
mm
F  G 1 2 2 rˆ
r

g=9.8 m/s2
P  mg ˆj


Fas  μ as N


Fad  μ ad N


Fav   γv
FORZA GRAVITAZIONALE:
FORZA PESO:
FORZA D’ATTRITO STATICO:
FORZA D’ATTRITO DINAMICO:
FORZA D’ATTRITO VISCOSA:
Primo principio della dinamica:
Il corpo è in quiete o si muove di moto rettilineo
uniforme F12  F21

i Fi  0
Secondo principio della dinamica:

Fnet 


F

m
a
i i

 Fx  ma x

 Fy  ma y
 F  ma
z
 z
L’accelerazione di un corpo è
proporzionale alla forza
risultante su di esso ed
inversamente proporzionale
alla sua massa.
Un corpo è in equilibrio quando la somma delle forze agenti su di esso è nulla
Terzo principio della dinamica:
Se due corpi interagiscono, le forze esercitate da un corpo sull’altro sono:
•Uguali in modulo e direzione
le forze di azione e reazione agiscono sempre su corpi diversi:
•Opposte in verso
•Non si combinano in una forza risultante
•Non si elidon a vicenda
Esercizio:
Un corpo di massa pari a 25 Kg è tirato da due funi ortogonali tra loro. Ciascuna fune esercita una forza
di 80 N. L’accelerazione del corpo è:
1.4,5 m/s2
Fnet y  F2
F2
2
2
2
2
2.6,4 m/s2
 Fnet  Fnet y  Fnetx  F1   F2   2  80 N
F

net
2
F

F
3.3,2 m/s
1
 netx
2
4.113 m/s
F1
   
Fnet  ma  a  Fnet m 
2  80 25 m s 2  4.5 m s 2
Esercizio:
Un corpo di massa 70 Kg è soggetto, oltre alla forza peso, ad una forza verticale di 480 N diretta verso
l’alto. L’accelerazione del corpo è:
ma  Fnet  F  P  480N  mg  480  70  9.8N 
1.2,9 m/s2 orientata verso l’alto
F
(480  686) N  2 0 6N
2.2,9 m/s2 orientata verso il basso
3.16,6 m/s2 orientata verso l’alto
4.16,6 m/s2 orientata verso il basso P
a  Fnet m   206 70 m s 2  2 .9 m s 2
Esercizio:
Se tra due corpi agiscono soltanto forze di mutua interazione ed i due corpi partono da fermi, le
accelerazioni possedute da ciascuno di essi sono:
direttamente proporzionali alle rispettive masse
inversamente proporzionali alle rispettive masse
nulle
necessariamente uguali
 m1a1  F  a1  F m1  1 m1
F1  m1 a1  F2  m 2 a 2  F  
m 2a 2  F  a 2  F m 2  1 m 2
Esercizio:
Due persone stanno spingendo un tavolo di massa 50kg una verso Est con una forza di 4N, l’altra verso
Nord con una forza di 3N. Come si muoverà il tavolo?
N
Ftot
FN
M
M=50kg
FE=4N
FN=3N
E
FE
Se facciamo la composizione delle due forze(ortogonali fra loro),
la forza risultante ha modulo:

Ftot 

FE
2

 FN
2

4N2
 3N 2  5N
Possiamo cioè considerare le due forze come le proiezioni della forza Ftot sugli assi x (direzione est) ed
y (direzione nord):

FE  Ftotx cos θ


FN  Ftotx sin θ
FN
FE

Ftot sin θ
sin θ
 

 tan θ
cos
θ
Ftot cos θ
La direzione della forza risultante è definita dall’angolo q:
F 
θ  arctan  N 
 FE 
 3N 
θ  arctan 
  arctan 0.75  37
 4N 
Trovata la forza risultante applichiamo il secondo principio della dinamica per trovare l’accelerazione:




F

tot

5N
Ftot  FE  FN  ma
a 

 0.1 m / s 2
M
50Kg

Di conseguenza il tavolo si muoverà con accelerazione a di modulo pari a 0.1 m/s2 e direzione (data
dalla direzione della forza risultante applicata) formante un angolo di 37° rispetto alla direzione EST.
Esercizio:
Una navicella spaziale avente una massa di 500 kg scende sulla Luna con velocità costante pari a 2.0m/s.
A 4.0m dal suolo lunare si spengono i razzi e la navicella alluna a 4.1m/s con moto uniformemente

accelerato. Qual’è la forza di propulsione dei razzi?
Frazzi
m=
massa della navicella
= 500 kg
v0 = v(t0) = velocità della navicella quando vengono spenti i razzi = 2.0 m/s
h = y(t0) = altezza alla quale vengono spenti i razzi
= 4.0 m
vf = v(tf) = velocità con cui atterra la navicella
= 4.1 m/s
4m

FLuna
y
y=0
La forza propulsiva dei razzi è quella in grado di annulare la forza di attrazione gravitazionale
della luna, cioè:




Frazzi  ma razzi  Fluna  ma luna
Dobbiamo quindi prima di tutto calcolare quanto vale l’accelerazione gravitazione sulla luna (NB non
è 9.8m/s2)
Utilizziamo le equazioni del moto uniformemente accelerato a cui è sottoposta la navicella negli ultimi
4m di discesa
Velocità:
vt   v 0  a lunat
Spostamento:
yt   h  v 0 t 
h  v0t f
h  v0
1
 a luna t f2  0 
2
t 
vt   v 0
a luna
1
a luna t 2
2
tf 
vf  v0
a luna
yt f   0  h  v 0 t f 
Sostituituendo tf con:
1
a luna t f2
2
vf  v0
a luna
v f  v 0 2 ha luna  v f  v 0 v 0  v f 2  v 0 2
vf  v0
1
 a luna

 0
2
a luna
2
a luna
a luna
ha luna  v f  v 0 v f 2  v 0 2  ha luna 
a luna 

v f2

 v 02 
2h

1
v f  v 0 v f  v 0   ha luna  1 v f2  v 02   0
2
2

4.1 m s 2

 2.0 m s 2
12.8 m 2 s 2
 
 1.6 m s 2
8.0 m
8.0 m
a luna  1.6 m s 2



Frazzi  m a razzi  m a luna  500Kg  1.6 m s 2  800N
FORZA CENTRIPETA (moto circolare uniforme)
Un corpo che si muove con:
•Velocità v costante in modulo
•Lungo una traiettoria circolare
Subisce un’accelerazione centripeta:
•Diretta verso il centro della circongferenza
•Sempre ortogonale all vettore velocità v
Esempio:
Disco da hokey su una traiettoria circolare
INERZIA del disco => moto su una linea retta
TENSIONE del filo => mantiene la traiettoria circolare
Se il filo si rompe il disco si muove lungo una linea retta
tangente alla circonferenza
(v è costante)
ATTENZIONE:
La forza centripeta NON è un nuovo tipo di forza, ma è una qualsiasi forza che causa
un’accelerazione centripeta
Palla trattenuta sa un filo
Rotor
Satellite intorno alla aTerra
Esercizio:
Una forza centripeta mantiene un corpo in moto circolare uniforme. Volendo raddoppiare il raggio della
traiettoria senza modificare la sua velocità occorre moltiplicare la forza per un fattore:
1/2
F  m v 2 r

4

 1

v2
F  m v 2 2r    1 m v 2 r   1 F
Fr  ma r  m r̂
2
2
1
r

2
2

1/4
Esercizio:
Una forza centripeta mantiene un corpo in moto circolare uniforme. Volendo raddoppiare la sua velocità
senza modificare il raggio della traiettoria occorre moltiplicare la forza per un fattore:
4
1
F1   mv 2 r

2
2
2
 F2   m2v  r  4 mv r  4 F1
1/2
Forza gravitazionale: Forza di attrazione di un corpo verso un altro corpo

mm
F  G 1 2 2 rˆ
r
Se m1=massa della terra
G  6.67  10
g 
11
Nm 2
Kg 2
GmT
 9.81 m s 2 con r  R T  6370 km
r2
Esercizio:
Due corpi di uguale massa si trovano a distanza R. Se la loro massa e la loro distanza
vengono raddoppiate, cosa accade alla forza gravitazionale?
1.
rimane invariata
m1m 2
m2

2.
raddoppia
F

G

G
1


3.
si dimezza
r2
r2
 F1  F2
2


2m 
m2
4. quadruplica
F2  G
 G 2

r
2r 2

Esercizio:
Due corpi di uguale massa si trovano a distanza R. Se la loro massa viene raddoppiata e
la loro distanza viene dimezzata cosa accade alla forza gravitazionale?
1.rimane invariata
m1m 2
m2

F

G

G
2.quadruplica
1


r2
r2
3.raddoppia
2

2  F2  16 F1


2m
16m
4.aumenta di un fattore 16
F2  G
 G

r2
r/2 2

Esercizio:
Sapendo che il raggio di Marte è la metà di quello della Terra e che la massa di Marte è 10 volte più
piccola di quella della Terra. L’accelerazione di gravità sul suolo terrestre rispetto all’accelerazione di
gravità sul suolo di Marte è:
identica
più grande
più piccola
dati non sufficienti per il calcolo
mM T
GMT


F

G

mg
g

T
2
2



RT

RT
 

mM M
mM T 10
4 GMT
2
FM  G
g M 
 G
 mg M

g
2
2
2
10 R T
5


R T 2
RM


FORZA NORMALE:
Se un corpo poggia su una superficie la superficie si “deforma” e spinge il corpo con una forza
normale N sempre perpendicolare alla superficie stessa.
F
Es. 1 corpo di massa m
poggiato su un tavolo
y
 N  mg  ma y , poichè a y  0  N  mg


F y  N  mg - F1y  ma y
 N  mg  F1y

a y  0
Es. 2 corpo di massa m
premuto su un tavolo
La Forza Normale NON è necessariamente uguale al peso
Es. 3 corpo di massa m su un
piano inclinato senza attrito
F
F





x
 Fg sinθ  mg sinθ  ma x  0
y
 N  mg cosθ  ma y  0
 N  mg cosθ
y
La forza normale bilancia solo la componente della forza peso
perpendicolare alle superficie d’appoggio
x
La Forza Normale NON è necessariamente diretta lungo la forza peso
Esercizio:
Un uomo massa pari a 80 kg, all’interno di un ascensore in discesa, ha un peso apparente (pari ad una
reazione vincolare esercitata su di lui dal pavimento) di 400 N.
L’accelerazione dell’ascensore è:
1.nulla
2.4.8 m/s2 diretta verso l’alto
3.4.8 m/s2 diretta verso il basso
4.14.8 m/s2 diretta verso l’alto
F  ma  P  R  mg  400 N  (784  400) N  - 384N
 a   384 N 80 Kg  4.8 m s 2
TENSIONE:
Le funi sono dispositivi che permettono di trasmettere l’ azione di una forza applicata in un dato punto ad
un punto diverso.
•funi di massa trascurabile e inestensibili.
=> se applico una forza a un estremo di una fune tesa, questa risponde con una forza (tensione) che si
trasmette lungo la fune in modo tale che ogni punto della corda abbia accelerazione nulla relativamente a
tutti gli altri.  l’ accelerazione degli estremi della corda e’ la stessa.
Tensione nella corda = modulo T della forza agente sul corpo
Le tensioni ai capi della corda sono uguali ed opposte
Esercizio:
Un corpo di massa m e’ trascinato lungo un piano orizzontale da un altro corpo della stessa massa
attraverso una fune. Su quest’ultimo corpo agisce una forza F, parallela al piano orizzontale.
La tensione della fune e’:
1.
F
m
m
2.
F/2
1
2 F
3.
2F
4.
F·m
R
R T
T
F
P
Corpo 1
Corpo 2
ma  T
ma  F  T
P
T  F T
2T  F  T  F 2
Esercizio:
Una fune in estensibile può sopportare tensioni fino a 1600 N senza spezzarsi. Ad essa E attaccato un
corpo di massa 2 Kg, posto in rotazione lungo una circonferenza di 2 m. La massima velocità angolare di
rotazione per cui la fune non si spezza è:
20 rad/s
T  Fc  m ω2 R  rˆ
40 rad/s
T m
80 rad/s
T
1600 N
w
ωmax 

 20 rad s
400 rad/s
mR
4 kg  m
R
ESEMPIO1: Scatola contro il muro
Come può una forza orizzontale impedire ad un
oggetto di muoversi verticalmente?
1)
2)
Ho bisogno di attrito
Devo premere abbastanza


F contrasta N




Fs  μ s N contrasta Fg  mg
mg  μ s N
mg  μ s N


ma  F 
La scatola resta ferma
La scatola scivola
Esercizio:
Una cassa di massa 100Kg è appoggiata su un pavimento orizzontale, il cui attrito statico vale =0,23.
Qual è il modulo della minima forza orizzontale che si deve applicare alla cassa per spostarla?
1) 132 N
Fas  μ as N  μ as mg
2) 1296 N
3) 23 N


F

F
F - Fas  0  F  Fas  μ as mg  0.23  100  9.8 N  225.4 N
as  0 
4) 225,4 N
Eserecizio:
Una massa si muove a velocità costante su un piano inclinato. Ne deduciamo che:
la risultante delle forze è nulla
l’attrito è nullo
il piano è orizzontale
la reazione vincolare è nulla.
Esercizio:
Quando un corpo striscia su una superficie orizzontale ruvida si esercita una forza di attrito dinamico tra le
due superfici. E’ vero che:
٧1) la forza d’attrito è parallela alla superficie di contatto ed è orientata nel verso contrario al moto
2)la forza di attrito è proporzionale alla velocità del corpo che striscia
3)la forza di attrito non dipende dalla forza normale al punto di contatto
4)la forza di attrito è diretta normalmente al punto di contatto ed è orientata nel verso contrario al moto
Esercizio:
Se un corpo di massa 10 kg rimane in equilibrio senza scivolare su un piano inclinato di un angolo =
45 rispetto al piano orizzontale, ne deduciamo che soggetto ad una forza di attrito statico il cui
coefficiente di attrito è maggiore o uguale a:
1)0.
2)0.5
y


٧3) 1.
F

m
a
 0  Fx  ma x  Fy  ma y  0
4)1.5
N fas
Py
Fy  Py  N  mg sinα  N  0

 Fx  Px  f as  mg cosα - μ as N  ma x  0
P
 N  mg sinα

μ  mg cosα  cosα 
 as
mg sinα
sinα

x
Esempio: Serve più forza per spingere o tirare?
2 2
 1
2 2






Fnet  ma  F  N  Fg  Fatt
 F sin θ  N  mg  0
a) Se spingo:
Lungo l’asse y:
N  mg  F sin θ  mg
y
b) Se tiro:
Lungo l’asse y:
 F sin θ  N  mg  0
x
N  mg  F sin θ  mg
Fatt  μ D N
È minore quando si tira!!!
Attrito viscoso
Esistono situazioni in cui l’ espressione per la forza di attrito non e’ cosi’ semplice come nel caso
dell’ attrito statico o cinematico radente. Consideriamo ad esempio il caso di un oggetto che cada in
aria. Sappiamo tutti che l’ aria oppone una certa resistenza alla caduta, che pero’ dipende dalle
caratteristiche dell’ oggetto. Ad esempio, un piuma cade molto piu’ lentamente di un pallino di
piombo. Lo stesso accade per oggetti che si muovano un un fluido. Qesto tipo di attrito e’ detto
attrito viscoso, e ha una caratteristica molto importante: il suo modulo,direzione e verso dipendono
dalla velocita’ con cui si muove l’ oggetto:


Fν  γv
Il coefficiente g dipende da molti fattori, tra i quali la viscosita’ del fluido in cui l’ oggetto si
muove, e le sue caratteristiche geometriche.
Caduta nell’aria
Vogliamo ora studiare il moto di un oggetto che cada in aria, e quindi in presenza di attrito viscoso.
Dobbiamo innanzitutto scrivere le equazioni del moto, che possono essere ridotte a una singola
componente (il moto avviene lungo una retta).
ma  mg  γv
Fv
mg
y
m
dv(t)
‫٭‬
 mg  γv(t)
dt
NB: il segno “-” della forza di attrito viscoso: non vogliamo fare assunzioni sul
verso di v, che verra’ determinato dal segno della soluzione che troveremo.
La soluzione che cerchiamo e’ la funzione seguente:
γ
mg 
 t
v(t)  
1  e m 
γ 

Infatti se deriviamo rispetto al tempo otteniamo:
γ
dv(t)
 t
 ge m
dt
E sostituendo v(t) e dv(t)/d(t) nell’ equazione del moto ‫ ٭‬possiamo verificare che l’eguaglianza e’
soddisfatta.
•L’ accelerazione tende ad annullarsi quando il tempo diventa >> g/m.
•La velocita’ nel contempo tende al valore costante –mg/ g. Questo valore e’ detto velocita’ limite.
Esecizio:
Per un corpo che si muove nell’aria a piccola velocità, la resistenza dell’aria è rappresentata da una
forza che agisce in senso contrario al moto ed è proporzionale alla velocità. La velocità del corpo che
cade da fermo:
٧1)è descritta da un andamento esponenziale che tende ad un valore costante
2)e’ costante
3)e’ sempre crescente
4)è sempre decrescente
γ
v(t)  
mg
γ
 t

m 
1

e



Esercizio:
Per un corpo che si muove nell’aria a velocità non troppo elevate, la resistenza dell’aria è rappresentata da
una forza di attrito viscosa. Se il corpo, inizialmente fermo, cade da una certa quota:
1)la velocità aumenta proporzionalmente al tempo di caduta
2)l’accelerazione è costante
٧3)la velocità aumenta inizialmente poi tende ad un valore costante
4)l’accelerazione aumenta con la distanza percorsa
a(t)
g
v(t)
mg/g
t
t
Una piccola sfera di massa m=3.00 g è lasciata cadere in una bottiglietta di shampoo liquido. Sapendo che la
Velocità limite è vL=2.00 cm/s, trovare
a) Il valore del parametro g;
b) Il tempo t1 necessario per raggiungere la velocità v1=0.632 vL;
c) Il valore della forza ritardante quando la sferetta raggiunge la velocità limite
Alla velocità limite si ha che:
 

3  10 3 Kg  9.8 m s 2

mg
mg  Fν  mg  γv  0  mg  γv  γ 

 1.47 Ns m
v
2  10  2 m s
v(t)  
mg
γ
a)
γ 
γ 
γ 



1  e  m t    v L  1  e  m t   v(t)  0.632  v L   v L  1  e  m t 












γ 
γ

1  e  m t   0.632  e  m t  1  0.632  0.368





γ
m
t  ln0.368  t  
ln0.368  2.04  10  3 s
m
γ
b)


 



mg  Fν  mg  γv  0  Fν  mg  Fν  3  10 3 Kg  9.8 m s 2  2.9  10 2 N
c)
Le leggi di
Keplero
I legge: I pianeti percorrono orbite ellittiche intorno al sole che occupa uno
dei fuochi dell’ellisse.
II Legge: La velocità areale, con cui il raggio vettore che unisce il sole ad un
pianeta descrive l’orbita, e’ costante.
III Legge: Il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta e’
proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’ ellisse:
T2 = kr3
A partire da tali leggi Newton fu in grado di determinare la forza che esprime
l’interazione gravitazionale generata dalla presenza di due corpi dotati di
massa.
Esercizio:
Il periodo di rotazione di Plutone attorno al sole è superiore a quello di Marte. Questo fenomeno è
spiegato da:
1)prima legge di Keplero
T2 = kr3
٧2)terza legge di Keplero
3)seconda legge di Keplero
4)conservazione dalla velocità areale
Esercizio:
Un satellite è lanciato dalla terra. Quali delle seguenti affermazioni è necessariamente falsa:
1)il satellite si pone su una traiettoria ellittica in cui la terra occupa uno dei fuochi
٧2)il satellite si pone su una traiettoria ellittica percorsa a velocità costante
3)il satellite spazza aree uguali in tempi uguali
4)il periodo di rotazione del satellite è tanto maggiore quanto maggiore è il raggio dell’orbita
Esercizio:
La Terra si muove più velocemente durante l’inverno quando si trova più vicina la Sole. Questo è
spiegato dalla:
1)prima legge di Keplero
La velocità areale, con cui il raggio vettore che unisce il sole ad un
2)terza legge di Keplero
pianeta descrive l’orbita, e’ costante
٧3)seconda legge di Keplero
4)conservazione dell’energia cinetica
Esercizio:
La terza legge di Keplero implica che il quadrato della frequenza di rivoluzione di un satellite e':
1)proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'orbita
٧2)inversamente proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'orbita
3)proporzionale alla massa del satellite
2
2
3
4)proporzionale all'area dell' orbita
T = kr
1
1
ν 
 3
T
r
Esercizio:
Un'orbita circolare è sicuramente geostazionaria se:
1)il raggio è costante
2)la velocita' è costante
٧3)se la velocità angolare è uguale a quella della rotazione terrestre
4) se la velocità angolare è costante