Route Map ► Ripasso Lezione 2. Economia dell’ dell’azienda in rete Lezione 3: Teoria dei giochi ► Definizioni ► Giochi in forma normale ► Concetti di equilibrio ► Giochi in forma estesa ► Sottogiochi ed equilibrio perfetto nei sottogiochi ► Equilibrio undercut-proof Corso di Laurea in Informatica (DM 509) Docente: Annamaria Fiore A.A. 2009/2010 Lezione 3 Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore Nota 2 Teoria dei giochi ►La teoria dei giochi è una teoria matematica che analizza situazioni conflittuali (giochi), in cui due o più decisori (giocatori) interagiscono, controllando una o più variabili che influiscono non solo sul loro benessere/profitto, ma anche su quello degli altri, determinando congiuntamente il risultato dell’interazione. ►Il materiale presentato in questa lezione è basato sul testo di Oz Shy, The Economics of Network Industries , Cambridge University Press, in particolare: Appendice A Appendice B Appendice C. ► Scopo: prescrivere che cosa ogni giocatore dovrebbe fare, al fine di trarre il massimo beneficio dalla propria (parziale) influenza sul gioco. ► J. Von Neumann e O. Morgenstern, Teoria dei giochi e comportamento economico, 1944. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 3 Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore Utilità della teoria dei giochi 4 Classificazione dei giochi ►Si distringuono: • giochi cooperativi: cooperativi sono fattibili accordi vincolanti fra i giocatori; • giochi non cooperativi: cooperativi o gli accordi sono fattibili solo per certi sottoinsiemi di giocatori (coalizioni ammissibili) o ogni giocatore agisce in modo autonomo. ►La teoria dei giochi è particolarmente utile quando il numero dei soggetti che interagiscono fra loro è non elevato. ► Per questo, la teoria dei giochi è stata soprattutto applicata all’analisi di settori composti da un numero limitato di imprese – i.e., oligopolio. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore • Giochi oneone-shot: shot l’interazione fra i giocatori avviene una sola volta; • giochi ripetuti: ripetuti vi è un’interazione fra i giocatori ripetuta nel tempo, un numero finito (giochi finiti) o infinito (giochi infiniti) di volte. 5 ►In questo corso, ci occuperemo solo di giochi non cooperativi Ec. azienda in rete - Annamaria 6 e one-shot. Fiore 1 Rappresentazione giochi non cooperativi Importanza dell’informazione ►I giochi non cooperativi possono essere rappresentati: • in forma normale: normale tutti i giocatori agiscono simultaneamente (giochi statici); • in forma estesa: estesa i giocatori possono agire anche in diversi momenti del tempo (giochi dinamici). ► Generalmente, si suppone che i giocatori conoscano del gioco: • struttura; • regole; • pay-off. ►Inoltre, i giocatori possono optare per due tipi di azioni: • azioni pure: pure quando giocano una singola azione dal loro spazio delle azioni possibili; • azioni miste: miste quando assegnano una distribuzione di probabilità a ciascuna azione contenuta nello spazio delle azioni possibili. ► Inoltre, i giochi esaminati sono giochi con informazione perfetta, perfetta ossia i giocatori conoscono la storia del gioco, i.e., ogni giocatore conosce tutta l’informazione riguardante le azioni scelte precedentmente dagli altri giocatori. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 7 Gioco in forma normale: definizione (1/2) Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 8 Gioco in forma normale: definizione (2/2) (b) Ogni giocatore i, con i ℮ I, ha uno spazio delle azioni Ai, che è l’insieme di tutte le ki azioni possibili per il giocatore i. ai ℮ Ai denota una particolare azione scelta dal giocatore i, Ai ≡ {a1i, a2i, …, akii}. ► Un gioco in forma normale si compone necessariamente di tre elementi: • giocatori; • spazio delle azioni; • funzione dei pay-off. Si definisca con a ≡ (a1, a2, …, aN) la lista delle azioni scelte da ciascun giocatore. Questa lista di azioni scelte da ciascun giocatore costituisce un risultato del gioco. gioco (a) Un insieme di N giocatori definito nello spazio I ≡ {1, 2, …, N}. (c) Ogni giocatore ha una funzione di payoff, payoff πi, la quale assegna un numero reale ,πi(a), ad ogni risultato del gioco. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 9 Alcune precisazioni 10 Esempio 1 ► E’ importante: • distinguere fra lo spazio delle azioni Ai – ossia, l’insieme delle azioni possibili per un particolare giocatore i ex ante, ed un risultato del gioco a, che è la lista delle azioni scelte effettivamente da tutti i giocatori ex post; • notare che la notazione fra parentesi graffe è usata quando l’elenco degli elementi è irrilevante, mentre la notazione fra parentesi tonde quando l’ordine è rilevante; • notare che, mentre per i giochi in forma normale usare il termine strategia o azione è indifferente, ciò non sarà vero nella trattazione dei giochi in forma estesa. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 11 ►In questo gioco, noto in letteratura anche come “dilemma del prigioniero”, vi sono: • i giocatori: due imprese (mercato di oligopolio o, rectius, un duopolio); • ogni impresa ha due azioni possibili: aumentare o ridurre la produzione da offrire sul mercato; • i pay-off conseguibili dalle due imprese in corrispondenza di ogni coppia di strategie sono profitti. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 12 2 Rappresentazione in forma matriciale Azioni, risultati e payoff ►Se entrambe le imprese scelgono di aumentare la produzione, l’offerta complessiva aumenta, il prezzo diminuisce ed entrambe conseguono un profitto pari ad 1. ► Se entrambe le imprese scelgono di restringere la produzione, l’offerta complessiva diminuisce, il prezzo aumenta ed il profitto complessivo è pari a 4, ossia 2 per ciascuna. ► Ognuna delle due imprese ottiene il profitto maggiore di 3, se sceglie di aumentare la produzione, mentre l’altra la riduce, in modo tale che l’offerta complessiva non aumenti così tanto da far abbassare troppo il prezzo. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore Impresa B Impresa A Aumentare Restringere Aumentare 1; 1 3; 0 Restringere 0; 3 2; 2 ► Verificare che la matrice contiene tutti gli elementi necessari per definire un gioco in forma normale 13 Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 14 Azione dominante Concetti di equilibrio ►Scopo: prescrivere che cosa ogni giocatore dovrebbe fare, al fine di trarre il massimo beneficio dalla propria (parziale) influenza sul gioco. ► Per fare previsioni sul gioco, è necessario fare riferimento a dei concetti di equilibrio. equilibrio ►Una particolare azione ãi ℮ Ai è detta azione dominante per il giocatore i, se, qualunque sia l’azione scelta da tutti gli altri giocatori, scegliere di giocare l’azione ãi permette al giocatore i di massimizzare sempre il proprio payoff. ► E’ necessario quindi sviluppare metodologie e definire algoritmi che permettono di restringere l’insieme dei possibili risultati del gioco in modo da pervenire ai risultati di equilibrio. ► Un risultato del gioco ã ≡ (ã1, ã2, …, ãN) è detto equilibrio in azioni dominanti se ãi è un’azione dominante per ogni giocatore i. ►E’ importante anche che i risultati di equilibrio soddisfino delle proprietà desiderabili, e.g., unicità dell’equilibrio. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 15 Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore Equilibrio in azioni dominanti ► Il gioco rappresentato è un gioco simmetrico. Esempio 2 ►Non sempre un equilibrio in azioni dominanti esiste. Impresa B Aumentare Impresa A Restringere Aumentare Restringere 1; 1 3; 0 0; 3 Impresa B Impresa A 2; 2 ► Sia l’impresa A, sia l’impresa B hanno un’azione dominante da scegliere: Aumentare. Quindi, il risultato (aA, aB) = (Aumentare, Aumentare) è l’equilibrio in azioni dominanti di questo gioco. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 16 Standard α Standard β Standard α 2; 1 0; 0 Standard β 0; 0 1; 2 ►In letteratura, il gioco di coordinazione rappresentato è noto come “battaglia dei sessi”. 17 Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 18 3 Equilibrio di Nash Equilibrio in azioni dominanti ed equlibrio di Nash ► Un risultato del gioco â ≡ (â 1, â2, …, â N) è detto equilibrio di Nash se nessun giocatore trova profittevole deviare, a condizione che tutti gli altri giocatori non deviino dalla strategia giocata nell’equilibrio di Nash. ► Un equilibrio in azioni dominanti è anche un equlibrio di Nash, ma non vale il viceversa, i.e., un equilibrio di Nash non necessariamente è un equilibrio in azioni dominanti. ► L’equilibrio di Nash è self-enforcing o ad attuazione spontanea, i.e., fintanto che gli altri seguono le raccomandazioni prescritte in equilibrio, non è nell’interesse di alcuno deviare da quelle. ► Si è in presenza di un equilibrio di Nash oqniqualvolta nessun giocatore può beneficiare da una deviazione unilaterale da un dato risultato. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 19 ► Purtroppo, non solo l’equilibrio di Nash non sempre è unico, riducendone così il potere predittivo, ma anch’esso non sempre esiste. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 20 Funzioni di risposta ottima Esempio 3 ►In un gioco con 2 giocatori, la funzione di risposta ottima del giocatore i è la funzione Ri(aj) che, per ogni data azione aj del giocatore j, assegna un’azione ai = Ri(aj) che massimizza il payoff del giocatore i πi(ai, aj). ► Per definizione, ogni giocatore, in un equilibrio di Nash, si trova sulla sua funzione di risposta ottima. ►Non sempre un equilibrio di Nash esiste, perlomeno in azioni pure. Impresa B Impresa A ► Infatti, nell’esempio 2, ci sono due equilibri di Nash, ma nessun equilibrio in azioni dominanti. Standard α Standard β Standard α 2; 0 0; 2 Standard β 0; 1 1; 0 ►In un equilibrio di Nash, ogni giocatore sceglie un’azione che è una risposta ottima alle azioni scelte dagli altri giocatori in un equilibrio di Nash. ► Quindi, in un equilibrio di Nash, le strategie dei giocatori sono reciprocamente risposte ottime. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 21 22 Gioco in forma estesa: definizione Gioco in forma estesa ►In un gioco in forma estesa i giocatori possono muovere in stadi differenti del gioco e possono giocare anche più di una volta. ► Un gioco in forma estesa è: ► I giochi in forma estesa sono rappresentati da un grafo ad albero con un nodo decisionale iniziale, altri nodi decisionali e dei nodi finali. ► Diversi rami congiungono i diversi nodi decisionali. ►Ogni nodo decisionale descrive le azioni disponibili per il relativo giocatore in quel particolare nodo. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 23 (a)Un grafo ad albero contenente un nodo iniziale, alcuni nodi decisionali, nodi finali e rami congiungenti ogni nodo decisionale con i nodi successivi. (b) Un insieme di N ≥ 1 giocatori, giocatori indicizzato con i = 1, 2, …, N. (c) Per ogni nodo decisionale, il nome del giocatore che può effettuare la mossa. (d) Per ogni giocatore i, la specificazione dell’insieme delle azioni in ogni nodo decisionale in cui i può giocare. (e) La specificazione del payoff per ogni giocatore ad ogni nodo terminale. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 24 4 Descrizione del gioco Esempio ►Il gioco rappresentato ha due stadi. I (muove A) Entra ► Nello stadio 1, l’impresa A decide se entrare (sopportando un costo irrecuperabile di 1) o meno. Non Entra IIE (muove B) Resta ► Nello stadio 2, l’impresa B già sul mercato può ritrovarsi o a dover concorrere con l’impresa A (nodo IIE), o a mantenere il suo potere monopolistico (nodo IIN). πA = -2 πB = -2 IIN (muove B) Esce Resta πA = 3 πA = Esce πA = 0 0 πB = -1 πB = 3 πB = -1 ► In ognuno di questi nodi, l’impresa B ha uno specifico insieme delle azioni. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 25 Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore Strategie in un gioco in forma estesa 26 Risultati in un gioco in forma estesa ► Nei giochi in forma estesa, un giocatore può essere chiamato a scegliere un’azione per più di una volta, ed ogni volta il giocatore deve scegliere un’azione dall’insieme di azioni disponibili in quel particolare nodo. ► Nei giochi in forma estesa, il risultato per un gioco è la lista di tutte le azioni prese da ogni giocatore in ogni possibile nodo in cui il giocatore ha diritto di effettuare una mossa. ► Una strategia per il giocatore i (indicata con si) è un piano completo di azioni, un’azione per ogni nodo decisionale in cui il giocatore può effettuare una mossa. ► Importante: la strategia non è ciò che il giocatore effettivamente fa in ogni singolo nodo, ma una lista di ciò che il giocatore fa in ogni nodo in cui può effettuare la mossa. Ec. azienda in rete - Annamaria 27 Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore Fiore Rappresentazione in forma normale di un gioco in forma estesa Rappresentazione in forma normale ►Dopo aver definito un gioco in forma estesa, ciò che interessa è fare alcune predizioni sul gioco, i.e., cercare un equilibrio per quel gioco. ►In molti casi, può essere utile trasformare un un gioco in forma estesa in un gioco rappresentato in forma normale (operazione che, tuttavia, non sempre è possibile fare). Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 29 Impresa B Impresa A ►L’equilibrio più naturale da cercare è un equilibrio di Nash, Nash ossia un equilibrio in strategie in cui ogni giocatore non può aumentare il proprio payoff per mezzo di una deviazione unilaterale dalla strategia giocata in un equilibrio di Nash dato. 28 Entra No (Resta, Resta) (Resta, Esce) -2; -2 -2; -2 (Esce, Resta) 3; -1 (Esce, Esce) 3; -1 0; 3 0; 3 0; -1 0; -1 ►In questo gioco, vi sono 3 equilibri di Nash, il che riduce di molto il suo potere predittivo. ► Per questo, si introducono dei raffinamenti dell’ dell’equilibrio di Nash: Nash concetto di equilibrio che restringe l’insieme degli equilibri di Nash. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 30 5 Limitazioni equilibrio di Nash ►Raffinamenti: questi concetti di equilibrio soddisfano tutte le condizioni per un equilibrio di Nash, oltre ad ulteriori restrizioni. ►Permettono quindi di eliminare alcuni equilibri di Nash “non desiderabili”. ►L’equilibrio di Nash, infatti, a volte è “limitato”, poiché non riesce a catturare l’abilità da parte dei giocatori di anticipare le mosse degli altri. ►Infatti, alcune mosse da parte di alcuni giocatori sono minacce non credibili, nel senso che non verrebbero comunque attuate in risposta all’azione dell’altro giocatore. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore -2 πB = -2 ►Un gioco è chiamato sottogioco proprio se differisce dal gioco originale. ► Un risultato è detto equilibrio perfetto nei sottogiochi se induce un equilibrio di Nash in ogni sottogioco del gioco originale o, alternativamente, un equilibrio di Nash è perfetto nei sottogiochi se le strategie dei giocatori costituiscono un equilibrio di Nash in ogni sottogioco. 31 Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 32 Soluzione - 2 I (muove A) ► Il gioco proposto ha due sottogiochi propri. Entra Resta ►Un sottogioco è un nodo decisionale del gioco originale assieme ai nodi decisionali ed ai nodi terminali che seguono direttamente tale nodo. Soluzione - 1 Non Entra IIE (muove B) πA = Sottogiochi ed equilibrio perfetto nei sottogiochi ► Ogni sottogioco proprio ha solo un EN. IIN (muove B) Esce Resta πA = 3 πA = 0 πB = -1 πB = 3 IIE (muove B) Resta Esce πA = πA = 0 πB = -1 -2 πB = -2 IIN (muove B) Esce Resta πA = 3 πA = 0 πB = -1 πB = 3 Esce πA = 0 πB = -1 ► Un equilibrio perfetto dei sottogiochi deve essere un EN in ogni sottogioco: gli altri risultati non possono, quindi, più essere considerati. ► Il risultato (Entra, (Esce, Resta)) è l’equilibrio cercato: è un EN per il gioco originale e la strategia (Esce, Resta) è associata con l’unico EN in ogni sottogioco proprio. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 33 Backward induction 34 Equilibrio undercut-proof ►La metodologia solitamente utilizzata per trovare l’equilibrio perfetto nei sottogiochi è la backward induction (induzione all’indietro): si inizia a cercare gli EN nei sottogiochi che conducono ai nodi terminali, considerando date le azioni giocate in NE giocate nei sottogiochi precedenti l’ultimo. ► Si procede così a risolvere il gioco a ritroso, giungendo al nodo iniziale e selezionando l’azione che massimizza il profitto del giocatore che muove per primo, dati gli EN di tutti i sottogiochi propri. ►Tale metodologia si rivela molto utile soprattutto nel caso di giochi molto lunghi. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 35 ►Nell’equilibrio equilibrio undercutundercut-proof ogni impresa, producente un bene differenziato, sceglie il proprio prezzo in modo da massimizzare il profitto, assicurandosi che quel prezzo sia sufficientemente basso in modo da evitare che un'impresa rivale possa trovare conveniente fissare un prezzo ancora più basso e prendere per sé tutto il mercato. ► In un equilibrio undercut-proof, ogni impresa considera le rivali “sofisticate” abbastanza da essere pronte a ridurre il loro prezzo ogniqualvolta ciò sia conveniente. L’intuizione dietro il concetto di equilibrio undercut-proof è considerarlo, in qualche modo, "a prova di riduzione del prezzo da parte del proprio concorrente". Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 36 6 Esempio Utilità dei consumatori ► Vi sia un mercato composto da due imprese A e B; ► beni differenziati: di tipo A e di tipo B; ► per semplicità di analisi, costo di produzione pari a 0; ► due gruppi di consumatori: un gruppo di consumatori “orientati al prodotto A” e un gruppo di consumatori “orientati al prodotto B”; ►i consumatori di tipo A sono ηA > 0, e i consumatori di tipo B, ηB >0; ► ogni consumatore acquista un’unità del bene o dall’impresa A o dall’impresa B; ►pA e pB i prezzi fissati dalle due imprese; ► δ ≥ 0 la disutilità che il consumatore ottiene acquistando il bene verso cui non è orientato. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 37 Distribuzione dei consumatori 0 se pB > pA + δ qB ≡ η B se pA - δ ≤ pB ≤ pA + δ ηA+ ηB se pB < pA - δ ► Il numero dei consumatori che acquistano dall’impresa A e dall’impresa B è determinato endogenamente (all’interno del modello). ► Si dimostra che in questo gioco non c’è un equilibrio di Nash-Bertrand in strategie pure. 39 -pB -δ se compra il bene di tipo B -pA -δ se compra il bene di tipo A UB ≡ -pB se compra il bene di tipo B Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 38 Undercutting ed equilibrio undercut-proof ► L’equilibrio undercut-proof è costituito da una coppia di prezzi (pUA, pUB) che soddisfa le seguenti condizioni: (a) per pUB e qUB dati, l’impresa A sceglie il prezzo più alto possibile pUA tale che: πUB= pUBq UB ≥ (pA − δ)(ηA + ηB) (b) per pUA e qU A dati, l’impresa B sceglie il prezzo più alto possibile pUB tale che: πUA = pUAq UA ≥ (pB − δ)(ηA + ηB) (c) La distribuzione dei consumatori tra le due imprese è determinati come nella slide relativa. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 40 Proprietà Prezzi di equilibrio ►In un equilibrio undercut-proof, l’impresa A fissa il prezzo più alto possibile evitando, al contempo, che l’impresa B faccia undercutting e le sottragga i clienti, ossia, evitando che il profitto di B sia più basso del profitto che B otterrebbe fissando pB < pUA – δ (=undercutting). ► Dalle due disuguaglianze che valgono come uguaglianzesi possono ottenere i prezzi di equilibrio: (η + η )(η + 2η B )δ pUA = A 2 B A > δ In questo modo, entrambe le imprese (η A ) + η Aη B + (η B ) 2 conservano una quota (η A + η B )( 2η A + η B )δ U pB = > δ di mercato positiva (η A ) 2 + η Aη B + (η B ) 2 Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore se compra il bene di tipo A ► L’impresa i fa undercutting all’impresa j, se pi ≤ pj – δ. 0 se pA > pB + δ qA ≡ η A se pB - δ ≤ pA ≤ pB + δ ηA+ ηB se pA < pB - δ Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore -pA UA ≡ 41 1. I prezzi aumentano con la disutilità (δ), mentre tendono a zero se la disutilità dall’acquistare il bene non preferito tende a zero, finché i due beni possono considerarsi omogenei. 2. In un equilibrio undercut-proof, l’impresa con la quota di mercato maggiore chiede un prezzo inferiore (“effetto supermercato”). 3. L’impresa con la quota di mercato maggiore, ottiene un profitto maggiore, anche se pratica un prezzo più basso. 4. Se le due imprese hanno la stessa quota di mercato (ηA = ηB), i prezzi praticati dalle due imprese sono uguali, pari a due volte la disutilità: pA = pB = 2δ. Ec. azienda in rete - Annamaria Fiore 42 7