Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
consolidazione
cedimenti
prova edometrica
prove in sito: SPT
CPT
Cedimenti ammissibili
Carico limite delle fondazioni
Fattori di sicurezza
INDICE
1.
CONSOLIDAMENTO ................................................................................................... 4
1.1
Determinazione del coefficiente di consolidazione Cv....................................... 6
1.1.1
Taylor .......................................................................................................... 6
1.1.2
Casagrande ............................................................................................... 6
1.1.3
Metodo dipendente dalla permeabilità...................................................... 7
2.
CEDIMENTI ................................................................................................................ 7
3.
PROVA EDOMETRICA ................................................................................................. 8
3.1
4.
CALCOLO DEL CEDIMENTO EDOMETRICO................................................................ 12
4.1
5.
Metodo operativo............................................................................................ 12
PROVE PENETROMETRICHE ....................................................................................... 13
5.1
5.2
6.
Correzione di Schmertmann ............................................................................ 11
PROVA SPT: Standard Penetration Test (PROVA PENETROMETRICA DINAMICA) ..... 13
PROVA CPT: Cone Penetration Test (PROVA PENETROMETRICA STATICA).............. 14
CEDIMENTI DI FONDAZIONI SU SABBIE ....................................................................... 16
6.1
METODO DI BURLAND E BURBIDGE..................................................................... 16
6.2
METODO DI SCHMERTMANN ............................................................................. 18
6.2.1
Metodo operativo..................................................................................... 19
6.3
ESEMPI APPLICATIVI ........................................................................................... 19
6.3.1
Esempio 1 (Burland e Burbidge) ................................................................ 20
6.3.2
Esempio 2 (Schmertmann)........................................................................ 23
6.3.3
Esempio 3 (Schmertmann)........................................................................ 26
7.
COMPLESSO FONDAZIONE-SOVRASTRUTTURA............................................................ 28
7.1
8.
Cedimenti ammissibili...................................................................................... 28
CARICO LIMITE DELLE FONDAZIONI DIRETTE............................................................... 31
8.1
Tipi di rottura del terreno................................................................................... 31
8.1.1
Rottura generale (formula trinomia del carico limite di Terzaghi - 1943)..... 34
8.1.1.1
Generalizzazione di Brinch – Hansen (1970)........................................ 36
8.1.1.2
Condizioni non drenate (terreni coesivi).............................................. 39
8.1.1.3
Considerazioni sull’equazione di Brinch Hansen .................................. 40
8.1.2
Punzonamento ......................................................................................... 41
8.2
Fattore di sicurezza Fs....................................................................................... 42
8.3
Esempi applicativi ........................................................................................... 43
8.3.1
Esempio 1 ................................................................................................ 43
8.3.2
Esempio 2 ................................................................................................ 45
8.3.3
Esempio 3 ................................................................................................ 46
8.3.4
Esempio 4 ................................................................................................ 48
8.3.5
Esempio 5 ................................................................................................ 49
8.3.6
Esempio 6 ................................................................................................ 50
8.3.7
Esempio 7 ................................................................................................ 51
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
9.
10.
Quaderno 1
Appendice I – La formula trinomia.......................................................................... 52
Appendice II – Altre espressioni dei coefficienti della formula trinomia................. 54
3
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
1.
Quaderno 1
CONSOLIDAMENTO
È il fenomeno con cui, applicando un carico ad un terreno, questo si trasferisce al suo
scheletro “passando” per l’acqua. Più il terreno è permeabile e minore è il ruolo giocato
dall’acqua. Quando invece si ha a che fare con basse permeabilità (k<10-8 m/s) il
carico, appena applicato, agisce sull’acqua in toto. Solo a seguito dell’allontanamento
di quest’ultima (moto filtrazioni – condizioni drenate), entra in gioco lo scheletro del
terreno. Quindi inizialmente cresce con lo sforzo totale anche la pressione neutra (per
effetto del carico applicato).
Con la filtrazione, a carico costante, diminuisce la pressione nutra e cresce la tensione
efficace. Il processo di consolidazione ha termine quando la pressione neutra è tornata
in condizioni idrostatiche e le tensioni efficaci sono pari alle totali. Un modello che spiega
bene il fenomeno è costituito da un recipiente pieno di acqua, superiormente chiuso da
un pistone (dotato di valvola per fare uscire acqua), con una molla interna (a contrasto
fra fondo recipiente e pistone superiore)
Questo fenomeno, molto veloce con terreni aventi elevata permeabilità e lento per
basse permeabilità, è accompagnato da cedimenti dovuti in prima istanza
all’allontanamento dell’acqua e al movimento relativo dei grani ed in seconda analisi a
fenomeni deformativi differiti nel tempo dello scheletro del terreno (effetti viscosi legati
anche alla rottura dei grani).
Ridurre al minimo questi cedimenti e quindi capirne l’evoluzione, ha la conseguenza di
portare in sicurezza la costruzione delle strutture.
Va da sé che il problema è più sentito per bassi valori di permeabilità, dove la risoluzione
sta nella riduzione del percorso del moto di filtrazione.
In via analitica le ipotesi assunte per risolvere il problema della consolidazione sono:
1) terreno continuo, incomprimibile, omogeneo e saturo;
2) acqua incomprimibile;
3) deformazioni infinitesime;
4) validità legge di Darcy.
Risultato
della
trattazione
analitica
è
l’equazione
della
consolidazione
monodimensionale di Terzaghi da cui è ricavabile il cedimento ρ(t) durante il processo di
consolidazione:
4
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
2H
2H
0
0
ρ (t ) = ∫ mv [∆σ v − u ( z , t )]dz = ρ ∞ − mv ∫ u ( z , t )dz
Dove:
mv = −
∆e
⋅ ∆σ v' è i coefficiente di comprimibilità ( ε v = mv ⋅ ∆σ v' )
1+ e
∆σ v' è l’incremento di tensioni totali per effetto del carico costante
u ( z , t ) = f (∆σ v , Tv ) pressione interstiziale dell’acqua in fase transitoria, con Tv =
Cv ⋅ t
(H
H2
spessore strato consolidato)
Normalizzando l’equazione del cedimento, si ottiene il rapporto U (t ) = ρ (t )
ρ ∞ (sempre
minore dell’unità), detto grado di consolidazione (dove ρ∞ è il cedimento a tempo
infinito, quindi a fine consolidazione).
Questa è una curva adimensionale, valida per ogni tipo di terreno, con andamento tipo
quello riportato nella figura a seguire:
Diagramma
del
grado
consolidazione nel tempo
dove :
di
U=0.3 ⇒ TV = 0.196 = T50
U=0.8 ⇒ TV = 0.848 = T90
Con questa curva, noto il cedimento totale ρ∞ , si può stimare in quanto tempo Tv si avrà
il cedimento ρ(t).
Unico problema che rimane è la determinazione di Cv (coefficiente di consolidazione).
Due sono i modi più diffusi: Taylor e Casagrande.
5
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
1.1
Determinazione del coefficiente di consolidazione Cv
Entrambi i metodi (Taylor e Casagrande) si basano sulle risultanze sperimentali della
prova edometrica, che verrà trattata al paragrafo 3.
Comunque sono sottostime di quelli reali in sito (e quindi a favore di sicurezza) perché la
filtrazione è più veloce in sito che nel provino (size effect).
1.1.1
Taylor
Dalla prova edometrica si ricava il diagramma ρ (t ) − t (analogo a quello dimensionale
della figura precedente).
Si osserva che fino al 60% della consolidazione, tale relazione è pressoché lineare.
Se si considera un punto qualsiasi della retta di interpolazione (del tratto iniziale) e lo si
maggiora del 15% (quindi si considera l’ascissa di un punto della retta e la si maggiora di
1.15 volte) si individua una seconda retta, passante per questo punto e l’origine.
Dove questa seconda retta interseca la curva sperimentale si trova un cedimento pari al
90% di ρ∞, definito al tempo t90. con alcuni passaggi matematici si ottiene:
U=
ρ 90
H 2 ⋅ 0.848 H 2 ⋅ Tv 90
= 0.9 → Tv = 0.848 ⇒ Cv =
=
ρ∞
t 90
t90
1.1.2 Casagrande
Dalla prova edometrica si ricava il diagramma ρ (t ) − log t , come riportato nella figura a
seguire, dove:
AB: consolidazione primaria per flusso transitorio;
CD: consolidazione secondaria per effetti transitori.
6
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
Per consolidazione si considera la sola legata a cedimenti elasto-plasctici, che trova
quindi termine nel punto B.
Poi si mette in relazione il tempo t per ottenere ρ50, cioè t50 quindi:
U=
ρ 50
H 2 ⋅ 0.197 H 2 ⋅ Tv 50
= 0.5 → Tv = 0.197 ⇒ Cv =
=
ρ∞
t 50
t50
1.1.3 Metodo dipendente dalla permeabilità
Si determina il coefficiente di permeabilità K del terreno e poi:
ρ∞
K
dove mv =
Cv =
mv ⋅ γ w
2 H ⋅ ∆σ v
2.
CEDIMENTI
Con cedimento di una fondazione superficiale si intende l’abbassamento del piano di
posa a causa di deformazioni del terreno sottostante. Cause di ciò possono essere:
carichi trasmessi al terreno, oscillazioni della falda, vibrazioni di qualsiasi natura.
Lo studio dei cedimenti sia assoluti che differenziali deve poter giungere a garantire la
compatibilità dei medesimi con la statica e la funzionalità della sovrastruttura.
Quando avviene un cedimento si individuano tre momenti:
1 cedimento immediato: è di interesse pratico per i terreni di media ed elevata
plasticità, dove possono svilupparsi sensibili deformazioni di taglio per effetto di
plasticizzazioni locali e deformazioni viscose in condizioni non drenate;
2 cedimento primario o di consolidazione: rappresenta quasi sempre l’aliquota
predominante e che quindi influenza le considerazioni progettuali;
3 cedimento secondario o viscoso: può essere significativo per terreni organici o in caso
in cui il cedimento primario avvenga molto rapidamente (ed esempio per effetto di
dreni verticali).
7
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
La differente permeabilità che distingue i terreni a grana fine da quelli a grana grossa, fa
sì che questi ultimi si comportino come sistemi drenati, in cui l’applicazione di carichi ha
effetto sulle pressioni interstiziali per brevi lassi temporali. L’equilibrio originale quindi, in cui
il carico si trasferisce interamente allo scheletro solido del terreno (variazioni di tensioni
totali ed efficaci coincidono, essendo la pressione dell’acqua ancora con distribuzione
idrostatica) si ristabilisce agilmente, in tal modo il moto di filtrazione transitorio può ritenersi
trascurabile. Perde dunque di significato la distinzione fra cedimento immediato e
cedimento primario, che di seguito verranno chiamati col solo termine di cedimento
iniziale (dovuto a deformazioni di natura elasto-plastica), a cui farà seguito il secondario
(deformazioni viscose).
A seguire si considerano alcuni metodi sperimentali per definire i cedimenti, assieme alle
relative trattazioni analitiche.
3.
È
PROVA EDOMETRICA
una
prova
che
riproduce
in
laboratorio
le
condizioni
di
consolidazione
monodimensionale. Consiste nell’applicare ad un provino confinato lateralmente e
contrastato alle estremità da due pietre porose, una sequenza di carichi in modo che le
deformazioni ed il flusso d’acqua avvengano nella sola direzione verticale. Il provino,
durante la prova, è immerso in acqua per simulare in fase discarico il rigonfiamento.
La difficoltà a prelevare campioni in sabbia, fa sì che tale prova risulti più diffusa per le
argille. Le argille, avendo bassi valori di permeabilità, saranno soggette a steps di carico
8
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
“lenti” nel tempo (24h) per garantire l’espulsione dell’acqua e dunque il ripristino delle
condizioni idrostatiche nel campione.
Di interesse è la consolidazione primaria: la secondaria è rilevante solo in casi particolari
come terreni a componente organica o simili.
Posto ε v = ∆H
H0
il diagramma viene in genere, riportato in scala semilogaritmica (εv , log
σv’), per una più immediata lettura, come si vede nei due esempi di seguito riportati,
relativi al medesimo terreno:
Il diagramma mantiene qualitativamente lo stesso andamento se al posto della
deformazione relativa εv si considera l’indice dei vuoti e:unica differenza è che l’asse è
rivolto verso l’alto (all’aumentare del carico, la deformazione cresce e l’indice dei vuoti
diminuisce).
Nel diagramma sono distinguibili alcune parti:
AB: ricompressione, dove:
rapporto di ricompressione RR =
indice di ricompressione C r =
∆ε v
Cr
=
'
∆ log σ v 1 + e0
− ∆e
;
∆ log σ v'
BC: compressione, deformazioni sia elastiche (modeste) sia plastiche, dove:
rapporto di compressione CR =
∆ε v
C
= c
'
∆ log σ v 1 + e0
9
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
indice di compressione C c =
− ∆e
;
∆ log σ v'
CD: scarico o rigonfiamento, recupero della sola deformazione elastica, dove:
rapporto di rigonfiamento SR =
indice di rigonfiamento C s =
Cs
∆ε v
=
'
∆ log σ v 1 + e0
− ∆e
;
∆ log σ v'
DC’: ricompressione;
CF: compressione.
Dal diagramma ε v − σ v' si ricavano:
∆ε v
∆σ v'
coefficiente di compressibilità
mv =
modulo edometrico
∆σ v'
1
M=
=
mv ∆ε v
indice di compressibilità
av = −
∆e
∆σ v'
Un terreno NC si comporterà secondo la curva ABC (dove σ 'p rappresenta le condizioni
litostatiche in loco, azzerate a seguito del prelievo del provino); un terreno OC invece
avrà andamento secondo la DC’F. Contrariamente alle fasi di compressione, durante le
ricompressioni le deformazioni sono modeste.
Il valore di σ 'p in B, pressione di preconsolidazione, è la massima tensione a cui è stato
sottoposto il terreno (Casagrande), determinabile come segue:
1) nel punto di massima curvatura si tracciano orizzontale, tangente e loro bisettrice;
2) l’intersezione della bisettrice con il prolungamento del tratto di compressine
fornisce σ 'p cercato.
10
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
Noto σ 'p per via sperimentale e calcolato in via analitica il valore di tensione efficace
σ v' 0 si può definire il grado di sovraconsolidazione OCR (Over Consolidation Ratio):
OCR =
σ 'p = 1 ⇒ NC
=
σ v' 0 > 1 ⇒ OC
Dove σ v' 0 rappresenta il carico litostatico in sito.
L’OCR (insieme a K0) descrive in termini quantitativi la storia tensionale di un deposito.
3.1
Correzione di Schmertmann
Schmertmann ha proposto una correzione dei risultati delle prove edometriche in modo
da avere una stima più affidabile dei parametri geotecnici in sito.
1) definizione di Cr (indice di ricompressione) con un ciclo di carico-scarico;
2) dal punto A=( σ v' 0 ,e0 ), che rappresenta le condizioni in sito, si traccia retta con
pendenza Cr;
3) si traccia la retta dal punto C (appartenente alla retta del punto 1) e per cui
σ v' 0 = σ 'p ), al
punto D (corrispondente all’indice dei vuoti 0.42e0 – punto di
convergenza sperimentale delle curve edometriche);
4) si diagramma ∆e in funzione delle tensioni σ v' , sia la sperimentale che la ricostruita
5) si considera σ 'p quando il diagramma al punto 4) è simmetrico rispetto a
σ 'p stesso.
Con questa correzione in genere si ha un incremento di σ 'p dell’ordine del 15±5%.
11
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
4.
Quaderno 1
CALCOLO DEL CEDIMENTO EDOMETRICO
Questo metodo di calcolo dei cedimenti, valevole per argille, si applica al caso di
carico esteso su terreno omogeneo (per ipotesi di monodimensionalità).
Operativamente quindi si determina la tensione efficace σ v' 0 nello strato di terreno (se lo
spessore è elevato si suddivide il medesimo in più strati) e la si confronta con la tensione
di preconsolidazione σ 'p .
Nel caso di terreni preconsolidati (OCR>1), si avrà

σ 'p
σ ' + ∆σ ' 
∆H = H 0 ⋅  RR ⋅ log ' + CR ⋅ log v 0 ' v 
σ v0
σp


Sempre per i terreno preconsolidati, nel caso in cui il carico trasmesso non sia sufficiente
a superare la tensione di preconsolidazione, cioè σ v' 0 + ∆σ v' < σ 'p , quindi le deformazioni
avvengono nel tratto di ricompressione:
∆H = H 0 ⋅ RR ⋅ log
σ v' 0 + ∆σ v'
σ v' 0
Nel caso di terreni normalconsolidati (OCR=1), si avrà σ v' 0 = σ 'p e le deformazioni
avverranno nel solo tratto di compressione:
∆H = H 0 ⋅ CR ⋅ log
4.1
σ v' 0 + ∆σ v'
.
σ v' 0
Metodo operativo
1) suddivisione del terreno in strati;
12
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
2) calcolo delle tensioni efficaci litostatiche in mezzeria agli strati;
3) valutazione degli incrementi di tensione a seguito dell’applicazione del carico, nei
vari strati, ipotizzando la crescita lineare dell’impronta di carico con la profondità;
4) determinazione con procedura sperimentale dei parametri edometrica e della
tensione di preconsolidazione;
5) calcolo delle deformazioni dei singoli strati;
6) definizione del cedimento come sommatoria delle deformazioni elementari dei
vari strati.
5.
PROVE PENETROMETRICHE
Le prove penetrometriche possono essere fatte sia in via statica che dinamica.
Le prove vanno spinte fino a profondità dove risulta ancora significativo il contributo delle
tensioni trasmesse dai carichi.
5.1
PROVA SPT: Standard Penetration Test (PROVA PENETROMETRICA DINAMICA)
Questa prova consente di determinare la resistenza di un terreno a seguito della
penetrazione dinamica dal fondo foro di un sondaggio di un campionatore.
Si fa cadere un maglio da 63.5 kg, da un’altezza di 760 mm su una batteria di aste
all’estremo inferiore della quale è posto il campionatore (diametro esterno di 51 mm,
interno di 35 mm ed altezza di 457 mm).
Il numero di colpi per ottenere una penetrazione di 300 mm (dopo la penetrazione
quasi-statica per gravità e dopo i 150 mm di infissione dinamica di posizionamento) è il
dato assunto come resistenza alla penetrazione, indicato con NSPT.
Vantaggi della prova sono:
-
economicità e diffusione;
-
versatilità con ogni tipo di terreno;
-
permette il prelievo di campioni.
Lo svantaggio prevalente è invece il fatto che l’applicazione dinamica dei carichi non
simula la realtà in opera, dove i carichi possono ritenersi statici, quindi le uniche
correlazioni con i parametri geotecnici che si possono fare sono di natura empirica.
Se durante la prova, 100 colpi non bastano per avere la penetrazione di 300 mm, la
prova viene interrotta.
13
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
La frequenza di battitura (30 colpi/min) non deve essere eccessiva per permettere il
ristabilirsi di condizioni di equilibrio fra due battiture successive.
Nel caso di sabbie fini e sabbie limose sotto falda, qualora NSPT > 15, il valore misurato
verrà “corretto” secondo le indicazioni di Terzaghi-Peck, per depurarlo dai possibili effetti
delle sovrapressioni neutre generatesi durante l’infissione:
NCORRETTO = 15+0.5(N-15)
Altra correzione che si può impiegare è nel caso di terreni ghiaiosi o sabbioso ghiaiosi:
NSPT* = 1.25 N
5.2
PROVA CPT: Cone Penetration Test (PROVA PENETROMETRICA STATICA)
Consiste nell’infiggere a pressione enl terreno una punta conica, misurando con
continuità lo sforzo necessario alla penetrazione di punta (qc) e l’adesione tereno-acciaio
in un manicotto posto sulla punta (qs). Qualora la punta sia dotata di un settore poroso,
la misura risulta integrata con valori di pressione.
SPT
CPT
Questa prova serve per:
-
costruire stratigrafie (e quindi definire i terreni attraversati);
-
misurare l’angolo di attrito e la compressibilità drenati di terreni granulari;
-
definire la resistenza a taglio non drenata di terreni coesivi;
14
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
-
Quaderno 1
livello di falda e grado di consolidazione.
Il tipo di dati forniti dalla prova sono:
Resistenza alla punta qc = Qc x Ac (Qc carico assiale sul cono; Ac area di base del cono);
Attrito laterale fs = Qs x As (Qs forza di attrito per infiggere il cono; Ac area laterale del
manicotto);
Spinta totale Qt (forza per spingere aste e punta);
Resistenza per attrito totale Qst = Qt + Qc;
Friction Ratio Rf = 100 x fs / qc (%).
Il manicotti ha superficie laterale di 1.5x104 mm2.
L’infissione della punta avviene con una velocità di 20 mm/s.
Esempi di diagrammi della prova in esame sono riportati a seguire.
15
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
6.
Quaderno 1
CEDIMENTI DI FONDAZIONI SU SABBIE
Non potendo prelevare campioni indisturbati, quando si ha a che fare con materiali
granulari si farà uso delle prove in sito, con particolare attenzione alle prove
penetrometriche sia dinamiche che statiche (di cui sopra).
6.1 METODO DI BURLAND E BURBIDGE
Sia w il cedimento esprimibile con la relazione:
w
= q'IC
ZI
dove:
Z I = B 0.7 : zona di influenza del carico che si estende fino ad una profondità dove il
cedimento è pari a 25% del cedimento superficiale;
I C=
1. 7
: indice di compressibilità (anche definibile come variazione di indice di vuoti su
N 1.4
variazione di tensioni efficaci);
q ‘ :carico uniforme trasmesso da una fondazione quadrata.
Esplicitando i termini, si ottiene il cedimento w (in mm) di una sabbia normalconsolidata:
w = q ' ⋅ B 0.7 ⋅ I C
Se la fondazione si trova ad una profondità da p.c. ove è presente una tensione
litostatica σ v' 0 , l’equazione diventa, nella sua forma generalizzata:
w = σ v' 0 ⋅ B 0.7 ⋅
IC
+ (q ' − σ v' 0 ) ⋅ B 0.7 ⋅ I C
3
Dove il primo termine si riferisce al tratto di ricompressione caratteristico di un
comportamento elastico del terreno (finché non raggiunge lo stato tensionale pari a
quello litostatico in sito), mentre il secondo termine si riferisce alla curva di carico (per
carichi applicati superiori a quelli litostatici a parità di profondità). Se il terreno è
sovraconsolidato, l’equazione sopra si mantiene valida, con l’unico accorgimento che al
posto di σ v' 0 si troverà σ 'p , tensione di preconsolidazione (si ricordi il diagramma
semilogaritmico delle prove edometriche). L’espressione è una forma generalizzazione
del problema: se infatti si considera una sabbia NC (per cui non esiste una tensione di
preconsolidazione σ 'p ) cioè σ v' 0 = σ 'p =0 e l’equazione si riporta al primo caso.
16
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
Nel tratto di ricompressione l’indice di compressibilità è considerato pari ad 1/3 di quello
del tratto di compressione.
Di fatto, il σ v' 0 del primo termine, è anche esso un delta di tensioni: σ v' 0 -0, dove lo 0 è lo
stato tensionale ad inizio prova (scarico).
Il valore di N impiegato nella definizione di IC è la media dei valori di NSPT ricavati con
∑N
prove SPT per una profondità pari alla zona di influenza: N =
i
i⊂ Zi
i
.
Applicando il metodo secondo le indicazioni su esposte, il risultato ottenuto è il valore del
cedimento iniziale, inteso come somma dell’immediato e del primario (legato alla
consolidazione), nel caso specifico di fondazione quadrata e con spessore dello strato di
appoggio comprimibile H maggiore della zona in influenza.
Applicando tre fattori correttivi si ottiene la generalizzazione del metodo di Burland e
Burbidge:
fs) fattore di forma della fondazione:
2
 1.25 


L
B
se
> 1⇒ fs = 
 >1
B
 L + 0.25 
B

questo fattore ha coma massimo valore 1.56 nel caso di fondazioni nastriformi;
fH) fattore di altezza dello strato comprimibile:
se H < Z I = B 0.7 ⇒ f H =
H
H
(2 − ) < 1 ;
ZI
ZI
ft) fattore per effetti differiti nel tempo (per t>3 ann):
t
f t = (1 + R3 + R ⋅ log ) ;
3
dove
R3 = 0.3 e R = 0.2 per carichi statici
R3 = 0.7 e R = 0.8 per carichi ciclici
(NOTA: il logaritmo è in base 10).
Con tali fattori, quindi l’espressione generalizzata del cedimento diviene:
I


w = f s ⋅ f H ⋅ f t ⋅ σ v' 0 ⋅ B 0.7 ⋅ C + (q ' − σ v' 0 ) ⋅ B 0.7 ⋅ I C 
3


17
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
Quello trovato applicando la formula sopra riportata rappresenta un valore medio di
cedimento. Per riportarsi al valore massimo di cedimento che ci si può attendere, si
deve moltiplicare tale valore per 1.5.
6.2 METODO DI SCHMERTMANN
È un metodo di calcolo dei cedimenti in asse ad una fondazione in terreni non coesivi
con l’impiego dei risultati derivanti dalle prove CPT.
L’espressione generica del cedimento assume la forma:
H
s = C1 ⋅ C 2 ⋅ ∆q ' ⋅ ∑
0
I z ⋅ ∆z
E'
Dove:
∆q ' = (q ' − σ v' 0 ) = pressione efficace netta, quindi sovrappressione rispetto al carico
litostatico dovuta alla fondazione ( σ v' 0 );
σ v' 0 = tensione verticale efficace agente alla quota di imposta della fondazione;
C1 e C2 sono due coefficienti che tengono conto rispettivamente dell’approfondimento
relativo della fondazione rispetto al p.c. e del tempo t (espresso in anni), secondo le
seguenti relazioni:
C1 = 1 − 0.5
σ v' 0
∆q '
≥ 0. 5
C 2 = 1 + 0.2 ⋅ log(
t
)
0.1
18
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
Iz è il coefficiente di influenza. Esso varia con la geometria della fondazione (L/B), con la
pressione applicata (q’) e con l’approfondimento relativo della fondazione (e quindi con
la tensione verticale efficace agente σ v' 0 ), secondo il diagramma precedente.
Il modulo di deformazione E’ deriva dalle prove CPT e per esso si può assumere:
E’ = 2.5 qc per fondazioni quadrate o circolari
E’ = 3.5 qc per fondazioni nastriformi.
L


Alcuni autori formalizzano il legame fra E e qc con la relazione: E = q c 2.5 + ( − 1) ⋅ 0.11
B


6.2.1
Metodo operativo
1) calcolo dei valori di C1 (con σ v' 0 al piano di imposta della fondazione = γ x D), C2
(predefinendo la vita dell’opera, assumibile come 30 anni) e ∆q’ = q’ - σ v' 0 .
2) Definizione della profondità della zona di influenza, in base alla tipologia di
fondazione (rapporto L/B). Nei casi intermedi a quelli graficati, si opera per
interpolazione;
3) Suddivisione della zona di influenza in strati, in funzione della regolarità del
diagramma derivante dalla prova CPT. In tali strati si considereranno costanti i
valori di Izi ed Ei’;
4) Definizione del valore Izmax e della profondità a cui si trova dal piano di imposta
della fondazione;
5) Definizione dei due punti di origine e fine della bilatera e determinazione
dell’equazione delle rette passanti per tali punti;
6) Calcolo del valore di Izi a metà di ogni strato (nota la profondità, con le rette del
punto 5 si trova il valore cercato);
7) Visto che ogni strato è stato definito “per omogeneità di qc”, si estrae dal
diagramma della CPT il valore di qc “costante” nello strato definito;
8) Si calcola il modulo di Young E in base ai dati di progetto;
9) Dalla tabella predisposta si può quindi ricavare il cedimento atteso.
6.3
ESEMPI APPLICATIVI
Si riportano a seguire alcuni esempi di calcolo dei cedimenti secondo i due metodi
riportati nei paragrafi 6.1 e 6.2. i primi due studiano la stessa fondazione nei due metodi
di calcolo. I dati di questi due problemi sono:
19
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
fondazione quadrata di lato B=2.5 m
piano di imposta della fondazione a -1.50 m da p.c.
terreno: sabbia medio fine con ρ = 1900 kg/m3
carico trasmesso dalla fondazione q’ = 200 kPa.
6.3.1
Esempio 1 (Burland e Burbidge)
20
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
21
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
22
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
6.3.2
Quaderno 1
Esempio 2 (Schmertmann)
23
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
24
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
25
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
6.3.3
Quaderno 1
Esempio 3 (Schmertmann)
26
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
27
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
7.
Quaderno 1
COMPLESSO FONDAZIONE-SOVRASTRUTTURA
Due sono le domande da porsi:
1) quali saranno i cedimenti prevedibili?
Diversi sono i diversi tipi di approccio (empirico-probabilistico o approssimato), tutti
caratterizzati da notevole empirismo e generale sovrastima delle distorsioni.
Le conclusioni che però si possono trarre sono:
-
in terreni incoerenti i cedimenti assoluti sono contenuti, mentre sono rilevanti i
cedimenti relativi (viceversa per i terreni coerenti). Questo a causa della ridotta
compressibilità e della spiccata eterogeneità dei terreni a grana grossa.
-
A parità di cedimento, la rotazione relativa aumenta passando da fondazioni
continue a fondazioni isolate e da terreni a grana fine a terreni a grana grossa.
-
Fra fondazioni dirette e fondazioni su pali, ciò che cambia è l’entità dei cedimenti,
più ridotta per queste ultime.
2) Questi cedimenti saranno accettabili?
Diversi autori hanno proposto valori di riferimento ammissibili per cedimenti relativi ed
assoluti. L’eterogeneità di tali limiti è legata alla soggettività del “danno accettabile”. In
generale si considerano i valori più restrittivi laddove devono prevalere criteri di estetica e
funzionali (edifici nuovi, pregiati destinati a civile abitazione o uso pubblico), mentre valori
più elevati sono accettabili per edifici industriali.
7.1
Cedimenti ammissibili
La definizione del danno subito da una struttura a seguito di un cedimento non è
un’operazione univoca in quanto deriva da molteplici fattori legati alla struttura, alla sua
destinazione ed a considerazioni economiche.
Non necessariamente il danno è univocamente inteso in termini di comparsa di crepe e
fessure, ma in una sua accezione più ampia, bisogna considerare anche le modifiche
dell’assetto d’insieme in relazione alla destinazione e funzionalità della struttura e delle
sue parti.
La definizione dunque dei valori di soglia dei cedimenti da prendere in riferimento per
evitare danni strutturali può avvenire solo per via empirica, sulla base di molteplici
osservazioni su casi reali.
28
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
In quest’ottica è necessario definire i parametri di distribuzione dei cedimenti nello spazio
che verranno presi in considerazione per queste valutazioni empiriche.
Rotazione relativa β: rotazione subita da una retta congiungente due punti di riferimento,
una volta scorporata la rotazione rigida ω della struttura.
La distorsione angolare α è definita come:
α=
s B − s A s B − sc
+
.
L AB
LBC
L’inflessione relativa ∆ indica il massimo cedimento riferito alla congiungente di due punti
di riferimento a distanza L ed il rapporto ∆/L è indicato come rapporto di inflessione.
Alcuni esempi di cedimenti ammissibili sono di seguito riportati.
Strutture a telaio in c.a.
β rotazione relativa
Tamponature
≤1/300
≤1/500
Strutture portanti - telaio
≤1/150
≤1/200
Skempton-Mc Donald
Poshin-Tokar
29
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
Per le strutture in muratura non armata, Burland-Wroth hanno proposto per il rapporto di
inflessione i seguenti valori limite prima di raggiungere la fessurazione:
∆
L
≤ 2 ⋅ 10 − 4 per = 1
L
H
∆
L
≤ 4 ⋅ 10 − 4 per = 5
L
H
Definiti i valori di soglia, il problema è poi di definire i cedimenti differenziali. Benché sia
relativamente attendibile la previsione di un cedimento totale di una struttura, altrettanto
non può dirsi per i cedimenti differenziali, dipendendo questi ultimi da fattori come la
rigidezza della struttura ed eterogeneità del terreno.
Per definire quindi i cedimenti differenziali, la strada accettata è quella di impiegare
correlazioni fra i cedimenti relativi ed il cedimento massimo osservato.
Per quanto riguarda i valori limite del cedimento S, Grant et al. hanno proposto:
terreni sabbiosi
Smax (mm)
Terreni coesivi
formula
con β = 1 / 500
formula
con β = 1 / 500
Plinti
15000 ⋅ β max
30
30000 ⋅ β max
60
Platee
18000 ⋅ β max
36
35000 ⋅ β max
70
In aggiunta a queste correlazioni si può dire:
terzaghi-peck, per fondazioni su sabbie, hanno posto il cedimento differenziale in termini
del 75% di quello totale, con un minimo a 25 mm;
Skempton e Mac Donald, per strutture ordinari fondate su sabbia, pongono il massimo
cedimento tollerabile in termini di 40 mm per fondazioni isolate e 40-65 mm per platee,
con un cedimento differenziale massimo di 25 mm. Nel caso di terreni di natura
argillosa, il cedimento differenziale massimo sale a 40 mm ocn cedimenti massimi di 65
e 65-100 mm rispettivamente per plinti e platee.
Altri autori hanno fornito valutazioni su strutture esistenti. I parametri da questi riportati
devono sempre essere presi come “ordine di grandezza” dei fen2omeni in studio.
Quando i cedimenti previsti superano quelli ammissibili si può intervenire in diversi modi:
1) cambiare tipo di fondazione (magari con l’impiego di pali);
2) modificare la struttura (più o meno rigida. La previsione di un piano seminterrato è
in grado di compensare circa 4 piani fuori terra);
30
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
3) modificare le fondazioni (più rigide laddove siano presenti cedimenti differenziali);
4) migliorare le proprietà dei terreni (impiego di rilevati di precarico, oppure costruire
su
rilevati
strutturali,
addensamento
meccanico
con
rullatura,
drenaggi
verticali,….).
8.
CARICO LIMITE DELLE FONDAZIONI DIRETTE
Immaginiamo di applicare ad una fondazione un carico verticale Q e di far crescere
gradualmente questo carico, osservando al contempo il cedimento verticale w della
fondazione.
Il cedimento cresce dapprima col carico secondo una legge lineare e poi con un
gradiente crescente fino a raggiungere una fase finale dove a piccoli incrementi di
carico si hanno elevate deformazioni.
La curva carico-cedimento tende ad un asintoto (parallelo all’asse del cedimento) il cui
valore di carico è indicato come carico limite Qlim del complesso terreno-opera di
fondazione. La capacità limite quindi rappresenta la pressione che, applicata alla
fondazione, provoca la rottura del terreno.
8.1
Tipi di rottura del terreno
Due sono fondamentalmente i tipo di rottura del terreno:
1) rottura generale: caratterizzato dalla formazione di una superficie di scorrimento.
Il terreno sottostante la fondazione rifluisce lateralmente e verso l’alto. Il terreno
circostante la fondazione quindi subisce un sollevamento e si può osservare
l’emersione della superficie di scorrimento. A questo meccanismo corrisponde un
comportamento della fondazione di tipo plastico o fragile, accompagnato da
una rotazione della fondazione.
31
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
2) punzonamento: caratterizzato dall’assenza di una superficie di scorrimento
definita. Il terreno sottostante la fondazione si comprime (diminuzione della
porosità). Il terreno circostante la fondazione si abbassa, attenuandosi con
l’allontanamento dalla fondazione stessa. A questo meccanismo corrisponde un
comportamento della fondazione di tipo plastico con incrudimento (i cedimenti
crescono col carico, senza raggiungere un valore preciso di carico limite), dove si
individuano piano di taglio subverticali, accompagnati da affondamento della
struttura senza sollevamento del terreno.
Fra i due meccanismi di cui sopra è la rottura locale, intermedia nelle manifestazione e
nell’interpretazione. La compressibilità del terreno al di sotto della fondazione ha
importanza rilevante, ma allo stesso tempo si verifica anche la formazione di superfici di
scorrimento che terminano all’interno della massa di terreno, senza cioè emergere in
superficie (come per la rottura generale).
32
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
I meccanismi di rottura dipendono da diversi fattori, quali:
- caratteristiche del terreno (tipologia ed addensamento e quindi densità relativa DR);
- profondità del piano di posa della fondazione (o approfondimento relativo D/B).
La rottura generale avviene in terreni addensati e per fondazioni superficiali mentre la
rottura per punzonamento in terreni poco densi e fondazioni profonde.
La figura a seguire mostra che nel caso di un terreno sabbioso ad elevata densità
relativa, una fondazione superficiale arriva al collasso secondo una rottura generale; la
stessa fondazione arriva a collasso per punzonamento se posta su sabbia sciolta
(diminuzione di DR). inoltre una fondazione su sabbia densa arriva a rottura seguendo il
meccanismo di rottura generale se posta in superficie o a profondità relative D/B
modeste, mentre il punzonamento si verifica con elevati valori di profondità del piano di
posa.
Rotture per punzonamento sono inoltre possibili quando, al di sotto dello strato di sabbia
densa, si trova un terreno più compressibile (sabbia sciolta o argilla tenera)
33
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
8.1.1 Rottura generale (formula trinomia del carico limite di Terzaghi - 1943)
Si verifica in terreni poco deformabili (sabbie addensate, argille consistenti), dove le
condizioni non drenate permettono deformazioni senza variazioni di volume. Il
medesimo fenomeno può avvenire con variazione di volume, in tal caso però il
fenomeno predominante non è la compressione, bensì lo scorrimento (deformazione da
taglio).
Nei terreni sabbiosi si assume che realizzi la rottura generale quando l’indice di rigidezza Ir
(definito nel paragrafo 8.1.1.3) risulta superiore ai valori critici del medesimo indice.
Definito il tipo di rottura, si calcola la capacità portante del terreno come di seguito
descritto.
Si consideri una fondazione su terreno omogeneo, con forma in pianta di striscia
indefinita (B<L/5), in modo da trattare il problema in condizioni di deformazioni piane.
Il piano di posa della fondazione e la superficie del terreno siano orizzontali ed i carichi
verticali e centrati.
Il terreno fra piano di posa e p.c. viene considerato solo come carico (γ1xD).
Il terreno sottostante è caratterizzato da coesione c e da angolo di attrito φ.
La complessità del problema, insieme al numero di variabili in gioco, ha permesso di
definire il comportamento dei terreni solo relativamente a casi semplici. L’assunzione
dell’applicazione del principio di “Sovrapposizione degli effetti”, ha quindi permesso la
definizione della formula trinomia di Terzaghi per il calcolo della capacità portante di un
terreno. In condizioni ordinarie non sarebbe applicabile tale principio però, dato che non
34
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
è definibile una relazione completa, ma solo parziale e visto che il risultato è cautelativo,
lo si ritiene un procedimento accettabile.
Di primo acchito, si può individuare la dipendenza della capacità limite a tre fattori:
uno relativo al contributo delle forze di attrito, dovute al peso proprio del terreno
interno alla superficie di scorrimento: N q ⋅ γ 1 ⋅ D = N q ⋅ q ' ;
uno che esprime il con tributo della coesione lungo la superficie di scorrimento:
Nc ⋅ c ;
uno che definisce l’effetto stabilizzante del sovraccarico agente ai lati della
fondazione (ad esempio dovuto all’approfondimento del piano di fondazione rispetto
al p.c.): N γ ⋅ γ 2 ⋅
B
.
2
Il carico limite unitario assume dunque la forma:
q lim = N q ⋅ γ 1 ⋅ D + N c ⋅ c + N γ ⋅ γ 2 ⋅
B
2
γ1 e γ2 sono le masse volumiche rispettivamente del terreno al di sopra ed al di sotto del
piano di imposta della fondazione;
D è la profondità del piano di imposta della fondazione dal p.c.;
c è la coesione del terreno al di sotto del piano di posa della fondazione;
B è il lato minore della fondazione.
I valori dei coefficienti di carico limito o fattori di capacità portante Nq, Nc e Nγ assumono
le seguenti espressioni:
ϕ
N q = tan 2 (45 + ) ⋅ e π ⋅tan ϕ
2
N c = ( N q − 1) ⋅ cot gϕ
N γ = 2( N q + 1) ⋅ tan ϕ
Per comodità si riporta a seguire una tabella dei suddetti coefficienti in funzione
dell’angolo di attrito φ del terreno sottostante la fondazione (Vesic 1975):
35
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
8.1.1.1
Generalizzazione di Brinch – Hansen (1970)
Le limitazioni imposte nell’ipotesi iniziali di Terzaghi, possono essere rimosse applicando
opportuni fattori correttivi che tengono conto di:
-
forma della fondazione: s;
-
inclinazione ed eccentricità del carico: i;
-
inclinazione del piano di posa della fondazione: b;
-
inclinazione del piano campagna: g;
-
profondità del piano di imposta: d.
L’espressione diviene quindi:
q lim =
1 '
⋅ γ ⋅ B ⋅ N γ ⋅ sγ ⋅ iγ ⋅ bγ ⋅ g γ + c ⋅ N c ⋅ sc ⋅ d c ⋅ ic ⋅ bc ⋅ g c + q ' ⋅ N q ⋅ s q ⋅ d q ⋅ iq ⋅ bq ⋅ g q
2
A seguire si forniscono relazioni per poter determinare i singoli fattori correttivi:
FATTORI DI FORMA
Per estendere l’equazione a fondazioni rettangolari B x L (giacché sono stati risolti
solamente casi di fondazioni circolari o nastriformi), si applicano i seguenti fattori:
36
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
sγ = 1 + 0.1 ⋅
Quaderno 1
B 1 + senϕ
⋅
L 1 − senϕ
s q = sγ
sc = 1 + 0.2 ⋅
B 1 + senϕ
⋅
L 1 − senϕ
INCLINAZIONE ED ECCENTRICITÀ DEL CARICO
Secondo Vesic (1970) le espressioni empiriche dei fattori di inclinazione del carico,
considerando la scomposizione nelle componenti orizzontale H e verticale N, sono:


H
iγ = 1 −

 N + B ⋅ L ⋅ c ⋅ cot gϕ 
( m +1)


H
iq = 1 −

 N + B ⋅ L ⋅ c ⋅ cot gϕ 
1 − iq
ic = iq −
N c ⋅ tan ϕ
m
m=
2+ B
1+ B
L
L
Questi fattori verranno applicati alla verifica del carico verticale. Per il carico orizzontale
invece si imposterà una verifica a scorrimento dove q H lim = c + N ⋅ tan ϕ .
Per l’eccentricità “e” della risultante dei carichi si deve, secondo Meyerhof (1953),
adottare un valore di B corrispondente all’area effettiva equivalente, vale a dire la
minima superficie ridotta rispetto alla quale la risultante risulta centrata.
Per fondazioni quadrate o rettangolari, B diviene:
B = BR − 2 ⋅ e
37
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
Va da se che se l’eccentricità è lungo la diagonale dell’impronta di fondazione, la
riduzione dovrà farsi su ambo i lati B ed L.
INCLINAZIONE PIANO DI POSA
Questo caso è tipico di carichi trasmessi aventi rilevante componente orizzontale, come
ad esempio muri di sostegno.
Nel caso in cui α sia l’angolo rispetto all’orizzontale di cui il piano di posa è inclinato:
bq = (1 − α ⋅ tan ϕ ) 2
bγ = bq
bc = bq −
1 − bq
N c ⋅ tan ϕ
Questi coefficienti vengono applicati nella formula per verificare il carico limite inteso
normale al piano di posa (inclinato)
INCLINAZIONE DEL PIANO CAMPAGNA
Questo caso è tipico di fondazioni su pendii accentuati.
Sia dunque ω l’angolo rispetto all’orizzontale di inclinazione del pendio:
g q = (1 − tan ω ) 2
gγ = g q
gc = gq −
1− gq
N c ⋅ tan ϕ
Gli ultimi due coefficienti correttivi sono validi nella limitazione ε < π/4, ω < π/4 e ω < φ.
PROFONDITÀ DEL PIANO DI POSA
In condizioni normali, il piano di posa è più basso rispetto al piano campagna, col
duplice effetto di un carico stabilizzante al contorno dovuto a γ1 X D, oltre ad avere a
disposizione anche la resistenza a taglio mobilitabile lungo la parte di superficie di
38
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
scorrimento tra piano di posa e piano campagna, per l’altezza D (in genere trascurata,
considerando il terreno sopra il piano posa solo come sovraccarico).
Se D ≤ B ⇒ d q = 1 + 2 ⋅
D
⋅ tan ϕ ⋅ (1 − senϕ ) 2
B
D
Se D > B ⇒ d q = 1 + 2 ⋅ tan ϕ ⋅ (1 − senϕ ) 2 ⋅ tan −1 ( )
B
dc = dq −
1− dq
N c ⋅ tan ϕ
8.1.1.2
Condizioni non drenate (terreni coesivi)
Nel caso di fondazioni su terreni coesivi saturi, ad eccezione dei terreni sovraconsolidato
con comportamento dilatante, le condizioni critiche nei confronti della rottura si
verificano immediatamente dopo l’applicazione del carico. In questi casi si effettua
l’analisi in condizioni non drenate, in termini di tensioni totali (essendo difficile valutare nel
tempo l’andamento delle pressioni neutre), dove: c=cu (coesione non drenata) e φ=0.
L’equazione della capacità portante assume quindi la forma:
qlim = cu ⋅ N c ⋅ sc ⋅ d c ⋅ ic ⋅ bc ⋅ g c + q
Dove q è il sovraccarico totale ai bordi della fondazione (=γ x D);
N c = 2 + π = 5.14
sc = 1 + 0.2 ⋅
B
L
d c = 1 + 0.4 ⋅
B
L
B
d c = 1 + 0.4 ⋅ tan −1 ( )
L
ic = 1 −
m⋅H
B ⋅ L ⋅ cu ⋅ N c
bc = 1 −
2 ⋅α
π +2
gc = 1−
2 ⋅ω
π +2
se D≤B
se D>B
dove m =
2+ B
1+ B
L
L
39
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
Da notare è che il caso di piano campagna inclinato di ω rispetto all’orizzontale,
presuppone l’aggiunta nell’equazione del termine
sγ = 1 − 0.4 ⋅
1
⋅ γ ⋅ B ⋅ N γ ⋅ sγ dove N γ = −2 ⋅ senω e
2
B
.
L
Una prima valutazione del valore di cu (coesione non drenata) è fornita dalla seguente
relazione di Koutsoftas e Ladd (1985):
cu
σ
= (0.22 ± 0.03) ⋅ OCR 0.8
'
v0
Dove σ v' 0 è la tensione verticale efficace preesistente al carico, ad una profondità di B/2
al di sotto del piano di posa ed OCR è il rapporto di sovraconsolidazione.
8.1.1.3
Considerazioni sull’equazione di Brinch Hansen
- il termine legato alla coesione è predominante per i terreni coesivi;
-
il termine legato al carico q è predominante nei terreni incoerenti;
-
per fondazioni con B<3-4 m il termine legato a B può essere trascurato;
-
il termine di profondità qxNq è predominante in terreni incoerenti. Anche una
piccola profondità D produce un sensibile aumento di qult;
-
i coefficienti N crescono rapidamente all’aumentare di φ, la cui determinazione
deve essere molto accurata;
-
in presenza di falda si deve usare il peso specifico efficace γ’ = (γtot – γw) e quindi
la capacità portante diminuisce;
-
l’equazione trinomia può essere impiegato per rotture locali in sabbie eseguendo
una riduzione dell’angolo di attrito del terreno (Terzaghi ϕ ' = arctg (0.67 ⋅ tan ϕ ) ;
[
]
Vesic, per densità relative minori di 0.67% ϕ ' = arctg 0.67 + DR − 0.75 ⋅ DR2 ⋅ tan ϕ );
-
l’angolo di attrito va correlato col rapporto L/B: se L/B≤2 il valore di φ è quello
trassiale (φtr); se invece L/B>2 si adotta un angolo d’attrito φps = 1.5 x φtr – 17°;
-
Nei terreni caratterizzati da elevata compressibilità (sabbie sciolte e dense) la
verifica relativa ai cedimenti risulta già cautelativa, rendendo praticamente
superflua la verifica della capacità portante;
-
Nessuno getterebbe una fondazione superficiale su un terreno granulare;
-
Se una fondazione deve essere gettata su un terreno sciolto (DR<0.5),
precedentemente dovrà essere compattato aumentandone la densità;
40
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
-
Quaderno 1
Quando si progetta la larghezza di una fondazione soggetta ad un dato carico è
necessario usare un procedimento iterativo in quanto i fattori di forma, profondità
ed inclinazione dipendono da B;
-
La formula di Terzaghi, ha validità applicativa nel caso di fondazioni soggette a
carico verticale con profondità relative limitate (D/B≤1).
8.1.2 Punzonamento
Questo meccanismo richiede una variazione di volume del terreno in condizioni drenate
(è quindi tipico di sabbie poco addensate e argille poco consistenti).
Per lo studio di questo meccanismo Vesic ha impiegato un metodo approssimato,
assimilando il terreno ad un mezzo elastico-perfettamente plastico, dove il fenomeno è
retto da un “indice di rigidezza” Ir:
Ir =
G
c + σ ⋅ tgϕ
Dove s è la tensione normale media, posta pari alla tensione effettiva litostatica alla
profondità z=D+B/2 (D profondità piano fondazione da p.c. e B lato della fondazione).
G è il modulo di elasticità trasversale del terreno che, per un mezzo elastico è:
G=
E
2(1 + ν )
Con E Modulo di Young e ν Modulo di Poisson.
In condizioni non drenate (in termini totali) ν = 0.5, quindi G = Eu /3 (con Eu modulo non
drenato) mentre in condizioni drenate (in termini effettivi) il valore di G discende dai dati
a disposizione.
L’espressione del carico limite quindi ricalca quella della formula trinomia, però con
ulteriori coefficienti correttivi (ψq, ψc e ψγ), detti di punzonamento (dipendenti da φ, Ir e
B/L):
qlim = ψ q ⋅ N q ⋅ γ 1 ⋅ D + ψ c ⋅ N c ⋅ c + ψ γ ⋅ N γ ⋅ γ 2 ⋅
B
2
La rottura per punzonamento si verifica quando i coefficienti di punzonamento sono
inferiori all’unità, cioè quando l’indice di rigidezza Ir risulta inferiore ad un valor critico
definito come segue:
41
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
B
π ϕ 
1

I r ,crit = exp(3.3 − 0.45 )ctg ( − )
2
L
4 2 

La tabella a fianco dell’espressione, riporta i valori dell’indice di rigidezza critico nei casi in
cui B/L=0 (fondazione nastriforme) e B/L=1 (fondazione quadrata), per vari angoli di
attrito. A seguire si riportano poi le espressioni dei coefficienti di punzonamento, nonché i
loro valori diagrammati nei casi in cui B/L=0 (fondazione nastriforme) e B/L=1 (fondazione
quadrata):
tipo terreno
Terreno con attrito e coesione
Puramente coesivo
ψq

3.07 senϕ lg(2 I r ) 
B
exp(0.6 − 4.4)tgϕ +

L
1 + senϕ


1
ψc
ψγ
ψq −
1 −ψ q
N q tgϕ
ψq
0.32 + 0.12
B
+ 0.6 ⋅ lg I r
L
1
8.2
Fattore di sicurezza Fs
Il fattore di sicurezza è un parametro che permette di valutare le condizioni di lavori di
una certa opera o struttura in relazione alle condizioni critiche che si possono verificare.
Esprime dunque il margine con cui una certa opera può lavorare, soggetta a dati
42
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
carichi, rispetto a condizioni critiche. È dato dal rapporto fra azioni resistenti ed azioni
agenti; deve quindi essere sempre maggiore di 1.
In condizioni ordinarie, per condizioni limite di rottura il fattore di sicurezza è espresso
come rapporto di forze o tensioni, mentre, per condizioni limite di esercizio il rapporto è
fra deformazioni. Nel caso di rottura del terreno, il fattore di sicurezza adottato deve
essere applicato al carico limite per definire il valore ammissibile qamm da porre a
confronto con i carichi trasmessi dalla sovrastruttura.
I fattori di sicurezza generalmente accettati sono riportati nella tabella a seguire.
Con maggiore rigore si dovrebbe applicare il fattore di sicurezza alla sola parte
eccedente al carico q0 preesistente alla quota del piano di posa della fondazione, cioè:
q amm =
q lim − q0
+ q0 .
Fs
8.3
Esempi applicativi
Si riportano alcuni casi di applicazione della formula trinomia in diverse condizioni,
8.3.1 Esempio 1
Il terreno sia sabbioso con φ=35°, c’=0 e γ=20 kN/m3.
43
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
Determinare le dimensioni minime di un plinto quadrato che verifica un fattore di
sicurezza pari a 3 nei confronti della rottura del terreno di fondazione, nel caso in cui
questa sia soggetta ad un carico di 300 tonnellate.
44
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
8.3.2 Esempio 2
Sia data una fondazione nastriforme avente B=3 m che trasmette al terreno un carico
verticale centrato N di 1800 kN. Ai fianchi della fondazione sia presente un sovraccarico
distribuito q’ pari a 20 kPa. Il terreno sia sabbioso con φ=36°, c’=0 e γ=20 kN/m3.
Determinare il carico limite ed il fattore di sicurezza per la data fondazione.
45
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
8.3.3 Esempio 3
Il terreno presenta le medesime caratteristiche dell’esempio 1.
Ai carichi trasmessi dalla fondazione si aggiunge un momento M=540 kNm/m.
La fondazione è ancora nastriforme. Il terreno ha un “fronte di scavo”, come si trattasse
della fondazione di un muro di sostegno.
46
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
47
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
8.3.4 Esempio 4
Sia data una fondazione rettangolare B=2 m e L=3 m su cui agisce un carico centrato e
verticale N pari a 1000 kN, oltre ad un sovraccarico ai lati della fondazione pari a 20 kPa.
Il terreno sia sabbioso con φ=36°, c’=0 e γ=20 kN/m3.
Determinare il carico limite ed il fattore di sicurezza per la data fondazione.
48
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
8.3.5 Esempio 5
All’esempio 4 si aggiungano come carichi esterni una componente orizzontale Hx=150
kN ed un momento Mx=300 kNm.
Determinare il carico limite ed il fattore di sicurezza per la data fondazione e verificarne
la stabilità a slittamento.
49
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
8.3.6 Esempio 6
In figura è riportato lo schema di una fondazione rettangolare posta a 2 m di profondità
rispetto al piano campagna.
Il terreno è costituito da sabbia avente φ’=33° e γ= 20 kN/m3.
Determinare la capacità portante della fondazione e verificarne la stabilità.
L’equazione trinomia perde il termine relativo alla coesione, trovandoci nel caso di un
terreno incoerente.
N 5000
=
= 1000kN / m 2 = qs
A 2,5 ⋅ 2
N γ = 35,19
σ=
N q = 26,09
 1 + senγ I  B
 ⋅ = 1,42 = s q
sγ = 1 + 0,1 ⋅ 
I 
 1 − senγ  L
1
1
q lim = ⋅ γ I N γ B ⋅ s γ + q I N q s q = ⋅ 20 ⋅ 35,19 ⋅ 2,5 ⋅ 1,42 + 40 ⋅ 26,09 ⋅ 1,42 = 1249,245 + 1481,912 =
2
2
2
= 2731,157 kN / m
FS =
q lim 2731,157
=
= 2,731 > 2,5 ⇒ VERIFICATO
qS
1000
50
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
8.3.7
Quaderno 1
Esempio 7
Considerando la medesima fondazione dell’esempio precedente: determinarne la
capacità portante e verificarne la stabilità sapendo che, oltre al carico N agisce un
momento Mxx=1000 kNm.
Al caso precedente si devono applicare i coefficienti riduttivi della geometria della
fondazione per effetto del momento.
BR = B I = B − 2e = 2,5 − 0,4 = 2,1 m
M 1000
=
= 0,2 m
N 5000
 1 + senγ I
s q = sγ = 1 + 0,1 ⋅ 
I
 1 − senγ
e=
 B
 ⋅ = 1,356
 L
N γ = 35,19
N q = 26,09
N 5000
=
= 1190,5 kN / m 2
A 2,1 ⋅ 2
1
1
q lim = ⋅ γ I N γ B ⋅ sγ + q I N q s q = ⋅ 20 ⋅ 35,19 ⋅ 2,1 ⋅ 1,42 + 40 ⋅ 26,09 ⋅ 1,356 = 2417,2 kN / m 2
2
2
q
2417,2
FS = lim =
= 2,03 < 2,5 ⇒ NON VERIFICATO
qS
1190,5
qS =
51
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
9.
Quaderno 1
Appendice I – La formula trinomia
Tabella dei coefficienti in funzione dell’angolo di attrito φ del terreno
(Vesic 1975):
Formula trinomia di Terzaghi:
q lim = N q ⋅ γ 1 ⋅ D + N c ⋅ c + N γ ⋅ γ 2 ⋅
B
2
γ1 e γ2 sono le masse volumiche rispettivamente del
terreno al di sopra ed al di sotto del piano di
imposta della fondazione;
D è la profondità del piano di imposta della
fondazione dal p.c.;
c è la coesione del terreno al di sotto del piano di
posa della fondazione;
B è il lato minore della fondazione.
I valori dei coefficienti di carico limito o fattori di
capacità portante Nq, Nc e Nγ sono:
ϕ
N q = tan 2 (45 + ) ⋅ e π ⋅tan ϕ
2
N c = ( N q − 1) ⋅ cot gϕ
N γ = 2( N q + 1) ⋅ tan ϕ
Generalizzazione di Brinch – Hansen (1970)
q lim =
forma della fondazione: s;
inclinazione ed eccentricità del carico: i;
inclinazione del piano di posa della fondazione: b;
inclinazione del piano campagna: g;
profondità del piano di imposta: d.
1 '
⋅ γ ⋅ B ⋅ N γ ⋅ sγ ⋅ iγ ⋅ bγ ⋅ g γ +
2
+ c ⋅ N c ⋅ sc ⋅ d c ⋅ ic ⋅ bc ⋅ g c +
+ q ' ⋅ N q ⋅ s q ⋅ d q ⋅ iq ⋅ bq ⋅ g q
INCLINAZIONE ED ECCENTRICITÀ DEL CARICO
FATTORI DI FORMA
Per estendere l’equazione a fondazioni rettangolari
B x L:
B 1 + senϕ
sγ = 1 + 0.1 ⋅ ⋅
L 1 − senϕ
s q = sγ
sc = 1 + 0.2 ⋅
B 1 + senϕ
⋅
L 1 − senϕ


H
iγ = 1 −

 N + B ⋅ L ⋅ c ⋅ cot gϕ 
( m +1)


H
iq = 1 −

 N + B ⋅ L ⋅ c ⋅ cot gϕ 
1 − iq
ic = iq −
N c ⋅ tan ϕ
m
m=
2+ B
1+ B
L
L
PROFONDITÀ DEL PIANO DI POSA
Se
D ≤ B ⇒ dq = 1+ 2 ⋅
D
⋅ tan ϕ ⋅ (1 − senϕ ) 2
B
Se D > B ⇒
D
d q = 1 + 2 ⋅ tan ϕ ⋅ (1 − senϕ ) 2 ⋅ tan −1 ( )
B
1− dq
dc = dq −
N c ⋅ tan ϕ
52
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
Quaderno 1
INCLINAZIONE DEL PIANO CAMPAGNA
Sia dunque ω l’angolo rispetto all’orizzontale di
inclinazione del pendio:
g q = (1 − tan ω ) 2
gγ = g q
gc = gq −
1− gq
N c ⋅ tan ϕ
INCLINAZIONE PIANO DI POSA
Nel caso in cui α sia l’angolo rispetto all’orizzontale
di cui il piano di posa è inclinato:
bq = (1 − α ⋅ tan ϕ ) 2
bγ = bq
bc = bq −
1 − bq
N c ⋅ tan ϕ
53
Ing. Guido Bellagamba Allegretti
10.
Quaderno 1
Appendice II – Altre espressioni dei coefficienti della formula trinomia
54