Laurea triennale in Informatica – Corso di Analisi matematica – a.a. 2011/12
Complementi al capitolo “L’insieme dei numeri reali”
In questa nota esaminiamo alcune conseguenze delle proprietà relative alle operazioni e
all’ordinamento nell’insieme R dei numeri reali. L’obiettivo principale è mostrare come, a partire unicamente da tali proprietà, sia possibile dedurre in modo rigoroso le regole di calcolo che
tutti abbiamo imparato a memoria sin dalla scuola elementare (o media) senza chiederci perché
fossero vere. Presentiamo la dimostrazione di alcune proprietà e lasciamo per esercizio la verifica
delle rimanenti.
Conseguenze delle proprietà relative alle operazioni
Cominciamo con l’esaminare il comportamento di 0, elemento neutro per l’addizione, rispetto
alla moltiplicazione.
(1) Per ogni a ∈ R : a · 0 = 0.
Dato che 0 è elemento neutro rispetto alla addizione, si ha 0 = 0 + 0 . Da questo, e dalla proprietà
distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione, deduciamo a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 .
Addizionando a primo e terzo membro l’opposto di a · 0 (che esiste per la proprietà degli inversi), e
applicando la proprietà associativa della addizione otteniamo a · 0 + (−a · 0) = (a · 0 + a · 0) + (−a · 0) =
a · 0 + (a · 0 + (−a · 0)) . Per definizione di opposto, l’uguaglianza tra primo e terzo membro si riscrive
0 = a · 0 + 0 , da cui (essendo 0 elemento neutro rispetto alla addizione) segue 0 = a · 0 .
Osservazione
Da (1) segue che non esiste alcun numero reale che moltiplicato per 0 dia come risultato 1. Ne
consegue che 0 non ammette reciproco.
(2) Per ogni a, b ∈ R : a · b = 0 =⇒ a = 0 oppure b = 0.
Supponiamo a · b = 0 . Se a = 0 , non c’è nulla da dimostrare; supponiamo allora a 6= 0 . Moltiplicando
ambo i membri dell’uguaglianza a·b = 0 per a1 (che esiste in quanto a 6= 0 ) otteniamo a1 ·(a·b) = a1 ·0 = 0
(l’ultima uguaglianza segue da (1)). D’altra parte, per la proprietà associativa della moltiplicazione e la
definizione di reciproco, abbiamo a1 · (a · b) = ( a1 · a) · b = 1 · b = b. In conclusione, b = 0 .
Osservazione
Le proprietà (1) e (2) si sintetizzano nella “Legge di annullamento del prodotto”:
Per ogni a, b ∈ R : a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 oppure b = 0.
Tale legge vale anche per il prodotto di tre o più fattori.
Esaminiamo ora alcune proprietà degli opposti; in particolare, ritroviamo la “regola dei segni”.
(3) Per ogni a ∈ R : −(−a) = a.
Per definizione di opposto, la somma di a e −a è uguale a 0 . L’unicità dell’opposto implica che l’opposto
di −a è necessariamente a .
(4) Per ogni a, b ∈ R : (−a) · b = −(a · b).
Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione si ha (−a)·b+a·b = ((−a)+a)·b =
0 · b = 0 (l’ultima uguaglianza segue da (1)). Pertanto, a norma di definizione, (−a) · b è l’opposto di
a · b.
(5) Per ogni a, b ∈ R : a · (−b) = −(a · b).
(6) Per ogni a, b ∈ R : (−a) · (−b) = a · b.
Applicando, nell’ordine, (4), (5) e (3) abbiamo (−a) · (−b) = −(a · (−b)) = −(−(a · b)) = a · b.
Esaminiamo ora alcune proprietà dei reciproci.
1
(7) Per ogni a ∈ R , con a 6= 0 : 1 = a.
a
Per definizione di reciproco, il prodotto di a e
reciproco di 1/a è necessariamente a.
(8) Per ogni a, b ∈ R , con a 6= 0 e b 6= 0 :
1
a
è uguale a 1 . L’unicità del reciproco implica che il
1
1 1
= · .
a·b
a b
Per la proprietà associativa e commutativa della moltiplicazione e per la definizione di reciproco si ha
(a · b) · a1 · 1b = a · a1 · b · 1b = 1 · 1 = 1 . Pertanto, a norma di definizione, a1 · 1b è il reciproco di a · b.
Osservazione
In base a (8), il reciproco del prodotto di due numeri diversi da 0 è uguale al prodotto dei
reciproci. Si badi che, al contrario, il reciproco della somma non è uguale alla somma dei
reciproci!
1
1
=− .
−a
a
(9) Per ogni a ∈ R , con a 6= 0 :
Da (6) segue che (−a) · − a1 = a ·
1
a
= 1 . Pertanto, a norma di definizione, − a1 è il reciproco di −a.
A partire dalla addizione e dalla moltiplicazione, e utilizzando la proprietà degli inversi, possiamo
definire le “operazioni inverse”, cioè la sottrazione e la divisione.
Definizione
a
1
Per ogni a, b ∈ R poniamo a − b := a + (−b); per b 6= 0 poniamo := a · .
b
b
Vediamo ora due modi di manipolare una uguaglianza, ossia di trasformarla in una uguaglianza
equivalente.
(10) Per ogni a, b, c ∈ R : a + b = c ⇐⇒ a = c − b.
Partendo dall’uguaglianza a + b = c e aggiungendo l’opposto di b ad ambo i membri otteniamo: a + b =
c ⇔ (a + b) + (−b) = c + (−b) ⇔ a + (b + (−b)) = c − b ⇔ a + 0 = c − b ⇔ a = c − b.
(11) Per ogni a, b, c ∈ R , b 6= 0 : a · b = c ⇐⇒ a =
c
.
b
Moltiplicando ambo i membri per il reciproco di b (che esiste perché b 6= 0 ) otteniamo: a · b = c ⇔
(a · b) · 1b = c · 1b ⇔ a · b · 1b = cb ⇔ a · 1 = cb ⇔ a = cb .
Osservazione
(10) e (11) permettono di risolvere l’equazione di primo grado ax + b = 0, con a 6= 0 :
ax + b = 0 ⇐⇒ ax = −b ⇐⇒ x = −
b
a
Deduciamo ora le regole di semplificazione nelle uguaglianze.
(12) Per ogni a, b, c ∈ R : a ± c = b ± c =⇒ a = b
Supponiamo a + c = b + c. Sommando l’opposto di c ad ambo i membri otteniamo (a + c) + (−c) =
(b + c) + (−c) , ossia a + (c + (−c)) = b + (c + (−c)) , ossia a + 0 = b + 0 , ossia a = b. L’implicazione
a − c = b − c =⇒ a = b si prova in modo analogo.
(13) Per ogni a, b, c ∈ R , c 6= 0 : a · c = b · c =⇒ a = b.
(14) Per ogni a, b, c ∈ R , c 6= 0 :
b
a
=
=⇒ a = b
c
c
Conseguenze delle proprietà relative alla relazione d’ordine
Ricordiamo la proprietà di compatibilità della relazione d’ordine con l’addizione:
Per ogni a, b, c ∈ R : a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c.
Esaminiamo alcune conseguenze di tale proprietà. Cominciamo con la manipolazione di disuguaglianze.
(15) Per ogni a, b, c ∈ R : a + b ≤ c ⇐⇒ a ≤ c − b.
Partendo dalla disuguaglianza a + b ≤ c e tenendo presente la proprietà sopra ricordata, possiamo
aggiungere l’opposto di b ad ambo i membri e ottenere a + b ≤ c ⇔ (a + b) + (−b) ≤ c + (−b) ⇔
a + (b + (−b)) ≤ c − b ⇔ a + 0 ≤ c − b ⇔ a ≤ c − b.
(16) Per ogni a, b, c ∈ R : a ≤ b + c ⇐⇒ a − c ≤ b.
Osservazione
Le proprietà (15) e (16) forniscono il noto principio in base al quale è possibile “trasportare” un
addendo da un membro all’altro di una disuguaglianza “cambiandolo di segno”.
Le seguenti proprietà sono conseguenze immediate di (15) e (16).
(17) Per ogni a, b ∈ R : a ≤ b ⇐⇒ −b ≤ −a.
(18) Per ogni a ∈ R : 0 ≤ a ⇐⇒ −a ≤ 0.
(19) Per ogni a ∈ R : a ≤ 0 ⇐⇒ 0 ≤ −a.
Osservazione
Attenzione a non pensare che la presenza del segno “−” implichi sempre che il numero considerato sia negativo. Come è noto, −a denota l’opposto di a; in base a (18) e (19), l’opposto di
un numero positivo è negativo, mentre l’opposto di un numero negativo è positivo.
Definizione
Per ogni a, b ∈ R :
a ≥ b ⇐⇒ b ≤ a
a < b ⇐⇒ a ≤ b e a 6= b
a > b ⇐⇒ a ≥ b e a 6= b
Un numero a ∈ R si dice positivo (negativo, strettamente positivo, strettamente negativo) se
a ≥ 0 (a ≤ 0, a > 0, a < 0).
Osservazione
Le proprietà (15)–(19) valgono anche se si sostituisce ovunque ≤ con <.
Esaminiamo cosa succede sommando membro a membro due disuguaglianze.
(20) Per ogni a, b, c, d ∈ R : a ≤ b e c ≤ d =⇒ a + c ≤ b + d.
Dato che a ≤ b, la proprietà di compatibilità della addizione con la relazione d’ordine implica a+c ≤ b+c.
Dato che c ≤ d , la stessa proprietà implica b + c ≤ b + d. La proprietà transitiva della relazione d’ordine
implica allora a + c ≤ b + d .
Osservazione
La proprietà (20) vale anche per tre o più addendi. Inoltre, se almeno una delle disuguaglianze
a sinistra del segno di implicazione è stretta, anche la disuguaglianza a destra lo è .
Come casi particolari di (20) otteniamo le seguenti proprietà.
(21) Per ogni a, b ∈ R : 0 ≤ a e 0 ≤ b =⇒ 0 ≤ a + b.
(22) Per ogni a, b ∈ R : 0 < a e 0 ≤ b =⇒ 0 < a + b.
(23) Per ogni a, b ∈ R : 0 ≤ a, 0 ≤ b e a + b = 0 =⇒ a = b = 0.
Supponiamo 0 ≤ a e 0 ≤ b. Se almeno uno tra a e b è strettamente positivo, (22) implica che anche la
somma a + b lo sia, contraddicendo l’ipotesi a + b = 0 . Ne segue che sia a che b sono uguali a 0 .
Ricordiamo la proprietà compatibilità della relazione d’ordine con la moltiplicazione:
Per ogni a, b, c ∈ R : a ≤ b e c ≥ 0 =⇒ a · c ≤ b · c.
Esaminiamo alcune conseguenze di tale proprietà.
(24) Per ogni a, b, c ∈ R : a < b e c > 0 =⇒ a · c < b · c.
Supponiamo a < b e c > 0 . La proprietà di compatibilità della relazione d’ordine con la moltiplicazione
implica a · c ≤ b · c. Se fosse a · c = b · c, si avrebbe a · c − b · c = 0 (vedi (10)); la proprietà distributiva
della moltiplicazione rispetto alla addizione implica allora (a − b) · c = 0 . Per la Legge di annullamento
del prodotto, segue a − b = 0 , cioè a = b, oppure c = 0 . Entrambe le possibilità sono escluse per ipotesi,
pertanto deve essere a · c 6= b · c. In conclusione, a · c < b · c.
(25) Per ogni a, b, c ∈ R : a ≤ b e c ≤ 0 =⇒ a · c ≥ b · c.
Supponiamo a ≤ b. Se c ≤ 0 , da (19) segue −c ≥ 0 . La proprietà di compatibilità della relazione
d’ordine con la moltiplicazione implica a · (−c) ≤ b · (−c) che per (5) diventa −a · c ≤ −b · c, da cui,
grazie a (17), segue a · c ≥ b · c.
(26) Per ogni a, b, c ∈ R : a < b e c < 0 =⇒ a · c > b · c
Osservazione
Mettendo insieme la proprietà di compatibilità della relazione d’ordine con la moltiplicazione
e (25) otteniamo la nota regola: Moltiplicando ambo i membri di una disuguaglianza per uno
stesso numero si ottiene una disuguaglianza dello stesso segno se il numero è positivo, di segno
opposto se il numero è negativo.
Esaminiamo ora alcune proprietà che coinvolgono il quadrato di un numero reale. Ricordiamo
che per ogni a ∈ R si definisce a2 := a · a.
(27) Per ogni a ∈ R : a2 ≥ 0; a2 = 0 ⇐⇒ a = 0; a2 > 0 ⇐⇒ a 6= 0.
Da (1) segue che 02 = 0 · 0 = 0 . Supponiamo a > 0 ; moltiplicando ambo i membri della disuguaglianza
per a e tenendo conto di (24) otteniamo a · a > a · 0 , ossia a2 > 0 . Supponiamo a < 0 ; moltiplicando
ambo i membri della disuguaglianza per a e tenendo conto di (26) otteniamo a · a > a · 0 , ossia a2 > 0 .
Osservazione
Da (27), da 1 6= 0 e dal fatto che 1 = 1 · 1 = 12 segue 1 > 0.
(28) Per ogni a, b ∈ R : a2 + b2 = 0 ⇐⇒ a = b = 0.
Per (27), a2 ≥ 0 e b2 ≥ 0 . Se a2 + b2 = 0 , (23) implica a2 = b2 = 0 , e la seconda parte di (27) implica
a = b = 0.
Osservazione
La proprietà (28) vale anche per la somma di tre o più addendi.
Esaminiamo cosa succede moltiplicando tra loro alcune particolari disuguaglianze.
(29) Per ogni a, b ∈ R : 0 ≤ a e 0 ≤ b =⇒ 0 ≤ a · b.
Supponiamo 0 ≤ a . Se è 0 ≤ b, la proprietà di compatibilità della relazione d’ordine con la moltiplicazione
implica 0 · b ≤ a · b, ossia 0 ≤ a · b.
(30) Per ogni a, b ∈ R : 0 ≤ a e b ≤ 0 =⇒ a · b ≤ 0.
Supponiamo 0 ≤ a . Se è b ≤ 0 , (25) implica 0 · b ≥ a · b, ossia 0 ≥ a · b, cioè a · b ≤ 0 .
(31) Per ogni a, b ∈ R : a ≤ 0 e b ≤ 0 =⇒ 0 ≤ a · b.
Osservazioni
Le proprietà precedenti continuano a valere se si sostituisce ovunque ≤ con <.
Esse possono essere sintetizzate nella “Regola dei segni”: Il prodotto di due numeri è positivo se
i numeri hanno le stesso segno, negativo se i numeri hanno segno opposto.
Esaminiamo alcune proprietà dei reciproci rispetto alla relazione d’ordine.
1
1
(32) Per ogni a ∈ R : a > 0 =⇒
> 0; a < 0 =⇒
< 0.
a
a
Per ogni a 6= 0 , il prodotto di a per il reciproco
precedente, a e a1 hanno lo stesso segno.
(33) Per ogni a, b ∈ R : a ≤ b e c > 0 =⇒
1
a
è uguale a 1 e quindi è positivo. Per l’osservazione
a
b
≤ .
c
c
Supponiamo a ≤ b. Se è c > 0 , (32) implica 1c > 0 . La proprietà di compatibilità della relazione d’ordine
con la moltiplicazione implica a · 1c ≤ b · 1c , ossia ac ≤ cb .
(34) Per ogni a, b ∈ R : a ≤ b e c < 0 =⇒
b
a
≥ .
c
c
Osservazione
(33) e (34) forniscono la nota regola: Dividendo ambo i membri di una disuguaglianza per uno
stesso numero si ottiene una disuguaglianza dello stesso segno se il numero è positivo, di segno
opposto se il numero è negativo.
Le seguenti proprietà (35)-(37) mostrano che passando ai reciproci di numeri dello stesso segno
le disuguaglianze si invertono, mentre passando ai reciproci di numeri di segno opposto le disuguaglianze si conservano.
1
1
(35) Per ogni a, b ∈ R : 0 < a ≤ b =⇒ 0 < ≤ .
b
a
Supponiamo 0 < a ≤ b. Chiaramente, si ha b > 0 e quindi 1b > 0 per (32). Dividendo ambo i membri
della disuguaglianza a ≤ b per b > 0 , (33) implica ab ≤ bb , ossia ab ≤ 1 . Dividendo ambo i membri di
questa disuguaglianza per a > 0 , (33) implica 1b ≤ a1 .
(36) Per ogni a, b ∈ R : a ≤ b < 0 =⇒
1
1
≤ < 0.
b
a
(37) Per ogni a, b ∈ R : a < 0 < b =⇒
1
1
<0< .
a
b
Segue immediatamente da (32), in quanto a < 0 implica
1
a
< 0 , mentre b > 0 implica
1
b
> 0.
Concludiamo enunciando le regole di semplificazione nelle disuguaglianze, la cui dimostrazione
è lasciata per esercizio.
(38) Per ogni a, b, c ∈ R : a ± c ≤ b ± c =⇒ a ≤ b.
(39) Per ogni a, b, c ∈ R : a · c ≤ b · c e c > 0 =⇒ a ≤ b.
(40) Per ogni a, b, c ∈ R : a · c ≤ b · c e c < 0 =⇒ a ≥ b.
(41) Per ogni a, b, c ∈ R :
(42) Per ogni a, b, c ∈ R :
a
b
≤
e c > 0 =⇒ a ≤ b.
c
c
a
b
≤
e c < 0 =⇒ a ≥ b.
c
c