Onde Giroscopiche
Capitolo 1
Classificazione
Si possono dividere in 2 gruppi in base alla forza di richiamo che le genera:
• Kelvin e Poincaré
– Onde di Kelvin
La forza di richiamo é la gravitá. Sono onde che si propagano
lungo un contorno (Boundary Waves) e sono onde non dispersive.
La loro frequenza é molto vicina a quella planetaria, f: per questo
sono anche chiamate quasi inerziali.
– Onde di Poincaré
La forza di richiamo é sempre la gravitá, ma a differenza delle prime sono onde dispersive a causa della rotazione. La loro
frequenza ω é maggiore di quella planeraria: sono onde superinerziali. Per questo motivo non si possono propagare a grandi
latitudini, dove f, infatti, é molto grande.
• Rossby e topografiche
– Onde di Rossby (planetarie)
Sono dovute alla variazione di f e la loro frequenza deve essere
minore di quella planetaria (onde subinerziali). Si ha, per questo
tipo di onde, conservazione della vorticitá potenziale e sono onde
che si propagano da est a ovest.
– Onde topografiche
Dovute alla variazione della profonditá del bacino oceanico, conservano anch’ esse la vorticitá potenziale. Sono anch’ esse onde
subinerziali.
1
Capitolo 2
Onde di Kelvin e Poincaré
2.1
Onde di Kelvin
La loro ampiezza (altezza rispetto al livello di riferimento in assenza di
moto) é di circa 10 m lungo la termoclina. Sono onde gigantesche, con una
lunghezza d’onda di circa 103 km (1o di longitudine sono circa 111 km!) ed
una velocitá di ∼2 m/s (infatti impiegano all’incirca 2 mesi per atraversare
il Pacifico). Sul contorno si ha bilancio geostrofico:
−
∇p(normale alla costa) − 2Ω ∧ →
u (lungo la costa).
Caratteristica di queste onde é di tenere il contorno sulla destra nell’emisfero
Nord e a sinistra in quello Sud.
contorno
contorno
Equatore
E
W
Figura 2.1:
Trattandosi di un’onda stazionaria, si verificherá come l’ampiezza decada con la distanza dalla costa: decadimento esponenziale come se fosse
contenuta in una scatola. Anche all’equatore sono presenti queste onde, il
quale agisce come una guida d’onda. Come si vede dalla figura, hanno una
rotazione in senso antiorario (emisfero Nord). Man mano che percorrono il
contorno ad est, aumenta la vorticitá planetaria che, formando una specie
di muro, le fa riflettere al contrario.
2
2.2
Onde di Poincaré
Sono, come giá accennato, onde dispersive: si troverá, infatti, una relazione
di dispersione che legherá le frequenze ai numeri d’onda. Ricordiamo che
ω > f o anche s = 1/ω < 1
da cui
1
1
>
⇒ T < TT
T
TT
. Le particelle compiono traiettorie ellittiche con l’asse maggiore parallelo
→
alla direzione di propagazione. Nell’emisfero nord −
u (t) é anticiclonica: la
particella é in moto in senso orario. A seconda del valore di s, si puó fare
una classificazione dei diversi tipi di onde:
• s ¿ 1: SHORT WAVES
Le particelle percorrono onde ellittiche (Poincaré).
• s∼0
Rettilinee, onde di gravitá in assenza di rotazione (all’equatore).
• s ∼ 1: LONG WAVES
Onde circolari (Kelvin).
ellittiche
rettilinee
SHORT WAVES
circolari
LONG WAVES
Figura 2.2: Orbite delle onde
2.3
Equazioni del moto
Ricordiamo le equazioni di Navier-Stokes per le componenti orizzontali e
l’equazione di continuitá ricavata in precedenza sotto la condizione di acqua
3
bassa (η ¿ H, dove η rappresenta la superficie libera, funzione di x,y e t):

∂η
∂u


− f v = −g



∂t
∂x





 ∂v
∂η
+ f u = −g
(2.1)

∂t
∂y







∂η
∂
∂



+
(uH0 ) +
(vH0 ) = 0.
∂t
∂x
∂y
Si definisce un vettore flusso di massa
−
→
−
→
→
−
M = Mx i + My j
con
Mx = uH0 e My = vH0
da cui
u=
Mx
My
ev=
.
H0
H0
−
→
Sostituisco nelle (2.1) ottenendo delle nuove equazioni per M :

∂η
∂Mx


− f My = −gH0



∂t
∂x






∂My
∂η
+ f Mx = −gH0

∂y
 ∂t
(2.2)






∂η ∂Mx ∂My



+
+
= 0.
∂t
∂x
∂y
Si derivi la prima delle (2.2) rispetto ad y e la seconda rispetto ad x:


∂My
∂2η
∂H0 ∂η
∂ 2 Mx


−
f
=
−gH
−g

0

 ∂t∂y
∂y
∂x∂y
∂y ∂x



∂Mx
∂2η
∂H0 ∂η
∂ 2 My


+f
= −gH0
−g
.

(2.3)
∂t∂x
∂x
∂y∂x
∂x ∂y
Si sottrae la prima dalla seconda:
∂ ∂My
∂Mx
∂Mx ∂My
∂H0 ∂η ∂H0 ∂η
(
−
) + f(
+
) = −g(
−
)
∂t ∂x
∂y
∂x
∂y
∂x ∂y
∂y ∂x
= −gJ(H0 , η).
(2.4)
Derivando, invece, la prima delle (2.2) rispetto ad x e la seconda rispetto ad
y:
 2
∂ Mx
∂My
∂H0 ∂η
∂2η


−
f
=
−g
−
gH

0

 ∂t∂x
∂x
∂x ∂x
∂x2


∂ 2 My
∂Mx
∂H0 ∂η
∂2η



+f
= −g
− gH0 2
∂t∂y
∂y
∂y ∂y
4
∂y
(2.5)
e sommando le due equazioni si ottiene:
∂ ∂Mx ∂My
∂My
∂Mx
(
+
) − f(
−
) = −g∇(H0 ∇η).
∂t ∂x
∂y
∂x
∂y
(2.6)
Si derivi la (2.6) rispetto al tempo:
∂ 2 ∂Mx ∂My
∂ ∂My
∂Mx
∂
(
+
)−f (
−
) = −g ∇(H0 ∇η)
∂t2 ∂x
∂y
∂t ∂x
∂y
∂t
(2.7)
e sostituendo la (2.4) nella (2.7) si ha:
∂ 2 ∂Mx ∂My
∂Mx ∂My
(
+
) + f 2(
+
)=
2
∂t ∂x
∂y
∂x
∂y
(2.8)
∂
= −g [∇(H0 ∇η)] − gf J(H0 , η).
∂t
Ma dalle (2.2) si ha che
∂η
∂Mx ∂My
+
=−
∂x
∂y
∂t
(2.9)
∂2
∂η
∂
∂η
(− ) + f 2 (− ) = −g [∇(H0 ∇η)] − gf J(H0 , η)
2
∂t
∂t
∂t
∂t
(2.10)
∂ ∂2
[(
+ f 2 )η − g(∇(H0 ∇η))] − gf J(H0 , η) = 0
∂t ∂t2
(2.11)
e sostituendo nella (2.8):
cioé
da cui, ricordando che c20 = gH0 ,
∂ ∂2
[(
+ f 2 )η − ∇2 (c20 η)] − gf J(H0 , η) = 0
∂t ∂t2
(2.12)
un’equazione che lega η allo spessore del fluido a riposo. A questo punto
bisogna ottenere delle equazioni anche per le velocitá orizzontali u e v. Si
riconsiderino, a tal fine, le equazioni iniziali (2.1) e si derivi la prima per il
tempo:
∂2u
∂v
∂2η
−
f
=
−g
.
∂t2
∂t
∂x∂t
(2.13)
Sostituendo in questa equazione la seconda delle (2.1) si ha:
∂2u
∂η
∂2η
−
f
(−f
u
−
g
)
=
−g
.
∂t2
∂y
∂x∂t
5
(2.14)
Si derivi la seconda delle (2.1) rispetto al tempo:
∂2v
∂u
∂2η
+
f
=
−g
∂t2
∂t
∂y∂t
(2.15)
in cui si sostituisce la prima delle (2.1):
∂2v
∂η
∂2η
+
f
(f
v
−
g
)
=
−g
∂t2
∂x
∂y∂t
e si ottiene:

∂η
∂2
∂2η

2

−g
 ( 2 + f )u = −f g
∂t
∂y
∂∂t

∂2
∂η
∂2η

2
 (
+
f
)v
=
f
g
−
g
.
2
∂t
∂x
(2.16)
(2.17)
∂y∂t
Se non c’é variazione rispetto al tempo le equazioni diventano:

g ∂η


 u=− ( )
f ∂y
g ∂η


 v= (
)
(2.18)
f ∂x
che, ricordando la relazione tra la pressione p ed η, non sono nient’altro che
le relazioni per moto geostrofico orizzontale. Si puó inoltre osservare che η
ha le isolinee che funzionano da streamlines per il flusso. Moltiplicando la v
∂η
ottenuta per ∂x
e la u per ∂η
∂y si ha

g ∂η ∂η
∂η


=−
u


 ∂y
f ∂y ∂y


g ∂η ∂η
∂η


 v
=
∂x
(2.19)
f ∂x ∂x
e sommando si ottiene che
u
∂η
∂η
+v
= 0.
∂y
∂x
(2.20)
Se non c’é variazione nel tempo allora lo Jacobiano incontrato nelle equazioni
é nullo, in quanto:
J(H0 , η) =
1 ∂ ∂2
[(
+ f 2 )η − g(∇2 c20 η)] = 0
gf ∂t ∂t2
da cui
∂H0 ∂η ∂H0 ∂η
−
=0
∂x ∂y
∂y ∂x
⇓
∂H0 /∂x
∂η/∂x
=
.
∂H0 /∂y
∂η/∂y
6
(2.21)
che indica come le isolinee di η siano anche isolinee di H0 e come il flusso
avvenga lungo queste.
2.4
Modi di Kelvin e Poincaré
In questa sezione verranno ricavati, attraverso le equazioni del moto e di
continuitá, le relazioni di dispersione per le onde di gravitá, da cui i modi
di oscillazione libera propri di queste onde. Sono onde che, ricordiamo, si
propagano tra 2 contorni, in uno strato di fluido sottile (η ¿ H0 ), omogeneo
(ρ = cost) e rotante (f non trascurabile). Si considerino x come direzione
del flusso ed i boundary in
y=0ey=L
per cui
v(y = 0) = v(y = L) = 0
.
y
L
+
f
x
0
Figura 2.3:
Ricordando le (2.17) ed imponendo la condizione di velocitá meridionale
v nulla sui contorni,
∂2η
∂η
−f
= 0.
∂y∂t
∂x
(2.22)
Si consideri lo spessore in assenza di moto H0 costante, da cui si ha che lo
Jacobiano J(H0 , η) = 0 e quindi, dalla (2.12), si ha
∂ ∂2
[(
+ f 2 )η − c20 ∇2 η] = 0
∂t ∂t2
(2.23)
2
∂
2
Si osservi che, affinché l’operatore < = ( ∂t
2 + f ) non si annulli, occorre che
σ 6= f . Si supponga una soluzione oscillante per la superficie libera:
η = Reη̃(y)ei(kx−σt) .
(2.24)
La forma di η esprime come l’ampiezza dell’onda vari lungo y e il flusso sia
solo lungo x. Sostituendo nella (2.22), si ottiene un’equazione per l’ampiezza:
dη̃
fk
+ ( )η̃ = 0 per y=0,L
dy
σ
7
(2.25)
mentre, sostituendo nella (2.23), si ottiene
d2 η̃
σ2 − f 2
+
η̃(
− k2 ) = 0
dy 2
c20
(2.26)
che ammette una soluzione del tipo
η̃ = A sin(αy) + B cos(αy)
dove si é posto α2 =
nell’equazione (2.25):
σ 2 −f 2
c20
− k2 .
αA cos(αy) − αB sin(αy) +
(2.27)
Ora si sostituisca questa soluzione
fk
fk
A sin(αy) +
B cos(αy) = 0
σ
σ
⇓
cos(αy)(αA +
fk
fk
B) + sin(αy)( A − αB) = 0.
σ
σ
Per y=0 si ha:
αA +
σα
fk
B = 0 ⇒ B = − A.
σ
fk
(2.28)
Per y=L:
αA cos(αL) − αB sin(αL) +
fk
(A sin(αL) + B cos(αL)) = 0.
σ
(2.29)
Da cui, sostituendo il valore di B trovato con la condizione al contorno su y
= 0 e con pochi calcoli:
sin(αL)(α2 + (
fk 2
) ) = 0;
σ
(2.30)
sostituendo il valore di α e raccogliendo in modo opportuno,
(σ 2 − f 2 )(σ 2 − c20 k 2 ) sin(αL) = 0.
8
(2.31)
Si hanno, allora, 3 possibili casi, 3 possibili relazioni di dispersione:
1. MODI DI POINCARÉ
nπ
, n = 1, 2, ...
L
Si noti, infatti, che il modo n=0 non e’ possibile in quanto: se fosse
tale, si avrebbe α = 0, da cui ∂η
∂y = 0. Questo signigica che la superficie
libera sarebbe indipendente da y e quindi
sin(αL) = 0 ⇒ α =
v=
f2
gf ∂η(x, t)
− σ 2 ∂x
NON nulla ai contorni y=0,L, a meno che η non sia nulla ovunque.
É comunque un modo esistente nel caso di flusso senza limiti per un
fluido non rotante. Dopo queste precisazioni, si ricordi l’espressione
per α:
n2 π 2
σ2 − f 2
α2 =
=
− k2
L2
c20
da cui si ottiene la relazione di dispersione per onde piane con compoπ
nente y del vettore d’onda quantizzata in multipli di L
:
r
σn = ± f 2 + c20 [(
nπ 2
) + k 2 ], n = 1, 2, ...
L
(2.32)
Si osservi come la frequenza possa assumere soltanto alcuni valori: é
come un’onda stazionaria con una frequenza fondamentale piú tutte
le armoniche. Puó avere 2 segni: infatti la fase si propaga verso le
x positive e negative, cioé per ogni onda di Poincaré che si propaga
verso destra, ne esiste una di ugual fase che si propaga verso sinistra.
σn > f SEMPRE: come giá detto, sono onde superinerziali.
σ
Lf
con cx =
(velocitá di fase del modo) e la
Se B=1, A = −
nπcx
k
superficie
η = η0 [cos(
Lf
nπ
nπ
y) −
sin( y)] cos(kx − σt + φ).
L
nπcx
L
(2.33)
2. MODO DI KELVIN
(σ 2 − c20 k 2 ) = 0 ⇒ σ = ±c0 k
Essa rappresenta una relazione di dispersione per un’onda piana con
le creste parallele all’asse y (η indipendente da y), in un fluido non
rotante (non compare f, infatti): é una soluzione inaspettata in quanto
il fluido in esame é rotante. Compare un valore minimo: σmin = 0.
9
A questo punto si possono cercare le soluzioni per η. Dalla definizione
di α, per σ = ±kc0 , si ha
α2 = −
f2
f
⇒ α = ±i
2
c0
c0
un numero d’onda puramente immaginario. Considerando la soluzione
σα
positiva e ricordando l’espressione generale per η̃ con B = − A, si
kf
ha
η̃(y) = A(
e
i(i cf )y
0
−i(i cf )y
−e
2i
0
= η0 [e−f y/c0 (1 +
|
{z
iσ e
−
kc0
i(i cf )y
0
+e
2
−i(i cf )y
0
)
σ
σ
) − ef y/c0 (1 −
)]
kc0
kc0
}
|
I
{z
}
II
A
dove si é posto η0 = . La parte I decresce esponenzialmente man
2i
mano che ci si allontana dal boundary posto a y=0, mentre la II mostra
come l’ampiezza dell’onda decresca esponenzialmente allontanandosi
dal boundary y=L, in direzione -y. Se σ = kc0 si ha l’onda di Kelvin
verso destra e il termine II si annulla: la soluzione generale sará, allora:
η = η0 e−f y/c0 cos(kx − σt)
ottenuta semplicemente dalla η̃. É una soluzione valida anche se ci
fosse un signolo contorno e si puó osservare inoltre che, ∀y nel canale
v=0. Infatti
η0 f
sin(kx − σt)
v=
H0 k
∂2v
= −σ 2 v
∂t2
e dalla relazione
∂2v
∂2η
∂η
2
+
f
v
=
−g
+ gf
2
∂t
∂t∂y
∂x
sostituendo l’espressione trovata per la superficie libera, si ottiene facilmente che la velocitá meridionale é nulla. Mentre, per quanto riguarda
la velocitá zonale u:
g ∂η
u=−
f ∂y
che mostra come essa sia in equilibrio geostrofico con il campo di pressione. L’osservatore che guarda verso la direzione di propagazione
trova un’altezza maggiore a destra: infatti, se l’onda deve tenere la
10
costa a destra e se l’ampiezza decresce esponenzialmente allontanandosi dalla costa, allora risulta che deve avere ampiezza maggiore a
destra. Definendo R = c0 /f un parametro chiamato fattore di scala
o raggio di deformazione, se f=0 si ha R = ∞: si recupera il modo
n=0 di Poincaré. Se invece σ = −kc0 , allora si ha propagazione verso
sinistra: il termine I va a zero e la soluzione per la η sará dunque:
η = η0 ef y/c0 cos(kx − σt).
Considerando la sovrapposizione di 2 onde di Kelvin di uguale ampiezza che si propagano su entrambi i contorni del canale, si ha
η = η0 [cos(k(x − c0 t))e−f y/c0 + cos(k(x + co t))e−(L−y)f /c0 ]
per y =
L
2
η = 2η0 cos(kx) cos(kc0 t)e−f L/2c0 .
Figura 2.4: t = 0.245 T
11
Figura 2.5: t = 0.250 T
Figura 2.6: t = 0.255 T
12
3. FREQUENZA DI CORIOLIS, INERZIALE
σ = ±f
In questo caso non é possibile risolvere direttamente il campo di velocitá da η perché l’operatore < = 0. Si riconsiderino allora le equazioni
di partenza (2.1) in cui si suppongano le soluzioni:


u = Reũ(y)ei(kx−f t)













v = Reṽ(y)ei(kx−f t)
(2.34)
η = Reη̃(y)ei(kx−f t)
e sostituendole nelle (2.1) si ottiene

f ũ − if ṽ = gk η̃



dη̃


 f ũ − if ṽ = −g
(2.35)
dy
e sottraendo la prima dalla seconda
dη
+ k η̃ = 0 ⇒ η̃ = η0 e−ky .
dy
(2.36)
Mentre l’equazione di continuitá delle (2.1) diventa
−if η̃ + H0 (ikũ +
dṽ
) = 0.
dy
(2.37)
Ma dalle (2.35) si ha
ũ = iṽ +
gk
η̃.
f
(2.38)
perció, sostituendo nell’equazione di continuitá trovata, si ha:
η̃
c2 k 2
if η0
c2 k 2
dṽ
− kṽ = if
(1 − 0 2 ) =
(1 − 0 2 )e−ky
dy
H0
f
H0
f
che ha soluzione
ṽ = Aeky −
if η0
c2 k 2
(1 − 0 2 )e−ky .
2H0 k
f
Ma ṽ = 0 per y=0. Allora
A=
if η0
c2 k 2
(1 − 0 2 )
2H0 k
f
13
(2.39)
e sostituendo si ha
ṽ =
c2 k 2
if η0
(1 − 0 2 ) sinh(ky).
H0 k
f
(2.40)
ricordando che
eky − e−ky
.
2
Ma per y=L non si puó dire ṽ = 0 allo stesso modo, se non imponendo
sinh(ky) =
1−
f2
c20 k 2
2
=
0
⇒
k
=
⇒ k = R−1 .
f2
c20
Allora ṽ é identicamente nulla ed η̃ decade esponenzialmente come
e−f y/c0 . Ecco che si ritrova, allora, il modo di Kelvin: é una soluzione
indistinguibile dall’onda di Kelvin.
Figura 2.7: Relazione di dispersione delle onde di Poincaré e di Kelvin
14
Tutto il discorso fatto vale per le onde di Kelvin costiere. Le onde di
Kelvin equatoriali presentano una struttura simile a quelle costiere, in cui il
moto é unidirezionale e sempre parallelo all’equatore (v=0). In questo caso
f = f0 + βy, con f0 = 0
cosicché le equazioni del moto divengono

∂u
∂η


=
−g


∂t
∂x



 ∂η + H ∂u = 0.
∂t
(2.41)
∂u
La prima dá
βyu = −g
∂η
∂y
e le soluzioni saran le stesse di quelle trovate per il caso costiero:

2

− βy

2c G(x − ct)
η
=
e




g βy2

 u = e− 2c G(x − ct)
(2.42)
c
che rappresentano un’onda che si propaga verso Est senza dispersione. Questo mostra come gli effetti di rotazione (f = f0 + βy) richiedano un bilancio
geostrofico tra la velocitá verso Est e il gradiente di pressione Nord-Sud. Si
ha inoltre il
Re = (
c 1/2
)
raggio di deformazione di Rossby equatoriale.
2β
Si ricordi, ancora, che per quanto riguarda i moti barotropici (vettore di
baroclinicitá nullo) in oceano, c ∼ 200m/s da cui Re ∼ 2000Km (confinamento). Per i moti baroclinici, invece, si ha:
atmosfera c =
p
gH ' 20 − 80ms−1 ⇒ Re ∼ 650 − 1300Km
oceano c ' 0.5 − 3ms−1 ⇒ Re ∼ 100 − 200Km
dove H é la profonditá equivalente. Questi dati indicano, ad esempio, che
un’onda di Kelvin impiega circa 2 mesi per percorrere il Pacifico dalla Nuova
Guinea al Sud America.
15
Figura 2.8: Upwelling e downwelling delle onde di Kelvin
Figura 2.9: Maree nel canale della Manica
Figura 2.10: Upwelling e downwelling delle onde di Kelvin
16
Capitolo 3
Onde di Rossby e
topografiche
Le onde di Rossby sono state scoperte dopo gli anni ’50. Sono facilmente
osservabili in atmosfera (sequenze di celle di alta e bassa pressione), mentre
in oceano sono state scoperte solo grazie all’utilizzo di satelliti ed hanno
ampiezza molto piú piccola che in atmosfera.
W
E
5 cm
termoclina
50 m
500 Km
Figura 3.1: Oscillazione
Sono onde che impiegano dai 6 mesi ad un anno per percorrere il Pacifico (onde planetarie), in quanto hanno una velocitá dell’ordine dei cm/s (Km/day).
Come giá accennato all’inizio della trattazione, sono onde che conservano la
vorticitá potenziale. L’importanza delle onde di Rossby risiede nel fatto che
ha diversi effetti:
• ridistribuzione della quantitá di moto
• tempo di risposta della forzante a grande scala
• trasmissione di energia (calore)
17
• interazione con la circolazione generale (con effetti sull’intensificazione
o variazione del percorso delle correnti)
• effetti ritardanti di eventi climatici (per le velocitá tipiche e le scale
interessate)
• intensificazioe delle western boundary currents.
polo
moto
f diminuisce
ω aumenta
ciclonico
equatore
polo
polo
effetto
f aumenta
ω diminuisce
Coriolis
equatore
equatore
polo
moto
effetto
anticiclonico
Coriolis
equatore
Figura 3.2: Oscillazione
Figura 3.3: Livello di un fluido omogeneo su un fondo pendente
18
Figura 3.4: Meccanismo fisico delle onde planetarie e topografiche
19
Essendo onde a grande scala, non si puó trascurare la sfericitá della Terra
e quindi la dipendenza del parametro di Coriolis f dalla latitudine θ. Si deve
perció considerare l’approssimazione di β-plane, in cui f dipende da θ ma si
applica una geometria cartesiana. Sviluppando f in funzione della latitudine
si ha:
f = 2Ω sin θ ∼ 2Ω sin θ0 +
2Ω
cos θ0 R(θ − θ0 ) + ... ' f0 + βy
R
dove
f0 = 2Ω sin θ0 (θ0 latitudine media )
R = raggio terrestre
β=
2Ω
cos θ0
R
y = R(θ − θ0 ) ⇒ β =
∂f
.
∂y
Figura 3.5: Approssimazione di β-plane
Se L é la grandezza caratteristica del moto Nord-Sud, si ha che
β
4y
L
¿ 1 ∼ O( ).
f0
R
20
A differenza delle onde di Kelvin e Poincaré, bisogna tener conto del
fondo: supponiamo che la profonditá in assenza di moto sia funzione della
sola posizione e che lo spessore del fluido perturbato sia
D = D0 − hB (x, y).
Figura 3.6: Layer oceanico in approssimazione di β-plane
Si consideri l’equazione di continuitá; integrandola sulla profonditá, allora si ottiene
D(
∂u ∂v
+
) + wT OP − wBOT T = 0
∂x ∂y
(3.1)
con
• wT OP =
∂η
∂t
∂hB
dhB
=
+ ū · ∇hB = ū · ∇hB (condizione cinematica)
dt
∂t
dove, se ∇p é indipendente da z, anche le velocitá orizzontali lo sono. Quindi,
sostituendo questi valori nella (3.1), si ottiene facilmente:
• wBOT T =
∂η
∂u ∂v
+ D(
+
) + ū · ∇D = 0, (∇ · hB = −∇D)
∂t
∂x ∂y
(3.2)
che puó anche esser scritto come
∂η
+ ∇ · (Dū) = 0.
∂t
(3.3)
Ora si dovrá ricavare un’equazione per la vorticitá, differenziando rispetto
ad y la prima delle equazioni del moto (2.1) e rispetto ad x la seconda (si
ricordi che ora f=f(y)). Sottraendo membro a membro le equazioni nuove
ottenute, si ha:
∂
∂u ∂v
(ωz ) + f (
+
) + βv = 0
|{z}
|∂t {z } | ∂x{z ∂y }
III
I
II
21
(3.4)
dove ωz rappresenta la componente della vorticitá rispetto a z. Guardando
la scala dei vari termini si puó osservare che:
• I ∼ σU/L ∼ O(βL) ⇒
σ
βL
∼
¿1⇒σ¿f
f
f0
• II ∼ f0 U/L
• III ∼ βU.
Sostituendo la (3.2) nella (3.4) e raccogliendo i termini si ha:
∂
1 ∂η
ū
(ωz ) + f (−
−
· ∇D) + βv = 0
∂t
D ∂t
D
(3.5)
ma, essendo β = ∂f /∂y = ∇f , allora βv = ∇f · ū. Ma il terzo e l’ultimo
termine danno Dū · ∇(f /D):
∂
η
f
(ωz − f ) + Dū · ∇( ) = 0
{z D } |
{z D }
|∂t
I
II
(3.6)
• I → rate di variazione di vorticitá potenziale p.v.
• II→ prodotto scalare tra flusso di massa Dū e il gradiente di p.v.
ambientale.
Si osservi che finora f e D erano costanti e perció la vorticitá potenziale si
conservava in ogni punto. In presenza di un gradiente preesistente di p.v.,
essa non sará costante in ogni punto (infatti la p.v. ambientale cambia),
tuttavia ogni elemento di fluido la conserva nel suo moto. Le onde possono
perció avere p.v. non nulla.
Si considerino le equazioni per il flusso di massa (2.2), dove H0 = D,
My = V ed Mx = U , in approssimazione di β-plane. Derivando la prima
rispetto ad x e la seconda rispetto ad y e sommando le 2 equazioni ottenute,
si ha:
∂
(Ux + Vy ) − f (Vx − Uy ) + βU =
∂t
= −g(Dx ηx + Dy ηy ) − gD(ηxx + ηyy )
(3.7)
= −g∇(D∇η)
dove i pedici indicano le variabili di derivazione. Derivando, invece, la prima
delle (2.2) rispetto ad y e la seconda rispetto ad x e sommando i risultati
ottenuti, si ottiene:
∂
(Vx − Uy ) + f (Ux + Vy ) + βV = −gJ(D, η).
∂t
22
(3.8)
Si moltiplichi quest’ultima per f e si derivi la (3.7) per t:
f
∂
(Vx − Uy ) + f 2 (Ux + Vy ) + βf V = −gf J(D, η)
∂t
∂2
∂
∂U
∂
(Ux + Vy ) − f (Vx − Uy ) + β
= −g ∇(D∇η).
2
∂t
∂t
∂t
∂t
Dalla prima di quest’ultime equazioni si ottiene che:
−f
∂
(Vx − Uy ) = f 2 (Ux + Vy ) + βf V + gf J(D, η)
∂t
(3.9)
(3.10)
e sostituendo nella seconda delle (3.9):
∂2
∂U
(Ux + Vy ) + f 2 (Ux + Vy ) + βf V + β
=
2
∂t
∂t
= −g
∂
∇(D∇η) + gf J(D, η)
∂t
(3.11)
⇓
∂2
∂U
∂
+ f V ) = −g ∇(D∇η) + gf J(D, η).
+ f 2 )(Ux + Vy ) + β(
2
∂t
∂t
}
| ∂t {z
(
<
Ora, considerando l’equazione di continuitá delle (2.2), si vede che
Ux + Vy = −ηt
e sostituendo nella (3.11) si ottiene:
−<ηt + β(Ut + f V ) = −g∇(D∇ηt ) + gf J(D, η).
(3.12)
Si osservi che se β = 0 si riottiene l’equazione per le onde di gravitá in presenza di rotazione (a meno dell’ultimo termine). A questo punto si devono
ottenere delle equazioni che leghino U e V (il flusso di massa) ad η. A tal
proposito, si derivino le equazioni del moto (2.2) rispetto al tempo:
 2
∂ U
∂V
∂2η


−
f
=
−gD


 ∂t2
∂t
∂x∂t


∂2V
∂U
∂2η



+
f
=
−gD
.
2
∂t
Ma
∂t
∂y∂t

∂V
∂η


−
= f U + gD



∂t
∂y





(3.13)
∂U
∂η
= f V − gD
∂t
∂x
23
(3.14)
e sostituendo nelle (3.13) si ottengono le equazioni che legano il vettore di
flusso alla superficie libera:


 <U = −gD(ηxt + f ηy )

 <V = −gD(η − f η ).
yt
x
(3.15)
Si applichi l’operatore < alla (3.12):
−<(<ηt ) + <[β(Ut + f V )] = −g<[∇ · (D∇ηt )] + g<f J(η, D)
⇓
∂
<[−<η + g∇ · (D∇η)] − gf <J(η, D)+
∂t
+β
∂
[−gD(ηxt + f ηy )] − f βgD(ηyt − f ηx ) = 0
∂t
(3.16)
⇓
∂
<[g∇ · (D∇η) − <η] −gf <J(η, D) −βgDηxtt −
{z
} | {z }
∂t
{z
}|
|
III
II
I
−2βgf Dηyt +f 2 βgDηx = 0.
|
{z
IV
}|
{z
}
V
Essa rappresenta un equazione valida per TUTTE le onde: comprende onde
di Poincaré e Rossby, approssimazione di β-plane e fondo non costante. Ma
dato che per le prime σ > f , mentre per le seconde σ > f , alcuni termini
saranno importanti per le une, altri per le altre.Per vedere questo, bisognerá
studiare i fattori di scala in base al valore della frequenza. Si considerino gli
ordini di grandezza e i rapporti dei 4 termini rispetto al primo:
1. σ À f → < ∼ O(σ 2 )
σ 3 c20
)η
L2
gf σ 2 hB
• II ∼ O(
)η
L2
βc2 σ 2
• III ∼ O( 0 )η
L
2
βc f σ
• IV ∼ O( 0 )η
L
• I ∼ O(
24
• V ∼ O(
βc20 f 2
)η.
L
Rapportando i vari termini rispetto al primo:
gf hB
f hB
– II/I → 2 =
¿1
Dσ
c0 σ
per onde che hanno frequenza ≥ f il secondo termine é molto
piú piccolo del primo, in quanto si é assunto hB ¿ D;
βL
βL
– III/I →
≤
¿1
σ
f
come conseguenza della β-plane;
βLf
βL
– IV/I → 2 ≤
¿1
σ
f
βLf 2
¿1
– V/I →
σ3
e quindi per onde con frequenza maggiore di quella planetaria, l’equazione che ne governa il moto é quella trovata in
precedenza:
∂2η
∂
<(c20 ∇2 η − 2 − f02 η) = 0
∂t
∂t
2. σ ¿ f → < ∼ O(f 2 )
σf 2 c20
)η
L2
gf 3 hB
II ∼ O(
)η
L2
σ 2 βc20 σ 2
III ∼ O(
)η
L
βc2 f σ
IV ∼ O( 0 )η
L
2
βc f 2
V ∼ O( 0 )η.
L
• I ∼ O(
•
•
•
•
Rapportando i vari termini rispetto al primo:
f hB
– II/I →
∼ O(1)
Dσ
la deformazione del fondo hB sará sicuramente < D;
βLσ
– III/I → 2 ¿ 1
f
βL
– IV/I →
¿1
f
per l’approssimazione di β-plane;
25
βL
– V/I →
∼ O(1)
σ
e quindi vanno via il terzo e il quarto termine. Di conseguenza, per onde con frequenza minore di quella planetaria,
l’equazione che ne governa il moto é:
∂
<[g∇ · (D∇η) − <η] − gf <J(η, D) + βgDf 2 ηx = 0
∂t
Da quest’ultima equazione, esplicitando < e semplificando f 2 e c2o = gD si
ottiene:
f2
f
∂η
∂
(∇2 η − 2 η) −
J(η, hB ) + β
=0
∂t
D0
∂x
c0
ed essendo
(
f = f0 + βy, βy ¿ f0
D = D0 + hB
si ha
∂
f2
f0 hB
(∇2 η − 02 η) − J(η,
)=0
∂t
D0
c0
(3.17)
in cui si nota che, rispetto a Poincaré, vi é uno Jacobiano in piú. Cercando
soluzioni ad onda piana
η = Aei(kx+ly−σt) ,
esse saranno soluzioni dell’equazione (3.17) appena trovata soltanto se vale
la relazione di dispersione
σ=−
k2
+
l2
β̂k
∂hB
.
, β̂ = β + f0
2
+ (f /c0 )
∂y
(3.18)
La relazione mostra che σ é sempre < 0: si osservi a questo proposito la
figura successiva. Per ogni valre di k positivo c’é un unico valore di σ:
essendo sempre negativo, la velocitá di fase dell’onda di Rossby é sempre
nella direzione delle x negative (verso Ovest) ed ha un solo valore possibile.
Questa é una differenza con le onde di gravitá, dove per ogni onda che si
propagava verso destra, ve n’era una verso sinistra con la stessa frequenza.
Per le onde di Rossby lo spazio non risulta isostropo dinamicamente. Inoltre,
la fase si propaga in modo che un osservatore sulla cresta che guarda nella
direzione di propagazione ha la zona a p.v. ambientale maggiore alla sua
destra. La massima frequenza ∂σ/∂k = 0 → σmax , fissato
q
k=
é data da
l2 + f02 /c20 ,
β̂
σmax = − q
;
2 l2 + f02 /c02
26
Figura 3.7: Relazione di dispersione per onde di Rossby
per ogni (k,l), la massima frequenza si ha per l=0
β̂
β̂c0
σmax (k, l) = − q
=−
.
2f0
2 f02 /c20
É dinamicamente impossibile, a questo livello di approssimazione, distinguere quale sia la causa del necessario gradiente di vorticitá per le onde
di Rossby: gli effetti della sfericitá della Terra e l’effetto di un fondo con
pendenza uniforme. L’energia dell’onda viaggia con la velocitá di gruppo e
non con quella di fase; perció si ricavi la cg , trascurando l’effetto del fondo
(β ≡ β̂):


k 2 − (l2 + f 2 /c20 )


c
=
β

gx


[k 2 + l2 + (f0 /c0 )2 ]2





 cgy = β
[k 2
+
l2
2kl
.
+ (f0 /c0 )2 ]2
La velocitá di gruppo nella direzione x puó avere 2 segni, sebbene la cx sia
sempre negativa:
• k 2 > l2 + f02 /c20 → cgx > 0 (onde corte)
27
• k 2 < l2 + f02 /c20 → cgx < 0 (onde lunghe).
Le onde lunghe propagano la loro energia verso Ovest, le corte verso Est e
si ha che cgx = 0 quando k 2 = l2 + f02 /c20 , mentre
cgxmax =
β
8(l2 + f02 /c20 )
cgxmin = −
βc20
, per k = 0.
f02
28