Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
ad azione
Giulio Cazzoli
v 1.2 – Maggio 2014
Si chiede di effettuare il dimensionamento di massima di una turbina a vapore da utilizzarsi in un impianto cogenerativo in contropressione, le cui specifiche sono riportate in
tabella:
Potenza elettrica Pe = 575.0 kW
Pressione di ingresso pin = 25.0 bar
Temperatura d’ingresso tin = 400.0 ◦C
Pressione di uscita pus = 3.0 bar
La soluzione prevede diversi passi, qui brevemente elencati:
• scelta del tipo di architettura della macchina
• calcolo dei triangoli di velocità e stima del rendimento interno
• dimensionamento del distributore
• dimensionamento della/e giranti
• dimensionamento degli eventuali raddrizzatori
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Scelta del tipo di architettura della macchina
Si scarta a priori la scelta di una macchina a reazione, essendo questo tipo di turbina destinata
agli impianti ad elevata potenza (decine/centinaia di megawatt, vedi centrale di Porto Tolle),
concentrandosi su di una macchina ad azione.
Nelle macchine ad azione il salto entalpico viene convertito in velocità esclusivamente nel
diffusore, applicando l’equazione di conservazione dell’energia tra le sezioni di ingresso (in)
e di uscita (us) del diffusore, trascurando il termine geodetico:
c2
c2in
+ hin = us + hus
2
2
la velocità di uscita dal distributore cus si ricava, trascurando cin rispetto a cus , semplicemente
con:
p
cus = 2(hin − hus )
Dai dati forniti nel testo e dal diagramma di Mollier (figura 1), o da fonti equivalenti, si
ricava il valore di entalpia nello stato fisico di inizio espansione (in):
pin = 25.0 bar ∩ tin = 400 ◦C =⇒ hin = 3240.00 kJ/kg e sin = 7.0168 kJ/(kg ◦C)
considerando, in questa prima fase, l’espansione teorica, lo stato con cui il vapore abbandona
la turbina (us) viene definito, sempre ricorrendo al diagramma di Mollier, mediante una
trasformazione isoentropica:
pus = 3.0 bar ∩ sus = sin = 7.0168 kJ/(kg ◦C) =⇒ hus = 2735.20 kJ/kg e tus = 131.13 ◦C
Pertanto la massima velocità assunta dal fluido vale:
p
cus = 2 · (3240.00 − 2735.20) · 1000 = 1004.79 m/s
Il criterio di massimo rendimento teorico in condizioni di sicurezza:
cus cos αus
uηmax =
< 300 m/s
2k
con k dipendente dal tipo di macchina, guida nella scelta della architettura.
Assumendo un angolo di ingresso alla girante pari a:
αus = 20.00◦
la velocità tangenziale in condizioni di massimo rendimento, per le diverse tipologie, vale:
turbina ad azione semplice
k=1
uη,max = 472.19 m/s
turbina a due salti di velocità
k=2√ uη,max = 236.09 m/s
turbina a due salti di pressione k=√2 uη,max = 333.90 m/s
turbina a tre salti di pressione k= 3 uη,max = 272.62 m/s
Le due architetture che rispettano il criterio di massima velocità periferica sono la turbina
a due salti di velocità o a tre salti di pressione.
Tuttavia, vista la richiesta di prestazioni non eccezionali del caso in esame, non si giustifica
la scelta di una macchina a salti di pressione, sicuramente più costosa e complessa, preferendo
una macchina a due salti di velocità, che, seppur caratterizzata da rendimenti minori, risulta
costruttivamente più semplice e, quindi, particolarmente indicata per potenze ridotte (max
1000 kW).
2
entalpia [kJ/kg]
3
2400
2600
2800
3000
3200
3400
5
5.5
25 bar
6
Figura 1: Individuazione del salto entalpico teorico
1 bar
entropia [kJ/(kg ˚C)]
6.5
3 bar
7
7.5
150˚C
200˚C
250˚C
300˚C
350˚C
400˚C
450˚C
8
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Calcolo dei triangoli di velocità
Distributore
Considerando una macchina ad azione, il salto entalpico viene convertito integralmente nel
diffusore. Applicando l’equazione di conservazione dell’energia tra le sezioni di ingresso (0)
e di uscita (1t) in cui si è trascurato il termine geodetico:
c20
c2
+ h0 = 1t + h1t
2
2
la velocità di uscita dal distributore c1t si ricava, trascurando c0 rispetto a c1t , semplicemente
con:
p
c1t = 2(h0 − h1t )
Dai dati forniti nel testo e dal diagramma di Mollier (figura 1), o da fonti equivalenti, si
ricava il valore di entalpia nello stato fisico 0 di inizio espansione:
p0 = 25.0 bar ∩ t0 = 400 ◦C =⇒ h0 = 3240.00 kJ/kg e s0 = 7.0168 kJ/(kg ◦C)
considerando, in questa prima fase, l’espansione teorica, lo stato con cui il vapore abbandona la turbina (1t) si trova, sempre ricorrendo al diagramma di Mollier, mediante una
trasformazione isoentropica:
p1 = 3.0 bar ∩ s1t = s0 = 7.0168 kJ/(kg ◦C) =⇒ h1t = 2735.20 kJ/kg e t1t = 131.13 ◦C
Pertanto la massima velocità assunta dal fluido vale:
p
c1t = 2 · (3240.00 − 2735.20) · 1000 = 1004.79 m/s
Come assunto nella sezione precedente consideriamo l’angolo di uscita dal diffusore:
α1 = 20.00◦
Per tener conto delle dissipazioni indotte dall’attrito con le pareti del diffusore e dovute
alla deviazioni della vena fluida, la velocità teorica in uscita viene ridotta mediante l’introduzione di un coefficiente di perdita il cui valore si ricava dal diagramma di figura 2 in
funzione del rapporto tra le pressioni e dell’angolo di uscita:
p1
25.0
=
≈ 8.3 =⇒ ϕd = 0.9500
p0
3.0
3400
450˚C
400˚C
3200
φ
350˚C
300˚C
0.98
0.96
α
entalpia [kJ/kg]
3000
=
30
1
250˚C
200˚C
2800
150˚C
°
0.94
α
1
0.92
2600
=
3 bar
15
25 bar
°
1 bar
2400
0.90
1
2
3
4
6
8 10
15 20
p0/p
5
1
5.5
6
6.5
7
7.5
entropia [kJ/(kg ˚C)]
Figura 2: Cifra di perdita per il distributore
Figura 3: Espansione ideale e reale
4
8
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
300
u
w1
u
c1
250
w1
c2
200
w2
β2
w2
c1
c2
150
β1
α2
α1
100
50
0
-600
Figura 4: Triangolo delle velocità della
prima girante, angoli di riferimento
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
Figura 5: Triangoli di velocità ingresso/uscita della prima girante
pertanto la velocità di uscita dal distributore varrà:
c1 = ϕd ct = 0.9500 · 1004.79 = 954.55 m/s
Tenendo conto della perdite nel diffusore, si può definire la velocità periferica in condizione
di massimo rendimento teorico come:
uηmax =
c1 cos α1
954.55 · cos 20.00
=
= 224.25 m/s
4
4
In condizioni “reali” questa velocità subisce una riduzione a causa delle perdite nelle giranti
e nel raddrizzatore.
In prima approssimazione, trascuriamo le successive perdite e assumiamo:
u = 224.25 m/s
verificheremo successivamente se la velocità di trascinamento deve essere modificata per
massimizzare il rendimento.
Prima girante
Ingresso
Il vapore entra nella prima girante con velocità (assoluta) e direzione:
α1 = 20.00◦
c1 = 954.55 m/s
quindi:
w1 =
=
q
c21 + u2 − 2uc1 cos α1
√
954.552 + 224.252 − 2 · 224.25 · 954.55 · cos 20.00 = 747.77 m/s
e:
β1 = arcsin
c1 sin α1
w1
= arcsin
5
954.55 · sin 20.00
747.77
= 25.89◦
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Uscita
Per la deviazione simmetrica:
β2 = 180 − β1 = 180 − 25.89 = 154.11◦
L’angolo di deviazione vale:
ε = β2 − β1 = 154.11 − 25.89 = 128.23◦
quindi la perdita (secondo Vavra):
ψg1 = 0.99 − 2.283 ·
ε
128.23
4.97
4.97
= 0.99 − 2.283 ·
= 0.8647
−
−
4
4
10
180 − ε
10
180 − 128.23
e la velocità relativa in uscita si riduce a:
w2 = ψg1 w1 = 0.8647 · 747.77 = 646.62 m/s
La velocità assoluta in uscita si calcola con:
q
c2 = w22 + u2 − 2uw2 cos(180 − β2 )
p
= 646.622 + 224.252 − 2 · 224.25 · 646.62 cos(180 − 154.11) = 455.52 m/s
inclinata di:
α2 = 180 − arcsin
w2 sin β2
c2
= 180 − arcsin
646.62 · sin 154.11
455.52
Raddrizzatore
Si sceglie di realizzare un raddrizzatore simmetrico, quindi:
α3 = 180 − α2 = 38.30◦
L’angolo di deviazione del flusso vale dunque:
ε = α2 − α3 = 141.70 − 38.30 = 103.40◦
quindi il coefficiente di perdita:
4.97
ε
−
4
10
180 − ε
103.40
4.97
= 0.99 − 2.283 ·
−
= 0.9015
4
10
180 − 103.40
ψr = 0.99 − 2.283 ·
e infine la velocità all’uscita del raddrizzatore:
c3 = ψr c2 = 0.9015 · 455.52 = 410.66 m/s
6
= 141.70◦
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
w4
u
c4
w3 u
250
c3
200
w3
150
α4
α3
β3
w4
c3
c4
100
50
β4
0
-100
Figura 6: Triangolo delle velocità della
seconda girante, angoli di riferimento
-50
0
50
100
150
200
Ingresso
Il vapore entra nella seconda girante con velocità (assoluta) e direzione:
α3 = 38.30◦
c3 = 410.66 m/s
quindi:
q
c23 + u2 − 2uc3 cos α3
√
= 410.662 + 224.252 − 2 · 224.25 · 410.66 · cos 38.30 = 272.74 m/s
e:
β3 = arcsin
c3 sin α3
w3
300
350
Figura 7: Triangoli di velocità ingresso/uscita della seconda girante
Seconda girante
w3 =
250
= arcsin
410.66 · sin 38.30
272.74
= 68.93◦
Uscita
Per la deviazione simmetrica:
β4 = 180 − β3 = 180 − 68.93 = 111.07◦
L’angolo di deviazione vale:
ε = β4 − β3 = 111.07 − 68.93 = 42.13◦
quindi la perdita (secondo Vavra):
ε
4.97
−
4
10
180 − ε
42.13
4.97
= 0.99 − 2.283 ·
−
= 0.9443
4
10
180 − 42.13
ψg2 = 0.99 − 2.283 ·
7
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
e la velocità relativa in uscita si riduce a:
w4 = ψg2 w3 = 0.9443 · 272.74 = 257.55 m/s
La velocità assoluta in uscita si calcola con:
q
c4 = w42 + u2 − 2uw4 cos(180 − β4 )
p
= 257.552 + 224.252 − 2 · 224.25 · 257.55 · cos(180 − 111.07) = 274.04 m/s
inclinata di:
α4 = 180 − arcsin
w4 sin β4
c4
= 180 − arcsin
257.55 · sin 111.07
274.04
= 61.28◦
Riassunto
In tabella 1 sono riassunti i valori delle velocità e degli angoli nelle sezioni caratteristiche
della macchina.
0
1
2
3
4
c [m/s]
0
954.55
455.52
410.66
274.04
α [◦ ]
90
20.00
141.70
38.30
61.28
w [m/s]
–
747.77
646.62
272.74
257.55
β [◦ ]
–
25.89
154.11
68.93
111.07
u [m/s]
–
224.25
224.25
224.25
224.25
Tabella 1: Dati dei triangoli di velocità nelle diverse sezioni
I triangoli di velocità sono riportati in figura 8, si può osservare come la velocità di scarico
non sia assiale, evidenziando una perdita di efficienza.
8
0
-600
50
100
150
200
250
300
w2
-400
c2
-200
w4
0
w3
c4
200
c3
400
w1
600
c1
800
1000
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Figura 8: Triangoli di velocità della ruota Curtis in condizioni reali di primo progetto
9
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Ottimizzazione
Il confronto tra i triangoli di velocità ottenuti dal progetto (figura 9) e quelli in condizioni
teoriche (figura 10), evidenzia come la presenza delle perdite allontani dalla condizione
ottimale in cui lo scarico è perfettamente assiale.
Per minimizzare la perdita allo scarico è necessario minimizzare gli effetti combinati di
due tipologie di perdite: energia cinetica associata alla c4 , perdite per attrito attraverso i
canali palari. La soluzione è un compromesso che porta ad avere ancora uno scarico con c4
deviata dalla parte di u, anziché perfettamente assiale.
Applicazione del criterio di ottimizzazione
Consideriamo le cifre di perdita costanti, pari a quelle della prima iterazione
Nel caso di dimensionamento simmetrico è possibile verificare se i triangoli ottenuti siano
ottimi, mediante il confronto con la cifra Θopt .
Con la configurazione di primo tentativo si ottiene:
A = 1 + ψg1 + ψg1 ψr (1 + ψg2 ) = 1 + 0.8647 + 0.8647 · 0.9015 (1 + 0.9443) = 3.38
e
B = (1 + ψg2 ) (1 + ψr ) = (1 + 0.9443) (1 + 0.9015) = 3.70
quindi:
Θopt =
A
= 0.24
2(A + B)
la velocità tangenziale in condizione di massimo rendimento vale dunque:
uη = Θopt c1 cos α1 = 0.24 · 954.55 · cos 20.00 = 214.21 m/s
differente da quella di primo tentativo (u = 224.25 m/s) di circa il 4.5%.
Per giungere ad una condizione di ottimo è necessario procedere per iterazioni successive, utilizzando il valore uη e la procedura di definizione dei triangoli di velocità (c1 e α1
rimangono invariati in quanto definiti dal diffusore), ricalcolando il nuovo valore di uη sino
a quando la variazione di velocità tangenziale non diventa accettabilmente piccola, indice di
raggiungimento della condizione di massimo rendimento.
300
350
300
250
w1
c1
w2
c2
w1
c1
250
200
w2
c2
w4
c4
w3
c3
200
w4
150
w3
c4
c3
150
100
100
50
0
-600
50
-400
-200
0
200
400
600
800
0
-800
1000
Figura 9: TdV in condizioni reali
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
Figura 10: TdV in condizioni teoriche
ottimali
10
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
0
1
2
3
4
c [m/s]
0
954.55
458.27
413.13
237.98
α [◦ ]
90
18.00
146.18
33.82
65.84
w [m/s]
–
751.35
649.69
262.41
247.79
β [◦ ]
–
23.12
156.88
61.20
118.80
u [m/s]
–
216.80
216.80
216.80
216.80
Tabella 2: Valori per il massimo rendimento dei triangoli di velocità nelle diverse sezioni
Nel caso specifico bastano poche interazioni per ottenere la configurazione di tabella 2.
Confrontando le due soluzioni (figure 11 e 12) si può apprezzare il progressivo spostamento
della c4 verso la direzione assiale, indice di una minore lavoro dissipato. Resta una certa
deviazione dovuta alle non eliminabili perdite.
Il confronto tra lavoro e rendimento a seguito della ottimizzazione è riportato in tabella 3
Lavoro
Rendimento
Iniziale
324054.79
0.6419
Ottimizzato
332654.60
0.6590
Tabella 3: Confronto tra le configurazioni
11
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
300
250
w1
200
w2
c1
c2
w4
150
w3
c4
c3
100
50
0
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
Figura 11: TdV in condizioni di primo progetto
300
250
w1
200
w2
c1
c2
w3
c4
w4
150
c3
100
50
c
w
u
0
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
Figura 12: TdV in condizioni di massimo rendimento
12
1000
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Lavoro e Perdite energetiche
Lavoro specifico
Mediante la relazione di Eulero si calcola il lavoro raccolto da ciascuna girante.
Per la prima girante:
l1 = u (1 + ψg1 ) (c1 cos α1 − u)
= 224.25 (1 + 0.8647) (954.55 cos(20.00) − 224.25)
= 281 310.44 J/kg
analogamente per la seconda:
l2 = u (1 + ψg2 ) (c3 cos α3 − u)
= 224.25 (1 + 0.9443) (410.66 cos(38.30) − 224.25)
= 42 744.35 J/kg
Pertanto il lavoro specifico totale vale:
lt = l1 + l2 = 281310.44 + 42744.35 = 324 054.79 J/kg
Rendimento isoentropico
Il rendimento interno è il rapporto tra il lavoro ottenuto e il massimo disponibile, quindi il
salto entalpico totale:
324.05
lt
ηis =
= 0.6419 (64%)
=
∆hteo
504.80
Rendimento isoentropico per via “termica”
Il rendimento isoentropico della turbina, si può anche definire come rapporto tra il salto
entalpico effettivamente sfruttato e quello reso disponibile:
P
p=d,g1,rd,g2,s ∆hp
ηis = 1 −
∆hteo
Diffusore
∆hd =
c21t
1004.792
· (1 − ϕ2d ) =
· (1 − 0.95002 ) = 49 218.00 J/kg
2
2
Prima girante
∆hg1 =
w12
747.772
2
· (1 − ψg1
)=
· (1 − 0.86472 ) = 70 521.05 J/kg
2
2
Raddrizzatore
∆hrd =
455.522
c22
· (1 − ψr2 ) =
· (1 − 0.90152 ) = 19 430.78 J/kg
2
2
13
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Seconda girante
∆hg2 =
w32
272.742
2
· (1 − ψg2
)=
· (1 − 0.94432 ) = 4025.63 J/kg
2
2
Perdite allo scarico Occorre infine considerare persa anche tutta l’energia cinetica allo
scarico:
c2
274.042
∆hs = 4 =
= 37 549.75 J/kg
2
2
Rendimento isoentropico Note le perdite il rendimento vale:
ηis = 1−
180.75
49218.00 + 70521.05 + 19430.78 + 4025.63 + 37549.75
= 1−
= 0.6419 (64%)
504.80 · 1000
504.80
Coincidente con quello ottenuto mediante la valutazione del lavoro (possono nascere piccole
differenze dovute agli arrotondamenti).
14
entalpia [kJ/kg]
15
Figura 13: Stati fisici reali
2400
2600
2800
3000
3200
3400
5
5.5
25 bar
6
1 bar
entropia [kJ/(kg ˚C)]
6.5
3 bar
7
teo
d
r
g1
g2
7.5
sc
150˚C
200˚C
250˚C
300˚C
350˚C
400˚C
450˚C
8
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Dimensionamento dei componenti
Il progetto dei triangoli di velocità ha interessato una macchina “ideale”, in cui non si teneva
conto degli spessori delle pale, concentrandosi sul lavoro specifico, quindi il lavoro (o la
potenza) ottenuta per unità di massa (o di portata in massa) di fluido smaltita.
Per soddisfare la richiesta di potenza di progetto, la macchina “reale” dovrà far fluire
una certa quantità di vapore, diviene, quindi, necessario definire la sezione dei condotti,
tenendo conto che ciascuna pala dovrà esser dotata di spessore. La scelta delle sezioni di
passaggio viene limitata da considerazioni sia fluidodinamiche (per non accrescere le perdite)
che costruttive.
Scelta dell’alternatore
Per ridurre al minino i costi di impianto si sceglie di impiegare un generatore sincrono ad
una coppia polare, riducendo leggermente la sua velocità di rotazione per tener conto dei
fenomeni di scorrimento:
nal = 2940 rpm
Calcolo della portata in massa
Ricordando che la potenza elettrica raccolta ai morsetti dell’alternatore si esprime con:
Pe = ṁv (h0 − h1t ) · ηis ηm ηa
è immediato calcolare la portata di vapore che deve fluire nella turbina:
ṁv =
Pe
(h0 − h1t ) · ηis ηm ηa
Ipotizzando valori ragionevoli per il rendimento meccanico della macchina (ηm = 0.97)
e il rendimento dell’alternatore (ηa = 0.98) ed utilizzando l’espressione del rendimento
isoentropico precedentemente calcolata si ha:
575.0
ṁv =
≈ 1.867 kg/s
(3240.00 − 2735.20) · 0.6419 · 0.97 · 0.98
Diametro medio e altezza delle pale
La velocità in uscita dal distributore è nota dalla definizione dei triangoli di velocità:
cu = c1 = 954.55 m/s
il volume specifico si ottiene dalle tabelle (o dal grafico di Mollier):
h1 = h1t + ∆hd = 2784.42 kJ/kg
=⇒ νu = 0.6521 m3 /kg
p1 = 3.0 bar
Quindi l’area totale di uscita dal diffusore vale:
νu
0.6521
= 1.867 ·
(·104 ) = 12.64 cm
Au = ṁv
cu
954.55
e la superficie frontale Af necessaria allo smaltimento della portata vale
Af =
Au
12.64
=
= 36.96 cm
sin α1
sin 20.00
16
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Accoppiamento diretto Si ipotizzi inizialmente di prevedere l’accoppiamento diretto tra
turbina ed alternatore:
nal = ntu = n
Di conseguenza, nota la velocità periferica, si ricava subito il diametro medio Dm :
Dm =
60 · 224.25
60 · u
=
= 1.46 m
πn
π · 2940
Nel caso di ammissione totale, assunto un coefficiente di ingombro palare σ = 0.95,
l’altezza della corona palare vale:
H0 =
Af
36.96
=
= 0.085 cm
σπDm
0.95 · π · 1.46 · 100
valore troppo basso per essere costruttivamente accettabile.
Forzato un valore accettabile di altezza palare, per la potenza e le dimensioni in gioco,
pari a:
H0 = 1 cm
L’area di efflusso viene soddisfatta mediante l’ammissione parziale con arco di ammissione:
θd =
360 · 36.96
= 33.01◦
0.95 · π · 1.46 · 100 · 1
Ancora una volta questo valore non è accettabile poiché produrrebbe perdite troppo elevate,
legate all’incompleto riempimento dei canali.
Moltiplicatore di velocità Fissando, ad esempio, l’ampiezza dell’arco di ammissione a:
θd = 100.00◦
valore usuale per le macchine ad azione, mantenendo l’altezza delle pale H0 = 1 cm, il
diametro medio diviene:
Dm =
1
360 · 36.96
360Af
=
·
= 0.446 m
σπθd H0
100 0.95 · π · 100.00 · 1
La velocità di rotazione, in giri al minuto, varrà dunque:
ntu =
60 · u
60 · 224.25
=
≈ 9600 rpm
πDm
π · Dm
evidenziando la necessità di un moltiplicatore di giri.
Dimensionamento del palettamento della prima girante
Il dimensionamento dei palettamenti della girante viene effettuato in maniera semplificata
sulla base della teoria monodimensionale. Uno schema di base del palettamento è riportato
in figura 14.
Per il primo palettamento mobile si ipotizza una lunghezza assiale:
lg1 = 20 mm
17
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
s
p
c
β1
rd
rv
β2
β1
u
lg
β2
Figura 14: Schema del palettamento della girante
p = 0.75 · lg1 = 0.75 · 20 = 15 mm
Poiché sulla girante le pale devono essere disposte su tutti i 360◦ , si ricava il numero di
pale:
πDm
π · 0.446
Np =
=
= 85.87 ≈ 86
p
15
Per un numero di pale pari a 86il passo esatto risulta, invertendo la formula, p = 14.98 mm.
Dall’esperienza progettuale si fissa poi uno spessore frontale delle pale:
s = 0.025 · lg1 = 0.025 · 20 = 0.58 mm
Con riferimento allo schema di figura 14 si ricava la larghezza del condotto:
c = (p − s) sin β1 = (14.98 − 0.58) sin ≈ 5.6 mm
Per definire in maniera completa la geometria (semplificata) della pala mancano i due raggi di curvatura di ventre e dorso, rv e rd rispettivamente; per definirli si osserva che entrambi
devono avere inclinazione iniziale pari a β1 in modo che il fluido imbocchi correttamente il
condotto senza urti. Sempre dall’analisi geometrica della figura 14 si può ricavare:
rv =
20
lg1
=
≈ 11.1 mm
2 cos β1
2 cos 25.89
rs = rv − c = 11.1 − 5.6 = 5.48 mm
Altezza palettamenti
L’altezza all’ingresso si fissa leggermente superiore a quella di uscita del distributore, per
garantire un buon imbocco del flusso. Si sceglie quindi:
H1 = 12 mm
18
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Considerando una girante “reale”, le perdite energetiche provocano la variazione di volume
specifico, quindi la sezione di uscita dovrà essere maggiore di quella di ingresso, infatti per
la conservazione della massa, considerando la larghezza del condotto palare costante:
H2 · w2
H1 · w1
=
ν1
ν2
quindi
Calcolando l’entalpia all’uscita dalla girante e consultando le tabelle del vapore o dal
grafico di Mollier, il volume specifico vale:
h2 = h1 + ∆hg1 = 2854.94 kJ/kg
=⇒ νu = 0.707 78 m3 /kg
p1 = 3.0 bar
Pertanto l’altezza del palettamento sulla sezione di uscita vale:
H2 = H1 ·
w 1 ν2
747.77 0.70778
·
= 12.0 ·
·
= 15.06 mm
w 2 ν1
646.62 0.65226
La sezione di uscita per far fronte all’aumento di volume specifico del vapore deve essere
maggiore di quella all’ingresso, per semplicità costruttiva assumeremo un palettamento ad
altezza costante, scegliendo un valore medio tra i valori di ingresso ed uscita:
H1 = H2 = 13.5 mm
Dimensionamento del raddrizzatore
Per un migliore imbocco del raddrizzatore si è soliti assumere l’altezza della sezione d’ingresso
H20 maggiore di quella di uscita dalla girante H2 :
H20 = 16.0 mm
nonostante il volume specifico non subisca variazioni nel passaggio tra girante e raddrizzatore.
Calcolando l’entalpia all’uscita dal raddrizzatore e consultando le tabelle del vapore o
dal grafico di Mollier, il volume specifico vale:
h3 = h2 + ∆hr = 2874.37 kJ/kg
=⇒ ν3 = 0.723 07 m3 /kg
p1 = 3.0 bar
Pertanto l’altezza del palettamento sulla sezione di uscita vale:
H3 = H20 ·
455.52 0.72307
c2 ν3
·
= 16.0 ·
·
= 18.13 mm
c3 ν2
410.66 0.70778
La sezione del raddrizzatore dunque sarà divergente, con altezza di uscita pari a
H3 = 19.0 mm
La lunghezza lr del raddrizzatore viene scelta 1.5 volte la lunghezza del palettamento mobile
precedente, dunque
lr = 1.5 · lg1 = 1.5 · 20 = 30 mm
19
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Dimensionamento del palettamento della seconda girante
Anche in questo caso per un migliore imbocco del palettamento si sceglie un’altezza del
palettamento superiore al precedente, pari a
H30 = 21.0 mm
Si sceglie, inoltre, la lunghezza assiale pari a quella del primo palettamento
lg2 = 20.0 mm
Calcolando l’entalpia all’uscita dalla girante e consultando le tabelle del vapore o dal
grafico di Mollier, il volume specifico vale:
h4 = h3 + ∆hg2 = 2878.40 kJ/kg
=⇒ νu = 0.726 24 m3 /kg
p1 = 3.0 bar
Pertanto l’altezza del palettamento sulla sezione di uscita vale:
H4 = H30 ·
272.74 0.72307
w1 ν2
·
= 22.12 mm
·
= 12.0 ·
w 2 ν1
257.55 0.72624
Sceglieremo com altezza della inter girante il valore medio tra ingresso ed uscita:
H4 = 21.5 mm
Dimensionamento del distributore
Forma del diffusore
La forma del diffusore cambia a seconda si raggiunga o meno in un suo punto la condizione
sonica. Come noto, tale condizione è definibile mediante il rapporto critico tra le pressioni:
rcr =
p1
p0
=
cr
2
k+1
k
k−1
il valore del rapporto critico dipende dal rapporto k = cp /cv per un vapore varia con il grado
di surriscaldamento e si può assumere nell’intorno di rcr = 0.55, mentre per un gas perfetto
vale rcr = 0.528. Considerando le condizioni nella sezione di ingresso si ha rcr = 0.53992, per
quelle della sezione di uscita rcr = 0.53813
Visto che il rapporto tra le pressioni di valle e monte del distributore vale:
p1
3.0
=
= 0.12 < rcr
p0
25.0
ed è decisamente inferiore al rapporto critico, la forma del condotto sarà convergentedivergente.
Pressione nella zona critica La pressione critica, considerando come rapporto critico
rcr = 0.54 vale:
pcr
= 0.54 =⇒ pcr = 0.54 p0 = 0.54 · 25.0 = 13.5 bar
p0
20
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Sezione di passaggio
La generica sezione del distributore si calcola dall’equazione di bilancio dell’energia applicata tra la sezione di ingresso e la sezione corrente e dalla applicazione del principio di
conservazione della massa:
p
νi
ci = 2(h0 − hi )
−→ Ai = ṁv ·
ci
ṁv = Ai · νi
ci
L’entalpia in ingresso al diffusore si ottiene direttamente dalle condizioni di progetto
(h0 = 3240.00 kJ/kg). Il valori del volume specifico (νi ) si ricava dalle tabelle o diagrammi,
solitamente in funzione della entalpia e della pressione nella zona.
Generica sezione
L’evoluzione dell’entalpia all’interno del condotto non è definita, sono note solamente le
condizioni iniziali e finali.
Un metodo semplificato per rappresentare l’evoluzione del salto entalpico è
considerare la trasformazione tra ingresso ed uscita lineare
Le sezioni di cui si calcolerà l’area di passaggio vengono individuate sulla curva di espansione
con qualunque criterio.
Visto che una sezione di estremo interesse e importanza è la sezione critica, può essere
utile definire le sezioni in base alla pressione, suddividendo l’espansione in salti di pressione
costante1 .
Lo schema logico risulta quindi:

¯
(s0 , h0 ) → (s1 , h1 ) lineare = 01
¯ → hi , νi 
su Diag. Mollier, pi ∩ 01
pi
→ Ai

ṁv
I risultati ottenuti per 8 valori di pressione2 , con l’aggiunta della pressione critica, supponendo la variazione di entalpia lineare, sono riportati in tabella 4 e sul grafico.
Numero di ugelli
Il numero di ugelli si può fissare ricorrendo alla relazione empirica:
id = (0.25 ÷ 0.33)
θd
D sin α1
360
con D espresso in millimetri. Assumendo un valore intermedio per il coefficiente si ha:
id = 0.27
92.1
400 sin 20 = 9.45 ≈ 10
360
1
Se si ricorre ad un diagramma di Mollier, questa metodologia risulta di realizzazione pratica ed immediata, se a disposizione si hanno tabelle non in funzione della pressione, il “costo” operativo sarà leggermente
superiore
2
Il primo punto viene considerato immediatamente dentro al diffusore, quindi caratterizzato da una
pressione leggermente inferiore alla pressione p1
21
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
p [bar] h [kJ/kg] s [kJ/(kg ◦C)] v [m3 /kg] c [m/s] A [cm]
25
3240
7.017
0.1201
0
–
24.78
3238
7.017
0.121
67.21
33.3
21.67
3204
7.026
0.1349
269.2
9.267
18.56
3165
7.036
0.1529
386.2
7.321
15.45
3121
7.047
0.1772
487.3
6.727
12.33
3069
7.06
0.2123
584.8
6.715
9.223
3004
7.077
0.2679
686.5
7.219
6.111
2918
7.099
0.3717
802
8.573
3
2784
7.133
0.6521
954.7
12.64
Sezione critica
13.5
3090
7.055
0.1975
548.2
6.663
Tabella 4: Valori delle grandezze termodinamiche per il calcolo delle sezioni di passaggio
Per la realizzazione pratica del distributore si supponga di utilizzare 6 condotti geometricamente uguali, tali da fornire la variazione di sezione richiesta dal dimensionamento
precedente. Ognuno di questi condotti è quindi caratterizzato da una sezione di gola pari a
1/6 della sezione di gola precedentemente calcolata e altezza fissa a 10 mm.
Sezione di gola
Calcolata la sezione di gola:
0.18
νi
= 1.87 ·
· 104 = 4.93 cm
Ag = ṁv ·
ci gola
682.74 gola
A questi dati corrisponde un valore di larghezza del condotto in gola lg :
lg =
Ag
= 8.2 mm
6 · H0
1000
15
900
14
800
13
12
600
11
500
10
400
Sezione [cm2]
Velocità [m/s]
700
9
300
8
200
Velocità
100
7
Sezione
0
6
25
20
15
10
5
0
Pressione [bar]
Figura 15: Andamento della velocità e delle
sezioni nel diffusore
22
Dimensionamento di massima di una turbina a vapore
Figura 16: Schema del distributore della turbina
Sezione frontale
Nella parte divergente occorre prestare attenzione a non scegliere l’angolo di divergenza ϑ
troppo elevato, così da scongiurare pericoli di distacchi di vena. Se si fissa ϑ = 10◦ , posto
che l’area finale del condotto sia 1/6 dell’area finale totale si ha:
lu =
L=
12.54
Au
=
= 20.9 mm
6 · H0
6·1
lu − lg
20.9 − 8.2
=
= 72.6 mm
2 tan(ϑ/2)
2 tan(5)
Se ora si fissa lo spessore s del condotto in 2 mm, si può ricavare il passo p:
p = lf + sf =
20.9 + 2
lu + s
=
= 66.9 mm
sin α1
sin(20)
L’arco di ammissione effettivo quindi risulta:
ᾱ =
360 6 · p
360 · 6 · 66.9
·
≈ 115◦
=
π
Dm
π400
Dimensione assiale del diffusore
L’inclinazione della parte convergente non risulta critica per il flusso e si è soliti raccordare
in maniera dolce la parte frontale di ingresso del distributore con la sezione di gola. Occorre
infine scegliere la lunghezza assiale del palettamento. Per essa si utilizza in genere un valore
di circa 0.7 volte il passo dei condotti:
ld = 0.7p = 0.7 · 66.9 ≈ 47 mm
Facendo riferimento alla figura 16
23