INDICE
1 NORMATIVA DI RIFERIMENTO
2 CARATTERISTICHE DEI MATERIALI
2.1 CALCESTRUZZO PER C.A.P.
2.1.1Caratteristiche meccaniche
2.1.1.1In esercizio
2.1.1.2 Al rilascio dei trefoli
2.1.2 Tensioni ammissibili
2.2 ACCIAIO PER ARMATURA ORDINARIA
2.2.1 Caratteristiche meccaniche
2.2.2 Tensioni ammissibili
2.3 ACCIAIO DA PRECOMPRESSIONE
2.3.1 Caratteristiche meccaniche
2.3.2 Tensioni ammissibili
3 ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI
3.1 ANALISI DEI CARICHI
3.2 SCHEMI STATICI
3.2.1
3.2.2
3.2.3
Condizione iniziale
Fase di sollevamento
Condizione di esercizio
3.3 SEZIONI DI VERIFICA
3.4 PROPRIETA’ DELLA SEZIONE
3.5 LUNGHEZZA DI ANCORAGGIO
4 ANALISI DELLE CADUTE DI TENSIONE NEI TREFOLI
4.1 PERDITE INIZIALI
4.1.1
4.1.2
Rilassamento acciaio di precompressione
Caduta di tensione per deformazione elastica
4.2 PERDITE LENTE
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
5
Rilassamento
Ritiro
Viscosità
Interdipendenza tra rilassamento , viscosità e ritiro
VERIFICHE
5.1 VERIFICHE A MOMENTO FLETTENTE
5.1.1
Verifica sezione A(mezzeria)
5.1.1.1
Condizioni iniziali
5.1.1.2
Condizioni di esercizio
5.1.2
Verifica sezione B (max momento con 2 trefoli attivi)
5.1.2.1. Condizioni iniziali
5.1.2.2 Condizioni di esercizio
5.1.3 Verifica sezione C (min. momento)
5.2 VERIFICA A TAGLIO
5.2.1 Verifica sezione D(appoggio)
5.2.2 Verifica sezione E
5.3 VERIFICA DELLA ZONE DI ANCORAGGIO DEI TREFOLI
5.4 VERIFICA ARMATURA DI FRETTAGGIO
5.5 VERIFICA DELLA DEFORMAZIONE
pag. 2
pag. 2
pag. 2
pag. 2
pag. 3
pag. 4
pag. 4
pag. 4
pag. 5
pag. 5
pag. 5
pag. 5
pag. 5
pag. 6
pag. 6
pag. 7
pag. 8
pag. 9
pag. 10
pag. 11
pag. 12
pag. 12
pag. 12
pag. 12
pag. 13
pag. 13
pag. 14
pag. 15
pag. 16
pag. 17
pag. 17
pag. 17
pag. 22
pag. 26
pag. 27
pag. 27
pag. 28
pag. 29
pag. 29
pag. 30
5.5.1 Determinazione della freccia massima in mezzeria dovuta all’azione della
precompressione
pag. 31
5.5.2 Calcolo della deformazione istantanea dovuta all’azione della precompressione
e del peso proprio
pag. 32
5.5.3 Calcolo della deformazione a t∞ dovuta all’azione della precompressione , del peso proprio
dei carichi permanenti e dei carichi variabili
pag. 33
.
1
Si deve verificare un tegolo di copertura del tipo ∏ realizzato in cemento armato precompresso a
cavi aderenti. Il calcestruzzo impiegato è di tipo C50 controllato. L’armatura di precompressione è
costituita da 3 trefoli tipo 7 W di cui quello centrale risulta inguainato alle estremità per una
lunghezza di 3000 mm. Alla distanza di 2500 mm dalle estremità sono posizionati i ganci per il
sollevamento.
1. NORMATIVA DI RIFERIMENTO
Per la verifica del tegolo in c.a.p. si è utilizzato il metodo alle tensioni ammissibili. Si è fatto
riferimento alle seguenti normative:
- D.M. 14/2/1992
- D.M. 9/1/1996
Per la valutazione della resistenza media cilindrica a compressione del calcestruzzo al momento del
taglio dei cavi si è fatto riferimento al punto 3.1.1 dell’Eurocodice 2-UNI ENV 1992-1-1 ed. 2001.
Per gli aspetti connessi alle deformazioni per il rilassamento dell’acciaio di precompressione si è
fatto riferimento al Model Code CEB 1990.
2. CARATTERISTICHE DEI MATERIALI
2.1 CALCESTRUZZO PER C.A.P.
2.1.1 Caratteristiche meccaniche
Si utilizza calcestruzzo classe C50c. Dimensione massima degli inerti: 20 mm
2.1.1.1 In esercizio (D.M.9/1/1996 par. 2.1)
Resistenza cubica: Rck = 60 N/mm²
Resistenza cilindrica: fck = 0.83 Rck = 50 N/mm²
Modulo di elasticità: Ec = 5700( Rck )1/2 = 44152 N/mm²
Modulo di elasticità medio Ecm=37000 N/mm²
Resistenza cilindrica media a compressione fcm = fck +8=58 N/mm²
Resistenza a trazione media: fctm = 0.27( Rck )2/3 = 4.1 N/mm²
Resistenza caratteristica a trazione: fctk = 0.7 fctm = 2.9 N/mm²
ε cm = fcm /Ec=58/37000=0.00156
Tensioni tangenziali ammissibili nel conglomerato:
R − 15
τ c 0 = 0,4 + ck
= 0.72 N/mm2
(valore al di sotto del quale non è richiesta la verifica delle
75
2
armature al taglio ed alla torsione,D.M. 14/2/1992 par. 3.1.4).
La massima tensione tangenziale per solo taglio non deve superare il valore:
R − 15
τ c1 = 1,4 + ck
= 2.68 N/mm2
35
2.1.1.2 Al rilascio dei trefoli
Si calcola la resistenza media cilindrica a compressione al momento del rilascio dei
trefoli.L’Eurocodice 2 riporta la seguente espressione per la resistenza media cilindrica a
compressione al tempo t:
fcm (t)= βcc(t) fcm
 
28  
β cc (t ) = exps 1 −

t / t1  
 
dove:
fcm resistenza media cilindrica a compressione a 28 giorni
t1= 1 giorno
t= età del conglomerato
βcc(t) = parametro che dipende dall’età del conglomerato
s= parametro che dipende dal tipo di cemento che si è impiegato . I valori dati Dall’Eurocodice
fanno riferimento a temperature di 20°C ; tenendo conto che la maturazione del calcestruzzo è
forzata si può assumere un valore del parametro s diverso da quello riportato dalla normativa purchè
tale valore sia verificato mediante prove su cubetti; si assume s=0.10.

28  

β cc (24h) = exp0.101 −
  = 0.65
1  


fcm (t)= βcc(t) fcm=0.65*58=37.7 N/mm²
Rckj = βcc(t) * Rck=0.65*60=39 N/mm²
fckj = 0.83 Rckj = 30 N/mm²
fctj = βcc fctk = 0.65*2.9=1.8 N/mm²
Ecmj = Ecm (βcc )1/2 =37000*(0.65 )1/2 =30000 N/mm²
2.1.2 Tensioni ammissibili
Al rilascio:
- compressione:
σ cj = 0,48 Rckj = 18.72 N / mm 2
- trazione
σ ct = 0,08 Rckj = 3.12 N / mm 2
con armatura ordinaria
σ ct = 0,04 Rckj = 1.56 N / mm 2
senza armatura ordinaria
In esercizio:
3
- compressione
σ cj = 0,38 Rckj = 22.8 N / mm 2
- trazione
σ ct = 0
soli carichi permanenti
σ ct = 0,03 Rckj = 1.8 N / mm 2
(permanenti+variabili) senza
armatura ordinaria
σ ct = 0,06 Rckj = 3.6 N / mm 2
(permanenti+variabili) con a.o
2.2 ACCIAIO PER ARMATURA ORDINARIA
2.2.1 Caratteristiche meccaniche
Barre ad aderenza migliorata tipo B 500H.
Tensione di snervamento fyk = 500 N/mm²
Tensione caratteristica di rottura per trazione ftk = 575 N/mm²
Modulo Elastico E s = 205000 N/mm²
ε uk ≥ 0.06
2.2.2 Tensioni ammissibili
Tensioni ammissibili nei fili di acciaio trafilato, nelle reti e nei tralicci
≤ 0,60 f ( 0.2) = 0.60 * 500 = 300 N / mm 2
σs
2
≤ 0,55 f tk = 575 * 0.55 = 316 N / mm
con un massimo di 225 N/mm 2 .
Dove:
f(0,2) tensione allo 0,2% di deformazione residua. Dall’Eurocodice 2 (table 3.4)=500 N/mm 2
Quindi σ s = 225 N / mm 2 .
Tensione di aderenza:
Si definisce ora la tensione di aderenza oltre cui inizia lo scorrimento relativo tra le barre di
armatura ed il calcestruzzo.
Le tensioni tangenziali di aderenza delle barre, nell’ipotesi di ripartizione uniforme, non devono
superare i valori sotto indicati.
Barre ad aderenza migliorata
τ b = 3,0 τ c 0 = 3 ⋅ 0.72 = 2.16 N / mm 2
4
2.3 ACCIAIO DA PRECOMPRESSIONE
2.3.1 Caratteristiche meccaniche
Trefoli 7 W del diametro nominale di φ= 15.2 mm .
Sezione nominale Anominale = 139 mm²
Tensione caratteristica di rottura fptk = 1860 N/mm²
Tensione caratteristica all’1% di allungamento fp(1)k = 1510 N/mm²
Modulo Elastico E p = 150000 N/mm²
mp = Ep/ Ecm=195000/37000=5.27
mpj= Ep/ Ecmj=195000/30000=6.5
2.3.2 Tensioni ammissibili
Armatura pre-tesa: (D.M. 9/1/1996 par. 4.3.4.9)
σ spi ≤ 0,90 f p (1) k = 1422 N / mm 2
trefoli

2
σ sp ≤ 0,60 f ptk = 1116 N / mm
σ spi = tensione ammissibile nell’acciaio all’atto della precompressione
σ sp = tensione massima consentita per la valutazione di effetti favorevoli della precompressione in
esercizio
3. ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI
3.1 Analisi dei carichi
- peso proprio
g=5.9 KN/m2
- sovraccarichi permanenti
g’=1.5 KN/m2
- carichi variabili
q=3.5 KN/m2
-tensione iniziale di precompressione (D.M. 2.3.6)
σ p 0 = 0.75 ⋅ f ptk = 0.75 ⋅1860 = 1395 N / mm 2
5
3.2 Schemi statici
3.2.1 Condizione iniziale
R=PL/2
Carichi agenti:
peso proprio (g)+pre-compressione(p)
R
R
L=15400 mm
Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione per un generico carico P risultano:
Taglio
+
-
P
⋅L
2
Momento flettente
+
M max =
PL2
8
6
Condizione di sollevamento
Carichi agenti:
peso proprio (g)+precompressione(p)
R
2500 mm
R
10400 mm
R=PL/2
2500 mm
Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione per un generico carico P risultano:
Taglio
+
PL
2
Momento flettente
PL2
8
+
7
3.2.3 Condizione di esercizio
Carichi agenti:
precompressione p- peso proprio g- carichi
permanenti g’- carichi variabili q
L=15400 mm
Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione per un generico carico P risultano:
Taglio
+
-
P
⋅L
2
Momento flettente
+
M max =
PL2
8
8
3.3 SEZIONI DI VERIFICA
.
Sezione A: sezione di mezzeria con 3 trefoli attivi ed in cui si ha M>0 max.
Sezione B: sezione tra quelle in cui non è ancora attivo il trefolo centrale in cui si ha momento
massimo .
Sezione C: sezione in cui si ha momento negativo massimo e corrisponde alla sezione in cui si ha il
gancio di sollevamento.
Sezione D: sezione in prossimità dell’appoggio con taglio massimo
Sezione E: prima sezione precompressa più prossima all’appoggio.
9
3.4 PROPRIETA’ DELLA SEZIONE
Il tegolo ha la seguente sezione:
Osservazione: si considera la sezione come costituita per intero dal cls, trascurando l’area delle
barre. Questo si può fare poichè Abarre<2% e il sistema è a fili aderenti.
Asoletta =2400x50=1200*102 mm2
Arettangolo=90x550=495*102 mm2
Atriangolo=15+550/2=41.33*102 mm2
Atot= Asoletta+2 Arettangolo+4 Atriangolo=2355 *102 mm2
Calcolo baricentro considero origine asse z coincidente con la superficie superiore della soletta.
ygsoletta =50/2=25 mm
ygrettangolo =50+550/2=325 mm
ygtriangolo =50+550/3=233 mm
10
Asol ⋅ y gsol + 2 Arett ⋅ y grett + 4 Atr ⋅ y gtr
= 166mm
Atot
y gtot =
Si calcola ora il momento di inerzia della sezione:
IG
soletta =
G =
I rett
1
⋅ 2400 ⋅ 50 3 = 250 ⋅ 105 mm 4
12
1
⋅ 90 ⋅ 550 3 = 12476 ⋅ 105 mm 4
12
G
I triang
=
1
⋅ 15 ⋅ 550 3 = 1386 * 105 mm 4
12
Itot = [ IG soletta+ Asoletta (YG soletta- YG)2] +2*[ IG rettangolo+ Arettangolo (YG rettangolo- YG)2] +4*[ IG triangolo+
Atriangolo (YG triangolo- YG)2] =776052*104 mm4
Momento statico solo della parte inferiore
A’rettangolo =90* Y’G =90*434 =39060 mm2
A’triangolo =2568 mm2
Momento statico di metà sezione
S =2*A’rettangolo* Y’G/2 +2*A’triangolo* Y’G/3 =18462 *103 mm3
3.5 LUNGHEZZA DI ANCORAGGIO
Negli elementi pretesi le tensioni vengono trasferite per aderenza , si calcola ora la lunghezza
minima di ancoraggio imponendo l’equivalenza tra la risultante delle tensioni tangenziali di
aderenza e la risultante delle tensioni di pretensione nel trefolo stesso:
lbπφτ b =
lb = Φ
πφ 2
4
σp
σp
1371
=
*φ = 158 ⋅ φ = 158 *15.2 = 2400mm
4 ⋅τ b 4 * 2.16
Φ = diametro nominale trefolo
σ p = tensione nel trefolo (tenendo in considerazione perdite per rilassamento)
τ b = tensione massima di aderenza
Lunghezza di ancoraggio armatura ordinaria( Φ8 ):
fbd=2.25*fctk/γs=4.35 N/mm2
fyd=fyk/γs=434 N/mm2
lb = Φ
f yd
4 ⋅ f bd
=
434
* φ = 25 ⋅ φ = 25 * 8 = 200mm
4 * 4.35
11
4. ANALISI DELLE CADUTE DI TENSIONE NEI TREFOLI
Le cadute di tensione nei trefoli di precompressione si dividono in due categorie: perdite
istantanee che dipendono dallo specifico sistema tecnologico usato per il tesaggio dei cavi e perdite
lente a lungo decorso che dipendono dai materiali impiegati e dallo stato tensionale.
4.1 PERDITE INIZIALI
Si considerano trefoli appartenenti alla classe di rilassamento 2 (rilassamento migliorato per fili e
trefoli).
4.1.1 Rilassamento dell’acciaio in condizioni iniziali (t=24 h)
Per la valutazione degli effetti del rilassamento delle armature da precompressione si esegue un
procedimento che valuta le relative cadute di tensione in relazione alla tensione iniziale , tramite
coefficienti dedotti sperimentalmente.
Gli acciai per cemento armato precompresso sono divisi in classi di rilassamento , secondo il valore
di quest’ultimo a 1000 ore. I corrispondenti valori di rilassamento a 1000 sono dedotti dal grafico in
funzione del valore percentuale della tensione iniziale .
In tabella viene indicato come varia il rilassamento in periodi di tempo inferiori alle 1000 ore .
Nel caso considerato ci prefiggiamo di calcolare il valore del rilassamento a 24 ore per un acciaio di
classe 2 con tensione iniziale σ p 0 = 0.75 f ptk
Deducendo dalla tabella del Model Code CEB 1990 la perdita in percentuale a 24 ore rispetto alla
perdita a 1000 ore =55.75%
E dal grafico la perdita a 1000 ore =3% della tensione iniziale , si deduce che la perdita a 24 ore è
1.6725% della tensione iniziale
σ pi = σ p 0 − ∆σ pr = 1395 − 23.33 ≅ 1371N / mm 2
12
4.1.2 Caduta di tensione per deformazione elastica
Nella tecnologia a fili aderenti si intende per perdite istantanee la caduta elastica di tensione
nell’armatura pretesa all’atto del suo rilascio.
La corrispondente forza di precompressione iniziale sarà data da:
N pi = A pσ pi
Per valutare la situazione che si instaura dopo il rilascio dell’armatura pretesa si può assumere
l’accorciamento δ dell’elemento come incognita cinematica, risolvendo il problema con la logica
del metodo degli spostamenti si arriva alla seguente espressione per la tensione che agisce in una
certa fila di trefoli dopo il rilascio degli stessi:
N pi
σ p = σ pi + m pσ c = σ pi − m p
Ai
mp = Ep/ Ecm=195000/37000=5.27
Ai = Ac + m s As + m p A p )
In termini di tensioni dell’effetto della perdita elastica si tiene conto semplicemente riferendo la
forza Np0 , letta all’atto del tiro , alla sezione ideale omogeneizzata , comprensiva dei contributi di
tutti e tre i materiali. Se si hanno delle eccentricità flessionali , entrerà in gioco anche il momento di
inerzia I i = I c + m p A p y 2p + m s As y 2 s di detta sezione ideale , al quale correlare la componente
flettente N p0e del tiro.
4.1.2 PERDITE LENTE (t = ∞)
A partire dal suo valore iniziale σp0 , la tensione nel cavo di precompressione subisce sensibili
13
decrementi ∆σp, che si evidenziano via via nel tempo fino a stabilizzarsi .
Nelle perdite lente rientrano tre tipi di fenomeni (in ordine di precedenza temporale) : rilassamento,
ritiro, viscosità.
4.1.2.1 Rilassamento
Le cadute di tensione per rilassamento sono state stimate con la tabella presente nel D.M. 09/01/96
punto 2.3.6. In assenza di dati sperimentali afferenti al lotto considerato, la caduta di tensione per
rilassamento a tempo infinito ∆σr∞ ad una temperatura di 20 °C e per una tensione iniziale
σspi = 0,75 fptk può assumersi pari ai seguenti valori:
∆σr∞
tipo di armatura
0,15 σspi
0,20 σspi
0,18 σspi
Filo trafilato
Treccia
Trefolo
σ spi = tensione ammissibile nell’acciaio all’atto della precompressione
∆σr∞=0,18 σspi=0.18*1395=250 N/mm²
4.1.2.2 Ritiro(D.M. 9/1/1996 par. 2.1.6)
La deformazione da ritiro del cls della trave in c.a.p. causa, per congruenza di deformazioni, un
accorciamento dei trefoli e conseguentemente un rilassamento delle tensioni; l’entità del
fenomeno si può determinare conoscendo la deformazione da ritiro del cls.
ε cs ( t , t 0 ) = ε cs0 β s ( t − t 0 )
ε cs 0 =
coefficiente di ritiro nominale
β s ( t − t 0 ) coefficiente che descrive lo sviluppo del ritiro nel tempo
t età del conglomerato(giorni)
t0 età in gg. del conglomerato alla quale inizia il ritiro
A t∞ β s ( t − t 0 ) ≅ 1
ε cs (∞ , t 0 ) = ε cs0
Il coefficiente nominale di ritiro può essere dedotto dalla seguente tabella contenuta nel D.M.
9/1/1996 :
a) Atmosfera con umidità relativa di circa 75%
t0
α ≤ 20 cm
α ≥ 60 cm
14
0,26 × 10-3
0,23 × 10-3
0,16 × 10-3
0,21 × 10-3
0,21 × 10-3
0,20 × 10-3
b) Atmosfera con umidità relativa di circa 55%
t0
α ≤ 20 cm
α ≥ 60 cm
0,43 × 10-3
0,32 × 10-3
0,19 × 10-3
0,31 × 10-3
0,30 × 10-3
0,28 × 10-3
1÷7 giorni
8÷60 giorni
> 60 giorni
1÷7 giorni
8÷60 giorni
> 60 giorni
in cui:
t0 = età conglomerato a partire dalla quale si considera l’effetto del ritiro;
2 Ac
α = dimensione fittizia =
= 67mm ;
u
Ac = area della sezione del conglomerato;
u = perimetro della sezione di conglomerato a contatto con l’atmosfera.
ε cs (∞, t0 ) = 0.26 ⋅10 −3
∆σ p, rit = ε cs (∞ , t 0 ) ⋅ E p = 0.26 ⋅ 10 − 3 ⋅ 195000 = 50 N / mm 2
4.1.2.3 Viscosità (D.M. 9/1/96 par. 2.1.7)
Nell’ambito di tensioni di esercizio σc<0.4 fcm , la viscosità può essere espressa mediante una legge
lineare rispetto alla tensione, ovvero si assume che ogni fibra di calcestruzzo si contragga
viscosamente in maniera proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Per una tensione
costante applicata all’istante t0 (al rilascio dei cavi) si ha:
σ ( i ) ( t0 )
ε v∞ = φ∞ε ci = φ ∞ c
E
cmj
dove:
ε v∞ è la deformazione per effetto della viscosità a t∞
ε ci è la deformazione elastica iniziale
σ ( i )c( t 0 ) tensione iniziale alla quota dell’i-esimo cavo
φ∞ è il coefficiente di viscosità a t∞
E cmj modulo di elasticità al rilascio dei trefoli
15
Per conseguenza si ha:
*
∆σ p,vis∞ = E pε v∞ = φ ∞ m pjσ ci
dove:
∆σ p∞ caduta di tensione a t∞ per effetto della viscosità
Ep modulo di elasticità apparente dell’acciaio da precompressione
m pj =
Ep
Ecmj
=
195000
= 6.5
30000
La normativa italiana fornisce i valori del coefficiente φ (t ∞ , t 0 ) di un conglomerato sottoposto ad
una tensione al più uguale a 0,3 Rckj al tempo t0 = j di messa in carico, (tabella contenuta al par.
2.1.7 del D.M. 9/1/96):
a) Atmosfera con umidità relativa di circa 75%
t0
α ≤ 20 cm
3÷7 giorni
8÷60 giorni
> 60 giorni
2,7
2,2
1,4
b) Atmosfera con umidità relativa di circa 55%
t0
α ≤ 20 cm
3÷7 giorni
8÷60 giorni
> 60 giorni
3,8
3,0
1,7
α ≥ 60 cm
2,1
1,9
1,7
α ≥ 60 cm
2,9
2,5
2,0
∆σ p,vis∞ = Ec ε v∞ = φ ∞ m pjσ c ( t 0 ) = 2.7 ⋅ 6.5 * σ c ( t 0 )
I calcoli relativi alle perdite di tensione dovute alla viscosità sono riportate nel paragrafo 5.
4.1.2.4 Interdipendenza fra ritiro, viscosità e rilassamento ( D.M.9/1/1996 par.4.3.4.3)
L’effetto complessivo delle perdite sarà data dalla somma delle perdite precedentemente calcolate .
Per tener conto dell’influenza reciproca fra le cadute di tensione per ritiro e viscosità del
calcestruzzo, indicate globalmente con la notazione ∆σssf e la caduta per rilassamento ∆σr∞ valutata
secondo quanto detto al punto 4.1.2.1, quest’ultima può essere ridotta al valore ∆‘σr∞ desunto dalla
espressione:
16

2.5 ∆σ ssf
∆′σ r∞ = ∆σ r∞  1 −

σ spi

La riduzione si applica alla sola frazione del rilassamento che
stato di coazione al conglomerato.




avviene dopo l’applicazione dello
I calcoli relativi al coefficiente correttivo delle perdite per rilassamento dell’acciaio sono riportate nel paragrafo 5.
5. VERIFICHE
5.1 VERICHE A MOMENTO FLETTENTE
y1 =308 mm
y2 =354 mm
y3 =400 mm
yG =166 mm
yG’ =434 mm
5.1.1 VERIFICA SEZIONE A
17
5.1.1.1 Condizioni iniziali
Si considera la forza normale agente in corrispondenza di ciascun livello dei trefoli
Np,k = σp,i Ap,k =1371*2*139= 381 KN
Np = 3* Np,k =1143 KN
Mp = Np1y1+ Np2y2+ Np3y3 = 381*308+381*354+381*400 =404*103 KN mm = 404 KN m
Si considera la sezione completamente reagente
σcNp = Np / Ai = -4.85 N/mm2 (compressione)
σcMpinf = Mp y’G/I =-22.6 N/mm2 (compressione)
σcMpsup = Mp yG/I =8.64 N/mm2 (trazione)
Considerando anche il peso proprio
Mg=1/8 g L2 = 1/8 *5.9*(15.4*103)2 =174.9 *106 Nmm
σc,ginf = Mg yG’/I =9.78 N/mm2 (trazione)
σc,gsup = Mg yG/I =-3.74 N/mm2 (compressione)
Tensione nel calcestruzzo lembo inferiore σc =-17.67 N/mm2 (compressione)
Tensione nel calcestruzzo lembo superiore σc =0.05 N/mm2 (trazione)
|σc| =17.67 N/mm2 < σcj (=18.72 N/mm2)
|σct| =0.05 N/mm2 < σctj (=1.56N/mm2)
5.1.1.2 Condizioni di esercizio
18
Nella definizione della tensione iniziale o della corrispondente dilatazione, si deve tenere conto
delle perdite lente di tensione sviluppatesi alla fase di verifica considerata.
In generale dunque nelle prime fasi, come quella di precompressione verranno assunti i valori
iniziali , ovvero comprensivi delle perdite istantanee elastiche o di attrito ; nelle fasi finali,
corrispondenti all’intervento dei sovraccarichi di servizio della costruzione, vanno assunti i valori
ε p∞
Caduta di viscosità a tempo infinito in corrispondenza delle fibre dove agiscono i trefoli :
Mp −Mg 
(−404 + 174.9) *10 6 * 308
 * y1 =
= −9.086 N / mm 2
4

Ii
776052 *10


Mp −Mg 
(−404 + 174.9) * 10 6 * 354
 * y 2 =
= −10.44 N / mm 2
= 
4
I
776052
*
10
i


σ c(1, M) = 
σ c(,2M)
Mp −Mg
Ii

σ c(3, M) = 

(−404 + 174.9) * 10 6 * 400
 * y 3 =
= −11.8 N / mm 2
4
776052 * 10

Quindi le tensioni nelle fibre corrispondenti ai trefoli sono :
σ c(1) = σ c , Np + σ c(1, M) = −4.85 − 9.086 = −13.936 N / mm 2
σ c( 2 ) = σ c , Np + σ c(,2M) = −4.85 − 10.44 = −15.29 N / mm 2
σ c(3) = σ c , Np + σ c(,3M) = −4.85 − 11.8 = −16.65 N / mm 2
Per ciascun trefolo si determina la caduta di tensione dovuta alla viscosità :
[
]
[
]
[
]
∆σ (p1,)vis = m pj φ ∞σ c(1) = 6.5(2.7 * 13.93) = 244.55 N / mm 2
)
∆σ (p2,vis
= m pj φ ∞σ c( 2 ) = 6.5(2.7 * 15.29) = 268.3 N / mm 2
)
∆σ (p3,vis
= m pj φ ∞σ c(3) = 6.5(2.7 * 16.65) = 292.2 N / mm 2
La normativa italiana permette di tenere conto dell’influenza reciproca fra le cadute di tensione per
ritiro del calcestruzzo,e la caduta per rilassamento , quest’ultima può essere ridotta al valore desunto
dall’espressione:
 2.5∆σ ssf 
 ≥ 0.04σ spi
∆'σ r∞ = ∆σ r∞ 1 −


σ
spi


∆σ ssf ≅ ∆σ pvis
σ spi ≅ σ p 0 = 1395 N / mm 2
∆' σ (1) r∞ = 250(1 −
2.5 * 244.5
) = 140 N / mm2
1395
19
2.5 * 268.3
) = 129.3 N / mm 2
1395
2.5 * 292.2
= 250(1 −
) = 118.61N / mm 2
1395
∆'σ ( 2 ) r∞ = 250(1 −
∆'σ ( 3) r∞
Si calcolano le tensioni finali di trazione nei trefoli:
1)
σ (p1∞) = σ pi − ∆σ ' (r1∞) − ∆σ prit − ∆σ (pvis
= 1371 − 140 − 50 − 244.5 = 936.5 N / mm 2
2)
σ (p2∞) = σ pi − ∆σ ' (r∞2 ) − ∆σ prit − ∆σ (pvis
= 1371 − 129.3 − 50 − 268.3 = 923.4 N / mm 2
3)
σ (p3∞) = σ pi − ∆σ ' (r3∞) − ∆σ prit − ∆σ (pvis
= 1371 − 118.61 − 50 − 292.2 = 910.2 N / mm 2
Per ogni livello di trefolo si determina la forza normale di precompressione :
N p( k ) = σ (pk∞) A p( k )
N p(1) = σ (p1∞) A p(1) = 936.5 * 2 * 139 = 260.34 KN
N p( 2 ) = σ (p2∞) A p( 2) = 923.4 * 2 * 139 = 256.7 KN
N p( 3) = σ (p3∞) A p(3) = 910.2 * 2 * 139 = 253KN
La forza normale di precompressione che agisce a tempo infinito:
N p∞ = N p(1) + N p( 2 ) + N p( 3) = 260.34 + 256.7 + 253 = 770.04 KN
M p∞ = N p(1) y1 + N p( 2) y 2 + N p( 3) y 31 = 260.34 * 308 + 256.7 * 354 + 253 * 400 = 272.25KNm
σ c , Np∞ =
σ cinf,Mp =
σ csup
, Mp =
N p∞
Ai
M p∞
Ii
M p∞
Ii
=
770040
= −3.26 N / mm 2 (compressione)
235.5 * 10 3
y 'G =
272 * 10 6 * 434
= −15.22 N / mm 2 (compressione)
4
776052 * 10
yG =
272 * 10 6 * 166
= 5.82 N / mm 2 (trazione)
4
776052 * 10
20
Verifica della sezione in condizioni di esercizio e sottoposta ai soli carichi permanenti.
1
1
M ( g + g ') = ( g + g ' ) * L2 = (5.9 + 1.5) * (15.4 *10 3 ) 2 = 219 *10 6 Nm
8
8
M g+g'
219 *10 6 * 434
σ cinf, M ( g + g ') =
y 'G =
= 12.24 N / mm 2
I
776052 *10 4
M g+g'
219 * 10 6 *166
sup
σ c , M ( g + g ') =
yG =
= −4.68 N / mm 2
4
I
776052 *10
σ cinf, p + g + g ' = −3.26 − 15.22 + 12.24 = −6.24 N / mm 2
2
σ csup
, p + g + g ' = −3.26 + 5.82 − 4.68 = −2.12 N / mm
|σc| =6.24 N/mm2< σcj (=22.8 N/mm2)
non esiste trazione
|σct| <0
21
Verifica della sezione in condizioni di esercizio e sottoposta ai carichi permanenti e variabili.
1
1
M ( g + g '+ q ) = ( g + g '+ q ) * L2 = (5.9 + 1.5 + 3.5) * (15.4 * 10 3 ) 2 = 323 * 10 6 Nm
8
8
M g + g '+ q
323 * 10 6 * 434
inf
σ c,M ( g + g '+ q ) =
= 18 N / mm 2
y 'G =
4
I
776052 * 10
M g + g '+ q
323 * 10 6 * 166
σ csup
=
=
= −6.9 N / mm 2
y
,M ( g + g '+ q )
G
4
I
776052 * 10
inf
σ c , p + g + g '+ q = −3.26 − 15.22 + 18 = −0.41N / mm 2
2
σ csup
, p + g + g ' + q = −3.26 + 5.82 − 6.9 = −4.34 N / mm
La sezione è ancora completamente compressa ed é ancora verificata
5.1.2 VERIFICA SEZIONE B
E’ la sezione di momento massimo nella quale non è ancora attivo il trefolo centrale , inguainato per
una lunghezza dalle estremità pari a 3000 mm.
5.1.2.1 Condizioni iniziali
Si calcola forza normale agente in corrispondenza di ciascun livello dei trefoli :
Np,k = σp,i Ap,k =1371*2*139= 381 KN
Np = 2* Np,k =762 KN
Mp = Np1y1+ Np3y3 = 381*308+381*400 =269.75*103 KN mm =269 KN m
Si considera la sezione completamente reagente
σcNp = Np / Ai = -3.23 N/mm2
(compressione)
22
σcMpinf = Mp y’G/I =-15 N/mm2 (compressione)
σcMpsup = Mp yG/I =5.75 N/mm2 (trazione)
Si introduce il peso proprio
Mg= g L/2-gx2/2 = =159*106 Nmm
σc,ginf = Mg yG’/I =8.88 N/mm2 (trazione)
σc,gsup = Mg yG/I =-3.39N/mm2 (compressione)
Tensione nel calcestruzzo lembo inferiore σc =-3.23-15+8.88=-9.35 N/mm2 (compressione)
Tensione nel calcestruzzo lembo superiore σc =-3.23+5.75-3.39=-0.87N/mm2 (compressione)
|σc| =9.35N/mm2 < σcj (=18.72 N/mm2)
|σct| =-0.87N/mm2 < 0 è tutta compressa
5.1.2.2 Condizioni di esercizio
Caduta di viscosità a tempo infinito in corrispondenza delle fibre dove agiscono i trefoli:
 Mp −Mg
Ii


(−269 + 159) *10 6 * 308
 * y1 =
= −4.36 N / mm 2
4
776052 *10

 Mp −Mg
= 
Ii


(−269 + 159) *10 6 * 400
 * y3 =
= −5.67 N / mm 2
4
776052 *10

σ c(1,M) = 
σ
( 3)
c ,M
Quindi le tensioni nelle fibre corrispondenti ai trefoli sono :
σ c(1) = σ c , Np + σ c(1,M) = −3.23 − 4.36 = −7.59 N / mm 2
23
σ c(3) = σ c , Np + σ c(,3M) = −3.23 − 5.67 = −8.9 N / mm 2
Per ciascun trefolo si determina la caduta di tensione dovuta alla viscosità :
∆σ (p1,)vis = m pj φ∞σ c(1) = 6.5(2.7 * 7.59) = 133.2 N / mm 2
[
]
[
]
)
∆σ (p3,vis
= m pj φ∞σ c( 3) = 6.5(2.7 * 8.9) = 156 N / mm 2
La normativa italiana permette di tenere conto dell’influenza reciproca fra le cadute di tensione per
ritiro del calcestruzzo,e la caduta per rilassamento , quest’ultima può essere ridotta al valore desunto
dall’espressione:
 2.5∆σ ssf 
 ≥ 0.04σ spi
∆'σ r∞ = ∆σ r∞ 1 −


σ
spi


∆σ ssf ≅ ∆σ pvis
σ spi ≅ σ p 0 = 1395 N / mm 2
∆'σ (1) r∞ = 250(1 −
2.5 *133
) = 190 N / mm 2
1395
∆'σ ( 3) r∞ = 250(1 −
2.5 *156
) = 179 N / mm 2
1395
Si calcolano le tensioni finali di precompressione nei trefoli:
1)
σ (p1∞) = σ pi − ∆σ '(r1∞) −∆σ prit − ∆σ (pvis
= 1371 − 190 − 50 − 128 = 1003 N / mm 2
3)
σ (p3∞) = σ pi − ∆σ '(r3∞) −∆σ prit − ∆σ (pvis
= 1371 − 179 − 50 − 149 = 993 N / mm 2
Per ogni livello di trefolo si determina la forza normale di precompressione :
N p( k ) = σ (pk∞) A p( k )
N p(1) = σ (p1∞) Ap(1) = 1003 * 2 *139 = 278.8 KN
N p( 3) = σ (p3∞) Ap( 3) = 993 * 2 *139 = 276 KN
N p∞ = N p(1) + N p(3) = 278.8 + 276 = 554.8 KN
M p∞ = N p(1) y1 + N p(3) y31 = 278.8 * 308 + 276 * 400 = 196.27 KNm
24
σ c , Np∞ =
σ
inf
c , Mp
=
σ csup
, Mp =
N p∞
Ai
M p∞
Ii
M p∞
Ii
=
554800
= −2.35 N / mm 2 (compressione)
3
235.5 *10
196.27 *10 6 * 434
= −10.97 N / mm 2 (compressione)
y 'G =
4
776052 *10
yG =
196.27 *10 6 *166
= 4.19 N / mm 2 (trazione)
776052 *10 4
Verifica della sezione in condizioni di esercizio e sottoposta ai soli carichi permanenti:
2
(g + g ')x
7.4 *15400 * 5400 7.4 * 5400 2
1
=
−
= 200 *10 6 Nm
M ( g + g ') = ( g + g ' ) * L * x −
2
2
2
2
6
M
200 *10 434
σ cinf,M ( g + g ') = g + g ' y 'G =
= 11.18 N / mm 2
I
776052 *10 4
M g+g'
200 *10 6166
sup
σ c ,M ( g + g ') =
= −4.26 N / mm 2
yG =
4
776052 *10
I
inf
σ c , p + g + g ' = −2.35 − 10.97 + 11.59 = −2.14 N / mm 2
2
σ csup
, p + g + g ' = −2.35 + 4.19 − 4.26 = −2.42 N / mm
|σc| <0
|σct| <0
non esiste trazione
non esiste trazione
25
Verifica della sezione in condizioni di esercizio, sottoposta ai carichi permanenti e a quelli
variabili:
2
1
(g + g')x
10.9 *15400 * 5400 10.9 * 5400 2
=
−
= 294 *10 6 N
M ( g + g '+ q ) = ( g + g '+ q) * L * x −
2
2
2
2
6
M
294 *10 434
σ cinf,M ( g + g '+ q ) = g + g '+ q y 'G =
= 16.3 N / mm 2
I
776052 *10 4
M g + g '+ q
294 *10 6 * 434
σ csup
=
=
= −6.28 N / mm 2
y
,M ( g + g '+ q )
G
4
I
776052 *10
inf
σ c , p + g + g '+ q = −2.35 − 10.97 + 16.3 = 2.98 N / mm 2
2
σ csup
, p + g + g ' + q = −2.35 + 4.19 − 6.28 = −4.44 N / mm
|
|σc| =2.98< σcj (=22.8N/mm2)
|σct| =2.98< σctj (=3.6N/mm2)
5.1.3 VERIFICA SEZIONE C
La trave in questa sezione presenta il momento negativo massimo :
x0=2500 mm
lb= 2400 mm
Poichè x0> lb si avranno due trefoli attivi. Armatura ordineria: 2+2 φ8.
La sezione è soggetta sia al momento dovuto al sollevamento sia a quello di precompressione .
26
(1)
( 3)
N p = N p + N p = 381 * 2 = 762 KN
(1)
( 3)
M p = N p * y1 + N p * y3 = −269 KNm
g 2
x = −18.4 KNm
2 0
Si utilizzano le aree e le inerzie omogeneizzate:
Ai = Ac + m p A p + m s As = 2405 * 10 2 mm 2
Mg = −
I i = I c + m p A p y 2 p + m s As y s2 = 824900 * 104 mm 4
N p (M p + M g )
σ cinf = −
−
y'G = −18.29 N / mm 2
Ai
Ii
N p (M p + M g )
σ csup = −
−
yG = 2.61 N / mm 2
Ai
Ii
dove :
σ cj = 0.48 Rckj = 18.72 N / mm 2
σ ctj = 0.08 Rckj = 3.6 N / mm 2con
armatura
σ ctj = 0.04 Rckj = 1.56 N / mm 2 senza
armatura
σ cinf < 18.72
σ csup < 3.6
La verifica risulta soddisfatta
5.2 VERIFICA A TAGLIO
5.2.1 Verifica sezione D
Essendo questa sezione corrispondente all’estremità appoggiata si trascurano gli effetti della
precompressione e la verifica al taglio viene effettuata con i calcoli relativi al cemento armato
ordinario.
27
( g + g '+ q)
* L = 83.93KN
2
T
τc =
= 1.11N / mm 2
zbw
Tmax =
I
= 420mm
S
τ c = 1.11 < τ admb = 2.16 N / mm 2
z=
Non servirebbe armatura a taglio , si utilizza comunque un’armatura minima :
Asw ≥ 0.15bw per barre ad aderenza migliorata:
con passo p ≤ 12l φ con φ l armatura longitudinale.
Si impiegano due reti U φ 5/200.
Asw min = 2.7cm 2 / m
Nelle zone di appoggio :
p ≤ 12φ l = 182.4mm = 18cm
si posizionano staffe φ 5 passo 100.
5.2.2 Verifica sezione E
Essendo questa sezione la prima precompressa più prossima all’appoggio ,occorre tenere conto oltre
alle tensioni tangenziali dovute al taglio anche alle tensioni normali dovute alla precompressione:
p
T = * L − xp = 57.7 KN
2
T
= 0.76 N / mm 2
τc =
zbw
I
= 420mm
S
τ c = 0.76 < τ admb = 2.16 N / mm 2
z=
N p( k ) = σ (pk∞) A p( k )
N p(1) = σ (p1∞) Ap(1) = 1003 * 2 *139 = 278.8 KN
N p( 3) = σ (p3∞) Ap( 3) = 993 * 2 *139 = 276 KN
Np= Np(1)+Np(2)=554.8 KN
σcNp = Np / Ai = 2.35 N/mm2
Occorre adesso controllare che le tensioni principali σI e σII risultino inferiori ai valori della
normativa:
σI = 0.5 * σcNp + 0.5(σcNp2+τc2 )0.5=2.57 N/mm2 < σct = 3.6 N/mm2
σII= 0.5 * σcNp - 0.5(σcNp2+τc2 )0.5=‫׀‬-0.22‫ < ׀‬σcj = 22.8 N/mm2
La verifica risulta dunque soddisfatta se si utilizza armatura ordinaria:
si impiegano due reti U φ 5/200.
28
5.3 VERIFICA DELLA ZONE DI ANCORAGGIO DEI TREFOLI
Si considera il pezzo terminale della nervatura dove sono concentrati i trefoli .
Si valuta l’area di calcestruzzo necessaria intorno al primo trefolo per assicurare una buona
aderenza.
A1=90x(34+46/2)-139=4991 mm2
Immaginando che A1 debba sopportare un carico concentrato pari a:
P1*=P/2.5=76.2KN
la compressione agente su questa piccola area è:
P*
σ c1 = 1 = 15.7 N / mm 2
A1
σ c1 < σ cj = 18.72
La verifica risulta pertanto soddisfatta .
Si valuta l’area di calcestruzzo necessaria intorno al secondo trefolo per assicurare una buona
aderenza.
A2= 90x(34x2+46x2)-2x139=14122 mm2
Immaginando che A2 debba sopportare un carico concentrato pari a:
P2*=P/2.5=152KN
la compressione agente su questa area è:
P *
σ c1 = 2 = 10.76 N / mm 2
A2
σ c1 < σ cj = 18.72
La verifica risulta pertanto soddisfatta .
5.4 VERIFICA ARMATURA DI FRETTAGGIO
Per consentire la diffusione delle tensioni senza dover contare sulla resistenza a trazione del
calcestruzzo è possibile introdurre delle armature trasversali grazie alle quali s’instauri il
meccanismo resistente
Nel caso di fili aderenti il valore da compensare è:
T y ,max = 0.25 ÷ 0.28 P
va concentrato in un elemento pari almeno alla sua altezza(600 mm):
P = 2 A pσ pi = 381 .2 KN
T y = 0 .25 P = 95 .3 KN
s = passostaff e
Asw
σ s * 600
s = Asw
s
= Ty
Asw area delle staffe (si considerano staffe a 4 braccia
σ s * 600
Ty
Si utilizzano 2+2 φ 5/100
s = 78.4 *
2+2 φ 5)
225 * 600
= 111mm
3
95.3 * 10
29
5.5 VERIFICA DELLA DEFORMAZIONE
La verifica allo stato limite di deformazione consiste nel controllare che la deformazione sia :
-
compatibile con la funzionalità dell’opera per tutte le condizioni di impiego previste;
convenientemente limitata in modo da evitare danni alle sovrastrutture adiacenti;
Un’eccessiva deformabilità degli elementi inflessi può risultare infatti incompatibile con l’integrità
delle pareti portate e condurre ad una loro estesa fessurazione .
Il parametro che misura la deformabilità flessionale è il rapporto v/l ,cioè tra la freccia massima in
campata e la luce dell’elemento considerato. Indicativamente si possono dare tali valori limite :
v/l <1/200
per ogni tipo di elemento strutturale
1/400 < v/l < 1/200 per coperture in assenza di pareti portate
v/l <1/800
per particolari requisiti di grande rigidezza
Occorre verificare le deformazioni istantanee e differite :
Accorciamento assiale per la forza normale di precompressione ;
Inflessione per effetto del momento di precompressione più il peso proprio in
condizioni iniziali;
Inflessione per effetto del momento di precompressione più il peso proprio più
carichi permanenti più carichi variabili ;
Si utilizza la teoria della linea elastica:
M ( x)
y ' ' ( x) = − χ ( x) = −
EJ
M ( x)
y ' ( x) = − ∫
dx
EJ
M ( x)
y ( x) = − ∫∫
dx
EJ
30
= s4 A p
spAp*(y1+y3)
= 6sA p
sAp*(y1+y3+y
p
2)
5.5.1 Determinazione della freccia in mezzeria dovuta all’azione di precompressione.
Nell’elemento la precompressione non è costante in quanto è stato inguainato un trefolo per una
certa lunghezza dalle estremità.
Si esegue il calcolo per un momento costante che agisce ad una lunghezza x dagli estremi:
x<x
M ( x)  M0
= p
χ (x) =
x>x
EJ
 EJ

c1(1)

u ' ( x) = − ∫ χ ( x)dx =  M p ( x − x ) + c1( 2)
−
EJ

u ' (l / 2) = 0
u ' ( x ) = c1(1) = c1( 2)
31
M p (l / 2 − x )

sex < x

EJ
u ' ( x) = 
M ( x − x ) M p (l / 2 − x )
− p
+
sex > x

EJ
EJ
M p (l / 2 − x )

* x + c 2(1)
sex < x

EJ
u ( x) = 
2
− M p (l / 2 x) + M p ( x / 2) + c ( 2 ) sex > x
2

EJ
EJ
c 2( 2 ) = c1( 2 ) −
M p x2
EJ 2
M p (l / 2 − x )

*x

EJ
ul ( x) = 
2
2
 M p (l / 2 x) − M p ( x / 2) − M p ( x / 2)

EJ
EJ
EJ
2
4
2
Mp l
Mp l
M p l4 M p
x
( + )=
−
−
u (l / 2) =
EJ 4 EJ 8
EJ 8 EJ
2
sex < x
sex > x
x2
2
L’espressione per la freccia in mezzeria dovuta all’azione di precompressione risulta:
M ′p + M ′p′ l 2 M ′p′ x 2
−
u (l / 2) =
8 EJ 2
EJ
x = l b = 2400mm
σ p = 1371N
A p = 139mm 2
E = 37000 N / mm 2
J = 776052 *10 4 mm 4
M ′p = σ p A p * 2 y1 + σ p A p * 2 y 3 = 270 KNm
M ′p′ = σ p A p * 2( y1 + y 2 + y 3 ) = 405KNm
5.5.2 Calcolo della deformazione istantanea dovuta all’azione della precompressione e del
peso proprio:
Freccia massima dovuta all’azione di precompressione:
u(l/2)=-65.6mm
Freccia massima dovuta all’azione del peso proprio:
gl 4 5
= 6.34 • 10 −8
f =
EJ 384
La freccia totale risulta data dalla seguente somma:
32
f TOT = u (l / 2) + f = −65.6 + 6.34 • 10 −8= = −65.6
La verifica risulta:
f TOT
65.6
=
< 1 / 200
L
15400
ed è soddisfatta.
5.5.3 Calcolo della deformazione a tempo infinito dovuta all’azione della precompressione, del
peso proprio, dei carichi permanenti e dei carichi variabili :
Freccia massima dovuta all’azione di precompressione:
u(l/2)=-65.6mm
Freccia massima dovuta all’azione del peso proprio, dei carichi permanenti e dei carichi variabili :
( g + p + q) * l 4 5
f =
*
= 102.87 mm
384
Ec ,eff J
L’effetto della viscosità è tenuto in considerazione dall’E.C.2 attraverso la seguente espressione per
il modulo di elasticità:
E
37000
Ec ,eff = cm =
= 10000
1 + φ ∞ 1 + 2.7
La freccia totale risulta data dalla seguente somma:
f TOT = u (l / 2) + f = 102.87 − 65.6 = 37.27mm
La verifica risulta:
f TOT 37.27
=
< 1 / 200
L
15400
ed è soddisfatta.
33