Combinazioni di lenti
Le proprietà della lente sottile sono fondamentali per la comprensione di
sistemi ottici rifrattivi anche complessi.
Oggi il calcolo di tali sistemi si effettua con complessi ed efficacissimi
sistemi di tracciamento di raggi che operano sui moderni PC (li
tratteremo in seguito).
E’ tuttavia fondamentale comprendere sia pure a grandi linee il
funzionamento di essi basandoci sulle nozioni della lente singola sottile.
Vediamo ora la combinazione di due lenti sottili.
Si abbiano L1 ed L2 separate da una distanza d piccola rispetto alle
distanze focali di entrambe.
L’immagine risultante può costruirsi graficamente. Trascuriamo per il
momento L2. L1 forma un’immagine che si può trovare con i raggi 1 e 3.
Tali raggi passano per i fuochi immagine ed oggetto di L1: Fi1 e Fo1.
Siccome l’oggetto è perpendicolare all’asse, l’intersezione di tali raggi
determina il punto estremo dell’immagine P1’ e l’asse ottico l’altro punto
Ora da P1’ si tracci indietro il raggio 2 passante per O2. L’inserimento
della lente L2 non ha alcun effetto sul raggio 2 mentre il raggio 3 è da
essa portato a passare per il suo fuoco immagine Fi2. L’intersezione dei
raggi 2 e 3 determina la posizione dell’immagine: in questo caso reale ,
rimpicciolita ed invertita.
Un altro caso è dato in figura in cui la distanza tra le due lenti è
aumentata.
Nuovamente i raggi 1 e 3 passanti per Fi1 e Fo1 determinano la posizione
dell’immagine formata dalla sola L1. Si tracci indietro il raggio da O2 e
passante per P1’ fino a S1. L’intersezione del raggio 2 e del raggio 3
portato dalla seconda lente L2 sul suo fuoco Fi2 determinano l’immagine
finale P1. In questo caso reale e diritta.
Si noti che se la lunghezza focale di L2 viene aumentata, tutto il resto
eguale l’immagine si ingrandisce.
Si ha:
so1 f1
1
1 1
 
 si1 
si1 f1 so1
so1  f1
Questo è positivo e l’immagine intermedia è a destra di L1 se so1 > f1 e
f1> 0. Per L2 : so2 = d – si1 e se d > si1 l’oggetto per L2 è reale, mentre se
d < si1 è virtuale. Nel primo caso i raggi che arrivano su L2 sono
divergenti da P1’ mentre nel secondo sono convergenti verso esso.
Inoltre:
s f
1
1
1
 
 si 2  o 2 2
si 2 f 2 so 2
so 2  f 2
Sostituendo si ha:
(d  si1 ) f 2
si 2 
(d  si1  f 2 )
Nello stesso modo si può calcolare il risultato per un numero di lenti
qualunque. Sostituendo ora si1 si ha:
f 2 d  f 2 so1 f1 /( so1  f1 )
si 2 
d  f 2  so1 f1 /( so1  f1 )
Qui so1 e si2 sono le distanze dell’oggetto e dell’immagine del sistema
composto.
Considerando ora che L2 “ingrandisce” l’immagine intermedia formata
da L1 l’ingrandimento totale del sistema è il prodotto degli ingrandimenti
di ciascuna lente: MT = MT1 MT2. Con un calcolo semplice si vede che:
f1si 2
MT 
d ( so1  f1 )  so1 f1
Casi particolari significativi di due lenti sono: d = f1 + f2 : fasci paralleli
che entrano il sistema da ciascun lato escono paralleli: le due lenti sono
confocali.
d→0 e cioè le due lenti sono a contatto: la lente sottile risultante ha una
lunghezza focale effettiva:
1/f = 1/f1 + 1/f2
Se N lenti sono poste a contatto: 1/f = 1/f1 +1/f2 + … +1/fN purché siano
rispettate le condizioni di lenti sottili!
Specchi sferici
La trattazione degli specchi sferici segue lo stesso metodo utilizzato per i
diottri sferici e le lenti sottili. L’equazione che regola le proprietà ottiche
dello specchio sferico si ricava con l’aiuto della figura.
Siccome θi= θr CA è la bisettrice
dell’angolo SAP per cui divide il lato
SP del triangolo SAP in parti
proporzionali agli altri due lati. Per cui:
SC/SA = CP/PA. Inoltre:
SC = so ‫׀‬R‫ ׀‬e CP = ‫׀‬R‫ – ׀‬si; so ed si essendo a
sinistra sono positive. Usando la stessa
convenzione dei segni che per il diottro
sferico R è negativo perché C è a
sinistra di V. Per cui ‫׀‬R‫ = ׀‬- R e: SC = so
+ R; CP = -(si + R). Limitandoci alle
condizioni parassiali SA ~ so, PA ~ si
e l’equazione diventa:
so  R
si  R
1 1
2


 
so
si
so si
R
che è la formula dello specchio sferico. Essa si applica sia per specchi
concavi (R<0) che convessi (R>0).
Come per le lenti il fuoco oggetto è definito:
lim so  f
o
e quello immagine:
si  
lim si  f
i
per cui
so  
1 1 1 1
2
   
 fo  fi  R / 2
fo   fi
R
ed infine:
1 1 1
 
s o si
f
f è positivo per specchi concavi (R<0)
negativo per specchi convessi (R>0).
Le proprietà ottiche di uno specchio sferico assomigliano molto a quelle
delle lenti sottili: entro la limitazione parassiale fasci di raggi paralleli di
varia inclinazione rispetto all’asse ottico sono focalizzati su un punto del
piano focale, piano perpendicolare all’asse ottico per F.
Similmente un oggetto piano perpendicolare all’asse ottico sarà
immaginato in un simile piano: ogni punto di esso avrà un
corrispondente punto immagine. Questo è vero per uno specchio piano e
solo approssimativamente per uno specchio sferico. In questo caso se lo
specchio lavora a piccola apertura le onde riflesse provenienti da ogni
punto dell’oggetto saranno sferiche con buona approssimazione. In
queste condizioni si ha la formazione di buone immagini di oggetti
estesi.
Nel caso degli specchi il punto immagine si trova su una retta partente
dal punto stesso e passante per il centro di curvatura C (nelle lenti era il
centro O della lente). La posizione dell’immagine si determina in modo
simile alle lenti. La parte superiore dell’immagine si colloca
all’intersezione di due raggi: uno che parte parallelo all’asse ottico ed è
riflesso passante per F, e l’altro che passa indeviato per C.
E’ facile da disegnare anche
il raggio che parte da
ciascun punto oggetto, cade
in V e viene riflesso con lo
stesso angolo. Lo stesso
anche per il raggio che
passa per il fuoco ed è
riflesso parallelo all’asse.
Nella figura precedente i triangoli S1S2V e P1P2V sono simili: i loro lati
proporzionali. Prendendo yi negativo perché sta sotto l’asse ottico si ha:
yi/yo = - si/so = MT l’ingrandimento trasversale.
L’unica grandezza che contiene la particolarità dell’elemento ottico (n,R)
è f e quindi differisce tra specchio sferico e lente. Tutte le altre
espressioni che legano so, si ed f o yo, yi e MT sono eguali. La tabella
mostra la convenzione per i segni dello specchio sferico: si a sinistra di V
è ora positivo (differenza con la lente).
Le proprietà di formazione delle immagini riassunte in Tabella sono
mostrate in figura.
Specchi piani
Per uso domestico essi sono costruiti con lo strato riflettente dietro la
superficie di una lastra piana per protezione. Gli specchi per impiego
tecnico-scientifico sono invece tutti ricoperti sulla faccia anteriore.
Con le nozioni precedenti è facile
stabilire le proprietà di formazione
delle immagini di uno specchio
piano. Si vede che ‫׀‬si‫׀ =׀‬so‫׀‬cioè
oggetto S ed immagine P sono
equidistanti dalla superficie. Si ha
che θi= θr; ma θi+θr è angolo
esterno al triangolo SPA. Ma
l’angolo in S di VSA è pure θi per
cui anche l’angolo in P di APV è θi
Ne risulta che i due triangoli VSA
e VPA sono eguali.
Per quanto riguarda la convenzione dei segni bisogna notare che ora
l’immagine virtuale è a destra della superficie. L’osservatore vede P
come posto dietro lo specchio: i raggi da P sono chiaramente divergenti e
l’immagine è virtuale. Ricordando la convenzione per gli specchi ora so è
positivo ed si è negativo. In questo caso l’ingrandimento trasversale
MT= +1 e cioè l’immagine ha la stessa grandezza dell’oggetto ed è
virtuale e diritta.
Dalla figura precedente si vede che un oggetto esteso a distanza (in
perpendicolare) si dallo specchio viene immaginato punto a punto alla
stessa distanza dietro. Ricordando la formazione dell’immagine della
lente sottile (ad es. di una mano) si vedono le differenze: la lente forma
l’immagine di una mano (sinistra) magari distorta perché MT ≠ ML ma
ancora sinistra ruotata attorno all’asse ottico di 180o. Invece lo specchio
forma l’immagine della mano
sinistra
come
destra:
il
cambiamento di un sistema di
coordinate cartesiane destrorso in
sinistrorso prende il nome di
inversione.
Nel caso di più specchi piani si
possono avere sistemi con
numero pari o dispari di
inversioni: nel caso pari un
sistema
destrorso
rimane
destrorso mentre nel caso
dispari diventa sinistrorso.
Vi sono molti sistemi che utilizzano specchi piani rotanti: deflettori di
fascio, rotatori d’immagine ecc. Inoltre specchi piani sono utilizzati per
esaltare piccole rotazioni di alcuni strumenti come ad es. galvanometri o
bilance a torsione. Dalla figura si vede che se lo specchio ruota
dell’angolo α il raggio riflesso (o l’immagine) ruota di 2α.