UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIA Dipartimento
p
di Ingegneria
g g
Civile e Architettura
Sezione di ingegneria geotecnica (www.dicar.unict.it/) “COMPRESSIBILITA’ e CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA” Corso di Geotecnica Ingegneria Edile‐Architettura, A.A. 2014/2015 S l
Salvatore Grasso
G
[email protected]
http://www.dicar.unict.it/Personale/Docenti/Docenti/Grasso.html
p //
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Deformazioni e cedimenti Dr. Ing. Salvatore Grasso
Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 DEFORMAZIONI E CEDIMENTI NEI TERRENI La deformazione volumetrica, εV, di un elemento di terreno di volume iniziale V0 (e indice dei vuoti iniziale e0) è data da: N.B. : convenzionalmente si assume: ∆V
(V1 −V 0 )
(e1−e )0
εv > 0 per riduzioni di volume =−
ε v =−
=−
(COMPRESSIONE)
(COMPRESSIONE) 1+ 0
V0
V0
1+e
εv < 0 per aumenti di volume (ESPANSIONE) Deriva dalla definizione di e = VV/VS Se ε1, ε2 e ε3 sono le deformazioni principali (ovvero le deformazioni lungo le 3 direzioni ortogonali, x, y e z, in cui è presente la sola deformazione R0 longitudinale) , allora vale la relazione: relazione:
ε v =ε
+ε
x y +ε z =ε +2‫ڄ‬ε
a r =ε +2‫ڄ‬ε
z DR h DH elemento cilindrico e stato tensionale assial‐simmetrico
∆H
∆R
ε
=−
ε
=−
dove: r
dove: a
R0
H0
H0
V0 =π
2
‫ڄ‬R o ‫ڄ‬H
o
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A.A. 2014/2015 DEFORMAZIONI E CEDIMENTI NEI TERRENI
=ε z z+2‫ڄ‬ε
ε v v
h
h =ε z z
∆H ∆e εv v =−
=−
=−
=ε z z
V 0 V
1 0 1+e H 0 H
∆V DH Stato tensionale assial‐simmetrico e deformazioni laterali impedite ((condizioni edometriche) )
H0 V0 =π
π ‫ڄ‬R
R
2
o
‫ڄ‬H
Il cedimento verticale, s, si ottiene integrando la deformazione verticale εz : z s(z)=∫ε
∫ε
0 (Z))‫ڄ‬dZ z In un terreno si possono avere : l0 Variazione di volume (εv ≠ 0)
ma non di forma (γ = 0)
∆l γ=
∆l l 0 Deformazione di taglio Variazione di forma (γ ≠ 0), ma
non di volume (εv = 0)
Variazione di volume (εv ≠ 0) e e
di forma (γ ≠ 0) 3/68
o
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A.A. 2014/2015 DEFORMAZIONI E CEDIMENTI NEI TERRENI In seguito ad una variazione dello stato tensionale (efficace, per il principio delle tensioni efficaci) nel terreno si hanno deformazioni (e quindi cedimenti) cedimenti)
che possono essere attribuite a: deformazione (compressioni e inflessioni dovute all’incremento delle forze di contatto,
contatto prevalentemente elastiche),
elastiche) scorrimento (dovute alle forze di di
taglio intergranulari, prevalentemente plastiche) e frantumazione (in presenza di elevati livelli tensionali, plastica) delle particelle solide, inclusa la variazione di distanza tra particelle di minerali argillosi (dovuta
argillosi (dovuta a a
fenomeni d interazione elettrochimica, in parte elastiche e in parte plastiche) deformazione dello strato di acqua adsorbita (in gran parte plastica)
i
d ll’ i e/o
dell’aria
/ dell’acqua
d ll’
all’interno
ll’i t
d i vuoti
dei
ti
compressione
espulsione dell’aria dai vuoti nei terreni non saturi
espulsione
p
dell’acqua
q dai vuoti in terreni saturi
Nella pratica ingegneristica occorre conoscere l’entità e l’evoluzione nel tempo dei cedimenti di uno strato di terreno sotto l’azione di un carico applicato in superficie. fi i
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Deformazioni e cedimenti Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 DEFORMAZIONI E CEDIMENTI NEI TERRENI TERRENI
Trascurando la compressibilità delle (singole) particelle solide e del fluido interstiziale, i cedimenti possono manifestarsi in conseguenza di: espulsione dell’aria dai vuoti nei terreni non saturi (costipamento) espulsione dell’acqua dai vuoti nei terreni saturi (consolidazione primaria) deformazioni volumetriche a tensione efficace costante ((creep)
p) dovute a fenomeni viscosi (consolidazione secondaria) deformazioni di taglio a volume costante (che si verificano a breve termine nei terreni saturi e p
poco p
permeabili in condizioni non edometriche) )
Nell’ipotesi di terreno saturo (e assenza di viscosità): possono attribuirsi p
prevalentemente le deformazioni volumetriche,, p
all’espulsione dell’acqua dai vuoti (consolidazione primaria) Nel caso di terreni saturi molto permeabili, le deformazioni volumetriche e i cedimenti sono pressoché immediati e attribuibili interamente a fenomeni di di
consolidazione primaria. Nel caso di terreni saturi poco permeabili, le deformazioni volumetriche sono all’inizio
all
inizio nulle (breve termine), ma (in condizioni non edometriche) non i i
cedimenti (dovuti a deformazioni di taglio). 5/68
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Compressibilità e consolidazione Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 CONSOLIDAZIONE PRIMARIA Il fenomeno della consolidazione primaria è un fenomeno conseguente all’espulsione (o al richiamo) dell’acqua interstiziale dai pori di un terreno saturo sottoposto ad una variazione dello stato tensionale efficace. Nel caso di incremento del carico tensionale, le particelle di terreno si assestano in una configurazione più stabile e con meno vuoti, con conseguente diminuzione di volume (consolidazione), nel caso di scarico scarico
tensionale si ha invece un richiamo dell’acqua all’interno dei vuoti con conseguente aumento di volume (rigonfiamento) Il meccanismo di uscita/ingresso dell’acqua nei vuoti è un fenomeno dipendente dal tempo (ovvero dal coefficiente di permeabilità del terreno) ed è regolato dalla teoria della consolidazione,
consolidazione ll’entità
entità della variazione di di
volume (e il cedimento) che si registra al termine del fenomeno è invece legata alla rigidezza/deformabilità dello scheletro solido (compressibilità) 6/68
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Compressibilità e consolidazione Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 COMPRESSIBILITÀ
À E CONSOLIDAZIONE Compressibilità
p
: è la risposta
p
in termini di variazione di volume di un terreno sottoposto ad una variazione (incremento o riduzione) delle tensioni efficaci 1. serve a stimare l’entità delle deformazioni volumetriche (e i cedimenti) 2. è dipendente dalla rigidezza/deformabilità del terreno Consolidazione : è la legge di variazione di volume del terreno nel tempo 1. serve a stimare il decorso delle deformazioni volumetriche nel tempo 2. è dipendente dalla permeabilità del terreno. N.B. : sono problemi
bl
rilevanti
l
soprattutto per i terreni a grana fine (argille) f
ll
dove si manifestano in genere cedimenti maggiori e tempi di consolidazione molto più lunghi (anche se gli stessi concetti possono applicarsi anche ai te e i a grana
terreni
a a grossa). o a)
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Compressibilità edometrica Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA Si faccia riferimento ad un caso caratterizzato da stato tensionale assial‐ simmetrico e deformazioni laterali impedite, come quello che caratterizza un deposito delimitato da piano di campagna orizzontale ed infinitamente esteso in direzione orizzontale,, con sovraccarico verticale applicato
pp
in superficie, uniformemente distribuito ed infinitamente esteso. Tale condizione verrà d’ora in poi definita come “edometrica”. In tali condizioni valgono le seguenti relazioni: relazioni:
ε
=ε z v ∆e 1+e 0
1+e =
∆H H0
H Si consideri il caso della formazione di un deposito di terreno per sedimentazione lacustre che realizza tutte le ipotesi di condizione edometrica. Si studi la compressibilità del terreno in relazione al carico applicato, ovvero l’evoluzione dell’indice dei vuoti o dei cedimenti con l’intensità del carico applicato
app
i a oa
ad u
una
a data
a ap
profondità. oo ià
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A.A. 2014/2015 COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA EDOMETRICA
1) Formazione di un deposito di terreno per sedimentazione lacustre (carico) e
A
∆e
B (B) (A)
2) Erosione (scarico) P
∆σ’ v
e
e
σ’v
(log)
A
∆e
C B
(B)
(C) (A)
P
∆σ’
σ’v(log)
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A.A. 2014/2015 COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA EDOMETRICA
3) Risedimentazione fino a superare il livello tensionale precedente l’erosione (ricarico) e
A
(D) C
∆e
B
(B)
D (C)
(A)
P
4) Nuova erosione (scarico) e
∆σ’v
σ’v(log)
A
(D)
(B)
(E) (C)
(A)
P
C
∆e
B
E D
∆σ’ v
σ’v(log)
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A.A. 2014/2015 COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA EDOMETRICA
e
A
C
(D)
(B)
(E)
(C)
(A)
P
o εv per la relazione: ε v =−
∆e 1+e 0 B
E
D
σ’ p
σ’
v
(log)
TRATTO BC ‐ FASE
FASE DI SCARICO SCARICO
(linea di scarico) TRATTO AB ‐ FASE
FASE DI PRIMO CARICO CARICO
(linea di compressione vergine) TRATTO CB ‐ FASE DI RICARICO (linea di ricarico) TRATTO BD ‐ FASE DI PRIMO CARICO (linea di compressione vergine) TRATTO DE ‐ FASE DI SCARICO (linea di scarico)
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A.A. 2014/2015 e
COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA EDOMETRICA
Ciclo d’isteresi I. Nei TRATTI AB e BD il comportamento è A
elasto plastico con incrudimento positivo positivo
Comportamento elasto‐plastico con
Comportamento elasto‐ plastico (la maggior parte delle deformazioni prodotte durante la compressione vergine C
B
non viene recuperata nella successiva fase fase
di scarico). Il legame tra tensioni e deformazioni è lineare in scala logaritmica E
((la
a rigidezza
igide a ccresce
esce co
con laa te
tensione
sio e eefficace). icace).
D
Comportamento elastico non lineare σ’
σ’ v
(log)
OSS. La pendenza dei tratti elastici di scarico‐ricarico (BC, CB, DE) è la stessa e i tratti di primo carico appartengono alla
ll stessa retta II. Nei TRATTI BC, CB e DE (approssimati con ll’asse
asse del ciclo ciclo
d’isteresi) il comportamento è elastico (carico e scarico coincidono) g
, la non lineare ((la scala è logaritmica,
rigidezza cresce con la tensione efficace) 12/68
Compressibilità edometrica Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 La massima pressione verticale efficace sopportata dall’elemento di terreno durante la sua storia tensionale è detta pressione di consolidazione (o preconsolidazione),
preconsolidazione) σ
σ’p. e
I. Sulla linea di carico vergine (ABD) la pressione verticale efficace σ’v0 è pari alla pressione di preconsolidazione σ’p: terreno NORMALCONSOLIDATO (NC) A
C
B
E
D
σ’
II. Nei
II
N i tratti
t tti di scarico‐ricarico BC,
i
i i BC CB,
CB DE la l
pressione verticale efficace σ’v0 è inferiore alla pressione di preconsolidazione σ’p terreno SOVRACONSOLIDATO (OC) (OC)
Si definisce grado di σ’ v (log) sovraconsolidazione (OCR): (
)
OCR =
σ 'p
'
NOTE: O E
σ v0
a) La pressione di consolidazione rappresenta la soglia elastica o di snervamento del materiale; b) Il comportamento del terreno in condizioni edometriche è
edometriche è elastico non non
lineare‐plastico a incrudimento positivo . 13/68
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Compressibilità edometrica Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DELLA COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA Determinare le caratteristiche di compressibilità di un terreno in condizioni edometriche significa determinare, sul piano e‐σ’v (o εa‐σ’v) l’andamento della linea di compressione vergine e dei rami di scarico e ricarico nelle condizioni condizioni
edometriche , cioè nelle condizioni di carico e di vincolo presenti durante il processo di formazione di un deposito per sedimentazione: carico verticale infinitamente esteso strati orizzontali infinitamente estesi filtrazione e deformazioni solo verticali. Per studiare in laboratorio la compressibilità (e la consolidazione) nelle suddette condizioni viene eseguita una prova di compressione a espansione laterale impedita,
impedita detta prova edometrica edometrica
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Prova edometrica Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 PROVA EDOMETRICA EDOMETRICA
La prova edometrica viene in genere eseguita su provini di terreno a grana fine N
(argille e limi) indisturbati e saturi Capitello
Anello edometrico
2.5 < D H < 4 0 D = 6 cm Cella edometrica
H Pietre porose
0 H 0 = 2 cm D L’anello edometrico riproduce la condizione di assenza di deformazioni radiali La forma “schiacciata “ del p
provino è motivata dalla necessità di: • ridurre al minimo le tensioni tangenziali indesiderate di attrito e di aderenza con la parete dell’anello • contenere i tempi di consolidazione (favorita anche dalla presenza di pietre porose e carta filtro alle estremità del provino) 15/68
Prova edometrica Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 PROVA EDOMETRICA EDOMETRICA
La prova edometrica può essere eseguita secondo differenti modalità. prova edometrica eseguita
g
secondo la modalità standard o ad incrementi di La p
carico (EdoIL) consiste nell’applicazione di un carico verticale N per successivi incrementi con progressione geometrica (di norma a partire da 25 kPa fino a 6÷8 σ’p ) e eventuali decrementi ((in fase di scarico),
) ciascuno mantenuto il tempo p
necessario ad esaurire il cedimento di consolidazione primaria (in genere 24h). Durante l’applicazione di ciascun gradino di carico viene misurata l’ altezza del provino, H, nel tempo. p
p
Al termine del processo di consolidazione primaria (o, per comodità, al termine delle 24h di permanenza del carico), per ciascun gradino di carico N, vengono calcolate, a partire dal valore finale misurato dell’altezza, Hfin(metodo di Casagrande o
d
Taylor),
l
e noti l’indice
l d dei
d vuoti iniziale,
l e0, e l’altezza
l l
iniziale,
l H0: H −H 0 ∆H
=− fin la deformazione assiale (e volumetrica) εV =ε a =−
H 0 0
H 0 ∆H ∆H ‫ ( ڄ‬1+e 0 )
e fin =
∆ =e −e fin 0 =
la variazione di indice dei vuoti ‫ ( ڄ‬1+e 0 ) +e 0 H 0 H 0 4‫ڄ‬N
'
N
=
corrispondenti
i
d ti alla
ll pressione
i
verticale
ti l media
di efficace
ffi
raggiunta: i t
σv =
A
π‫ڄ‬D
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2
Prova edometrica Dr. Ing. Salvatore Grasso
Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 CURVA DI COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA EDOMETRICA
Riportando in grafico le coppie di valori efin, σ’v per i diversi gradini di carico e di scarico si ottiene la curva di compressibilità
p
edometrica, nella q
quale si possono distinguere: 0.7
un tratto iniziale a debole pendenza pendenza
(punti 1‐2) un tratto intermedio a pendenza crescente (punti 2‐5) 1
2
3
4
0.6
5
5 5
10 0.5
6
11
7
0.4
15 10
un tratto finale a fi l
9
8
pendenza maggiore 0.3
e quasi costante 0.1
1
10
0.01
(
(punti
ti 5‐8) 5 8)
Tensione efficace verticale, σ'v (Mpa)
un tratto di scarico (punti 8‐11) a pendenza minore e quasi costante (confrontabile con la pendenza del tratto iniziale 1‐2) N.B. La curva εa(εv)‐σ’v ha lo stesso andamento di e‐σ’v (e è proporzionale a εa) e
fin
=ε
a
‫ ( ڄ‬1+e0 )+e 0
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Prova edometrica Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 CURVA DI COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA Per l’interpretazione della curva edometrica è da tener presente la STORIA TENSIONALE DEL PROVINO: Il provino, quando si trova in sito, è soggetto alla pressione litostatica, σ’v0
D
Durante
t il campionamento,
i
t l’estrazione,
l’ t i
il trasporto,
t
t l’estrusione
l’ t i
d l
dal
campionatore, subisce una serie di disturbi e una decompressione fino a pressione atmosferica in condizioni di espansione libera 3. A causa della decompressione il provino si espande e, mantenendosi costante il contenuto d’acqua, si riduce il grado di saturazione e si generano pressioni interstiziali negative negative
1.
2
2.
4. Poi viene fustellato con l’anello metallico della prova edometrica e inserito nella cella riempita d’acqua, dove in parte rigonfia assorbendo acqua in condizioni di espansione laterale impedita 5. Infine inizia la fase di carico 18/68
Prova edometrica Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 CURVA DI COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA EDOMETRICA
1. Il tratto iniziale della curva (punti 1‐2) corrisponde ad una ricompressione in condizioni edometriche che segue ad uno scarico (non riportato sul sul
grafico) non edometrico. Perciò non è rettilineo, e comunque non ha pendenza eguale a quella del ramo di scarico. d tratto della
d ll curva (punti
(
i 2‐5)
2 5) è marcatamente curvilineo
ili
e comprende d
2. Il secondo
il valore σ’p della pressione di consolidazione in sito 0.7
3 Il terzo tratto della curva 3. curva
(punti 5‐8) corrisponde ad una compressione edometrica vergine e
vergine e ha ha
pendenza quasi costante 4. Il quarto tratto della curva ( u ti 8‐11)
(punti
8 11) corrisponde
o i o de ad ad
un ramo di scarico edometrico e ha pendenza quasi costante. costante
1
2
3
4
0.6
5 5
10 0.5
6
11
15 7
0.4
10
9
0.3
0
3
0.01
0.1
8
1
Tensione efficace verticale, σ'v (Mpa)
10
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Prova edometrica Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 CURVA DI COMPRESSIBILITÀ EDOMETRICA EDOMETRICA
Con la curva sperimentale di compressione edometrica e‐logσʹv si determinano i principali parametri di compressibilità e la pressione di consolidazione in sito. La curva viene approssimata con tratti rettilinei a differente pendenza; il tratto “ginocchio” (punti 2‐5) è sostituito con un punto angolare (punto A), corrispondente alla pressione di consolidazione, σ
σ’p : :
INDICE DI RICOMPRESSIONE
(e1−e 2 )
Cr =
'
'
(log10 σ v2
− log10 σ v1
)
INDICE DI COMPRESSIONE (e55−e )
8
Cc =
'
'
(log10 σ v8
− log10 σ v5
)
INDICE DI RIGONFIAMENTO RIGONFIAMENTO
(e 11 −e8 )
Cs =
'
'
)
(log10 σ v8 −log 10 σ v11
0.7
1
0.6
Cr r
2
3
A 4
1
1 1
1 5
0.5
Cc 6
11
0.4
Cs 7
10
1 9
8
0.3
0.01
0.1
σ’p TIPICAMENTE: Cr poco significativo; Cc = 0.009∙(wL‐10) ≅ 0.1 ÷ 0.8; 1
σ’v (log) Cs = 1/5÷1/10 Cc 20/68
10
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A.A. 2014/2015 PRESSIONE DI PRECONSOLIDAZIONE PRECONSOLIDAZIONE
Per determinare la pressione di preconsolidazione sono state proposte varie procedure, tra cui la più comunemente utilizzata è quella di Casagrande, che che
e
prevede i seguenti passi:
1. si determina il punto di massima i
curvatura t
(M) del d l
grafico e‐logσ’V 2. si tracciano per M la retta ta e te alla curva
tangente
u a (t),
(t) la retta etta
orizzontale (o), e la retta bisettrice (b) dellʹangolo formato da t e
t e o o
3. lʹintersezione di b con la retta corrispondente al tratto terminale della curva di primo primo
carico individua la pressione di preconsolidazione. σ’p,min
σ’p,max
S
o
M
R
b
t
σ’p
σ’v(log)
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A.A. 2014/2015 PRESSIONE DI PRECONSOLIDAZIONE PRECONSOLIDAZIONE
Il disturbo tende a distruggere la struttura del terreno (e quindi la memoria dello stato tensionale), rendendo meno pronunciato il passaggio dal t tt di ricompressione a tratto
i
i
quello di compressione (e quindi rendendo meno riconoscibile
i
ibil la
l pressione
i
di
di precnsolidazione) e alterando le pendenze rispetto alla curva di compressione in sito. sito
È più difficoltosa la dete i a io e di,
determinazione
di Cc e
C e σ’’p σ’v0 (= σp )
Curva di
compressione
“in sito”
e0
Provino ricostituito
Provino disturbato
Provino indisturbato
σ’
v0
0
l σ’’ v
log
Per stimare la curva di compressibilità in sito (e quindi la pressione di preconsolidazione in sito) si possono applicare delle procedure di correzione (Schmertmann,
h
1955) 22/68
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A.A. 2014/2015 CURVA DI COMPRESSIBILITÀ IN SITO SITO
TERRENI NC 1. Si determina l’indice dei vuoti e
0
naturale del provino in sito, e0, e si prolunga la curva sperimentale
i
l di compressione i
fino ad un valore dell’indice dei vuoti pari al 40% del valore naturale (punto B); B);
2. si stima la tensione efficace verticale geostatica alla profondità
f dità di estrazione
t i
d l
del campione, σ’v0, che per terren0 .4 e 0
NC coincide con la pressione di consolidazione, σ
σ’p; ;
A
Curva in sito
“corretta”
Curva
sperimentale
3. si disegna il punto A di coordinate (σ’v0, e0); 4. si traccia la retta AB che corrisponde alla compressibilità
ibilità in
i sito.
it
B
σ’v00 ((= σp)
σ
log
g σ’v
migliore stima della curva di 23/68
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Prova edometrica Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 CURVA DI COMPRESSIBILITÀ IN SITO SITO
TERRENI OC 1. Si esegue un ciclo completo di Curva in sito
A
“corretta
corretta”
scarico
i ricarico
i i a partire
ti da
d una e0
E
pressione superiore alla pressione di consolidazione (presunta), e si ∆e
determina ll’indice
indice di rigonfiamento rigonfiamento
Cs come pendenza dell’asse del ciclo di isteresi, CD; D
CS
2 si eseguono i punti da 1 a 3 già visti 2. visti
1
per terreni NC; C
Curva
3. si stima la pressione di sperimentale
p
consolidazione σ
consolidazione,
σ’p, con il metodo metodo
(fase di ricarico)
di Casagrande; 4. si traccia dal punto A una retta di B
pendenza Cs fino al punto E avente0.4
04e0
ascissa σ’p (AE) σv 0
σp
log σv
5. si traccia la retta EB: 6. la spezzata
p
AEB corrisponde
p
alla migliore
g
stima della curva di compressibilità
p
in sito.
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Prova edometrica Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 ALTRI PARAMETRI DI COMPRESSIBILITÀ À
La curva di compressibilità edometrica può anche essere rappresentata in scala lineare rendendo ancor più evidente la non linearità e ll’aumento
lineare,
aumento di rigidezza al al
crescere della tensione applicata. In tal caso i parametri di compressibilità sono dipendenti dal campo di tensione cui si riferiscono: Coefficiente
ff
d
di compressibilità di volume mv =
∆ε
0.7
12
3
0.6
a
∆σ 'v
[F ‐11 L2] ]
5
10 0.5
6
11
Modulo edometrico M=
5 4
'
v
1
∆σ
=
m v ∆ε a
7
0.4
[F L‐2] 15 10
9
0.3
0
3
0.00
0.50
8
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
Coefficiente di compressibilità Te nsione e fficace v e rticale , σ 'v (M pa)
∆e
Tra tali parametri sussistono le seguenti relazioni: relazioni:
av =
'
[F ‐1 L2] ∆σ v
av
mv=
1+e
o
1
(
=
M =2,3‫ ڄ‬1+e 0 )‫ڄ‬σ '
v
M
Cc
25/68
Cedimento di consolidazione Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 CEDIMENTO DI CONSOLIDAZIONE PRIMARIA PRIMARIA
Calcolo del cedimento edometrico (∆H) di uno strato di terreno in seguito all’applicazione di un carico uniformemente distribuito ∆σv. Ipotesi: Comportamento
dello
strato
I.Deformazione monodimensionale
assimilato a quello di un provino
((deformazioni laterali impedite)
p
)
sottoposto ad una prova edometrica
II. Parametri di compressibilità dello strato ؆ parametri determinati per il provino
σ’v (log) e ∆σ v
σ’’vo σ’’vo+∆σ
+∆ v σ’’p Cr ∆H
1 ∆e H
(σ’ v 0 ,e 0 )
Cc εa 1 si assume Cr = Cs
26/68
0
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A.A. 2014/2015 CEDIMENTO DI CONSOLIDAZIONE PRIMARIA
∆H
∆e
Ho
In condizioni edometriche: =
∆H = ‫∆ڄ‬e
H o 1+ e o
1+ e o
TERRENI OC (Cr ≅ Cs) ∆H =
Ho
'
‫[ڄ‬Cs‫ڄ‬log
1+e o
se σ’vo + ∆σ’v > σ’p ∆H =
Ho
1+e
‫[ڄ‬Cs‫ڄ‬log
o
σp
'
σ vo
+C
Cc‫ڄ‬log
l
σ
'
vo
+ ∆σ v
σ 'p
σ 'vo
σ’
σ’vo ]
Cr se σ’vo + ∆σ’v < σ’p v (log) σ’vo+∆σv σ’p p
1 ∆e TERRENI NC (σ’
( ’vo = σ’’p) )
Ho
‫[ڄ‬Cc‫ڄ‬log
∆H =
1+e o
]
e σ 'vo + ∆σ v
da prova edometrica σ 'vo + ∆σ v
'
σ vo
Cc ]
εa 1 27/68
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A.A. 2014/2015 CEDIMENTO DI CONSOLIDAZIONE PRIMARIA Con riferimento al coefficiente di compressibilità di volume, mv, o al modulo edometrico,, M,, o al coefficiente di compressibilità,
p
, av, scelti con riferimento allʹintervallo tensionale significativo per il problema in esame, il cedimento di consolidazione primaria può anche essere così calcolato: ∆σ v
Ho
=
∆H=H
H H
‫ڄ‬
∆
∆σ
‫ڄ‬
m = H ‫ڄ‬
‫∆ ڄ‬σ
∆
‫ڄ‬av
o
v
v
o
v
M
1+e
0
Nel caso di terreno eterogeneo (con strati di elevato spessore) , è opportuno
suddividere lo strato in più sottostrati, differenziando
(quando possibile)
parametri di compressibilità (riferiti, come le pressioni, al centro di ogni strato):
n
'
σ 'pi
σ voi
+ ∆σ v
Hoi
‫[[ڄ‬C si ‫ڄ‬logg ' +C ci ‫ڄ‬logg
]
∆H = ∑
'
1+e oi
σ voi
σ pi
i=1
oppure: n
∆H = ∑ (H
i=1
H oi
‫∆ ڄ‬σ
∆
∑ (
i=1 1+e oi
n
oi
‫∆ ڄ‬σ
∆
v
‫ڄ‬m
vi )
=
v
‫ ڄ‬a vi )
I parametri che compaiono nelle formule precedenti si riferiscono di norma alla mezzeria dello strato o degli strati omogenei in cui si suddivide il deposito. 28/68
i
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Cedimento di consolidazione Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 CEDIMENTO DI CONSOLIDAZIONE PRIMARIA Per stimare l’incremento ∆σv indotto dal carico applicato in superficie alla generica profondità z, si procede come segue: 1. Carico, q, applicato in superficie, uniformemente distribuito ed infinitamente esteso ∆σv è costante sia in direzione orizzontale che al variare della profondità ed è pari al carico applicato: ∞
∞
∆σv (x,y,z)
(x y z) = q q
P N.B. Tale ipotesi può applicarsi anche nel caso in cui il carico, uniformemente distribuito, abbia un’estensione (B) limitata ma di gran lunga superiore allo spessore dello strato considerato (H),
(H) ovvero B>>H. B>>H
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Cedimento di consolidazione Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 CEDIMENTO DI CONSOLIDAZIONE PRIMARIA 2. Carico, q, distribuito su una superficie di li it t (rispetto
limitate
(i
tt allo
ll spessore dello
d ll strato) t t )
dimensioni Impronta di carico
∆σv si riduce al crescere della profondità e varia
i in
i direzione
di i
orizzontale: i
t l
∆σv (x,y,z) = f(x,y,z) B
Tale incremento può essere determinato con con
riferimento alla teoria dell’elasticità (Boussinesq). L
In prima approssimazione, nel caso di carico q uniformemente distribuito su un’area rettangolare, di dimensione B x L: ∆σ
v
(z) =
L
q
q‫ڄ‬L‫ڄ‬B
2
z
(L+z)‫(ڄ‬B+z)
1
z/2
/2
L+z
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Consolidazione Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 CONSOLIDAZIONE
CONSOLIDAZIONE L’applicazione di un sistema di sollecitazioni induce nel terreno • distorsioni ((cambiamenti di forma)) e/o • deformazioni (variazioni di volume) Una deformazione corrisponde ad una variazione del volume dei vuoti ((nell’ipotesi
p
di incompressibilità
p
dei g
grani). )
Se il terreno è saturo (e l’acqua incompressibile), tale variazione è associata ad un moto di filtrazione dell’acqua interstiziale (in uscita se il volume si riduce, consolidazione, in entrata se il volume aumenta, rigonfiamento). Nel caso della consolidazione: CARICO APPLICATO CAMPO DI SOVRAPRESSIONI NEUTRE, ∆u (positive e variabili nello p
)eg
gradiente del carico idraulico ∆h spazio)
ESPULSIONE DELL’ACQUA (variazione
di ∆u nel tempo; regime transitorio )
u + ∆u
0
u
0
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Consolidazione Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 Via via che l’acqua viene espulsa dai pori, le particelle di terreno si deformano e si assestano in una configurazione più stabile e con meno vuoti, con conseguente
g
diminuzione di volume. ⌦ L’entità della variazione di volume (compressibilità), dipende dalla rigidezza dello scheletro solido, cioè dalla struttura del terreno ed è definita dai parametri di compressibilità. ⌦ La velocità di questo processo (consolidazione) dipende dalla permeabilità del terreno ed è definita da una legge tensioni‐deformazioni‐tempo. Riferendosi solo al caso di carichi statici o quasi statici: TERRENI A GRANA GROSSA (ghiaie e sabbie), espulsione dell’acqua (quindi Elevata permeabilità (k > 10‐6 m/s) anche deformazione volumetrica) praticamente istantanea TERRENI A GRANA FINE (limi e argille) espulsione dell’acqua, con Scarsa permeabilità (k < 10‐6 m/s) dissipazione delle sovrapressioni sovrapressioni
neutre (e quindi deformazione volumetrica) differita nel tempo N B Il fenomeno della consolidazione interessa
N.B.
consolidazione interessa sia i terreni a grana fine che
quelli a grana grossa: i parametri di compressibilità si determinano per entrambi,
quelli legati alla consolidazione sono di scarso interesse per i secondi.
32/68
Consolidazione edometrica Dr. Ing. Salvatore Grasso
Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA EDOMETRICA
p SABBIA A IA
ARGILLA I. Carico uniformemente distribuito,
infinitamente esteso e applicato applicato
istantaneamente) p
saturo infinitamente esteso in II. Deposito
direzione orizzontale SABBIA In ogni punto del semispazio si produce istantaneamente un incremento di di
tensione verticale totale ∆σv = p. Per ragioni di simmetria non possono esservi deformazioni orizzontali e il moto di filtrazione che si sviluppa è monodimensionale e in direzione verticale (condizioni edometriche). Nella sabbia, molto permeabile, l’incremento di tensione totale determina (quasi i
immediatamente)
di
) un eguale
l incremento
i
d ll tensione
della
i
efficace
ffi
(
(sopportata
d ll
dallo scheletro solido), mentre l’acqua in eccesso filtra rapidamente in direzione verticale e la pressione neutra (praticamente) non varia. I grani si deformano e si addensano
dd
con riduzione
id i
d i vuoti,
dei
i e quindi
i di di volume. l
SIS E A APERTO SISTEMA
A E O
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Dr. Ing. Salvatore Grasso
Consolidazione edoemtrica Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA Nell’argilla, poco permeabile, la filtrazione avviene molto lentamente e il f
fenomeno
sopra descritto
d
per la
l sabbia
bb è molto
l rallentato:
ll
SISTEMA
I E A CHIUSO
IU O
I.
II.
III. inizialmente il sovraccarico applicato è sopportato quasi esclusivamente
dall’acqua
dall
acqua interstiziale (p = ∆σv = ∆u; ∆σ
∆σ’v = 0);
gradualmente l’acqua, filtrando verticalmente, viene espulsa dai pori e
il carico viene trasferito allo scheletro solido che si comprime, con
conseguente aumento delle pressioni effettive
(∆σ’v aumenta e ∆u
(∆σ
diminuisce);
alla fine del processo di consolidazione tutte le sovrapressioni neutre si p
((∆u = 0),
), la filtrazione si è arrestata,, il sovraccarico totale sono dissipate
applicato è interamente sopportato dallo scheletro solido (cioè interamente equilibrato da un incremento delle pressioni verticali efficaci, ∆σ’v = ∆σv = p). Esistono dei modelli meccanici che descrivono in maniera efficace tale fenomeno nei terreni a grana fine. 34/68
Teoria della consolidazione Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 MODELLO MECCANICO DI ELASTICITÀ RITARDATA 1. La molla simula il comportamento dello scheletro solido 2. L
2
L’acqua
acqua presente nel nel
V l l
Valvola cilindro rappresenta l’acqua Pistone interstiziale 3 La valvola
3. La
al ola rappresenta
a
e e ta la la
permeabilità del sistema 4. Se si applica
pp
un carico Q,
Q, esso si ripartisce in parte sulla molla (determinandone un accorciamento ∆l) e in parte sull’acqua (determinando una sovrappressione ∆uw) Q= QM(ti)+ QW(ti) )
Molla a comportamento elastico lineare (K) Cilindro indeformabile Acqua l Manometro (pressione dell’acqua) A 35/68
Teoria della consolidazione Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 t1 Valvola
t4 t2 Chiuso
t7 Aperto
t1 ‐ valvola chiusa chiusa
e carico Q applicato istantaneamente: QM = 0 (∆l = 0) 0)
Q = Qw = ∆uw(t1)∙A Pressione
t2 ‐ valvola
l l aperta t > t2 ‐ valvola aperta QM = K∙∆l
K ∆l (∆l cresce) )
Qw = ∆uw(t1)∙A (∆uw decresce) ∆uw(t1) = Q/A Q
t = t7 ‐ valvola aperta QM = Q Qw = 0
0 (∆u
(∆ w= 0) 0)
0
t
0
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
t
6
t
7
36/68
Tempo
Teoria della consolidazione Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 MODELLO DI TERZAGHI TERZAGHI
Il modello consiste in un recipiente cilindrico contenente una serie di pistoni forati (che simulano la presenza dei vuoti e la permeabilità del terreno),
terreno) eguali eguali
fra loro, separati da molle di eguale rigidezza (che simulano il comportamento dello scheletro solido), e riempito d’acqua. Ciascuna zona di interpiano in cui risulta suddiviso il recipiente tramite i pistoni è collegata ad
ad un
un tubo aperto
aperto per la misura del carico piezometrico. Acqua q
Piezometri Piezometri
Pistoni forati Ar Molle di uguale rigidezza (K) Cilindro indeformabile
37
Dr. Ing. Salvatore Grasso
Teoria della consolidazione Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 Si applica istantaneamente un incremento di pressione ∆σ.
Per il principio delle tensioni efficaci vale: ∆u/γw(t) + ∆σ’/γw (t) = ∆σ/γw ∨ z e ∨ t t = 0 Carico sostenuto Carico sostenuto dall’acqua dalle molle ∆u/γw(t=0) = ∆σ/γw t = 0 per ogni z ∆σ’/γw(t
∆σ
(t=0)
0) = 0 0
molle indeformate (dischi immobili ed equidistanti) e piezometri allo stesso livello (carico interamente sostenuto dall
dall’acqua)
acqua), si attiva moto di di
filtrazione verticale ascendente verso il recipiente ’
38/68
Teoria della consolidazione Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 t > 0 ∆u/γw(t) = 0
∆σ’/γw(t) = ∆σ
∆u/γw(t) cresce per z = 0 e per ogni t t
∆σ’/γw(t) decresce ∆σ
decresce
∆u/γw(t) decresce ∆σ’/γw(t) cresce Nell’istante t2: Area ABCD ‫ ן‬carico totale (∆σ ∙A
Ar) )
Area ABCE ‫ ן‬carico sulle molle Area AED ‫ ן‬carico sostenuto dall’acqua t = 0 0
C ∆σ’
B
γw
all’aumentare di z t1 all’aumentare di t A
E
t2 ∆u
γw
t=∞
D
N.B.
N
B Le molle in superficie sopportano un carico maggiore: la distanza tra gli
interpiani e le sovrappressioni sono minori in superficie
39/68
Teoria della consolidazione Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 t=∞
∆u/γw = 0
per ognii z ∆σ’ /γw = ∆σ/γw t = 0 B
molle accorciate della stessa quantità (di
(dipendente
d t dalla
d ll tensione
t i
applicata)
li t ) per tutti i piani (dischi equidistanti) e piezometri allo stesso livello precedente ll’applicazione
applicazione del carico,
carico si arresta il moto moto
di filtrazione A
C ∆σ’
γw
t1 E
t2 ∆u
t=∞
γw
D
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Teoria della consolidazione Corso di Geotecnica per Ingegneria Edile ‐Architettura
A.A. 2014/2015 TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA Per comprendere i modi e i tempi secondo cui avviene i fenomeno della consolidazione edometrica si fa riferimento alla teoria della consolidazione edometrica (monodimensionale) di Terzaghi. La teoria della consolidazione edometrica di Terzaghi si basa sulle seguenti ipotesi semplificative: semplificative:
I.
consolidazione monodimensionale (filtrazione e cedimenti solo in
direzione verticale);
II
II.
i
incompressibilità di
ibili à di acqua (γ
( w=cost)) e particelle
i ll solide
lid (γ
( s=cost);
)
p
III. validità della legge di Darcy;
IV. terreno saturo, omogeneo, isotropo SABBIA
SABBIA V le a e sforzi
V. legame
fo i deformazioni
defo a io i elastico
ela ti o lineare li ea e
VI. permeabilità costante nel tempo e nello spazio ARGILLA VII. validità del principio delle tensioni efficaci SABBIA L’equazione che governa il moto di filtrazione dell’acqua (e che lega tensioni‐ deformazioni‐tempo)
deformazioni
tempo) si ottiene a partire dall
dall’equazione
equazione generale del flusso di di
un fluido attraverso un mezzo poroso, utilizzando le suddette ipotesi. 41/68
Teoria della consolidazione Dr. Ing. Salvatore Grasso
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A.A. 2014/2015 EQUAZIONE GENERALE DEL FLUSSO DI UN FLUIDO ATTRAVERSO UN MEZZO POROSO Si consideri un elemento infinitesimo del mezzo poroso (terreno) di dimensioni dx dy dz, attraversato da un flusso di fluido (acqua). y Indicando con: V il vettore della velocità apparente di di
filtrazione (di componenti Vx, Vy e Vz) z la portata in peso d
d’acqua
acqua entrante nell
nell’elemento
elemento in direzione n (n = x,y,z), qen, vale: q en =γ w n ‫ڄ‬v ‫ڄ‬dm‫ڄ‬dp (m,p = x,y,z) e quella
ll uscente,
t qun, nella
ll stessa
t
di i
direzione: q un =γ
‫ۇ‬
‫ ڄ‬v +
w ‫ ۈ‬n ‫ۉ‬
∂v n ∂n n
‫ڄ‬dn‫ڄۊ‬dm‫ڄ‬dp (m,p = x,y,z) x Vx ∂V V
V + y y dy ∂y dy Vy Vz dx
dx v x +
dz ∂v x dx ∂x ∂V V
dz ∂z Vz+ z ‫ی‬
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A.A. 2014/2015 Si applica l’equazione di continuità (principio di conservazione della massa): Pw = peso d’acqua contenuta nell’elemento ∂
P
Qw,in ‐ Qw,out
w = Qw,in = portata d’acqua entrante = qex+qey+qez (nell’unità di tempo) Qw,out = portata d’acqua entrante = qux+quy+quz ∂t ( l caso di moto stazionario
(nel
i
i Qw,in = Qw,out ovvero Pw = cost))
che, esplicitando il primo termine, diventa:
∂v ‫ۊ‬
∂P w
‫∂ۇ‬v ∂v
−γ w ‫ ۈ ڄ‬x + y + z ‫ ڄۋ‬dx ‫ڄ‬dy‫ڄ‬dz =
‫∂ ۉ‬x
∂y
∂z ‫ی‬
∂t
Se si applica la legge di Darcy (III):
v x =−k ‫ڄ‬
x v y =−k = k y ‫ڄ‬
∂h ∂x z ‫ڄ‬
‫ۈ‬kx ‫ڄ‬
‫ۈ‬
‫ۈ‬
∂h ∂y ∂h v z =−k ‫ۇ‬
∂z z
γ
w
∂2h
+
∂x 2
∂ 2h
∂k
∂x
‫ۈڄ‬
‫ ۈ‬+ ky ‫ ڄ‬2 +
‫ۈ‬
∂y
‫ۈ‬
∂2 h
‫ۈ‬+ k z ‫ ڄ‬2 +
∂z
‫ۉ‬
x‫ڄ‬
∂h
∂x
+
∂k y ∂h
‫ڄ‬
∂y ∂y
∂k z
∂
∂z
‫ڄ‬
∂h
∂
∂z
‫ۊ‬
‫ۋ‬
‫ۋ‬
‫ۋ‬
+‫ڄۋ‬dx
‫ۋ‬
‫ڄ‬dy ‫ڄ‬dz =
‫ۋ‬
‫ۋ‬
∂P w
∂t
‫ۋ‬
‫ی‬
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A.A. 2014/2015 Nell’ipotesi di permeabilità costante nello spazio (IV) risulta:
‫ ∂ ۇ‬h2
γ w ‫ۈ ڄ‬k x ‫ ڄ‬2
∂x
∂k x ∂k y ∂k z
=
=
=0
∂y
∂z
∂x
+k
y
‫ۉ‬
‫ڄ‬
∂ 2h
∂
∂y
2
2
+k
z
‫ڄ‬
∂h‫ۊ‬
‫ ڄ‬dx ‫ڄ‬dy‫ڄ‬dz =
2‫ۋ‬
∂z ‫ی‬
∂P w
∂t
Nell’ipotesi di terreno omogeneo (IV) e assumendo che il
fluido ed i grani di terreno siano incomprimibili (II), risulta:
γw(x,y,z,t) = cost; Vs(x,y,z,t) = cost
P w =γ
‫ڄ‬V =γ
‫ڄ‬V w w Sr =VW/VV ‫ڄ‬V ‫ڄ‬S ‫ڄ‬S
w v r =γ
‫ڄ‬V ‫ڄ‬e‫ڄ‬S ‫ڄ‬e‫ڄ‬S
w s ∂P w
r V V−V S V e= V =
=
−1
VS V VS V V S V
∂t
w
‫ڄ‬V
‫ۈ‬e ‫ڄ‬
s ‫ۈڄ‬e
‫ۉ‬
∂S r
∂t
+S
r
‫ڄ‬
∂e‫ۊ‬
‫ۋ‬
∂t ‫ی‬
dx‫ڄ‬dy‫ڄ‬dz V VS =
=
1+e 1+e 1+e 1+e
∂Pw
=
∂t
‫ ∂ ۇ‬2 h ∂ 2 h ∂ 2 h‫ۊ‬
y
γw ‫ۈڄ‬k x ‫ ڄ‬2 +kk y ‫ ڄ‬2 2 +kk z ‫ ڄ‬2 2 ‫ڄۋ‬dx‫ڄ‬dy‫ڄ‬dz ‫ۋ‬
‫ۈ‬
∂x ∂
y ∂z ‫ۉ‬
‫ی‬
‫ۇ‬
=γ
=
γw
((1+ e))
γ w ‫ۇ‬
∂S r
‫ۉ‬
∂t
‫ۈ ڄ‬e ‫ڄ‬
‫ۇ‬
e‫ڄ‬
‫ۈ ڄ‬e
(1+e) ‫ۉ‬
∂S r ∂t +S r ‫ڄ‬
+S S r ‫ڄ‬
∂e‫ۊ‬
‫ڄۋ‬dx ‫ڄ‬dy‫ڄ‬dz
∂t ‫ی‬
∂e ‫ۊ‬
y
‫ڄۋ‬dx‫ڄ‬dy‫ڄ‬dz ∂t ‫ی‬
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A.A. 2014/2015 FILTRAZIONE PERMANENTE Si ottiene l’equazione generale del flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso omogeneo ed isotropo, nell’ipotesi di incompressibilità del fluido e dello scheletro solido applicando l’equazione di continuità e la legge di Darcy: ‫ۇ‬
∂ 2h
‫ۉ‬
2
k ‫ڄ‬
‫ ۈ‬x
∂x
2
+k
y
‫ڄ‬
∂ h
∂y
2
+k
z
‫ڄ‬
∂ 2 h‫ۊ‬
∂z
2‫ۋ‬
=
‫ی‬
‫∂ ۇ‬S r
‫ۈڄ‬e ‫ڄ‬
1
1+e
‫ۉ‬
∂t
+S
r
‫ڄ‬
∂e‫ۊ‬
‫ۋ‬
∂t ‫ی‬
Nell’ipotesi di filtrazione permanente ( o stazionaria) P w =γ
P ‫ڄ‬
‫ ڄ‬r cost ‫ڄ‬
=
e S
w s ∂e ∂S ∂t =
in mezzo isotropo (IV): r
r ∂t = 0 0
EQUAZIONE DI LAPLACE ∂ 2 h ∂ 2 h ∂ 2 h + 2 + 2 = 0 2 ∂x ∂y ∂z
Kx = ky = kz
l’equazione generale del flusso diventa:
45/68
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A.A. 2014/2015 Nel caso di flusso bidimensionale (moto piano), ad es. sul piano x,z, l’equazione generale del flusso stazionario diventa : ∂ 2 2 h ∂ 2 2h ∂x
2 +
∂z
2 = 0 che viene in genere risolta per via numerica o grafica,
grafica una volta definite le le
condizioni al contorno (il moto è indipendente dal tempo). q
di Laplace bidimensionale
p
può essere p
La soluzione dell’equazione
rappresentata graficamente da due complessi di curve (le linee di flusso e le linee equipotenziali) che si tagliano ad angolo retto (rete di filtrazione): Le linee
li ee di flusso
flu o sono
o o i percorsi
e o i dei filetti liquidi
li uidi nella
ella sezione
e io e trasversale,
t a e ale ne e
esistono infinite e lo spazio tra due linee di flusso successive viene chiamato canale di flusso e vi scorre una portata costante d’acqua ∆q. Le linee equipotenziali sono le linee di eguale energia potenziale, ovvero di eguale carico idraulico, ne esistono infinite e la distanza fra due linee equipotenziali successive indica in quanto spazio si è dissipata una quantità costante ∆h del carico idraulico. 46/68
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A.A. 2014/2015 Lo spazio (l’area) delimitata da due linee di flusso successive e da due linee equipotenziali successive è detta campo. Il campo è la maglia della rete di filtrazione. Per disegnare la rete di filtrazione, una volta note le condizioni al contorno ovvero alcune linee di flusso o equipotenziali che delimitano la rete (ad es. le superfici
p
impermeabili
p
sono linee di flusso e le superfici
p
libere di falda sono equipotenziali) e la perdita di carico totale, h, e scelto il numero di dislivelli N, Linee di flusso
occorre che: i canali di flusso abbiano eguale g
portata ∆q, la perdita di carico fra due linee equipotenziali successive ∆h=h/N sia costante, Campo
Linee equipotenziali
i campi siano approssimativamente quadrati (∆a ≅ Db). La portata di filtrazione per ogni canale di flusso è: k‫ڄ‬h‫∆ڄ‬a
k‫ڄ‬h
Q N1‫∆ڄ‬q=k‫ڄ‬h‫ڄ‬
Q=N
kh
∆ =v‫∆ڄ‬a =
؆
e la
l portata totale: l
N‫∆ڄ‬b
N
N1
N
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A.A. 2014/2015 CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE L’equazione generale del flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso omogeneo ed isotropo, nell’ipotesi di incompressibilità del fluido e dello scheletro solido : ‫ۇ‬
∂ 2h
‫ۉ‬
2
k ‫ڄ‬
‫ ۈ‬x
∂x
2
+k
y
‫ڄ‬
∂ h
∂y
2
+k
z
‫ڄ‬
∂ 2 h‫ۊ‬
‫ۊ‬
∂z
2‫ۋ‬
‫ی‬
1
=
1+e
‫∂ ۇ‬S r
‫ۈڄ‬e ‫ڄ‬
‫ۉ‬
∂t
+S
r
‫ڄ‬
∂e‫ۊ‬
‫ۊ‬
‫ۋ‬
∂t ‫ی‬
diventa nell
diventa,
nell’ipotesi
ipotesi di: di:
flusso monodirezionale, verticale, nella direzione z (I) h = h(z) h(z)
terreno saturo (IV): ∂ 2 h ∂x 2 Sr = cost = 1 1
=
∂ 2 h ∂y 2 = 0 0
∂Sr r
= 0 0
∂t ∂ 2 h 1 ∂e
k 2 =
∂z
1+e o ∂t
terreno isotropo (IV): Kx = ky = kz z
48/68
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A.A. 2014/2015 (u p + u e )
h=z+
γw
∂ 2h
∂z
2
=
* ∂e k 2 dz =
k dz
∂z 1+e o ∂t Ipotesi di elasticità lineare (V) ∂e e
**
** a v =−
=
cos t ʹ
2 ∂ h dz 1 ∂2 u e
‫ڄ‬
γ w ∂z 2
∂σ v ∂e
∂t
=
∂e ∂σ 'v
‫ڄ‬
'
∂σ v ∂t
=−a
∂σ 'v
‫ڄ‬
V
∂t
up lineare con z a V ∂σ' v
k ∂2u e
‫ڄ‬
2 =−
γ w ∂z
1+e o ∂t
up e σv costanti nel tempo ∂u e
∂σ v ∂u p ∂u e
−
=
−
−
=−
=
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
∂σ 'v
∂σ v
∂u
* up = componente idrostatica della pressione interstiziale Principio delle tensioni efficaci (VII) ue = sovrappressione dovuta all
all’applicazione
applicazione del carico carico
** Il segno meno è dovuto al fatto che l’indice dei vuoti decresce e av è positivo. 49/68
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A.A. 2014/2015 TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA Si ottiene così l’equazione differenziale della consolidazione monodimensionale di Terzaghi : k(1+e ) ∂
u e ∂u e o =
2 γ w v ∂t ∂z ‫ڄ‬a 2 ue(z,t) = sovrappressione dovuta all’applicazione del carico k = coefficiente di p
permeabilità del terreno eo = indice dei vuoti iniziale av = coefficiente di compressibilità oppu e
oppure:
2
u e ∂u e
cv 2 =
∂t
∂z
∂
dove cV è il coefficiente di consolidazione verticale:
k(1+e o )
γ w ‫ ڄ‬va
=
k
γw ‫ ڄ‬m v
= c v [L2/T] 50/68
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A.A. 2014/2015 Con riferimento ad uno strato di terreno ap
permeabilità molto bassa (argilla), delimitato superiormente
p
e inferiormente da un materiale a permeabilità molto più alta (sabbia), assumendo valide tutte le ipotesi della teoria della consolidazione edometrica, l’equazione
q
di Terzaghi può anche essere così scritta : cv
∂ 2u e
∂z
2
∂u e
= ∂t
Z=
2
c ‫ڄ‬v
∂ ue
∂Z
2
con
con H
∂T v
cv
H2
Z = 0 0
ARGILLA SABBIA
SABBIA Z ue= ue(z,t)
(z t)
z
(H = altezza di drenaggio*) H
1
∂u e
‫ڄ‬
‫ڄ‬2 =
SABBIA ∂
2
T v=
u e ∂u e
2 =
∂Z
∂T v
c v‫ ڄ‬t
H
2
(Tv = fattore di tempo) con u e
= ue(Z,TV)
d ll strato
t t se drenato
d
t da
d un lato
l t solo
l (0 < Z < 1) 1)
spessore dello
H* = metà dello spessore
p
dello strato se drenato da entrambi i lati ((0 < Z < 2) )
* percorso massimo di una particella d’acqua per uscire dallo strato)
51/68
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A.A. 2014/2015 TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA Per risolvere l’equazione
P
i l
l’
i
diff
differenziale
i l della
d ll consolidazione
lid i
monodimensionale di
i
l
di Terzaghi: ‐ in forma adimensionale ∂ 2ue
=
∂Z 2
‐ in forma dimensionale c
v
∂ 2u
e
2
∂u e
∂T v
∂u e
=
(in tal caso occorre conoscere cV) )
∂t
∂z
e quindi trovare l’evoluzione nel tempo t (o TV) e con la profondità, z (o Z) della
sovrappressione interstiziale indotta dal carico applicato:
u =u (Z,T )=u
(z,te)
e
e
V
occo e fissare,
occorre
fissa e per
pe la variabile
a iabile ue:
2 condizioni al contorno per z (o Z) 1 condizione iniziale p
per t ((o TV)) condizioni di drenaggio distribuzione ((isocrona)) iniziale,, ue((z,0) , )
52/68
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A.A. 2014/2015 Nel caso edometrico, le condizioni al contorno e iniziali sono: ⌦ per t = 0 ue= uo, ‫׊‬z (isocrona iniziale costante con la profondità per carico uniforme) ⌦p
per z = 0 e z = 2H ue= 0,, ‫׊‬t ≠ 0 ((superfici
p
superiore
p
e inferiore p
perfettamente drenanti) )
La soluzione, ottenuta per via analitica, è 2
2u o
π
con M = (2
(sin MZ)e −M T v con (2m +1)
2
M
m=0
m=∞
u e (Z,
(Z Tv ) = ∑
up = pressione interstiziale idrostatica ue = sovrappressione per applicazione del carico u0 = carico p p
p 0
Sabbia
zw
z
u all’istante
all istante t = 0
w
u ad un generico istante t
z
u
Argilla
u
p
2H
e
u
u
Zw + 2H
Sabbia
0
Pressione dei pori
53/68
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A.A. 2014/2015 GRADO DI CONSOLIDAZIONE CONSOLIDAZIONE
Si definisce grado di consolidazione (in termini di sovrappressioni interstiziali): u o (e e , )
u (z,t) ( ,)
tgα
g = ∂h/∂z(t)
/ ( ) nel p
punto P o −u (z,t) e
e U (z,t)z =
u o =1−
1
u o α
A(Tv)
Piano impermeabile At= Area totale del grafico
Tv=0
P Grado di consolidazione medio
Um(Tv) =A(Tv)/A t
Per t (TV) = 0 A(TV) = 0
Per t (TV) = +∞
A(TV) = At
Grado di consolidazione, U z
Um = 0
Um = 1
Per strato drenante da un solo lato (H = spessore dell’intero strato) 0<Z<1 Per strato drenante da ambo i lati lati
(H = metà spessore dello strato) 0<Z<2 54/68
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A.A. 2014/2015 GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO MEDIO
Il grado di consolidazione medio (in termini di sovrappressioni interstiziali), ad un certo istante t, è definito come: ∞
2 −M Tv 2 1 2H 1 2H u −u (z,t) o e U t)=
‫ڄ‬
e U (z,t)dz =
dz =1−
∑
2 2H ∫0 z u o 2H ∫0 m=0 M e si può dimostrare che coincide con rapporto tra il cedimento al tempo t, s(t), e il cedimento totale, sf , ovvero con il grado di consolidazione medio in termini di cedimento,, Um ((t): )
U t
m )=
s(t) s f Infatti risulta che: Le variazioni di pressione efficaci durante la consolidazione pressioni interstiziali coincidono con la variazione delle p
u (z)−u (z,t) ∆σʹ v ʹ (z,t) M‫ڄ‬ε(z,t) ε(z,t) 0 e = =
=
u 0 (z)
u (z) ∆σ
M‫ڄ‬εε f ε
M
f e quindi: legame sforzi deformazioni elastico lineare (V) 2H Ut)=
2H 1 u (z)−u (z,t) s(t) 1 e
e 0
0 dz=
ε(z
ε(z,t)dz=
t)dz=
=U m (t )
∫
∫
2H 0 u (z) 2H‫ڄ‬ε f 0 s f 0 55/68
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A.A. 2014/2015 GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO Il grado di consolidazione medio Um in funzione del fattore di tempo Tv si può rica are nel caso delle condizioni
ricavare,
condi ioni al contorno considerate,
considerate con tabelle,
tabelle grafici : Um
Tv
10
0.0077
20
0.0314
30
0.0707
40
0.126
0
0
10
10
20
20
30
30
40
40
50
50
60
60
70
70
80
80
90
90
100
0
0.2
0.4
0.6
Fattore di tempo,
tempo Tv
0.8
1
1.2
100
0.001
50
0.196
0.01
70
0.403
90
0.848
0.1
95
1.129
1
Fattore di tempo,
tempo Tv
56/68
10
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A.A. 2014/2015 oppure soluzioni analitiche approssimate: Tv
a)
a) Um = 6
b
b) U m = 2‫ڄ‬
2
c) 3
3
v
T + 0.5
; T
Tv
; T
v
v
=
=3
π
0.5‫ڄ‬U
1− U
‫ڄ‬U
6
m
6
m
(Brinch‐Hansen)
(Brinch
Hansen) 2
per U
m
4
Tv =1.781−0.933log(100− Um(%)) per U
U m =
π
‫ۇ‬4‫ڄ‬T
‫ۈ‬
‫ ۉ‬π
0.5
π
v ‫ۊ‬
‫ۋ‬
‫ی‬
; T v =
m
≤ 60%
m
> 60%
(Terzaghi) 2 ‫ ڄ‬U m 4 [11−U
U
(Sivaram & Swamee) ‫ ۇ ۍ‬4‫ڄ‬T
]
4 T v ‫ې ۊ‬
m ‫ۑ ۋ‬
‫ێ‬1+‫ۈ‬
‫ے ی‬
‫ۉ ۏ‬π
Nel caso di una sola superficie
p
drenante,, si p
possono adottare le stesse soluzioni (modificando opportunamente il percorso di drenaggio). Nel caso di isocrona iniziale non uniforme (es. triangolare) indotte da p ad un abbassamento distribuzioni di carico non uniformi ((dovute ad esempio
del livello di falda), esistono apposite soluzioni grafiche e diagrammate . 2.8 0.179 5.6 0.357 57/68
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A.A. 2014/2015 Curva teorica adimensionale Um = f(Tv) Curva sperimentale dei cedimenti s(t) 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.001
0.01
0.1
1
10
Fattore di tempo, Tv
Se fossero verificate le ipotesi della teoria della consolidazione, le curve sperimentali cedimento ‐ tempo della prova edometrica dovrebbero essere eguali (per qulsiasi carico o terreno), a meno di fattori di scala, alle curve teoriche Um= s(t)/sf ‫ ן‬s(t),; Tv =cVt/H2 ‫ ן‬t
adimensionali Um = f(Tv)
I fattori di scala, caratteristici del terreno (cV, H e sf), si trovano sperimentalmente. In realtà l’accordo è accettabile per gradi di consolidazione inferiori al 60% (per valori superiori
(p
p
la curva teorica tende ad un asintoto orizzontale,, q
quella reale ad un asintoto obliquo a causa della consolidazione secondaria) 58/68
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A.A. 2014/2015 DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI cV Per applicare
l
l soluzione
la
l
d ll
dell’equazione
d ff
differenziale
l della
d ll consolidazione ld
mondimensionale e determinare quindi l’evoluzione nel tempo dei cedimenti e/o delle sovrappressioni interstiziali (grado di consolidazione) di uno strato di te e o coesivo,
terreno
oe i o occorre
o o e conoscere: o o ee
⌦ le caratteristiche geometriche dello strato (spessore dello strato) ⌦ l’isocrona iniziale delle sovrappressioni (legata al carico applicato) ⌦ le condizioni di drenaggio (percorso massimo di drenaggio, H) ⌦ le caratteristiche di permeabilità e compressibilità del terreno ( i t ti t dal
(sintetizzate
d l coefficiente
ffi i t di consolidazione
lid i
verticale,
ti l cv) )
⌦ il cedimento finale di consolidazione primaria (parametri di compressibilità del terreno) Il coefficiente di consolidazione verticale, cV, si può determinare in laboratorio a p
partire dai risultati della p
prova edometrica 59/68
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A.A. 2014/2015 DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI cV I valori dell’altezza del provino osservati nel tempo durante ciascun gradino di carico applicato durante la prova edometrica sono generalmente diagrammati
g
secondo due modalità: ⌦ in funzione del logaritmo del tempo ⌦ in funzione della radice q
quadrata del tempo p
Dai diagrammi
g
così ottenuti è possibile
p
determinare,, relativamente a ciascuno dei gradini di carico applicati, il coefficiente di consolidazione, cv, mediante procedure che consistono nel sovrapporre e far coincidere la curva teorica adimensionale Um=f(Tv), parabolica, con la curva sperimentale cedimento‐ tempo (limitatamente al 60% della consolidazione primaria) allo scopo di determinare i fattori di scala e tra questi, noti H e sf, il valore di cV. 60/68
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A.A. 2014/2015 DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI cV
Metodo di Casagrande
diagramma 2H ‐ t(log)
1) Si
1)
Si determina ll’altezza
altezza del provin
2Hi, all’inizio della consolidazione (Um= 0%). Ricordando che (Terzaghi) per Um≤ 60% la relazione teorica cedimenti‐tempo è di tipo parabolico,
b li
se sii considerano id
due istanti, t1 e t2, e i relativi cedimenti, s(t1), punto R, e s(t2), punto E,
E tali che Um< 60% e che che
t2= 4 t1, vale la relazione: S(t 1 )
S(
t1
=
t2
S(t 2 )
1
S(t1) = ‫ڄ‬S(t 2 )
2
P R T E (lo )
(log) si traccia la retta orizzontale per E fino a trovare T, si ribalta sopra la curva il segmento
eg e o verticale
e i a e RT fino
i o a trovare
o a e iil punto P, la cui ordinata misura l’altezza iniziale 2 Hi
61/68
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A.A. 2014/2015 DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI cV 2. Si determina l’altezza del provino 2Hf , alla fine della provino, della
consolidazione primaria (Um= 100%) (intersezione B,
(intersezione,
B tra la tg al tg al
tratto finale, BC e la tg nel punto di flesso, FB) 3 Si determina
3. Si
dete i a l’altezza
l’alte a del del
provino a metà della consolidazione primaria, 2H50 (Um = 50%). 50%)
2H50 = (2Hi + 2Hf)/2 F B CONSOLIDAZIONE SECONDARIA 4. Si
4.
Si determina il valore di di
Tv v
corrispondente a Um = 50%, (p. es. dalla relazione di Terzaghi Tv =0.197). 5 Si determina
5. Si
d t
i il valore
l
di Cv corrispondente: i
d t
CONSOLIDAZIONE PRIMARIA cv =
H 250‫ڄ‬0.197
C (log) t 50
62/68
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A.A. 2014/2015 DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI cV Metodo di Taylor y
diagramma
g
2H‐√t E
E 1. Si traccia la retta interpolante i punti iniziali (corrispondenti a Um < 60%) %
ricordando che per Um≤
60% la relazione cedimenti‐tempo teorica è di tipo
i parabolico
b li (Terzaghi) e
(T
hi) quindi i di
lineare se riportata in termini di √t 2. Si
2
Si determina ll’altezza
altezza del provino, provino
2Hi, all’inizio della consolidazione primaria (Um= 0%) D prolungando
l
d la
l retta
tt interpolante
i t
l t fino fi
ad incontrare l’asse delle ordinate, nel punto E O 63/68
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A.A. 2014/2015 DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI cV 3. Si disegna la retta con ascisse i
incrementate
t t del
d l 15% rispetto
i
tt a quella ll
interpolante t90 (C) è 1.15 volte il valore dell’ascissa
dell
ascissa corrispondente alla stessa stessa
ordinata sulla curva teorica, ovvero sulla retta interpolante (B) i dati sperimentali per Um<60% <60%
E 2 Hi 2 H90 2 H
90
4. Dallʹintersezione della retta ad ascisse incrementate con la curva sperimentale (punto C) si ricava t90 e, sull’asse delle ordinate, l’altezza 2H90 corrispondente 2 Hf 5. Si determina l’altezza del provino, 2Hf, alla fine della consolidazione (Um= 100%) 10
2H f =
9
‫ ڄ‬2H
90
O 64/68
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A.A. 2014/2015 DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI cV 6. Si determina
6
d
i
il valore
l
di Tv corrispondente a Um = 90% (p. es. dalla tabella Tv = 0.848). E 2 Hi 7. Si determina il valore di Cv corrispondente: cv =
2 H90 2 H
90
H 290 ‫ڄ‬0.848
t 90
2 Hf O 65/68
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A.A. 2014/2015 DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI cV V l i tipici di
Valori
ti i i di cV (per
(
t
terreni
i da
d limi
li i argillosi
ill i ad
d argille):
ill ) 10‐
10 6 ÷ 10‐
10 9 m2/s /
N.B.
N
B Avendo
A endo ricavato
rica ato cV ed mv dalla prova
pro a edometrica è possibile ottenere una una
stima del coefficiente di permeabilità k del terreno: k=cc
k
γ w ‫ڄ‬mv
v ‫ڄ‬γ
Se le ipotesi di Terzaghi fossero verificate (k e mv costanti) si otterrebbe lo stesso valore di cv p
per tutti i g
gradini di carico applicati
pp
al p
provino. In realtà per ciascun gradino si ottiene un valore diverso ֜ si assume come valore più rappresentativo quello corrispondente al gradino di carico entro cui ricade il livello tensionale medio (iniziale e finale) presente nel terreno in sito. 66/68
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A.A. 2014/2015 LIMITI DELLA TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE La teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi non è in grado di rappresentare il reale comportamento dei terreni per diversi motivi: motivi:
il legame tensioni deformazioni è marcatamente non lineare la permeabilità del terreno varia nel tempo, durante il processo di consolidazione,
lid i
perché
hé diminuisce
di i i
l’i di dei
l’indice
d i vuoti ti
è trascurata la componente viscosa delle deformazioni Per p
poter utilizzare la soluzione di Terzaghi per
g p interpretare
p
la p
prova edometrica, si ipotizza che il terreno abbia comportamento lineare e permeabilità costante nell’ambito di ogni gradino di carico, e che le deformazioni viscose abbiano inizio solo quando la consolidazione edometrica è in gran parte esaurita Inoltre, in sito, lo schema di carico e di vincolo geometrico considerato (strati orizzontali carico uniforme e infinitamente esteso,
orizzontali,
esteso deformazioni e flusso solo solo
verticali) non sempre è verificato (ad es. l’area di carico è di dimensioni piccole rispetto allo spessore dello strato compressibile), per cui l’incremento di tensione ∆σ
tensione ∆σv non è costante con la profondità e si possono avere avere
deformazioni di taglio a volume costante a breve termine e filtrazione anche orizzontale.
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A.A. 2014/2015 CONSOLIDAZIONE SECONDARIA La consolidazione secondaria è conseguente alle deformazioni viscose dello scheletro solido,
solido che avvengono prevalentemente al
prevalentemente al termine della della
consolidazione primaria (quindi a tensione efficace costante) e sono rappresentate, nella curva sperimentale cedimenti‐tempo, dall’asintoto obliquo. obliquo
La pendenza dell’asintoto inclinato nel piano semilogaritmico e‐logt, è detto indice di compressione secondaria: ∆e
Cα
=
∆log t
Terreno
T
Argille tenere organiche
Argille tenere inorganiche
S bbi
Sabbie
Cα/C
C
/Cc
0,05 ± 0,01
0,04 ± 0,01
d 00,015
da
015 a 0,03
0 03
N.B. Lo stesso indice può anche essere definito sul piano εv‐logt:
∆εv C α
=
C αε=
C ∆log t 1+e 0 68/68
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