Convegno PRISTEM - Milano 3-4-5 ottobre 2014 Matematica in classe. Giochi, modelli, storia Algebra sempre uguale? Osservazioni e riflessioni sul suo insegnamento e apprendimento Luigi Tomasi Liceo “Bocchi-Galilei”, Adria (Rovigo) Centro Ricerche Didattiche “Ugo Morin” Paderno del Grappa (Treviso) 2 Scaletta La didattica dell’algebra: un articolo ancora attuale (G.Prodi-V.Villani) Le Indicazioni nazionali e Linee guida (Aritmetica e algebra) con alcuni commenti Dall’aritmetica all’algebra e viceversa: qualche esempio Cosa ci dicono le prove INVALSI su Aritmetica e Algebra al termine del I biennio? Conclusioni, considerazioni didattiche 3 Algebra sempre uguale? ALGEBRA •Tutti i ragazzi del mondo, dai 13 ai 16 anni passano circa tre anni a studiare l’algebra, come succede da tanto tempo… •Qual è la situazione attuale dell’insegnamento e dell’apprendimento dell’algebra rispetto a qualche decennio fa? •Le tecnologie stanno cambiando qualcosa? •Alcune riflessioni generali e impostazioni, il più possibile calate nella pratica didattica •Qualche esempio didattico sull’insegnamento dell’algebra. 4 Un articolo che ha provocato molta discussione Is Algebra Necessary? by ANDREW HACKER THE NEW YORK TIMES, SundayReview, July 28, 2012 Titolo di un articolo di Andrew Hacker (docente universitario di Scienze Politiche al Queens College di New York) 5 ALGEBRA Algebra: perché è necessaria? Tutti sono convinti dell’importanza del calcolo algebrico. E’ il linguaggio delle matematica, che a sua volta è il linguaggio della scienza, ecc. Ma è un ostacolo, una specie di campo minato; molti studenti si bloccano nello studio dell’algebra A chi non impara l’algebra non si apriranno mai i campi dell’analisi (della matematica? della scienza) e di tutto quel che ne segue… 6 7 ALGEBRA ALGEBRA Algebra come porta verso il linguaggio della matematica … e della scienza Destinata ad essere alla base di tutti gli apprendimenti della matematica e nello stesso tempo a far da barriera agli studenti che si vogliono avvicinare allo studio della matematica. L’algebra è difficile! 8 ALGEBRA Insegnamento dell’Algebra: un articolo importante dal punto di vista didattico Un riferimento importante per la didattica dell’algebra è il seguente articolo, che mantiene anche oggi la sua validità: Anche il calcolo letterale può essere intelligente (rivista Archimede, n.4, 1982) Autori: Giovanni Prodi e Vinicio Villani 9 DIDATTICA DELL’ALGEBRA Un libro fondamentale dal punto di vista didattico Cominciamo da Zero di Vinicio Villani (Bologna, 2003) Domande, risposte e commenti per saperne di più sui perché della Matematica (Aritmetica e Algebra) 10 IL CLACOLO LETTERALE L’insegnamento del calcolo letterale: un problema didattico “Nell’attuale prassi dell’insegnamento, a livello delle scuole secondarie superiori, molto spesso il calcolo letterale si traduce in una lunga attività esecutiva e ripetitiva, priva di motivazioni e di applicazioni. Lo si potrebbe paragonare all’istruzione formale che gli eserciti tradizionali riservavano alle reclute…” (G.Prodi-V.Villani) 11 IL CALCOLO LETTERALE L’insegnamento del calcolo letterale: un problema didattico “Non si può negare che anche nel calcolo letterale occorre, con un opportuno allenamento, creare riflessi condizionati, in modo che la mente, nel seguire un ragionamento matematico, sia solo in piccola parte assorbita dal funzionamento del meccanismo algebrico.” (G.Prodi-V.Villani) 12 IL CALCOLO LETTERALE L’insegnamento del calcolo letterale: un problema didattico “Ma, nell’insegnamento corrente, troppo spesso si passa il segno, anche perché il calcolo letterale viene somministrato quasi tutto all’inizio della scuola secondaria superiore, anziché essere proposto man mano, in relazione all’ampliarsi delle prospettive teoriche e dei problemi affrontati. Così l’algebra appare come un meccanismo noioso e inutile, tale da respingere i ragazzi più intelligenti e vivaci. 13 CALCOLO LETTERALE L’insegnamento del calcolo letterale: come renderlo “intelligente”? La tesi dell’articolo di G. Prodi e V. Villani è che “pur senza poter eliminare completamente dallo studio l’esercizio ripetitivo, il calcolo letterale può essere presentato in modo intelligente, vario e ben graduato.” Oggi è ancora così? Come è insegnato il calcolo letterale oggi? Come si può rendere intelligente questo insegnamento/apprendimento? 14 INDICAZIONI NAZIONALI Nelle Indicazioni nazionali per i licei (2010) si legge: “il primo biennio sarà dedicato al passaggio dal calcolo aritmetico a quello algebrico” […] “lo studente acquisirà la capacità di eseguire calcoli con le espressioni letterali sia per rappresentare un problema (mediante un’equazione, disequazioni o sistemi) e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare in aritmetica”. 15 INDICAZIONI NAZIONALI Nelle Indicazioni nazionali per i licei (2010) si legge: Lo studente apprenderà gli elementi di base del calcolo letterale, le proprietà dei polinomi e le operazioni tra di essi. Saprà fattorizzare semplici polinomi, saprà eseguire semplici casi di divisione con resto fra due polinomi, e ne approfondirà l’analogia con la divisione fra numeri interi. Anche in questo l’acquisizione della capacità calcolistica non comporterà tecnicismi eccessivi. 16 ARITMETICA E ALGEBRA Qualche commento alle Indicazioni nazionali (2010) “Il primo biennio sarà dedicato al passaggio dal calcolo aritmetico a quello algebrico” . Ma c’è continuità tra insegnamento dell’algebra e quello dell’aritmetica? Molti dicono che c’è un “salto cognitivo”. Nei progetti dei ricercatori in didattica questo salto è affrontato in vari modi, centrati su: simbolismo e generalizzazione, funzioni, modellizzazioni del mondo reale, problem solving, strutture, rappresentazioni multiple. 17 ARITMETICA E ALGEBRA Commento alle Indicazioni nazionali (2010) Un commento a questo passo tratto dalle Indicazioni nazionali: “Lo studente acquisirà la capacità di eseguire calcoli con le espressioni letterali sia per rappresentare un problema (mediante un’equazione, disequazioni o sistemi) e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare in aritmetica”. 18 ARITMETICA E ALGEBRA Commento sulle Indicazioni nazionali e Linee Guida (2010) su Aritmetica e Algebra Ciò suggerisce che l’uso delle lettere non debba ridursi al solito calcolo algebrico, ma anzi lo preceda, e serva a esprimere proprietà dei numeri e a rappresentare adeguatamente congetture sui numeri, fornendo anche, quando possibile, la relativa dimostrazione. In quest'ottica, il calcolo algebrico va integrato con il calcolo numerico, di cui è il naturale sviluppo. 19 ARITMETICA E ALGEBRA Esempi che vanno nel senso delle Indicazioni nazionali/Linee guida (2010) Consideriamo un numero naturale n. Che cosa si può dire di n(n+1) ? È sempre dispari? È sempre pari? (INVALSI, prova naz. “III media”, 2011) Luca afferma che, se n è un numero naturale, allora n(n+1)(n+2) è sempre divisibile per 6. Luca ha ragione? Sì / No. Motiva la tua risposta………………… (INVALSI, Classe II superiore) 20 ARITMETICA E ALGEBRA Un commento alle Indicazioni nazionali -L'utilizzo delle lettere precede l'usuale calcolo algebrico ed è inizialmente finalizzato a generalizzare proprietà numeriche (ma anche formule in geometria o altri ambiti), a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. -Solo in un secondo tempo si passerà allo studio esplicito delle tecniche di calcolo algebrico. -Questo consentirà di consolidare gradualmente nel tempo la competenza nel calcolo numerico e di giungere a una competenza algebrica adeguata nell'arco del primo biennio. 21 ARITMETICA E ALGEBRA Un commento alle Indicazioni nazionali Proprio per una forte aderenza alle strutture numeriche si suggerisce, come indicato da Giovanni Prodi, di introdurre i polinomi a partire da formule atomiche e poi le operazioni di somma e moltiplicazione. Soprattutto nelle prime manipolazioni algebriche, è importante mantenere forte il significato delle formule e far capire all’allievo che il calcolo algebrico non è fine a se stesso. 22 ARITMETICA E ALGEBRA Un commento alle Indicazioni nazionali •Nell’affrontare le tecniche di calcolo algebrico sarà opportuno individuare il giusto equilibrio fra la ricerca del valore semantico (il “senso” di una formula in un certo contesto) e l’abilità sintattica (cioè di calcolo formale) che è in parte legata all’addestramento. •Si pone dunque per l'insegnante il problema della ricerca di un equilibrio fra "meccanismi" e significati, di favorire cioè la necessaria acquisizione di alcuni automatismi, mantenendo viva al tempo stesso la riflessione su quanto si sta facendo. 23 ARITMETICA E ALGEBRA Un commento alle Indicazioni nazionali Gli esercizi dovranno essere scelti per la loro valenza operativa e non dovranno costituire compito eccessivamente ripetitivo; per fare un esempio, gli esercizi di sviluppo (expand nei software CAS) possono essere alternati con gli esercizi di fattorizzazione (factor), per favorire quella ‘reversibilità’ indispensabile per una completa comprensione. Notiamo come, nelle Indicazioni nazionali/Linee guida, ripetutamente si avverta di non eccedere in tecnicismi manipolatori. 24 25 ARITMETICA E ALGEBRA ARITMETICA E ALGEBRA Indicazioni nazionali, I biennio, liceo scientifico [L’allievo] Studierà i concetti di vettore, di dipendenza e indipendenza lineare, di prodotto scalare e vettoriale nel piano e nello spazio nonché gli elementi del calcolo matriciale. Approfondirà inoltre la comprensione del ruolo fondamentale che i concetti dell’algebra vettoriale e matriciale hanno nella fisica. 26 ARITMETICA E ALGEBRA Un commento alle Indicazioni nazionali Troppo nel I biennio! Facciamo notare che la parte relativa ai vettori e alle matrici (da non svolgere completamente nel I biennio!) è da fare al liceo scientifico [e pertanto va letta come un approfondimento]; gli altri indirizzi ne fanno un uso piu’ limitato alle operazioni tra vettori e al prodotto scalare, nel secondo biennio. 27 ARITMETICA E ALGEBRA Difficoltà degli studenti nello studio dell’algebra Per capire le difficoltà degli studenti nell’apprendimento dell’algebra può essere utile analizzare le analogie e le differenze tra aritmetica e algebra. L’aritmetica tratta di proprietà dei numeri e calcoli sui numeri mentre l’algebra richiede di ragionare su quantità incognite e percepire la diversità tra situazioni specifiche e situazioni generali. 28 ARITMETICA E ALGEBRA Differenze e analogie tra aritmetica e algebra Ci sono differenze che riguardano l’interpretazione di lettere, simboli, espressioni e il concetto di uguaglianza, poiché in aritmetica le lettere sono in genere, abbreviazioni o unità, in algebra esse rappresentano variabili, parametri o incognite. 29 ARITMETICA E ALGEBRA Differenze e analogie tra aritmetica e algebra La sintassi del linguaggio algebrico consta di un gran numero di regole basate su principi, che, in parte, contraddicono quelle del linguaggio quotidiano e dell’aritmetica. La più notevole divergenza tra algebra e aritmetica dal punto di vista del linguaggio è di tipo semantico con implicazioni sintattiche notevoli. 30 31 ARITMETICA E ALGEBRA ARITMETICA E ALGEBRA Primo approccio all’algebra Abbiamo visto che il primo approccio all'algebra è quello di un ampliamento dell'ambiente dell'aritmetica e di una riflessione sulle sue proprietà. Tuttavia uno dei possibili modi per condurre gli alunni a un corretto uso dell'algebra è quello di proporre l'uso di simboli e la manipolazione su di essi in contesti diversi. 32 ARITMETICA E ALGEBRA Primo approccio all’algebra e collegamento con la scuola sec. di I grado Il collegamento algebra-geometria è presente già nella Scuola secondaria di I grado (“Scuola Media”) attraverso l'introduzione del 'metodo delle coordinate' : proprio con lo studio più ampio e approfondito della geometria analitica, la geometria diventerà per gli alunni nelle scuole superiori un terreno privilegiato di applicazione dell'algebra. 33 ARITMETICA E ALGEBRA Primo approccio all’algebra Anche da sola la geometria può costituire un interessante terreno di avvio al pensiero algebrico quando ad esempio si lavora sul calcolo di aree e perimetri, in quanto mette a contatto con l'elaborazione e la manipolazione di formule: inoltre essa può fornire un supporto concreto che aiuti la visualizzazione delle proprietà formali. 34 Problemi ed equazioni ALGEBRA La nascita dell'algebra è storicamente legata allo studio delle equazioni e alla loro risoluzione. Dal punto di vista didattico le equazioni rappresentano un momento importante in quanto costituiscono uno strumento di soluzione di problemi (“algebra come strumento di pensiero”). 35 36 ALGEBRA Algebra come strumento di pensiero ALGEBRA È dunque utile che l’insegnante presenti le equazioni come uno strumento efficace, ma non unico, per risolvere problemi, valorizzi i metodi elementari di risoluzione, stabilendo un collegamento con gli strumenti risolutivi utilizzati nella Scuola secondaria di I grado (uso di frecce, tabelle, diagrammi di flusso e altre rappresentazioni opportune per favorire la padronanza dei significati) e trovi gli esempi adeguati a “mettere in crisi” questi metodi quando non sono "comodi". 37 ALGEBRA Problemi ed equazioni: algebra come strumento di pensiero Nella soluzione di un problema tramite un'equazione il linguaggio algebrico deve essere visto con una doppia valenza: come traduzione stenografica di una strategia risolutiva e come espressione sintetica su cui operare per trarne informazioni. 38 Equazioni ALGEBRA Naturalmente è essenziale portare avanti anche alcuni punti fondamentali sul piano teorico quali il significato del termine uguaglianza, le ipotesi nelle quali è possibile operare trasformazioni su una uguaglianza, le questioni relative ad esistenza delle soluzioni, il significato di termini quali identità ed equazione indeterminata, ... In particolare è importante condurre gli allievi a sapere risolvere un'equazione applicando consapevolmente i "principi di equivalenza". 39 La scomposizione in fattori (factor) ALGEBRA Fra gli argomenti che nel biennio di scuola superiore possono contribuire all'acquisizione di una buona padronanza del calcolo formale e al tempo stesso presentano la possibilità di mettere in rilievo aspetti teorici interessanti accenniamo ad esempio alla scomposizione di polinomi in fattori, eventualmente irriducibili. Occorre sfatare l’idea che i polinomi si possano tutti scomporre: la probabilità di trovare un polinomio riducibile è nulla! (G. Prodi e V.Villani) 40 La fattorizzazione dei polinomi ALGEBRA Si tratta di un argomento che tradizionalmente viene svolto in tutte le scuole e viene spesso considerato ‘difficile’. Infatti, come è noto, non esiste per la fattorizzazione un algoritmo così generale e immediato come per lo sviluppo (expand), anzi l'insegnante deve mettere in evidenza con opportuni esempi il carattere eccezionale della fattorizzabilità almeno per i polinomi in più variabili (G.Prodi-V.Villani 1982). 41 La fattorizzazione dipende dal contesto! ALGEBRA Si tratta di una occasione didatticamente importante, in quanto l'esercizio algebrico anche se di tipo puramente sintattico richiede la scelta di un procedimento risolutivo anziché l'applicazione di una regola. Accanto ai raccoglimenti è utile promuovere il riconoscimento dei 'prodotti notevoli'. Più avanti, quando si tratta il problema della divisibilità fra polinomi, è importante affrontare il tema della riducibilità di un polinomio in Q[x] o in R[x]. 42 Fattorizzazione: un esempio ALGEBRA Il polinomio x2+4 è irriducibile nei reali. Molto spesso si dice: è irriducibile perché è la somma di due quadrati (senza aggiungere che è di secondo grado…) In questo modo si crea una misconcezione Anche x4+4 è la somma di due quadrati, ma… x4+4= x4+4 +4x2 - 4x2=(x4+4 +4x2 )- 4x2 =(x2+2)2 - 4x2 =(x2+2 +2x )(x2+2- 2x ) 43 L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra [email protected] aiuta l’aritmetica [email protected] Pensa un numero intero • somma ad esso 12 • moltiplica il risultato per 5 • sottrai 4 volte il numero pensato • somma al risultato 40 L’uso delle lettere non si riduca al solito calcolo algebrico, ma anzi lo preceda e serva ad esprimere le proprietà dei numeri Che numero hai ottenuto? n …+12 7 7+12 …5 … - 4… (7+12)5 (7+12)5 – 47 Indicazioni del “Percorso Sintetico” …+40 Cosa ottieni? [(7+12)5 - 47]+40 Prova ora a “generalizzare” l’espressione scritta, in modo indipendente dal numero pensato 5( n + 12) – 4n + 40 = 100 + n 44 L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica La gara di calcolo mentale ovvero … altri trucchi “magici” Considera il prodotto 15·25 puoi riscriverlo come (20 − 5)·(20 + 5) quindi per la solita proprietà, hai 20·20 + 20·5 – 5·20 − 5·5 dopo le semplificazioni ottieni 20·20 + 20·5 – 5·20 − 5·5 Cioè 202 − 52. Prova tu ora a “calcolare” in questo modo i prodotti seguenti: 28·32 =…………………………………………………………… 97·103 =…………………………………………………………… Eseguire operazioni tra numeri • a mente • con gli usuali algoritmi scritti • con strumenti valutando quale strumento può essere più opportuno Indicazioni del “Percorso Sintetico” • Interpretare geometricamente l’equivalenza di due formule • esprimere con parole e con formule le regolarità osservate Indicazioni del “Percorso Sintetico” 45 a b b S3 a b a S1 a 2 2 a 2 b 2 2ab S a b 2 S2 b2 Algebra geometrica Quadrato di un binomio S3 b a S = a2 + b2 + ab + ab = a b a2+b2+2ab 46 a b 2 a 2 b 2 2ab a·b b2 S=(a-b)2 a b a a-b Algebra geometrica Quadrato di un binomio a2 (a-b)2 S= a 2 - a·b - a·b + b2 = a-b b a2-2ab+b2 47 Algebra geometrica Quadrato di un trinomio a b c 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc S a b c 2 S6 a c c b S4 a b a S1 a 2 S8 b c S3 c 2 S 2 b 2S 9 cb S5 b a S7 c a S= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc b a c 48 a b 3 a 3 a b 3 ab b 3 2 2 3 V a b 3 V a3 a b V=ab2 Algebra geometrica Cubo di un binomio V a 2b V=ab2 V b3 V=ab2 b a V a 3 b 3 3a 2 b 3ab 2 49 L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica L’espressione 10012 – 9992 vale a) 2000 b) 2 c) 4000 d) 4 Dall’aritmetica all’algebra e viceversa (calcolo mentale) 10012 – 9992 = (1001999)*(1001+999)=... 50 L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica Un fattore del numero 1334 – 1324 vale a) 2 b) 5 c) 7 d) 9 Dall’aritmetica all’algebra e viceversa 1334 – 1324= (1332-1322) (1332+1322)= (133+132) (133-132) …=265*1*… 51 L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica Si sa che il prezzo p di un abito ha subìto una maggiorazione del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni. Che cosa si può dire del prezzo finale dell’abito? Dalla congettura, all’argomentazione, alla dimostrazione: i simboli per esprimere, comunicare, generalizzare e risolvere problemi Indicazioni del “Percorso Sintetico” 6 6 p ' p 1 1 100 100 p (1 x )(1 x ) 52 L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica La base di un rettangolo R è aumentata del 40% mentre la sua altezza viene ridotta del 50%. L’area del rettangolo R’ così ottenuto, è diminuita o aumentata? Di quale percentuale? 40 50 A ' a 1 b 1 L’algebra aiuta 100 100 l’aritmetica ab(0,6)(1,5) A 0,9 53 LE PROVE INVALSI Cosa ci dicono le prove INVALSI sull’aritmetica e sull’algebra? 54 PROVE INVALSI Classe II sup. – 2011 Gli studenti non trasferiscono all’ambito numerico il raccoglimento a fattor comune. Il calcolo simbolico è un campo di esperienza recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. L’algebra non è strumento di pensiero. Non risp 2,4 A 35,0 B 1,9 C 22,0 D 38,7 55 È difficile non essere d’accordo con quanto riportato sul Quaderno INVALSI • Gli studenti non sembrano essere in grado di trasferire in un ambito più specifico il procedimento di raccolta a fattor comune, tipico della pratica didattica messa in opera nell'insegnamento-apprendimento del calcolo letterale. • Il calcolo simbolico, quindi, lungi dal generalizzare le proprietà dei numeri, sembra essere visto, paradossalmente, come un campo di esperienza sintattica recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. In altri termini non sembra che gli studenti siano in grado di usare l’algebra come strumento di pensiero. 56 Commento (Quaderno INVALSI) • • Solo poco più del 20% degli studenti riconosce che 1037 +1038 = 111037, nonostante le altre opzioni possibili dovessero risultare palesemente scorrette, in base a semplici e immediate considerazioni sugli ordini di grandezza dei numeri in gioco. È plausibile supporre che se la domanda avesse fornito (anziché l'espressione numerica 1037 + 1038) l'espressione simbolica x37+ x38, un numero maggiore di studenti avrebbe raccolto x37 a fattor comune, trovando così l'espressione equivalente corretta x37(1 + x). 57 Commento (Quaderno INVALSI) • • • In ogni caso la presenza di un numero così rilevante di risposte errate in domande che ricalcano esercizi tipici della prassi didattica, svolti sia nel primo, sia nel secondo ciclo di scuola secondaria, invita a una riflessione sull’opportunità didattica di molte attività di manipolazione simbolica fini a se stesse che sembrano avere come risultato, per tanti studenti, quello di inibire strumenti di controllo semantico (in questo caso più che sufficienti per determinare la risposta corretta). 58 Classe II sup. – 2012 PROVE INVALSI Se il contesto è quello delle ‘lettere’ gli allievi individuano più facilmente la proprietà delle operazioni a cui fare ricorso. I registri numerico ed algebrico sembrerebbero costituire, per molti, campi di esperienza separati. 59 PROVE INVALSI Ma già alla fine del I Ciclo (“III Media”) i problemi non mancano… [da Prova nazionale, Matematica 2012, “3^Media”] 60 Matematica- Percorso didattico proposto dalla CIIM Un percorso didattico di Matematica proposto da un Gruppo di lavoro nominato dalla CIIM http://www.umi-ciim.it/ materiali-umi-ciim/secondo-ciclo/ 61 Matematica-Percorso “sintetico” Un percorso “sintetico” proposto per il Primo anno Aritmetica e algebra 15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli) Relazioni e funzioni 5h (R1): Introduzione al concetto di funzione. Raggruppamenti comuni 10h* (C1): Equazioni e disequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni) 10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni). 5h* (C3): analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni) Geometria 20 h (G1): Recupero, consolidamento e approfondimento delle conoscenze pregresse sulle figure del piano. Proprietà essenziali di triangoli e poligoni attraverso procedimenti costruttivi e argomentativi. Dati e previsioni 15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti) 62 Matematica- Percorso “sintetico” Un percorso “sintetico” proposto per il Secondo anno Aritmetica e algebra 10 h (A2): Introduzione intuitiva dei numeri reali e delle loro rappresentazioni. Operazioni coi numeri irrazionali. Relazioni e funzioni 15 h (R2): Consolidamento del concetto di funzione. Analisi delle funzioni lineari e delle funzioni f(x) = |x|, f(x) = a/x, f(x) = x2. Raggruppamenti comuni 5 h* (C4): Applicazioni della similitudine (in collegamento tra Geometria e Aritmetica e algebra). Rette nel piano cartesiano, rappresentazione di oggetti algebrici (In collegamento tra Geometria, Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni). 5h*(C5): Approfondimenti di statistica (in collegamento tra Dati e previsioni e Geometria). 10 h*(C6): Approfondimenti su Equazioni e Disequazioni (in collegamento tra Relazioni e funzioni, Aritmetica e algebra e Geometria). Geometria 20h (G2): Il ruolo del teorema di Pitagora, approfondimenti su un numero limitato di temi per arrivare alla dimostrazione attraverso l’argomentazione. Equivalenza nel piano e misura di superfici. La similitudine nel piano, il teorema di Talete (in modo intuitivo). Dati e previsioni 15 h (D2): Studio di alcuni elementi fondamentali di calcolo delle probabilità fino alla prima introduzione della probabilità condizionata (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti). 63 Percorso “analitico” – Aritmetica e algebra Conoscenze Abilità Competenze Attività Equazioni e disequazioni Equazioni e disequazioni di primo grado: metodi numerici (tabelle), grafici (piano cartesiano), simbolici “Relazioni e funzioni”, funzioni lineari Sviluppare il significato di variabile e di equazione, comprendendone il ruolo nei diversi contesti. Tradurre agilmente dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico e viceversa. Impostare e risolvere problemi modellizzabili attraverso equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado. Risolvere per via grafica, numerica o algebrica equazioni, disequazioni, sistemi di primo grado; saper verificare la correttezza dei risultati. Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico 1F - Allineamenti – esploriamo le funzioni lineari ([email protected]) Risolvere, per via grafica e algebrica, problemi che si formalizzano con equazioni e disequazioni di primo grado, individuare relazioni significative fra grandezze di varia natura, utilizzare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione vari per indicare e definire relazioni e funzioni, leggere in un grafico o in una tabella numerica le proprietà qualitative delle funzioni 2F - Equazioni e disequazioni di primo grado ([email protected]) 3F - Risparmiare sulla bolletta del telefono ([email protected]) Impostare e risolvere semplici problemi modellizzabili attraverso equazioni, disequazioni, sistemi di primo e secondo grado. Risolvere, per via grafica o algebrica, problemi che si descrivono mediante equazioni, disequazioni, funzioni 4 – Fare matematica con i documenti storici – equazioni (IPRASE) Documento ricco di spunti e attività. La parte specifica sulle equazioni si trova a pagina 51, Sono riportati esercizi e problemi – proposti nella storia – che in alcuni casi possono essere risolti senza impostare un’equazione, altri invece che richiedono una rilettura attenta per la comprensione del testo. 5F – Una bilancia virtuale per risolvere equazioni (applet scaricabile dal sito: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_201_g_4_t_2.html ?open=instructions&from=category_g_4_t_2.html) Bilancia virtuale, funziona solo con i numeri interi positivi. 6F – Esercizi sulle equazioni (Ma.Co.Sa) 7F – Problemi sui sistemi lineari (Ma.Co.Sa) 64 Consigli per Aritmetica e Algebra È importante mantenere forte, soprattutto nelle prime manipolazioni algebriche, il significato delle formule e far capire all’allievo che il calcolo algebrico non è fine a se stesso. Nell’affrontare le tecniche di calcolo algebrico sarà opportuno individuare il giusto equilibrio fra la ricerca del valore semantico (il ‘senso’ di una formula in un certo contesto) e l’abilità sintattica (cioè di calcolo formale) che è in parte legata all’addestramento. 65 …e sconsigli Gli esercizi dovranno essere scelti per la loro valenza operativa e non dovranno costituire compito eccessivamente ripetitivo Invitare gli allievi ad analizzare tabelle di valori e a esprimere con parole e con formule le regolarità osservate (eventualmente anche mediante rappresentazioni grafiche), a fare previsioni … un utile strumento di lavoro è il foglio elettronico o la costruzione di alcuni semplici algoritmi implementabili sul calcolatore. 66 Conclusioni Algebra sempre uguale? NO, la didattica è cambiata… Rispetto a qualche tempo fa, abbiamo idee più chiare sul modo di realizzare un percorso didattico dall’aritmetica all’algebra e viceversa e le tecnologie ci offrono possibilità sempre più grandi. Le Indicazioni nazionali propongono di operare in questo senso. Necessità di formazione didattica dei docenti (laurea magistrale, TFA e oltre)! 67