07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
1
È noto a tutti che…
•La terra gira intorno al sole
in un anno (lo trascuriamo)
•La terra gira su sé stessa in
un giorno (ci interessa)
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D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
2
I sostenitori della rotazione
diurna hanno cercato subito una
prova evidente del moto…
•Galilei ha pensato alle maree ed ha
preso un grosso granchio
•Newton ha pensato che nella caduta
un corpo che dovrebbe andare anche
verso Est
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3
G.B. Guglielmini ha ripreso
l’idea di Newton…
della sua prova si parla sia nei
testi di fisica che di geografia
astronomica
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4
Prima pubblicazione 1991
DEVIAZIONE DEI GRAVI
VERSO ORIENtE
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5
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
6
Un grave, inizialmente in quiete
rispetto alla Terra, durante la caduta
non si muove secondo la verticale, ma
si sposta anche verso Est: il
fenomeno, previsto ed osservato nel
1700, è conseguenza e prova al tempo
stesso della rotazione diurna.
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7
Studieremo il fenomeno in queste ipotesi:
i) il grave si trovi all’equatore;
ii) la caduta sia al massimo di qualche km e
perciò g sia costante.
iii) il moto di rivoluzione della Terra si
possa considerare rettilineo ed uniforme
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8
Rotazione terrestre
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Est
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Principio
d’inerzia!!
Rotazione terrestre
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Est
10
In un moto circolare ed uniforme
la grandezza caratteristica è la
velocità angolare ω (rad/s)
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11
la relazione tra velocità (periferica) V
di un punto e velocità angolare è:
V = ω r (m/s)
r distanza dall’asse di rotazione
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12
Rotazione terrestre
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Est
13
Chiedo aiuto ad
ad un
osservatore
inerziale!
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14
Eccomi!
Son Marziale
l’osservatore
inerziale!*
*segue la Terra nel moto
di rivoluzione e per lui
le stelle sono ferme
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15
Per Marziale tutto il nostro
mondo gira (torre, grave e Terra)
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16
Marziale non si stupisce della deviazione,
perché per lui non c’è motivo che il moto del
grave sia legato al moto della torre o della Terra
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17
Il mio fiuto dice:
problema dei
due corpi!
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18
Problema dei due corpi
m
M
In presenza della sola gravità, come
si muove m rispetto ad M?
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Problema dei due corpi
Risolto da Newton per giustificare le
leggi di Keplero con la sua legge
mM
F G 2
r
m = pianeta
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M = Sole
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20
Problema dei due corpi
due conclusioni
m
M
a) la traiettoria di m rispetto ad M è
una conica
b) si conserva il momento angolare di
m rispetto al centro di M
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21
Nel nostro caso per
m = grave
M = Terra
a) omissis
b) si conserva il momento angolare di
m rispetto al centro di M (la Terra)
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22
Momento ANGOLARE
o momento della quantità di moto
rispetto ad un punto O (centro della Terra)
m
V
 0  m V  r
r
 0  mVr
r
O
07.04.2010
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23
V0
Calcolo M0
alla partenza
r0
 0  mV0 r0
07.04.2010
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24
m si muove..*
V
r
Rotazione terrestre
Est
*per noi cade
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25
..scompongo V
..in due vettori
V
r
07.04.2010
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26
Vt
..ottengo…
V
Vr
r
Est
Vr velocità radiale diretta al centro della Terra
Vt velocità trasversa verso Est (Vt
Vr )
r è la distanza dal centro della Terra
07.04.2010
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27
Calcolo M1
nella nuova
posizione
Vt
Vr
V
r
1  m  V  r
non dipende da Vr
M1 momento angolare dipende solo da Vt
07.04.2010
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28
quindi M1
vale.
Vt
Vr
V
r
M1 momento angolare nella nuova posizione
1  mVt r
07.04.2010
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29
V0
..ma M1 =
M0
Vt
V
r0
r
Est
mVt r  mV0 r0
07.04.2010
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30
V0
..semplifico
per m…
V
Est
r0 r
mVt r  mV0 r0
07.04.2010
..la deviazione
non dipende da m
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
31
V0
..ricavo Vt…
Vt
V
r
Est
r0
Vt r  V0 r0
07.04.2010
V0 r0
Vt 
r
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
32
V0
..ma se r0 > r
Vt
V
r
r0
V0 r0
Vt 
r
07.04.2010
..ricavo che
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
r0
1
r
Est
33
V0
..da r0 > r..
Vt
V
r
r0
V0 r0
Vt 
r
07.04.2010
..segue Vt > V0 : poiché
Vt è la velocità verso
Est, m accelera verso Est
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
Est
34
La deviazione c’è! Per poter
procedere….
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35
…vi racconto una storiella..
07.04.2010
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36
.. se da lontano vedo il corpo
m(viola) su una nave…..
07.04.2010
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37
…e mi accorgo che m si muove:
per es. avanza verso prua…
07.04.2010
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38
…e mi accorgo che m si muove:
per es. avanza verso prua…
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
39
…e mi accorgo che m si muove:
per es. avanza verso prua…
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
40
…come posso calcolare la sua
velocità di avanzamento rispetto
alla nave?
07.04.2010
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41
Semplice, vi dico! “Misuro la
velocità (ciclamino) dell’oggetto ..
07.04.2010
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42
..poi misuro la velocità della nave
(giallo)
07.04.2010
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43
…la differenza dei vettori
ciclamino e giallo mi dà la
velocità richiesta (rosso)
07.04.2010
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44
.. quella che misuro io è la velocità
assoluta, quella rispetto alla nave è la
velocità relativa, la velocità della
nave è la velocità di trascinamento
07.04.2010
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45
..si deduce la seguente ed
importante formula..
Vass  Vrel  Vtrasc
07.04.2010
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46
Vass  Vrel  Vtrasc
..ovviamente da questa
formula si ricava anche…
Vrel  Vass  Vtrasc
07.04.2010
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47
..facciamo questa analogia…
=
=
07.04.2010
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48
..io conosco la
velocità assoluta
del grave.. *
Vass
Est
*grazie alla conservazione
del momento angolare
07.04.2010
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49
..e calcolerò la
velocità relativa,*
ergo la deviazione
Vass
Est
*grazie alla
Vrel  Vass  Vtrasc
07.04.2010
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50
..mi concentro sul
moto verso Est..
VT
VR
Vass
Est
07.04.2010
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51
..pongo VT
(velocità assoluta
verso Est) Vass
VT
r
Est
Vass
07.04.2010
V0 r0
 VT 
r
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
52
..la velocità di trascinamento è quella
della Terra*
Vtrasc
r
Est
*la Terra ruota!
07.04.2010
Vtrasc    r
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
53
..ergo la velocità
relativa alla Terra è..
Vass
Vtrasc
Vrel
r
Est
V0 r0
Vrel 
 r
r
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
54
V0
..V0 era la velocità
all’inizio*…
r0
Est
* ruotava con la Terra
alla distanza r0 da cui
07.04.2010
V0    r0
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
55
..da queste due relazioni si trova
la velocità di m verso Est...
V0 r0
Vrel 
 r
r
Vrel 
07.04.2010
r0
r
2
V0    r0
 r
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
56
..ora qualche calcoletto..
Vrel 
07.04.2010
  r0 2
r
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
 r
57
..ora qualche calcoletto..
Vrel 
Vrel 
07.04.2010
  r0 2
r
 r
  r0 2    r 2
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
r
58
..ora qualche calcoletto..
Vrel 
Vrel 
  r0 2
r
  r0 2    r 2
Vrel 
07.04.2010
 r
r
  (r0 2  r 2 )
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
r
59
..ancora qualche calcoletto..
Vrel 
07.04.2010
  (r0 2  r 2 )
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
r
60
..ancora qualche calcoletto..
Vrel 
Vrel 
07.04.2010
  (r0 2  r 2 )
r
  (r0  r )( r0  r )
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
r
61
..ancora qualche calcoletto..
Vrel 
Vrel 
Vrel
07.04.2010
  (r0 2  r 2 )
r
  (r0  r )( r0  r )
r
(r0  r )

 (r0  r )
r
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
62
..continuo ad usare le regole
dell’algebra..
Vrel
07.04.2010
(r0  r )

 (r0  r )
r
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
63
..continuo ad usare le regole
dell’algebra..
07.04.2010
Vrel
(r0  r )

 (r0  r )
r
Vrel
 r0 
     1  (r0  r )
r

D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
64
..ma il grave cade solo per
qualche km*..ergo..
Vrel
 r0 
     1  (r0  r )
r

per una altezza di 5 km
* r0  1
r
07.04.2010
r0 6383

 1.00078
r 6378
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
65
..ma il grave cade solo per
qualche km*..ergo..
Vrel
 r0 
     1  (r0  r )
r

Vrel    1  1 (r0  r )
* r0  1
r
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
66
..e allora...
Vrel
 r0 
     1  (r0  r )
r

Vrel    1  1 (r0  r )
Vrel  2    (r0  r )
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
67
..per finire pongo..
VEST  Vrel  2    (r0  r )
VEST è la velocità con la quale m si
muove verso Est rispetto alla Terra,
responsabile della deviazione
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
68
..torniamo
all’inizio*..
r0
*m dista r0 dal centro della Terra
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
69
..dopo un
po’*..
r
*m ora dista r dal centro della Terra: è sceso (caduto) di
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
x  r0  r
70
..riprendo la velocità di
verso Est*..
VEST  2    (r0  r )
*la velocità verso Est dà la
deviazione di
dalla verticale
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
71
.. sostituisco..
VEST  2    (r0  r )
x  r0  r
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
72
.. ottengo..
VEST  2    (r0  r )
x  r0  r
VEST  2    x
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
73
..per voi terrestri x è
lo spazio percorso
da m nella caduta.*
*non vi accorgete
che tutto gira
07.04.2010
x
VEST  2    x
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
74
..per me x è l’avvicinamento di m al
centro della Terra.*
*io la vedo
così..
07.04.2010
x
VEST  2    x
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
75
.. x, per voi
obbedisce alla legge
di caduta dei gravi...
x
1 2
x  gt
2
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
76
..e allora deduco per
voi, se x=...
1 2
x  gt
2
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
77
..e allora deduco per
voi, se x= ..allora VEST
1 2
x  gt
2
VEST  2    x
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
78
..e allora deduco per
voi, se x= ..allora VEST
…sostituisco
1 2
x  gt
2
VEST  2    x
VEST
07.04.2010
1 2
2
 2    gt    gt
2
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
79
..e infine la velocità
verso Est per voi
terrestri vale…*
VEST    gt
2
*in funzione di t tempo di caduta
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
80
..ho finito! Ora potete cavarvela
da soli. Ciao..*
VEST    gt
2
*attenti! Marziale cerca di
imbrogliarci!
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
81
Ma all’inizio non si era detto che la
nostra legge era sbagliata???*
1 2
s  gt
2
s spazio di caduta
*infatti si voleva confutare
la legge scritta qui sopra
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
82
Consiglio: provvisoriamente
prendila per buona, poi la
migliorerai! Addio!
1 2
s  gt
2
VEST    gt
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
2
83
Riservato a chi conosce l’analisi
dalla velocità
VEST    gt
2
per semplice integrazione si ricava lo
spazio percorso verso Est
t
t
s(t )   VEST (t )dt     gt dt
2
0
07.04.2010
0
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
84
Riservato a chi conosce l’analisi
t
t
s(t )   VEST (t )dt     gt dt
2
0
0
1
3
s (t )    gt
3
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
85
Chiameremo questo spazio
deviazione δ (verso Est)
1
3
 (t )    gt
3
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
86
Nella formula della deviazione δ
c’è la velocità angolare ω della Terra
1
3
 (t )    gt
3
2
2
5


 7.27 10 rad / s
T
86400
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
87
1
3
 (t )    gt
3
La deviazione δ è piuttosto piccola
perciò sfugge rispetto ad altre cause
che modificano il moto: il vento in
primis, i moti convettivi dell’aria..
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
88
1
 (t )    gt 3
3
1 2
h  gt
2
2h
t
g
2
2
h
Deviazione verso Est  (h)    h
3
g
dall’altezza h
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
89
2
2h
 ( h)    h
3
g
Deviazioni (teoriche) all’equatore
h (metri)
δ(h) (metri)
100
0,022
200
0,062
500
0,24
2000
1,96
3000
3,61
5000
7,74
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
90
La deviazione teorica alla latitudine λ
(Nord o Sud) sempre minore dell’
equatore e che si annulla ai poli è data da..
   Eq cos 
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
91
La deviazione teorica per un corpo che
cade dalla torre degli Asinelli (h =97 m)
a Bologna latitudine di circa 45º è…
  15,3mm
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
92
La deviazione teorica per un corpo che
cade dalla torre degli Asinelli (h =97 m)
latitudine circa 45º è…
  15,3mm
Guglielmini nel
1791-92 trovò
  17mm
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
93
Per i curiosi: ecco le leggi di
caduta all’equatore calcolate
con la meccanica razionale:
 (t ) 
1
4
2
g  2t  sin( 2t )
2
1 2 gt
x(t )  gt 
 2t  sin( 2t )
2
2
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
94
La resistenza dell’aria, ritardando
il moto fa aumentare anche di
molto questa deviazione verso
Est che si manifesta sia a Nord
che a Sud dell’equatore.
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
95
Chiediamo a Marziale cosa succederebbe
applicando solo il principio d’inerzia*
Vass
Vtrasc
Vrel
r
Est
*la velocità di trascinamento è la stessa
07.04.2010
Vrel  Vass    r
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
96
..cambia Vass che nel
moto è sempre V0 ..
Vass
Vtrasc
Vrel
r
Est
Vrel  V0    r
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
97
..quindi
Vrel  V0    r
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
98
..quindi
Vrel  V0    r
V0    r0
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
99
..quindi
Vrel  V0    r
V0    r0
Vrel    r0    r
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
100
..quindi
Vrel  V0    r
V0    r0
Vrel    r0    r
Vrel   (r0  r )
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
101
..in definitiva, col
trucco di prima..
Vrel   (r0  r )
Vrel    x
07.04.2010
D.Zamburlini - Deviazione dei gravi
102
..mi puzza che la deviazione
sia proprio la metà!
Vrel   (r0  r )
Vrel    x
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La deviazione è un caso
particolare dell’effetto Coriolis,
il quale riguarda tutti i corpi
che si muovono sulla Terra
(anche i treni); ma soprattutto
i corpi veloci (proiettili) o
quelli che coprono lunghe
distanze (venti, correnti marine)
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Osserviamo le direzioni dei venti
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Osserviamo le correnti marine
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Osserviamo le correnti marine
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Effetto Coriolis:
i corpi che si muovono sulla Terra
per effetto della sua rotazione
deviano verso destra nel nostro
emisfero e verso sinistra
nell’emisfero Sud
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Effetto Coriolis:
ha una qualche importanza
nei tiri d’artiglieria a
lunga gittata e quindi
nelle battaglie navali
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Incrociatore Gneisenau (tedesco)
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Ammiragli Cradock e von Spee
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Ammiragli von Spee e Sturdee
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Che ci azzecca Coriolis e gli aerei di linea?
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Viaggiano meglio verso Est!!
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Per concludere: adesso che l’artiglieria
e le battaglie navali non sono più di
moda e che i missili a lunga gittata
sono guidati risolvendo il problema dei
due corpi,
ci ricordiamo dell’effetto Coriolis solo
in occasione di vortici d’acqua e
di trombe d’aria (tornados).
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..e io mi auguro che questa
conversazione vi abbia colpito ed
interessato abbastanza da poterla
raccontare sia ai vostri figli che ai
vostri nipoti
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