Tassi a pronti ed a termine
(bozza)
Mario A. Maggi
a.a. 2006/2007
Indice
1 Introduzione
1
2 Valutazione dei titoli a reddito fisso
2.1 Titoli di puro sconto (zero coupon) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Obbligazioni (coupon bond) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Obbligazioni a rimborso progressivo . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
4
5
3 Struttura per scadenza dei tassi di interesse
3.1 Tassi a pronti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tassi a termine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
11
1
Introduzione
Il mercato dei titoli a reddito fisso è il mercato in cui vengono fissati i prezzi
di titoli che promettono determinati pagamenti in date future. Semplificando,
si possono considerare solo due categorie di titoli: i titoli di puro sconto (detti anche a capitalizzazione integrale o zero coupon bond) e quelli con cedole
(coupon bond). Non ci occupiamo di titoli indicizzati, cioè quei titoli che prevedono flussi di cassa legati all’evoluzione di variabili economiche e finanziarie,
per esempio il tasso di inflazione, il tasso ufficiale di sconto, il tasso dei BOT
a un anno, ecc..
Un titolo di puro sconto ha una struttura molto semplice: a fronte del
pagamento del prezzo di acquisto, promette il versamento di una certa somma,
il valore nominale o facciale, alla data di scadenza (maturity). Vengono detti
di puro sconto, perché al momento dell’acquisto si paga un prezzo (inferiore
al valore nominale) pari al valore attualizzato (scontato) dell’incasso futuro
(cioè il valore nominale). Si chiamano anche zero coupon, perché durante la
1
loro vita non prevedono l’incasso di nessuna cedola (coupon). I BOT (buoni
ordinari del tesoro) italiani sono un esempio tipico di titoli di puro sconto.
Un titolo con cedole (coupon bond) a fronte del pagamento del prezzo
di acquisto, promette il pagamento di determinate somme (le cedole) a date
stabilite, inoltre alla scadenza finale è previsto il rimborso del valore nominale
(a cui eventualmente si aggiunge un premio di rimborso). I BTP (buoni del
tesoro poliennali) italiani e molte obbligazioni sono titoli di questo tipo.
2
Valutazione dei titoli a reddito fisso
In generale un titolo a reddito fisso A è un titolo di credito che dà al possessore
il diritto di incassare le somme ak alle date tk .
Presento ora un po’ di termini tecnici usati per i titoli a reddito fisso.
L’importo scritto sul titolo viene detto valore nominale o facciale. I titoli
possono essere di vario taglio, intendendo per taglio la dimensione in termini di
valore nominale di un titolo. Di solito il taglio di un titolo è multiplo del taglio
base, ad esempio 2· 000 ¿. Per ragioni pratiche ci si riferisce comunemente ad
un taglio fittizio di 100 ¿ di valore nominale per il calcolo del prezzo (valore
o corso) del titolo. Se il titolo prevede delle cedole, cioè corrisponde degli
interessi periodicamente, queste sono calcolate in base al tasso nominale, o
cedolare sul valore nominale. Ogni cedola è esigibile a partire dalla relativa
scadenza (giorno di godimento), prestampata sulla cedola.
Il valore di emissione (prezzo o corso di emissione) è il prezzo al quale ciascun titolo viene emesso, cioè l’importo che il creditore (sottoscrittore) versa
al debitore (emittente). A seconda che il valore di emissione sia uguale, superiore o inferiore al valore nominale si parla, rispettivamente, di emissione alla
pari, sopra la pari, sotto la pari . La differenza (valore di emissione − valore
nominale) quando positiva [negativa] rappresenta il sovrapprezzo [o premio] di
emissione per il sottoscrittore, l’aggio [o disaggio] di emissione per l’emittente.
L’emittente deve detrarre dal ricavo lordo di emissione le spese di emissione
(quali spese notarili, di registrazione, di stampa dei titoli, di intermediazione e
commissioni bancarie) ottenendo il ricavo netto di emissione. Il sottoscrittore
che acquista il titolo alla sua emissione calcolerà il costo lordo dell’obbligazione
aggiungendo al prezzo di emissione le spese di sottoscrizione (quali spese e
commissioni bancarie, oneri fiscali, rateo di interessi di emissione).
Il valore di rimborso (capitale o prezzo di rimborso) è l’importo che l’emittente versa ai possessori di ogni titolo al momento del rimborso. A seconda
che tale importo sia uguale, superiore o inferiore al valore nominale si parla di
rimborso alla pari, sopra la pari, sotto la pari ; quando positivo, lo scarto tra
i due valori viene detto premio di rimborso. Il valore di rimborso può essere
fissato all’atto dell’emissione (costante o meno), oppure indicizzato. Le spese
2
di rimborso sono le spese derivanti dal rimborso del prestito, quali ad esempio
le spese di tesoreria.
Oltre che al momento dell’emissione, cioè sul mercato primario, i titoli possono essere contrattati in qualsiasi altro momento della loro vita sul mercato
dei titoli a reddito fisso che costituisce perciò il mercato secondario.
Definizione 2.1 Il valore di mercato di un titolo è pari al valore attuale alla
data di valutazione, calcolato al tasso di valutazione di mercato, della rendita
descritta dai flussi di cassa previsti dal titolo.
Ponendo per semplicità la data di valutazione t0 = 0, si tratta del valore al
tasso di mercato y della rendita descritta dai flussi di cassa previsti dal titolo.
Per cui, indicati con a1 , a2 , . . . , an i flussi di cassa previsti rispettivamente alle
1
date t1 , t2 , . . . , tn e, posto v =
, il valore V del titolo è
1+y
V = a1 v t1 + a2 v t2 + · · · + an v tn .
2.1
Titoli di puro sconto (zero coupon)
Nel caso di un titolo zero coupon, è previsto un solo incasso C al tempo t, per
cui il suo valore è
V (0, y) = Cv t .
(2.1)
Ad esempio un titolo zero coupon che pagherà 2· 000 ¿ (valore nominale) fra
un anno, se valutato al tasso annuo del 4%, ha un valore pari a
V (0, y) = 2· 000
1
≃ 1· 923,08 ¿.
1,04
La quotazione di questo titolo appare nei listini riferita ad un taglio fittizio di
100, per cui avrà un corso di
100
1
≃ 96,154,
1,04
che significa che 100 ¿ di valore nominale costano 96,154 ¿; in questo modo è
facile trovare il prezzo (il valore di mercato) di un titolo dal valore nominale
di 2· 000 ¿:
96,154
× 2· 000 = 1· 923,08 ¿.
100
3
2.2
Obbligazioni (coupon bond)
Un po’, ma non molto, più complessa è la valutazione dei titoli obbligazionari
che prevedono cedole. Considero un titolo dal valore nominale C che paga
n cedole annue calcolate al tasso annuo cedolare i e che prevede a scadenza,
dopo n anni dall’emissione, il rimborso di R. Se R = C, si dice che il rimborso
è alla pari, se invece è R > C o R < C, si dice, rispettivamente, sopra o sotto
la pari. L’importo di ogni cedola annuale è Ci. Il prezzo di emissione di questo
titolo, calcolato al tasso annuo di valutazione y, che può essere diverso da i, è
V (0, y) = Ci a n y + R (1 + y)−n .
(2.2)
Se la valutazione viene fatta ad una data t successiva a quella di emissione,
il principio non cambia: si calcola il valore attuale alla data t dei flussi di cassa
futuri. Il valore al momento t = (h + f ) ≥ 0, con h intero e 0 ≤ f < 1, di un
titolo emesso al momento 0 è perciò
V (t, y) = Ci ä n−h y (1 + y)−(1−f ) + R (1 + y)−(n−t) ,
che riscrivo in modo equivalente:
V (t, y) = Ci 1 + a n−h−1 y (1 + y)−(1−f ) + R (1 + y)−(n−t) .
(2.3)
Ovviamente se le cedole avessero una periodicità non annuale (spesso infatti sono semestrali), basterebbe nelle (2.2) e (2.3) misurare i tempi nell’unità
opportuna e usare il tasso effettivo equivalente riferito alla stessa unità di misura. Quando le cedole hanno frequenza infra-annuale, k cedole all’anno, nella
pratica il tasso nominale i annuo va inteso come tasso nominale annuo coni
vertibile (pagabile) k volte l’anno, per cui il tasso da usare è
e le cedole
k
i
sono pari a C . Quindi un’obbligazione con cedole semestrali al tasso annuo
k
nominale 5%, prevede in realtà cedole semestrali al tasso semestrale pari a
0,05
= 2,5%, cioè cedole di importo 0,025C.
2
Le (2.2) e (2.3), quando valutate per un titolo dal valore nominale di 100,
forniscono rispettivamente il corso di emissione ed il corso tel quel, cioè il
valore di mercato di 100 ¿ di valore nominale del titolo in oggetto. Quando il
corso è pari a 100, si dice che il titolo è alla pari, quando invece è superiore o
inferiore a 100, si dice, rispettivamente, sopra o sotto la pari.
Sui listini ufficiali non compare il corso tel quel, ma il corso secco, cioè
un corso depurato dal rateo (o dietimo) di interessi maturati dall’ultimo godimento, ma non ancora esigibili. Il rateo di interessi maturati è porzione
f della cedola già maturata, dove f è il rapporto fra il tempo trascorso dall’ultimo godimento ed il tempo che separa due godimenti successivi. Il corso
4
secco V s (t, y), calcolato al tasso y, al momento t = (h + f ), con h intero e
0 ≤ f < 1, di un titolo emesso al momento 0 è
V s (t, y) = V (t, y) − Ci f ;
corso secco
=
corso tel quel – rateo di interessi
Si nota che alle date di godimento, quando cioè f = 0, il corso tel quel ed il
corso secco coincidono.
2.3
Obbligazioni a rimborso progressivo
Se una società si finanzia emettendo obbligazioni come visto nel paragrafo
precedente, si trova di fronte all’ammortamento di un prestito con pagamento periodico degli interessi e rimborso finale del capitale. Può capitare che
l’emittente abbia l’esigenza di un prestito con rimborso progressivo (di tipo
francese, uniforme o altro). In questo caso alle date previste dovrà pagare le
cedole a tutti i titoli in circolazione e rimborserà una parte dei titoli in circolazione. Spesso la scelta dei titoli da rimborsare alla data k ∈ {1, 2, . . . , n}
è effettuata mediante estrazione a sorte di Nk obbligazioni (ovviamente con
N1 + N2 + · · · + Nn = N ). In questo caso ogni obbligazione dà diritto a
flussi di cassa futuri aleatori: l’incasso delle cedole future dipende dalla data
di estrazione del titolo, data alla quale si avrà anche il rimborso del capitale.
Perciò posso rappresentare cedole e capitale di rimborso per mezzo di variabili
aleatorie. La k-esima cedola prevede quindi: un incasso pari al suo ammontare se il titolo non è stato rimborsato prima di k; un incasso nullo in caso
contrario. Ad ogni data il capitale di rimborso prevede: un incasso pari al suo
ammontare se il titolo è estratto in quel momento; un incasso nullo in caso
contrario. Per calcolare il valore di un titolo, calcolo il valore attuale al tasso
di mercato dei valori medi dei pagamenti previsti per ogni data.
Esempio 2.2 Considero un prestito obbligazionario triennale costituito da
300 obbligazioni ciascuna con valore nominale 1· 000 ¿. Sono previste cedole annue calcolate al tasso cedolare del 3%. Ogni anno si estraggono a sorte
100 obbligazioni che vengono rimborsate pagando un valore di rimborso pari a
1· 050 ¿. Il tasso di mercato per operazioni analoghe è il 3% annuo.
Calcolo il corso di emissione di un’obbligazione. Chi sottoscrive un’obbligazione al momento dell’emissione:
dopo un anno:
ˆ incasserà sicuramente la cedola pari a 30 ¿, cioè con probabilità 1: valor
medio dell’incasso 30 ¿;
5
ˆ incasserà il valore di rimborso 1· 050 ¿ se il suo titolo sarà estratto in
1
quel momento, cioè con probabilità , 0 ¿ in caso contrario: valor medio
3
1
·
dell’incasso 1 050 × = 350 ¿;
3
dopo due anni:
ˆ incasserà la seconda cedola di importo 30 ¿ se il suo titolo non è stato
2
estratto all’anno 1, cioè con probabilità , 0 ¿ in caso contrario: valor
3
2
medio dell’incasso 30 × = 20 ¿;
3
ˆ incasserà il valore di rimborso 1· 050 ¿ se il suo titolo sarà estratto in
1
quel momento, cioè con probabilità , 0 ¿ in caso contrario: valor medio
3
1
·
dell’incasso 1 050 × = 350 ¿;
3
dopo tre anni:
ˆ incasserà la terza cedola di importo 30 ¿ se il suo titolo non è stato
1
estratto in precedenza, cioè con probabilità , 0 ¿ in caso contrario:
3
1
valor medio dell’incasso 30 × = 10 ¿;
3
ˆ incasserà il valore di rimborso 1· 050 ¿ se il suo titolo sarà estratto in
1
quel momento, cioè con probabilità , 0 ¿ in caso contrario: valor medio
3
1
dell’incasso 1· 050 × = 350 ¿.
3
Posso cosı̀ calcolare il valore di emissione del titolo come il valore attuale, al
tasso di mercato, dei valori medi degli incassi futuri
V (0, 3%) = (30 + 350) (1,03)−1 +(20 + 350) (1,03)−2 +(10 + 350) (1,03)−3 ≃ 1· 047,14 ¿.
In modo equivalente, posso considerare il valore del titolo come il valor medio del valore di tre titoli: uno rimborsato sicuramente il primo anno, uno il
secondo ed uno il terzo, ciascuno considerato con probabilità pari alla probabilità che un titolo venga estratto, rispettivamente, al primo, al secondo, al terzo
1
anno (che in questo caso sono tutte pari a ). Quindi
3
i1
1 h
V (0, 3%) = (30 + 1· 050) (1,03)−1 + 30a 2 0.03 + 1· 050 (1,03)−2
3
3
h
i
−3 1
·
·
+ 30a 3 0.03 + 1 050 (1,03)
≃ 1 047,14 ¿.
3
6
3
Struttura per scadenza dei tassi di interesse
In questo paragrafo mi occupo di titoli non rischiosi, tipicamente titoli di
stato. Ora lo scopo non è valutare questi titoli (come nel paragrafo 2), ma
di determinare i tassi impliciti nei loro prezzi quotati sul mercato. In altre
parole, l’obbiettivo è la determinazione dei tassi di mercato, sotto l’ipotesi che
il mercato assegni ai titoli a reddito fisso il valore attuale dei pagamenti futuri.
Sul mercato dei titoli a reddito fisso si possono vendere e acquistare titoli trattati pagando il prezzo corrispondente. In questo caso al momento
della contrattazione viene pattuito il prezzo pagato immediatamente, e viene
consegnato il titolo: si tratta di un contratto a pronti (o spot).
Se prevedo di incassare 5· 000 ¿ fra un anno e desidero impiegare questi
soldi una volta incassati per l’acquisto di BOT a 6 mesi (o, più in generale,
con 6 mesi di vita residua) ho due possibilità. La prima è quella di aspettare
un anno e di acquistare i BOT fra un anno al prezzo che avranno in quel
momento. In questo modo però non conosco il prezzo di acquisto futuro. La
seconda possibilità è quella di accordarmi fin d’ora sul prezzo a cui acquistare
BOT a 6 mesi fra un anno. In quest’ultimo caso stipulo un contratto a termine
(o forward). Al momento della stipula di un contratto a termine non avviene
nessun trasferimento, né monetario né di titoli; si fissa oggi il prezzo a cui ci
si impegna a scambiare un titolo ad una data futura.
3.1
Tassi a pronti
Sul mercato dei titoli a reddito fisso, in ogni momento, posso rilevare i prezzi
per l’acquisto dei titoli. Se sono trattati titoli zero coupon, il loro valore deve
essere pari al valore attuale del valore a scadenza del titolo, ma quale tasso è
nascosto nel prezzo di mercato? Per la (2.1), il valore, che qui chiamo P (0, t),
al momento 0 di un titolo zero coupon con vita residua t e valore nominale C
è P (0, t) = Cv t , per cui
P (0, t)
1
= vt =
.
C
(1 + h (0, t))t
Questo significa che posso leggere nei prezzi di mercato i fattori di attualizzazione, da cui ricavare il tasso annuo di mercato h (0, t) per un impiego che
inizia oggi e termina fra t anni
h (0, t) =
C
P (0, t)
1
t
− 1.
Il tasso h (0, t) è annuo, effettivi di rendimento dell’investimento nel titolo.
7
Naturalmente sono quotati titoli con diverse durate residue, per ognuno
dei quali è possibile calcolare il tasso implicito. Immagino di trovare sul mercato titoli zero coupon At1 , At2 ,. . . , Atn tutti con lo stesso valore nominale C,
ma con diverse durate residue 0 < tt < t2 < · · · < tn . Indico i loro prezzi di
mercato P (0, t1 ), P (0, t2 ),. . . , P (0, tn ). È ovvio che il prezzo di un titolo sarà
tanto più basso quanto più lontana la data di incasso del valore nominale (postulato di impazienza): P (0, 0) = C > P (0, t1 ) > P (0, t2 ) > · · · > P (0, tn ).
Da questi prezzi posso ricavare i tassi a pronti (o spot) di mercato annui
h (0, ti ) =
C
P (0, ti )
1
ti
−1
riferiti ad impieghi con durate diverse. La funzione h (0, t) che associa il tasso
annuo alla durata dell’impiego fornisce la cosiddetta struttura per scadenza dei
tassi di interesse a pronti. Quando h (0, ti ) = h per ogni scadenza ti si dice
che la struttura per scadenza al tempo 0 è piatta. Si parla spesso di curva dei
tassi a pronti e si usa rappresentare la struttura per scadenza su un grafico
come quello in figura 1 (dopo un’eventuale interpolazione dei tassi ottenuti dai
titoli quotati).
0.050
0.045
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0.000
0
5
10
15
t
Figura 1: Esempio di struttura per scadenza di tassi di interesse.
Esempio 3.1 I corsi tel quel di titoli zero coupon con durate rispettivamente
di 6 mesi un anno e 18 mesi sono: 98,533, 96,805, 94,833. Questi corsi
rappresentano il prezzo di acquisto di 100 ¿ di valore nominale di titoli zero
8
coupon. Da questi prezzi si possono ricavare i tassi annui di mercato
1
0,5
h (0, 0,5) =
100
98,533
h (0, 1) =
100
96,805
1
h (0, 1,5) =
100
94,833
− 1 ≃ 3%,
− 1 ≃ 3,30%,
1
1,5
− 1 ≃ 3,60%.
In questo caso la struttura per scadenza non è piatta, ma crescente: impieghi
per durate maggiori hanno un tasso di rendimento superiore.
Sul mercato però non si trovano titoli zero coupon per durate non brevi.
Per durate superiori ai 18, 24 mesi si trovano solo titoli con cedole. Una tecnica
chiamata bootstrap permette di usare i prezzi dei titoli con cedole per ricavare
i tassi di mercato per durate medio-lunghe. Per vedere come funziona, è
opportuno partire dall’esempio precedente ed immaginare che oltre ai 3 titoli
zero coupon esitano altri due titoli A e B con cedola: A dal corso tel quel
104,284 con durata residua 2 anni, cedola annua, tasso cedolare 6%, rimborso
alla pari; B dal corso tel quel 102,830 con durata residua 3 anni, cedola annua,
tasso cedolare 5%, rimborso alla pari. Considero, per comodità, un valore
nominale di 100 ¿ dei due titoli. Come sempre il valore è il valore attuale ai
tassi di mercato dei flussi futuri. Il titolo A prevede l’incasso di una cedola pari
a 6 ¿ alla fine del primo anno; tale flusso va attualizzato al tasso di mercato per
impieghi di durata annua h (0, 1) = 3,30% calcolato nell’esempio precedente.
Il secondo flusso deve essere attualizzato al tasso (incognito) h (0, 2). Quindi
VA =
6
106
6
106
+
=
+
.
2
1 + h (0, 1) (1 + h (0, 2))
1,033 (1 + h (0, 2))2
Questa relazione mi permette di calcolare h (0, 2)
104,284 =
6
106
+
,
1,033 (1 + h (0, 2))2
h (0, 2) ≃ 3,75%.
Con lo stesso ragionamento
5
5
105
+
+
2
1 + h (0, 1) (1 + h (0, 2))
(1 + h (0, 3))3
5
5
105
102,830 =
+
+
, h (0, 3) ≃ 4%
2
1,033 1,0375
(1 + h (0, 3))3
VB =
In questo modo si costruisce una procedura iterativa che estrae i tassi
impliciti dai titoli. Infatti, per calcolare h (0, 4) basta che sia quotato un titolo
9
con un flusso di cassa fra 4 anni e con gli altri flussi di cassa collocati a scadenze
per le quali sia noto il tasso di mercato. Un esempio può essere un titolo dal
prezzo odierno di 1· 783,82 ¿ che paga 1· 000 ¿ fra 2 anni e 1· 000 ¿ fra 4 anni
(controllare che h (0, 4) ≃ 4%).
In un mercato perfetto due titoli o due portafogli non rischiosi che prevedono gli stessi flussi di cassa futuri devono avere lo stesso prezzo e quindi lo
stesso rendimento. Infatti se esistessero due titoli zero coupon A e B con vita
residua un anno con lo stesso valore nominale C, ma con due prezzi diversi
P A > P B nessuno comprerebbe il più caro. Se qualcuno acquistasse il titolo A
più caro, l’emittente di A potrebbe usare il ricavato per acquistare il titolo B
dal prezzo inferiore, realizzando in questo modo un’operazione di arbitraggio:
l’emittente paga P B per l’acquisto di B e incassa P A dall’emissione di A con
un saldo netto di cassa P A − P B > 0; fra un anno a scadenza dovrà rimborsare il valore nominale di A e nello stesso momento incasserà quello di B con
un saldo netto di cassa nullo. Questa operazione è una “macchina da soldi”
che produce un guadagno certo per l’emittente senza rischio. Siccome sul mercato ci sono molti agenti opportunisti (della specie homo œconomicus) pronti
a cogliere ogni occasione di arbitraggio, il gioco della domanda e dell’offerta
conduce ad aggiustamenti di prezzo che fanno scomparire ogni opportunità di
arbitraggio. Vale quindi la cosiddetta legge del prezzo unico.
Per questa ragione il valore di un titolo a reddito fisso deve essere pari al
valore di un portafoglio di titoli zero coupon che prevede gli stessi flussi di
cassa, altrimenti ci sarebbe un’opportunità di arbitraggio. Rimanendo nell’esempio precedente, un titolo F dal valore nominale di 5· 000 ¿, con cedole
semestrali al 5%, rimborso alla pari e durata residua 18 mesi, deve avere lo
stesso valore di un portafoglio composto da zero coupon a 6 mesi dal valore
nominale di 250 ¿, zero coupon a un anno dal valore nominale di 250 ¿, zero
coupon a 18 mesi dal valore nominale di 5· 250 ¿
98,533
96,805
94,833
+ 250
+ 5· 250
≃ 5· 467,08 ¿.
100
100
100
Questo equivale a calcolare il valore attuale di F ai tassi di mercato impliciti
nei prezzi dei titoli zero coupon (il centesimo di differenza è causato dalle
approssimazioni introdotte nel calcolo dei tassi)
V F = 250
V F = 250 (1,03)−0,5 + 250 (1,033)−1 + 5· 250 (1,036)−1,5 ≃ 5· 467,09 ¿.
Quindi una volta ottenuta la struttura per scadenza dei tassi di interesse, la
si può usare per valutare qualsiasi titolo a reddito fisso. Perciò in generale la
regola di valutazione di un titolo a reddito fisso A che prevede i flussi ak alle
date tk , k = 1, 2, . . . , n, è
V
A
=
n
X
ak (1 + h (0, tk ))−tk ,
k=1
10
cioè il valore attuale, calcolato secondo la struttura per scadenza dei tassi di
mercato, dei pagamenti futuri.
In un mondo dinamico la struttura h (0, t) è valida solo a t = 0. Infatti,
in un momento successivo s > 0 le quotazioni di mercato possono cambiare,
rendendo necessario ricalcolare h (s, t).
Esempio 3.2 Se nel mercato appena descritto una società emette un prestito
obbligazionario triennale con cedole calcolate al 3,5% e rimborso alla pari, qual
è il corso di emissione?
Il corso di emissione è il valore attuale, calcolato secondo la struttura per
scadenza di mercato (h (0, 1) = 3,30%, h (0, 2) = 3,75%, h (0, 3) = 4%), dei
flussi futuri prodotti da 100 di valore nominale:
3,5 (1,033)−1 + 3,5 (1,0375)−2 + 100,5 (1,04)−3 ≃ 95,984.
3.2
Tassi a termine
Ho accennato, nel paragrafo precedente, alla possibilità di fissare oggi il prezzo
di un titolo da acquistare in una data futura, cioè di stipulare un contratto a
termine. Stabilire oggi, a t = 0, che il prezzo per l’acquisto a s > 0 di un titolo
zero coupon dal valore nominale C e con vita residua τ è P (0, s, s + τ ), equivale a fissare il tasso di rendimento a termine (o forward) annuo h (0, s, s + τ )
di un impiego che inizia a s e finisce a (s + τ ):
h (0, s, s + τ ) =
C
P (0, s, s + τ )
1
τ
− 1,
(3.1)
Suppongo, per semplicità, C = 1, perciò P (0, t) < 1 per t > 0 e P (0, 0) =
1. Supponendo la coesistenza di un mercato a pronti e uno a termine, posso
acquistare oggi sul mercato a pronti al prezzo P (0, s + τ ) un titolo zero coupon dal valore nominale c = 1 con scadenza (s + τ ); posso finanziare questo
acquisto indebitandomi al tasso di mercato per la somma P (0, s + τ ), impegnandomi a restituirla ad s. L’accensione del debito equivale all’emissione di
un titolo zero coupon dal prezzo di emissione P (0, s + τ ) e dal valore nominale
P (0, s + τ )
, oppure, detta in un altro modo, alla vendita allo scoperto (cioè
P (0, s)
senza la disponibilità del titolo) di uno zero coupon con scadenza s dal valore
P (0, s + τ )
nominale
. Nel suo complesso questa operazione prevede al tempo
P (0, s)
0 un’uscita di cassa di P (0, s + τ ) per l’acquisto dello zero coupon e un’entrata di P (0, s + τ ) derivante dall’indebitamento. Al tempo s dovrò estinguere
P (0, s + τ )
il debito pagando
; al tempo (s + τ ) incasserò il valore nominale 1
P (0, s)
11
dello zero coupon acquistato a 0. Esaminando i flussi netti di cassa di questa
operazione
0
acquisto zcb che scade a (s + τ )
(s + τ )
s
−P (0, s + τ )
indebitamento da 0 a s
P (0, s + τ )
saldo
0
1
P (0, s + τ )
−
P (0, s)
P (0, s + τ )
−
P (0, s)
1
(3.2)
mi accorgo che in pratica si tratta di un impiego di denaro da s a (s + τ ) come
se si trattasse di un contratto a termine che prevede
vendita a termine
0
s
(s + τ )
0
−P (0, s, s + τ )
1
(3.3)
Per la legge del prezzo unico deve perciò essere
P (0, s, s + τ ) =
P (0, s + τ )
P (0, s)
(3.4)
altrimenti le operazioni (3.2) e (3.3) aprirebbero una possibilità di arbitraggio.
P (0, s + τ )
converrebbe stipulare un contratto a
Infatti, se P (0, s, s + τ ) <
P (0, s)
termine e nel frattempo investire una somma pari a P (0, s + τ ) in un titolo
zero coupon che scade ad s, indebitandosi per un importo P (0, s + τ ) da
restituire a (s + τ ):
0
acquisto a termine
acquisto zcb che scade ad s
indebitamento da 0 a s
−P (0, s + τ )
s
(s + τ )
−P (0, s, s + τ )
P (0, s + τ )
P (0, s)
1
P (0, s + τ )
saldo
0
−1
P (0,s+τ )
P (0,s)
− P (0, s, s + τ ) > 0
P (0, s + τ )
converrebbe trovare un acquiP (0, s)
rente per il contratto a termine e nel frattempo investire una somma pari a
P (0, s + τ ) in un titolo zero coupon che scade a (s + τ ), indebitandosi per un
Se invece fosse P (0, s, s + τ ) >
12
0
importo P (0, s + τ ) da restituire ad s:
0
vendita a termine
acquisto zcb che scade ad s
indebitamento da 0 a s
saldo
s
(s + τ )
P (0, s, s + τ )
−1
−P (0, s + τ )
P (0, s + τ )
0
1
P (0, s + τ )
−
P (0, s)
)
P (0, s, s + τ ) − PP(0,s+τ
(0,s) > 0
In entrambi i casi la strategia conduce ad un guadagno certo al momento s.
La condizione (3.4) o, in modo equivalente
P (0, s + τ ) = P (0, s) P (0, s, s + τ ) ,
(3.5)
viene detta parità pronti-termine o condizione di coerenza. Solo se è soddisfatta la condizione di coerenza possono convivere un mercato a pronti ed uno
a termine senza lasciare possibilità di arbitraggio. Quindi una volta noti i
prezzi a pronti, la (3.4) permette di calcolare i prezzi e i tassi a termine di
non-arbitraggio
1
τ
P (0, s)
− 1.
h (0, s, s + τ ) =
P (0, s + τ )
Osservo che, almeno formalmente, un prezzo a pronti P (0, t) può essere
considerato un caso particolare di prezzo a termine P (0, 0, t).
Date le scadenze 0 < t1 < t2 < · · · < tn , applicando ripetutamente la
condizione di coerenza (3.5) si ricava
P (0, tn ) = P (0, 0, t1 ) P (0, t1 , t2 ) · · · P (0, tn−2 , tn−1 ) P (0, tn−1 , tn ) ,
(3.6)
cioè il prezzo a pronti P (0, tn ) è pari al prodotto dei prezzi a termine riferiti
ad intervalli di tempo adiacenti che coprono l’intera durata [0, tn ]. La (3.6) si
dimostra facilmente riscrivendo i prezzi a termine secondo la (3.4):
P (0, 0, t1 ) P (0, t1 , t2 ) · · · P (0, tn−2 , tn−1 ) P (0, tn−1 , tn ) =
P (0, t1 ) P (0, t2 )
P (0, tn−1 ) P (0, tn )
=
···
;
P (0, 0) P (0, t1 )
P (0, tn−2 ) P (0, tn−1 )
P (0, tn )
= P (0, tn ).
P (0, 0)
In generale, con 0 ≤ tk < th ≤ tn , si ha
semplificando rimane
P (0, tk , th ) = P (0, tk , tk+1 ) P (0, tk+1 , tk+2 ) · · · P (0, th−2 , th−1 ) P (0, th−1 , th ) ,
(3.7)
13
0
cioè il prezzo a termine P (0, tk , th ) (a pronti se tk = 0) è pari al prodotto dei
prezzi a termine riferiti ad intervalli di tempo adiacenti che coprono l’intera
durata [tk , th ]. In termini di tassi annui la (3.7) può essere riscritta come
(1 + h (0, tk , th ))−(th −tk ) = (1 + h (0, tk , tk+1 ))−(tk+1 −tk ) (1 + h (0, tk+1 , tk+2 ))−(tk+2 −tk+1 ) · · ·
· · · (1 + h (0, th−2 , th−1 ))−(th−1 −th−2 ) (1 + h (0, th−1 , th ))−(th −th−1 ) ,
cioè
(1 + h (0, tk , th ))th −tk = (1 + h (0, tk , tk+1 ))tk+1 −tk (1 + h (0, tk+1 , tk+2 ))tk+2 −tk+1 · · ·
· · · (1 + h (0, th−2 , th−1 ))th−1 −th−2 (1 + h (0, th−1 , th ))th −th−1 ,
che, malgrado l’aspetto minaccioso, significa semplicemente che il fattore di
capitalizzazione di mercato fissato al tempo 0 per il periodo [tk , th ] è pari al
prodotto dei fattori di capitalizzazione di mercato dei sottoperiodi in cui posso
suddividere [tk , th ].
Riprendo l’esempio del paragrafo precedente. La tabella seguente mostra
la struttura a termine dei tassi annui e dei corsi tel quel dei titoli zero coupon1 .
t
h (0, t) P (0, t)
0,5 3%
98,533
1
3,30%
96,805
1,5 3,60%
94,833
2
3,75%
92,902
3
4%
88,900
4
4%
85,480
Grazie alla (3.4) si possono calcolare i corsi a termine2 che servono per trovare
1
I corsi P (0, 3) e P (0, 4) non sono prezzi di titoli trattati, ma sono
P (0, 3) = 100 (1 + h (0, 3))−3 ,
P (0, 4) = 100 (1 + h (0, 4))−4 ,
dove i tassi impiegati sono quelli ottenuti mediante la tecnica di bootstrap vista sopra.
2
Osservo che nella (3.4) è nascosta l’ipotesi C = 1. Se devo calcolare i corsi, devo
ricordarmi che C = 100, quindi la (3.4) diventa
P (0, s, s + τ ) = C
P (0, s + τ )
P (0, s + τ )
= 100
.
P (0, s)
P (0, s)
14
i tassi annui usando la (3.1):
98,533
100 100 ≃
96,805
(0, 0,5, 1) = 98,533 100 ≃
(0, 1, 1,5) = 94,833
96,805 100 ≃
(0, 1,5, 2) = 92,902
94,833 100 ≃
88,900
(0, 2, 3) = 92,902 100 ≃
(0, 3, 4) = 85,480
88,900 100 ≃
P (0, 0, 0,5) =
98,533
P
98,2462
P
P
P
P
h (0, 0, 0,5) =
h (0, 0,5, 1) =
h (0, 1, 1,5) =
100
98,533
100
98,2462
100
97,963
1
0,5
97,964
95,692
96,153
−1≃
1
0,5
1
0,5
97,963
−1≃
3%
3,60%
−1≃
4,20%
100
h (0, 1,5, 2) = 97,964
−1≃
100
h (0, 2, 3) = 95,692
−1≃
100
−1≃
h (0, 3, 4) = 96,153
4,20%
1
0,5
4,50%
4%
È altresı̀ possibile ricavare, per esempio, il prezzo a termine
P (0,1, 2) =
92,902
100
100 ≃ 95,968 ed i relativi tasso annuo h (0, 1, 2) =
−1 ≃
96,805
95,968
4,20%. La figura 2 mostra i tassi annui a pronti e a termine.
0.046
0.044
0.042
0.040
0.038
0.036
0.034
0.032
0.030
0.028
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
4.0
tempo a scadenza
Figura 2: Tassi annui a pronti (cerchi) e a termine (quadratini).
15