Vittorio Lucio
Callegaro,
Paolantonio
Marazzini
Itis - Liceo Scientifico
Tecnologico
“E. Molinari”,
Milano
Correzioni alla legge di Stokes per la misura
della viscosità di un liquido
(Pervenuto il 05.10.2004, approvato il 03.03.2006)
ABSTRACT
The viscosity of a viscous medium can be found by measuring the terminal velocity of small falling spheres
and applying Stokes’ law. The experiment is didactically interesting and easily performed in school, but
because of the finiteness of the medium edge effects produce theoretical and experimental difficulties. In
order to obtain acceptable values of the viscosity coefficient corrections for edge effects must be introduced.
Introduzione
Un’esercitazione normalmente realizzata nei laboratori di fisica delle scuole
medie superiori consiste nello studio del moto di caduta di piccole sfere in un
liquido viscoso, tipicamente glicerina. L’esperienza, che presenta interessanti
aspetti teorici e sperimentali nel seguito dettagliatamente esaminati, consente di
effettuare una stima della viscosità del liquido attraverso la misura della velocità
limite di caduta di sferette.
La determinazione della viscosità si basa sull’assunzione della legge di Stokes,
la quale tuttavia, è rigorosamente valida solo in un mezzo di estensione infinita.
In questo articolo, grazie al riesame di alcuni lavori sperimentali e teorici dei primi del Novecento (successivamente caduti nell’oblio, a quanto risulta consultando invano manuali più recenti), s’introducono alcune correzioni alla legge di
Stokes che, tenendo conto degli effetti di bordo del recipiente, consentono di
ottenere risultati quantitativamente accettabili per la misura della viscosità.
1. Analisi
dinamica del
moto di caduta
di una sferetta
in un liquido
viscoso
Come è noto, un corpo che cade in un fluido viscoso, è soggetto alla contemporanea azione di tre forze:
Å la forza peso Fp = m g, diretta verticalmente e orientata verso il basso;
Å la spinta di Archimede FA, diretta verticalmente e orientata verso l’alto;
Å la forza di attrito FV, diretta verticalmente, orientata verso l’alto e dipendente in generale: a) dalla forma del corpo, b) dalla viscosità η e dalla densità ρ
del liquido e c) dalla velocità v del corpo.
Nel caso di corpi di forma sferica che si muovono a bassa velocità, la forza
d’attrito viscoso risulta indipendente dalla densità del fluido e assume la semplice forma della ben nota legge di Stokes:
FV = 6 π η r v
(1)
ove r indica il raggio della sferetta. Tale legge è valida in un mezzo infinito e a patto che il moto del fluido attorno al corpo sia di tipo laminare. Più precisamente
ρrv
ciò si verifica quando il numero di Reynolds [1] associato al sistema ( Re =
)è
η
inferiore a 0,5 (per taluni autori, inferiore a 0,2).
Nell’esperimento che descriveremo nel seguito abbiamo fatto cadere sferette di vetro (ρS = 2.560 kg/m3) di raggio massimo 3,0 mm nella glicerina
(ρ = 1.260kg/m3). Come è ben noto la viscosità dei fluidi dipende sensibilmente
dalla temperatura. A 21,5ºC, temperatura a cui sono state effettuate le misure, la
viscosità della glicerina presenta un valore di 1,32 Ns/m2. Questo dato è stato ottenuto interpolando le misure della viscosità della glicerina tra 0ºC e 30ºC, tratte
NOTE DI LABORATORIO
18
La Fisica nella Scuola, XXXIX, 1, 2006
dall’Handbook of Chemestry and Physics, The Chemical Rubber Co. (1970), mediante la relazione esponenziale η(T) = A e b/T, dove T è la temperatura assoluta
della glicerina. Con questi dati e mediante un rapido calcolo possiamo stimare la
massima velocità delle sferette compatibile con l’applicabilità della legge di
Stokes. Nel caso più restrittivo (Re < 0,2) risulta che la velocità delle sferette non
dovrebbe superare i 7 cm/s, (il limite sale a 17 cm/s nel caso Re < 0,5). Consultando la tabella 1, nel seguito riportata, è possibile verificare che, essendo la velocità
massima delle sfere da 3 mm (raggio massimo) inferiore a 1 cm/s, siamo nelle
condizioni di applicabilità della legge di Stokes.
Supponiamo ora che una sferetta appoggiata in quiete alla superficie limite
del liquido, venga lasciata libera a se stessa. Il suo moto sarà caratterizzato da due
distinte fasi:
Å una prima fase (detta transitoria) in cui il moto è accelerato, ma con un valore
dell’accelerazione che diminuisce nel tempo tendendo più o meno rapidamente a zero a causa della forza viscosa che cresce in proporzione alla velocità istantanea della sferetta;
Å una seconda fase (detta di regime) in cui, una volta raggiunta la condizione di
annullamento della forza totale agente sulla sferetta, il moto è uniforme e caratterizzato da una velocità limite vL.
Non riteniamo didatticamente opportuna la deduzione teorica della legge
oraria del moto della sfera a livello di scuola media superiore [2], in quanto richiederebbe l’integrazione di un’equazione differenziale del second’ordine, la seconda legge di Newton, che nel nostro caso assume la forma:
mx&& = FP − FA − FV .
(2)
Anche sul fronte sperimentale si presentano delle difficoltà ad analizzare la
fase transitoria, dovute essenzialmente alla brevità spaziale e temporale in cui
essa si sviluppa. Si pensi ad esempio che nella nostra situazione la sferetta raggiunge la velocità limite su distanze dell’ordine del millimetro. L’impiego di
tecniche stroboscopiche per il rilevamento delle posizioni della sferetta non sarebbe dunque in questo caso praticabile.
Generalmente nella prassi didattica, attraverso ragionamenti qualitativi relativi alle forze agenti sulla sferetta (e in particolare sulla crescita della forza viscosa in proporzione alla velocità a differenza delle altre forze che restano costanti),
l’insegnante introduce la relazione velocità istantanea - tempo della sferetta
v (t ) = v L (1 − e −t /τ )
e il relativo grafico.
Figura 1. Simulazione del moto di una sferetta di vetro di raggio 3mm in glicerina a 21,5ºC, assumendo come valida la legge di Stokes.
NOTE DI LABORATORIO
19
La Fisica nella Scuola, XXXIX, 1, 2006
Importante è il significato della cosiddetta costante di tempo τ, definita in questo
2 ρ sr 2
caso dalla relazione [3] τ =
. Essa consente in particolare di stimare dopo
9 η
quanto tempo ed entro quale distanza la sferetta raggiunge la velocità limite. È
immediato infatti verificare che trascorso un tempo τ la velocità della sfera ha
completato il 63,2% della sua variazione complessiva mentre dopo 5τ tale percentuale sale al 99,3%. Una stima per eccesso della distanza entro cui si raggiunge la
velocità limite è data allora dal prodotto d ≅ vL · 5τ.
La seconda fase del moto è invece più facile da analizzare in quanto più semplicemente caratterizzata dalla relazione di annullamento delle forze agenti sulla
sferetta:
FP − FA − FV = 0 .
(3)
Indicando con g l’accelerazione gravitazionale, possiamo convenientemente
esprimere la forza peso e la spinta di Archimede nel modo seguente:
4
FP = π r 3 ρ S g
3
(4)
4
FA = π r 3 ρ g .
3
(5)
Assegnando alla variabile v della relazione (1) il valore vL della velocità limite
corrispondente alla fase di moto uniforme e utilizzando le formule (4) e (5), la
relazione (3) diviene:
4 3
4
π r ρ S g − π r 3ρ g − 6π η r v L = 0 .
(6)
3
3
Da questa, con semplici passaggi, si giunge alla relazione:
2( ρ S − ρ ) g 2
⋅ r = k ⋅ r2
(7)
9η
la quale mette in evidenza l’interessante dipendenza quadratica tra la velocità
limite della sferetta e il suo raggio la cui verifica sperimentale, come vedremo nel
seguito, comporta alcune difficoltà.
A partire dalla relazione (7) è anche possibile ricavare il valore della viscosità
del liquido in cui cade la sferetta. Basta infatti misurare la velocità limite per un
numero sufficiente di sferette dello stesso raggio (al fine di applicare correttamente il calcolo dell’incertezza sperimentale) e, note le costanti, calcolare il valore
della viscosità del liquido invertendo la formula (7):
2( ρ S − ρ ) g r 2
.
η=
(8)
9v L
Naturalmente anche questa formula è soggetta agli stessi problemi di applicabilità riguardanti la formula (7).
vL =
2. Considerazioni
didattiche
Il fenomeno appena analizzato si dimostra didatticamente molto interessante sia per gli aspetti teorici sia per gli aspetti sperimentali che coinvolge. Elenchiamo nel seguito le opportunità didattiche più importanti che uno studio del fenomeno consente di cogliere sul fronte teorico e sperimentale.
Aspetti teorici
Å Studio di un sistema meccanico in cui l’azione della forza d’attrito caratterizza
in modo preponderante il moto del corpo su cui agisce, diversamente da quelNOTE DI LABORATORIO
20
La Fisica nella Scuola, XXXIX, 1, 2006
lo che accade nella realizzazione delle esperienze “ideali” della dinamica (es. verifica del primo e del secondo principio) nelle quali si cerca in ogni modo di
ridurre gli attriti per poterli trascurare;
Å studio di una situazione in cui entrano in gioco la forma e le dimensioni del corpo in moto (dipendenza quadratica tra velocità limite e raggio delle sferette);
Å introduzione del concetto di viscosità;
Å applicazione del principio di Archimede ad un caso diverso da quello del galleggiamento statico;
Å introduzione dei concetti di moto laminare e turbolento;
Å osservazione dei limiti di applicabilità delle leggi fisiche (numero di Reynolds e
legge di Stokes);
Å eventuale sviluppo di un calcolo numerico ricorrente che conduca alla deduzione della legge esponenziale con la quale il corpo raggiunge il regime di moto
uniforme caratterizzato da una velocità limite;
Å applicazione della teoria della propagazione delle incertezze sperimentali in un
caso non banale.
Aspetti sperimentali
Å Esecuzione di misure di spazio e tempo finalizzate alla determinazione della velocità del corpo in caduta;
Å esecuzione di misure di lunghezza mediante calibro o micrometro centesimale;
Å determinazione della densità di un solido a partire dalla misura della sua massa e dalla misura delle sue dimensioni geometriche;
Å determinazione della densità di un liquido con tecniche varie (misura del rapporto massa/volume, densimetro a peso costante, bilancia di Mohr).
Si tratta quindi di un esperimento molto “ricco” dal punto di vista didattico
e, oltretutto, eseguibile con materiale “povero”. Esso comporta tuttavia un inconveniente molto grave: gli esiti sperimentali sono coerenti, con buona approssimazione alle previsioni della relazione (7), solo se si utilizzano sferette di diametro molto piccolo (un paio di millimetri al più) e se queste sono fatte cadere in
recipienti di grandi dimensioni (ad esempio in cilinr
vL
k = vL/r2
(mm)
(mm/s)
(mm–1 s–1)
dri di diametro pari almeno a 6-7 cm e di altezza pa2,95 ± 0,05
9,66 ± 0,06
1,11 ± 0,04
ri almeno a 25-30 cm). En3,05 ± 0,05
9,79 ± 0,06
1,05 ± 0,04
trambe le condizioni sono
2,95
±
0,05
9,90
±
0,06
1,14 ± 0,05
piuttosto restrittive: la pri2,90 ± 0,05
9,60 ± 0,06
1,14 ± 0,05
ma, perché non è facile reperire e poi maneggiare sfe2,50 ± 0,05
7,60 ± 0,05
1,22 ± 0,06
rette di diametro inferiore
2,50 ± 0,05
7,55 ± 0,05
1,21 ± 0,06
a un paio di millimetri; la
2,55 ± 0,05
7,72 ± 0,05
1,19 ± 0,05
seconda, perché un reci2,05
±
0,05
5,45
±
0,04
1,30 ± 0,07
piente delle dimensioni so1,95
±
0,05
5,68
±
0,04
1,49 ± 0,09
pra indicate contiene quasi un litro di liquido e que2,00 ± 0,05
5,75 ± 0,04
1,44 ± 0,08
sto comporta che per una
1,00 ± 0,01
1,74 ± 0,01
1,74 ± 0,04
attività di laboratorio ese1,00 ± 0,01
1,75 ± 0,01
1,75 ± 0,05
guita da sei gruppi di stu0,98 ± 0,01
1,76 ± 0,01
1,83 ± 0,05
denti siano necessari alme1,02
±
0,01
1,74
±
0,01
1,67
± 0,04
no sei litri di liquido visco1,02 ± 0,01
1,78 ± 0,01
1,71 ± 0,04
so e ciò, nel caso in cui si
decida di utilizzare un liqui- Tabella 1.
NOTE DI LABORATORIO
La Fisica nella Scuola, XXXIX, 1, 2006
21
do di viscosità certificata (come la glicerina ad esempio) comporta sempre un certo costo [4].
A dimostrazione di quanto affermato, nella tabella 1 si riportano i valori del
raggio r di 15 sferette di vetro fatte cadere in un cilindro contenente glicerina, della loro velocità limite vL e del rapporto vL/r2.
Come si può notare, la dipendenza vL = k r2 non viene rispettata e, conseguentemente, la deduzione della viscosità della glicerina a partire dai valori della tabella conduce a valori che
dipendono dal raggio delη
r medio
k media
(mm)
(mm–1 s–1)
(Ns/m2)
la sferetta.
A conferma di quanto
2,96 ± 0,08
1,11 ± 0,05
2,6 ± 0,1
affermato si osservino i va2,52 ± 0,05
1,21 ± 0,06
2,3 ± 0,1
lori della viscosità riporta2,00 ± 0,05
1,40 ± 0,1
2,0 ± 0,1
ti nella tabella 2 applican1,00 ± 0,02
1,74 ± 0,08
1,63 ± 0,07
do la relazione (8) ai valori
medi dei dati riferiti a sfe- Tabella 2.
rette di raggio simile.
Per una corretta valutazione delle incertezze che compaiono in queste tabelle
si tenga presente quanto segue.
Å Per le sferette di raggio maggiore o uguale a circa 2 mm si è eseguita una misura
del loro diametro mediante un calibro ventesimale; per quelle di raggio minore si è utilizzato un micrometro centesimale.
Å Il tempo di caduta di ciascuna sferetta è stato rilevato manualmente con un cronometro al centesimo di secondo [5] su un tratto di (165 ± 1) mm.
Å La valutazione dell’incertezza della velocità limite vL è stata eseguita mediante
il criterio della propagazione degli errori. Ad esempio, riferendoci alla prima terna di valori della tabella 1, si era ottenuto un tempo di caduta di 17,08 s e quindi, eseguendo i calcoli con una calcolatrice scientifica si ottiene:
165mm
mm
= 9,660421546
17, 08s
s

 ∆s ∆t 
0, 01s 
mm
1mm
+
∆v L = v L ⋅  +  = 9,660421546
⋅
 = 0 , 064203994mm .
t 
s  165mm 17, 08 
 s
vL =
Esprimendo quindi l’incertezza con una sola cifra significativa (in questo
caso approssimata per difetto) si ottiene: ∆vL = 0,06 mm e conseguentemente
vL = (9,66 ± 0,06) mm.
3. Come trattare
la caduta di una
sferetta in un
liquido viscoso
contenuto
in un cilindro?
Non è facile rispondere a questa domanda consultando testi anche universitari di Fisica Generale e/o Sperimentale. A proposito del moto di caduta di sferette in un liquido, essi si limitano a riproporre quanto si è detto nel primo paragrafo di questo lavoro senza spiegare come vada trattato il caso di sferette di
diametro non troppo piccolo e, tanto meno, quale sia eventualmente l’effetto da
parte di un recipiente di dimensioni finite sul moto delle sferette.
Ad esempio, per considerare un testo attuale, nel pur ottimo P. Mazzoldi, M.
Nigro, C. Voci, Fisica, EdiSES, Napoli (1998), in un esempio del paragrafo intitolato Moto in un fluido. Resistenza del mezzo, dopo aver dedotto la relazione (7), così
si afferma:
Il risultato è vero per sfere solide di piccolo diametro (r ≅ 1 mm) che cadono in un liquido e anche per gocce di liquido in aria se r ≤ 1 µm (pag. 282, Vol. I).
La stessa indeterminatezza delle condizioni in cui si può applicare la legge di
Stokes caratterizza però anche un testo “classico” quale E. Perucca, Fisica GeneraNOTE DI LABORATORIO
22
La Fisica nella Scuola, XXXIX, 1, 2006
le e Sperimentale, UTET, Torino (1960). Nell’ambito del paragrafo intitolato Legge
di Stokes, dopo aver dedotto una relazione analoga alla (8), così l’autore scrive:
La determinazione di η nei liquidi molto viscosi può compiersi appunto determinando il raggio e la velocità di caduta in regime stazionario di una sferetta di acciaio, sempre che questa velocità sia inferiore alla velocità critica, dopo la quale si forma nella caduta la scia vorticosa (p. 564, Vol. I).
Abbiamo esaminato almeno una quindicina di testi di Fisica Generale e/o Sperimentale per l’Università, di autori italiani e stranieri; in tutti si descrive la legge
di Stokes e il problema della caduta di una sfera in un mezzo viscoso ma in nessuno si riporta almeno una serie di valori sperimentali con la relativa discussione
che stabilisca chiaramente in quali condizioni quei risultati si possano interpretare utilizzando la legge di Stokes.
In questa nota didattica vogliamo rimediare a questa situazione, recuperando
il contenuto di alcuni lavori dei primi decenni del Novecento, stranamente ignorati dai fisici sperimentali italiani (e non solo italiani).
Il punto di partenza è stato una ricerca sulla rete, alla voce “legge di Stokes”,
mediante la quale siamo venuti a conoscenza del fatto che il problema della caduta di sfere in liquidi viscosi era stato studiato nel 1920 da W.H. Gibson e L.M.
Jacobs. Un’ulteriore ricerca sugli Abstract delle riviste di Chimica di quegli anni ci
conduceva poi al lavoro seguente:
William Howieson Gibson, Laura Mary Jacobs, “The Falling Sphere Viscosimeter”, Journal of Chemical Society, 117, 473-478 (1920).
In questo lavoro si esamina il fenomeno della caduta di sfere di acciaio allo
scopo di realizzare un viscosimetro adatto alla misura assoluta della viscosità. Il
punto di partenza teorico degli autori è ancora la legge di Stokes ma con la sottolineatura seguente:
L’equazione di Stokes si applica solo ad una sfera che cade in un liquido di estensione infinita... (p. 474).
Quando la sfera cade in liquidi confinati, ad esempio in liquidi contenuti in
un cilindro, occorre invece tenere presente che:
... vi sono due correzioni lineari da apportare alla semplice equazione di Stokes per
il caso di una piccola sfera che cade verticalmente attraverso un liquido viscoso contenuto in un tubo cilindrico, una correzione per l’effetto-parete (wall-effect) e una per l’effetto-fondo (end-effect). La correzione per l’effetto-parete è:
V (1+ 2, 4 x ) = V∞
dove x indica il rapporto fra il raggio della sfera e quello del cilindro, V è la velocità della sfera, e V∞ la velocità della sfera corretta per un mezzo infinito. Questa formula fu
confermata sperimentalmente per tubi e sfere del raggio da noi usato, ma cade in difetto quando x diventa grande, quindi per una sfera di acciaio di dato diametro, il diametro del tubo impiegato deve essere sufficientemente grande perché si possa applicare la
correzione. (...)
[Mediante misure opportune, Gibson e Jacobs stabiliscono che la variabile x
deve risultare inferiore a circa 0,1.]
La correzione per l’effetto-fondo (...) è di minore importanza di quella dell’effetto-parete ma è apprezzabile. (...) La correzione è:

r 
V∞ =V 1+ 3, 3 
H 

dove r è il raggio della sfera e H è l’altezza del liquido (pp. 474-475).
In definitiva, quando dalla (8) si vuole dedurre il valore della viscosità di un
liquido, il valore misurato della velocità limite vL deve essere sostituito dal
valore:
NOTE DI LABORATORIO
La Fisica nella Scuola, XXXIX, 1, 2006

r 
r 
v L' = v L 1+ 2 , 4  ⋅ 1+ 3, 3 
R 
H

23
(9)
dove R indica il raggio del cilindro e H l’altezza della colonna di liquido contenuta nel cilindro.
Le correzioni proposte da Gibson e Jacobs sono il frutto di un lavoro sperimentale e teorico sviluppato una diecina di anni prima da Rudolf Ladenburg il
cui resoconto è riportato in due articoli pubblicati nel 1907 sugli Annalen der
Physik [6].
Il primo è di carattere prevalentemente sperimentale. In esso, rifacendosi in
particolare a un precedente lavoro di Lord Rayleigh [7] vengono ricordati i limiti applicativi della legge di Stokes e descritte, con grande accuratezza, le caratteristiche costruttive di un apparato adatto a verificare gli effetti delle pareti di un recipiente cilindrico di sezione avente raggio R e dell’altezza H della
colonna di liquido contenuta nel cilindro sulla velocità di una sfera che cade
in esso liberamente [8] e gli effetti della pressione e della temperatura sulla viscosità [9].
I risultati sperimentali ottenuti da Ladenburg mostrano che applicando le formule correttive si ottiene un valore della viscosità in ottimo accordo con quelli
ottenuti con altre tecniche sperimentali e affetto da un’incertezza dell’ordine
dell’1%.
Al contrario i valori determinati sulla base della sola legge di Stokes manifestano una variazione progressiva della misura della viscosità, al variare del raggio della sferetta usata, che tra le sfere di raggio minimo e massimo raggiunge
il 20%.
Il secondo articolo è di carattere prevalentemente teorico e si propone di
dedurre la relazione (9) applicando al caso di una sfera che cade in un cilindro il
metodo di calcolo proposto da H.A. Lorentz [10] per stabilire l’azione prodotta su
un corpo che cade in un liquido dalla riflessione del movimento delle parti di
liquido mosse dal corpo in caduta (principio di sovrapposizione degli effetti).
Il punto di partenza della deduzione è costituito dalle consuete equazioni della fluidodinamica nelle quali compaiono le componenti delle velocità delle parti di liquido, i gradienti di pressione secondo le tre direzioni degli assi coordinati e la viscosità del liquido. Il sistema di equazioni viene applicato al caso di una
sfera in caduta verticale in un ipotetico cilindro di lunghezza infinita e, a partire
dal nuovo sistema specifico, con passaggi formali piuttosto complessi, si determinano gli effetti che la riflessione, sulle pareti del cilindro, del movimento delle
parti di liquido mosse dal movimento originario della sfera determinano sulla
sfera stessa.
La conclusione della deduzione è una espressione della velocità con la quale
il liquido si muove in corrispondenza del punto centrale della sfera. Questa velocità risulta avere verso opposto a quello della sfera e modulo dato dalla relazione:
r
2, 4 v L
R
ove R indica il raggio della sezione trasversale del cilindro e vL la velocità limite
della sfera. Ne consegue che la velocità relativa fra la sfera e il liquido assume il

r
valore v L 1 + 2 , 4  .
R


L’applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti consente all’autore anche la determinazione dell’effetto associato al fatto che la colonna di liquido abbia altezza finita; in definitiva, si giunge quindi alla relazione (9).
NOTE DI LABORATORIO
24
La Fisica nella Scuola, XXXIX, 1, 2006
4. Correzioni
ai valori
sperimentali
Completiamo la presenR
vL’
k’ = vL’/r2
te nota introducendo le
(mm/s)
(mm-1s-1)
(mm)
correzioni di “bordo” e2,95 ± 0,05
15,9 ± 0,2
1,82 ± 0,09
spresse dalla relazione (9)
3,05
±
0,05
16,3
±
0,2
1,75
± 0,08
sui nostri dati sperimenta2,95
±
0,05
16,3
±
0,2
1,87
± 0,09
li riportati nella tabella 1.
Tenendo presente che il
2,90 ± 0,05
15,7 ± 0,2
1,86 ± 0,09
diametro della sezione tra2,50 ± 0,05
11,7 ± 0,2
1,90 ± 0,10
sversale interna del cilindro
2,50 ± 0,05
11,6 ± 0,2
1,90 ± 0,10
in cui venivano fatte cade2,55
±
0,05
12,0
±
0,2
1,80 ± 0,10
re le sferette era di 25 mm
2,05
±
0,05
7,9
±
0,1
1,90
± 0,10
e che l’altezza della colon1,95 ± 0,05
8,1 ± 0,1
2,10 ± 0,10
na di liquido era di 200
mm, i valori della costante
2,00 ± 0,05
8,2 ± 0,1
2,10 ± 0,10
k che compaiono nella ter1,00 ± 0,01
2,11 ± 0,02
2,11 ± 0,06
za colonna della tabella 1 si
1,00 ± 0,01
2,12 ± 0,02
2,12 ± 0,06
modificano come indicato
0,98
±
0,01
2,12
±
0,02
2,21 ± 0,06
nella tabella 3.
1,02 ± 0,01
2,12 ± 0,02
2,03 ± 0,06
Come si può vedere, i
valori dei rapporti che com1,02 ± 0,01
2,16 ± 0,02
2,08 ± 0,06
paiono nella terza colonna Tabella 3.
sono ora molto meno diversi rispetto a quelli riportati nella tabella 1, tuttavia la differenza non appare del
tutto eliminata. Il motivo di ciò va ricercato nel fatto che, come si è detto nel paragrafo precedente, il rapporto r/R non deve superare il valore 0,1. Nel nostro esperimento questa condizione è verificata solo per le sferette di raggio 1 mm e ciò
spiega il progressivo aumento del valore della costante k al crescere del raggio delle sferette.
Per determinare il valore della viscosità si dovranno quindi utilizzare i soli
dati relativi alle sferette di raggio 1mm. Questi forniscono un k’ medio di
(2,11 ± 0,09)s–1 mm–1 e un valore della viscosità pari a (1,34 ± 0,06) Ns/m2. La misura ottenuta è in buon accordo con il valore di 1,32 Ns/m2 ottenuto per interpolazione dei dati sperimentali tratti dall’Handbook of Chemestry and Physics; infatti
il valore di 1,32 Ns/m2 oltre a cadere nell’intervallo di confidenza delle nostre misure, che va da 1,29 Ns/m2 a 1,4 Ns/m2, presenta uno scarto dal nostro valore sperimentale dell’1,5%.
Per la misura della temperatura, abbiamo utilizzato un termometro di portata 40ºC e sensibilità 0,1ºC/div. La misura è stata ripetuta più volte nel corso dell’esperimento per controllarne la costanza. Va infatti tenuto presente che la
viscosità della glicerina varia notevolmente al variare di questo parametro; ad
esempio, se la temperatura passa da 20ºC a 25°C, la viscosità passa da 1,490 Ns/m2
a 0,954 Ns/m2. Ne consegue che, trattando per semplicità la dipendenza viscositàtemperatura come lineare, una variazione di 0,1ºC della temperatura comporta
una variazione della viscosità di circa 0,011 Ns/m2. Poiché il valore della viscosità
ottenuto era di circa 1,3 Ns/m2, una variazione in più o in meno di 0,1ºC avrebbe comportato un errore relativo percentuale di poco inferiore all’1%. Per una
misura di tipo didattico un errore di questa entità è del tutto accettabile ma se
l’escursione termica fosse stata anche solo di 1ºC l’errore indotto sul valore della
viscosità sarebbe stato del 10% circa.
Conclusioni
Quanto riportato nel presente articolo mette in evidenza come lo studio del
moto di caduta di sferette in liquidi viscosi possa essere proposto agli allievi di
NOTE DI LABORATORIO
La Fisica nella Scuola, XXXIX, 1, 2006
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una scuola superiore solo con una debita introduzione teorica e disponendo di
una strumentazione opportuna. In particolare va tenuto presente il limite di applicazione della formula correttiva che consente di determinare la velocità limite teorica: il rapporto fra il raggio della sferetta e il raggio del cilindro non deve
superare il valore di 0,1. Questo comporta ad esempio che, per sferette di raggio
pari a 3 mm, il raggio del cilindro debba essere almeno di 30 mm, misura decisamente superiore a quella dei cilindri di vetro impiegati nei laboratori didattici,
che solitamente hanno raggi variabili da 10 a 20 mm. Nelle misure da noi presentate la condizione sopra indicata è verificata dalle sole sferette di raggio 1mm; ciò
comporta l’esclusivo impiego di queste per la determinazione della viscosità,
anche se con soddisfacenti risultati. Resta invece impossibile verificare, con una
ragionevole precisione, la dipendenza quadratica della velocità limite dal raggio
delle sferette.
Questi problemi possono essere superati utilizzando sferette di raggio inferiore a 1 mm. Effettivamente utilizzando sferette di acciaio di raggio pari rispettivamente a 0,35 mm, 0,5 mm, 0,75 mm abbiamo potuto verificare correttamente la
dipendenza quadratica tra velocità limite e raggio. Con sferette così piccole sorgono tuttavia alcuni inconvenienti non trascurabili.
La manipolazione delle sferette più piccole, in particolare per allievi poco abituati a trattare con oggetti di tali dimensioni, è tutt’altro che semplice; particolarmente critico al termine dell’esperienza il recupero dal liquido delle sferette di
raggio minimo (0,35 mm). Questo inconveniente va inoltre correlato con il fatto che sferette di tale raggio, d’incertezza certificata pari a 1/1000 mm, hanno un
costo non trascurabile (1 euro ciascuna).
Una possibile soluzione potrebbe essere allora quella di utilizzare sferette di
raggio variabile da 2 a 4 mm (meno costose) con shampoo trasparenti molto
viscosi (decisamente più economici della glicerina) disposti in grandi becher di
raggio pari almeno a 6-7 cm e di altezza almeno pari a 25-30 cm. In tale caso però,
a meno di non poter disporre di un viscosimetro professionale, non sarà possibile effettuare un controllo della accuratezza della misura.
Note e
Bibliografia
[1] Si ricorda che il numero di Reynolds è un parametro adimensionale che consente di stabilire
le condizioni in cui il moto di un fluido è laminare. Esso è in generale definito dalla relazione
ρdv
, ove r ed η sono rispettivamente la densità e la viscosità del liquido e d è una dimenη
sione caratteristica del sistema; ad esempio, per un fluido che scorre in una condotta d è il suo
diametro interno.
[2] Tanto più che nei programmi tradizionali dei licei lo studio dei fluidi viene affrontato piuttosto presto. Si potrebbe tuttavia pensare di riprendere l’analisi teorica dell’esperienza più avanti, quando vengono trattati i circuiti RC e RL o, più in generale, sistemi dissipativi che raggiungono un regime stazionario. In entrambi i casi, a nostro avviso, l’analisi della fase transitoria
può essere esaminata sul piano teorico solo mediante l’applicazione del metodo numerico, traducibile sia mediante un linguaggio di programmazione sia mediante un foglio elettronico (si
veda al proposito l’articolo di G. Pezzi e L. Paglialonga “Studio sperimentale della caduta di sfere in aria, con le possibilità offerte dalle nuove tecnologie”, LFnS, XXXIV, 2, 66-71 (2001)).
[3] Poiché, molto presumibilmente, l’esperimento in oggetto viene svolto prima dello studio del
calcolo infinitesimale, l’espressione di τ non può essere dedotta matematicamente. Potrà tuttavia essere giustificata:
Å studiando il moto della sferetta mediante la tecnica del calcolo ricorsivo (per il quale, in questo caso, è sufficiente un foglio elettronico) e ricercando poi i parametri che influiscono sul
tempo di raggiungimento della velocità limite;
Å accontentandosi più semplicemente di far notare che un raggio maggiore della sferetta e una
sua densità maggiore allungheranno il tempo necessario per raggiungere la velocità limite, mentre una viscosità maggiore lo ridurrà.
Re =
NOTE DI LABORATORIO
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La Fisica nella Scuola, XXXIX, 1, 2006
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
Una verifica dimensionale potrà infine consentire di giustificare l’esponente 2 del raggio della
sferetta, esponente che, d’altra parte, compare anche nella relazione (7) riguardante la velocità
limite.
Questo problema può essere superato facilmente disponendo in laboratorio di almeno un viscosimetro didattico o professionale. In tale caso l’insegnante (o un gruppo di allievi) potrà determinare la viscosità di qualche liquido di basso costo (detersivi per piatti trasparenti o sciroppi molto concentrati di acqua e zucchero, ad esempio) e quindi acquistabile in grandi quantità,
fornendo poi il valore ottenuto ai gruppi di lavoro onde consentire una stima dei risultati sperimentali ottenuti.
Nel caso in cui si preferisca assumere come incertezza assoluta della misura del tempo il valore
di 0,1 s per tenere conto del tempo di reazione dell’operatore, i valori delle prime dieci misure
andrebbero all’incirca raddoppiati. Si tenga però presente che una esatta valutazione della incertezza è ininfluente per quanto riguarda le conclusioni di fondo del presente lavoro.
R. LADENBURG, “Über die innere Reibung zäher Flüssigkeiten und ihre Abhängigkeit vom Druck”,
Ann. der Phys., 22, 287-309 (1907).
R. LADENBURG, Über den Einfluss von Wänden auf die Bewegung einer Kugel in einer reibenden
Flüssigkeit, Ann. der Phys., 22, 447-458 (1907).
Lord RAYLEIGH, Phil. Mag., 36, 354 (1893).
Ricordiamo in particolare che: a) per la misura venivano utilizzate sfere di acciaio i cui raggi,
determinati con la precisione di 1/1000 di mm, erano di 1,984 mm, 1,493 mm, 0,989 mm,
0,7485 mm; b) la densità delle sfere era di 7,705 g/cm3; c) il diametro interno dei cilindri in cui
si realizzava la caduta variavano da 27 mm a 44 mm; d) l’altezza della colonna liquida era di
200 mm.
Si constata che per il liquido impiegato (una miscela di 3 parti di Colofonia e 1 parte di Terpentinolo) la variazione termica di 1ºC comporta una variazione del 25% circa della viscosità mentre una variazione di pressione di 100 Atm determina una variazione della viscosità di circa il
100%.
H.A. LORENTZ, Abhandlung über theorie der Physik, Akad. Van Wet, 5, 168 (1896); il metodo proposto in questo testo si trova anche in G.G. STOKES, Cambridge Phil. Soc., 8 (1843).
2nd International Conference of
the European Society for the History of Science
The Global and the Local:
The History of Science
and the Cultural Integration of Europe
Cracow, Poland, September 6-9, 2006
http://www.2iceshs.cyfronet.pl/
NOTE DI LABORATORIO