CAPITOL0 I
UNEMATICA
A) LE COPPIE E LE CATENE CINEMATICHE.
1) Le coppie cinematiche.
Le macchine sono costituite da membri elementari, in moto relativo tra loro:
questi possono essere solidi, liquidi, aeriformi e, se solidi, possono essere rigidi, elastici (es. le molle), flessibili (es. i cingoli); eventuali parti solidali fra lor0 costituiscono
un unico membro.
La Meccanica applicata alle rnacchine prende in considerazione solo rnernbri
che interagiscano per contatto materide: il contatto pup verificarsi fra solidi, o fra
solidi e liquidi (es. turbina idraulica) o fra solidi e gas (es. macchine termiche).
Le superfici dei rnembri che entrano in contatto fra loro costituiscono gli elementi cinematici; due elementi cinematici contigui costituiscono una ceoppia cinematic~
Una coppia cinematica B detta indipendente quand il m4tO relativo dei due elementi che la costituiscono 6 , in vkt6 della loro forma unico e determinato, ouia
.qumdo il grado di liberti del lorn mot0 rehtivo & und (es. perno munito di anelli
di registro nel sno cuscinetto - fig. 1); se invece il grado di liberta di tale mot0 6 .
magiore di uno, la coppia cinematica B detta dipendente (es. perno non munito di
anello di registro nel suo cuscinetto -- fig. 2). Se il grado di liberti di una coppia
dipendente tlene ridotto ad uno dall'azione di opportune fone agenti fra gli elementi,
che axmullam, possibiliti di mot0 consentite dalla formawegli elementi, si ha un accoppiamento di fona (es. coppia ruota-rotaia - fig. 3).
I1 contatto fra gli elementi di una coppia viene detto di ~atolamento,se la velocita relativa nel punto di contatto t nulla; di strisciasento, se la velociti relativa
9 .
,
10
Pure prima. Capitol~I
giace riel piano tangente alle due superfjci nel punto di contatto; di urro se detta ve!ociti relativa, subito prima del contatto, h a una componente secondo ia normde
d piano tangente nel punto di contaito, di senso tale da far awicinare tia loro i
membri-
to sono di rivoluzione e il mot0 relativ0 b rotatorio; e le coppie prismatiche (es. asta
prismatica e relativa guida - fig. 5) nelle quali Ie superfici a contatto sono prismatiche e il rnoto relativo B traslatorio. Le coppie rotoid& e le prismatiche sono coppie
piane, in quanto il mot0 relativo dei loro elementi e Piano.
1
b) Coppie superiori, quando il contatto dei due elem nti cinernatici in ciascun istante non avviene per combaciamento di tutta la superfi ie, ma solo in punti o secondo
linee.
Anche le coppie superiori possono essere i n d i p ~ d e n t io dipendenti: un esempio di coppia superiore indipendente B costituito d Saccoppiamento di un cerchio
Figura
1.3
Le coppie cinematiche rigide possono essere distinte in:
1 Coppie inferio~ o elementan, quando iI contatto dei due elernenti cinematici
~ i e n eper combaciamento di tutta la loro superficie: le superfici.combacianti devono
, questo caso essere identiche.
con ,umpoIigono circoscritto ad esso (fig. 6): in essa infatti il mot0 relativo dei due elementi B unico e determinato in virta delle sole condizioni geometriche derivanti dai
punti di contatto; esempi di coppie superiori dipendenti si hanno nel gii citato accoppiamento mota-rotaia (fig. 3), in cui l'uniciti del m to b assicurata solo d d a presenza di una forza di chiusura Q (peso della ruota o del ve~colo)e dal corrispondente
attrito, o nelle ruote dentate ingrananti
nato solo quando per effetto di dtri accoppiamenti
fissata la posizione dei loro
assi di rotazione.
Si dicono ancora coppie superiori piane qbelle
ciascun punto si muove
parallelarnente ad un piano (per es. ruote dentate
parallefi); coppie sferihe
quelle in cui il rnoto relativo 6 un mot0 a punto
punti si muovono su
superfici sferiche concentriche (p. es.
Altri esempi di coppie cinematiche
nelle macchine
sono:
'7.
Le coppie rigide inferiori indipendenti sono solo le coppie elicoidali (vite e
:lativa madrevite - fig. 4) che consentono un mot0 relativo elicoidale fra gli elemenche le costituiscono: queste comprendono come casi particolari le coppie rotoidali
;
,
pemo con anelli di ngistro e relativo cuscinetto), neUe quali le supefici a contat-
I
I
- la coppia fune-puleggia (fig. 7) o ciflgolo-pule9ia, coppia combaciante tlon
rigida dipendente in cui il rnoto relativo viene reso uqco
e determinato con I'applicazione delle tensioni' P, Q ai capi del cingoloi
Figura
1.5
- la coppia combaciante rigida dipendente costit
be piane e entrambe sferiche combacianti, che lasciano
da due superfici entramdi liberta di rnovimento;
12
1
Parre prima. Capirolo 1
- la coppia costituita da un fluid0 che scorre nel condotto fra due pale di turbina o di pompa, ecc..
inferiori rotoidali (1 e 2) ed una superiore
mente si fa ponte il rnernbro (b) che unisce le due
Cinemarica
13
frizione o dentate): generalpie di perni e si ottiene il rnec-
mente interessanti di taJi catene sono:
a) la catena di quattro coppie di perni (coppie rotoidali), detta quadryatero articoZato
(fig. 9aj, che pub dare origine a quattro diversi meccanisrni a seconda del rnernbro
assunto come ponte. Se i rnernbri opposti sono uguali, si ha il p a r a l l e l ~ ~ ~ m ~ w a ~ t i c e o (fig. 9b); se, oItre a cib, due rnernbri opposti qono incrocigi,
si ha I'antiparallelogramma articolato (fig. 9c).
---_
-
8
catene cinematiche.
Ciascun rnernbro di una rnacchina B in genere accoppiato con almeno due altri,
mod0 che si costituisce una successione di mernbri accoppiati; tale successione
ene detta catena cinemtica quando !i rnoto del sistema risulti unico e determina-'
qualora g s g a reso f i s c n o d e ~rnern&-U rnernbro che viene fissato B detto pon!, o telaio, o so.stegno.
w m -a t i c a di cui sia stato effettivamente fssato uno dei rnernbri
)stituisce
- - u i meicaniimo: a seconda del rnernbro fssato ha origine un diverso rnecmisrno.
costltu~tadayncom-ple_sso di rneccanisrni.
Sono necessarie almeno 3 coppie cinernatiche per costituire un rneccanisrno:
: le coppie utdizzate sono tutte inferiori nessun rnernbro pub essere dotato di rnoto
mtinuo (es. torchio a vite o rnorsa parallels): il rnoto risulta limitato e, raggiunta
l a posizione estrerna, deve invertirsi. Utilizzando anche coppie superiori si pub otnere con 3 coppie rnoto continuo: es. rneccanisrno (fig. 8) costituito da due coppie
1
-
'
b) La catena di 3 coppie rotoidali ed una prismatica.1 Anche questa catena pub dar
luogo a 4 differenti fneccanismi: il piti usato e quello ?he si ottiene fissando il rnem- ,
bro tra la coppia di prisrni e la prima coppia di
viene denominato manor.ellismo di spinta rotativa e
m ~ t _ arettilineo alterrnacchme a stantuffo (rnotrici ed operatrici) per
b (manovella) ruota
rate ifffftoto circotare cornmi3 (6 viceversa). In
2 alla manovella b intomo a1 perno fisso 1, il rnembro c (biella)
(4) con
ed in 3 a1 pattino d, terzo rnernbro, accoppiato
I
..-.
-..--.-,
14
.
.
...
.
Parte prima. Capitol~I
\C
mi& fissa in cui scorre; il quarto membro a e il ponte che collega rigidamente la
guida fissa e il perno fisso 1.
]a
-
Figura
.
Cinematica
Cib posto, siano P, Q i due punti della figura
posizioni P, Q e P I , QI nel piano fisso (fig. 12). Noi
.. ..
IS
conosciamo due successive
supporre che il segmen-
1.10
1 La catena di due coppie di perni e due coppie di cingoli: generdmente si fa ponte
membro che riunisce le due coppie di perni e si ottiene il meccanismo (fig. 11)
he serve per la trasmissione del moto rotatorio per mezzo di un cingolo.
Figura
1.12
to PQ (ed ogni fiiura rigidarnente ad esso collegata)
I
,
k
passato dalla posilione pQ
tro comune di due
aUo spostamento dato.
L)
n moto di una figura piana nel proprio piano.
I1 moto relativo di una coppia cinematica rigida piana b un mot0 rigido piano:
&dente quindi la necessiti di approfondire lo studio di questo tip0 di -moto.
Lo spostamento di una figura piana nel proprio piano 6 completamente deter&at0 qumdo siano note, p.es., la posifione inizide e fmale di m a coppia dei suoi
,,,ti In tal caso infatti la posizione fmale di un terzo punto della fgura si determina
.zilmente considerandolo come vertice di un trimgolo di cui sono note !e lunghezze
lei lati e la posizione di uno di essi.
:
assegnate posizioni.
I
-. . ; ? ~ n :
Siano (fig. 13) PQ, P,Ql , P2Q2, ... una serie di pbsizioni successive del segmento PQ rigidamente collegato alla figura piana e siano Q , Q,, Q , < . : - l c i j E e ~ ~ ~ - ~ u ~ t i '7. n1.T
del piano fisso n che rappresentano I centri di rotazioil:ee&lia figura mobile determinati come sopra. Riunendo questi poli fissi si ha una ppligonale che dicesi,foIi~~?,@c~
polare fissa la quale, essendo il luogo dei punti fissi 0 i solidale al piano fisso n su
CiiilaX$ir"B si muove(2).
(1) Se PQ e P, Q, sono paralleli e sirnilrnentc disposti, il polo 0 va all'iinito e la rotazione d riduce a una sernplicc tradazione.
Se.PQ e PI Q, sono paralleli ma diretti in senso opposto, il polo 0 6 detenninato dall'incontro
delle rette PP, e QQ, e la rotuione intomo ad 0 risulta di 180°.,
(2) Tale poligonale risultcri chiusa (poligono) se la fgura mobile; ha un movimento periodico, cioi
. . se essa dopo un certo gruppo di spostamenti ritorna &a posizione iniziale e ripete poi, nell'ordine,
gli spostamenti effettuati.
6
Pane prima Capitol~I
Cinemarica
I punti M' della figura mobile che vanno successivamente a coincidere con i
~unti0; 0 1 , 02, ... si chiamano poli rnobgi perch2 durante il movimento della fi;ura mobile si vanno a sovrappoh ai poli fissi 0 e- percib il luogo dei punti come M
polare mobile.
i dice pol@onale
-.--.-:-*.
---
tigura .mobile PQ e j
RS disegnata sul piano fisso), il
prima considerato, di PQ rispetto ad RS.
Se ora considenamo che le successive posizioni dl PQ siano infmitarnente vicine,
i poli 0 diventano centri di istantanea rotazio:e e le ' ue poligonali polari diventano
due curve ~ o h r i
.. .:
sale delle infmite rotazioni infinitesime def4ita dal rotolamento delle due
curve polari una sull'altra permette alla figura PQ di pdssare da una qualsiasi posizione
ad una successiva, essendo il moto della figura identicd alla sene delle dette rotazioni
infinitesime. Ne segue che, riote le traiettorie di due p$nti di una figura che si muove
nel proprio piano, e noto il rnofo, ed e sempre possib e immaginare questo come dovuto al rotolamento di una curva polare su di un'altrp, ambedue.facilmente costrui1
bili con procedimento grafico approssimato.
Il moto relativo delle due figure PQ ed RS comsponde dunque ad un rotolamento senza scorrimento delle due curve polari le quali si toccko in ogni istante nel
centro di istantanea rotazione: esso risulta quindi perfettamente defmito dalle due curve polari e, viceversa, noto il moto relativo, risultanoiperfettamente definite le due
1
polari.
Pub accadere che le due figure piane non siano, home abbiamo finora supposto,
una mobile e I'altra fissa, ma siano entrarnbe rnobiIi: iin tal caso riporteremo il loro
mot0 relativo a quello di una figura mobile rispetto d un'altra fissa imprimendo a
tutto il sistema un moto eguale e contrario a quello di una delle due figure, la quale
risulteri percib immobile. VaIgono quindi, anche in t caso, tutte le considerazioni.
precedentemente svolte.
Quanto abbiamo detto per il mot0 di una figura piana nel proprio piano si pub
estendere anche al mot0 di due solidi rigidamente co egati alIe figure piane PQ ed
'i'.
RS: Ie sezioni dei due solidi, fatte con piani pardeli a1 lano delle PQ ed RS, avranno
polari mobili e fisse eguali a quelle delie figure PQ ed, RS ed i centri di istantanea
rotazione delle van'e sezioni parallele saranno dispostil sopra rette normali ai piani
delle sezioni stesse.
Avremo quindi da considerare, invece che i centriJ gli arst<i-!s.tantanea m t s i o ,
ne, e invece che le due curve polari le due superfici cihdriche polari di cui esse sono .
le direttrici e gli ass1 di lstantanea rotanone le generatricl, e c&-sl' chiamano percib
super&&
I1 mot0 relativo piano di due solidi corrisponde luindi ad un rotolamento senza scorrimento delle due superfici assoidi I'una sull'al
in modo che si tocchino in
ogni istante lungo I'asse di istantanea rotazione.
--.rrrrr*Llr;_.-
f
4
1
f
F facile costruire la poligonale polare mobile, cio2 determinare i vari poli moili. Per es., per trovare il punto M I che va a disporsi in O1 dopo il movimento dalla
A
osizione PQ alla posizione PI Q,, basted fare OIOMl = cpl essendo q , I'angolo
A
, 0 P e OM1 = OO1. Per trovare Mz che va a disporsi in O2 dopo i movimenti.dalla
osiz_io@ PQ alla posizione P+& e dallaftesizi~~~-P&
atfa posizi~ne?iQi, baXe3
A
A
n
6
Ire OMIL = )I = 0 0 1 0 2 ; LMlM2 = qz = PzOIPl ed MIMz = 0 1 0 2 , e cosi via.
Le due poligonali polari, fissa e mobile, hanno i lati corrispondenti eguali e gli
17
-
18
Parte prima. &pitolo I
-
b ) BobIemi relan'vi at mot0 piano.
Cib premesso, indichiamo i procedimenti @ci
che, caso per caso, converri
;eguire per risolvere i problemi riferentisi al mot0 relativo piano.
Possono darsi tre casi:
2)
n
identificare la corda 001 all'arco 0 0 1 . ~onduciamdda 0, la normale dla traiettoria p: essa individueri il punto P1 che rappresenta a posizione che avra assunto il
punto P quando 01 sari diventato centro di istantan a rotazione.
eI
Date le traiettorie d i due punti della figura mobile ed una posizione
simultanea d i essi, determinare le d u e polari.
Siano p, q le traiettorie dei punti P e Q (fig. 14). Per ogni posizione di PQ si
p b ottenere il centro di istantanea rotazione 0 come intersezione deUe norrnali al.e traiettorie e cosi per punti si pub determinare il luogo dei punti come 0, cio6 la
I1 punto M1 d d h polare mobile corrispondente ad O1 si pub subito determinare
considerando che esso d i ~ t e r ida P quanto 01 dista d PI e che (per il fatto che ]e
* sari uguale all'arco OM,
A .
due poIari rotolano d'una suU'altra senza strisciare) I'arc 8 001
ossia, per quanto i 6 detto,
= 0x1
U.
punto M1 r v l t a quindi come interrerione
di due archi di cerchio di centri 0 e P e r a m rispettivmente 00, e Pl 0,.
9
I
7)Date le due polari, determinare la traiettorialdi un punto 'della figura
mobile.
Figura
1.14
lolare fissa o. I punti come M I si ottengono allora facendo centro rispettivamente
n P e Q con apertura di compass0 PI O1 e Q,O1 e cosi per punti si determina il luo;o dei punti M cioi la polare mobile m.
3) Data la traiettoria d i un punto e la polare fissa, determinare la polare
m o bile.
Sia la traiettoria p e la polare fissa o. Se P e (fig. 15) la posizione iniziale del
,unto considerato, il centro di istantanea rotazione 0 (in cui le due polari sono tan;enti) si ottiene conducendo per P la normale aJla traiettoria p(l).
Sia ora O1 un punto della polare o sufficientemente vicino ad 0 si da poter
1) [I pIoblema pub non amrnettere soluzioni: cib awicne quando Ie normali aha traiettoria p
ton incontrino la polare fissa 0.
,
I
Siano o ed m le due polari fissa e mobile (fig. 46). Per detenninare per punti
la traiettoria p del punto P basta Geteminare la posizione generica Pn che assumed du-
20
Parte prima. Capitol~I
rante il moto il punto P quando-0,
s a d diventato il centro di istantanea rotadone.
= OM,) il punto M, della polare mobile, per il rotolaIn tale istante (essendo
mento delle due polari, sarl.venuto a coincidere con 0,: chiamato a I'angolo che la
congiungente PM, forma con la tangente in M, alla polare mobile, il punto P, si
pub subito ricavare conducendo per 0, una retta inclinata di a sulla tangente in On
alla polare fissa e prendendo OnPn =.MnP.
Tale costruzione si semplifica in alcuni casi particolari: 'per es. se le polari sono
tali da permettere di prevedere senz'altro la posizione che assumed un punto ausiliario
A della figura mobile (solidale cioe anch'esso alla polare mobile). Cib. awiene per es.
quando le polari sono due circonferenze ed assurniamo come punto ausiliario A il
xntro della polare mobile la cui posizione b irnmediatamente determinabile in ogni
;stante ( f ~ 17).
.
AUora questo punto A, il punto P ed il punto M, (al quale ci voglie
a,
raggio della polare' mobile sia addirittura infinite, cio6 la polare mobile sia una retta.
La traiettoria del punto P diventa allora un'evohen e e la figura indica il metodo
di tracciamento che si pub applicare come conseguenz4 dl. quanto sopra detto.
i'
-Figura
.
oo riferire come futuro punto di contatto delle polari) costituiscono un triangolo
~variabile PAM, che si pub immediatahente costmire nella nuova pos&i~ne:si riava cosi senz'altro la posizione P, che assumed il punto P.
Interessa considerare il caso par&olare che il punto P generatore della traiettoa appartenga alla polare mobile (p.es. coincida inizialmente con 0): la traiettoria
~ r di o r a una cicloide. In tal caso (fig. 18) il triangolo invariabile PAM, 6 isoscele:
s o passa quindi nella nuova posizione P,&O, in modo che i segmenti PM, ed O,P,,
gali tra di 1010, forrnino angoli eguali con i rag@ della circonferenza fusa e percib il
~adrilateroOO,P,M,
sia un trapezio isoscele. I1 punto P, risulta allora come interzione della circonferenza di centro 0, e raggio OM, e di quega dl cen_trg 0 e
tgia €+,M,.
Tale costruzione i particolarmente comoda nel caso che si abbiano a considere polari aventi raggi di curvatura molto grandi: per es. (fig. 19) nel caso in cui il
1.18
2) I profili coniugati.
I
come si B detto, per contatto
I1 moto relativo di una coppia cinematica
diretto dei due elementi cinematici che la costituiscon questi combaciano per tutta
Parte prima Capitolo I
:2
a loro superficie o si toccano soltanto per punti e generatrici a seconda che si tratti
li una coppia inferiore o superiore.
Le superfici di combaciamento o queue costituite dall'insieme dei punti o
felle linee di contatto vengono dette superfici coniugnte: nel caso del mot0 piano tali
upefici sono cilindri retti le cui generatrici sono nonnali aI piano del mot0 e le cui
!irettrici costituiscono i pro@ coniugati
Lo studio delle coppie cinematiche piane si fa immagimndo di tener f e m o uno
egli elementi e considerando il mot0 dell'altro quale risulta dal movimento che esso
2almente possedeva combinato con l'inverso del movimento che animava l'elemento
he si tiene fermo; si determinano cosi le due polari, fma e mobile.
Se allora si restituisce al sisrema il suo vero mot0 (immaginando ciob che il prilo elemento si muova per conto proprio) la polare fissa si muoved c01 primo, mentte
: polare mobile seguiteri a muoversi col second0 elemento partecipando a1 solo m e
effettivo. Le due polari seguiteranno perb ad essere tangenti l'una all'altra nel cen.o di istantanea rotazione del mot0 relativo ed a svilupparsi senza strisciamento l'una
1ll'altra
Poichb reciprocamente il rotolamento senza strisciamento delle due polari l'una
~ll'altra riproduce il movimento relativo fra gli elementi della coppia cinematica,
;se sono dette Iinee primitive della coppia, o semplicemente primitive, e si assumono
:r individuare il mot0 relativo dei due elementi cinematici.
J l movimento dei profili coniugati 6 invece, nel caso generale, mot0 di'rotolalent0 e strisciamento insieme: lo strisciamento si annulla solo quando il punto di contto viene. a coincidere col centro di istantanea rotazione del mot0 relativo dei due
ementi (tale b il caso p.es. delle mote di frizione, nelle quali i prof& che vengono
contatto coincidono con le primitive). .
La caratteristica dei profili coniugati B che le normali ad essi nei punti di contatcoincidono e passano per il centro di istantanea rotazione ciob per il punto di contto delle primitive.
Infatti nel mot0 relativo di un profdo rispetto all'altro la velociti relativa di un
mto del profilo mobile a contatto col profilo ritenuto fsso deve avere la direziodella tangente comune ai due profili in quel punto (altrimenti nell'istante succesi due profili dovrebbero compenetrarsi o distaccd). E poichb il mot0 relativo
:mentare b una rotazione elementare intorno al centro di istantanea rotazione, la
lociti relativa 6, in ogni punto, normale alla congiungente di esso col centro di istannea rotazione. Cib significa che le normali comuni ai prof& nei punti di contatto
ne si chiamano normali di appoggio) passano per il centro di istantanea rotazione del
2to relativo rispetto al quale i due proffi sono coniugati.
Ciascuno dei due profii coniugati pub inoltre essere considerato I'inviluppo delposizioni assunte dall'altro durante 1 mot0 relativo definito dalle primitive.
Questa proprieti, cosi come la caratteristica precedentemente ricordata, viene
ilizzata per la risoluzione del problema della costruzione dei profili coniugati ri:tto ad una assegnata legge di moto.
b) Detennimzione dei projili coniugati
Nello studio delle coppie cinematiche & importadte il problema di determinwe le
supefici coniugate capaci di assicware un moto'relativo assegnato tra i
accoppiati. Nel 'caso dei moti piani il problema si riduc alla deteminazione dei promi
s, ed s2 coniugati rispetto al mot0 defmito da due rimitive assegnate m , ed m2:
il problema ammette in generde infmite soluzioni, nde 13 necessario, perch6 resti
defmito, fissare ad arbitrio qualche altra condizione.
B
a ) Costruzione del profdo coniugato ad uno p'efissato.
?
Un primo pmedimento consiste nel
profdo s, solidale alla primitiva m2 in mod0 che risulti coniugato ad
solidale alla primitiva m,,
scelto ad arbitno(').
Cib pub essere ottenuto con due metodi, c i a d o dei q u P sfmtta una de&
proprieti fondamentali-dei profli coniugati sopra rico date: per punti (metodo delle
normali) o per inviluppo.
i
i) Metodo delle normali.
i
Col primo metodo per trovare per esempio il pu to P2 del profilo s2 (fig. 20)
1 che le n o r m a di appoggio
coniugato con il punto PI del profilo sl basta ricordafe
passano per il centro di istantanea rotazione.
10
Percib conduciamo da P1 la noimale al profdo sl ed btteniamo il punto 0;
sulla primitiva ml e l'angolo a di tale normale con la tangente t1 in 0, alla primitiva:
sia O2 il corrispondente del punto 01 sulla primitiva m2; drendiamo sulla retta per o2
rnclinata di a rispetto alla tangente t2 alla primitiva stessa nello stesso senso in cui la
Pl Ol b inclinata sulla tl un segment0 02P2 = OIPl: sari P2 il coniugato di P,.
i
(1) L.'arbitqrieri della' scelta i: limitata d d a condizionc chc Ic n
incontrino la primitiva corrispondente m, .
ad s, in ogni suo punto
24
Par& prima Ckpitolo I
Cinemarica
25
!
ii) Metodo per inviluppo.
Col secondo metodo si disegna it profilo assegnato sl neUe successive posizioni
che esso viene ad assumere nel moto relativo defmito dalle primitive quando la m2
sia considerata fissa: )a curva inviluppo delle successive posizioni del profilo assegnato
sl rappresenta il profilo s2 ad esso coniugato nel mot0 assegnato.
p ) Costruzione simultanea d e i d u e profgi coniugati.
Un secondo procedimento consiste nel tracciamento contemporaneo dei due
profdi con I'irnpiego di una curva rotolante ausiliaria scelta ad arbitrio, cui si d l il
nome di epiciclo se rotola all'esterno della prirnitiva, di ipociclo se rotola all'interno
di essa.
Anche con questo procedimento si pub operare secondo due metodi: per punti o per inviluppo.
i) Metodo per punti.
Con questo metodo i profili risultano come traiett'orie descritte da uno stesso
punto P solidale d a curva ausiliaria nel rotolarnento di questa sull'una e sull'altra primitiva, rotolamento operato a partire da una stessa posizione iniziale 0 (fig. 21) in
cui la curva ausiliaria c sia contemporaneamente tangente ad entrambe le primitive,
tangenti fra lor0 in 0: i profili cosi ottenuti sono coniugati fra loro nel mot0 relativo
defmito dal rotolamento deUe due primitive una sull'altra.
Infatti sia P il punto della curva ausiliaria che, q<ando questa rotola sulle due primitive, descrive le due traiettorie che costituiscono i due profili s, ed s2 ; dimostriamo che p.es. il punto P1 di una traiettoria i coniugato con il punto P2 deU1altra traiettoria Perchi! cib sia occorrerh che essl, nel rotolame to delle due primitive, vengano
a coincidere e che le norrnali condotte per essi ai prqfili coincidano anch'esse e passino per il centro di istantanea rotazione.
Siano cl e c2 le due posizioni della curva rotolante quando P sl trova in PI
e P,: per proprietl di epicicloide saranno PIOl e P,O2 normali alle traiettorie sl
ed s,. Facciamo rotolare la prirnitiva ml sulla m2 finchi 0, verrl a coincidere con 0,
I
n
n
6h
(perchi 00, ed 00, sono uguali all0 sviluppo dello stesso arc0
della curva ausiliaria) e verranno anche a coincidere le due tangent! t, e t, alle due primitive (perchi le due primitive sono tangenti tra Ioro nel puntp di contatto). Anche Ie curve
i
c, e C, essendo eguali dovranno allora coincidere, e, yon
esse, i punti P, e P,. Percib
coincideranno anche le normali PIO1 ad sl e P,02 a s, e quindi P, e P2 sono c e
niugati.
ii) Metodo per inviluppo.
P
!
i.
Col secondo metodo i profili risultano come viluppi delle posizioni successive assunte da una linea arbitraria (con certe lirnita~ioni)'solidale alla curva ausiliaria nel rotolamento senza strisciamento di quest'ul&a su ciascuna delle due priI
mitiva
i
,
5 ) Promi di assortimento.
F importante notare che con i procedimenti bn?ati sull*utiiizzazione di una curva rotolante ausiliaria i proffi coniugati possono venire tracciati separatamente, facendo rotolare la curva ausiliaria su ciascuna delle d e rimitive indipendentemente
Y.P
dall'altra prirnitiva, purchi sia stata prefissata una co nspondenza iniziale fra i punti
da accoppiare successivarnente.
Cib comporta la possibditl, mantenendo invariata una delle due primitive e
variando invece I'altra, di ottenere una sene di proffi tutti coniugati con il profilo
ottenuto per la primitiva mantenuta invariata Tale possibilita consente di costruire
elementi di assortimento, tutti accoppiabili con uno stesso profilo, ma capaci di fornire diverse leggi di moto (p.es. ruote dentate assortite, con numeri di denti tliveni
fra loro, ma con denti dello stesso tip0 e dimensionamento, tutte accoppiabili I'una
con I'altra, per ottenere rapporti di trasmissione divepi). Va notato perb che nella
pratica attuazione I'intercarnbiabilitl dei profdi viene pmitata da varie considerazioni
derivanti dalla necessitl di materializzare i profili diseg ati e di evitare le interferenze
(compenetrazioni) fra i profdi stessi.
I