Equazioni di secondo grado:
come si risolvono?
Questa presentazione contiene le didascalie
prodotte dalla grande SECONDA A del Pertini
nel lontano febbraio 2013
Equazioni pure 1
ax c 0
2
Sono equazioni che contengono un termine noto e un
termine di secondo grado. Rispetto a un polinomio
ordinato e completo manca il termine di primo grado
Equazioni pure 2
ax  c
2
Per risolvere queste equazioni per prima cosa
spostiamo il termine noto al secondo membro
Equazioni pure 3
2
ax
c

a
a
Quindi cerchiamo di eliminare il coefficiente del
termine di secondo grado dividendo entrambi i
membri per quel coefficiente
Equazioni pure 4
c
x 
a
2
Semplifichiamo e otteniamo il valore di x alla
seconda. Ma noi, in verità, stiamo cercando il
valore di x
Equazioni pure 5
c
x  
a
E per trovarlo estraiamo la radice quadrata di entrambi i
membri
Equazioni pure 6
2
c
x1   
a

c
c
inf atti      
a
a

2
c
x2   
a

c
c
INFATTI      
a
a

Impossibile
Da questo esempio risulta che per trovare le soluzioni
è necessario che a e c siano discordi
Equazioni spurie 1
ax bx0
2
Queste equazioni di secondo grado sono caratterizzate
dalla presenza di un termine di secondo grado e un
termine di primo grado. Manca quindi il termine noto
Equazioni spurie 2
xaxb0
Equazioni spurie 3
x1  0
Equazioni spurie 4
ax2 b 0
Equazioni spurie 5
ax2  b
Equazioni spurie 6
ax2
b

a
a
Equazioni spurie 7
b
x2  
a
Equazioni spurie 8
x1  0
b
x2  
a
Equazioni complete 1
axbx
c0
2
Queste equazioni contengono tutti e tre i termini: quello di
secondo grado, quello di primo grado e il termine noto.
Vediamo come risolverle. Potrebbe essere utile cercare di
produrre il quadrato di un binomio
Equazioni complete 2


a
ax

bx

c
a
0
2
Abbiamo moltiplicato entrambi i membri per
“a”(operazione lecita per il secondo principio di
equivalenza delle equazioni e che ci permette di
ottenere un quadrato perfetto)
Equazioni complete 3
ax
abx

ac

0
22
Abbiamo applicato la proprietà distributiva del
prodotto ed ecco che abbiamo il quadrato cercato
Equazioni complete 4


2
a
x
abx

ac

2
0
22
Moltiplichiamo tutto per 2 in modo tale da avere
un doppio prodotto
Equazioni complete 5
2
ax
2
abx

2
ac

0
22
Abbiamo moltiplicato tutto per 2 e abbiamo
ottenuto il doppio prodotto che volevamo, ma
abbiamo perso il quadrato
Equazioni complete 6


2
2
a
x
2
abx

2
ac

2
0
22
Moltiplichiamo di nuovo per due per riottenere il
quadrato pur mantenendo il doppio prodotto
Equazioni complete 7
4
ax
4
abx

4
ac

0
22
Qui abbiamo solo applicato la distributiva
che mostra che abbiamo ottenuto quello
che volevamo
Equazioni complete 8
4
a
x

4
abx

4
ac

b

b

0
22
2 2
Abbiamo aggiunto e tolto b alla seconda per
ottenere il secondo quadrato (che funziona
con il doppio prodotto dato) senza cambiare
il valore del polinomio
Equazioni complete 9


4
a
x

4
abx

b

b

4
ac

0
22
2
2
Abbiamo associato i termini che consentono di
individuare un quadrato di binomio
Equazioni complete 10
2

ax

b
b
4
ac

0
2
2
Abbiamo scomposto il quadrato di binomio che
avevamo faticosamente costruito
Equazioni complete 11
2
 b4
ax

b
ac
2
2
Abbiamo trasportato al secondo membro i termini
fuori dal quadrato
Equazioni complete 12
2
ax

b

b
4
ac
2
Abbiamo estratto la radice quadrata ad entrambi i
membri. Del primo membro conoscevamo la base ma del
secondo conoscevamo solo il quadrato, quindi abbiamo
messo i segni più e meno davanti alla radice perché
entrambi i radicali sono basi del quadrato dato
Equazioni complete 13
2
ax


b
b
4
ac
2
Abbiamo spostato il termine noto dal primo membro al
secondo cambiandolo di segno
Equazioni complete 14
2
ax
b
b
4
ac

2
a
2
a
2
Abbiamo diviso entrambi i membri per il
coefficiente della x
Equazioni complete 15

b
b
4
ac
x
1
,2
2
a
2
Ecco la formula che cercavamo! Eureka!
Equazioni complete 16

b
b
4
ac
x
1
2
a
2

b
b
4
ac
x
2
2
a
2
Abbiamo separato le due soluzioni
Equazioni complete 17

b
b
4
ac
x
1
2
a
2

b
b
4
ac
x
2
2
a
2
Secondo te:
•Cosa succede se sotto radice risulta un numero negativo?
Beatrice dice che non si può. Qualcuno la pensa in
modo diverso?
NO!