Università della Calabria
Facoltà di Ingegneria
Dipartimento di Strutture
Corso di Laurea in Ingegneria Civile Indirizzo Strutture
TESI DI LAUREA
Modelli sintetici per l’analisi non lineare
degli edifici in muratura
RELATORE
CANDIDATO
Ing. Antonio Bilotta
Pierluigi
Talarico
matr. 54614
______________________________
Anno accademico 2006/2007
INTRODUZIONE
La muratura è il sistema costruttivo più antico che esiste. Negli ultimi decenni si sono
avuti numerosi sviluppi nei materiali e nelle applicazioni, ma il metodo di posa in
opera del materiale è rimasto uguale nei secoli, ossia attraverso la sovrapposizione
degli elementi intervallati da giunti di malta.
Le costruzioni in muratura hanno avuto un elevato sviluppo in passato grazie alla
relativa semplicità di posa in opera del materiale ed alla semplicità di ricavare gli
elementi principali.
Oggi invece è un sistema costruttivo che è stato messo da parte a favore di quelli
basati su cemento armato e acciaio, questo a causa di una mancanza di conoscenza
del comportamento strutturale sotto le azioni orizzontali quali quelle del sisma.
Le maggiori difficoltà, riguardanti l’analisi delle strutture in muratura, sono dovute al
fatto che questo è un sistema costruttivo composito che deriva dall’assemblaggio tra
mattoni e malta.
Una modellazione accurata di questo sistema può essere effettuata utilizzando due
tipi di approcci che chiameremo micromodellazione e macromodellazione. Nella
micromodellazione si effettua una descrizione dei singoli componenti, giunti di malta
e
mattoni,
utilizzando
diversi
tipi
di
modelli
costitutivi
anelastici.
Nella
macromodellazione la muratura viene modellata come un unico materiale a
comportamento non lineare. In ambedue i casi si utilizzano modelli di continuo
tridimensionali o bidimensionali che richiedono un impegno computazionale notevole
e la definizione di numerosi parametri costitutivi difficilmente valutabili a partire dalle
caratteristiche della muratura che tipicamente vengono utilizzate in ambito
ingegneristico.
Accanto a tali difficoltà di tipo numerico è bene ricordare anche quali siano le
tendenze attuali delle normative sulla materia. Tipicamente le norme che si sono via
via succedute hanno sempre assunto come riferimento modelli sintetici in grado di
descrivere il comportamento del singolo pannello murario mediante semplici modelli
monodimensionali. In tali modelli assume un’importanza fondamentale il tagliante
ultimo assorbito dai singoli pannelli, e quindi da tutta la struttura in fondazione. È
questa la componente della risposta strutturale che viene valutata quando si utilizza il
1
metodo N2, proposto da Fajfar ed applicato dagli Eurocodici e dalle norme FEMA,
introdotto in Italia dall’OPCM 3274/2003.
Quest’analisi consiste nell’applicare alla struttura, il carico dovuto al peso proprio,
quello accidentale e le azioni del sisma. Queste ultime vengono applicate
staticamente ed aumentate fino a che non si raggiunge il collasso. Lo scopo di
quest’analisi è quella della valutazione del taglio alla base della struttura che induce il
collasso e dello spostamento ultimo, che dovranno essere valutati con i valori
richiesti dal sisma.
Nella presente tesi vengono messi a confronto due modellazioni di tipo sintetico.
Ambedue le modellazioni si basano quindi su una descrizione a telaio equivalente
delle pareti murarie. Approccio che consente di semplificare la descrizione ad
elementi finiti dell’edificio e di contenerne i costi computazionali. I due modelli
considerati si differenziano nella descrizione del comportamento non lineare. Uno dei
modelli si basa sul rinomato modello POR, proposto da Tomazevic nel 1978,
utilizzato nella progettazione delle murature e rappresenta il modello più utilizzato
nella progettazione delle murature. Il modello descrive la risposta a taglio del
pannello murario sulla base di un comportamento elastico perfettamente plastico. Il
secondo modello considerato, proposto in tempi più recenti da Gambarotta e
Lagomarsino, descrive il comportamento a taglio del pannello murario utilizzando sia
una descrizione di tipo attritivo alla Coulomb, e quindi sostanzialmente simile in
questo punto al modello POR, sia un’evoluzione per effetto del danno della rigidezza
a taglio del maschio murario, tale circostanza abilita senz’altro quest’ultimo modello
anche all’analisi delle strutture soggette a carico ciclico.
La tesi è organizzata nel seguente modo:
Nel capitolo 1 vengono descritti i modelli di danno utilizzabili sia nella
micromodellazione che nella macromodellazione della muratura. Si tratta di modelli
di tipo anisotropo, ovvero che descrivono una diversa risposta a compressione ed a
trazione per il materiale, che, nel caso della micromodellazione sono utilizzati
soprattutto per descrivere il comportamento non lineare della malta. Nel caso della
macromodellazione si parte da operazioni di omogeneizzazione di “vedere” la
muratura come un unico materiale.
Nel capitolo 2 viene effettuata una panoramica sull’evoluzione della normativa che ha
interessato le metodologie di progettazione degli edifici in muratura. Vengono inoltre
2
esposti i metodi di verifica degli edifici utilizzando le due principali schematizzazioni:
POR e Telaio Equivalente.
Nel capitolo 3 vengono descritti i due modelli sintetici analizzati. Ambedue i modelli
sono basati su una modellazione ad elementi finiti di tipo monodimensionali e
descrivono la risposta a taglio dei pannelli murari utilizzando modelli non lineari
differenti.
Nel capitolo 4 si mostrano i risultati di una sperimentazione numerica, effettuata
analizzando un edificio in muratura, mediante due codici di calcolo che
implementano i modelli sopra descritti.
3
Capitolo
I:
MICROMODELLAZIONE
E
MACROMODELLAZIONE
DELLA
MURATURA
1.1. Introduzione
Questo capitolo si occupa della micro e della macro-modellazione della muratura e
del collegamento con le descrizioni corrispondenti del micro e macro-materiale. Sono
inoltre introdotte le funzioni di softening nei materiali quasi-fragili, necessarie per una
descrizione numerica completa. Una descrizione materiale per la micro-modellazione
deve essere ottenuta dalle prove su piccoli campioni dei costituenti della muratura,
mentre per la macro-modellistica, le prove devono essere effettuate negli esemplari
dal formato sufficientemente grande della muratura, sotto le condizioni omogenee di
sollecitazione e di sforzo.
1.2. Macro e Micro Modelli
La muratura è un materiale che presenta proprietà diverse a seconda della direzione
considerata, dovute principalmente ai giunti di malta che fungono da piani deboli.
Generalmente i metodi di analisi numerica sono basati o su micro-modelli (mattone,
blocco, malta,ecc. ) oppure su macro-modelli (muratura). I modelli utilizzati sono
classificati nel seguente modo:
- Micro-modello dettagliato: dove unità e malta sono rappresentate attraverso
elementi continui mentre l’interfaccia unità-malta è
rappresentata
attraverso elementi discontinui.
- Micro-modello semplificato: le unità sono rappresentate attraverso elementi
continui, mentre il comportamento della malta nei
giunti e dell’interfaccia unità-malta è raggruppato in
elementi discontinui.
- Macro-modello: la muratura viene trattata come un continuo omogeneo ed
anisotropo.
Nel primo approccio si prendono in considerazione: il modulo di Young, il coefficiente
di Poisson e le proprietà inelastiche delle unità e della malta. L’interfaccia
4
rappresenta un potenziale piano di fessurazione/slittamento con una rigidezza fittizia
iniziale per evitare la compenetrazione del continuo.
Nel secondo approccio, la muratura è considerata come un insieme di blocchi elastici
legati ai vari punti attraverso una linea potenziale di frattura/slittamento; si perde in
accuratezza e non si include il coefficiente di Poisson.
Nel terzo approccio non viene fatta una distinzione tra unità individuali ed i giunti, ma
la muratura viene trattata come un continuo omogeneo ed anisotropo.
I metodi da utilizzare saranno scelti in funzione delle necessità; i micro-modelli sono,
infatti, necessari per dare una migliore comprensione sul comportamento locale della
muratura. Il macro-modello è applicabile nello studio di pareti solide sufficientemente
larghe. Sia nel micro che nel macro modello occorre, comunque, una descrizione
dettagliata del materiale, perché le proprietà della muratura sono influenzate da
diversi fattori quali le proprietà dei materiali e della malta.
1.2.1. Comportamento Quasi-Fragile del Materiale Murario
Il softening è una diminuzione graduale della resistenza meccanica sotto un aumento
continuo di deformazione forzata su un materiale specifico o su una struttura. È una
caratteristica saliente dei materiali quasi-fragili come il mattone, la malta, la ceramica,
la roccia, che vengono a decadere a causa del processo di sviluppo progressivo
delle crepe interne. Tale comportamento meccanico è comunemente attribuito
all'eterogeneità del materiale, dovuto dalla presenza di fasi differenti e dei difetti dei
materiali, come i vuoti. Anche prima del caricamento, la malta contiene micro-fessure
dovute al restringimento durante l’essiccamento. L'argilla del mattone contiene le
inclusioni e delle micro fessure dovute al restringimento durante il processo di
cottura.
Inizialmente, si era stabilito che le micro fessure si sviluppavano soltanto, con
l’aumento del carico. Nelle vicinanze del carico di punta, inizia un'accelerazione di
formazione della crepa e dei macrocedimenti che sono instabili, che significa che il
carico deve diminuire per evitare uno sviluppo incontrollato. In una prova a
deformazione controllata lo sviluppo dei macrocedimenti provoca il softening e la
localizzazione di rotture dentro una piccola zona mentre scarica il resto
dell'elemento.
5
Per il collasso a taglio, un processo di softening è osservato come degradazione
della coesione dentro Modelli di attrito di Coulomb. Per collasso compressione, il
comportamento di softening è altamente dipendente dai termini di contorno negli
esperimenti e sul formato dell'elemento. I dati sperimentali indicano che il
comportamento nella compressione monoassiale è governato sia dalla continuità
locale che dai processi di frattura.
Nel presente studio, è presupposto che il comportamento anelastico sia nella
trazione che nella compressione può essere descritto dall'integrale del diagramma
σ−δ. Queste quantità, denotate rispettivamente come energia Gf di frattura e
l’energia di frattura per compressione Gc, è assunta come proprietà dei materiali. In
questo modo il comportamento di softening per trazione o compressione può essere
descritto allo stesso modo, perché i meccanismi base del collasso sono identici, cioè
il continuo sviluppo delle crepe al micro-livello. Si nota che la muratura presenta un
altro tipo di meccanismo di collasso, identificato generalmente come modo II, che
consiste nello slittamento
Fig. comportamento tipico dei materiali quasi-fragili sotto caricamento monoassiale e
6
definizione di energia di frattura: (a) caricamento di tensione (ft denota la resistenza di trazione); (b)
caricamento compressione (fc denota la resistenza a compressione).
Fig. comportamento della muratura sotto taglio e definizione dell’energia di frattura
G IIf di modo II (c
denota la coesione).
dell'interfaccia del unità-malta sotto caricamento del taglio. Di nuovo, si presuppone il
comportamento anelastico nel taglio che può essere descritto dall'energia G IIf di
frattura di modo II, definito dall'integrale dello schema del τ−δin assenza del carico
normale.
Il collasso dato dal taglio è una caratteristica saliente di comportamento della
muratura che deve essere compresa in un micro-modello. Comunque, per la
continuità del modello, questo collasso non può essere direttamente incluso perché
le geometrie della malta e dell'unità non sono individualizzate. Il collasso allora è
connesso con i modi di compressione e di trazione in uno spazio di sforzo principale.
1.2.2. Proprietà delle Unità e della Malta
Le proprietà della muratura dipendono fortemente dalle proprietà dei relativi
costituenti.
Le prove di resistenza a compressione sono facili da realizzare per dare una buona
indicazione della qualità generale dei materiali utilizzati. L’Eurocodice 6 (1995) usa la
resistenza a compressione delle componenti per determinare la resistenza della
muratura anche se allineare l'indicazione di quei valori non è semplice. Per le unità
della muratura, le prove standard con le lastre solide provocano una compressione
artificiale di resistenza dovuta all'effetto di contenimento delle lastre. Il CEN
7
Eurocodice 6 (1995) minimizza questo effetto considerando una resistenza a
compressione normalizzata fb, che risulta dalla resistenza compressione standard,
nel senso relativo di caricamento, moltiplicato da un
appropriato fattore
forma/sezione. È difficile da collegare la resistenza alla trazione delle unità della
muratura alla relativa resistenza a compressione a causa, dei materiali, dei processi
di fabbricazione e dei differenti volumi di perforazione. Per la resistenza alla trazione
longitudinale delle unità di argilla, del calcio-silicato e di calcestruzzo, Schubert
(1988) ha effettuato numerose prove ed ha ottenuto un rapporto fra la resistenza di
trazione e compressione che varia da 0.03 a 0.10.
Il comportamento biassiale di un mattone o del blocco con una data forma è
probabilmente sconosciuta, anche se è conosciuto il comportamento del materiale da
cui l'unità è fatta, per esempio il calcestruzzo o l'argilla.
1.2.3. Proprietà delle Interfaccia Unità-Malta
Il collegamento tra le unità e la malta è spesso la componente più debole della
muratura. La risposta non lineare dei punti che sono controllati attraverso l’interfaccia
unità-malta è una delle caratteristiche più rilevanti della muratura. Ci sono due
differenti fenomeni nell’interfaccia unità-malta: uno associato al collasso per trazione
(Modo I) ed uno al collasso per taglio (Modo II).
1.2.3.1. Collasso di modo I
Van der Pluijm (1992) ha effettuato delle prove a deformazione controllate nei piccoli
esemplari della muratura delle unità solide del calcio-silicato e dell'argilla. Queste
prove hanno generato una curva di softening di tensione esponenziale con
un’energia di frattura G If di modo I che varia da 0.005 - 0.02 [N/mm2] per una
resistenza di trazione che varia da 0.3 a 0.9 [N/mm2 ], secondo la combinazione delle
unità-malta. Questa energia di frattura è definita come l'importo di energia per
generare
una
crepa unitaria
lungo
la
connessione unità-malta.
Alla fine
l'osservazione degli esemplari fratturati ha rivelato che la zona campione era più
piccola della zona rappresentativa dell'esemplare. Questa superficie sembra
concentrarsi nella parte interna dell'esemplare, che può essere dovuta sia al
8
restringimento della malta che al processo di posizionamento delle unità e dei giunti
di malta.
Fig. Comportamento della muratura soggetta a trazione, Van der Pluijm (1992): (a) verifica
dell'esemplare; (b) tipico spostamento sollecitazione-crepa sperimentale ottenuto per l’elemento della
muratura.
1.2.3.2. Collasso di Modo II
Una funzione importante nella determinazione della forma della risposta a taglio dei
giunti della muratura è data dalla prova capace di generare una condizione uniforme
dello sforzo nei giunti. Questo obiettivo è difficile perché i vincoli di equilibrio
introducono gli sforzi normali non uniformi dentro il giunto. La prova, indicata dentro
la figura seguente, consente di mantenere una pressione di confine normale costante
del comportamento. I risultati sperimentali rendono uno schema di softening dato dal
taglio esponenziale con un livello di attrito residuo. La zona è definita dal diagramma
sollecitazione-spostamento
9
Fig. prova per la verifica a taglio di Van der Pluijm (1993): (a) verifica dell'esemplare pronto per la
prova; (b) le forze si sono applicate all'esemplare durante la prova.
Fig. Comportamento tipico dei giunti per i mattoni, del legame del taglio di Van der Pluijm (1993): (a)
II
schema di sollecitazione -spostamento per differenti livelli di sforzo normale; (b) energia G f di frattura
di modo II in funzione del livello normale di sforzo.
ed il livello di attrito residuo derivato dal taglio è chiamato energia di frattura G IIf di
modo II. Il valore per l'energia di frattura dipende inoltre dal livello dello sforzo di
confinamento.
1.2.4. Proprietà del Materiale del Composito
1) Comportamento a compressione monoassiale della muratura:
Fino ad oggi si è considerata la muratura capace di resistere solo a compressione.
Un test usato frequentemente per ottenere la resistenza a compressione è il prisma
di legame a pila
10
Fig. comportamento monoassiale della muratura sul normale di caricamento alla base del giunto: (a)
prisma; (b) rappresentazione schematica dell'esemplare della prova di RILEM; (c) schemi sperimentali
tipici di sollecitazione-spostamento per prismi 500×250 del mattone molle solido del fango, Binda ed
3
altri del × 600 [mm ]. (1988).
La compressione monoassiale conduce ad una condizione di compressione a 3 assi
nella malta e di tensione di compressione/biassiale nell’unità. L’incremento di
resistenza conduce ad un comportamento più fragile. Le crepe normalmente verticali
sul lato più piccolo dell’elemento, conducono vicino al collasso. Le prove di
compressione nel senso longitudinale ai giunti non sono prese in considerazione
perché la muratura in questa direzione è altamente deformabile.
2) Comportamento taglio della muratura
Nella prova di caricamento perpendicolare ai giunti, il cedimento è causato,
generalmente dal collasso della tensione relativamente bassa fra il giunto è l’unità.
Nelle murature dove la tensione tra malta ed unità e alta, ad esempio murature con
malta ad alta resistenza e mattoni con basso numero di fori, il collasso può avvenire
come conseguenza del superamento dello sforzo di trazione nelle unità.
11
La prova usata per valutare il comportamento della muratura è la prova di Backes
(1985). La prova consiste in quattro fasi: nella prima si costruisce la muratura, si
verifica l’ortogonalità e si fissa al dispositivo, si applica il carico attraverso la piastre
che si trovano sopra e sotto l’esemplare della prova e si valuta la lesione generata.
Fig. messa a punto di prova per resistenza a trazione della muratura parallela alla
base de giunto, Backes (1985): (a) costruzione dell'esemplare della prova; (b) prima
verifica dell'esemplare della prova e una rotazione di 90 °.
Fig. schemi sperimentali tipici di sollecitazione-spostamento per tensione nel senso
parallelo alla base del giunto, Backes (1985): (a) il collasso si presenta con una
crepa che passa attraverso i giunti della base e della testa; (b) il collasso si verifica
verticalmente attraverso i giunti e le unità.
12
Sono possibili due meccanismi di collasso a seconda della resistenza relativa dei
giunti e della malta. Nel primo meccanismo la lesione va a “zig-zag”, nel secondo la
lesione va verticalmente tra i giunti e la malta.
3) Comportamento Biassiale
Il comportamento biassiale della muratura non può essere descritto attraverso il suo
comportamento sotto la condizione di carico monoassiale. Il comportamento della
muratura sottoposta ad una condizione di sforzo biassiale è stata valutata fino al
punto di collasso e non può essere descritto in termini di sforzi principali a causa
dell’anisotropia della muratura. Di conseguenza, la resistenza biassiale della
muratura deve essere una descritta in termini di vettore sforzo completo di un
sistema di assi fisso del materiale, in termini di sforzi principali e di angolo di
rotazione θfra il principali sforzi e gli assi dei materiali. Per le tensioni monoassiali, il
collasso si è presentato attraverso delle fessure che scorrono dalla testa alla base
dei giunti. Una sollecitazione di compressione laterale fa diminuire la resistenza alla
trazione, e ciò può essere spiegata dai danni che induce nel materiale composito, da
microscorrimenti dei giunti e delle microfessure delle unità.
13
Fig. Resistenza biassiale della muratura solida delle unità dell'argilla, Page (1981, 1983).
14
Fig. modi di collasso della muratura solida delle unità dell'argilla sotto caricamento
biassiale, Dhanasekar ed altri. (1985).
1.3. Micro-modello: Un Modello Composto dell’interfaccia della Muratura
Semplificato
I
micro-modelli
sono,
probabilmente,
lo
strumento
migliore
per
capire
il
comportamento della muratura. Il beneficio di usare tale metodo è quello che
possono essere considerati differenti meccanismi di collasso.
1.3.1. Strategia della Modellazione Adottata
Un micro-modello esatto dovrebbe includere tutti i tipi base di meccanismi di collasso
che caratterizzano la muratura:
15
a) fessurazione dei giunti;
b) scorrimento lungo la base o la testa dei giunti per valori bassi della deformazione
normale;
c) fessure delle unità in direzione della tensione;
d) fessurazione lungo la diagonale delle unità al valore della deformazione sufficiente
a sviluppare la deformazione di attrito nei punti;
e) lo schiacciamento della muratura, si identifica comunemente con alti valori della
deformazione normale che provoca il dilatamento della malta.
Il metodo usato per considerare questi meccanismi di collasso è quello di
concentrare tutti i danni nei giunti relativamente deboli e, se necessario, in potenziali
crepe di tensione nei giunti posizionati verticalmente nel mezzo di ogni unità. Il
criterio di verifica dell’interfaccia del giunto deve includere tutti i meccanismi di
verifica riferiti sopra, eccetto le fessure date dalla tensione monoassiale.
Fig. meccanismi di collasso della muratura: (a) rottura di trazione del giunto; (b) slittamento unità; (c)
rottura di trazione diretta dell'unità; (d) rottura di trazione diagonale dell'unità; (e) schiacciamento della
muratura.
16
Fig. strategia di modellazione suggerita. Unità (u), che sono espanse in entrambi i sensi dallo
spessore del malta, sono modellati con gli elementi di continuità. I giunti della malta (m) e le potenziali
crepe nelle unità sono modellati con gli elementi dell'interfaccia.
1.3.2. Risposta Elastica dell’Interfaccia
L’elemento dell’interfaccia, permette la discontinuità degli spostamenti fissati e il loro
comportamento è descritto nei termini di una relazione tra la trazione t e il relativo
spostamento u lungo l’interfaccia. La relazione elastica lineare tra queste azioni e
deformazioni generalizzate può essere scritta nella forma standard come:
= D
dove per una configurazione bidimensionale, = { , }T, D = diag {K n, Ks},
= {un, us }T, dove con n ed s si denotano rispettivamente la componente normale
e di taglio.
La matrice delle rigidezze elastiche D può essere ottenuta dalle proprietà dei due
componenti della muratura. Sotto l’ipotesi di un legame dei componenti a pila, cioè
con un collegamento in serie dei componenti ed una distribuzione uniforme delle
sollecitazioni sia nelle unità che nella malta, le componenti della matrice di rigidezza
elastica D saranno “CUR (1994)”:
Eu Em
kn
hm
Eu E m
Gu Gm
ks
hm
Gu Gm
dove Eu ed Em sono il modulo di Young, Gu e Gm sono i moduli della forma,
rispettivamente dell’unità e della malta, dove hm è lo spessore reale del giunto.
17
1.3.3. Formulazione Non-Lineare del Modello Composito dell’Interfaccia
I giunti della muratura hanno delle basse dilatazioni e pertanto il modello dovrebbe
includere questo comportamento nel contesto della plasticità non associata. Anche il
softening dovrebbe essere incluso per tutti i modelli dell’interfaccia del composito. Il
modello di interfaccia indipendente è definito attraverso un composito convesso
prodotto da un criterio che consiste in una limitazione della trazione f1 (,k1 ), del
modello di attrito di Coulomb f2 (,k2 ), e una proiezione elastica f3(,k3),
Fig. modello proposto per le interfacce. “Un modello della protezione dell'interfaccia”.
1.3.3.1. Criterio di Limitazione nelle Trazioni
La funzione di snervamento è:
f 1
,k 1 1
k1
ft
1 f t exp
k
1
G1
f
dove ft è la tensione di resistenza del giunto, dell’unità-maltà, mentre G If è l’energia
di fessurazione del modo I. Assumendo che soltanto la plasticità normale relativa al
controllo degli spostamenti
p
k
u
1
n
1
18
1.3.3.2. Criterio dell’Attrito di Coulomb
Dal criterio dell’attrito di Coulomb la funzione prodotta sarà:
f2
,k 2 tan
k2
2
k2
dove
c
2 c exp II k 2
Gf
l’angolo d’attrito è accoppiato con la coesione del softening attraverso l’espressione
c 2
tan tan 0
tan r tan 0
c
Dove c è la coesione dell’interfaccia dell’unità-malta, 0 è l’angolo d’attrito iniziale, r
è l’angolo d’attrito residuo e G IIf è l’energia di fessurazione del modo II. Per la
coesione si suppone il softening esponenziale e, per semplicità, il softening
dell'angolo di attrito è preso proporzionale a quello della coesione. Questo ultimo
presupposto conduce all’energia di frattura di modo II non-costante all’aumentare
della pressione di confine.
Supponendo un comportamento a softening controllato dello spostamento relativo
della plasticità per taglio, possiamo assumere:
P
k
u
2
s
2
dove i parametri possono essere presi dal seguente diagramma:
19
Fig. comportamento delle taglio del modello attuale contro i risultati sperimentali dal der del Van Pluijm
(1993) per i livelli differenti di relegazione, con c = 0.87 [N/mm2]; tan φ0 = 1.01; tanφ= 0.73;
G IIf = 0.
058 −0.13 σ[Nmm/mm2].
1.3.3.3. Criterio di Protezione per Compressione
Per il modello della protezione la funzione prodotta per una configurazione 2D, è:
2
f3
,k 3 Cnn2 Css2 Cn
3
k3
_
con Cnn e Cn sono parametri del materiale e 3 valore prodotto.
I parametri Cnn e Cn controllano il centro della protezione e la sua intersezione con le
pareti di tensione delle pressioni assiali perpendicolari dove il parametro Css indica il
contributo
della
forma
di
pressione
di
collasso.
Per
il
comportamento
hardening/softening è stata adottata la legge mostrata nella seguente figura:
20
Fig. modello contro comportamento compressione sperimentale, Van der Pluijm e Vermeltfoort (1991),
con fm = 20.8 [N/mm2] e parametri anelastici da Atkinson e Yan (1990).
L’energia sotto la curva non può essere direttamente relativa all’energia di
fessurazione per compressione Gc perché un approccio basato sull’energia richiede
_
che l’energia sotto la curva 3 K 3 è finita e l’azione di compressione residua sia
uguale a zero. Per accettare che l’intersezione tra la funzione di scorrimento e la
forma tensionale, il valore residuale r è determinato attraverso:
2
r Cnn f t 2 C ss
c f t tan 0
C n f t
Usando la forma matriciale, l’equazione iniziale può essere riscritta in forma
matriciale come:
1
f
, k T Pp T
3
k3
2
2
dove la matrice P = diag {2Cnn, 2Css}, il vettore p = {C n, 0} T, mentre
T
k 3
P p
Pp
3
1.4. Dal Micro al Macro: Tecniche di Omogeneizzazione
I materiali compositi consistono in due o più differenti materiali costituenti che
formano regioni abbastanza grandi da essere considerata come continue e che sono
legati da un’interfaccia:
21
È naturale considerare il comportamento di un materiale composito come un
materiale omogeneo, per far ciò si deve provvedere che le dimensioni della struttura
siano sostanzialmente più grandi delle dimensioni delle disomogeneità.
1.4.1. L’omogeneizzazione Elasto-Plastica dei Materiali di uno Strato
L’omogeneizzazione elasto-plastica dei materiali ha la funzione di creare un modello
che funzioni a prescindere delle dimensioni dalla sezione della murature.
L’omogeneizzazione viene realizzata generalmente in testa ed in base ai giunti che
vengono introdotti successivamente.
1.4.2. Formulazione Elastica
L’approccio proposto è quello di Salomon (1968), ideato per la Meccanica dei terreni,
che verrà comunque rivisitato.
Il materiale è considerato come una serie di strati sovrapposti in cui ciascuno è
assunto come materiale elastico isotropo.
22
Questi piani sono allineati e perpendicolari all’asse z
Nella direzione omogeneizzata della direzione z, la dimensione del prisma è definita
attraverso la periodicità della struttura e, nelle altre 2 direzioni, può essere assunta
una dimensione unitaria. Si suppone che il sistema degli strati rimanga continuo
dopo la deformazione, e che lo spostamento relativo avviene nelle interfacce tra gli
strati. Il prisma che rappresenta il composito si suppone sia soggetto a distribuzione
omogenee di deformazioni e pressioni. L’obbiettivo è quello di ottenere una macro
relazione continua omogeneizzata tra pressione e deformazione
= Dh
dove:
T
x y z xy yz xz
T
x y z xy yz xz
Dh è la matrice delle rigidezze omogeneizzata, che sarà ottenuta dalle relazioni
macro-costitutive. Queste relazioni sono ottenute attraverso gli integrali di volume:
23
1
j
j i dV 1
j
dV
i
VV
V i V
1
1
j
j
dV
i
VV
V
dV
i
j i
V
Dove i è il numero del piano.
La relazione elastica lineare per il generico piano sarà:
i = Di
i
dove
1 i
i
i
1 i
i
i
i
i
1 i
Ei
Di
0
0
1 i
1 2i 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
2 1 2
i
1
0
1 2i
0
2
1
0
0
2 1 2
i
1.4.3. Formulazione Elasto-Plastica
In questo studio si considera l’applicazione del metodo J2 -plasticity:
k
f 3 2 T P
1
2
con
2 3
1 3
1 3
P
0
0
0
1 3 1 3
2
1 3
3
1 3 2 3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
2
La regola di scorrimento associata è:
P
f
3
3
2
P
2
T P
Sotto l’ipotesi di incrudimento per la deformazione
k
L’aggiornamento del vettore viene fatto attraverso:
24
n 1 n n 1
per le pressioni, l’aggiornamento, viene fatto:
n 1 ,i Aiitrial
con
itrial n ,1 Di n 1 ,i
Dove la matrice Ai è una funzione di n+1,i . Nel caso di strato elastico la matrice sarà
pari alla matrice identità A=J. Dopo alcuni passaggi otteniamo:
n 1
pi Pt Ai Di Pe
i
1
~
P A D P A
p
1
1
i
t
i
i
e
i
trial
i
i
dove la sommatoria si estende su tutti i piani.
Riassumendo possiamo definire un sistema di equazioni non lineari in:
n 1 ' s f i n 1 ,1 ,..., n 1 , j 0 , i = 1,... , j
questo sistema ha tante incognite quante sono le plasticità di piano. Quando la
p
convergenza è raggiunta la condizione delle variabili può essere aggiornata (
,
e
k).
Il calcolo della matrice delle rigidezze viene fatto attraverso la procedura di
integrazione :
dn 1 ,i Diep dn 1 ,i
La matrice delle rigidezze elastiche può essere considerata un caso speciale della
matrice delle rigidezze dove Diep Di
1.5. Macro-Modello: un Modello Continuo Anisotropo per la Muratura
Il comportamento della muratura si considera anisotropo in seguito alla disposizione
geometrica delle unità e della malta, anche se le proprietà di questi materiali sono
isotrope.
1.5.1. Formulazione del Modello Continuo Anisotropo
Un’analisi precisa della struttura muraria in una prospettiva di macro-modellazione
richiede una descrizione del materiale per tutte le condizioni di sforzo. Per effettuare
25
la descrizione possono essere utilizzati due metodi. Il primo è quello di descrivere il
comportamento del materiale con un singolo test di verifica a snervamento, ma
questo metodo non è applicabile per la complessità dell’implementazione. Il secondo
metodo consiste in un’estensione delle formulazioni per materiali quasi-fragili per
descrivere il comportamento ortotropico. La formulazione del comportamento del
materiale quasi-fragile considerato, generalmente si basa su differenti criteri inelastici
per la trazione e la compressione. In questo studio sarà proposto un modello
prodotto dall’estensione del criterio di Feenstra- De Bost, che ha utilizzato questo
approccio per il calcestruzzo con Rankine e Drucker-Prager. Dalla figura si può
notare che è stato utilizzato il criterio di Rankine e in criterio di Hill.
1.5.2. Funzione di Discretizzazione
Il comportamento di softening della muratura è modellato con un approccio nel quale
il materiale danneggiato è ancora considerato continuo. Con quest’assunzione, il
danno localizzato può essere rappresentato attraverso lo scalare k, il quale è
relazionato attraverso un’equivalente dimensione nella relazione dell’energia per
unità di crepa, Gf. Nel calcolo agli elementi finiti questa dimensione potrebbe
corrispondere ad una dimensione rappresentativa della grandezza della mesh, perciò
i risultati ottenuti sono oggetto di riferimento della mesh. La dimensione equivalente,
chiamata generalmente h, dipende dal tipo di materiale scelto, dalla dimensione
dell’elemento, dalla forma dell’elemento, dallo schema di integrazione ed ogni
particolare problema considerato.
Si pone:
1
n n
2
h h Ae h det
J ww
1 1
26
Nel quale we w sono i fattori peso dell’integrazione dell’equazione di Gauss. Le
coordinate locali isoparametriche, sono prese attraverso le coordinate e . Il fattore
h è un fattore di modificazione e sarà uguale ad uno per elementi quadratici e a 2
per elementi lineari. Il lavoro in elastico gf è definito attraverso l’integrale
g f
T d
T dP
che corrisponde all’area sotto il diagramma stress-strain per carichi uniassiali.
Assumendo che il lavoro inelastico gf è uniformemente distribuito sulla lunghezza
equivalente, la relazione tra l’energia di fessurazione Gf e il lavoro gf si ottiene
attraverso:
G
gf f
h
Questo risultato è un modello di materiale relativo all’energia che è dissipata durante
il processo di carico per danno irreversibile.
1.5.3. Test di Verifica di Rankine
Una più adeguata formulazione dl criterio di verifica di Rankine si ottiene attraverso
una funzione singola, la quale è governata attraverso la tensione principale e
_
l’equivalente tensione t che descrive il comportamento di softening del materiale
x y
x y
f1
2
2
2
2
kt
xy t
Dove lo scalare kt controlla l’ammontare del softening.
27
L’assunzione del softening isotropico non è completamente valido per materiali come
il cls e la muratura i quali possono essere caricati fino alla resistenza a trazione, se
nella direzione perpendicolare il danno è già avvenuto. Idealmente il comportamento
plastico si trova se il materiale viene caricato lungo una direzione fino al softening e
poi nella direzione ortogonale al senso di apertura delle fessure. Ciò è dovuto al fatto
che tutta l’energia di fessurazione si è consumata durante l’apertura della prima
crepa.
1.5.4. Test di Verifica di Hill
Mentre il criterio di Rankine visto sopra viene utilizzato per gli sforzi di trazione il
criterio di Hill si utilizza per gli sforzi di compressione.
La superficie base di questo criterio prevede differenti azioni di compressione lungo
gli assi del materiale e una rotazione centrata ellissoidica in tutti il piano delle tensioni
(x, y e
xy)
28
L’espressione è:
f 2 A x2 B x y C y2 D xy2 1 0
dove A,B,C, e D sono quattro parametri del materiale tali che B2 – 4AC < 0, per
accertare la convessità.
29
Capitolo II: VERIFICA SISMICA DELLE MURATURE
2.1. Introduzione
Tra le molteplici azioni che sollecitano un sistema strutturale durante la sua vita di
progetto, i terremoti rappresentano senza dubbio gli eventi più pericolosi e devastanti
per numero di vittime e danni arrecati. Le azioni sismiche possono essenzialmente
essere considerate come forze di inerzia generate da una storia di accelerazioni
trasmesse attraverso l’interfaccia terreno-fondazione, che determinano infatti nelle
costruzioni dei regimi di sollecitazione di tipo dinamico. Tali sollecitazioni possono
portare al collasso i manufatti causando la perdita di numerose vite umane. Per far
fronte al quadro catastrofico che si è delineato negli ultimi decenni e tentare di ridurre
in modo significativo il rischio sismico, bisogna effettuare:
1. La classificazione del territorio;
2. Progettazione antisismica delle nuove costruzioni;
3. L’adeguamento degli edifici esistenti.
La prima procedura è volta a stimare, su basi probabilistiche, le azioni sismiche e la
loro distribuzione su territorio nazionale, ovvero la pericolosità associata a ciascuna
zona sismica. La progettazione di nuove strutture e l’adeguamento del patrimonio
edilizio esistente sono invece rivolti alla riduzione della vulnerabilità del costruito nei
confronti dell’azione sismica.
Questo tipo di approccio è stato imposto dalla normativa italiana che è andata via via
evolvendosi in funzione del progresso tecnologico e degli eventi sismici che hanno
interessato parte del territorio nazionale.
In relazione a tale processo evolutivo ed alla natura stessa delle indicazioni
contenute nei codici che si sono susseguiti, si può stabilire una classificazione
convenzionale, e per quanto possibile cronologica, delle norme di progettazione
antisismica così articolata:
Norme di I generazione ( fino al 1960), norme puramente prescrittive;
Norme di II generazione (dal 1960 al 1980), norme prestazionali a singolo
livello;
Norme di III generazione (dal 1980 al 2000), norme prestazionale a doppio
livello;
30
Norme di IV generazione (successive al 2000), norme prestazionale
multilivello.
I codici appartenenti alle prime due generazioni, sono caratterizzati dalla
contemporanea
presenza
di
indicazioni
di
natura
prescrittiva
associate
a
raccomandazioni di natura prestazionale a singolo livello. In pratica si cerca di
controllare unicamente la prestazione al collasso del sistema per terremoti
particolarmente violenti, valutando convenzionalmente la resistenza con il Metodo
delle Tensioni Ammissibili. Lo stato attuale della codificazione è invece rappresentato
dalle norme di terza generazione, basate su un approccio prestazionale a doppio
livello e nelle quali la sicurezza strutturale è valutata attraverso il Metodo
Semiprobalistico agli Stati Limite Ultimi. Le norme di quarta generazione
rappresentano la naturale evoluzione della filosofia di progetto agli stati limite e
costituiscono la punta più avanzata nel panorama della progettazione antisismica.
Esse si basano su un approccio multilivello implementato attraverso una metodologia
nota come Performance Based Design. Il metodo consiste nella scelta di un
appropriato criterio di progetto tale da garantire, per uno specifico livello d’intensità
sismica, che con assegnate probabilità il sistema non risulti danneggiato oltre certi
valori limite, rappresentativi di opportuni livelli prestazionali.
2.2. Classificazione Sismica del Territorio
La prima classificazione sismica del territorio è stata effettuata nel 1980, a seguito
del terremoto del Friuli del 1976, dopo il quale furono attivati studi sistematici per la
valutazione della pericolosità sismica del territorio italiano. Fu così che il territorio
nazionale venne diviso in zone ed all’epoca le zone caratterizzate come sismiche
ricoprivano il 25% dell’intero territorio italiano. Con la riclassificazione del 1981 arrivò
al 45%. Nel frattempo si sono ulteriormente sviluppati gli studi sulla sismicità storica e
sulla conoscenza delle zone sismogenetiche italiane, così che recentemente si è
provveduto alla classificazione dell’intero territorio nazionale che ha comportato un
nuovo incremento delle zone a maggior rischio sismico.
31
2.3. Norme di I Generazione
Sono convenzionalmente considerate di prima generazione quelle norme emanate
prima del 1962. Tali norme erano principalmente basate su un approccio di tipo
prescrittivo, ovvero sulla definizione di una serie di indicazioni progettuali da
rispettare per ridurre la vulnerabilità delle costruzioni. Le azioni che riproducevano
convenzionalmente l’effetto del sisma venivano simulate esclusivamente attraverso
forze statiche equivalenti, determinabili sulla base di una classificazione in
macrozone sismiche del territorio italiano che fu avviata proprio in questo periodo. Il
R.D. n 193 del 18 aprile 1909, emanato a seguito del terremoto di Messina del 1908,
può essere considerato a tutti gli effetti come la prima normativa sismica in Italia. In
tale codice, venne per la prima volta introdotta una modellazione qualitativa delle
azioni sismiche, costituite da un sistema di forze verticali ed orizzontali che
simulavano, rispettivamente, la componente sussultoria dei terremoti. Le azioni
presentavano la stessa intensità a tutti i piani ed erano espressi in funzione dei
carichi verticali. Tra le principali indicazioni di carattere prescrittiva introdotte dal R.D.
del 1909 al fine di garantire una maggiore resistenza delle costruzioni nei confronti
dei terremoti, vi erano le limitazioni sulle altezze e sul numero di piani degli edifici.
Con i successivi decreti si sono avute numerose modifiche nella considerazione delle
azioni sismiche da applicare alla struttura fino al R.D. n. 640 del 1935 secondo il
32
quale le forze orizzontali venivano calcolate attraverso un coefficiente di intensità
sismica pari a 0.1 e 0.07, rispettivamente per costruzioni nelle zone di prima e
seconda categoria, queste forze erano da considerarsi costanti su tutta l’altezza
dell’edificio.
2.4. Norme di II Generazione
Le norme di seconda generazione nascono con la legge n. 64 del 2 febbraio 1974.
Sono norme prestazionali a singolo livello, nel senso che si focalizza l’attenzione
esclusivamente
sulla
risposta
della
struttura
nei
confronti
dei
terremoti
particolarmente violenti e si richiede come “prestazione” la salvaguardia delle vite
umane. Le verifiche di resistenza sono generalmente condotte attraverso il metodo
delle Tensioni Ammissibili, studiando la risposta dei sistemi equivalenti in regime
elastico. Non viene invece considerata la possibilità di verificare la conservazione
della funzionalità della costruzione in occasione di sismi meno gravosi, ma più
probabili. La legge n. 64, ancora in vigore, rappresenta la legge quadro della
normativa sismica italiana e definisce esclusivamente le linee guida in materia di
progettazione antisismica. Alla suddetta legge va inoltre attribuito il merito di aver
determinato una svolta importante in materia di classificazione sismica del territorio
italiano, avendo stabilito la necessità di procedere alla suddivisione del territorio
nazionale in macrozone con valori differenti del grado di sismicità. Ulteriori
innovazioni sono state l’introduzione di una microzonazione per tener conto degli
effetti amplificativi del terreno di fondazione sulle onde elastiche prodotte dal
terremoto, e la possibilità di studiare la risposta della struttura in regime dinamico
33
attraverso l’analisi modale, in alternativa all’analisi statica equivalente. In particolare
nel 1975 fu introdotto lo spettro di progetto in termini di accelerazioni, ricavato al
variare dello smorzamento del sistema ed in funzione del periodo proprio di
vibrazione della struttura. Con riferimento all’analisi statica equivalente venne
introdotto il concetto che la forza sismica totale doveva essere ripartita tra i vari
impalcati in relazione al primo modo di vibrazione. Nei successivi decreti come il
D.M. del 16 gennaio del 1996 sono stati introdotti per la prima volta dei criteri di
progetto specifici per le differenti tecnologie costruttive.
2.5. Le Norme di III Generazione
Sono le normative che in buona sostanza caratterizzano lo stato attuale della
codificazione antisismica. In ambito nazionale ed europeo rientrano in questa
categoria: l’Eurocodice 8 e l’OPCM 3274 del 2003. Trattasi di norme a doppio livello
prestazionale che si contraddistinguono in primo luogo per l’adozione esclusiva del
metodo semiprobabilistico agli stati limite per la misura della sicurezza. La risposta
del sistema è analizzata con riferimento a due eventi sismici caratterizzati da
differenti periodi di ritorno. A tali eventi sono associati due distinti livelli prestazionali,
oppure obiettivi di progetto, noti rispettivamente come Stato Limite di Esercizio e
Stato Limite Ultimo.
La verifica allo Stato Limite di Esercizio consiste nell’accertarsi che il sistema
subisca, per effetto del sisma, un ridotto danneggiamento alle parti strutturali e non,
tale cioè da non compromettere la funzionalità della costruzione.
La verifica allo Stato Limite Ultimo consiste invece nell’accertarsi che il sistema, in
corrispondenza del terremoto distruttivo, pur subendo danni di grave entità agli
elementi strutturali, sia in grado di offrire una resistenza e rigidezza nei confronti
delle azioni orizzontali e l’intera capacità portante nei confronti dei carichi verticali, in
modo da salvaguardare la vita umana.
La capacità di un sistema di dissipare l’energia introdotta dal sisma è strettamente
legata alla sua capacità di entrare in campo plastico, per questo motivo le norme di
III generazione introducono, delle prescrizioni in modo tale da garantire un buon
livello di Duttilità della struttura, attraverso il fattore della duttilità (indicato nella norma
con il parametro q) può essere ricavato dalle condizioni di equivalenza di tipo
cinematico o energetico.
34
2.6. Le Norme di IV Generazione
La necessità di definire, una soglia di danneggiamento ammissibile delle parti
strutturali e non strutturali anche per livelli intermedi dell’intensità sismica, ha
determinato la nascita di una nuova generazione di codici. Tale necessità scaturisce
principalmente dalla necessità di combinare considerazioni di carattere economico a
quelle di sicurezza e salvaguardia delle vite umane. Una corretta valutazione del
rischio sismico consente, di quantificare esattamente sia i costi iniziali di costruzione
che i costi legati ad eventuali danneggiamenti. Appartenenti a questa categoria di
norme troviamo la FEMA, 1995.
L’approccio multilivello viene implementato attraverso la filosofia di progetto nota
come Performance Based Design. In sintesi, il metodo consiste nella scelta di un
criterio di progetto tale da garantire, per uno specifico livello di intensità sismica,
opportuni livelli di prestazione della costruzione. La scelta appropriata dei livelli di
performance, consente di governare la progettazione, ovvero di definire gli obbiettivi
di progetto. Per ogni sistema, deve essere garantita la disequazione “Domanda” <
“Capacità”.
Un metodo di calcolo che si basa su quanto detto è il “Metodo N2” proposto da
Fajfar.
Questo metodo si basa su 3 concetti:
-
Domanda: rappresenta l’azione sismica;
-
Capacità: indica l’abilità della struttura a resistere all’azione sismica;
-
Prestazione: misura la capacità della struttura di assorbire la domanda
sismica.
L’analisi consiste nell’applicare all’edificio dei carichi gravitazionali ed un sistema di
forze orizzontali monotonamente crescenti fino al raggiungimento delle condizioni
ultime (analisi pushover).
Il “metodo N2” si applica:
Agli edifici regolari in pianta ed in altezza
Agli edifici non regolari, purché si tenga in considerazione l’evoluzione della
rigidezza in seguito alle deformazioni anelastiche attraverso analisi evolutive.
Lo scopo del metodo è:
35
valutare il rapporto u / 1 dove:
1 è il moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale il primo
elemento strutturale raggiunge la sua resistenza flessionale;
u è il moltiplicatore della forza sismica orizzontale per il quale si verifica
la formazione delle cerniere plastiche tali da rendere la struttura labile;
valutare l’effettiva distribuzione della domanda anelastica negli edifici
progettati con fattore di riduzione “q”;
progettare nuovi edifici;
valutare la capacità degli edifici esistenti.
I passi principali del “metodo N2” sono:
1. determinazione del legame “forza-spostamento” generalizzato tra la risultante
delle forze applicate e lo spostamento di un punto di controllo della struttura,
usualmente scelto come baricentro delle masse dell’ultimo piano;
2. determinazione delle caratteristiche di un sistema SDOF con comportamento
“bilineare-equivalente”;
3. determinazione della risposta massima in spostamento di tale sistema con
l’utilizzo dello spettro di risposta elastico ;
4. conversione del sistema equivalente, determinando la configurazione
deformata effettiva dell’edificio, la verifica della compatibilità degli spostamenti
(elementi/meccanismi duttili) e delle resistenze ( elementi/meccanismi fragili).
Punto fondamentale del “metodo N2” è l’Analisi Pushover; questa analisi consiste
nell’applicare un sistema di forze che porti al collasso la struttura. Tale sistema di
forze deve simulare, nel modo più realistico possibile, gli effetti dell’inerzia prodotta
dal sisma nel piano orizzontale.
La normativa prevede che la distribuzione delle forze sia fissa durante le analisi, e
rappresenta la distribuzione delle forze d’inerzia associate al primo modo di vibrare
oppure alla distribuzione delle masse.
La capacità di resistenza della struttura è rappresentata da una curva che lega il
taglio alla base allo spostamento in copertura dell’edificio.
36
mi
Fb
m j
La distribuzione delle forze proporzionali alle masse sarà : Fi
j
mi1 ,i
La distribuzione delle forze proporzionali al modo di vibrare Fi
m
j
1, j
Fb
j
L’analisi deve essere portata fino al raggiungimento dello spostamento ultimo del
punto di controllo. E’ necessario utilizzare entrambe le distribuzioni di forze definite,
eseguendo le verifiche di duttilità e di resistenza per la distribuzione più sfavorevole.
Nel caso di analisi evolutiva, si applica la sola distribuzione di forze modali.
Per costruire una curva “pushover” si devono seguire le seguenti fasi:
37
Il passo successivo nell’Analisi Statica non Lineare consiste nello studio del “Sistema
Bilineare-Equivalente”.
Si prende il valore massimo dello sforzo di taglio ottenuto dall’analisi “pushover” ed il
relativo valore dello spostamento, e si riportano questi valori dal sistema MDOF
analizzato, al sistema SDOF ponendo:
F*
Fb
dc
mi i
; d*
;
mii2
dove = il primo modo di vibrare
= il coefficiente di partecipazione modale.
F* = forza di snervamento
d* = spostamento ultimo sistema SDOF
38
F
F
F*
F*
dy*
d*
dy*
d top
d*
d top
Le coordinate del punto di snervamento sono:
F *
F*; d y * y
K*
Lo spostamento dy* si ottiene dall’uguaglianza delle aree delle curve del sistema
reale con il sistema ideale ad un grado di libertà ipotizzato Elasto-Plastico Perfetto.
K* = rigidezza secante del sistema equivalente
Tali coordinate sono prese in modo che sia verificata l’uguaglianza tra:
le aree sottese dalla curva “pushover” e dalla curva bilineare siano uguali.
Sa
T
Tc
Caso 1
T * 2
Caso 2
m*
; m* mi
i ,1
K*
39
se T* = Tc il periodo proprio del sistema equivalente ad 1 g. di l. è sufficientemente
elevato, il massimo spostamento raggiunto dal sistema anelastico è pari a
quello di un sistema elastico di pari periodo: d
max d e , max S De (T *)
essendo SDe lo spettro di risposta elastico in spostamento.
d e,max
T* < Tc d
maz
q
T
1
q * 1 cx d e ,max ;
T
T* > Tc
Se(T ) m
q
F y
*
d max
d e, max Sd (T *)
q* è il rapporto tra la forza di risposta elastica la forza di snervamento del sistema
equivalente se q* = 1 ( risposta elastica ) si assume d
max d e , max
x
Noto d max
ci calcoliamo lo spostamento effettivo del sistema MDOF
dc d
Si può procedere a verificare che durante l’analisi sia stato raggiunto il valore di
spostamento imposto dalla normativa; dopo possiamo determinare la configurazione
deformata e si passa alla verifica dell’edificio.
Il taglio alla base dovuto alle forze modali corrispondenti alla forma vale:
V m Sa
Ed il conseguente spostamento dell’ultimo piano:
D = n Sde( T )
Dove Sde è la pseudo-accelerazione spettrale ed S de è lo spostamento spettrale.
40
La domanda di spettro elastico viene riportata nel formato ADRS ( AccelerationDisplacement Response Sectrum, ovvero pseudo-accelerazione spettrale Sae in
funzione dello spostamento spettrale Sde).
Lo spettro di domanda inelastico corrispondente ad una assegnata duttilità si
ottiene dividendo le ordinate dello spettro di domanda elastico per il fattore di
riduzione della forza R; questo coincide con il rapporto tra la minima richiesta di
resistenza laterale necessaria per garantire il comportamento elastico della struttura
e quella che determina una richiesta di duttilità .
Da un punto di vista fisico tale fattore rappresenta la riduzione della duttilità resa
possibile dal comportamento isteretico della struttura.
T
R
1 1, T T 0
T0
R ,
T ≥ T0
T0 0.65 Tc Tc
0. 3
Dove Tc è il periodo caratteristico del moto del terreno.
2.7. Verifica della Muratura
Tra tutte le norme elencate in precedenza si prende in considerazione la Circolare
30/07/1981 n° 21745 “Istruzioni Relative alla Normativa Tecnica per la Riparazione
ed il Rafforzamento degli Edifici in Muratura Danneggiati dal Sisma”.
Questa norma ha il compito di consentire una corretta interpretazione ed
applicazione delle norme sismiche emanate ed introduce anche alcuni esempi di
calcolo
Importante notare la schematizzazione usata dalla norma per rappresentare il
comportamento della muratura soggetta all’azione sismica; in pratica si considera la
struttura composta da più telai “Shear-Type” nei quali i pilastri rappresentano i
maschi murari ed il traverso rappresenta la fascia di piano.
Per maschio murario si intende quella porzione di muro che è continua per tutta
l’altezza della struttura e nella schematizzazione si considera solo la parte che ha
altezza pari alla più piccola apertura adiacente ad esso.
Per fascia di piano si intende quella porzione di muro che si trova tra la parte
superiore delle aperture ed il solaio.
41
Per poter effettuare la schematizzazione della struttura in telai Shear-Type si deve
garantire uno schema scatolare di essa attraverso l’inserimento di catene in acciaio o
cordoli in c.a.
Il metodo di verifica che nella muratura segue quanto prescritto dalla circolare viene
chiamato metodo POR.
La schematizzazione vista è stata valida fino all’emanazione dell’OPCM 3274/2003 e
successive modifiche in particolare l’OPCM 3431/2005. Queste norme, come
vedremo in seguito, impongono la rappresentazione dell’intero pannello murario
attraverso un “Telaio Equivalente”, nel quale i pilastri indicano i maschi murari e le
travi le fasce di piano.
2.7.1. Il Metodo POR
Questo metodo raccoglie quanto prescritto dalla Circolare 30/07/1981 n° 21745 e dal
DM del 9 gennaio 1996, infatti prevede la schematizzazione della struttura come più
telai “Shear-Type” monopiano soggetti all’azione sismica di piano. I pilastri del telaio
rappresentano i maschi murari mentre il traverso rappresenta la fascia di piano.
Lo scopo di questo metodo è quello di valutare il taglio ultimo di piano e quindi di
paragonarlo con il tagliante applicato attraverso l’analisi sismica.
Si determina lo spostamento in sommità componendo la deformazione flessionale e
tagliante, esso è dato da:
V h 3 Vh
M T
n EJ GA
1,2
3 n 12
ponendo =1 si ottiene il valore della rigidezza alla traslazione:
1
k
3
h
1.2h
n EJ GA
la rigidezza elastica alla traslazione è uno dei parametri necessari per la definizione
del comportamento strutturale del maschio murario. La rigidezza esprime la
pendenza del tratto inclinato del diagramma dove la forza ultima è data:
Vu A0d [1 0 /( b 0 d )]
la duttilità è pari al rapporto tra lo spostamento ultimo e quello elastico ed è posta
pari a 1,5 per murature esistenti e 2,0 per le murature nuove.
42
Il comportamento strutturale della parete, costituita da più maschi in parallelo, è
definito da quello dei singoli maschi. Sotto l’azione di una forza orizzontale, la parete
presenta uno spostamento comune a tutti maschi. Ognuno reagisce con una forza
dipendente dalla propria rigidezza alla traslazione. Pertanto il diagramma forzaspostamento della parete si ottiene sommando i contributi resistenti di ciascun
maschio.
Il diagramma forza-spostamento si può costruire non solo per una singola parete, ma
per tutte le pareti che costituiscono l’edificio, sommando i contributi di tutti i maschi
murari di tutte le pareti. Questa procedura però è lecita solo se il centro delle
rigidezze coincide con il baricentro delle masse. Pertanto si determinano le azioni
iniziali di piano e si effettua l’analisi separatamente nelle due direzioni X e Y. Fra tutti
i valori dello spostamento del centro delle rigidezze che portano ciascuna parete al
proprio limite elastico, viene determinato quello minimo: esso indica la fine del
comportamento elastico del complesso murario. A partire dallo Stato di Limite
Elastico, si innesca un procedimento incrementale che ci consente di determinare le
capacità relative del complesso murario al Limite di Fessurazione (quando la parete
raggiunge uno spostamento pari ad 1,2 volate quello elastico) ed a quello di Rottura.
Lo stato Limite Ultimo è raggiunto, quando nel corso delle iterazioni si ottiene una
forza reattiva stazionaria o decrescente. La verifica è soddisfatta, quando la forza
reattiva del generico piano risulta maggiore del tagliante di piano.
Nel procedimento di analisi è necessario considerare il comportamento plastico di
quei pannelli che superano il limite elastico, per effetto dello spostamento R, questo
avviene sostituendo alla rigidezza K0 la rigidezza secante K(
):
K K0 tg 0 Vu / 0 , per 0
K K
tg V / , per 0 0
Dopo il limite elastico, la rigidezza di una parete è quindi funzione dello spostamento,
mentre la capacità reattiva corrispondente resta costantemente pari a Vu. Ad ogni
passo è necessario aggiornare la posizione del centro delle rigidezze R delle pareti
che sono impegnate oltre il limite elastico.
In definitiva possiamo affermare che il metodo POR costituisce a tutti gli effetti,
un’analisi statica non lineare spaziale, caratterizzata da alcune ipotesi fondamentali:
1. l’analisi strutturale è eseguita separatamente per ogni singolo piano;
2. il taglio ultimo è determinato esclusivamente dal meccanismo di fessurazione
diagonale;
43
3. il vincolo delle pareti è di tipo Shear-Type, cioè a doppio incastro;
4. in una qualsiasi parete, lo sforzo normale è considerato costante e pari al
valore statico;
5. le pareti resistenti seguono una legge “taglio- spostamento” di tipo bilatera;
6. i solai devono essere infinitamente rigidi nel proprio piano in modo che la forza
orizzontale sia ripartita fra le varie parti in funzione della rigidezza:
7. le pareti sono di sezione rettangolare costante nell’interpiano;
8. le forze sismiche sono applicate solo a livello degli impalcati.
2.7.2. Telaio Equivalente
L’Ordinanza 3431/2005 fornisce alcune considerazioni generali sulle modalità di
modellazione delle strutture al fine di operare un’analisi sismica globale. Per gli edifici
esistenti in muratura ordinaria vengono inoltre precisate alcune particolarità e
suggerite le relative indicazioni per la loro modellazione. Le raccomandazioni delle
norme, al fine di ottenere un modello strutturale adeguato per l’analisi globale,
sottolineano l’importanza di una corretta scelta nella distribuzione delle masse e
rigidezze. A tal fine, soprattutto nel caso di edifici esistenti in muratura, dove il
sistema strutturale resistente non sempre è di immediata individuazione, è di
fondamentale rilevanza una fase preliminare di conoscenza, che, oltre a fornire
informazioni sulle caratteristiche dei materiali, possa chiarire quali siano gli elementi
resistenti.
Il modello di riferimento è quello a telaio equivalente tridimensionale, in cui le pareti
sono interconnesse da diagrammi orizzontali di piano. Nello specifico degli edifici in
muratura, la parete potrà essere adeguatamente schematizzata come telaio, in cui
vengono assemblati gli elementi resistenti e i nodi rigidi. Le travi di accoppiamento in
muratura ordinaria, o fasce, potranno essere modellate solo se adeguatamente
ammorsate alle pareti, sorrette da architravi strutturalmente efficaci con il possibile
instaurarsi di un meccanismo resistente a puntone.
Se l’edificio è regolare in pianta, le norme forniscono la possibilità di operare l’analisi
modellando la struttura come due telai bidimensionali indipendenti, considerati in
ognuna
delle
direzioni
principali.
Per
la
regolarità
in
pianta,
condizione
imprescindibile è l’infinita rigidezza dei solai. Il ruolo degli orizzontamenti è di
rilevante interesse in quanto essi determinano il grado di accoppiamento e la
44
modalità di distribuzione delle azioni sugli elementi resistenti. E’ da sottolineare che,
essi possono considerarsi infinitamente rigidi se soddisfano anche altre condizioni
aggiuntive rispetto a quanto prescritto per le altre tipologie, se realizzati in struttura
mista con soletta in cemento armato, spessa almeno 50 mm.
45
Capitolo III: MODELLI SEMPLIFICATI DI VERIFICA DELLE MURATURE
3.1. Introduzione
In questo lavoro di tesi si è focalizzata l’attenzione sui modelli di calcolo usati da due
codici di analisi delle murature che chiameremo Programma 1 e Programma 2.
Entrambi i codici di calcolo eseguono la verifica della costruzione secondo le
prescrizioni dell’OPCM 3274/2003 e OPCM 3431/2005, prevedendo entrambi una
schematizzazione della struttura in un “telaio equivalente” ed applicano il metodo
degli elementi finiti per la sua risoluzione, ma con modelli base differenti.
3.2.1. Il Metodo degli Elementi Finiti
Il metodo degli elementi finiti è una procedura numerica per analizzare
strutture e continui. Molto spesso ci si trova di fronte a problemi troppo
complicati per essere risolti in modo soddisfacente mediante i metodi analitici
classici; tale metodo è atto ad approssimare le equazioni differenziali, che
governano un sistema continuo, con un sistema di equazioni algebriche, in un
numero finito di incognite, che sono generate e risolte mediante calcolatore
ed è proprio alla facilità con cui può essere tradotto in programma di calcolo
che si deve la sua diffusione.
Il primo passo dell’analisi è una discretizzazione del continuo. Si tratta anzitutto di
suddividere il dominio in sottodomini, detti elementi finiti, e di scegliere dei punti,
chiamati nodi, sul confine tra elementi contigui o nell’interno degli elementi stessi.
Misure di spostamento o di sforzi nei nodi sono poi assunte come variabili incognite.
Lo spostamento, la deformazione e la tensione, in un punto generico di un elemento,
sono espressi in termini delle variabili nodali mediante funzioni di interpolazione.
Infine, le equazioni algebriche risolventi sono generate mediante l’impiego di un
principio variazionale. Per arrivare a tali principi bisogna risalire alle equazioni
fondamentali della teoria dell’elasticità lineare.
46
3.2.1.1. Formulazione Energetica del Problema Elastico Lineare
Si consideri un mezzo continuo in una configurazione
(t ) ;
si supponga di
applicare al mezzo, in tale configurazione, delle forze esterne di massa Fi in V
e di contatto f i su S F, porzione caricata del contorno S. Si ipotizza S=S u S F,
dove con Su si è indicato la porzione di contorno vincolato. Il mezzo è
descritto, dal punto di vista costitutivo, dal tensore di rigidezza elastica E o,
inversamente,
dal
tensore
di
flessibilità
elastica
F.
E’
richiesta
la
determinazione dei campi di spostamento u(x), di deformazione ε(x) e di
tensione σ(x), definiti su V.
Le equazioni differenziali del problema sono:
,ij F i 0 in V
j
ijn j f i su S F
ij Eijhk
hk in V
equilibrio
legame elastico
1
ij (ui , j u j ,i ) in V
2
compatibilità cinematica
ui ui in Su
Figura 1: Continuo.
Alla base della modellazione del comportamento elastico è l’ipotesi che il processo
deformativo avvenga a spese del potenziale Energia di Deformazione o della sua
trasformata di Legendre, detta Energia Complementare. Se le azioni esterne, come
spesso accade, sono conservative, derivano anch’esse da funzioni potenziali di
opportuni campi. Il problema elastico gode, allora, di alcune importanti proprietà
variazionali, derivanti dalla definizione di due funzionali, quali l’Energia Potenziale
Totale e l’Energia Complementare Totale. Si dimostra, infatti, che la soluzione del
problema elastico è caratterizzata dalla stazionarietà di questi funzionali (teorema
della stazionarietà dell’Energia Potenziale Totale e teorema della stazionarietà
dell’Energia Complementare Totale) nei relativi domini di definizione, che sono,
rispettivamente, la classe delle soluzioni cinematicamente ammissibili (o congruenti),
ˆ
formate dalle funzioni uˆ
i ,
ij , e la classe delle soluzioni staticamente ammissibili (o
equilibrate), formate dagli sforzi σ*ij . Ci si avvale del secondo teorema nel metodo
delle forze, per la ricerca della soluzione elastica di strutture iperstatiche. Questo
47
metodo, però, mal si presta ad essere organizzato in un calcolo automatico da
svolgere mediante computer. Il metodo delle rigidezze o metodo degli spostamenti,
che si avvale del teorema della stazionarietà dell’Energia Potenziale Totale, risulta,
invece, direttamente adatto ad essere tradotto in termini di calcolo automatico. E’
proprio da questo metodo, e dal suo principio variazionale, che deriva il sistema di
equazioni algebriche (Ku=p), in cui vengono tradotte le equazioni differenziali che
regolano il problema elastico nel metodo degli elementi finiti.
3.2.1.2. Stazionarietà dell’Energia Potenziale Totale
Dominio di definizione:
1
ˆ
ˆ ˆ
ij (ui , j u j ,i )
2
in V
uˆ
i ui
su
S
u
Funzionale E.P.T.:
π(uˆ
(ˆ
Fi uˆ
f i ui dS
i )
ij )dv
i dv
V
V
SF
Per un materiale elastico lineare:
1
π(uˆ
Eijhk
ˆˆ
Fi uˆ
f i ui dS
i)
ij hk )dv
i dv
2V
V
SF
Enunciato:
Nella classe delle soluzioni congruenti, il funzionale π(uˆ
è stazionario in
i)
corrispondenza di una soluzione equilibrata.
3.2.1.3. Proprietà Estremali
Il teorema appena enunciato rappresenta una formulazione variazionale
dell’equilibrio.
In linea di principio, la stazionarietà non corrisponde necessariamente ad un
valore estremo. Perchè si abbia, ad esempio, un minimo, occorre che la
variazione seconda dei funzionali risulti definita positiva, quantomeno in
soluzione:
1 2
0
uˆ
i
2
48
Nel funzionale l’unico termine non lineare è rappresentato dall’ENERGIA DI
DEFORMAZIONE ω che è la sola ha contribuire alla variazione seconda, che
si scrive:
2
1 2
1 2
1
ˆ
ˆ
dv
ij
hk dv
ˆ
ˆ
2
2v
2v
ij
hk
Tale espressione mostra che condizione sufficiente affinché la stazionarietà
corrisponda ad un minimo è che la funzione ω(εij) sia ovunque strettamente
convessa. La convessità di ω è un assunto che si suppone sempre verificato
e che assicura l’esistenza e l’unicità della soluzione elastica.
Pertanto, la stazionarietà del funzionale E.P.T. corrisponde al suo minimo e
l’enunciato del teorema energetico in discussione può essere riformulato in
questi termini:
“Fra tutti i campi di spostamento cinematicamente compatibili, la soluzione
del problema elastico è quella che rende minima l’Energia Potenziale della
struttura”.
1
ˆˆ )dv
π(uˆ
E
F i uˆ
f i u i dS minimo
i)
i dv
2 V ijhk ij hk
V
SF
Il principio viene utilizzato definendo il generico campo di spostamenti
ammissibili, soddisfacendo quindi le equazioni di compatibilità cinematica.
Le equazioni di legame costitutivo sono direttamente verificate mediante una
appropriata scrittura dell’Energia di Deformazione.
Le equazioni di equilibrio sono, per ultime, imposte dalla condizione di
minimo.
La struttura viene interpretata come un insieme di elementi semplici
interconnessi tra di loro. Nel caso del telaio gli elementi finiti sono costituiti da
elementi monodimensionali di tipo trave.
1. Ciascuno di essi viene analizzato separatamente, determinando la
generica soluzione elastica, equilibrata e compatibile al suo interno.
2. Tutte le grandezze dell’analisi, e la soluzione elastica stessa, vengono
espresse in funzione degli spostamenti nodali, di modo che la compatibilità
dell’intera struttura sia assicurata imponendo l’interconnessione tra gli
elementi, identificando gli spostamenti che questi presentano nei punti di
collegamento (fase di assemblaggio).
49
A questo punto si dispone di una generica soluzione compatibile
dappertutto ed equilibrata all’interno di ciascun elemento.
3. Resta da imporre l’equilibrio all’interconnessione.
Le condizioni di equilibrio forniscono il sistema di equazioni lineari Ku=p
nelle incognite u (spostamenti nodali della struttura). Risolto il sistema, e
note le u, basta andare in ogni elemento e ricavarne sollecitazioni e
deformazioni, tutte espresse in funzione degli spostamenti nodali.
Fornito il resoconto del metodo è opportuno entrare più nel dettaglio delle sue
fasi, per metterne in luce i collegamenti col principio della minima Energia
Potenziale totale e per chiarirne gli aspetti operativi.
3.2.1.4. Soluzione Elastica Locale (del generico elemento).
Come già detto, la caratteristica essenziale del metodo è quella di individuare
la deformata del singolo elemento in funzione dei soli spostamenti nodali:
w(x) = F(x)u e + w o ( x)
Dove:
w ( x ) è il vettore delle componenti di spostamento del punto, dell’elemento,
di coordinate x ;
u e è il vettore spostamenti nodali dell’elemento;
F ( x ) u e è la parte della deformata dell’elemento dipendente dagli
spostamenti nodali;
F ( x ) è la matrice delle funzioni di forma o di interpolazione;
w o ( x ) è la parte della deformata dell’elemento indipendente dagli
spostamenti nodali, cioè la deformata elastica conseguente ai carichi
per spostamenti nodali nulli.
Per ottenere la soluzione elastica dell’elemento nella forma
F ( x ) ue ,
(soluzione a carichi esterni nulli e spostamenti nodali liberi) applichiamo le
equazioni del problema elastico:
equazioni indefinite di equilibrio: si ottiene il tipo di andamento delle
sollecitazioni in gioco;
legame costitutivo: si ottiene il tipo di andamento delle deformazioni
attraverso quello, già noto, delle sollecitazioni;
50
compatibilità: si ottiene il tipo di andamento degli spostamenti
attraverso quello, già noto, delle deformazioni.
Applicando, poi, le condizioni al contorno ui = ui e raccogliendo i termini in
funzione delle ue , si ottengono le funzioni di forma F ( x ), note le quali si
possono calcolare le deformazioni in funzione delle u e .
Dall’equivalenza energetica:
ωe =
1 T
1 T
u K u
εE
e eε
e dx =
e
e
e
2
2
l
si ottiene l’espressione della matrice di rigidezza
K e se ne possono
e
calcolare i termini.
Si osservi che il vettore se , definito dalla relazione:
T
T
δ
ωe = δ
u e se = δ
u K u
e
e e
che fornisce:
s =K u
e
e
e
raccoglie le forze nodali interne corrispondenti alla deformata definita dal
vettore u e .
L’equivalenza energetica, con cui prima è stata espressa l’Energia di
Deformazione in funzione degli spostamenti nodali e che definisce quindi la
matrice di rigidezza K e , allo stesso modo esprime l’intera Energia Potenziale
totale in funzione di u e :
πe (u e ) =
1 T
T
u K u - u p = min.
e
e
e
e
e
2
Si può dividere πe in una parte quadratica e una lineare, perché:
ε=
ε
+
ε
u
o
parte legata a u e
parte legata a u o
Le εsono lineari in u ma quando se ne effettua il quadrato, presente
nell’Energia di Deformazione (EAε2 ), otteniamo:
51
2
2
2
ε
= εu + εo +
parte quadratica in u
2ε
uε
o
parte lineare in u
1 T
2
2
u K u raccoglie le parti quadratiche(εu + εo )
e
e
e
2
T
raccoglie le parti lineari(2ε
u ε)
o
u p
e e
T
Si discuterà, ora, il termine lineare u e p e . Un primo contributo a questo
termine è fornito dal lavoro dei carichi agenti sull’elemento per gli spostamenti
F ( x ) u e . Se è presente la soluzione locale w o ( x ) (per esempio, per un
elemento di trave sottoposto a carichi uniformemente distribuiti), interviene un
ulteriore contributo fornito dallo sviluppo dell’Energia di Deformazione e
rappresentato dal prodotto misto in F ( x ) u e e w o ( x ).
Nel caso di un elemento di trave, per cui abbiamo detto esiste w o ( x ), il
termine lineare in discussione è:
T
u p {
{ p x u p y w } dx p x u i p y w i m
i
i
i i
e e
l
p x u j p y w j m } {
{ EA 0 EI0 }dx }
j
j j
j
l
La soluzione
w o ( x ) è univocamente determinata, infatti essa è, per
definizione, equilibrata all’interno dell’elemento col carico agente su di esso
e, per come è stata definita la soluzione generale (in funzione degli
spostamenti nodali), corrisponde a spostamenti nodali nulli. Essa si può
determinare direttamente in funzione dei carichi agenti e considerando
l’elemento di trave incastrato agli estremi. Per tale motivo è anche nota come
soluzione di incastro perfetto.
Utilizzando il fatto che w o (x ) è una soluzione equilibrata con i carichi
all’interno dell’elemento, la u Te pe può essere riscritta in forma più semplice,
infatti dall’equazione dei lavori virtuali, si ha:
{ {EA
{p x u p y w w ,x }dx p x u i p y
o EIo }dx } {
i
l
l
i
w m p x u p y w m }
i
i i
j j
j j
j j
Il secondo termine a secondo membro rappresenta il lavoro delle reazioni di
incastro perfetto.
Sostituendo nel termine lineare si ottiene:
52
T
u p (p x p x )u (p y p y )w (m m ) (p x p x )u (p y p y )w (m m )
e
i
i i
j
j j
e
i
i i
i
i i
j
j j
j
j j
da cui direttamente:
(px px )
i
i
(py py )
i
i
(mi mi )
p e (p p )
x
x
j
j
(p p )
y
y
j
j
(m
m
j
j )
Si osservi come ciascun componente del vettore dei carichi nodali equivalenti
sia dato dalla somma della forza concentrata, direttamente applicata sul
nodo, e della reazione di incastro perfetto, cambiata di segno.
Allo stesso risultato si può pervenire mediante il processo di sovrapposizione
degli effetti:
Figura 2 : Reazioni di incastro perfetto
La prima condizione di carico, (1), rappresenta i soli carichi nodali; i carichi
ripartiti possono essere messi in conto in due fasi successive:
-
nella prima, (2), si considera la condizione di incastro perfetto (cioè si
pensa di bloccare nodi dell’elemento) introducendo dall’esterno delle
opportune reazioni d’incastro ;
-
nella seconda, l’arbitrarietà dell’incastro viene rimossa sovrapponendo la
condizione di carico, (3), definita dalle reazioni di incastro cambiate di
segno.
53
La soluzione viene, quindi, ottenuta come sovrapposizione delle soluzioni (1)
e (3).
Si costruisce in questo modo la soluzione elastica locale, ossia all’interno di
ogni elemento, da cui si ottengono le grandezze utilizzate nel prosieguo
dell’analisi per definire compatibilità ed equilibrio globale:
K
: matrice di rigidezza
e
s K u
: vettore delle forze nodali
e
e
e
p e : vettore dei carichi
Prima di procedere alla fase di assemblaggio bisogna ruotare l’elemento, e
quindi le sue caratteristiche fin qui definite rispetto ad un sistema di
riferimento locale, in modo da “sommare” nella fase di assemblaggio
grandezze espresse rispetto allo stesso sistema di riferimento “globale”.
Indicando con u e il vettore che raccoglie le componenti di spostamento nodale
nel riferimento globale, si ha:
u R u
e e e
dove R e è la matrice di passaggio dal sistema globale al sistema locale
(matrice di rotazione).
Nel riferimento globale la matrice di rigidezza dell’elemento K risulta definita
e
direttamente dall’equivalenza energetica:
1 T
1 T
1 T T
u K u u K u u R K R u
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
2
2
2
che fornisce la matrice di rigidezza dell’elemento nel riferimento globale:
T
K e R e K e R e
Analogamente, il vettore dei carichi nodali equivalente nel riferimento globale
p risulta definito dall’equivalenza energetica:
e
T
T
T T
u p u p u R p
e e
e e
e
e e
che fornisce:
T
p R p
e
e
e
54
3.2.1.5. Fase di Assemblaggio
K
e i vettori dei carichi
e
precedente, intervengono nella
In questa fase si vede come le matrici
p e dell’elemento, costruiti nella fase
costruzione della matrice globale della struttura e del vettore globale dei
carichi nodali equivalenti.
Il processo di assemblaggio utilizzato nella costruzione della matrice di
rigidezza della struttura si basa essenzialmente sul fatto che K definisce
l’Energia di Deformazione dell’intera struttura attraverso il prodotto scalare
1 T
u K u . Essendo l’energia sommabile in quanto scalare, cioè potendosi
2 e e e
ottenere l’Energia di Deformazione della struttura come somma dell’energia
dei singoli elementi che la compongono, ciascun coefficiente della generica
K e si somma nel coefficiente di K associato alle stesse componenti fisiche
di spostamento.
Ovviamente, la posizione nella matrice K in cui il coefficiente della K si va a
e
sommare rispecchia l’ordine in cui le componenti fisiche dello spostamento
presenti in u sono disposte nel vettore degli spostamenti dell’intera struttura,
e
u.
Infatti, il vettore
u elenca, in un certo ordine, le sole componenti di
e
spostamento nodale che afferiscono all’elemento, ed è collegato al vettore
globale u , che raccoglie le componenti di spostamento di tutti i nodi della
struttura, da una relazione del tipo:
x T x
e
e
u T u
e
e
in cui la matrice Te , chiamata matrice d’incidenza dell’elemento, tramite una
corrispondenza di indici, riordina nel vettore u le componenti di spostamento
e
nodale che gli afferiscono, contenute in u in un ordine diverso.
55
Figura 3 : Assemblaggio della matrice.
Effettuando adesso la somma:
n
n
n
1
n
1
n
1
n
π= πe ( uTe K e u e uTe pe ) ( u T TeT K e Te u) (uT TeT pe ) u T (TeT K e Te )u u T (TeT pe )
2 e1 e1
e
1 2
e1 2 e
1
e=1
Otteniamo:
n
T
K = (Te K e Te )
e1
n
T
p (Te pe )
e 1
sostituendo in π si ottiene l’espressione dell’Energia Potenziale totale
dell’intera struttura:
π=
1 T
T
u K u u p
2
3.2.1.6. Equilibrio globale della struttura
L’equilibrio globale della struttura viene ottenuto dalla condizione di minimo di
π:
π=
u
π
T
T
T
u K u
u p 0
u
K u p
E’ il sistema di equazioni lineari rappresentative dell’equilibrio, nelle incognite
1
u =K p.
Noti gli spostamenti nodali dell’intera struttura, come già accennato, si va in
ogni elemento e si completa l’analisi sovrapponendo la soluzione di incastro
perfetto:
w (x ) F(x )u e w o (x )
56
quindi si calcolano le deformazioni dalle equazioni di compatibilità e le
sollecitazioni dalle equazioni di legame.
3.3. Programma 1
Questo programma di calcolo delle murature, utilizza come modello base il metodo
degli elementi finiti, dove per elemento base vengono considerati i pilastri e le travi
che rappresentano i maschi murari e le fasce di piano nella schematizzazione a
telaio equivalente. Il programma è stato definito come evoluzione del metodo POR,
che in effetti può essere considerato come applicazione del metodo deagli elementi
finiti, dove i maschi sono aste collegate in sommità da travi infinitamente rigide ed
incastrati alla base.
3.3.1. Modello a Telaio Equivalente
L’edificio in muratura viene schematizzato con un “Modello Tridimensionale agli
Elementi Finiti”, in figura viene evidenziato come il modello sia riconducibile ad un
assemblaggio di telai piani, dove ogni telaio rappresenta un paramento murario
verticale. Questo modello strutturale rappresenta in modo adeguato la distribuzione
di massa e rigidezza effettiva, attraverso elementi resistenti piani a telaio o a parete
connessi da diaframmi orizzontali.
57
Gli edifici regolari possono essere analizzati considerando dei modelli piani separati,
uno per ciascuna direzione principale; analisi 2D vengono anche eseguite nei casi di
edifici con impalcati deformabili.
Nel modello tridimensionale, se i diaframmi orizzontali sono sufficientemente rigidi, i
gradi di libertà possono ridursi a tre per impalcato, concentrando massa ed inerzia
rotazionali nel baricentro di piano.
Nella figura si illustra un paramento murario, e si evidenziano alcune caratteristiche
della schematizzazione a telaio equivalente.
Nel modello tridimensionale, i tratti rigidi devono poter essere definiti diversamente
nei due piani di inflessione complanare e ortogonale alla parete; infatti, in generale,
mentre per azioni complanari si considera l’irrigidimento di modo corrispondente alle
zone di intersezione maschio/fascia, per azioni ortogonali si adotta frequentemente
un’altezza efficace pari all’altezza libera di interpiano.
58
Nella figura si evidenzia in maggior dettaglio lo schema strutturale; possono rilevarsi
la numerazione dei nodi e delle aste, nonché la definizione dei tratti rigidi. Il modello
potrà considerare che le parti siano incastrate alla base; in generale, potrà essere
considerato anche l’inserimento di travi alla Winkler.
59
In
figura
vengono
evidenziate
alcune
caratteristiche
delle
modalità
di
schematizzazione tridimensionale. Le pareti composte da muri intersecanti possono
essere scomposte in maschi semplici a sezione rettangolare, analogamente alle
analisi con i metodi di tipo POR.
3.3.2. Analisi Meccanismi di Collasso
Come visto nel precedente capitolo il concetto base dell’analisi sismica statica
equivalente è che la capacità complessiva della struttura di sostenere le azioni
sismiche, può essere descritta dal comportamento della stessa sottoposta ad un
sistema di forze statiche equivalenti incrementate fino a raggiungere il collasso;
questo è inteso come l’incapacità di continuare a sostenere i carichi verticali.
Il sistema di forze in questione deve simulare in modo il più possibile realistico gli
effetti di inerzia prodotti dal sisma nel piano orizzontale; essi, a loro volta, dipendono
dalla risposta stessa della struttura, per cui il sistema di forze dovrebbe cambiare
durante l’analisi; ciò corrisponde ad un adattamento della distribuzione delle forze al
livello di danneggiamento (pushover adattativo).
Per l’analisi pushover si esegue quanto detto nel capitolo precedente considerando
la variazione della biella, sulla base che in essa possono generarsi delle
sconnessioni compatibili con le tipologie di collasso che si formano nell’asta stessa.
In funzione di tutto ciò il programma determina le curve di capacità della struttura per
confrontarle poi con quella di richiesta del sisma e quindi effettuare la verifica della
costruzione.
3.3.3. Verifiche Eseguite negli Elementi Murari
Analogamente al metodo POR, si considera che il comportamento del maschio
murario è elastico, perfettamente plastico. Il ramo lineare ascendente e però limitato
60
superiormente non solo dalla resistenza a taglio per fessurazione diagonale, ma
dalla minima fra le resistenze associate ai meccanismi di pressoflessione
complanare Vf, di rottura per fessurazione diagonale Vt e di rottura per taglio Vs.
espressi da:
Vu = min (Vf; V t; Vs)
dove
Vf = Mu / h 0 = (N D / 2 h0 ) (1 – N / 0.85 f d D t) = (D2 t p / 2 h0 ) ( 1 – p / 085 f d)
è la forza orizzontale corrispondente al collasso per flessione.
D è la larghezza della parete,
t è lo spessore della parete,
p è la sollecitazione verticale media (p = N / D t, con n forza verticale agente)
N=pDt
h0 è la distanza tra la sezione da verificare e la sezione con momento flettente nullo.
fd è la resistenza a compressione di calcolo della muratura.
Per la muratura nuova, in analisi lineare si ha:
f d = fk /
m
ed in analisi non lineare:
f d = fm.
Per la muratura esistente, in analisi lineare si ha: fd = fm / FC /
m , (con FC = fattore di
confidenza, pari a 1.35; 1.20 o 1.00 secondo il livello di conoscenza), ed in analisi
non lineare: fd = fm / FC.
Vt è la forza orizzontale corrispondente al collasso per taglio per trazione (o taglio per
fessurazione diagonale).
La formulazione del taglio per trazione è riportata nell’OPCM 3431/2005 dove:
Vt D t 1 p b0 d
dove: b
0d = fd , resistenza a trazione di progetto; b è un coefficiente dipendente dalla
snellezza del pannello.
E’ possibile scrivere le relazioni anche nei seguenti termini:
Vt = D t fvd
dove la resistenza a taglio di progetto è data da:
f vd = f vm / FC /
m =
m , (
m = 1 per analisi non lineare)
0 1 p b
0 / FC /
Per muratura nuova, in analisi non lineare si può fare riferimento al valore
caratteristico della resistenza a taglio in assenza di compressione, dato da fvk0 :
61
f vd f vk m f vk 0 1 p b f vk 0 / m
mentre in analisi non lineare si può fare riferimento al valore medio della resistenza a
taglio:
f vd f vm f vm0 1 p b f vm0
Vs = D’ t fvd è la forza orizzontale corrispondente al collasso per taglio-scorrimento
D’ è la lunghezza della parte compressa della parete (zona reagente).
Per la muratura nuova, in analisi lineare si ha:
f vd = f vk /
m
dove:
fvk = fvk0 + 0,4 n [n coincide con p]
Per muratura esistente, in analisi lineare si ha:
f vd f vm / FC / m
f vm0 0.4 n
/ FC / m
0 d 0.4 n
/ FC / m
ed in analisi non lineare:
f vd
0 0.4 n
/ FC / m
a partire dallo spostamento al limite elastico, i maschio murario potrà deformarsi a
taglio costante fino a raggiungere lo spostamento limite consentito detto anche
spostamento di collasso.
La normativa (OPCM 3431/205) fissa il massimo spostamento nei seguenti termini:
- in caso di collasso per pressoflessione: 0.8%H dove H è l’altezza di
deformazione del pannello;
- in caso di collasso per taglio: 0.4%H.
3.4. Programma 2
Il modello base del codice di questo programma è il modello costitutivo proposto da
Gambarotta e Lagomarsino. Questo è un modello a base meccanica in cui è
formulato un legame costitutivo non lineare con danneggiamento, degrado di
resistenza, con softening e degrado di rigidezza, che consente di cogliere i modi di
collasso tipici del pannello murario. Questo modello prevede, inoltre, una
modellazione della parete attraverso modelli a telaio equivalente basati sulla
formulazione non lineare di macroelementi rappresentativi delle caratteristiche dei
pannelli in muratura.
62
3.4.1. Il Macroelemento
La costruzione di un macroelemento, rappresentativo di un intero pannello murario,
deve permettere la formulazione di equazioni d’equilibrio che coinvolgano un numero
limitato d’incognite e deve poter rappresentare un modello cinematico capace di
cogliere i meccanismi elementari di deformazione, danneggiamento e dissipazione
delle strutture murarie.
Si consideri un pannello di larghezza b e spessore s costituito di tre parti: la
deformabilità assiale sia concentrata nei due elementi di estremità 1 e 3 di spessore
infinitesimo , infinitamente rigidi ad azioni taglianti; la deformabilità tangenziale sia
situata nel corpo centrale 2 di altezza h che, viceversa, è indeformabile assialmente
e flessionalmente.
Il modello cinematico completo per il macroelemento deve, quindi, contemplare i tre
gradi di libertà dei nodi i e j e quelli dei nodi di interfaccia 1 e 2.
Le ipotesi di rigidità introdotte consentono di semplificare la cinematica del
macroelemento imponendo opportune condizioni di congruenza all’interno delle
singole sottostrutture 1, 2 e 3.
Avendo indicato con w gli spostamenti assiali, con u quelli trasversali e con le
rotazioni, si può affermare che u1 = ui ; u2 = uj (infatti i corpi 1 e 3 hanno rigidezza
tagliante infinita e spessore tendente a zero) e w1 = w2 = ; .1 = 2 = (il corpo
centrale è assialmente e flessionalmente rigido e δ, rappresentano rispettivamente
lo spostamento assiale e la rotazione).
63
Dal punto di vista cinematico il modello è quindi descritto da otto gradi di libertà: le
sei componenti di spostamento dei nodi di estremità ( ui, wi, i, uj, wj, j) e le due
componenti del macroelemento (e φ).
Il meccanismo di ribaltamento del pannello, favorito dall’assenza di una significativa
resistenza a trazione del materiale, viene rappresentato ipotizzando un contatto
elastico monolatero nelle interfacce 1 e 3 mentre il meccanismo di rottura a taglio è
schematizzato, considerando uno stato di tensione uniforme nel modulo centrale 2 (
si assume Ti = Tj ), attraverso un legame tra le componenti cinematiche ui , uj, , lo
stato tensionale e le variabili descrittive del comportamento plastico (il grado di
p
danneggiamento αe lo scorrimento plastico
). Il danneggiamento per fessurazione
sulle fasce diagonali, dove si verificano meccanismi di taglio-scorrimento, è, infatti,
p
rappresentabile mediante la componente anelastica di spostamento
che si attiva
quando viene superata una condizione limite per attrito alla Coulomb. Il legame
p
Gambarotta-Lagomarsino consente di descrivere, attraverso le variabili α e
,
l’evoluzione ciclica del degrado di rigidezza e del deterioramento della resistenza
associato al progressivo danneggiamento a taglio (Gambarotta et al., 1996; Galasco,
2001).
Nelle due estremità dell’elemento è concentrato il comportamento a flessione: le
relazioni che legano la normale di compressione N ed il momento M alle componenti
di spostamento w e derivano direttamente dalle equazioni elastiche di legame.
Fintanto che il centro di pressione risulta interno al nocciolo centrale d’inerzia non si
verifica la parzializzazione della sezione di estremità del pannello e sforzo normale e
momento risultano lineari in w e e disaccoppiate, indicando con:
2E
K
h
la rigidezza assiale per unità di superficie;
N = kbsw;
k
M sb 3
12
la sezione si parzializza quando il rapporto M/N > b/6, ovvero in termini cinematici
2w
avremo . Questa relazione indica che se si applica un momento alla
b
sezione, la rotazione aumenterà linearmente, a spostamento verticale w costante,
64
la sezione non sia parzializzata. L’andamento lineare si ha fino al raggiungimento
2w
della condizione limite
, oltre il quale si devono tenere in conto i contributi
b
anelastici dovuti alla pressoflessione, fino al limite di parzializzazione
aumentando il momento, aumenta la
w
0 , oltre,
rotazione ma diminuisce la compressione
verticale.
Oltre alla non linearità dovuta alla pressoflessione, il modello di macroelemento
contempla il danneggiamento dovuto alla compressione. Si può notare come, al
momento dell’entrata in campo non lineare, in un generico passo di carico
caratterizzato dal superamento del valore di rottura per compressione w R = R / k in
una porzione base, tale stato sia identificabile attraverso due soli parametri: (=p/b),
misure dell’estensione della porzione di sezione interessata dalla non linearità, e
(=wmax/w), misura della duttilità richiesta alla fibra più esterna e di conseguenza, del
successivo degrado di rigidezza. In un successivo passo di carico, in cui il valore
wmax sia minore del valore limite di wR, si ha uno stato tensionale che dipende così,
attraverso i parametri e dalla storia di carico precedente: le fibre che durante il
processo di carico hanno avuto un’escursione in campo plastico saranno
caratterizzate da una riduzione di rigidezza in funzione della duttilità.
La risposta al taglio è espressa considerando una deformazione tagliante uniforme
u i u j
; nel pannello centrale 2 e imponendo una relazione fra le grandezze
h
cinematiche ui, uj e , e la sollecitazione Ti = -Tj. Il danneggiamento è generalmente
riscontrato lungo la diagonale dove si evidenzia uno spostamento fra i giunti, attivato
per il superamento della condizione attritiva di Coulomb.
3.4.2. Definizione dello Spostamento Ultimo (Drift) per il Macroelemento
Il legame descritto in precedenza viene completato dall’inserimento di un
meccanismo i collasso: coerentemente con l’Ordinanza 3431, si è stabilito di definire
deformazioni massime (drift) accettabili per il pannello, dovuti ai meccanismi di taglio
e pressoflessione. Se questi valori sono superati, il pannello non è più considerato in
grado di sopportare azioni orizzontali.
65
Nel caso di analisi su edifici esistenti in muratura, questi parametri assumono i valori
in seguito riportati:
0.004 taglio
mDL m u
hm
0.006 pressoflessione
Tali drift sono considerati separatamente all’interno del macroelemento considerando
gli spostamenti e le rotazioni corrispondenti alla porzione centrale (in cui si concentra
la deformabilità a taglio) ed alle porzioni di estremità (in cui si ha la pressoflessione):
u u
Taglio
i
j
h
e
Pr essoflessione
i
j
h
e
Il superamento di tali limiti comporta la pressoché totale perdita di resistenza
flessionale e tagliante del pannello, che conserva una sia pur ridotta rigidezza assiale
(diviene pertanto una biella).
3.4.3. Le Peculiarità di Modellazione Connesse alle Prescrizioni dell’Ordinanza
Il legame, precedentemente formulato, descrive accuratamente il comportamento di
un pannello murario coerentemente con prove sperimentali effettuate (Penna, 2002;
Galasco et al. , 2004).
L’Ordinanza ha, tra i suoi presupposti, il carattere prestazionale: le indicazioni sulle
modalità di modellazione e verifica degli elementi costituiscono un riferimento per
un’affidabile modellazione non lineare. L’uso di modelli costitutivi più evoluti, come
quello appena descritto, non è quindi escluso a priori. Tuttavia è necessario recepire
indicazioni generali e valori specifici in accordo col testo normativo.
L’Ordinanza richiede la formulazione di meccanismi che considerano sia la risposta
flessionale, sia la risposta a taglio (cfr. Ordinanza punto 8 1.5 4.). Il meccanismo di
66
pressoflessione è affrontato, in modo rigoroso, considerando l’effettiva ridistribuzione
delle compressioni dovute alla parzializzazione della sezione, ma anche al
raggiungimento della resistenza massima a compressione. Lo spostamento ultimo
associato al meccanismo di pressoflessione è determinato sulla base del valore
massimo di drift previsto per questo meccanismo: 0.6%.
Il meccanismo di taglio è descritto da un modello alla Mohr-Coulomb che, attraverso
il legame Gambarotta-Lagomarsino, riesce a cogliere il progressivo degrado di
resistenza e rigidezza dell’elemento, attraverso le grandezze descrittive del
danneggiamento. Tale legame, in virtù della sua formulazione incrementale, è
capace di modellare un comportamento isteretico, in altre parole può descrivere un
ciclo di carico-scarico del pannello (questa formulazione è necessaria per poter
effettuare analisi dinamiche non lineari o pushover cicliche). La deformazione ultima
a taglio è determinata sulla base del valore massimo di drift previsto dalla normativa:
0.4%.
3.4.4. Modellazione
La
modellazione
tridimensionale
implementata
è
diretta
conseguenza
dell’osservazione del comportamento degli edifici reali e delle prove sperimentali che
hanno permesso di introdurre alcune ipotesi sul funzionamento strutturale delle
costruzioni in muratura.
Come già evidenziato in precedenza, i meccanismi di danno osservati negli edifici
possono essere suddivisi in due categorie secondo il tipo di risposta delle pareti e del
loro mutuo grado di connessione: i cosiddetti meccanismi di primo modo, in cui sono
coinvolte pareti o porzioni di esse sollecitate ortogonalmente al proprio piano, e di
secondo modo in cui la parete risponde all’azione sismica nel proprio piano.
Operazione preliminare al fine di una corretta simulazione è la comprensione e
l’identificazione della struttura resistente ai carichi verticali ed orizzontali all’interno
della costruzione in muratura: tali elementi tipicamente sono costituiti dalle pareti e
dagli orizzontamenti.
Alle pareti si attribuisce il ruolo di elementi resistenti, sia nei riguardi dei carichi
verticali sia orizzontali; agli orizzontamenti invece si riconosce il ruolo di riportare alle
pareti i carichi verticali gravanti su di essi e di ripartire, come elementi di irrigidimento
di piano, le azioni orizzontali sulle pareti di incidenza.
67
Nei riguardi delle azioni orizzontali la modellazione adottata trascura il contributo
resistente delle pareti in direzione ortogonale al proprio piano, data la notevole
flessibilità.
I meccanismi di collasso fuori piano non sono quindi modellati, ma questo, tuttavia,
non rappresenta un limite in quanto si tratta di fenomeni legati alla risposta locale
delle singole pareti di cui, con opportuni accorgimenti ed interventi puntuali, si può
limitare decisamente l’insorgenza.
Analogamente non è simulata la risposta flessionale dei solai, significativa per la loro
verifica di resistenza, ma trascurabile ai fini della risposta globale; i carichi sui solai
sono ripartiti sulle pareti in funzione della direzione di orditura e delle aree di
influenza. Il solaio contribuisce invece come lastra dotata di opportuna rigidezza di
piano.
3.4.4.1. La Modellazione della Parete
Divisa la parete in tratti verticali corrispondenti ai vari piani e nota l'ubicazione delle
aperture, vengono determinate le porzioni di muratura, maschi murari e fasce di
piano, in cui si concentrano deformabilità e danneggiamento (come è verificabile
dalle osservazioni dei danni di sismi reali, da simulazioni sperimentali e numeriche) e
che vengono modellate con i macroelementi finiti bidimensionali, rappresentativi di
pannelli murari, a due nodi con tre gradi di libertà per nodo ( ux, uz , roty) e due gradi
di libertà aggiuntivi interni.
68
Le restanti porzioni di parete vengono dunque considerate come nodi rigidi
bidimensionali di dimensioni finite, a cui sono connessi i macroelementi; questi ultimi
trasmettono, ad ognuno dei nodi incidenti, le azioni lungo i tre gradi di libertà del
piano. Nella descrizione di una singola parete i nodi sono individuati da una coppia di
coordinate (x, z) nel piano della parete e dalla quota z corrispondente a quelle degli
orizzontamenti; i gradi di libertà di cui disporranno saranno unicamente ux, uz, roty
(nodi bidimensionali).
Grazie a questa suddivisione in nodi ed elementi, il modello della parete diviene
quindi del tutto assimilabile a quello di un telaio piano.
Durante l’assemblaggio della parete si considereranno le eventuali eccentricità fra i
nodi del modello e gli estremi dei macroelementi: considerati gli assi baricentrici degli
elementi, questi potrebbero non coincidere con il nodo, nei blocchi rigidi si potrà
quindi verificare un’eccentricità tra il nodo del modello e quello dell’elemento
deformabile.
Questa operazione viene effettuata applicando una opportuna matrice di estremo
rigido alla matrice delle rigidezze dell’elemento medesimo.
La modellazione strutturale richiede inoltre la possibilità di inserire travi ovvero prismi
elastici a sezione costante, individuati nel piano dalla posizione dei due nodi di
estremità. Noti la lunghezza (dimensione prevalente), l’area, il momento di inerzia ed
il modulo elastico è possibile ricostruire la matrice di rigidezza (applicando le regole
del legame elastico) e, assumendo, che essi rimangono indefinitamente in campo
elastico, si applicano le consuete formulazioni del legame elastico (Petrini et al. ,
2004; Corradi dell’Acqua, 1992).
69
Oltre alla presenza di vere e proprie travi (architravi o cordoli in c.a.) il modello
prevede la presenza di dispositivi catena: queste strutture metalliche, sono
sprovviste di rigidezza flessionale e perdono ogni efficacia nel caso divengano
compresse. Questa loro peculiarità comporta un ulteriore elemento di non linearità
nel modello: la rigidezza complessiva del sistema deve diminuire qualora una catena
tesa divenga compressa e deve aumentare nel caso contrario.
Un’altra caratteristica di questi elementi è la possibilità di assegnare una
deformazione iniziale ε
0 , che determina una forza Fc = EAε0 ; dal punto di vista
statico, una volta determinato il vettore globale delle forze di precompressione fc,
basterà applicarlo alla struttura come se fosse un carico esterno.
La matrice di rigidezza di elementi privi di rigidezza flessionale è facilmente ricavabile
azzerando dalla matrice dell’elemento tutti i termini contenenti J; per gestire invece la
non linearità occorre conservare distinti tutti i contributi elastici dovuti alle catene, e
verificare ad ogni passo se vi siano catene che precedentemente tese ora sono
compresse, o viceversa e questo provvedere a correggere la matrice di rigidezza
complessiva del modello.
3.4.4.2. La Modellazione Tridimensionale
Nella modellazione spaziale le pareti costituiscono gli elementi resistenti, nei riguardi
dei carichi sia verticali che orizzontali; gli orizzontamenti (solai, volte, coperture)
invece riportano alle pareti i carichi verticali gravanti su di essi e ripartiscono le azioni
orizzontali
sulle
pareti
di
incidenza.
La
struttura
risulta
così
modellata
dall’assemblaggio di strutture piane: le pareti e gli orizzontamenti, entrambi privi di
rigidezza flessionale fuori dal piano.
Precedentemente è stata illustrata la procedura di modellazione a macroelementi
delle pareti in muratura sollecitate nel proprio piano. Tale strumento costituisce il
punto di partenza importante per la modellazione del comportamento globale basata
proprio sul comportamento delle pareti nel proprio piano. Tuttavia, l’estensione della
procedura alla modellazione tridimensionale non è affatto banale. La strada scelta è
quella di conservare la modellazione delle pareti nel proprio piano ed assemblandole
ad altre strutture, gli orizzontamenti, per i quali viene modellato il comportamento
membranale.
70
Il modello dell’edificio viene ad assumere così globalmente masse e rigidezze su tutti
i gradi di libertà tridimensionali tenendo conto però, localmente, dei soli gradi di
libertà nel piano (nodi bidimensionali).
In questo modo si può pervenire ad un modello strutturale essenziale senza gravarlo
del calcolo della risposta fuori piano locale, che può comunque essere verificata a
posteriori.
Stabilito un riferimento globale unico per il modello dell'edificio, vengono introdotti i
riferimenti locali di ciascuna parete: si assume che le pareti giacciano in un piano
verticale e si localizza la traccia in pianta della generica parete “i” attraverso le
coordinate di un punto, l’origine del riferimento locale Oi (xi , yi , zi ), rispetto ad un
sistema di riferimento cartesiano globale (X,Y,Z), e quindi l’angolo è i calcolato
rispetto all'asse X. Il sistema di riferimento locale della parete è così univocamente
definito e la modellazione a macroelementi può avvenire con le stesse modalità del
caso piano.
I macroelementi, così come gli elementi trave e catena, mantengono il
comportamento nel piano e non necessitano di essere riformulati.
I nodi di connessione, appartenenti ad una sola parete, mantengono i propri gradi di
libertà nel piano nel riferimento locale, mentre i nodi che appartengono a più pareti
(localizzati nelle incidenze di queste ultime) debbono necessariamente disporre di
gradi di libertà nel riferimento globale (nodi tridimensionali). Questi nodi, in virtù
dell’ipotesi di trascurare la rigidezza flessionale delle pareti, non necessitano di un
grado di libertà rotazionale intorno all’asse verticale Z in quanto non connessi ad
elementi in grado di fornire termini di rigidezza rotazionale locale. I nodi rigidi
tridimensionali, rappresentativi di situazioni quali cantonali e martelli, sono ottenuti
come assemblaggio di virtuali nodi rigidi bidimensionali, individuati in ciascuna delle
pareti incidenti. Essi hanno componenti di spostamento generalizzato secondo 5
gradi di libertà: 3 spostamenti, ux, uy e uz, e 2 rotazioni x e y. Le relazioni tra le 5
componenti di spostamento e rotazione del nodo tridimensionale e le 3 del nodo
bidimensionale fittizio, appartenente alla singola, parete sono perciò date dalle
u u x cos u y sin
w u z
x sin y cos
71
in cui con u, w e si sono indicate le 3 componenti di spostamento secondo i gradi di
libertà del nodo fittizio appartenente alla generica parete orientata in pianta secondo
un angolo . Analogamente anche le forze applicate ai nodi tridimensionali vengono
scomposte secondo le direzioni individuate dai piani medi delle pareti ed applicate,
così, ai macroelementi nel loro piano di resistenza.
Le forze reattive trasmesse dai macroelementi appartenenti alle singole pareti ai nodi
fittizi
bidimensionali vengono riportate nel riferimento globale in base alle
Fx Fh1 cos 1 Fh2 cos 2
1
2
Fy Fh sin 1 Fh sin 2
1
2
Fz Fv Fv
M M 1 sin 1 M 2 sin 2
x
M M 1 cos M 2 cos
1
2
y
in cui, come riportato in figura, i termini con apice 1 e 2 fanno riferimento
rispettivamente ai
termini di forza corrispondenti ai nodi virtuali individuati nelle pareti 1 e 2.
La modellazione della parete può così ancora avvenire nel piano, recuperando
quanto descritto nel capitolo precedente. I nodi che appartengono ad una sola parete
rimangono bidimensionali, ovvero mantengono solo 3 gradi di libertà anziché 5.
I solai, modellati come elementi finiti a membrana ortotropa a 3 nodi, con due gradi di
libertà per nodo (gli spostamenti ux e uy), sono identificati da una direzione di
orditura, rispetto alla quale sono caratterizzati da un modulo elastico E1 . E2 è il
modulo elastico in direzione perpendicolare all’orditura, mentre è il coefficiente di
72
Poisson e G2,1 il modulo di elasticità tangenziale. E1 ed E2 rappresentano, in
particolare, il grado di collegamento che il solaio, anche grazie all’effetto di cordoli o
catene, esercita tra i nodi di incidenza nel piano della parete. Il termine G2,1
rappresenta invece la rigidezza a taglio del solai nel suo piano e da esso dipende la
ripartizione delle azioni tra le pareti.
E’ possibile disporre un elemento solaio collegandolo ai nodi tridimensionali, giacché
esso ha la funzione principale di ripartire le azioni orizzontali tra le varie pareti in
proporzione alla loro rigidezza ed in funzione della propria, conferendo al modello
quel carattere di tridimensionalità che dovrebbe avvicinarsi al reale funzionamento
strutturale.
L’elemento finito di riferimento considerato è l’elemento piano, in stato piano di
tensione, a tre nodi
La matrice di rigidezza coinvolge, ovviamente, i soli nodi tridimensionali di incidenza
del solaio, mentre il contributo dei carichi verticali, propri o portati, viene attribuito in
termini di massa nodale aggiunta a tutti i nodi, anche a quelli a 3 g.d.l., appartenenti
alle pareti di incidenza alla quota di piano del solaio; tale massa aggiuntiva viene
calcolata in base alle aree di influenza di ciascun nodo, tenendo conto della direzione
di orditura del solaio.
73
Capitolo IV: SPERIMENTAZIONE NUMERICA
4.1. Introduzione
Considerando quanto detto nei capitoli precedenti viene proposto in questo capitolo
lo studio di un edificio adibito a civile abitazione attraverso i due programmi descritti.
Lo scopo di questo lavoro è quello di osservare le differenze che esistono tra i
programmi nell’esecuzione dell’analisi e nei risultati prodotti, con particolare riguardo
all’analisi statica non lineare ed alla conseguente curva Pushover. Saranno quindi
sovrapposte le due curve per osservare meglio le differenze tra i risultati ottenuti dai
due programmi.
4.2. Edificio Oggetto di Studio
L’edificio considerato in questo lavoro è un edificio esistente in muratura, adibito a
civile abitazione. Consiste in 2 piani fuori terra più la copertura inclinata, per un totale
di circa 7.00 m di altezza fuori terra ed è ubicato in zona sismica 2 su un terreno di
tipo B, secondo l’OPCM 3274/2003. L’ingombro massimo in pianta è pari a 14.55 x
8.30 m.
Esiste un piano interrato parzialmente, realizzato con murature di calcestruzzo non
armato di altezza 2.20 m. Le strutture in elevazione esistenti sono costituite da
murature in mattoni semipieni aventi spessore 20 cm, mentre gli orizzontamenti sono
costituiti da solai in laterocemento di spessore 18+3 cm.
PIANO INTERRATO
74
PIANO TERRENO
2.05
CUCINA
3.50
3.15
4.40
4.15
GARAGE
4.10
2.50
SOGGIORNO
4.30
PIANO PRIMO
2.05
1.80
BAGNO
3.00
CAMERA
4 .20
3.80
CAMERA
4. 15
CAMERA
3. 50
3. 15
2. 15
2.50
PROSPETTO FRONTALE
75
2,20
0.20
3.00
3.64
0.20
2.85
3.53
2. 10
0 .40
1.60
0.18
0.50
PROSPETTO TERGALE
PROSPETTO LATERALE
SEZIONE
76
PROSPETTIVA
La struttura è composta da muri principali aventi spessore pari a 20 cm e da muri
divisori aventi uno spessore di 10 cm. Le caratteristiche dei materiali che
compongono la struttura sono:
Piano Interrato: E = 310000 t/m2
G = 62000 t/m2
,k = f,m = 370 t/m2
,k =
, 0 = 21 t/m2
= 2.00 t/m3
Piani Superiori: E = 320000 t/m2
G = 64000 t/m2
,k = f,m = 440 t/m2
,k =
, 0 = 28 t/m2
= 1.50 t/m3
Pareti Sottili:
E = 210000 t/m2
G = 35000 t/m2
,k = f,m = 230 t/m2
,k =
, 0 = 7.6 t/m2
= 1.80 t/m3
I solai sono tutti monodirezionali ed hanno le seguenti caratteristiche:
scale: Peso Proprio = 300 Kg/m2
Peso Permanente = 160 Kg/m2
Carico Accidentale = 400 Kg/m2
s = 1;
solai intermedi: Peso Proprio = 250 Kg/m2
77
Peso Permanente = 190 Kg/m2
Carico Accidentale = 200 Kg/m2
s = 0.30;
sottotetto: Peso Proprio = 300 Kg/m2
Peso Permanente = 190 Kg/m2
Carico Accidentale = 200 Kg/m2
s = 0.30;
copertura: Peso Proprio = 250 Kg/m 2
Peso Permanente = 75 Kg/m2
Carico Accidentale = 130 Kg/m2
s = 0.30;
4.3. Analisi Attraverso il Programma 1
4.3.1. Input Dati
Come visto nei capitoli precedenti il codice del programma 1 consente di effettuare
l’analisi delle strutture murarie, sia con il metodo POR che con la schematizzazione a
Telaio Equivalente.
Nel presente lavoro si è deciso di seguire le prescrizioni dell’OPCM 3274/2003 e
dell’OPCM 3431/2005.
4.3.2. Analisi Secondo la Nuova Normativa Sismica
La prima fase dell’analisi consiste nella determinazione del modello agli elementi
finiti, quindi alla determinazione del telaio equivalente, che rappresenta la struttura
oggetto di studio. Quest’operazione può essere effettuata sia per i telai 2D, dove il
programma automaticamente definisce tutti i telai bidimensionali che compongono la
struttura, che per i telai 3D, nella quale si ha una schematizzazione di tutta la
struttura.
Una volta completata la creazione del modello si può effettuare il completamento dei
dati di input ed una verifica dettagliata della schematizzazione strutturale. In figura si
può notare la differenza tra le parti rigide delle aste, che sono situate gli estremi e
78
disegnate in grassetto, con le parti deformabili, che si trovano al centro e disegnate
sottili.
4.3.2.1. Analisi Statica Lineare
Attraverso quest’analisi abbiamo osservato lo stato di sollecitazione ed il
comportamento della struttura sia senza l’applicazione del sisma che con
l’applicazione del sisma. Per “l’Analisi Statica Lineare” è stata considerata un’unica
combinazione di carico che è data dalla somma delle condizioni di carico elementari
applicate con un moltiplicatore unitario.
79
Per “l’Analisi Statica Sismica Lineare” è stato utilizzato il fattore di struttura q
proposto dalla normativa (OPCM 3431/2005), considerando un edificio non regolare
in elevazione; pertanto q = 1,5 1 /u, dove 1/u =1,5 e quindi q=2,25. Le azioni
sismiche sono state combinate con i carichi descritti in precedenza secondo le
prescrizioni delle norme citate.
Prima di eseguire l’analisi sono stati definiti i parametri di calcolo, attraverso i quali, si
limita la verifica di resistenza alla pressoflessione complanare alle pareti snelle; la
verifica a taglio per fessurazione diagonale tralasciando invece lo scorrimento; la
verifica a pressoflessione ortogonale secondo il punto 4.9 della norma, cioè con
l’applicazione di azioni convenzionali.
4.3.2.2. Analisi Statica non Lineare, o Pushover
I risultati di tale analisi avranno notevole attendibilità per definire il comportamento
globale della struttura. Ad ogni curva corrisponde un valore di PGA,DS (o,
equivalentemente: un coefficiente di sicurezza pari al rapporto fra la capacità e la
domanda). Il valore più basso definisce la capacità antisismica dell’edificio.
L’analisi è stata svolta considerando prima il sisma applicato in direzione x e poi in
direzione y. Si sono svolte le verifiche del comportamento globale della struttura
attraverso la curva Pushover e lo stato di sollecitazione nei telai orientati nella
direzione del sisma.
Per quanto riguarda il sisma in direzione x si sono ottenuti i seguenti risultati:
80
Telaio lungo “X”
81
Diagramma Sforzo Normale passo “0”
Diagramma Sforzo di Taglio passo “0”
82
Diagramma Momento Flettente passo “0”
Diagramma Sforzo Normale al Collasso
83
Diagramma Sforzo di Taglio al Collasso
Diagramma Momento Flettente al Collasso
84
Per il sisma in direzione y:
Telaio lungo y
85
Diagramma Sforzo Normale passo “0”
Diagramma Sforzo di Taglio passo “0”
Diagramma Momento Flettente passo “0”
86
Diagramma Sforzo Normale al Collasso
Diagramma Sforzo di Taglio al Collasso
Diagramma Momento Flettente al Collasso.
87
4.4. Modellazione Programma 2
4.4.1. Criteri di Modellazione delle Pareti
La prima fase della modellazione consiste nell’individuazione e nella modellazione
della geometria delle pareti portanti. La parete del modello corrisponde al piano
medio del muro reale, a meno di approssimazioni legate a sfalsamenti asimmetrici.
Ciascuna parete è stata modellata assemblando gli elementi che simulassero il
comportamento delle travi di accoppiamento in muratura ordinaria (fasce), dei
pannelli murari (maschi) e delle porzioni rigide costituite dai nodi.
La schematizzazione è stata effettuata a partire dall’analisi della conformazione dei
prospetti, prestando attenzione alla morfologia e al posizionamento delle aperture, in
modo da individuare le porzioni soggette a danneggiamento (maschi e fasce) e
quelle identificabili come nodi rigidi. Il baricentro dei nodi rigidi è posizionato a livello
dei solai (ciò perché le incidenze di quest’ultimi insistono proprio sui nodi 3D) e le
loro dimensioni sono diretta conseguenza di quelle degli elementi incidenti.
Come rappresentato dalle figure successive i maschi murari vengono rappresentati
da un solo macroelemento, di colore marrone, che viene collegato direttamente con i
nodi rigidi, di colore ciano, alle fasce di piano, di colore verde. Questo ci consente di
poter riferire la schematizzazione di questo programma con quella del programma
descritto nei paragrafi precedenti.
88
4.4.2. Criteri di Modellazione dei Solai
Come visto nella parte di descrizione dell’edificio i solai sono tutti in laterocemento.
Questi sono modellati come elementi finiti ortotropi a comportamento membranale e
identificati da una direzione di orditura, caratterizzata dal modulo elastico E 1, dal
modulo elastico E2 in direzione perpendicolare all’orditura e dal modulo di elasticità
tangenziale G12.
Il carico gravante sui solai, come derivato dall’analisi dei carichi, è stato
opportunamente applicato in modo tale che la risultante rispettivamente delle masse
eccitabili dinamicamente e delle forze sismiche fosse corretta.
4.4.3. Metodi di Verifica
4.4.3.1. Analisi Statica Lineare
L’analisi statica lineare, come proposta dalla norma, è stata effettuata in entrambe le
direzioni principali prevedendo le seguenti fasi:
-
valutazione della distribuzione delle azioni sismiche di riferimento nella
direzione considerata;
-
applicazione delle forze in maniera statica alla struttura;
-
valutazione delle sollecitazioni negli elementi resistenti (maschi e fasce);
-
verifica di compatibilità delle resistenze.
89
Il fattore di struttura q utilizzato è pari a 2.25, come proposto nel paragrafo
precedente.
Attraverso quest’analisi, sono stati determinati i valori delle sollecitazioni che gravano
sugli elementi resistenti ed è stata effettata la verifica di resistenza degli elementi
strutturali.
4.4.3.2. Analisi Statica non Lineare
Per determinare la curva di capacità si deve innanzi tutto scegliere il nodo di controllo
e la distribuzione delle forze da applicare, per il nodo di controllo si sceglie il
baricentro dell’ultimo piano come previsto dalla norma. Un ulteriore importante valore
da definire consiste nella determinazione della condizione fino a cui è possibile
spingere l’analisi. Ciascun passo dell’analisi può essere tradotto in un preciso livello
di funzionalità della struttura, caratterizzato da un determinato quadro di
danneggiamento degli elementi strutturali. Ora è evidente che, se da un punto di
vista numerico, l’analisi potrebbe spingersi indefinitamente, da un punto di vista
concettuale e soprattutto nel rispetto dei limiti definiti in termini di sicurezza e
operatività, “a un certo punto” il risultato dell’analisi non può essere più considerato
accettabile. Come visto in precedenza a tale riguardo l‘OPCM 3431/2005 definisce la
capacità di spostamento relativa agli stati limite di danno e ultimo.
Operativamente, nel corso dell’analisi, lo spostamento del nodo di controllo deve
essere incrementato fino al raggiungimento delle condizioni imposte dalla normativa.
Anche per questo programma si è svolta l’analisi considerano prima il sisma in
direzione x e poi in direzione y e si è valutato il comportamento globale della struttura
attraverso la curva Pushover ed il comportamento delle singole pareti durante il
processo di carico.
90
Per il sisma in direzione x
Parete lungo x
91
Stato di danno passo “0”
Legenda Tipologie di Rottura degli Elementi Murari.
Stato di danno al Collasso
92
Per il sisma in direzione y
Parete lungo y
93
Stato di danno passo “0”
Legenda Tipologie di Rottura degli Elementi Murari.
Stato di danno al Collasso
94
Come evidenziato dai grafici dell’analisi Pushover la struttura risulta essere verificata
in quanto lo spostamento richiesto dal sisma è inferiore di quello ultimo della struttura
ed il meccanismo di collasso che si genera negli elementi strutturali è di tipo “Plastico
per Pressoflessione”.
4.5. Conclusioni
Analizzando i risultati ottenuti dalle analisi descritte, possiamo evidenziare che i due
programmi definiscono un valore di carico limite della struttura pressoché simile. Per
quanto riguarda il sisma in direzione x il programma 1 indica un comportamento
meno duttile della struttura, tale differenze si ritiene possa essere causata dalle
differenti soglie che definiscono lo stato limite di danno per i due programmi.
95
Il risultati ottenuti indicano che la struttura risulta essere verificata, infatti: attraverso il
primo programma si ha un valore di PGA,SL pari a 0,331 g per il sisma lungo x e
0,299 g per il sisma lungo y, che è maggiore di quello previsto dalla norma pari a
0,25 g. Con il secondo programma si ha che lo spostamento ultimo della struttura è
maggiore di quello richiesto dal sisma, in effetti abbiamo che per il sisma lungo x lo
spostamento ultimo è pari a 1,52 cm mentre, quello dovuto all’azione sismica è 0,48
cm; per il sisma lungo y lo spostamento ultimo è pari a 1.00 cm mentre quello
causato dal sisma è 0,74 cm.
96
BIBLIOGRAFIA
Libri:
F. Pugi – Edifici in Muratura e nuova Normativa Sismica: l’Analisi Pushover come
evoluzione del Metodo Por – ALINEA editrice.
S. Cattari, E. Curti, A. Galasco, S. Resemini – Analisi sismica lineare e non lineare
degli edifici in muratura – Sistemi Editoriali.
Articoli
A. Galasco, S. Lagomarsino, A. Penna – Analisi sismica non lineare a macroelementi
di edifici in muratura – Atti X Congresso Nazionale ANIDIS “L’ingegneria Sismica in
Italia” Potenza 2001.
T. Salonikios, C. Karakostas, V. Lekidis, A. Anthoine – Comparative inelastic
pushover analysis of masory frames – Engineering Structures 25 (2003) pp 1515 1523.
P. Fajfar – Capacity Spectrum Method Based on Inelastic Demand Spectra –
Earthquake Engineering and Structural Dynamics 28 (1999) pp 979 – 993.
P. Fajfar, P. Gašperšic – The N2 Method for the Seismic Damage Analysis of RC
Buildings - Earthquake Engineering and Structural Dynamics 25 (1996) pp 31 -46.
S. Cattari, E. Curti, S. Giovinazzi, S. Lagomarsino, S. Parodi, A. Penna - Un modello
meccanico per l’analisi di vulnerabilità del costruito in muratura a scala urbana - Atti
XI Congresso Nazionale ANIDIS “L’ingegneria Sismica in Italia” Genova 2004.
M. Dolce – Modellazione Strutturale per il Calcolo Automatico – Atti Congresso
Nazionale ANIDS “L’ingegneria Sismica in Italia” Siracusa 2004.
P. J. B. B. Lourenço – Computational Strategies For Masornry Structures – Facoltà
Ingegneria Università di Porto, Portogallo (1996).
L. Di Sarno – Valutazione ed Adeguamento Sismico degli Edifici Esistenti –
Università del Sannio, Benevento (2005).
L. Gambarotta, S. Lagomarsino – Sulla risposta dinamica di pareti in muratura – Atti
del convegno “La meccanica delle Murature tra Teoria e Progetto” Messina (1996).
A. Brencich, S. Lagomarsino – Un modello a macroelementi per l’analisi ciclica di
pareti murarie – Atti del VIII Convegno Nazionale ANIDIS: “L’ingegneria Sismica in
Italia”, vol. 1, Taormina (1997).
M. Tomazevic – Verifica di resistenza sismica negli edifici in muratura: seguendo le
nuove tendenze – Riv. Murature Oggi, n. 60, Settembre 1998.
A.Penna – Una procedura a macroelementi per l’analisi dinamica non lineare di
edifici in muraratura – Tesi di Dottorato, Politecnico di Milano (2002).
97
A. Galasco, S. Lagomarsino, A. Penna – Programma di calcolo TREMURI: Analisi
sismica di edifici 3D in muratura – Università di Genova (2002).
L. Petrini, R. Pinho, G. M. Calvi – Criteri di Progettazione Antisismica degli Edifici –
IUSS Press, Pavia (2004).
L. Corradi dell’Acqua – Meccanica delle Struttura – vol. 2: Le teorie strutturali ed il
metodo agli elementi finiti, Mc Graw-Hill, Milano 1992.
R. Landolfo – L’evoluzione della normativa sismica – Costruzioni Metalliche, vol. 1
pp. 54 – 66 (2005).
Normativa
Ordinanza Presidenza del Consiglio dei Ministri n° 3274 del 2003: “Primi elementi in
materia di criteri generali per la classificazione sismica del territorio nazionale e di
normative tecniche per le costruzioni in zona sismica”.
Ordinanza Presidenza del Consiglio dei Ministri n° 3431 del 2005: “Ulteriori
modifiche ed integrazioni all'ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri n.
3274 del 20 marzo 2003, recante «Primi elementi in materia di criteri generali per la
classificazione sismica del territorio nazionale e di normative tecniche per le
costruzioni in zona sismica». ”.
Regione Molise Legge 27 dicembre 2002 n° 286 – “Definizione Modelli per Analisi
Strutturale degli Edifici In Muratura”.
Regione Molise Legge 27 dicembre 2002 n° 286 – “Esempi di Calcolo per
Meccanismi Locali”.
Norme Tecniche per le Costruzioni (2005)
Bozza Norme Tecniche per le Costruzioni (2007)
Eurocodice 6
98
INDICE
INTRODUZIONE
1.
1
MICROMODELLAZIONE E MACROMODELLAZIONE
DELLA MURATURA
4
1.1.
Introduzione
4
1.2.
Macro e Micro Modelli
4
1.2.1.
Comportamento Quasi-Fragile del Materiale Murario
5
1.2.2.
Proprietà delle Unità e della Malta
7
1.2.3.
Proprietà delle Interfaccia Unità-Malta
8
1.2.3.1
Collasso di modo I
8
1.2.3.2.
Collasso di Modo II
9
1.2.4.
Proprietà del Materiale del Composito
1.3.
Micro-modello: Un Modello Composto dell’interfaccia della
10
Muratura Semplificato
15
1.3.1.
Strategia della Modellazione Adottata
15
1.3.2.
Risposta Elastica dell’Interfaccia
17
1.3.3
Formulazione Non-Lineare del Modello Composito
dell’interfaccia
18
1.3.3.1
Criterio di Limitazione nelle Trazioni
18
1.3.3.2
Criterio dell’Attrito di Coulomb
19
1.3.3.3
Criterio di Protezione per Compressione
20
1.4.
Dal Micro al Macro: Tecniche di Omogeneizzazione
21
1.4.1.
L’omogeneizzazione Elasto-Plastica dei Materiali di uno
Strato
22
1.4.2.
Formulazione elastica
22
1.4.3.
Formulazione Elasto-Plastica
24
1.5.
Macro-Modello: un Modello Continuo Anisotropo per la
Muratura
25
1.5.1.
Formulazione del Modello Continuo Anisotropo
25
1.5.2.
Funzione di Discretizzazione
26
1.5.3.
Test di Verifica di Rankine
27
1.5.4.
Test di Verifica di Hill
28
99
2.
VERIFICA SISMICA DELLE MURATURE
30
2.1.
Introduzione
30
2.2.
Classificazione Sismica del Territorio
31
2.3.
Norme di I Generazione
32
2.4.
Norme di II Generazione
33
2.5.
Le Norme di III Generazione
34
2.6.
Le Norme di IV Generazione
35
2.7.
Verifica della Muratura
41
2.7.1.
Il Metodo POR
42
2.7.2.
Telaio Equivalente
44
MODELLI SEMPLIFICATI DI VERIFICA DELLE
46
3.
MURATURE
3.1.
Introduzione
46
3.2.1.
Il Metodo degli Elementi Finiti
46
3.2.1.1.
Formulazione Energetica del Problema Elastico Lineare
47
3.2.1.2.
Stazionarietà dell’Energia Potenziale Totale
48
3.2.1.3.
Proprietà Estremali
48
3.2.1.4.
Soluzione Elastica Locale
50
3.2.1.5.
Fase di Assemblaggio
55
3.2.1.6.
Equilibrio globale della struttura
56
3.3.
Programma 1
57
3.3.1.
Modello a Telaio Equivalente
57
3.3.2.
Analisi Meccanismi di Collasso
60
3.3.3.
Verifiche Eseguite negli Elementi Murari
60
3.4.
Programma 2
62
3.4.1.
Il Macroelemento
63
3.4.2.
Definizione dello Spostamento Ultimo (Drift) per il
Macroelemento
3.4.3.
65
Le Peculiarità di Modellazione Connesse alle Prescrizioni
dell’Ordinanza
66
3.4.4.
Modellazione
67
3.4.4.1.
La Modellazione della Parete
68
3.4.4.2.
La Modellazione Tridimensionale
70
100
4.
SPERIMENTAZIONE NUMERICA
74
1.
Introduzione
74
2.
Edificio Oggetto di Studio
74
3.
Analisi Attraverso il Programma 1
78
3.1.
Input Dati
78
3.2.
Analisi Secondo la Nuova Normativa Sismica
78
3.2.1.
Analisi Statica Lineare
79
3.2.2.
Analisi Statica non Lineare, o Pushover
80
4.
Modellazione Programma 2
88
4.1.
Criteri di Modellazione delle Pareti
88
4.2.
Criteri di Modellazione dei Solai
89
4.3.
Metodi di Verifica
89
4.3.1.
Analisi Statica Lineare
89
4.3.2.
Analisi Statica non Lineare
90
5.
Conclusioni
95
BIBLIOGRAFIA
97
INDICE
99
101
Scarica
