Il problema dei
fondamenti
Il problema
dei
fondamenti
I fondamenti della
geometria : da Euclide alle
geometrie non euclidee
La matematica
tra ‘800 e
‘900: la crisi
dei
fondamenti
Dalla crisi dei fondamenti
alla concezione attuale : le teorie formali
La geometria delle
trasformazioni :
Il programma di Klein
Inquadramento storico:
1800
IIn a
q
q
Divorzio tra scienza e filosofia
In ambito scientifico si realizza:
Frantumazione in ricerche sperimentali e teoriche
Nascita di innumerevoli branche
Poche ma significative connessioni (rapporti frammentari) tra le varie
branche
Nascono nel 1812 :
chimica
Elettrolisi
pila di
Volta
magnetismo
Teoria analitica
della probabilità
Concetto di campo e
meccanica statistica
elettricità
Teoria
atomistica
matematica
--Crisi
del positivismo e meccanicismo
--Piena autonomia tra pensiero filosofico e
scientifico con lacerazioni profonde
--Costruzione del fondamento di una collaborazione
proficua
1850
La matematica :
fine 1800
Tende a divenire la scienza di ciò che è logicamente
possibile svincolandosi da ogni ipotesi intorno allo spazio
reale
q
anticipa modelli e strutture che la fisica ha utilizzato solo
più tardi
q
q
sviluppa al suo interno settori autonomi di indagine
sviluppa un livello di astrazione base di un nuovo processo
di unificazione attuato non a livello di contenuti ma di
strutture formali sempre più generali
q
PROBLEMA
CHIARIRE LA CONSISTENZA
DELLE BASI LOGICHE SU CUI
GARANTIRE LA VALIDITA’
CONOSCITIVA DELLE TEORIE
E DEI RISULTATI
Richieste di
revisione e
superamento
PROBLEMA DEI FONDAMENTI
NON ESISTE VIA REGIA ALLA GEOMETRIA
GLI ASSIOMI DI EUCLIDE
•I E’ possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto
•II E’ possibile prolungare illimitatamente una retta finita in una retta
•III E’ possibile descrivere un cerchio con centro e distanza qualsiasi
•IV Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro
•V Se in un piano una retta, intersecando due altre rette, forma con esse, da una medesima parte,
angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette, indefinitamente
prolungate, finiscono con l’incontrarsi dalla parte data
•Pare che Euclide esitasse ad usare il quinto postulato: i primi 28 teoremi del libro I sono dimostrati
senza farvi ricorso……..
Nei 2100 anni successivi alla pubblicazione degli Elementi, filosofi e matematici si sono chiesti spesso, a
proposito del quinto postulato, se sia o non sia da includere tra gli assiomi fondamentali. All’inizio sembrava un
problema estetico, visto che l’enunciato, la cui verità non veniva comunque messa in dubbio, aveva l’aria da
teorema e quest’impressione era rafforzata dal fatto che l’enunciato inverso era effettivamente un teorema (Il t. 17:
In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due retti )….. Ci si convinse quindi che il
quinto postulato richiedeva una dimostrazione……Ecco che iniziarono i tentativi di dimostrazione che rientrarono
tutti in questo schema:
Sostituire il V postulato con un assioma più soddisfacente
Lasciare immutati gli altri fondamenti di Euclide
Dimostrare il V postulato
Oggi sappiamo che qualunque postulato sostitutivo con cui poi si dimostri il V postulato, è logicamente
equivalente ad esso!! jj
Il tentativo più serio di
dimostrare il V postulato fu
fatto da padre Gerolamo
Saccheri (1667-1733): egli ebbe
il merito di aver per primo
impostato la questione in
termini veramente corretti dal
punto di vista logico, anche se
poi non fu altrettanto corretto
nella conclusione
Tutti questi tentativi hanno arricchito la geometria con
la scoperta di molti teoremi e in particolare, studiando
bene la GEOMETRIA NEUTRALE, quella cioè dove
valgono i termini primitivi, i primi quattro postulati e le
definizioni comuni ,si è visto che in un’ipotetica
geometria dove non valesse il quinto postulato non
sarebbero nemmeno valide le proposizioni ad esso
equivalenti, in particolare:
•per un punto non si potrebbe condurre una sola
parallela ad una retta
•non esisterebbero figure simili
•la somma degli angoli interni al triangolo non sarebbe
uguale a due retti
ESEMPIO DI DIMOSTRAZIONE PER STIMOLARE UNA DISCUSSIONE IN CLASSE:
T. La somma degli angoli interni di un triangolo è pari a due angoli retti
C
c 'c
a
A
c ‘'
d'
d''
D
b
B
Considerato il triangolo ABC, indichiamo con x la somma dei suoi angoli interni a, b,
c
Detto D un qualunque punto del lato BC, indichiamo con c’ e c’’ le due parti in cui CD
divide l’angolo c e con d’ e d’’ gli angoli che CD forma con AB
Si ha:
(1) a+b+c’+c’’=x
(2) a+c’+d’=x
e, con riferimento ai triangoli ACD e BCD, si ha
(3) b+c’’+d’’=x
e, poiché (4) d’+d’’=2 retti, sommando membro a membro la (2) e la (3), si ha:
a+c’+d’+b+c’’+d’’=2x, che tenendo conto delle (3), (4), diventa: x+2retti=2x
da cui 2retti=x
Quindi il teorema è dimostrato senza far uso del V postulato MA……...
Nella dimostrazione abbiamo assunto implicitamente un’ipotesi non dimostrata e cioè che
la somma degli angoli interni al triangolo sia un invariante
Nella geometria non Euclidea infatti questa proposizione non sarà più vera
TENTATIVO DI SACCHERI
L’opera di Saccheri fu abbastanza diffusa ma cadde presto in
dimenticanza, solo nel 1889 E. Beltrami (1835-1900) richiamò su
di essa l’attenzione dei matematici anche se a quell’epoca la
questione delle parallele era definitivamente risolta da N.I.
Lobacevskji (1793-1856) e da J. Bolyai (1802-1860) e proprio
quest’ultimo è al centro di una curiosa vicenda che gli risultò
molto amara:
……
János Bolyai (1802-1860)
Nikolai Ivanovich
Lobacevskij(1792-1856)
Gerolamo Saccheri (1667-1733)
Lobacevskij sostituisce il V postulato di Euclide con un altro:
DATI IN UN PIANO, UNA RETTA r E UN PUNTO P FUORI DI ESSA, CONDOTTA PER P
LA PERPENDICOLARE h AD r E POI, SEMPRE PER P, LA PERPENDICOLARE r’ A h,
OLTRE AD r’ ESISTE UN’ALTRA RETTA r’’, DISTINTA DA r’, CHE PASSA PER P E NON
SECA r
r’’
P
r'
r
h
Ecco che in questa geometria:
– le rette parallele ad una retta data passante per un punto non appartenente ad essa sono infinite
– la somma degli angoli interni di un triangolo è variabile ed è minore di due retti
– non esistono quadrilateri con i quattro angoli retti
– due figure simili sono congruenti…..
La geometria di Lobacevskij-Bolyai realizza dunque l’ipotesi dell’angolo acuto di Saccheri
L’ipotesi dell’angolo ottuso si dimostra però falsa e irrealizzabile a meno che non si tolga l’assioma
dell’illimitatezza della retta.
La teoria di una geometria in cui le rette hanno una lunghezza finita fu sviluppata dal matematico
tedesco B.Riemann (1826-1866). In essa:
– non esistono parallele condotte per un punto ad una retta
– la somma degli angoli interni ad un triangolo non è invariante ed è maggiore di due retti
– non esistono quadrilateri con i quattro angoli retti
– due figure simili sono congruenti
Bernhard Riemann
(1826-1866)
Il problema della coerenza di
un sistema ipotetico-deduttivo
MODELLO DI RIEMANN
MODELLO DI BELTRAMI
MODELLO DI POINCARE’
MODELLO DI KLEIN
Qual è la geometria vera?
Ha senso questa domanda?
Com’è possibile trovare una risposta?
Sono tutte domande che sorsero nella seconda
metà dell’800 e, per provare la coerenza degli
assiomi da cui deriva una geometria si pensò di
fornire dei modelli reali di quella geometria:
Riemann, Klein (1849-1925), Beltrami, Poincarè
(1854-1912) fornirono modelli di geometrie non
euclidee e fu lo stesso Klein che propose i nomi di
geometria ellittica, euclidea e iperbolica alle
geometrie in cui la somma degli angoli interni di un
triangolo risulta rispettivamente maggiore, uguale,
minore a due retti
Felix Christian Klein
Jules Henri Poincaré
(1849-1925)
(1854-1912)
Inoltre Klein provò che se ci fossero contraddizioni
logiche all’interno delle geometrie non euclidee,
queste dovrebbero trovarsi già nella geometria
euclidea
Geometria Euclidea
La sistemazione definitiva
dell’argomento viene da Klein
attraverso la classificazione delle
geometrie in tre classi fondamentali
Geometria Ellittica
È la geometria delle
superfici a curvatura
nulla
Vale l’assioma
dell’esistenza e
unicità della
parallela. La somma
degli angoli interni di
un triangolo è uguale
ad un angolo piatto
È la geometria delle
superfici a curvatura
positiva ( Riemann) .
In essa non esistono
rette parallele. La
somma degli angoli
interni di un triangolo
è maggiore di un
angolo piatto
Geometria iperbolica
È la geometria delle
superfici a curvatura
negativa
(Lobacevskij). Per un
punto esterno ad una
retta vi sono più
parallele. La somma
degli angoli interni di
un triangolo è minore
di un angolo piatto
Osservazioni:
Non è lecito fidarsi dell’evidenza intuitiva come criterio di fondazione
degli assiomi di una teoria matematica perché soggettivo e legato alla fantasia
Non ha senso parlare di assiomi veri o falsi : l’assioma è solo punto di
partenza convenzionale
Il matematico deve derivare teoremi partendo da ipotesi (assiomi )
preoccupandosi della loro coerenza logica con le premesse e non della loro
“ evidenza intuitiva “
La geometria perde la sua valenza di scienza “descrittiva” della realtà
spaziale e diviene scienza puramente formale frutto di una rigorosa
astrazione
PROBLEMA
COME ESSERE CERTI DELLA
COERENZA LOGICA
DI UN SISTEMA IPOTETICO DEDUTTIVO
CIOE’
DELL’ASSENZA DI CONTRADDIZIONI?
Il metodo dei
“modelli”:
Consiste nel
prendere gli assiomi astratti di un sistema e dare
loro una “interpretazione” , in modo tale che ad
ogni assioma corrisponda una certa affermazione
vera o falsa rispetto al modello
MODELLO DI RIEMANN PER UNA GEOMETRIA ELLITTICA
MODELLO DI KLEIN PER UNA GEOMETRIA IPERBOLICA
MODELLO DI BELTRAMI PER UNA GEOMETRIA IPERBOLICA
MODELLO DI POINCARE’ PER UNA GEOMETRIA IPERBOLICA
Poincaré presentò il suo modello sotto forma di racconto di fantasia nel suo libro La Scienza e l’Ipotesi del 1902:
Sia dato, da qualche parte del piano euclideo, un cerchio euclideo C di raggio R abbastanza grande da permettere che nel
suo interno viva una vasta popolazione di esseri bidimensionali. Li osserveremo restando al di fuori di C, come giganti un
po’ curiosi. C è riempito di uno strano gas che provoca la contrazione dei campioni di lunghezza (regoli lunghi un metro
quando sono posti al centro diC) via via che si allontanano dal centro. La formula che descrive quantitativamente il
fenomeno è:
(lunghezza di un regolo campione a distanza r)=1-r2/R2
ove r è misurata a partire dal punto medio del regolo stesso
Supporremo inoltre che ogni cosa all’interno di C (comprese le persone che ci vivono) subisca una corrispondente
variazione delle dimensioni lineari, cosicché nessun abitante all’interno possa accorgersi del fenomeno. Un “uomo” “alto”
2 metri al centro del cerchio C (la “statura” viene misurata con un regolo che egli porta con sé) sarà ancora “alto” 2 metri
dopo aver percorso 3/4 R verso il bordo. Tutto ciò che lo circonda avrà mantenuto le proporzioni, e quindi solo chi come
noi è al di fuori del cerchio sa che il regolo, il corpo dell’”uomo”, il suo cappello, il suo passo e anche gli “alberi”, le “case”
e così via sono lunghi solamente o,4375 volte la loro lunghezza iniziale.
Supponiamo infine che lo strano gas che riempie C costringa i raggi di luce che si propagano tra due punti interni al
cerchio a seguire sempre il cammino “più breve”, se misurato nel sistema di misura degli abitanti di C
Dal nostro punto di vista, un raggio di luce che unisce due punti sarà diritto solo se i due punti sono su un diametro di C ;
altrimenti presenterà una convessità rivolta verso il centro.
Facendo uso di teoremi non elementari di geometria Euclidea, è possibile dimostrare che questi cammini curvi sono archi
di circonferenze ortogonali a C, cioè archi di circonferenze che incontrano C in modo che nei punti di intersezione le
rispettive tangenti risultino perpendicolari tra loro. Poiché gli abitanti di C sono intelligenti quanto noi, arriva anche per
loro il momento di mettersi a studiare la geometria e quella che essi creano rifletterà l’universo quale essi lo percepiscono.
Prima di tutto essi non si renderanno conto di vivere all’interno di un cerchio, per quante volte riportino consecutivamente
un metro lungo quello che noi sappiamo essere uno dei raggi del cerchio, non raggiungeranno mai il bordo perché il metro
si accorcia troppo velocemente. Dunque, per coloro che vivono al suo interno, il cerchio C si estende all’infinito in tutte le
direzioni e costituisce il piano. In secondo luogo essi naturalmente intenderanno per “linea retta” il percorso compiuto da
un raggio di luce e potranno essere infinite. E, cosa importante, essi accetteranno l’assioma di Lobacevskij
Poincarè
e la
non contraddittorietà
La verità della geometria euclidea appare fondata
sulla naturalità dello spazio
Il valore epistemologico della rivoluzione matematica
Lo spazio della teoria appariva libero dall’evidenza
Rottura della linea di continuità tra esperienza sensibile e teoria:
La matematica e la logica sono oggetti privi di realtà
INTUIZIONISMO : POINCARE’
“salvare” il valore della scienza
ragionando con strumenti concettuali
che non sempre derivano pratica scientifica
ma dalla tradizione filosofica
superamento dell’idea della geometria fondata su una
struttura a priori di tipo kantiano
La geometria deriva da un sistema di assiomi
che hanno il valore di “ipotesi indifferenti” ( si possono adottare l’una o l’altra senza
conseguenze sulla verità delle proposizioni scientifiche)
L’assioma è una convenzione quindi
È scorretto aprire una discussione intorno alla verità di una geometria
La costruzione di teorie non ha a che vedere con concetti
filosofici di verità e realtà
Ma se tutte le geometrie sono convenzionali quale criterio
adottare per scegliere una geometria piuttosto che un’altra?
E’ il “modo di apparire” dei fenomeni che ci induce a scegliere
quella euclidea come la più comoda (ma non la più semplice) in
quanto è conforme al modo in cui si presentano i fenomeni
La classificazione di Klein delle geometrie :
il programma di Erlangen
L’idea suggerita da Klein è che
“ fare una geometria “
significa
scegliere un insieme di trasformazioni
e
analizzare come esse operino sugli oggetti che interessano
allo scopo di
individuare quali proprietà rimangono invarianti
si sposta l’attenzione dagli “oggetti” in quanto tali
alle “operazioni che noi eseguiamo”
La geometria, nata come primo capitolo
della fisica, è stata sottoposta ad un processo
di astrazione impensabile alla sua origine
La teoria di Einstein
può ritenersi come lo studio delle proprietà invarianti rispetto al gruppo delle
trasformazioni di Lorentz
quindi una forma di geometria delle spazio-tempo
in questo senso, a livelli diversi da quelli euclidei, la geometria torna ad essere
possibile modalità di descrizione razionale dell’universo fisico
Gli sviluppi nel campo della teoria degli insiemi e dell’algebra
entrano in crisi a causa di
antinomie e paradossi
Necessità di dare assetto
logico e rigoroso
ai presupposti della matematica
Si doveva chiarire
Quali fossero i requisiti fondamentali perché
un insieme di conoscenze e affermazioni
potesse essere considerato una teoria
formale fondata e accettabile in senso
scientifico
Hilbert
pone l’attenzione sull’aspetto
più importante nella sistemazione di una teoria
Come scegliere gli assiomi?
Essi devono contenere
elementi fondamentali dei concetti
che una teoria studia
esprimendo quello che la nostra intuizione
ci suggerisce
La sistemazione rigorosa di una teoria formale presuppone
di fornire un sistema di assiomi che oltre ad esprimere
compiutamente gli enti che vuole circoscrivere soddisfi
alcuni requisiti!
Un sistema di assiomi per essere accettato deve
avere le seguenti proprietà:
indipendenza
nessun assioma
deve
poter essere
dimostrato
a partire dagli altri
completezza
consistenza
Si tende ad assumere come
assiomi il minimo numero di
proposizioni non
dimostrate, tra loro
indipendenti , necessarie a
dedurre in modo rigoroso i
risultati che si desiderano
Non si possono assumere
come postulati enunciati
che siano tra loro
contraddittori o che
conducano a contraddizioni
(Teoremi di Godel)
Un insieme di teoremi e di risultati diventa allora una teoria in senso
formale , nell’ambito della quale vanno distinti gli enunciati iniziali da
quelli successivi e ciò che risulta dedotto coerentemente deve essere
accettato come valido
La sistemazione di una teoria è un procedimento a “posteriori”
Ancora oggi la ricerca su questioni “aperte” è viva e
vitale a conferma che la matematica è una
scienza dinamica in continua evoluzione