Il ruolo del linguaggio
nell’apprendimento della
matematica
Pier Luigi Ferrari
Università del Piemonte Orientale ad
Alessandria
http://www.mfn.unipmn.it/pferrari
Schema
Sistemi semiotici
Lingue
Linguaggio della matematica
Linguaggio e apprendimento
Quale educazione linguistica?
Qualche idea per l’insegnamento
Autoriferimenti
Ferrari, P.L.: 2004, Matematica ed
Educazione: il ruolo fondamentale dei
linguaggi, Sem.Naz. di Ricerca in Didattica
della Matematica, sessione XXI,
http://www.dm.unito.it/semdidattica/
Ferrari, P.L.: 2004, Matematica e
linguaggio. Quadro teorico e idee per la
didattica, Bologna: Pitagora Editrice.
Ferrari, P.L.: 2003, 'Costruzione di
competenze linguistiche appropriate per
la matematica a partire dalla media
inferiore', L'insegnamento della
matematica e delle scienze integrate,
Vol.26A, N.4, 469-496.
Ferrari, P.L. & L.Lunardi: 2005,
‘Inventare notazioni per risolvere
problemi’, L'insegnamento della
matematica e delle scienze integrate,
Vol.28°, N.5, 451-474.
Sistemi semiotici
Linguaggio verbale
 Scritto, orale
Notazioni simboliche
 Aritmetica, algebra
Rappresentazioni figurali
 Figure geometriche, grafici, immagini
Da un libro di testo
L'intersezione dei due insiemi A e B, e si
scrive AB, è l'insieme {x | xA e xB}.
L'intersezione di A e B è così l'insieme degli
elementi che appartengono sia ad A che a B.
Vediamo quali sono le intersezioni degli
insiemi visti sopra per illustrare l'unione. Per
un qualunque insieme A, è AA=A, e anzi se
B è un sottoinsieme di A, è AB=B.
La distanza di un punto
generico (x,y)
dall'origine (0,0) è data
da:
2
x +y
y
1
2
La condizione che la
distanza sia uguale a 1
(cioè il raggio) è data da:
x2 + y2 = 1
x
-1.5
-1
-0.5
0.5
-1
-2
1
1.5
2
Lingua
Sistema semiotico umano, storicamente
determinato
Creatività
 possibilità di creare insiemi infiniti di segni
Doppia articolazione
 Frasi  morfemi  fonemi
Riflessività discorsiva
 Testi che analizzano altre rappresentazioni
Comprensione dei testi
Teorie del codice
 L’interpretazione dei testi avviene per
mezzo della grammatica e del dizionario.
Teorie dell’inferenza
 L’interpretazione dei testi richiede attività
creativa del soggetto, quindi anche
un’enciclopedia.
Matematica e
rappresentazioni
Non esistono accessi alle idee
matematiche se non attraverso
rappresentazioni.
Sono necessarie rappresentazioni non
iconiche
Ad esempio:
 Insiemi infiniti
 Retta
Stat rosa pristina nomine,
nomina nuda tenemus
Rappresentazioni multiple
Problema cognitivo: distinguere un
concetto matematico dalle sue
rappresentazioni
Esigenza di disporre di almeno due
rappresentazioni distinte dello stesso
concetto:
 Conversioni da un sistema all’altro
 Coordinamento di più rappresentazioni
Esempi
Numeri








Dita della mano
Costellazioni
Insiemi di oggetti
Scrittura in base dieci
Regoli
Abaco
Linea dei numeri
…
Esempi
Funzioni




Descrizione verbale
Equazione y = f(x)
Grafico
Tavola valori
Punti di vista su
apprendimento e linguaggi
Ipotesi denotazionale
I concetti si costruiscono
indipendentemente e i sistemi di segni
servono solo per rappresentarli.
 Piagetiani ortodossi, cognitivisti, Lakoff &
Nuñez, …
Ipotesi strumentale
La costruzione dei concetti richiede la
disponibilità di sistemi di segni.
 Vygotskij, Bruner, Duval, Sfard, approcci
discorsivi, socioculturali, …
Il pensiero è una forma di
comunicazione (A.Sfard)
 Apprendimento matematico come
partecipazione a un discorso
Non c’è noesis senza semiosis (R.Duval)
Per l’ipotesi denotazionale la povertà
linguistica è un grave ostacolo alla
comunicazione dei concetti in corso di
apprendimento ma non al loro sviluppo.
Per l’ipotesi strumentale la povertà
linguistica è un grave ostacolo allo
sviluppo del pensiero:
Povertà di linguaggio  povertà di pensiero
Funzioni cognitive
Reificazione
Fissare pensieri, processi, ipotesi,
relazioni in oggetti che possono essere
studiati e trasformati.
 Testi scritti
 Espressioni simboliche
 Rappresentazioni figurali
Trattamento
Testi scritti
 parafrasi, riassunto, …
Espressioni simboliche
 Prodotti notevoli, sostituzioni, derivate, …
Rappresentazioni figurali
 Trasformazioni geometriche, operazioni su
grafici, …
Esempi
Esecuzione di algoritmi





Operazioni in colonna
Equazioni
Costruzioni con riga e compasso
Trasformazioni geometriche
Operazioni sui grafici delle funzioni reali
Calcoli
Algoritmi di calcolo
in colonna
2643
554=
10572#
13215##
13215###
1464222#
Quanto vale il prodotto
di MMDCXLIII per
DLIV?
Notazione algebrica
Trouame 1.n° che gioto al
suo qdrat° facia.12
x+x2 = 12
(Luca Pacioli, 1445 - 1514)
Qdratu aeqtur 4 rebus p:32
(Girolamo Cardano, 1501 - 1576)
x2 = 4x+32
Riflessività discorsiva
Con le lingue si esprimono giudizi su
rappresentazioni di ogni tipo.
Lingua come guida del pensiero
Caratteristiche del
linguaggio matematico
Testi scritti, espressioni simboliche,
rappresentazioni visuali
Scarsa dipendenza dal contesto
Significato come prodotto
Testi pianificati e gerarchizzati
Esplicitazione nessi con la sintassi
Distanza, mancanza di feedback
Caratteristiche del linguaggio
colloquiale
Testi orali, testi informali, schizzi
Forte dipendenza dal contesto
Significato come processo
Testi poco pianificati
Ruolo minore della sintassi
Interazioni, feedback, negoziazione
significati
" Il nostro edificio si compone di 3
rettangoli 2 dei quali posti verticalmente e
uno orizzontalmente che li unisce nella
parte superiore.
Testi orali e testi scritti
(Duval, 2000)
Accessibilità
 Memoria a breve
Autonomia del ricevente
 Il lettore ha più ‘potere’ dell’ascoltatore
 Interpretazione globale
Attività metalinguistica
 La riflessione sull’adeguatezza di un testo
è più agevole se questo è in forma scritta.
 Testi matematici

Testi orali, testi scritti provvisori, testi
scritti stabili
 I testi scritti provvisori hanno caratteristiche
intermedie
Funzioni linguistiche profondamente
diverse
Organizzazioni testuali profondamente
diverse
Funzioni cognitive profondamente
diverse
Appartenenza riconoscibile a una stessa
lingua

Modi espressivi tipici della forma orale o
delle scritture informali possono essere
più adatti per trattare idee provvisorie o
in formazione.

Il punto di vista della
pragmatica
 Testi per rappresentare e descrivere ma
anche per raggiungere scopi
 Registri linguistici come varietà d’uso dei
linguaggi in relazione a contesto e scopi
 Registri:
 orali – scritti
 colloquiali – evoluti
 Usi linguistici in matematica come registri
 Non come insiemi di convenzioni
La mia tesi fondamentale è:
I registri matematici sono casi
estremi di registri evoluti.
Le caratteristiche linguistiche che
distinguono i registri evoluti da quelli
colloquiali sono presenti in forma
massiccia ed estrema nei registri
matematici.
In classe
 Durante le attività di matematica devono
essere realizzate funzioni di:




Comunicazione
Relazione interpersonale
Organizzazione delle conoscenze
Esecuzione di algoritmi
 In altre parole devono essere usati sia
modalità tipiche dei registri colloquiali sia
modalità tipiche dei registri matematici.
Un esempio
Chiamare la figura di
sinistra ‘rettangolo’
corrisponde a scopi di
organizzazione della
conoscenza.
Ma scopi di
comunicazione
interpersonale sono
meglio realizzati da
‘quadrato’
Un altro esempio
1 1
5
3
 

 ...
3 5 15 15
Le trasformazioni
1
5

3
15
1
3

5
15
non corrispondono a finalità comunicative
riconoscibili ma soprattutto a esigenze
computazionali.
Tutto questo richiede:
Capacità di gestire il rapporto fra testo,
contesto e scopi
Capacità di usare i registri evoluti
Flessibilità per passare da un registro
all’altro in funzione degli scopi
La notazione simbolica
dell’algebra
Il simbolismo algebrico - 1
Regole di trasformazione che non
dipendono dai significati
Regole decidibili (è automatico stabilire
se sono applicabili o no)
Proprietà testuali diverse dai linguaggi
verbali
Il simbolismo algebrico - 2
2 tipi di espressioni
Termini: corrispondono ai nomi
2
x
 2+x
Formule: corrispondono alle frasi
 2+x =1
 2=3-1
 2 >3
Senso e riferimento -1
 Le espressioni







5
6-1
15:3
min{7, 6, 5}
10log5
1+1+1+1+1
4.999999…
rappresentano lo stesso numero (hanno lo
stesso riferimento) ma hanno sensi diversi.
Senso e riferimento -2
Le proprietà matematiche hanno
prevalentemente a che fare con i
riferimenti.
P(5) se e solo se P(1+1+1+1+1)
1
5

3
15
1
3

5
15
Problema
In una città si è calcolato che in media
ogni tre gatti (G) ci sono quattro cani (C).
Quali fra le seguenti formule
rappresentano tale relazione?
3G  4C
3C  4G
G C

3
4
3G  4C  7
Risposta frequente:
3G
=
4C
ogni tre gatti ci sono quattro cani
Congruenza semantica
“sette è maggiore di cinque”,
sono congruenti fra loro
7>5
“cinque è minore di sette”,
sono congruenti fra loro
7<5
Le espressioni del primo gruppo sono
logicamente equivalenti ma non
congruenti a quelle del secondo gruppo.
Se C rappresenta il numero dei cani e G
quello dei gatti
“Ogni tre gatti ci sono quattro cani”
3G
=
4C
non è equivalente alla frase data.
4G
=
3C
non è congruente ma è equivalente alla
frase data.
Sintassi
Notazioni simboliche:
sintassi rigida
Linguaggio verbale:
sintassi rilassata
‘=’ è un predicato a
due argomenti
Numero di argomenti
variabile
Per affermare che i
numeri x, y, z sono
uguali fra loro servono
tre equazioni
x=y, y=z, x=z
“Gli uomini sono tutti
uguali”
Organizzazione dei testi
Nei registri quotidiani l’organizzazione del
testo è finalizzata a scopi comunicativi.
Nella notazione algebrica è condizionata
dalla sintassi e dall’esecuzione di
algoritmi.
 È ieri che Carlo è andato a giocare a
tennis con Mara al circolo.
 È Carlo che è andato ieri a giocare a
tennis con Mara al circolo.
 È a tennis che Carlo ha giocato ieri con
Mara al circolo.
 È Mara la persona con cui Carlo ha
giocato a tennis ieri al circolo.
 È al circolo che Carlo è andato ieri a
giocare a tennis con Mara.
In 5<7 il tema è ‘5’.
In 7>5 il tema è ‘7’.
Le due formule sono matematicamente
equivalenti.
La scelta fra le due spesso dipende da
esigenze non comunicative ma tecniche,
in relazione al formato dei dati disponibili.
Problema
Bill e Tom giocano a dadi
All’inizio Bill ha il doppio dei dollari di Tom
Bill perde 100$ (e Tom ne vince
altrettanti)
Alla fine del gioco Tom ha una volta e
mezza i dollari di Bill
Scrivete due equazioni colle lettere B, T
per esprimere le relazioni iniziale e finale
fra i dollari posseduti da Bill e Tom
Risposta frequente:
B  2  T

T

1,
5

B

B e T sono interpretati come indicali
Indicali
Gli indicali (riferimenti deittici) sono quelle
espressioni la cui interpretazione richiede
informazioni sul contesto in cui sono state
prodotte e che si aggiornano
automaticamente.
Oggi, quello, qui, lui, la mia età, i tuoi soldi
La notazione algebrica non ha indicali
Quest’anno: La mia età  x
Fra un anno: La mia età  x +1
Dizionario
Linguaggio verbale
Notazione algebrica
 Possibilità di
costruire termini
composti buona ma
non illimitata
 Ampia scelta di
predicati (verbi)
 Possibilità di
costruire termini
composti illimitata
 Pochissimi predicati
(=, …, <, >, …)
Nominalizzazione
 n è pari
 n è dispari
 x è il doppio di y
 x supera y di 50
 m è maggiore o uguale
di n
 m è maggiore di n
 k(n=2k)
 k(n=2k+1)
 x = 2y
 x = y+50
 k(m=n+k)
 k(m=n+k+1)
Aspetti percettivi
La regola
(x+y)2 = x2+2xy+y2
ha minore salienza visuale rispetto a
(xy)2 = x2y2
Questo può indurre gli studenti a
conformare la prima alla seconda.
Esempi di regole salienti
w y wy
 
x z
xz
n
xy  n x  n y
Esempi di regole non salienti
w y wz  xy
 
x z
xz
x  y  (x  y )(x  y )
2
2
Esempi di ‘maleregole’
w y w y
 
x z
x z
n
x y  n x  n y
Implicazioni didattiche
Le difficoltà di comunicazione possono
rendere vano ogni altro intervento.
In certi casi è futile ragionare solo sui
contenuti disciplinari.
È inutile spiegare più volte un concetto se
l’interlocutore non capisce quello che
diciamo.
Rapido mutamento dei comportamenti
linguistici, delle competenze e delle
difficoltà
All’insegnante non basta più l’esperienza:
ogni 2-3 anni può trovarsi davanti
situazioni completamente diverse.
Classi multilingue
In molti paesi occidentali ormai è il
problema principale.
Quanta e quale competenza linguistica
serve a uno studente non madrelingua
per affrontare le discipline?
La tecnologia spesso contribuisce al
degrado della competenza linguistica
(cellulari, televisione, videogiochi, …)
Tuttavia mette a disposizione opportunità
enormi, che vanno sfruttate:
 comunicazione
 interazione
 sistemi semiotici
elaborazione testi
notazioni simboliche
visualizzazione, figure, grafici, …
 e-learning
Comunicare
Le modalità di comunicazione sono
fondamentali.
 Aspetti usualmente trascurati influenzano
gli atteggiamenti degli studenti.
 Tempo di esposizione adeguato per
svolgere inferenze.
Conoscenze contestuali indispensabili
per svolgere inferenze (‘enciclopedia’)
 Le definizioni astratte non sono a costo
zero.

Evoluzione competenze linguistiche
Nuove tecnologie
 Rappresentazioni visuali
 Forme di comunicazione che penalizzano
L’esplicitazione dei significati
La riflessione sui testi
La possibilità di inferenze consapevoli

Educazione linguistica
Metodi tradizionali inefficaci
 Modelli grammaticali
 Scarsa attenzione a usi, contesti e scopi
 Separazione fra educazione linguistica e
scientifica
Convinzioni, atteggiamenti

Obiettivi
Consapevolezza metalinguistica
 Relazione testi – contesti (scopi, …)
 Controllo sui testi
 Uso flessibile dei registri
Registri matematici  registri colloquiali
Uso registri evoluti
Coordinamento di sistemi semiotici

Consapevolezza metalinguistica
Uso registri evoluti
Coordinamento di sistemi semiotici
non sono risorse naturali per tutti.
Devono essere costruite attraverso
attività specifiche.

In altre parole: non esiste il
‘linguaggio naturale’