MATRICI E TRASFORMAZIONI LINEARI
Classe 4A
Lorenzo Galante
Cagnes sur Mer, Dicembre 2007
QUESTO PRODOTTO TRA MATRICI EQUIVALE AD UNA TRASFORMAZIONE
LINEARE  DEI PUNTI DEL PIANO. LA TRASFORMAZIONE MANDA I PUNTI
(X,Y) IN NUOVI PUNTI (X’,Y’) (anche detti punti trasformati)
 x ' a b   x 
 y '  c d   y 
  
 
 x '  ax  by
 :
y '  cx  dy
P(x,y)

v
 x 
v  
y 
AD UN PUNTO P(x,y) DEL PIANO SI PUO’ FAR CORRISPONDERE UN VETTORE
V DEL PIANO CON OPPORTUNE COMPONENTI
 x 
v  
y 
COSI’ LA MATRICE
a b 
A ………………………………
c d 


DELLA TRASFORMAZIONE DEI PUNTI PUO’ ANCHE INTENDERSI COME
TRASFORMAZIONE DI VETTORI,
E L’EQUAZIONE DELLA TRASFORMAZIONE PUO’ SCRIVERSI IN QUESTO
MODO:


v   Av
SI DEVE NOTARE CHE UNA TRASFORMAZIONE DESCRITTA DALLA MATRICE
A NON PUO’ CHE LASCIARE FISSA L’ORIGINE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO.
COMPOSIZIONE DI TRASFORMAZIONI
 x '
x 
 y '  A  y  ;
 
 
 x "
 x '
x 
x 
 y "   B  y '  B  A  y   T  y 
 
 
 
 
con T  B  A
Composizione di 2 trasformazioni.
Prima agisce A e poi agisce B.
Attenzione il prodotto tra matrici non è detto
che sia commutativo, quindi BA può essere diverso
da AB.
T si dice trasformazione composta
I VERSORI DI UN SISTEMA DI RIFERIMENTO
versore j
versore i
3
2
1
j
0
-3
-2
0
-1
-1

i
1
2
3
-2
 1 
i  
0 
 0 
j  
1 
-3
Con i versori si può esprimere ogni vettore del piano. Lo si fa attraverso una loro



combinazione lineare:
v   i   j,
con  ,   
COME SI TRASFORMANO I VERSORI
a
A
c
 a
i
c
 a
j  
c
b
;

d
b   a
i 

d
c
b   a
j 

d
c
b  1 a 
  ;



d  0 c 
b  0   b 
  ;



d  1 d 
quindi
a
A
c

i
b
d 

j
Dalla Matrice A abbiamo subito informazioni su
come si trasformano i versori del sistema di
riferimento.
Esempio
=
A
versore i
2
1
0
1
Al reticolato a quadretti del sistema di
riferimento iniziale corrisponde il
reticolato a parallelogrammi del sistema
di riferiemento trasformato. Tale reticolato
permette di capire come si modificano il
piano e le figure in esso disegnate
versore i '
versore j
3
3
A
2
2
1
1
0
0
-3
-2
-1
versore j '
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
1
2
3
Ecco come viene deformato il cerchio
di raggio 1 centrato nell’origine
a seguito della trasformazione A
della pagina precedente. Pensateci:
l’effetto deformante poteva
essere colto dalla deformazione
del reticolato dei versori.
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
-0,5
A
=
2
1
-1
-1,5
0
1
-2
-2,5
0,5
1
1,5
2
2,5
SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL DETERMINANTE DI UNA MATRICE 2X2
versore i '
a b
det A 
 ad  bc
c d
versore j '
3
Il determinante di A, in valore assoluto,
è pari all’area del parallelogramma
formato dai versori trasformati: i’ e j’ .
2
1
0
-3
-2
-1
0
-1
-2
1
2
3
Questo ci insegna un modo per calcolare
l’area di un parallelogramma formato da
due vettori qualsiasi. Inoltre abbiamo anche
un calcolo rapido per capire se due vettori
sono paralleli.
-3
Il segno del determinante di A ci dà informazioni circa l’orientamento della
coppia dei versori i’ e j’. Se il determinante è >0 la rotazione che porta i’ verso
j’ lungo l’angolo minore è in verso antiorario, se il det è < 0 la medesima
rotazione è in verso orario.
Esempi circa il segno del determinante di una matrice 2x2:
2 1
A
;
2
0


det A  2
 2 1
A 
;

0 1
det A  2
versore i '
versore i '
versore j '
3
3
2
2
1
1
0
0
-3
-2
versore j '
-1
0
-1
-2
1
2
Antiorario
det > 0
-3
det A > 0, A è trasf. diretta
3
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
Orario
det < 0
-2
-3
det A < 0, A è trasf. invertente
Se il |det A| = 1 allora la trasformazione A lascia invariate le aree
delle figure geometriche.
Infatti il quadrato unitario dei versori (i,j) si trasforma in un parallelogramma
(i’,j’) di area ancora unitaria. Una qualsiasi figura geometrica chiusa si può
approssimativamente ricoprire con una serie finita di quadrati piccoli a piacere.
Se |det A| = 1 , ognuno di questi quadrati ha la stessa area anche dopo la
trasformazione (se un quadr. di area 1 viene mandato in un parall. di area 1
allora anche un quadr. di area p viene mandato in un parall. di area p)…
Det A = 0 se una colonna (o riga) è nulla o se due colonne (o
righe) sono proporzionali tra loro.
Nel primo caso infatti significa che uno dei due vettori è nullo e l’area del
parallelogramma che essi formano è dunque nulla. Nel secondo caso
significa che i due vettori sono paralleli tra loro, nuovamente l’area del
parallelogramma è nulla.
Teorema Pippo: data una trasformazione
a b 
A

c d 
generica con
a  0 è sempre
possibile trovare punti che hanno ascisse diverse che vengono mandati in punti
che hanno la stessa ascissa. (vedi figura)
Dimostrazione.
Consideriamo una trasformazione generica
a b 
A

c d 
e un punto di partenza generico
L’ascissa del punto P verrà mandata da A in una nuova ascissa x~  ax~  by~ .
Adesso prendiamo un altro punto di partenza R che abbia ascissa diversa da quella di P:
~ . L’ascissa di R verrà mandata da A in una nuova ascissa x   ax  by . Noi
R( x, y ) con x  x
vogliamo dimostrare che è sempre possibile scegliere le coordinate di R in modo che
venga mandato in un punto che ha la stessa ascissa x~  ax~  by~ del trasformato di P. In
sostanza vogliamo che le coordinate di R facciano in modo che:
P( x~, y~) .
ax~  by~  ax  by ,
Ma questa condizione è sempre soddisfatta purché a  0 (vero per ipotesi) e purché si
scelga
b
b
x  x~  y~  y
a
a
P( x~, y~)
b
b
R( x~  y~  y , y )
a
a
A
A
P ' ( x~' , y~' )
R' ( x~, y )
(provare per credere).
NOTA: se a=0 non c’è alcun problema, basta che b  0 e si
fa lo stesso discorso del teorema Pippo ma cercando punti
che vengano mandati in punti con la stessa ordinata anziché
ascissa. Chiameremo allora il nuovo teorema Pippo y e il
vecchio teorema Pippo x. Se poi, a e b fossero entrambi
nulli, allora la trasformazione manderebbe tutti i punti del
piano nella retta x=0 (asse y) e per forza tutti i punti
verrebbero mandati in punti con la stessa ascissa (teorema
Pippo 0)
Teorema Pluto: se il det A =0 il i punti del teorema Pippo vengono mandati in uno
stesso punto quindi la trasformazione A non è biunivoca. (vedi figura)
Dimostrazione.
Consideriamo il caso in cui il det A = 0 perché due colonne sono proporzionali tra loro
(dunque escludiamo il caso a  0 perché altrimenti cadiamo nella situazione di una riga
tutta nulla) . Allora
a ka
A
 con k  
c
kc


e
 x   ax  ky 
 x   ax  kay  x   ax  ky  
;
;

c
dunque tutti i punti trasformati avranno





y

cx

kcy
y

c
x

ky
y

x



a
c
a
coordinate P ' ( x  , Cx ), con C  . Si vede bene allora che una volta calcolata la x’ del punto
trasformato l’ordinata è costretta ad essere C volte x’. I punti P ed R del teorema di Pippo,
dunque, verranno sicuramente mandati in uno stesso punto e si perderà la biunivocità della
trasfromazione. [continua…]
P( x~, y~)
A
b
b
R( x~  y~  y , y )
a
a
A
P ' ( x~' , y~' )  R' ( x~, y )
[continuazione Dimostrazione Teorema Pluto]
Consideriamo ora il caso in cui il det A = 0 perché una colonna è nulla. Facendo calcoli
analoghi a quelli appena fatti ci si imbatte in una situazione simile.
In altre parole ogni volta che il det A = 0 il punto trasformato ha una ordinata che è un
costante per l’ascissa e questo, in virtù del teorema Pippo, fa sì che si perda la biunivocità.
Una trasformazione A si dice AFFINE se stabilisce una
corrispondenza biunivoca tra i punti di partenza e punti di arrivo.
Dai teoremi Pippo e dal Teorema Pluto si ricava che affinchè una
trasformazione del piano sia affine ( o biunivoca) deve essere det A  0 .
Una trasformazione biunivoca è invertibile e la trasformazione
inversa è data dalla matrice:
 d
 det A
1
A 
c

 det A
A 1  A  
b 
det A  ,
a 

det A 

Una Trasformazione Affine manda rette in rette
Infatti le trasformazioni affini sono lineari e trasformano equazioni di primo grado in
equazioni di primo grado.
Una Trasformazione Affine manda rette parallele in rette parallele
E’ infatti biunivoca e non lo sarebbe se mandasse rette parallele in rette che si
intersecano in un punto: nella corrispondenza inversa, a quel punto
corrisponderebbero 2 punti necessariamente distinti perché appartenenti a 2 rette
parallele.
DIREZIONI INVARIANTI DI UNA TRASFORMAZIONE AFFINE
Ogni trasformazione affine può lasciare invariate certe direzioni. Adesso ci occuperemo di capire
come fare a sapere se una trasformazioni possiede delle direzioni che non vengono mutate e nel
caso ciò accada quali siano queste direzioni.
Se vi sono direzioni che rimangono invariate nella trasformazione A significa che esiste qualche

 
vettore v che viene mandato in un vettore v  || v . Questo si può scrivere con questa equazione
matriciale:


v   kv con k   0
e cioè


A v  kv
In sostanza, data una trasformazione A, ci stiamo chiedendo se esistano vettori che vengono

mandati in vettori paralleli a se stessi. Se l’equazione è soddisfatta da qualche vettore v , questo
si dice autovettore della trasformazione A e il numero reale k che moltiplica il vettore si dice
autovalore di A. Manipoliamo un po’ l’ultima equazione
scritta:


Av  kv  0 ,


Av  kv  0

( A  k)v  0
Possiamo interpretare l’ultima equazione come una nuova trasformazione lineare, rappresentata

dalla matrice ( A  k) , che manda il vettore v nel vettore nullo. L’equazione ci chiede di trovare,

se esiste, un vettore v che la soddisfi. Noi sappiamo che certamente il vettore nullo viene
mandato nel vettore nullo da qualsiasi trasformazione lineare, quindi affinché oltre al vettore nullo
esistano altri vettori soluzione dell’equazione la trasformazione ( A  k) deve per forza essere
non biunivoca e quindi …
…
det( A  k)  0
Siamo così arrivati alla conclusione che affinché esistano direzioni invarianti per la trasf. A la
condizione appena scritta deve essere soddisfatta. Allora basta imporla, provare a risolverla per
sapere se una trasformazione ha direzioni invarianti.
Esempio.
2 1
A
,
0
3


1 
2  k
A  k  
 , det( A  k)  ( 2  k )(3  k ),
0
3

k


( 2  k )(3  k )  0 , soluzioni : k1  2 , k 2  3
Abbiamo così trovato che esistono due valori di k per cui la matrice ( A  k) non è invertibile e quindi
esistono due direzioni

invarianti. Per capire quali siano queste direzioni basta sostituire i valori di k
nell’equazione Av  kv e risolverla (l’incognita a questo punto è il vettore e quindi la direzione che
esso rappresenta). Facciamolo:
per k  2
2 1  x   2 x  2 x  y  2 x y  0
,
,
0 3  y   2y  , 3y  2y

    
y  0
Sappiamo quindi che la componente verticale del nostro vettore deve essere nulla, la componente
orizzontale è invece libera di assumere qualsiasi valore, il vettore soluzione è:
x 
 0  vettore orizzontale, da cui: una direzione invariante di questa trasformazione è quella orizzontale.
 
Analogo calcolo può farsi con il secondo valore di K…(a voi per sercizio).
Esercizio svolto.
0
2
Trovare le direzioni invarianti della seguente trasformazione: A  
.
1  1
Svolgimento:
det A  2 , quindi A è una trasformazione affine. Per trovare se questa affinità possiede direzioni
invarianti risolvo l’equazione
2 
 k
det( A  k)  0 , det 
  0,
 1 1 k
k (1  k )  2  0 , ... , k1  2 , k 2  1
Abbiamo trovato gli autovalori adesso dobbiamo trovare gli autovettori (cioè le direzioni invarianti).
 x 
Per k = 1, l’autovettore è   ,
 x / 2
direzione invariante è quella con pendenza
m=1/2
 x 
Per k=-2, l’autovettore è   ,
 x 
direzione invariante è quella con pendenza m=-1
Riflessioni sul significato geometrico dei risultati:
1. la trasf. A lascia invariata la pendenza di tutte le rette con pendenza m=1/2. Tutti i vettori di pendenza
½ vengono mandati in vettori con pendenza ancora pari a ½. K = 1 , ciò significa che i vettori vengono
cambiati di verso e il loro modulo raddoppia (k è anche detto fattore di stiramento). Se facessimo la
prova di questo risultato con un retta qualsiasi di pendenza ½ noteremmo che la sua trasformata è
1
1
1 1
y  x  q si trasforma in x   ( x   y )  q ,
2
2
2 2
ancora una retta di pendenza ½. Esempio:
1
facendo ' cadere' gli apici ... y  x  2q
2
dal calcolo si capisce inoltre che se q=0 la retta viene mandata in se stessa. Rette che vengono
mandate in se stesse sono dette rette unite. La retta y = 1/2x è dunque una retta unita, ma sappiamo
che ogni punto di questa retta di partenza viene mandato in sé stesso perché il fattore di stiramento è
1, quindi abbiamo a che fare con una retta unita tutta fatta da punti uniti (cioè punti che vengono
mandati in se stessi) …[continua]
x(t)
y(t)
x'
y'
-3
-1,5
-3
-1,5
-2,9
-1,45
-2,9
-1,45
-2,8
-1,4
-2,8
-1,4
-2,7
-1,35
-2,7
-1,35
-2,6
-1,3
-2,6
-1,3
-2,5
-1,25
-2,5
-1,25
-2,4
-1,2
-2,4
-1,2
-2,3
-1,15
-2,3
-1,15
-2,2
-1,1
-2,2
-1,1
-2,1
-1,05
-2,1
-1,05
-2
-1
-2
-1
-1,9
-0,95
-1,9
-0,95
2,5
-1,8
-0,9
-1,8
-0,9
2
[continuazione. Riflessioni sul significato dei risultati.]
..quanto appena affermato è confermato da una
simulazione Excel. Nella tabella in blu sono indicate le
coordinate di alcuni punti sulla retta y=1/2x e in
ciclamino le coordinate dei punti trasformati (si vede che
tutti i punti sono uniti)
1,5
1
versore i
versore i '
versore j
versore j '
0,5
3
3
0
-2,5
2
2
1
1
0
0
-2
-1,5
-1
-0,5
0
-0,5
-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
1
2
3
-1,5
-2
-3
-2,5
-3
0,5
1
1,5
2
2,5
[continuazione. Riflessioni sul significato geometrico dei risultati].
2. facciamo le stesse considerazioni per k = -2. qui il fattore di stiramento è -2, quindi i vettori con
pendenza -1 vengono cambiati di verso e il loro modulo raddoppia. Vediamo cosa capita alle rette con
questa pendenza:
y   x  q , si trasforma in y   x  q
In questo caso tutte le rette con pendenza -1 sono rette unite, ma non sono fatte di punti uniti.
I punti uniti sono le soluzioni dell’equazione
a b   x   x 
c d   y    y ,

   
0 2   x   x  2y  x
2y  x

,
,
1  1  y   y  x  y  y 2y  x

    

Dunque sono uniti tutti e soli i punti che soddisfano la condizione 2y=x e cioè stanno sulla retta di
pendenza ½ passante per l’origine. Ogni retta di pendenza -1 ha dunque un solo punto unito (pensateci).
Esercizio per i ragazzi: trovare le direzioni invarianti della trasformazione affine
sottostante e giustificare il risultato ottenuto.
 3 0 
A

0

3


Esercizi consigliati: 29, 210, 213 pp. 928, 929 vol 1 format spe
CARRELLATA DI TRASFORMAZIONI AFFINI
Le ISOMETRIE
Trasformazioni lineari che lasciano invariate le distanze. Se decidiamo di lavorare con trasformazioni
affini che lasciano fissa l’origine le isometrie possono essere di 2 tipi: le rotazioni intorno all’origine e le
simmetrie assiali rispetto a rette passanti per l’origine.
Esempi…
Simmetria rispetto ad una retta passante per O
Rotazione di -30°
versore i '
2,5
2,5
2
2
1,5
1,5
1
1
0,5
0,5
versore j '
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
0
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
-0,5
-0,5
-1
-1
0,5
1
1,5
2
versore i '
2,5
versore j '
3
-1,5
-1,5
2
1
0
-2
-2
-3
-2
-1
0
-1
-2
-2,5
-2,5
-3
1
2
3
Le rotazioni intorno all’origine
Una rotazione di un angolo  intorno all’origine è descritta da questa matrice:
cos 
A
 sin 
 sin  
cos  
Come si può dimostrare a partire dalla figura…
P’(r cos ( , r sin (

P(r cos  , r sin 
Sicuramente una rotazione lascia invariate le aree e quindi il modulo del determinante della matrice di
rotazione deve essere 1.
Esercizio semplice: scrivere la matrice di una rotazione di un angolo di (-p/6 e verificare che
l’equazione di una circonferenza centrata nell’origine non cambia a seguito di tale trasformazione.
Le simmetrie rispetto a rette passanti per l’origine
Una simmetria rispetta ad una retta per l’origine che forma un angolo  con la direzione positiva dell’asse
delle ascisse è descritta da questa matrice:
cos 2
A
 sin 2
sin 2 
 cos 2 
Come si può dimostrare a partire dalla figura…
…i’ e j’ restano perpendicolari quindi j’ forma un angolo con asse x pari a quello del versore i meno p/2
j
i’

i
j’
cos 2 
i'  
,

 sin 2 
cos( 2  p / 2)  sin 2 
j'  



sin(
2


p
/
2
)

cos
2


 

Come si vede le simmetrie sono trasformazioni invertenti (il loro determinante = -1)
Condizione necessaria e sufficiente affinché una affinità sia
un’isometria è che la trasposta della sua matrice coincida con la sua
inversa:
AT=A-1
Isometrie che non lasciano fissa l’origine
Rotazioni con centro in x0 e y0:
cos 
A
 sin 
 sin    x0 cos   y 0 sin   x 0 



cos    x0 sin   y 0 cos   y 0 
Simmetrie rispetto a retta che non passa per l’origine (y = mx +q):
cos 2
A
 sin 2
sin 2    q sin 2 


 cos 2   q cos 2 
Omotetie - Similitudini –
rel ristretta e trasformazioni geometriche (da
sviluppare con calma)