Teoria dei giochi
Eliminazione
iterata delle strategie
strettamente dominate
Il diritto di proprietà
Concetti base

Un problema di scelta razionale in condizioni di
iterazione strategica (GIOCO) può essere descritto in
termini matematici precisi mediante la forma estesa
oppure la forma strategica.

Un gioco in forma strategica identifica i giocatori, le
strategie di ognuno di essi e i payoff associati a ogni
situazione sociale, che rappresentano l’utilità di ogni
giocatore di trovarsi in quella particolare situazione
sociale.
Concetti base
SOLUZIONE DI UN GIOCO
Con il termine soluzione di un gioco si intendono le
strategie dei giocatori e le corrispondenti situazioni sociali
che sono compatibili con alcune ipotesi riguardanti
l’intelligenza e la razionalità dei giocatori, nonché il loro
grado di conoscenza delle caratteristiche del gioco stesso.
Concetti base
A seconda dei requisiti di conoscenza o razionalità in
possesso dei diversi giocatori esiste una classificazione
che individua quattro concetti base di soluzione:




le strategie che sopravvivono all’eliminazione iterata
delle strategie strettamente dominate
le strategie razionalizzabili
l’equilibrio di Nash (o equilibrio strategico)
l’equilibrio correlato
Eliminazione iterata delle strategie
strettamente dominate
Mostriamo con un esempio come si applica il
concetto di soluzione e successivamente diamo
una definizione generale e spieghiamo in che
senso l’esito così ottenuto rappresenta la scelta
razionale in condizioni di interazione strategica.
A tal proposito consideriamo il seguente gioco
in forma strategica:
Forma strategica
sinistra
destra
alto
3,2
2,6
centro
4,4
3,3
basso
6,5
1,3
Il gioco

Abbiamo un gioco in forma strategica di cui
considereremo dapprima il giocatore I e in
particolare confronteremo due strategie di tale
giocatore: per esempio alto e centro.

Vogliamo vedere se I preferisce alto oppure
centro, dobbiamo però tener conto di quello che I
crede farà II.
Preferenze

Le preferenze del giocatore I tra alto e centro per ogni
possibile strategia del giocatore II sono:
•
se II gioca sinistra, I ottiene 3 giocando alto e 4 giocando
centro. Quindi se II gioca sinistra, I preferisce
strettamente centro in quanto 4 > 3.
•
Se II gioca destra, I ottiene 2 giocando alto e 3 giocando
centro. Quindi se II gioca destra, I preferisce strettamente
centro in quanto 3 > 2.
Strategia strettamente dominata
Possiamo notare che qualunque cosa faccia il giocatore
II, I preferisce sempre centro rispetto ad alto: diremo a tal
proposito che per il giocatore I la strategia alto è
STRETTAMENTE DOMINATA dalla strategia centro.
Si dice che per un certo giocatore, una strategia è
strettamente dominata se ne esiste un’altra che assicura al
giocatore in esame un payoff più elevato qualunque sia la
strategia adottata dagli altri giocatori.
Strategia strettamente dominata

Il concetto di strategia strettamente dominata viene
dimostrato confrontando di volta in volta due strategie, e
non è sempre vero che una di esse è strettamente
dominata dall’altra.

Consideriamo a tale proposito le strategie centro e basso
per il giocatore I e replicando il procedimento visto in
precedenza, andiamo a vedere le preferenze del
giocatore I tra centro e basso per ogni possibile strategia
del giocatore II.
Strategia strettamente dominata


se II gioca sinistra, I preferisce strettamente basso rispetto
a centro, in quanto 4 < 6.
se II gioca destra, I preferisce strettamente centro rispetto
a basso in quanto 3 > 1.
In questo caso , le preferenze del giocatore I dipendono
da quello che egli crede che faccia il giocatore II.
Di conseguenza, la strategie centro non è strettamente
dominata dalla strategia basso per il giocatore I, così
come basso non è strettamente dominata da centro.
Strategia strettamente dominata
Analogamente si può dimostrare che alto non è
strettamente dominata da basso, così come basso
non è strettamente dominata da alto.
Quindi:
 per il giocatore I alto è l’unica strategia
strettamente dominata (dalla strategia centro)
 il giocatore II non ha strategie strettamente
dominate
Strategia strettamente dominata
Un giocatore intelligente e razionale che conosca la
struttura del gioco non giocherà mai una strategia
strettamente dominata.
Eliminazione iterata delle strategie
strettamente dominate
Ipotizziamo ora che ogni giocatore non solo sia
intelligente, razionale e conosca la struttura del gioco,
ma sappia anche che ogni giocatore sa che tutti sono
intelligenti, razionali e conoscono la struttura del
gioco... e così via ad infinitum, cioè ipotizziamo che la
struttura del gioco e l’intelligenza e la razionalità dei
giocatori siano conoscenza comune.
Vediamo ora come, nell’esempio in esame, tale ipotesi
implichi l’eliminazione iterata delle strategie strettamente
dominate.
Eliminazione iterata delle strategie
strettamente dominate
Stabilito che I non giocherà mai alto, se II
è intelligente, razionale e conosce la
struttura del gioco, sa che I non giocherà
mai alto. Quindi II si disinteresserà
completamente della strategia alto da
parte di I. Ma a causa dell’ipotesi di
conoscenza comune, I sa che II si
disinteresserà della strategia alto.
Ciò ci permette di ELIMINARE la
STRATEGIA ALTO dal problema di
scelta razionale, in quanto è conoscenza
comune che non varrà giocata.
sinistra destra
alto
3,2
2,6
centro
4,4
3,3
basso
6,5
1,3
sinistra
destra
centro
4,4
3,3
basso
6,5
1,3
Eliminazione iterata delle strategie
strettamente dominate
L’eliminazione della strategia alto ha fatto si che, nella
nuova versione del gioco, il giocatore II abbia una
strategia strettamente dominata. Vediamo come
considerando le preferenze tra le sue strategie per ogni
possibile strategia del giocatore I:


Se I gioca centro, II preferisce strettamente sinistra
rispetto a destra, in quanto 4 > 3.
Se I gioca basso, II preferisce strettamente sinistra
rispetto a destra, in quanto 5 > 3.
Eliminazione iterata delle strategie
strettamente dominate
Di conseguenza, qualunque sia la strategia
adottata del giocatore I, il giocatore II preferirà
sempre sinistra rispetto a destra.
Quindi nel nuovo gioco destra è una strategia
strettamente dominata per il giocatore II: questo
significa che giocherà sinistra.
Eliminazione iterata delle strategie
strettamente dominate
Per l’ipotesi di conoscenza comune
dell’intelligenza e razionalità dei giocatori e della
struttura del gioco, la strategia destra di II può
essere ELIMINATA dal gioco, in quanto è
conoscenza comune che non verrà giocata.
Nel nuovo gioco centro per I è strettamente
dominata dall’strategia basso.
Possiamo dunque procedere all’eliminazione della
strategia centro per il giocatore I e ottenere la
versione finale del gioco.
Si ottiene così un’unica soluzione del gioco:
I gioca basso, II gioca sinistra e il payoff è (6,5).
sinistra
centro
4,4
basso
6,5
sinistra
basso
6,5
Soluzione
ELIMINAZIONE ITERATA
Dato un gioco in forma strategica, si individua una strategia strettamente
dominata. Si elimina tale strategia e, di conseguenza, tutti i payoff associati
all’utilizzo di quella strategia. Si scrive la nuova forma strategica del gioco e
si ripete il procedimento fino a quando per tutti i giocatori non esistono più
strategie strettamente dominate.
Le strategie che sopravvivono all’eliminazione iterata delle strategie
strettamente dominate sono tutte e sole le strategie compatibili con l’ipotesi di
conoscenza comune dell’intelligenza e razionalità dei giocatori e della
struttura del gioco.
Il dilemma del prigioniero
Consideriamo ora un noto esempio facilmente
risolvibile mediante eliminazione iterata della strategie
strettamente dominate:
il Dilemma del Prigioniero.

La teoria dei giochi si è spesso dimostrata in grado di
spiegare in modo semplice e sufficientemente rigoroso
alcuni importanti fenomeni politici, sociali e economici..

Uno degli esempi classici di applicazione del Dilemma
del prigioniero è l’esistenza del diritto di proprietà.
Definizione

EFFICIENZA NEL SENSO DI PARETO
•
Una situazione sociale è efficiente nel senso di Pareto se non
esiste alcuna situazione che è preferita debolmente da
tutti i giocatori e strettamente da almeno uno di essi.
Una situazione è efficiente nel senso do Pareto se non è
possibile migliorare la situazione di qualcuno senza
peggiorare , nello stesso tempo, quella di qualcun altro.
•
Diritto di proprietà
SITUAZIONE
Bosco isolato in cui vivono soltanto due individui,
entrambi cacciatori
cacciatore A
ATTORI PRINCIPALI
cacciatore B
Il gioco
Un giorno i due cacciatori, al ritorno dalla caccia si
incontrano. Hanno la possibilità di assumere due
atteggiamenti diversi:
CACCIATORE A
AGGRESSIVO
sottrae prede e fa
schiavo B
PACIFICO
rispetta il diritto di
B di allontanarsi con
prede
Il gioco
CACCIATORE B
AGGRESSIVO
sottrae prede e fa
schiavo A
PACIFICO
rispetta il diritto di
A di allontanarsi
con prede
Soluzioni

Il gioco prevede quattro possibili situazioni sociali:
1)
Entrambi i giocatori assumono atteggiamento
aggressivo: STATO DI GUEURRA (G).
Cacciatore A aggressivo e cacciatore B pacifico: A
riduce B in SCHIAVITU’ (SA).
Cacciatore B aggressivo e cacciatore A pacifico: B
riduce A in SCHIAVITU’ (SB).
Entrambi assumono un atteggiamento pacifico:
STATO DI PACE, viene rispettato il diritto di
proprietà (DP).
2)
3)
4)
Forma strategica
Giocatore
B
Giocatore
A
aggressivo
pacifico
aggressivo
G,G
SB,SB
pacifico
SA,SA
DP,DP
Preferenze à la Hobbes

Per descrivere le preferenze dei due giocatori
ipotizziamo che i due cacciatori rispondano alla
descrizione degli uomini fatta dal filosofo inglese
Thomas Hobbes. Egli considera il cosiddetto stato di
natura nel quale:
•
non esistono forme di coordinamento sociale tra gli individui, non
esistono cioè né norme vincolanti né convenzioni sociali
gli uomini sono naturalmente guidati da un amore per la libertà e
dal dominio sugli altri
•
Struttura preferenze
GIOCATORE A
SB > DP > G > SA
GIOCATORE B
SA > DP > G > SB
Le preferenze possono essere scritte mediante due
funzioni di utilità:
A: UA
UA(SB) > UA(DP) > UA(G) > UA(SA)
B: UB
UB(SA) > UB(DP) > UB(G) > UB(SB)
Soluzione
Ipotizziamo ora che i due cacciatori decidano (simultaneamente e
indipendentemente) come comportarsi in un mondo in cui non
esiste una società che imponga loro di rispettare il diritto di
proprietà. Possiamo facilmente notare che la strategia Pacifico è
STRETTAMENTE DOMINATA per il giocatore A:
•
•
se B è aggressivo, A preferisce a sua volta in modo aggressivo
piuttosto che in modo pacifico, in quanto preferisce la guerra
rispetto a diventare schiavo dell’altro
se B è pacifico, A preferisce comportarsi in modo aggressivo perchè
preferisce che l’altro sia un suo schiavo rispetto a tornare a casa
ciascuno con le sue prede
Soluzione


Qualunque sia il comportamento di B, il cacciatore A preferisce
essere aggressivo.
Qualunque sia il comportamento di A, il cacciatore B preferisce
essere aggressivo.
Possiamo quindi concludere che, se i due individui sono
intelligenti, razionali, conoscono la struttura del gioco e hanno
preferenze à la Hobbes, si comportano in modo aggressivo.
L’esito sociale di un comportamento razionale è lo “stato di guerra
universale” teorizzato da Hobbes.
Conclusioni
L’esempio appena visto ha una struttura identica a quella
del Dilemma del prigioniero
L’esito associato a un comportamento cooperativo da parte di
entrambi i giocatori è migliore per tutti e due rispetto all’esito
associato a un comportamento non cooperativo, ma l’incentivo
(individuale) a comportarsi in modo non cooperativo conduce a un
ESITO INEFFICIENTE.
Conclusioni


Come abbiamo visto nell’esempio, nel Dilemma del
prigioniero, l’esito derivante dal comportamento
individuale non è efficiente nel senso di Pareto, in
quanto esiste un’altra soluzione sociale che è preferita
strettamente da entrambi i giocatori.
Il Dilemma del prigioniero è diventato famoso nella
letteratura economica proprio perché illustra il possibile
conflitto tra quello che è ottimo per il singolo individuo
e quello che è ottimo per la società.