ELETTRONICA DI POTENZA
Il compito dell’elettronica di potenza è quello di controllare il flusso di energia elettrica in modo da
soddisfare le specifiche di tensione e corrente richieste dal carico a partire dalla sorgente di energia
elettrica disponibile.
• Vi, fi, ni
• ii, φi
dipendono dalla sorgente di energia elettrica
dipendono dal convertitore di potenza e dal sistema di controllo
• Vo, fo, no dipendono dalla struttura del carico
• io, φo dipendono dalle caratteristiche carico
ELETTRONICA DI POTENZA
PIN - Potenza d’ingresso
- può essere fornita da una qualunque fonte di energia elettrica in continua (DC) o in alternata (AC).
- può essere identificata dalle caratteristiche della tensione d’ingresso VIN (DC, AC monofase, AC trifase).
- la corrente d’ingresso IIN ha una forma d’onda fortemente dipendente dalle caratteristiche del
convertitore e del sistema di controllo. Ciò ha influenza sulla potenza assorbita (inquinamento
elettromagnetico, inquinamento armonico).
POUT - Potenza d’uscita
- viene fornita ad un qualunque tipo di carico, anche attivo (inversione del flusso di potenza).
- dipende dalle caratteristiche del carico (DC - AC, n, f) così come la forma d’onda della corrente d’uscita
IOUT e lo sfasamento φo rispetto alla tensione d’uscita VOUT.
Sistema di controllo
- consiste di circuiti analogici e/o digitali che sintetizzano i segnali di comando per gli interruttori di
potenza in base al confronto tra i riferimenti e misure di variabili di sistema
- le variabili controllate sono in genere la tensione o la corrente d’uscita. Talvolta viene effettuato il
controllo della corrente d’ingresso (P.F.C.)
ELETTRONICA DI POTENZA
CONVERTITORE STATICO DI POTENZA
È composto da uno o più dispositivi elettronici che operano in commutazione (interruttori), da opportune
interfacce (filtri) verso la sorgente (ingresso) ed il carico (uscita), dai circuiti di pilotaggio degli interruttori e
da un eventuale trasformatore
interruttore
ideale
ELETTRONICA DI POTENZA
CONVERTITORI DI POTENZA
AC/DC
AC/AC
DC/DC
Dispositivi di potenza e applicazioni
DC/AC
CONVERTITORI LINEARI
CONVERTITORI LINEARI
Problemi
- Occorre un trasformatore di bassa frequenza
- Il BJT opera in zona lineare, si hanno grandi perdite
quindi rendimenti tra il 30% e 60%
Vantaggi
- Circuiti semplici
- Bassi EMI
CONVERTITORI SWITCHING (step-down)
CONVERTITORI SWITCHING
Problemi
- Circuiti più complessi
- EMI
Vantaggi
- Perdite ridotte, rendimento tra il 70% e 90%
- In switching mode i transistori hanno maggiore portata di potenza
che in regime lineare
- Trasformatori per alte frequenze, quindi abbiamo alimentatori
piccoli e leggeri
CONVERTITORI SWITCHING
Step–up
Step-down
con trasformatore
ad alta frequenza
In un trasformatore alimentato ad onda quadra si ha:
AN 1 =
V1
4 f BM
A=Area della sezione del nucleo
N1=spire al primario
f=frequenza di lavoro
BM=Induzione massima
Le dimensioni del trasformatore sono inversamente proporzionali alla frequenza
CONVERTITORI SWITCHING
Perdite
WON=1/2 Vi Io TON
WCOMM = WON + WOFF
PCOMM=fS WCOMM
WCOND=VON Io [TS-TON-TOFF]
PCOND=fS WCOND = VON Io
WOFF=1/2 Vi Io TOFF
DISPOSITIVI DI POTENZA
CARATTERISTICHE IDEALI
• Tensione di Breakdown elevata
• Elevata portata di corrente
• Velocità di commutazione elevata
• Basse perdite di conduzione
• Facilità di dispersione del calore
• Facilità di controllo
• Bidirezionalità in tensione
• Invarianza delle caratteristiche con la temperatura
• Basso costo
• Facilità di produzione
• Affidabilità elevata
DISPOSITIVI DI POTENZA
Inizio secolo XX
Dispositivi Elettromeccanici
Anni ’20
Introduzione dei Thyratrons (valvole a vapore di mercurio)
1948
Invenzione del Transistor
1953
Introduzione dei diodi di potenza
1956
Introduzione dei Tiristori
Produzione di diodi 1000V / 300°
1958
Introduzione dei GTO
Fine Anni ’70
Produzione BJT 800V / 200°
Inizio Anni ’80
Introduzione Power MOS
1983
Introduzione IGBT
Fine Anni ’80
Introduzione dei Circuiti Integrati di Potenza
DISPOSITIVI DI POTENZA
DISPOSITIVI A STATO SOLIDO
NON CONTROLLATI
DIODI
CONTROLLATI
CONTROLLATI
IN ACCENSIONE
TIRISTORI
SCR
CONTROLLATI
IN ACCENSIONE
E SPEGNIMENTO
TIRISTORI
GTO
TRANSISTORI
MOS
BJT
IGBT
Emitter Switching
DISPOSITIVI DI POTENZA
Dispositivi Controllati
CONVERTITORI DC-DC
Topologie di base a trasferimento d’energia induttivo
(sistemi del II° ordine)
BUCK (step down)
Vo ≤ Vd
BOOST (step up)
Vo ≥ Vd
BUCK-BOOST (step up/ step down)
│Vo│
Vd
sign(Vo) ≠ sign(Vd)
CONVERTITORI DC-DC
Topologie di base a trasferimento d’energia capacitivo
(sistemi del IV° ordine)
CUK
│Vo│
Vd
sign(Vo) ≠ sign(Vd)
SEPIC
│Vo│
Vd
ZETA
│Vo│
Vd
sign(Vo) = sign(Vd)
CONVERTITORI DC-DC
Topologie con Trasformatore
• Isolamento galvanico Ingresso-Uscita : generalmente richiesto per motivi di sicurezza; facilita inoltre la
connessione degli utilizzatori e la messa a terra.
• Rapporto spire : permette di ottimizzare il punto di lavoro dei convertitori in modo da evitare δ elevati
che implicano bassi rendimenti.
• Inversione della tensione d’uscita
• Convertitori Multiuscita
CONFIGURAZIONE
BASE
CONFIGURAZIONE
CON TRASFORMATORE
BUCK
FORWARD, PUSH-PULL, HALF BRIDGE, FULL BRIDGE
BOOST
CONV. A SORGENTE DI CORRENTE
BUCK-BOOST
FLYBACK
CUK
CUK CON TRASF.
SEPIC
SEPIC CON TRASF.
ZETA
ZETA CON TRASF.
CONVERTITORI DC-DC
Modulazione PWM
BH : AD = OH : OD
)
V∆ : Vc = Ts : TON
Vc TON
=δ
) =
Ts
V∆
CONVERTITORI DC-DC
Stati del Convertitore
a) POWERING (S ON
D OFF)
b) FREE WHEELING (S OFF
c) IDLE (S OFF
D OFF)
D ON)
CONVERTITORI DC-DC
Funzionamento continuo
CONVERTITORI DC-DC
Funzionamento limite
CONVERTITORI DC-DC
Funzionamento discontinuo
CONVERTITORI DC-DC
a) POWERING (S ON
D OFF)
0 ≤ t ≤ TON
di L
⎧
⎪⎪Vd = L dt + Vc
⎨
⎪Vc = R(i − C dVc )
L
⎪⎩
dt
⎧ di L 1
⎪⎪ dt = L ( −Vc + Vd)
⎨
⎪ dVc = 1 i − 1 Vc
L
⎪⎩ dt
C
RC
CONVERTITORI DC-DC
b) FREE WHEELING (S OFF
D ON)
TON ≤ t ≤ Ts
di L
⎧
=
+ Vc
0
L
⎪⎪
dt
⎨
⎪Vc = R(i − C dVc )
L
⎪⎩
dt
1
⎧ di L
Vc
=
−
⎪⎪ dt
L
⎨
⎪ dVc = 1 i − 1 Vc
L
⎪⎩ dt
C
RC
Modello D.C. ( X& = 0)
Corrente media sul carico
Io = I L =
δVd
R
Tensione media sul carico
Vo = δVd
• V o è funzione solo di δ;
• In funzionamento continuo il convertitore Buck può essere controllato ad anello aperto (trascurando le
variazioni di Vo e la deriva termica dei componenti)
Caratteristica d’uscita
Caratteristica di controllo
Regole per lo studio a regime dei convertitori DC/DC
• Si trascurano le perdite
• La tensione media negli induttori è nulla (in Ts)
• La corrente media nei condensatori è nulla (in Ts)
• La tensione d’ingresso è costante
• La tensione d’uscita è costante
• Gli switches sono interruttori ideali
VL = 0
(Vd − Vout)TON ( − Vout)TOFF
+
=0
Ts
Ts
Vd
TON
(T + TOFF )
− Vout ON
=0
Ts
Ts
Vd
TON
Ts
− Vout
=0
Ts
Ts
Vd δ − Vout = 0
Vout = Vd δ
Io =
R + ESR
δVd
2
R + (R + ESR)(R L + Rp)
Vo =
R(R + ESR)
δVd
2
R + (R + ESR)(RL + Rp)
Rp =
R ⋅ ESR
= R//ESR
R + ESR
Ripple di corrente sul carico
(
Vd − δVd TON δ(1 − δ)
Vd − Vo
ˆ
=
Vd
TON =
∆Io = ∆I L = I L − I L =
fsL
Ts
fsL
L
d∆∆I 1 − 2δ
Vd
=
dδ
fsL
1 − 2δ
Vd = 0
fsL
∆Io MAX =
Vd
4fsL
δ( ∆Io MAX ) = 0.5
Carico resistivo
∆Io ∆I L Vd(1 − δ)δ Vo(1 − δ)
R
=
=
=
= (1 − δ)
fsL
Io
Io
Iof s L
Iof s L
il rapporto tra il ripple di corrente e la corrente media aumenta all’aumentare di
all’aumentare di fs e di L
R
e diminuisce
Funzionamento discontinuo
Vd
Vo =
1+
2f s LIo
(Vd costante)
δ 2 Vd
• V o è funzione sia della variabile di controllo δ che del carico
Io
• In funzionamento discontinuo il convertitore Buck non può essere controllato ad anello aperto
• Per
I o = 0 , V o = Vd
qualunque sia δ. A vuoto quindi la tensione d’uscita del Buck non è controllabile
Caratteristica d’uscita
Caratteristica di controllo
Condizione di funzionamento limite
In funzionamento limite valgono sia le relazioni del funzionamento continuo che quelle del funzionamento
discontinuo
δVd =
δVd =
Vd
2f LIo
1 + 2s
δ Vd
1
2fsL Io
1−δ
1=
δVd
δ 2 Vd + 2fsL Io
1=
δVd
δVo + 2fsL Io
(1)
Dalla (1) fissata I o si determinano i valori di δ per cui si ha il funzionamento limite come intersezioni con le
caratteristiche di controllo
Ponendo:
K=
2Lfs Io
Vd
dalla (1) si ottiene:
δ2 − δ + k = 0
(2)
Fissata I o esistono tre valori di δ per cui si ha intersezione tra la curva limite e la caratteristica di controllo. Un
primo valore è δ=0 in quanto tutte le caratteristiche di controllo passano per l’origine.
Gli altri due valori sono dati dalle soluzioni dell’equazione (2):
δ=
1 ± 1 − 4k
2
kcrit =
1
4
si hanno:
a) 2 soluzioni coincidenti per
k=
1
4
Io =
1
k
<
b) 2 soluzioni distinte per
4
Io <
Vd
8fsL
1
k
>
c) nessuna soluzione per
4
Io >
Vd
8fsL
Vd
8fsL
Nel caso c) al variare di δ si ha solo funzionamento continuo
Nei casi a) e b) si ha prima un tratto a funzionamento continuo, poi un tratto (o un punto) a funzionamento
discontinuo ed infine un secondo tratto a funzionamento continuo
Corrente media sul carico
(1 − δ)δ
Vd − Vo
TON =
Vd
Iˆo =
fsL
L
(
Io = 0
(
ˆIo + I o (1 − δ)δ
Io =
=
Vd
2
2fsL
dIo 1 − 2δ
=
Vd = 0
dδ
2fsL
1 − 2δ = 0
Io =
Vd
8fsL
δ = 0.5
• Si definisce potenza di dimensionamento dell’interruttore
ˆ sIˆs
Ps = V
Ps da un idea degli oneri richiesti al dispositivo
In modo continuo si ha:
ˆIs = Iˆ = Io + ∆I L = Io + Vd δ(1 − δ)
L
2
2fsL
ˆ s = Vd = Vo
V
δ
Ps =
VoIo ⎡
Vo 1 − δ ⎤
1
+
⎢
⎥
δ ⎣ 2fsL Io δ ⎦
• Ps diminuisce all’aumentare di fs, L, δ
• Ps aumenta all’aumentare di
Io , V o
• Trascurando il ripple di corrente (L=∞) si ha:
Ps =
VoIo
δ
• In termini di Ps non conviene progettare a parità di
Ps 1
=
Po δ
Po = V o I o
convertitori Buck con basso δ
Influenza di RL sul rendimento
Po
R Io 2
R
1
η=
=
=
=
Po + PL R Io 2 + R L Io 2 R + R L 1 + α
essendo:
α = RL
R
Influenza sul rendimento delle caratteristiche non ideali di S
e
D
Vs=tensione di saturazione di S
VF=tensione di forward di D
In funzionamento continuo si ha:
VL = 0
(Vd − Vs − Vo)TON = ( Vo + VF )(Ts − TON )
Po VoIo
η=
=
=
Pd VdId
δ=
(1 − δ)(Vo + VF )
Vd − Vo − Vs
δ=
Vo + VF
Vd − Vs + VF
Vo
Vd = GuadagnoRealeDiTensione = Vo Vd − Vs + VF
δ
GuadagnoIdealDiTensione Vd Vo + VF
Il rendimento di un buck si abbassa notevolmente se la tensione d’uscita diviene comparabile con Vs e VF (≈
1÷2V)
Ripple di tensione sul carico
• Nella realtà Vo non è costante ma è costituita da una componente costante V o e da una componente
alternata a frequenza fs
• La componente alternata è a sua volta costituita da due componenti separate. La variazione di tensione
∆Vc sul condensatore ideale e la tensione VR sulla resistenza equivalente serie (ESR) del condensatore
Si fanno le seguenti ipotesi semplificative:
• La corrente sull’induttanza è formata da una componente costante
∆IL
• La componente costante
Io
I L = Io
e da una componente alternate
circolando sul carico R genera la tensione V o
• La componente alternata attraversa il condensatore C e la resistenza RESR generando il ripple ∆vo
Variazione di carica su C
∆Qc =
1 Ts ∆I L
Ts
(
)=
∆I L sostituendo ∆IL
2 2 2
8
Ripple di tensione su C
∆Vc =
∆Qc (1 - δ)δ
=
Vd
2
C
8fs LC
in modo continuo
∆Vc =
(1 - δ)
Vo
2
8fs LC
Vo = δVd
∆Qc =
Ts (1 - δ)δ
Vd
8 fsL
Ripple di tensione su RESR
∆VR = R ESR ⋅ ∆Io = R ESR
1−δ
Vo
fsL
• Il ripple di tensione ∆Vo è dato dalla componente di ∆Vc e ∆VR i quali non sono però in fase
• In via cautelativa in fase progettuale si può porre:
∆Vo = ∆Vc + ∆VR = (R ESR +
1 1−δ
)
Vo
8fsC fsL
*
Trascurando RESR si ha:
∆Vo =
1−δ
Vo
8fs 2 LC
1−δ
π2
fc 2
=
=
(1
−
δ)(
)
2
8
fs
8fs
LC
Vo
∆Vo
Ponendo:
fc =
1
π LC
frequenza di taglio del filtro LC
• Il ripple ∆Vo può essere minimizzato scegliendo fs >>fc
• In funzionamento continuo il ripple di tensione non dipende dal carico
Selezione del condensatore
La specifiche impongono a regime un ripple massimo di tensione
dalla (*) si ottiene:
rv =
∆Vo
Vo
= (R ESR +
1 1−δ
)
8fsC fsL
da cui
C>
1−δ
8r v fs 2 L − 8fs(1 − δ)R ESR
rv =
∆Vo
Vo
In caso di variazioni del carico si hanno notevoli variazioni transitorie della tensione. Esse dipendono dai
transitori energetici negli elementi reattivi quando l’interruttore rimane chiuso o aperto per un periodo
∆T>>Ts per permettere la variazione di I o in modo da mantenere V o costante
= Vd − Vo
VL = L
per
∆Io > 0
∆T =
L
Vd − Vo
∆I
L
∆I L
∆T
= −Vo
per
∆Io < 0
∆T =
L
− Vo
∆I
L
L∆I L2
LV o 2
LV oδ
=
=
2
2C (Vd − V o) 2C∆R 2 (Vd − V o) 2C∆R (1 − δ )
∆VC =
∆QC ∆T ∆I L
=
C
C 2
L∆I L2
LV o 2
LV o
=
=
2
− 2CV o − 2C∆R 2 V o − 2C∆R
∆Io < 0
∆Io > 0
C>
Lδ
2rvd ∆R 2 (1 − δ )
Lδ
2rvd ∆R 2
Essendo rvd il ripple dinamico massimo
∆Io > 0
∆Io < 0
• Precisione statica: variazione massima della tensione d’uscita al variare del carico (<1%);
• Precisione dinamica: variazione transitoria tollerabile della tensione d’uscita;
• Tempo massimo di riallineamento:
tensione d’uscita;
tempo massimo impiegato per riagganciare il riferimento della
Introducendo una variazione della VIN per il P.S.E.
⎧( x + ∆x) = ∆x = A x + b Vin + A∆x + b∆Vin
⎪
⎨
⎪
T
T
⎩y + ∆y = C x + C ∆x
Modello DC (o a regime)
⎧ 0 = A x + b V in
⎪
⎨
⎪
T
⎩y = C x
Modello AC (o dinamico)
⎧ ∆x = A∆x + b∆Vin
⎪
⎨
⎪∆
T
⎩ y = C ∆x
Funzioni di trasferimento
∆x
−1
=
(
sI
−
A
)
b
s∆x = A∆x + b∆Vin ⇒ ∆x( sI − A) = b∆Vin ⇒
∆Vin
∆y
= C T ( sI − A) −1 b
∆Vin
Si introduce una variazione di δ
δ = δ + ∆δ
⎧0 + ∆x = [(δ + ∆δ)A1 + (1 − δ − ∆δ)A2](x + ∆x) + [(δ + ∆δ)b1 + (1 − δ − ∆δ)b2](Vin + ∆Vin)
⎪
⎨
⎪
T
T
⎩y + ∆y = [(δ + ∆δ)C1 + (1 − δ − ∆δ)C2 ]( x + ∆x)
⎧∆x = A x + b Vin + A ∆x + b∆Vin + [(A1 − A2) x + (b1 − b2) Vin]∆δ
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪y + ∆y = C T x + C T ∆x + (C1 T − C2 T )x∆δ + (C1 T − C2 T )∆x∆δ
⎩
Termine stazionario (DC)
Termine dinamico dovuto a ∆Vin (AC)
Termine dinamico dovuto a ∆δ (AC)
Termine non lineare del II° ordine
• Il sistema è non lineare
+
[(A1 − A2)∆x + (b1 − b2)∆Vin)∆δ
Per linearizzare si fa l’ipotesi di piccole variazioni
∆VIN
V IN
<< 1
∆δ
δ
<< 1
∆x
x
<< 1
Modello D.C.
x = − A −1 bVin ⇒ y = C T x = −C T A −1 bVin
Modello A.C. (piccoli segnali)
⎧∆x = A∆x + b∆Vin + [( A1 − A2) x + (b1 − b2)V in]∆δ
⎪
⎨
⎪
T
T
T
⎩∆y = C ∆x + (C1 − C 2 ) x∆δ
supponendo ∆VIN=0
s∆x = A∆x + [( A1 − A2) x + (b1 − b 2)V in]∆δ
∆x
= ( sI − A) −1 [( A1 − A2) x + (b1 − b 2)V in]
∆δ
∆y
∆x
= CT
+ (C1T − C 2 T ) x = C T ( sI − A) −1 [( A1 − A2) x + (b1 − b 2)V in] + (C1T − C 2 T ) x
∆δ
∆δ
F.d.t. a δ costante
∆I L
= [1
∆ Vin
0 ]( sI − A ) −1 b = [1
⎡ sRLC+1
⎢
∆
⎢
0 ]⎢
⎢ RL
⎢
⎣ ∆
⎤⎡δ ⎤
⎥⎢ L ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎡ sRLC + 1
⎥⎢ ⎥ = ⎢
∆
⎣
sRLC ⎥ ⎢ ⎥
⎥⎢ ⎥
∆ ⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
−
RC
∆
( ∆ = s 2 RLC + sL + R )
∆VC
= [0
∆Vin
⎡ RL
1]( sI − A) −1 b= ⎢
⎣∆
⎡δ ⎤
⎢L⎥
δ R
sRLC ⎤ ⎢ ⎥
=
⎢
⎥
∆ ⎥⎦ ⎢ ⎥ s 2 RLC + sL + R
⎢ ⎥
⎣⎢0 ⎦⎥
⎡δ ⎤
⎢L⎥
δ ( sRC + 1)
RC ⎤ ⎢ ⎥
=
−
⎢
⎥
2
∆ ⎥⎦ ⎢ ⎥ s RLC + sL + R
⎢ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
F.d.t. per δ = δ + ∆δ
∆I L
= [1
∆δ
⎡1 ⎤
⎡
⎢L⎥
⎢ sRLC + L
−1 ⎢ ⎥
0]( sI − A) ⎢ ⎥V in = ⎢
∆
⎢
⎢0 ⎥
⎢
⎢ ⎥
⎣
⎣ ⎦
∆VC
= [0
∆δ
⎡1⎤
⎤⎢ ⎥
L
( sRC + 1)V in
RC ⎥⎥ ⎢ ⎥
−
⎢ ⎥V in = 2
∆ ⎥⎢ ⎥
s RLC + sL + R
0
⎥⎢ ⎥
⎦
⎣ ⎦
⎡1 ⎤
⎡
⎢L⎥
⎢ RL
−1 ⎢ ⎥
1](sI − A) ⎢ ⎥V in = ⎢
⎢∆
⎢0 ⎥
⎢
⎢ ⎥
⎣
⎣ ⎦
⎡1 ⎤
⎤⎢ ⎥
L
sRLC ⎥⎥ ⎢ ⎥
RV in
⎢ ⎥V in = 2
∆ ⎥⎢ ⎥
s RLC + sL + R
⎥ ⎢0 ⎥
⎦
⎣ ⎦
Voltage Feedforward
Per rendere il sistema indipendente dalle variazioni della tensione d’ingresso si può fare in modo di
rendere l’ampiezza della portante triangolare proporzionale alla tensione d’ingresso
ˆ = K Vin
V
∆
∆
Dinamica del modulatore PWM
Il duty cycle si adegua alle variazioni del segnale di riferimento con un ritardo finito, che, al più è pari ad un
periodo della portante a dente di sega Ts
V∆ =
Vin
V
Vc
Vc
Vc
1
Vin e − sTs ≈
Vin (1 − sTs) ≈
Vin
⇒ ∆ =
1 + sTs
Vc Vˆ∆ (1 + sTs)
Vˆ∆
Vˆ∆
Vˆ∆
Infatti sviluppando in serie ed arrestandosi al II° termine
Per
Ts → 0
1
1 − sTs ≈
(1 + sTs )
e-sTs ≈ 1-sTs
Funzione di trasferimento ad anello aperto
• Con il controllo di corrente si elimina un polo nella F.d.t. ad anello aperto e si limitano i picchi di corrente
Tenendo conto del ritardo finito introdotto dalla modulazione
Vc
1
Iˆ L =
K TC 1 + s ⋅ Ts
Inoltre:
Vout =
R
IL
1 + sRC
Iˆ L = I L + ∆I L
dToff= -dTon
iL
Ton
Ton
Toff
Toff
Iout
Iout
dIout
Iout
dIout
t
Ts
Affinché la perturbazione non si amplifichi deve essere:
(
(
dI out > dI ' out ⇒
Vout
< 1 ⇒ δ < 1 − δ ⇒ δ ≤ 0.5
Vin − Vout
si aggiunge al segnale di feedback della corrente un segnale a rampa
It
t
Ts
il segnale di controllo vedrà quindi variare la corrente con le seguenti derivate:
Vin − Vout ∆It
+
L
Ts
−
la condizione per cui
(
(
dI out > dI ' out
diviene
∆It >
Vout
2 fsL
Vout ∆It
+
L
Ts
per t < ton
per ton < t < toff