2005 anno della fisica
introduzione alla meccanica quantistica
Associazione Astrofili Cesenati
www.astrofilicesena.it
www.arrigoamadori.com
29/04/2005
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Meccanica classica e meccanica quantistica
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La meccanica classica (MC) (anche con le correzioni apportate dalla teoria della
relatività ristretta e generale) cessa di valere per i fenomeni microscopici (a livello
atomico e particellare)
Per tali fenomeni vale la meccanica quantistica (MQ)
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Effetti quantistici
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I principali effetti e peculiarità della MQ sono :
emissione del corpo nero
effetto fotoelettrico
orbitali atomici
dualismo onda-corpuscolo
effetto tunnel
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Emissione del corpo nero
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Il corpo nero è un corpo (ideale) capace di assorbire
senza riflettere la radiazione elettromagnetica
Il corpo nero, viceversa, se in equilibrio termico,
emette radiazione elettromagnetica di diverse
frequenze ed intensità secondo un ben preciso spettro
(il grafico che mette in correlazione le frequenze e le
intensità). Lo spettro di emissione del corpo nero
dipende dalla sua temperatura
Dal punto di vista della teoria elettromagnetica classica
di Maxwell il corpo nero non potrebbe emettere
radiazione nel modo in cui in effetti esso la emette (si
avrebbe addirittura la cosiddetta catastrofe
ultravioletta !!!)
Planck, per spiegare teoricamente le caratteristiche
dell’emissione del corpo nero, ipotizzò nel 1900 che la
radiazione elettromagnetica fosse emessa dal corpo
nero in forma di quanti (successivamente chiamati
fotoni), particelle di energia E = hυ (dove E è l’energia
del fotone, h è la costante di Planck che vale circa 10
alla –30 e υ (“ni”) è la frequenza della radiazione
associata al fotone)
Questa ipotesi “rivoluzionaria” (rispetto alla MC) è alla
base della MQ
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Effetto fotoelettrico
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Colpendo con la luce la superficie di un metallo si
può avere emissione di elettroni
Questo è il cosiddetto effetto fotoelettrico che è
molto sfruttato nella tecnologia (cellule fotoelettriche
ecc.)
Gli elettroni vengono emessi se la frequenza della
luce incidente è maggiore di un certo valore
caratteristico di ogni metallo.
Sotto quel valore gli elettroni non vengono emessi
anche se si aumenta l’intensità della luce incidente
Secondo la teoria classica del campo elettromagnetico
di Maxwell si dovrebbe avere emissione di elettroni
per ogni frequenza ed in ragione proporzionale
all’intensità della luce incidente
Einstein, nel 1905, per spiegare il fenomeno, applicò
l’idea del quanto di Planck (il fotone) ipotizzando
che la luce, oltre ad essere emessa in forma
quantizzata, viaggiasse come tale alla velocità c (nel
vuoto) e venisse anche assorbita per quanti
Siccome l’energia E0 per estrarre un elettrone
dipende dal tipo di metallo, solo se un fotone possiede
energia E  E0 esso è in grado di estrarlo. L’energia
di un fotone è E  h per cui si ha emissione di
elettroni solo se h  E0 ovvero se   E0 h che
rappresenta quindi il valore della frequenza di soglia
del fenomeno per quel metallo
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Orbitali atomici
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Esempi di livelli fondamentali dell’idrogeno
Secondo la teoria classica del campo
elettromagnetico di Maxwell un elettrone in moto
accelerato emette energia sotto forma di onde
elettromagnetiche
Un elettrone, ruotando attorno al nucleo di un
atomo, dovrebbe quindi cadervi dopo avere emesso
tutta la propria energia sotto forma di onde
elettromagnetiche.
L’atomo, quindi, secondo la teoria classica non
potrebbe esistere !!!
Secondo la MQ, invece, le orbite degli elettroni
attorno al nucleo sono quantizzate in livelli discreti
Su tali orbite (dette orbitali) gli elettroni non
emettono energia ma vi permangono finché,
assorbendo o emettendo un fotone di energia pari
alla differenza di energia degli orbitali, essi saltano
in un’orbita più esterna o più interna (spettri di
emissione e assorbimento)
Il modello a orbitali descrive quindi il fenomeno
dell’emissione ed assorbimento dei fotoni in termini
di salti quantici degli elettroni medesimi fra gli
orbitali
Un orbitale è descritto più precisamente da una
densità di probabilità di trovarvi l’elettrone
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Dualismo onda-corpuscolo
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La radiazione elettromagnetica si
comporta in certi casi come
un’onda (secondo la teoria classica
di Maxwell) ed in altri casi come un
particella (fotone, effetto
fotoelettrico, effetto Compton
(ovvero l’urto fra fotoni ed
elettroni))
Una particella si comporta in certi
casi classicamente secondo la MC
di Newton ed in altri casi come
un’onda di lunghezza d’onda   h / p
(dove h è la costante di Planck, p è
la quantità di moto (massa x
velocità) della particella). La
lunghezza d’onda λ così definita è
detta lunghezza d’onda di De
Broglie) (diffrazione di elettroni in
un cristallo)
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Effetto tunnel
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Una particella, secondo la MC,
non può assolutamente superare
una barriera se non ha l’energia
sufficiente
Secondo la MQ, invece, c’è
sempre una probabilità non nulla
di trovare la particella oltre una
barriera qualunque sia l’energia
della particella. Questo è il
cosiddetto effetto tunnel (la
probabilità evolve nel tempo, una
“parte” di probabilità rimbalza
sulla barriera, un’altra “parte” la
supera)
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secondo la meccanica classica
effetto tunnel
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Principi costituenti la MQ
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La MQ, come teoria matematica, si basa principalmente sui seguenti principi :
principio di indeterminazione di Heisenberg
principio di sovrapposizione
principio di corrispondenza
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Principio di indeterminazione di Heisenberg
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E’ il principio fondamentale (Heisenberg,
1927) su cui è basata l’intera MQ. Esso afferma
in definitiva che in MQ non esiste il concetto
di traiettoria continua
Una particella non può avere
contemporaneamente una posizione e una
quantità di moto (massa · velocità) definita
(contrariamente a quanto asserito dalla MC e
relativistica)
Si ha Δp·Δx ≥ ħ (dove Δp è l’
indeterminazione della quantità di moto della
particella, Δx è l’ indeterminazione della sua
posizione e ħ (“acca tagliato”) vale h/(2¶) )
Siccome in MQ non esiste il concetto di
traiettoria, la particella è descritta dalla
funzione d’onda Ψ il cui modulo quadro | Ψ |²
esprime la densità di probabilità che la
particella si trovi in un certo punto dello spazio
in un dato istante di tempo
Allo scorrere del tempo la funzione d’onda
evolve
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Principio di sovrapposizione
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Secondo la MQ una particella può trovarsi
simultaneamente in più stati (diversi). Questo fatto,
incomprensibile dal punto di vista della MC, va sotto il
nome di principio di sovrapposizione (degli stati)
Per esempio, una particella può avere
contemporaneamente diversi valori di energia.
Quando però viene fatta una misura di energia sulla
particella se ne evidenzia un solo valore. In questo caso
la particella viene fatta interagire con un oggetto
classico (che segue la MC) detto strumento di misura
le cui modificazioni ci forniscono un valore della
grandezza misurata
Matematicamente si suppone che la funzione d’onda
Ψ della particella sia un vettore e come tale sia
scomponibile nelle sue componenti rispetto ad una
base di vettori prefissati. Si può scrivere allora :
  a11  a2  2 
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I vettori di base 1 ,  2 , rappresentano gli stati in
cui la particella ha un valore definito di una certa
grandezza misurabile
I valori a1 , a2 , forniscono le probabilità che la
particella si trovi in un certo stato
Si noti che tali vettori (detti autovettori o autostati) ed
i corrispondenti valori (detti autovalori) sono infiniti.
La struttura matematica così definita è uno spazio di
Hilbert a infinite dimensioni e costituisce la base
matematica della MQ
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Principio di corrispondenza
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Come abbiamo già visto, le grandezze fisiche che caratterizzano una
particella quantistica vengono misurate facendo interagire la particella con
un corpo che segue la meccanica classica, il cosiddetto strumento di misura.
Senza questo processo di misura una particella esiste in una sovrapposizione
di stati ognuno con la sua probabilità e noi non siamo in grado di conoscerne
le caratteristiche fisiche
Per questo motivo possiamo affermare che la MQ si basa sulla MC e senza di
essa non può esistere. Possiamo addirittura affermare che :
MQ  MC per h  0
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Questo è ciò che afferma il principio di corrispondenza
Matematicamente ciò si esprime affermando che ad ogni grandezza fisica
classica corrisponde ad un “operatore” quantistico che contiene in sé tutti gli
autovettori e gli autovalori corrispondenti a quella grandezza
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Equazione di Schrödinger
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Data la funzione d’onda Ψ di una particella ad un certo istante iniziale,
come evolverà essa nel tempo (in base alle forze in gioco) ? cioè, che
funzione d’onda avrà la particella ad un certo istante successivo ?
La risposta a questa domanda è fornita dall’equazione di Schrödinger
(1926), l’equazione fondamentale della MQ
Simbolicamente l’equazione di Schrödinger si può esprimere come :
Ψ(x,y,z,0)  Ψ(x,y,z,t)
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ovvero viene fornita la Ψ al tempo t nota la medesima al tempo iniziale 0
Seguono alcuni esempi di simulazione al computer della soluzione
dell’equazione di Schrödinger in semplici casi di moto unidimensionale
(sull’asse x) di una particella soggetta a vari tipi di forze
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Esempi di moti unidimensionali
moto libero
barriera rettangolare
buca rettangolare
forza uniforme
oscillatore armonico
scalino
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ascissa = dimensione spaziale x ; ordinata = densità di probabilità |Ψ|² per la particella
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Nuove frontiere
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La MQ è una teoria non ancora “conclusa”. La discussione sui suoi
fondamenti ed i suoi metodi è aperta ed alcuni recenti sviluppi sono
estremamente interessanti e promettono di aprire nuove “finestre” nella
comprensione del micro e (sorprendentemente) macrocosmo. Riportiamo qui
alcuni cenni su :
l’energia di punto zero (ZPE)
evaporazione dei buchi neri
il paradosso EPR
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L’energia di punto zero (ZPE)
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Il vuoto potrebbe essere non vuoto (nel senso
classico) ma riempito di una energia
fondamentale, l’energia di punto zero (ZPE,
zero point energy)
Questo dipende dal fatto che un oscillatore
armonico quantistico non può avere energia
nulla a differenza dell’oscillatore classico che
invece può avere energia nulla.
Secondo la MQ non esiste la quiete assoluta
ed il livello energetico minimo di un
oscillatore (il cosiddetto livello fondamentale)
vale E0   2 dove ω è una costante tipica
dell’oscillatore (frequenza propria)
Il vuoto sarebbe quindi riempito di tali “quanti”
di energia di punto zero
La verifica sperimentale di questa ipotesi (non
ancora però universalmente riconosciuta) si ha
con l’effetto Casimir (provato nel 1997) in cui
due lastre metalliche si attraggono a causa
della ZPE
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effetto Casimir
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Evaporazione dei buchi neri
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I buchi neri in verità sarebbero … grigi
Secondo la teoria della relatività
generale (che è una teoria classica) ciò
(materia o energia) che è dentro
l’orizzonte degli eventi di un buco nero
non può più uscirne
Secondo la meccanica quantistica,
invece, la materia (o l’energia) può
uscire da un buco nero per effetto tunnel
La materia può uscirne anche a causa
della ZPE. Se in prossimità
dell’orizzonte degli eventi un fotone di
ZPE si trasformasse casualmente in una
coppia elettrone-positrone (il positrone
è l’antiparticella dell’elettone) e se una
di queste particelle entrasse nel buco
nero, l’altra verrebbe vista da un
osservatore esterno come essere stata
emessa dal buco nero. Il buco nero, in
questo modo, “evaporerebbe” (molto
lentamente !!) (Stephen Hawking)
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Il paradosso EPR
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Il paradosso EPR (dovuto a Einstein,
Podolsky e Rosen, 1935) afferma che, a causa
delle leggi della MQ, si potrebbe superare
indefinitamente la velocità della luce ed
ottenere addirittura una sorta di teletrasporto
istantaneo alla “Star Trek”
Supponiamo di avere un sistema formato da
due elettroni (A e B) che ad ogni misura di
spin totale fornisce il valore 0. Se, misurando
lo spin di A, ottenessimo il valore +1/2 l’altro,
anche se distante milioni di anni luce, avrà
spin –1/2. Questo fatto va sotto il nome di
entanglement quantistico
Se potessimo modificare lo spin di A,
avremmo modificato “istantaneamente” lo
spin di B. In questo sta il paradosso EPR
Purtroppo non possiamo modificare lo spin di A
(senza rompere l’entanglement) per cui non
possiamo trasmettere informazioni
istantaneamente
L’entanglement quantistico è utilizzato nei
nascenti computer quantistici e nei progetti di
criptazione delle informazioni
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