Alma Mater Studiorum - Università di Bologna
Convezione naturale
Seconda Facoltà di Ingegneria
Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica ed Ingegneria Aerospaziale
Beatrice Pulvirenti
24 Maggio 2007
Termofluidodinamica Applicata
1
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Sommario
• Convezione naturale
– Soluzione esatta per la convezione laminare su lastra piana
verticale
– Numero di Nusselt locale e medio
– Correlazione di McAdams
– Correlazione di Churchill - Chu
– Correlazione di Sparrow - Gregg
– Lastra piana orizzontale
– Correlazione di McAdams
– Lastra piana inclinata
– Convezione naturale su superfici cilindriche e sferiche
– Convezione naturale entro cavità
Termofluidodinamica Applicata
2
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Convezione naturale
Termofluidodinamica Applicata
3
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Equazioni nello strato limite - lastra
verticale
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
(1)
∂u
∂v
∂2u
u
+v
= gβ(T − T∞ ) + ν 2
∂x
∂y
∂y
(2)
∂T
∂2T
∂T
+v
=α 2
u
∂x
∂y
∂y
(3)
condizioni al contorno
u(y = 0) = v(y = 0) = 0
u(y → ∞) = 0
Termofluidodinamica Applicata
T (y = 0) = Tw
T (y → ∞) = T∞
(4)
4
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Soluzione integrale
2
2
gβδ (Tw − T∞ ) y
y
u(x, y) = u∗0
1−
4ν
δ
δ
2
y
T (x, y) − T∞
= 1−
Tw − T∞
δ
−1/4
gβ(Tw − T∞ )
−1/2 1/4
δ(x) = 3.93(0.952 + Pr)1/4
Pr
x
2
ν
da cui
dove
(5)
(6)
(7)
δ(x)
= 3.93Pr−1/2 (0.952 + Pr)1/4 Gr−1/4
x
x
(8)
gβ(Tw − T∞ )x3
Grx =
ν2
(9)
Termofluidodinamica Applicata
5
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Nusselt locale
da cui
x
hx x
x
∂T =2
Nux =
=−
λ
Tw − T∞ ∂y y=0
δ
Nux = 0.508Pr1/2 (0.952+Pr)−1/4 Gr1/4
= 0.508Ra1/4
x
x
(10)
Pr
0.952 + Pr
1/4
(11)
dove
g β(Tw − T∞ )x3
Rax = Grx Pr =
να
è detto numero di Rayleigh
Termofluidodinamica Applicata
(12)
6
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Nusselt medio
h−1/4
x
(13)
quindi
Num
4
Num = NuL
3
1/4
Pr
1/4
= 0.677RaL
0.952 + Pr
(14)
(15)
1
Se fosse h−n
si avrebbe Num = 1−n
[Nux ]x=L Le proprietà fisiche
x
vanno valutate alla temperatura Tf .
Termofluidodinamica Applicata
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Soluzione esatta
Pr
Num /(GrL Pr)1/4
Pr
Num /(GrL Pr)1/4
0.003
0.182
1
0.535
0.008
0.228
2
0.568
0.01
0.242
10
0.620
0.02
0.280
100
0.653
0.03
0.305
1000
0.665
0.72
0.516
∞
0.670
0.73
0.518
valida per GrL Pr < 109 .
Le proprietà fisiche vanno valutate alla temperatura di film
Tf .
Termofluidodinamica Applicata
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Convezione naturale - regime laminare
La transizione avviene per :108 < Rax < 109 .
Termofluidodinamica Applicata
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Correlazione di McAdams - Parete
verticale
Temperatura di parete uniforme
Num = c(GrL · Pr)n = cRanL
(16)
dove c ed n sono date dalla seguente Tabella:
Regime
GrL Pr
c
n
Laminare
104 − 109
0.59
1/4
Turbolento
109 − 1013
0.10
1/3
Le proprietà fisiche vanno valutate alla temperatura di film
Tf .
La lunghezza caratteristica L è l’altezza della lastra.
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Correlazioni di Churchill - Chu - Parete
verticale
Temperatura di parete uniforme
1/4
Num
0.67 RaL
= 0.68 +
[1 + (0.492/Pr)9/16 ]4/9
(17)
valida per 10−1 < RaL < 109 e
1/6
Nu1/2
m
0.387 RaL
= 0.825 +
[1 + (0.492/Pr)9/16 ]8/27
(18)
valida per 10−1 < RaL < 1012 . Le proprietà fisiche vanno
valutate alla temperatura di film Tf .
La lunghezza caratteristica L è l’altezza della lastra.
Termofluidodinamica Applicata
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Correlazioni di Sparrow - Gregg - Parete
verticale
Flusso termico uniforme alla parete
Nux = 0.60(Gr∗x Pr)1/5
(19)
valida per 105 < Gr∗x Pr < 1011 (laminare), e
Nux = 0.568(Gr∗x Pr)0.22
(20)
valida per 2 × 1013 < Gr∗x Pr < 1016 (turbolento)
Termofluidodinamica Applicata
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dove è definito un numero di Grashof modificato:
Gr∗x
gβ q̇w x4
= Grx Nux =
λν 2
(21)
Le proprietà fisiche vanno valutate alla temperatura di film Tf .
La lunghezza caratteristica L è l’altezza della lastra.
Dalla relazione:
1
Num =
[Nux ]x=L
(22)
1−n
ottenuta precedentemente, si ottiene
Num =
1
[Nux ]x=L = 1.25[Nux ]x=L
1 − 0.2
(23)
valida per 105 < Gr∗x Pr < 1011 (laminare), e
Num
1
[Nux ]x=L = 1.136[Nux ]x=L
=
1 − 0.12
(24)
valida per 2 × 1013 < Gr∗x Pr < 1016 (turbolento).
Termofluidodinamica Applicata
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Correlazioni di Churchill - Chu - Parete
verticale
Flusso termico uniforme alla parete
Si esprime la correlazione adottata per la condizione al contorno di
temperatura imposta in funzione del numero di Grashof modificato:
∗
1/4
0.67(Gr
1/4
L Pr)
Num (Num − 0.68) =
[1 + (0.492/Pr)9/16 ]4/9
(25)
valida per 10−1 < RaL < 109 e Le proprietà fisiche vanno
valutate alla temperatura di film Tf .
La lunghezza caratteristica L è l’altezza della lastra.
Termofluidodinamica Applicata
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Correlazioni di McAdams - Parete
orizzontale
Temperatura di parete uniforme
Num = c(Gr Pr)n
(26)
dove c ed n sono dati dalla seguente tabella:
Orientazione
regime
GrL Pr
c
n
Superficie calda verso l’alto
Laminare
105 − 2 × 107
0.54
1/4
Turbolento
2 × 107 − 3 × 1010
0.14
1/3
Laminare
3 × 105 − 3 × 1010
0.27
1/4
Superficie calda verso il basso
Le proprietà fisiche vanno valutate alla temperatura di film
Tf .
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La lunghezza caratteristica L è il lato della lastra se è
quadrata, L = A/p in tutti gli altri casi (A è l’area, p è il
perimetro).
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Correlazioni di Fujii - Imura - Parete
orizzontale
Flusso termico uniforme alla parete
Num = 0.13(GrL Pr)1/3
(27)
valida per GrL Pr < 2 × 108 , e
Num = 0.16(GrL Pr)1/3
(28)
valida per 5 × 108 < GrL Pr < 1011 , se la superficie riscaldata è
rivolta verso l’alto, mentre
Num = 0.58(GrL Pr)1/5
(29)
valida per 106 < GrL Pr < 1011 , se la superficie riscaldata è rivolta
verso il basso. Le proprietà fisiche vanno valutate alla
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temperatura media Tm = Tw − 0.25(Tw − T∞ ), mentre β va
calcolato alla temperatura (Tw + T∞ )/2.
La lunghezza caratteristica L è il lato della lastra se è
quadrata, L = A/p in tutti gli altri casi (A è l’area, p è il
perimetro).
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Parete inclinata
Termofluidodinamica Applicata
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Correlazioni di Fujii - Imura - Parete
inclinata
Flusso termico uniforme alla parete - convezione con acqua
Num = 0.56(GrL Pr cos θ)1/4
(30)
valida per 105 < GrL Pr < 1011 e +θ < 88o , (la superficie calda è
rivolta verso il basso), mentre
Num = 0.145[(GrL Pr)1/3 − (Grc Pr)1/3 ] + 0.56(Grc Pr cos θ)1/4 (31)
valida per GrL Pr < 1011 e GrL > Grc e −15o < θ < −75o .
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Angolo
-15
-30
-60
-75
Grc
5×109
109
108
106
Le proprietà fisiche vanno valutate alla temperatura media Tm =
Tw − 0.25(Tw − T∞ ), mentre β va calcolato alla temperatura T∞ +
0.25(Tw − T∞ ).
La lunghezza caratteristica L è il lato della lastra se è quadrata,
L = A/p in tutti gli altri casi (A è l’area, p è il perimetro).
Valori critici di Grc
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Convezione su cilindri verticali
Si utilizzano le medesime correlazioni della lastra piana, ad esempio
McAdams (26). Per i gas deve valere la relazione
L/D
< 0.025
1/4
(GrL )
(32)
La lunghezza caratteristica L è la lunghezza del cilindro.
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Cilindri verticali
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Convezione su cilindri orizzontali Churchill - Chu
Temperatura uniforme alla parete
1/6
Nu1/2
m
0.387 RaD
= 0.60 +
[1 + (0.559/Pr)9/16 ]8/27
(33)
valida per 10−4 < RaD < 1012 .
Le proprietà fisiche vanno valutate alla temperatura di film
Tf .
La lunghezza caratteristica L = D è il diamtero del cilindro.
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Convezione su cilindri orizzontali - Morgan
Temperatura uniforme alla parete
hD
Nu1/2
= c RanD
=
m
λ
valida per 10−10 < RaD < 1012 .
RaD
c
n
10−10 − 10−2
0.675
0.058
10−2 − 102
1.02
0.148
102 − 104
0.850
0.188
104 − 107
0.480
0.250
107 − 1012
0.125
0.333
(34)
Le proprietà fisiche vanno valutate alla temperatura di film
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Tf .
La lunghezza caratteristica L = D è il diamtero del cilindro.
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Convezione su sfere
Correlazione di Yuge
1/4
(35)
1/4
(36)
Num = 2 + 0.43RaD
valida per 1 < RaD < 105 e Pr ∼ 1.
Correlazione di Amato - Tien
Num = 2 + 0.50RaD
valida per 3 × 105 < RaD < 8 × 108 e 10 ≤ Num ≤ 90.
Le proprietà fisiche vanno valutate alla temperatura di film
Tf .
La lunghezza caratteristica L = D è il diamtero del cilindro.
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Convezione entro cavità
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Convezione entro cavità
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Nuδ = cRanδ
H
δ
m
(37)
dove δ è lo spessore della cavità, e
gβ(Th − Tc )δ 3
Raδ = Grδ Pr =
Pr
ν2
(38)
Le proprietà fisiche vanno valutate alla temperatura
(Tc + Th )/2.
La lunghezza caratteristica L = δ è la distanza fra le due
pareti della cavità.
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Termofluidodinamica Applicata
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Se la cavità è verticale si prende:
Nu90o = max(Nu1 , Nu2 , Nu3 )
(39)
Nu1 = 0.0605Ra1/3
3 1/3
0.293
0.104 Ra
Nu2 = 1 +
1 + (6310/Ra)1.36
0.272
Ra
Nu3 = 0.242
a
(40)
dove
(41)
(42)
con a = H/δ.
Le proprietà fisiche vanno valutate alla temperatura
(Tc + Th )/2.
La lunghezza caratteristica L = δ è la distanza fra le due
pareti della cavità.
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Se la cavità è inclinata 90o < θ < 60o :
Nu60o = max(Nu1 , Nu2 )
dove
7 1/7
0.093 Ra0.314
Nu1 = 1 +
1+G
0.175
Nu2 = 0.104 +
Ra0.283
a
(43)
(44)
(45)
dove
0.5
(46)
20.6
0.1
[1 + (Ra/3160) ]
Quindi il Nusselt per una orientazione compresa fra 60o e 90o si
ottiene interpolando Nusselt fra i due valori ottenuti a 60o e 90o .
Le proprietà fisiche vanno valutate alla temperatura
(Tc + Th )/2.
La lunghezza caratteristica L = δ è la distanza fra le due
G=
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pareti della cavità.
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