Classi 2e
Costruzioni sull’equivalenza dei poligoni
Nota: non è detto che le soluzioni proposte siano le uniche possibili
Costruzioni: utilizzando i teoremi sulle aree dei poligoni:
1)
Dato un triangolo ABC, costruire un rettangolo equivalente
ad esso.
Soluzione
Da un vertice della base del triangolo e dal punto medio di
essa tracciare le perpendicolari alla base e intersecarle con la
parallela alla base passante per il vertice opposto.
Il quadrilatero ottenuto è un rettangolo equivalente
(teorema fondamentale: ha base la metà e stessa altezza di
quelle del triangolo).
2)
Dato un triangolo ABC, costruire il triangolo isoscele ad esso
equivalente e che ha per base AB.
Soluzione
Dal punto medio della base del triangolo tracciare la
perpendicolare alla base e prendere come terzo vertice del
triangolo l’intersezione di tale perpendicolare con la parallela
alla base passante per il vertice opposto
3)
Dato un parallelogramma ABCD, costruire un
rombo ad esso equivalente avente lato uno dei
lati di ABCD.
Soluzione
Tracciare la circonferenza di centro un vertice
del parallelogramma e che ha raggio congruente
al lato.
L’intersezione della circonferenza con il lato
opposto è il terzo punto del rombo.
Il quarto punto si trova intersecando le parallele.
4)
Dato un parallelogramma ABCD, costruire un rombo ad esso
equivalente e che ha per diagonale una delle diagonali del
parallelogramma.
Soluzione
Tracciare la perpendicolare alla diagonale AC passante per i
suo punto medio ed intersecarla con le parallele alla
diagonale passante per i vertici B e D del parallelogramma.
AFCE è un rombo perché ha le diagonali perpendicolari che
si tagliano nel punto medio (notare che OF ≅ OE perché
altezze dei triangoli congruenti ADE e ABC)
I triangoli ACE e ACD sono equivalenti (stessa base e stessa
altezza) e perciò il rombo è equivalente al parallelogramma
essendo somma di due triangoli equivalenti alla somma dei triangoli che formano il parallelogramma.
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Classi 2e
Costruzioni sull’equivalenza dei poligoni
5) Dato un parallelogramma, costruire un triangolo equivalente
ad esso avente per base una diagonale del parallelogramma.
Soluzione
Intanto si costruisce un parallelogramma ACED equivalente a
quello dato ABCD e avente per lato una diagonale di esso: si
traccia la parallela alla diagonale AC passante per D e la si
interseca con la retta BC, trovando così il punto E
Poi si costruisce il triangolo ACF equivalente a ACED.
Si può traccia la retta che passa per C e per il punto medio si
DE ed intersecarla con il prolungamento di AD. ottenendo il
punto F.
6) Dato un trapezio, costruire un triangolo ad esso equivalente e che
ha come base la base maggiore del trapezio.
Soluzione
Dal vertice C del trapezio, tracciare la parallela alla diagonale DB
ed intersecarla con il prolungamento del lato AD.
Il triangolo ABE ha la stessa area del trapezio in quanto formato
dall’unione di ABC e BDE e quest’ultimo triangolo ha la stessa area
di BDC.
7) Assegnato un parallelogramma, costruire un
parallelogramma equivalente ad esso, con lati due segmenti
assegnati.
Soluzione
In figura, il parallelogramma ABCD ed i due segmenti
assegnati, che debbono essere i lati del parallelogramma
equivalente ad ABCD.
Innanzitutto costruiamo un parallelogramma che
ha un lato lungo quanto il primo dei due
segmenti.
Si trasporta il segmento a partire da un vertice
tracciando la circonferenza di centro il vertice
e lato congruente al segmento. L’intersezione
della circonferenza con il lato opposto è il
terzo punto del parallelogramma.
Si trova il quarto vertice F intersecando la
parallela ad AC per A.
Si ripete poi il procedimento a partire dal
paralellogramma ABFE, trasportando
il secondo segmento a partire dal vertice E.
Si trova il vertice G intersecando la circonefernza
con la retta BF.
Il quarto punto del parallelogramma si
determina con la parallela a EG passante per A.
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8)
Costruzioni sull’equivalenza dei poligoni
Dividere un triangolo in due parti equivalenti con una retta che
passa per un punto di uno dei suoi lati.
Soluzione
In figura, si desidera suddividere un triangolo ABC in due parti
equivalenti con una retta che passa per il punto P del lato AB.
Si considera il punto medio M di AB ed il segmento MC.
I triangoli AMC e MBC sono ovviamente equivalenti.
Se si traccia da M la parallela a PC e la si interseca con il lato
AC, si ottiene il punto Q.
APQ = AMQ ∪ MQP è equivalente ad AMC = AMQ ∪ MQC.
Infatti AMQ fa parte di entrambi e MQP è equivalente a MQC
avendo la stessa base e la stessa altezza.
9)
Dividere un quadrilatero in due parti equivalenti con una retta
che passa per un vertice.
Soluzione
In figura, preso il punto M di una diagonale, si dimostra
facilmente che i quadrilateri AMCD e AMCB sono equivalenti,
essendo somma di triangoli equivalenti (DMC equivale a MBC e
DMA equivale A MBA).
Si traccia l’altra diagonale AC e si individua il punto N sul lato BC
intersecando la parallela per M ad AC.
Il segmento AN divide il quadrilatero in due parti equivalenti.
Infatti:
ANCD = ACD ∪ ACN e AMCD = ACD ∪ ACM
e ACN e ACM sono equivalenti perché hanno la stessa base e la
stessa altezza.
Quindi ANCD equivale a AMCD, che era equivalente a metà quadrilatero.
10) Costruire un rettangolo equivalente ad un
triangolo assegnato e avente altezza
assegnata.
Soluzione
In figura la nuova altezza è determinata
dalla retta r parallela alla base AB del
triangolo.
Inanzitutto, si costruisce il triangolo
equivalente ad ABC e con l’altezza data.
La costruzione è quella del teorema.
Si traccia EB e la parallela ad EB per C.
L’interzezione D di questa parallela con la
retta AB è il terza vertice del triangolo equivalente ADE.
Si traforma quindi il triangolo in un rettangolo
con la stezza altezza dimezzando la base.
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