Esempio:
Un sottile fascio luminoso monocromatico di 0 = 589 nm incide con
angolo i = 30o su una lastra di vetro flint spessa h = 2 cm e con indice di
rifrazione n = 1.66 ( a 0): determinare la posizione del fascio di uscita.
La legge di Snell applicata alle due superfici
della lastra: sin 2 = (1/n) sin 1; sin 3 = n sin2
da cui: 3 = 1: la lastra non altera la direzione
di propagazione ma provoca uno spostamento
laterale d: d  h sin( 1   2 )
Ora: sin (1 - 2 ) =
cos 2
sin 1 cos 2 - cos 1 sin 2 e sin 2 = sin 1 /n


si ottiene:
cos1


d  h sin 1 1 
2
2

n

sin
1 

Numericamente d = 4.53 mm. Se la luce non è monocromatica avviene il
fenomeno della dispersione e lo spostamento d = d(): in uscita si hanno
raggi paralleli di diverso colore. Misurando d() è possibile ricavare
n().
Misura di n con prisma
Calcolare l’indice di rifrazione n in funzione dell’angolo di deviazione
minima m e dell’angolo di apertura 
del prisma.
In condizioni di deviazione minima la luce all’interno del prisma si
propaga parallela alla base. Si ha:  = m/2,
1= /2, i= 1+ = ( +m)/2. Da Snell:
sin i = n sin 1, sin ( +m)/2 = n sin /2 e:
 m 
sin 

2

n 
sin

2
Misurato m e noto  si può
calcolare
l’indice
di
rifrazione: nel caso di
liquidi si può utilizzare un prisma cavo di
vetro riempito del liquido in esame
Esempio
Un fascio di luce ordinaria di potenza P = 10 W incide con angolo  su
una lastra piana di vetro con n = 1.5. Il fascio riflesso risulta polarizzato
rettilineamente: Calcolare , la potenza del fascio riflesso e del fascio
trasmesso. Calcoliamo per una sola superficie di discontinuità!
L’unica condizione per cui per riflessione si origina un fascio polarizzato
rettilineamente è la condizione di Brewster: tg B = 1.5; B = 56.31o;
t = (B) = 33.69o.
Per la componente σ con il campo elettrico perpendicolare al piano di
incidenza , che trasporta la potenza P/2 la percentuale di potenza
riflessa è: R = sin2(56.31 – 33.69) = 0.15 e quindi la potenza del fascio
riflesso è: PR = (P/2) R = 0.74 W.
Per la componente π con il campo elettrico parallelo al piano di incidenza
non vi è componente riflessa: tutta la potenza P/2 viene trasmessa: La
potenza del fascio trasmesso è quindi: PT = P – PR = 9.26 W. Il fascio
riflesso ha poca potenza ma è polarizzato rettilineamente: il fascio
trasmesso non polarizzato contiene il 93% della potenza incidente.
Se ora consideriamo anche la seconda superficie si può ripetere il ragionamento:
anche in questo caso siamo con incidenza all’angolo di Brewster per cui la
componente π con il campo elettrico parallelo al piano di incidenza non ha
componente riflessa e viene trasmessa tutta, mentre il fascio riflesso è costituito
tutto da componente σ
Si avrà quindi: P(π) trasmessa = P/2 = 5 W.
P(σ) riflessa = [0.74 + (5-0.74) R] W = [0.74 + 4.26*0.15] W = [0.74 + 0.64] W
= 1.38 W
La potenza totale PT = [5 + (5 – 1.38)] W = 8.62 W
Al fascio trasmesso viene a mancare una porzione della componente σ crescente
al crescere del numero di riflessioni. Il fascio riflesso è costituito da fasci paralleli
ma spostati a causa dello spessore della lastra.
Esempio
Un fascio luminoso di intensità I0 polarizzato rettilineamente incide
normalmente su un sistema di due polarizzatori P1 e P2 i cui assi formano
un angolo  = /4. L’angolo tra il campo elettrico Ei dell’onda incidente e
l’asse ottico di P1 è ancora  = /4. Determinare la percentuale di energia
trasmessa dal sistema P1 P2
Si applica in successione la legge di Malus: da P1
esce un’onda di intensità I1 = I0 cos2  = I0/2 e da
P2 un’onda di intensità I2 = I1 cos2  = I0/4, per cui
l’energia trasmessa è il 25% di quella incidente; il
resto è stato assorbito e/o diffuso in ogni
direzione.
Esercizio
Due onde luminose di 0= 0.4 m attraversano due sottili lamine trasparenti di egual spessore L = 4 m e indici di rifrazione n1 = 1.4 e n2 = 1.6
Calcolare la i; il numero d’onde ki all’interno dei due mezzi; la
differenza di tempo di percorrenza t; la differenza di fase  introdotta
nell’attraversamento delle lamine.
1= 0/n1 = 0.286 m ; 2= 0/n2 = 0.25 m ;
k1= k0n1= (2 / 0)n1 = 1.57 107 n1 = 2.2 107 m-1; k2= k0n2= 2.51 107 m-1
t = (L/c)(n2- n1) = 2.67 10-15 s;  = (k2-k1)L = k0L(n2-n1) = 4: le due
onde sono in fase.
Esercizio
Un fascio di luce inizialmente in acqua (n1 = 1.33) entra in una sostanza
trasparente con angolo di incidenza 1 = 37o ed il fascio rifratto esce ad
un angolo 2 = 25o . Calcolare la velocità della luce nella sostanza.
sin 1 n2

sin  2 n1
n2 = 1.89; v2= c/n2= 1.58 108 m/s
Esercizio
Un pesce nuota sott’acqua a h = 30 cm al di sotto della superficie.
Nell’ipotesi che venga osservato ad angoli  piccoli rispetto alla normale
calcolare la profondità h’ apparente.
h' tg ' sin  ' 1



h tg sin  n
h' 
h
 22.6cm
n
Esercizio
L’indice di rifrazione dell’aria è n = 1.00028.
Una stella invia luce secondo una direzione che
forma l’angolo 0 = 45o rispetto allo zenit.
Calcolare in quale direzione  dovrà essere
puntato un telescopio per vedere la stella al
centro del suo campo.
sin  0
sin  
  44.984o  -  0  0.016o  1'
n
misurabile!
Esercizio
In fig. un sottile fascio di luce incide su un sistema
di tre lastre piane sovrapposte con indici n1, n2, n3=
1.55 con angolo  = 60o. Calcolare 3, 4
sin  = n1sin 1= n2sin 2= n3sin 3;
sin 3= (sin )/n3; 3=34o; 4=  = 60o
Esercizio
Un fascio di luce incide con un angolo 1 molto
piccolo su una lastra di vetro trasparente a facce
piane e parallele, di spessore h e indice n.
Calcolare lo spostamento d del fascio all’uscita
dalla lastra.
Dalla
d
d  h1
h sin( 1   2 )
cos 2
n -1
n
;
per 1 piccolo: 1/ 2 = n; cos 2 1 per cui
Esercizio
Un fascio laser incide con un angolo  = 50o sulla
superficie piana di una fibra ottica di diametro d
= 3 mm, lunghezza l = 50 cm ed indice n = 1.45.
Calcolare il numero di riflessioni N che subisce il
fascio prima di uscire dalla fibra; la lunghezza
effettiva Leff del percorso della luce ed il tempo t
di percorrenza.
sin 1 = (sin )/n = 0.528; tg 1 = 0.622; h = d/ tg 1 = 4.82 mm;
N  1/h  104; Leff = l/(cos 1)  58.9 cm; t = Leff n/c  3 ns.
Esercizio
Un fascio di luce incide con un angolo  = 56o su una
faccia di un prisma retto; il fascio rifratto incide
sull’altra faccia in modo che l’angolo di rifrazione sia
di 90o con la normale. Calcolare: l’indice di rifrazione
n del prisma; il massimo valore dell’indice nmax per
cui ciò è possibile.
sin 1 = (sin )/n; 1 + 2 = /2; 1/n = sin 2 =
sin (/2 - 1) = cos 1 da cui:
n  1  sin 2   1.30
Per  = /2 nmax = 1.41
Esercizio
Un fascio di luce attraversa normalmente una lastra trasparente a facce
piane e parallele di materiale con indice n = 1.5. Trascurando
l’assorbimento del materiale calcolare la percentuale  di luce trasmessa
dalla lastra.
2
:percentuale riflessa dalla prima faccia della lastra; T =
n
1


R 

0.04

1 – R = 0.96: percentuale trasmessa dalla prima faccia;
n

1


dalla seconda faccia viene trasmessa la percentuale  = (0.96)2 = 0.92
Esercizio
In fig. un sottile fascio di luce incide su una lastra a
facce piane e parallele avente indice n2 = 1.5; il
fascio rifratto incide su una superficie che delimita
due mezzi con indici n2 ed n3: In entrambe le
rifrazioni è verificata la condizione di Brewster.
Calcolare n3:
tg 1 = n2 = 1.5; 1 = 56.3o; sin 2 = sin 1 /n2 = 0.5547; tg 2 = 0.666 =
n3/n2; n3 = 1: aria
Uno specchio sferico concavo ha raggio di
curvatura R = - 20 cm. Trovare la
posizione dell’immagine per distanze
dell’oggetto dal vertice V di: s1 = 25 cm
e s2= 5 cm; calcolare l’ingrandimento
trasversale M di un piccolo oggetto posto
nelle posizioni suddette.
La distanza focale è f = -R/2 = 10 cm
a) Per s1 = 25 cm si ha: 1/25 + 1/q1 = 1/10;
q1= 16.67 cm ;
M1 = -q1/s1 =
-0.67; l’immagine reale si forma dalla
stessa parte dello specchio in cui è
l’oggetto, è più piccola e capovolta.
b) Per s2 = 5 cm si ha: 1/5 + 1/q2 = 1/10; q2
= -10 cm; M2 = - q2/s2 = 2; l’immagine
virtuale si forma dietro lo specchio, è
diritta ed ingrandita.
Uno specchio sferico convesso ha raggio di curvatura R = 20 cm. Trovare la posizione dell’immagine di un piccolo oggetto posto a distanza s1=
25 cm dal vertice V dello specchio ed il suo
ingrandimento trasversale. Ripetere il calcolo per
s2 = 5 cm.
1/25 + 1/q1 = - 1/10; q1 = - 7.14 cm
M1 = - q1/s1 = 0.29. L’immagine è virtuale, si
forma tra il fuoco F ed il vertice V: è diritta e
rimpicciolita.
Per s2 = 5 cm, q2 = - 3.33 cm, M2 = 0.67 e
valgono le stesse considerazioni.
Una signora alta h = 170 cm si specchia in uno specchio piano verticale.
Calcolare l’altezza minima l dello specchio e la sua posizione rispetto a
terra cui deve essere posto affinché la signora possa vedersi
completamente. Si assuma che gli occhi distino 10 cm dal punto più alto
della testa.
Nella figura si sono tracciati i raggi estremi a e b
che partendo dalla testa e dalle scarpe
raggiungono gli occhi. Si vede che l’altezza
dello specchio dal pavimento è h’ = ( h – 10 )/2
= 80 cm per cui lo specchio deve avere altezza
minima l = h’ + d/2 = 85 cm.
Un pesciolino nuota all’interno di un vaso
sferico di vetro, pieno d’acqua ( n = 1.33). Il
raggio del vaso è R = 15 cm e il pesciolino si
trova alla profondità p = 10 cm. Calcolare la
posizione dell’immagine del pesciolino e il suo
ingrandimento trasversale.
Dalla ed. del diottro: n1 /p + n2 /q = (n2 – n1 )/R
si ha: 1.33/10 + 1/q = (1 – 1.33)/-15 : q = -9 cm;
l’immagine virtuale si forma davanti all’oggetto.
Il pesciolino appare più lungo in quanto: I =
n1q/n2p = -1.2
Determinare le posizioni dei fuochi per i quattro tipi di diottri possibili:
Convesso: n1 < n2
f1 = n1 R/(n2-n1)
f2 = n2 R /(n2-n1);
R > 0 f1 > 0; f2 >0: reali
Convesso n1 > n2
f1<0; f2 <0 virtuali
Concavo n1 < n2
f1<0; f2 <0 virtuali
Concavo n1 > n2
f1>0; f2 >0 reali
Un pesce nuota a distanza d = 20 cm dal pelo dell’acqua. Calcolare la
profondità apparente q.
Dall’equazione del diottro: n1/s0 + n2/si = (n2 – n1)/R.applicata al diottro
piano si ha: q = - (n2/n1)d si ha: q = - (1/1.33)d = -15 cm: quindi il pesce
appare a 15 cm al di sotto del pelo dell’acqua
Una lente convergente simmetrica: biconvessa con R1 = 0.3 m, R2 = -0,3
m è fatta di vetro con n2 = 1.5. Essa è alternativamente immersa in aria
(n1 = 1) o acqua (n2 = 1.33). Calcolare nei due casi la distanza focale
della lente.
nl  nm  1 1 
1
Dalla formula
(
)  
f
nm  R1 R2 
Si ricava:
1  0.3  0.3
 2  0.15  0.30m  30cm
1.5  1  0.3  0.3
1.33  0.3  0.3
f2 
 7.82  0.15  1.17 m
1.5  1.33  0.3  0.3
f1 
Da cui si vede che il potere convergente è minore (la focale maggiore)
quando la differenza tra gli indici di rifrazione della lente e del mezzo
circostante diminuisce.
Due lenti convergenti con f1 = 15 cm e f2 = 25 cm sono distanti d = 20
cm ed hanno l’asse in comune. Un piccolo oggetto è posto a distanza p1
= 25 cm davanti alla prima lente. Calcolare la posizione dell’immagine e
l’ingrandimento trasversale.
Per la prima lente: 1/25 + 1/q1 = 1/15:
q1 = 37.5 cm misurato rispetto alla
prima lente; il punto di coordinata q1
cade a destra della seconda lente: i raggi
uscenti dalla prima lente vengono
intercettati dalla seconda lente e
convergono a formare un’immagine
reale. L’immagine della prima lente è
oggetto virtuale per la seconda lente. Si ha: 1/-17.5 + 1/q2 = 1/25:
q2 = 10.3 cm. L’immagine finale della seconda lente è a destra della
seconda lente ed è reale.
L’ingrandimento di ciascuna lente è: I1 = - q1/p1 = -1.5; I2 = - q2/p2 = 0.59
per cui I = I1I2 = -0.88: l’immagine è reale, capovolta e rimpicciolita.
Calcolare di quanto varia la distanza focale di un occhio normale quando
l’occhio è accomodato per focalizzare il punto prossimo ( d = 25 cm),
assumendo che quando è accomodato all’infinito sia f = 25 mm
Quando p = 25 cm per avere q = 2.5 cm la focale deve essere:
1/25 + 1/2.5 = 1/f’ : f’ = 2.27 cm = 22.7 mm
Per cui la distanza focale deve diminuire di Δf = -2.3 mm. Siccome vi è
proporzionalità diretta tra f ed il raggio di curvatura R del cristallino deve
avvenire una corrispondente diminuzione di R: ΔR/R = Δf/f = -0.11 che è
effettuata dai muscoli ciliari.