Università degli Studi di Firenze
Luogo delle Radici
L. Chisci, P. Falugi
Corso di Fondamenti di Automatica per CdL Ing. dell’Informazione e
Ing. dell’Ambiente e delle Risorse
Anno Accademico 2005/06
Fondamenti di Automatica
1
Luogo delle radici (Evans 1948)
• Il luogo delle radici è uno strumento grafico per l’analisi e la
sintesi di sistemi di controllo a retroazione.
+
L(s) =
bL (s)
aL (s)
−
L(s)
F.D.T. d’anello
L(s)
)
• La dinamica del sistema ad anello chiuso ( F.D.T. 1+L(s)
dipende essenzialmente dalla posizione nel piano complesso
delle radici del polinomio caratteristico α(s) = aL (s) + bL (s)
(1 + L(s) = 0).
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2
Luogo delle radici
• Tramite il “luogo delle radici” si studia la posizione nel piano
complesso delle radici di α(s) al variare di un parametro reale p
che entra in modo “lineare affine”; cioè si studia come variano
le radici di
α(s, p) = a(s) + pb(s) = 0
al variare di p, dove a(s) e b(s) sono polinomi noti.
• Caso frequente : p = k guadagno della F.D.T. d’anello
L(s, k) =
(s − z1 )(s − z2 ) · · · (s − zm )
kb(s)
=k
a(s)
(s − p1 )(s − p2 ) · · · (s − pn )
m<n
N.B. L(s, k) è assegnata in forma di poli e zeri.

• p1 , p2 , · · · pn : poli ad anello aperto 
FISSATI
• z1 , z2 , · · · zm : zeri ad anello aperto 
• k : guadagno variabile in (−∞, +∞) = R
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3
Luogo delle radici
Polinomio caratteristico
α(s, k) = a(s) + kb(s) =
n
Y
(s − pi ) + k
i=1
m
Y
(s − zi )
i=1
dove k è il parametro libero.
Definizione: il “Luogo delle Radici” è il luogo geometrico, nel
piano complesso, delle radici del polinomio caratteristico α(s, k) al
variare del parametro k ∈ (−∞, +∞), ovvero
L , {s ∈ C : ∃k ∈ R t.c. α(s, k) = 0}
In particolare
• Luogo positivo: L+ = {s ∈ C : ∃k ≥ 0 t.c. α(s, k) = 0}
• Luogo negativo: L− = {s ∈ C : ∃k ≤ 0 t.c. α(s, k) = 0}
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4
Condizioni di appartenenza a L
s ∈ L ⇔ ∃k ∈ R :
n
Y
(s − pi ) = −k
i=1
m
Y
(s − zi )
i=1
s ∈ C appartiene ad L se sono soddisfatte le seguenti condizioni
1. Condizione di modulo
Qn
i=1 |(s − pi )|
Q
|k| = m
i=1 |(s − zi )|
2. Condizione di fase

n
m
 (2` + 1)π k ≥ 0
X
X
∠(s − pi )−
∠(s − zi ) = π+∠k+2`π =
 2`π k ≤ 0
i=1
i=1
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5
Condizioni di appartenenza a L
• La condizione di fase non dipende dal valore di k (solo dal
segno) ⇒ è una condizione necessaria e sufficiente di
appartenza ad L.
• Se s ∈ C soddisfa la condizione di fase esisterà un k per il quale
la condizione di modulo è soddisfatta.
• La condizione di modulo permette di trovare per ogni s ∈ L il
corrispondente valore del guadagno k.
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6
Esempio 1
L(s) =
k
, p∈R
s−p
È possibile dedurre il luogo in modo analitico
α(s, k) = s − (p − k) = 0 ⇔ s = p − k
Im[s]
Luogo negativo
Luogo positivo
k
k=0
x
−
k
Re[s]
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7
Esempio 2
L(s) =
k
, p1 , p2 ∈ R poli reali
(s − p1 )(s − p2 )
È possibile dedurre il luogo in modo analitico
α(s, k) = (s − p1 )(s − p2 ) + k = s2 − (p1 + p2 )s + (p1 p2 + k) = 0 ⇔
q
p1 +p2 2
2
±
(
s1,2 = p1 +p
2
2 ) − p 1 p2 − k
Nota: s1 + s2 = p1 + p2 (somma dei poli costante)
Im[s]
Luogo negativo
Luogo positivo
k=0
x
p2
k=0
x
p1
Re[s]
p 2 +p 1
2
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8
Esempio 3
L(s) =
k(s − z)
, z, p1 , p2 ∈ R poli reali
(s − p1 )(s − p2 )
Cambio di variabile
σ = s − z ⇒ L(σ) =
kσ
(σ−q1 )(σ−p2 )
α(σ, k) = σ 2 − (q1 + q2 − k)σ + q1 q2 con qi = pi − z i = 1, 2
q
Poli σ1,2 = q1 +q22 −k ± ( q1 +q22 −k )2 − q1 q2
Nota: σ1 σ2 = q1 q2 (prodotto dei poli costante)
Im[s]
Luogo negativo
Luogo positivo
q 1q 2
o
−
q 1q 2
−
x
q1
x
q2
Re[s]
q 1q 2
q 1q 2
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9
Regole per il tracciamento qualitativo di
L
1. Il luogo delle radici è simmetrico rispetto all’asse reale
∀s ∈ L (α(s, k) = 0) ⇒ s ∈ L (α(s, k) = 0)
2. Tutti i punti dell’asse reale appartengono al luogo delle radici
• Al luogo positivo (k > 0) appartengono tutti i punti dell’asse
reale che lasciano alla propria destra un numero dispari di
singolarità (poli e zeri) contati con la loro molteplicità.
• Al luogo negativo (k < 0) appartengono tutti i punti
dell’asse reale che lasciano alla propria destra un numero
pari di singolarità contati con la loro molteplicità.
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10
Tale regola deriva dalla condizione di fase
s∈L
+
s∈L
−
.
s
⇔
⇔
Pn
i=1 ∠(s − pi )
Pn
i=1 ∠(s − pi )
s−z j
s−pi
x
p
i
o
zj
(s+2)2
s2 (s+1)2
−
−
Pm
i=1 ∠(s − zi )
Pm
i=1 ∠(s − zi )
= (2` + 1)π
= 2`π
` intero
Dato un punto generico s ∈ R , ogni singolarità (pi o zj ) di L(s) a destra di s fornisce
un contributo di fase ±π
Esempio: L(s) =
Nessun punto dell’asse reale fa parte del
luogo positivo.
Im[s]
Luogo negativo
2
2
o x
−2 −1
2
x
0
Re[s]
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11
3. Comportamento per k → 0
Il luogo delle radici è costituito da n rami.
• Gli
p1 ,
Gli
p1 ,
n rami del luogo positivo partono dagli n poli
p2 , · · · , pn per k = 0.
n rami del luogo negativo convergono agli n poli
p2 , · · · , pn per k → 0.
• Per il luogo positivo, l’angolo di partenza αj dal polo pj
(j = 1, 2, · · · , n), di molteplicità µj , per s ≈ pj è (condizione di
fase)
µj αj = µj ∠(s − pj ) ≈ (2` + 1)π −
n
X
i=1
∠(pj − pi ) +
m
X
∠(pj − zi )
i=1
dove ` = 0, · · · , µj − 1
• Per il luogo negativo, l’angolo di arrivo nel polo semplice pj
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12
(j = 1, 2, · · · , n) per s ≈ pj è
n
m
X
X
π
∠(pj − pi )+
∠(pj − zi )+2`π
µj (αj − ) = µj ∠(s − pj ) ≈ −
µj
i=1
i=1
dove ` = 0, · · · , µj − 1
• Dal polo pj escono µj rami del luogo positivo e entrano µj rami
del luogo negativo. Complessivamente escono 2µj rami
alternativamente entranti e uscenti dal polo pj .
4. Comportamento per k → ∞
Quando k → ∞ (per il luogo positivo) oppure k → −∞ (per il
luogo negativo), m rami del L.d.R. convergono agli m zeri
z1 z2 , · · · , zm di L(s).
I rimanenti n − m rami divergono verso il punto improprio
all’∞ tendendo asintoticamente a n − m asintoti che formano
con l’asse reale angoli pari a
•
(2`+1)π
n−m
` = 0, 1, · · · , n − m − 1
per
L+
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•
2`π
n−m
13
` = 0, 1, · · · , n − m − 1
per
L−
e si incontrano nel seguente punto sull’asse reale
Pn
Pm
i=1 pi −
i=1 zi
centro degli asintoti
so =
n−m
Se zj è uno zero di molteplicità νj , si hanno 2νj rami
(alternativamente di L+ e L− ) che escano/entrano da/in zj .
Gli angoli βj che tali rami formano con l’asse reale sono:
•
•
νj βj+
νj βj−
Pn
Pm
≈ −(2` + 1)π + i=1 ∠(zj − pi ) − i=1 ∠(zj − zi ) per L+
Pn
Pm
≈ −2`π + i=1 ∠(zj − pi ) − i=1 ∠(zj − zi ) per L−
con ` = 0, · · · , νj − 1
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Esempio
(s + 2)2
L(s) = 2
⇒ m = 2, n = 4
s (s + 1)2
Il L.d.R. ha n=4 rami
Per il luogo positivo
• 2 rami partano da s = 0
• 2 rami partano da s = −1
Per il luogo negativo
• 2 rami arrivano in s = 0
• 2 rami arrivano in s = −1
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15
Esempio
p1 = 0 con µ1 = 2
p2 = −1 con µ2 = 2
z1 = −2 con ν1 = 2
Poli:
zeri:
p1 = 0 ⇒ 2α1 = (2` + 1)π − 0 + 0
α1 =
p2 = −1 ⇒ 2α2 = (2` + 1)π − 2π + 0 α2 =
(2`+1)π
2
(2`−1)π
2
h = 0, 1
h = 0, 1
Im[s]
α1 =
α2 =
π 3π
2, 2
− π2 , π2
o
−2
x
−1
x0
Re[s]
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Esempio-Comportamento asintotico
• Si hanno 2ν1 rami entranti e uscenti in z1 = −2
βj+ =
βj− =
−(2`+1)π+4π
3π π
=
2
2 , 2
−2`π+4π
= 2π, π ` =
2
` = 0, 1
0, 1
• Rami divergenti all’infinito (2(n − m) = 4)
−1 − 1 + 2 + 2
=1
so =
2
π
2,
0,
3π
2
2π
2
per L+
per L−
Im[s]
Dall’andamento delle frecce si deduce che si
ha una confluenza e una diramazione in
s1 ∈ (−∞, −2) e s2 ∈ (−1, 0).
Si chiamano “punti singolari”.
.
s
1
o
−2
x
−1
.
s2
x0
s o =1 Re[s]
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Punti singolari
I punti singolari del L.d.R. sono i punti corrispondenti a radici
multiple di α(s, k)
• Un punto s è un punto singolare di molteplicità µ del luogo
delle radici se e solo se ∃ k tale che s è una radice di
molteplicità µ di α(s, k).
Proprietà : s è un punto singolare di molteplicità µ ⇐⇒ ∃k ∈ R:
α(s, k)
=0
∂α(s,k) =0
∂s s=s
..
.
µ−1
∂
α(s,k) ∂sµ−1
s=s
=0
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18
Punti singolari
• s è un punto singolare se e solo se ∃ k ∈ R tale che
1. a(s) + kb(s) , α(s, k) = 0
2.
da(s)
ds
+ k db(s)
ds ,
∂α(s,k)
∂s
=0
db(s)
−
a(s)
• Se s è un punto singolare ⇒ b(s) da(s)
ds
ds = 0 ed è un
punto singolare solo se k = − a(s)
b(s) ∈ R.
• Se k ∈
/ R la radice trovata non corrisponde ad un punto
singolare.
• In generale ci sono al più n + m − 1 punti singolari.
Esempio: L(s) =
(s+2)2
s2 (s+1)2
da(s)
db(s)
3
2
= 4s +6s +2s,
= 2s+4
a(s) = s +2s +s , b(s) = s +4s+4,
ds
ds
db(s)
da(s)
− a(s)
= 2s(s4 + 7s3 + 16s2 + 14s + 4) = 0
b(s)
ds
ds
4
3
2
2
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Esempio
b(s)
db(s)
da(s)
− a(s)
= 2s(s4 + 7s3 + 16s2 + 14s + 4) = 0
ds
ds
Le radici sono:
s = 0, s = −1, s = −2, s = s1 ' −3.4142, s = s2 ' −0.5858
• Ci sono esattamente m + n − 1 = 5 punti singolari.
• s = 0 e s = −1 sono poli doppi di L(s) e quindi punti singolari
corrispondenti a k = 0.
• s = −2 è zero doppio di L(s) e quindi punto singolare per
k → ±∞.
• s = s1 ' −3.4142 e s = s2 ' −0.5858 sono punti singolari non
a(s2 )
1)
banali con k1 , − a(s
'
−33.9706
e
k
,
−
2
b(s1 )
b(s2 ) ' −0.0294.
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20
Esempio
Root Locus
Root Locus
10
1.5
8
1
6
4
2
Imaginary Axis
Imaginary Axis
0.5
0
−2
0
−0.5
−4
−6
−1
−8
−10
−2
−1.5
−1
Luogo positivo
−0.5
Real Axis
0
0.5
1
−1.5
−4
−2
0
2
Real Axis
4
6
Luogo negativo
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21
Esempio 1
(s + 1)(s + 2)
L(s) = k
s(s + 3)(s + 4)
Poli: s = 0, s = −3, s = −4
Zeri: s = −1, s = −2
Equazione per il calcolo dei punti singolari:
s4 + 6s3 + 15s2 + 28s + 24 = 0
Radici:
s1 ' −3.3996, s2 ' −1.5567, s3,4 ' −0.5218 ± j2.0646
Quindi i punti singolari sono s1 e s2 per k1 ' −0.2429 e
k2 ' −22.2443.
k3,4 ' −3.7564 ± j3.5419 ∈ C ⇒ s3,4 non sono punti singolari.
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22
Esempio 1
Root Locus
Root Locus
1.5
1
0.8
1
0.6
0.4
0.2
Imaginary Axis
Imaginary Axis
0.5
0
−0.2
0
−0.5
−0.4
−0.6
−1
−0.8
−1
−9
−8
−7
−6
Luogo positivo
−5
−4
Real Axis
−3
−2
−1
0
−1.5
−4
−3
−2
−1
0
Real Axis
1
2
3
Luogo negativo
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4
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Attraversamento dell’asse immaginario
Gli eventuali attraversamenti dell’asse immagniario da parte del
L.d.R. possono essere determinati mediante la tabella di Routh del
polinomio α(s, k) come le radici corrispondenti a quei valori di k
che annullano elementi della 1a colonna della tabella.
Esempio 2:
L(s) = k
s+4
s(s + 1)(s + 2)(s + 3))
• Rami divergenti all’infinito 2(n − m) = 6
2
−1 − 2 − 3 + 4
=−
so =
3
3
e angoli
π
3,
π,
0,
2π
3 ,
5π
+
per
L
3
4π
−
3 per L
• Punti singolari:
db(s)
da(s)
− a(s)
= 3s4 + 28s3 + 83s2 + 88s + 24 = 0
b(s)
ds
ds
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24
s1 = −4.6911 s2 = −2.6860 s3 = −1.5455
k1 = 114.022
k2 = 0.7424
s4 = −0.4108
k3 = −0.2271 k4 = 0.2775
• Attraversamento dell’asse immaginario:
α(s, k) = s(s+1)(s+2)(s+3)+k(s+4) = s4 +6s3 +11s2 +(k+6)s+4k
?=
s4
1
11
s3
6
k+6 0
s2
60−k
6
4k
s
?
0
1
4k
( 60−k
)(k+6)−24k
6
60−k
6
−k2 −90k+360
60−k
=
=
4k
(60−k)(k+6)−24∗6k
60−k
=
−(k−kA )(k−kB )
60−k
kA ' −93.8365,
kB ' 3.8365
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25
Condizioni di stabilità




k>0
k < 60
kA < k < k B
⇔ 0 < k < kB ' 3.8365



k corrispondente all’attraversamento dell’asse immaginario:
kc ' 3.8365
Radici sull’asse immaginario di α(s, kc ) = a(s) + kc b(s) = 0:
±jωc ' 1.2804
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26
Esempio 2
Root Locus
6
4
4
2
2
Imaginary Axis
Imaginary Axis
Root Locus
6
0
0
−2
−2
−4
−4
−6
−7
−6
−5
−4
Luogo positivo
−3
−2
Real Axis
−1
0
1
2
3
−6
−6
−4
−2
0
Real Axis
2
4
Luogo negativo
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6
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Procedura per il tracciamento del L.d.R.
1. Si riportano i poli (X) e gli zeri (o) di L(s) sul piano complesso.
2. Si determinano le parti dell’asse reale che appartengono al
luogo positivo e negativo.
3. Si determinano il centro e l’inclinazione degli asintoti
(comportamento per k → ±∞).
4. Si determina la direzione della tangente al luogo nei poli
(comportamento per k → 0) e negli zeri (comportamento per
k → ±∞).
5. Si deve tener conto del fatto che sui tratti di luogo
appartenenti all’asse reale e compresi fra due poli o fra due zeri
è presente almeno un punto doppio (punti singolari).
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