Elettrostatica 5
20 maggio 2011
Lavoro della forza elettrica
Potenziale elettrico
Integrale di linea del campo elettrico
Conservatività del campo elettrico
Relazione differenziale tra campo e potenziale
Superfici equipotenziali
Lavoro della forza elettrica
• Lavoro (su di una
carica esploratrice q)
di una forza generata
da una distribuzione
di carica
• Nel caso
particolarmente
semplice di una sola
carica puntiforme
 
  F  dl
B
LAB
A
B 

 
  qE  dl  q  E  dl
B
A
A
Q 
 q  k 3 r  dl
r
A
B
LAB
B
B
rdr
dr
 qkQ 3  qkQ 2
r
r
A
A
1 1
 1
 qkQ   qkQ  
 r A
 rA rB 
B
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Energia potenziale elettrica
• La variazione di energia
potenziale è uguale al
lavoro cambiato di
segno
• Nel caso particolare di
una sola carica
puntiforme
U ( B)  U ( A)  LAB
1 1
U ( B)  U ( A)  qkQ  
 rB rA 
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Potenziale elettrico
• E’ l’energia potenziale
U ( B)  U ( A)
V ( B)  V ( A) 
per unità di carica
q
(esploratrice) q
• Nel nostro caso
1 1
V ( B)  V ( A)  kQ  
particolare vale
 rB rA 
• E’ proporzionale alla
carica Q che genera il
campo
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Potenziale elettrico di una carica
puntiforme
• Possiamo riscrivere così
il potenziale in un punto
arbitrario B
• La costante C è uguale
per tutti i punti dello
spazio
• In genere si usa scegliere
C nulla, in modo che il
potenziale all’infinito sia
nullo
• Possiamo dunque
esprimere il potenziale
così
1
V ( B )  kQ  C
rB
1
V ()  kQ  C  C  0
r
1
V (r )  kQ
r
5
Potenziale elettrico di una carica
puntiforme. Forma alternativa
• La forma precedente
presume che la carica sia
posta nell’origine delle
coordinate
• Lasciamo cadere questa
posizione e riscriviamo in
modo più generale il
potenziale elettrico
• Questa forma è
particolarmente utile
quando abbiamo più di
una carica
 
Rr

r

R


 
1
V R  r  kQ  
Rr
6
Potenziale di più cariche
• Usiamo il principio di V ( B)  V ( A)   E  dl    n E   dl
j
A
A  
sovrapposizione per
j 1

E: troviamo un
n  B 
 n
analogo principio per      E j  dl    V j ( B)  V j ( A) 
j 1 
A
 j 1
V
• Nel caso particolare
V ( B )  V ( A) 
di cariche puntiformi

n 
kQ
kQ
j
j
• Se non vi sono
       
 R r

R

r
j

1
A
j 
cariche all’infinito
 B j
possiamo scegliere la
n

kQj
costante C nulla, così
V ( R)    
che il potenziale è
j 1 R  r j
nullo all’infinito
7
B
B
Distribuzione continua
• Possiamo considerare ogni volume infinitesimo
di carica come una carica puntiforme e poi
sommare i contributi al potenziale di tutte le
infinite cariche (integrare sul volume)


dQ(r )
dQ(r )
V ( B)  V ( A)   k 
   k 

R B   r
R A  r
V
V
• Possibili problemi matematici di convergenza

dQ(r )
V ( R)   k  
Rr
V
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Dimensioni e unità del potenziale
• Dalla definizione segue che le dimensioni del
potenziale sono quelle di un’energia diviso una
carica

E  F L
V   
Q
Q
• L’unità di misura è il volt pari a
– joule diviso coulomb: J/C oppure a
– newton volte metro diviso coulomb: Nm/C
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Potenziale elettrico
• Riassumendo:
U ( B)  U ( A)
V ( B)  V ( A) 
q
B
B 

LAB
1  

   F  dl    E  dl
q
qA
A
• Abbiamo così ottenuto l’importante relazione
integrale tra potenziale elettrico e campo
elettrico
• Vale solo per campi statici
• verrà generalizzata da Faraday a campi
elettrodinamici (3° legge dell’e.m.)
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Conservatività della forza elettrica
 
V ( B )  V ( A)    E  dl
B
• L’espressione:
A
• afferma che la ddp dipende solo dai punti
iniziale e finale, non dal cammino seguito
• Quindi
A B
A B
 
 E  dl 
 
 E  dl
C1
C2
• E siccome
A B
B  A

 
 E  dl    E  dl
C
C
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Conservatività della forza elettrica
• Possiamo riscrivere:
A B
  A B  A B  B A 
0   E  dl   E  dl   E  dl   E  dl 
C1
C2
C1
C2
 
 E  dl
C1 C2
• Cioè l’integrale di linea del campo E (statico) su
di una linea chiusa è nullo
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Forma differenziale della
conservativita` del campo elettrico
• Trasformiamo la circuitazione di E mediante il
teorema di Stokes
 
0   E  dl 
C
  
   E  da
S C 
• Assegnato C, l’integrale di destra e` nullo
qualunque sia la superficie S che poggia su C
• Ne segue che vale identicamente
 
 E  0
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Relazione differenziale tra campo e
potenziale
• La relazione tra campo e potenziale che
abbiamo espresso in forma integrale, può
essere anche espressa in forma differenziale
 
dV   E  dl   E x dx  E y dy  E z dz
V
V
V
dV 
dx 
dy 
dz
x
y
z
V
  Ek
k  1,2,3
xk
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Relazione tra campo e potenziale
• Ovvero:


V
E   Ek eˆk  
eˆk  V
k
k xk
• Questa formula ci può anche essere utile per
trovare il campo elettrico, calcolando prima il
potenziale
• Dobbiamo calcolare un solo integrale invece di
tre, e poi dobbiamo fare tre derivate parziali
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Significato del gradiente
• Dall’espressione
 
  infinitesima

dV   E  dl  V  dl  V dl cos a  V dl
• Vediamo che la massima variazione di
potenziale si ha quando a=0 cioe` lo
spostamento e` parallelo al gradiente del
potenziale (ovvero al campo elettrico)
• Il gradiente di un campo indica dunque la
direzione in cui il campo varia piu`
velocemente
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Rotazione di un gradiente
• Partiamo
dall’equazione
• Facciamo il rotore di
entrambi i membri
• Studiamo una qlq.
componente del
secondo membro
• Ne segue che la
rotazione di un
gradiente è
identicamente nulla


A  
 
 
  A    


 
       

   x  
  
y  z  z  y 
 2  2


0
yz zy
 
    0
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Rotazione del campo elettrico
(statico)
• Poiche’ il campo elettrico si
puo` scrivere come il gradiente
del potenziale
• Per quanto appena visto sulla
rotazione, ne segue che la
rotazione del campo elettrico
(statico) e` nulla


E  V
 
 E  0
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Superfici equipotenziali
• Sono superfici perpendicolari al
campo elettrico
• Equipotenziale significa infatti
che V è costante sulla
superficie, quindi dV=0
• Dalla relazione tra campo e
potenziale segue che il campo
elettrico è perpendicolare a
qualunque vettore che giace su
una tale superficie
 
dV  E  dl
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