanza del punto di osservazione dall’immagine r2
può essere approssimata (nel termine di fase) r2  r  2dsinJ
j
e  jkr j
e  jk r  2dsin 
E(r , ,  ) 
Ih( ,  )

Ih( ,  )
2l
r
2l
r
quindi

ht  h( , ) 1  e  j 2kdsin
  2 jh( ,)e
 jkdsin
sinkdsin 
Ovviamente se d=0, l’altezza è nulla (non irradia): la
corrente è “cortocircuitata” dal piano conduttore
Altezza efficace di una spira elementare
Ricordiamo il campo elettrico
jpm
e  jkr 
1
E  
sinJ
jk



4
r 
r
ovvero in campo lontano
kI (R 2 )
e  jkr
kpm
e  jkr

sinJ
E 
sinJ
4
r
4
r
kI (R 2 )
e  jkr

sinJ
2l
r
Pertanto, confrontando con la definizione
j
e  jkr
E(r , ,  ) 
Ih( ,  )
2l
r
l’altezza efficace risulta
h( ,  )   jk R 2 sinJu
Dipolo di lunghezza generica
Consideriamo un dipolo qualsiasi e sostituiamo l’espressione
della corrente per calcolare il campo lontano
sink L  z 
2V0 sink L  z 
I z   j
 I0

cos kL
sinkL
da cui
1
e  jkr
E  j
sin
2l
r
L
jkz cos
I
(
z
)
e
dz

L
sink L  z  jkz cos

e  jkr L
 j
sin
I0
e
dz

2l
r L
sinkL
L’integrale lo possiamo calcolare usando l’espressione
 e sin(bx  c)dx 
ax
e ax
a b
2
2
asin(bx  c)  b cos(bx  c)
Dipolo di lunghezza generica
Saltiamo un po’ di passaggi…e calcoliamo direttamente il
diagramma di radiazione
L
f  ,   
E ( ,  )

E ( max ,  max )
sin  I 0
L
L
sink L  z 
 I0
L
e jkz cos dz
sinL
sink L  z 
sinL
dz
che risulta (dopo un po’ di passaggi…)
f ( ) 
coskLcos   cos kL
1  cos kLsin
Dipolo di lunghezza
generica
Al crescere della lunghezza,
cresce il numero di lobi, ed il
massimo non è più per J=/2
Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso
Il calcolo, anche approssimato, è molto complesso; ne diamo
qui un breve resoconto
Abbiamo visto nella precedente lezione il concetto di
“reazione” introdotto con il teorema di reciprocità, ed applicato
alle antenne filiformi
b
a
J  I ( x) ( y)u z
 a, b   dl E a  I b  I  E  dl   I bV a
V
dove a è b si riferivano a due antenne irradianti l’una alla
presenza dell’altra
Consideriamo il caso di una sola antenna: quella che si ha è
“auto-reazione” (reazione del proprio campo con la propria
sorgente)




  I V
 a, a   dl E a  I a
a

a
 Z in I
a2
Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso
Z in  
ovvero
 a, a 
I
2

1
I
2
 dl E  I 
Questa è un’espressione “stazionaria” o “variazionale”
ovvero un errore di un certo ordine nell’incognita I si
ripercuote in un errore di ordine maggiore in Zin
in pratica la soluzione è un
minimo o un massimo (qui x
potrebbe essere la corrente e
p1(x) l’impedenza)
20
p1( x )
10
0
2
0
x
2
soluzione
Soluzione approx
Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso
Z in  
 a, a 
I
2

1
I
2
 dl E  I 
Allora: si inserisce una I (o una J) di tentativo
E si calcola Zin utilizzando per E il campo prodotto
dall’antenna (inclusi i termini reattivi!)
Trovate i grafici risultanti in diversi testi (per es. R. Harrington,
Time Harmonic Electromagnetic Fields, a p.352, al variare
della lunghezza e della sezione)
Dipolo di lunghezza generica: impedenza di ingresso
A solo titolo di esempio:
Parte reale
comportamento tipico
delle antenne a banda
stretta: frequenza di
risonanza dove la parte
Parte immaginaria
reattiva si annulla
Del resto il dipolo è un esempio di
antenna risonante
d
Dipolo Ripiegato
Due conduttori connessi alle estremità, con
distanza d<<l
2L
Si analizza considerando la sovrapposizione degli
effetti: sovrapponiamo un “modo linea” con corrente
di ritorno (caso dispari) ed un “modo antenna” (caso
pari)
IT
+
V/2
IT
V/2
+
+
IA
IA
+
V/2
+
V/2
IA+ IT
V
IA- IT
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a onda
progressiva
Supponiamo di utilizzare una linea adattata come antenna
Ovviamente perché una implementazione dell’idea funzioni
dovremo evitare che la corrente di “ritorno” cancelli
completamente il campo prodotto dalla corrente di “andata”
Accantoniamo momentaneamente il problema; la corrente
ha la forma
 jkz
I ( z)  I 0e
Una corrente di tal genere, se distribuita su una antenna
filiforme, produce un campo lontano pari a
1
e  jkr L
1
e  jkr L  jkz jkz cos
jkz cos
sin
I 0e e
dz
E  j
sin
I ( z )e
dz  j


2l
r 0
2l
r 0
Antenne filiformi a banda larga: Antenna
a onda progressiva
Risolviamo l’integrale
L
 I 0e
 jkz
e
jkz cos
L
jkz (cos 1)
I
e
dz 
dz   0
0
0
Per cui
1
e  jkr
E  
sin
4
r
jkz (cos 1)
e
jk (cos  1)
 e jkL(cos 1)  1


 (cos  1) 
ed il diagramma di radiazione banalmente
 e jkL(cos 1)  1
f ( ,  )  sin 

 (cos  1) 
L
e jkL(cos 1)  1

jk (cos   1)
0
H 
E

Antenne filiformi a banda larga: Antenna
a onda progressiva
Grafico per L=l
x ( r ,  ) r cos(  )
 ,
y ( r ,  ) r sin (  )
 ,
Antenne filiformi a banda larga: Antenna
Grafico per L=3l
 ,
 ,
a onda progressiva
Antenne filiformi a banda larga: Antenna
Grafico per L=5l
 ,
 ,
a onda progressiva
Antenne filiformi a banda larga: Antenna
a onda progressiva
Quel che succede è che all’aumentare della lunghezza,
aumenta il numero di lobi secondari, ma quelli principali si
schiacciano verso l’asse dell’antenna (orizzontale)
Un’antenna di questo che irradiasse lungo il suo asse si
definisce “Endfire”
Per esempio l’antenna “rombica”:
Come realizzarle?
una linea di trasmissione divaricata
a forma di rombo e terminata su un
carico adattato
le dimensioni sono scelte in modo
che i campi associati ai lobi 1 e 2 (3’
e 4’) si sommino in fase, e i campi
associati a 3 e 4 ( 1’ e 2’) si elidano,
dando un puro comportamento
endifire
Antenne filiformi a banda larga: Antenna a
Elica
E’ una struttura con due modi di
radiazione
Modo NORMALE: direzione di
massimo ortogonale all’asse
(broadside)
Modo ASSIALE: direzione di massimo
sull’asse (endfire)
Antenne filiformi a banda larga: Antenna
a Elica: Modo Normale
Dimensioni piccole rispetto alla lunghezza d’onda
essendo C la circonferenza
In particolare C  l
dell’elica
nL0  l
essendo n il numero di
avvolgimenti dell’elica
In modo “normale” il comportamento è piuttosto
simile ad un dipolo: comportamento a banda
stretta
Per il calcolo: vista l’ipotesi sulle dimensioni, analizziamo
un unico avvolgimento; il campo totale sarà la
sovrapposizione di n avvolgimenti, ma per le dimensioni
piccole, la distribuzione complessiva non cambia
Antenne filiformi a banda larga: Antenna
a Elica: Modo Normale
L’avvolgimento può essere trattato come sovrapposizione di:

Spira (loop elementare)

Dipolo elementare
 jkr
e
Eloop  k
D2I
sinu
4
4r
2
+
e  jkr
E dipolo  j IS
sinu
4r
Passo, quindi
lunghezza del
dipolo
Il diagramma di radiazione di entrambe le componenti è pari
a quello del dipolo (sinJ)
Antenne filiformi a banda larga: Antenna
a Elica: Modo Normale
 jkr
 jkr
e
e
E  k
D2I
sinu  j IS
sinu
4
4r
4r
2
Le due componenti sono

Ortogonali tra loro

Sfasate di /2
Il campo sarà generalmente a polarizzazione ellittica
Il rapporto tra gli assi dell’ellisse è
E
La polarizzazione diventa circolare se gli E

assi sono uguali (quindi il rapporto=1)
C  2Sl

2
S
l
C 
 
l
2
Antenne filiformi a banda larga: Antenna
a Elica: Modo Normale
Se si schiaccia molto l’ellisse, al limite riotteniamo una
polarizzazione lineare
In particolare con un rapporto molto maggiore di 1 si
ha una polarizzazione lineare verticale
Molto usato nei telefonini
Il diagramma di radiazione è omnidirezionale come il dipolo
ma, a parità di efficienza di radiazione, le dimensioni sono
molto contenute
Per esempio: eliche su piano di massa di dimensioni <l/8
(quindi “corte”) la resistenza di radiazione è
Rrad
h
 640  
l
molto maggiore di un dipolo “corto”
2
[ ]
Antenne filiformi a banda larga: Antenna
a Elica: Modo Assiale
Se le dimensioni sono grandi rispetto alla lunghezza d’onda,
comportamento endfire
La corrente non è più uniforme, ed i
contributi si sommano a dare un
comportamento endfire
Banda larga e polarizzazione circolare
Valore ottimale dimensioni:
3
4
l C  l
4
3
Resistenza di radiazione
Rrad  140
C
l
Antenne filiformi a banda larga: Antenna
a Elica: Modo Assiale
All’aumentare del numero di passi, il lobo diventa più stretto