Proposte didattiche
di Gianfranco Arrigo
Dipartimento dell’istruzione e della cultura,
Bellinzona
Modo d’uso del file
Dal menu “Presentazione”, attivare “Visualizza
presentazione”.
Tutte le diapositive sono automatizzate, perciò l’unica
azione che deve compiere il visitatore è un semplice
clic del mouse per passare da una diapositiva alla
prossima.
Per visionare solo alcune diapositive, uscire dalla
visualizzazione, aprire “imposta presentazione” dal
menu “Presentazione” e introdurre i numeri della
prima e dell’ultima dia che si vogliono vedere.
Il numero della diapositiva evidenziata si legge
cliccando sul cursore verticale e tenendo premuto il
bottone del mouse.
Educazione
al pensiero combinatorio
nella scuola media
Scomposizioni
additive
Attività
combinatorie
Problema 1: La castagnata
Supponiamo che nel mese di ottobre una scuola media
voglia organizzare nel piazzale della pallacanestro
l’annuale castagnata e che tutto quanto attiene
all’organizzazione degli spazi venga assegnato come
compito ad una classe di prima media.
Ecco la pianta del piazzale:
rete metallica alta
accesso possibile
Problema 1: La castagnata
All’interno del piazzale vengono collocati i fornelli che
servono a cuocere le castagne e delle transenne per
evitare ammassamenti di gente.
Le transenne vengono fornite dal comune e sono tutte
uguali.
Un fornello ha il diametro uguale alla metà della
lunghezza di una transenna.
Sono a disposizione 8 fornelli.
transenna
È aperto il concorso di idee.
fornello
Problema 1: La castagnata
Ecco le due migliori soluzioni trovate dagli allievi e
classificate ex-aequo al primo posto (l'unità di misura è la
lunghezza di una transenna):
soluzione di Giorgio
soluzione di Carla
Problema 1: La castagnata
Esistono altre soluzioni?
Ogni soluzione corrisponde a una delle possibili
scomposizioni additive del numero 6 (tralasciando
l'addendo zero). Sono quindi:
1+1+4
1+2+3
1+3+2
1+4+1
Carla
2+2+2
2+3+1
3+1+2
2+1+3
Giorgio
3+2+1
Sono 10: altre non ne possono esistere.
4+1+1
Problema 2: Le gesta di Guglielmo l'arciere
Guglielmo si appresta ad eseguire due tiri su questo
bersaglio:
Se si sommano i punti ottenuti da
Guglielmo nei due tiri, quali risultati
si potrebbero ottenere?
(Attenzione: il nostro arciere è
molto bravo, perciò colpisce
sempre il bersaglio.)
Problema 2: Le gesta di Guglielmo l'arciere
Soluzione
I risultati ottenibili sono quindi:
30, 40, 50, 75, 85, 115, 120, 125, 160, 200.
Sono 10: altri non ce ne sono.
Problema 3:
Le confezioni regalo del cantiniere
Un cantiniere ha a disposizione tre partite di bottiglie di
vino: una di bianco (B), una di rosso (R) e la terza di
spumante (S).
Deve preparare
confezioni regalo,
ciascuna contenente
quattro bottiglie.
Quanti tipi diversi di
confezioni può allestire?
CON
FEZI
ONE
REG
ALO
Problema 3:
Le confezioni regalo del cantiniere
Soluzione
CON
FEZI
ONE
REG
ALO
Il cantiniere può
preparare al massimo 15
confezioni diverse.
B R S
1
1
2
0
2
2
0
0
3
1
1
3
0
0
4
1
2
1
2
0
2
1
3
0
0
3
1
0
4
0
2
1
1
2
2
0
3
1
1
3
0
0
4
0
0
Scomposizioni
additive
Scomposi
zioni
moltiplica
tive
Attività
combinatorie
Problema 4:
Costruiamo parallelepipedi rettangoli
Con 30 cubetti congruenti, quanti diversi parallelepipedi
si possono costruire?
Per esempio, con 6 cubetti…
… si possono fare 9 parallelepipedi:
(1,2,3) (1,3,2) (2,3,1) (2,1,3) (3,1,2) (3,2,1)
Sono 9: altri non ce ne sono.
(6,1,1) ; (1,6,1) ; (1,1,6)
Problema 5: 778˚ Quesito con la Susi (adattato)
Susi:
Gianni:
Susi:
E che età hanno, Gianni, i tre figli di quella
coppia?
Scoprilo tu, Susi! Le tre età, considerate in
anni interi, moltiplicate fra loro, danno 40.
Gianni:
E no, non mi basta sapere questo, per
trovarle.
Beh… se invece le sommi, le tre età,
ottieni esattamente l'ora che i nostri
orologi segnano in questo momento.
Susi:
Gianni:
Ehm… non mi basta ancora: sii più preciso.
E allora sappi che il più piccolo è un maschio.
Problema 5: 778˚ Quesito con la Susi (adattato)
Soluzione
Il prodotto delle tre età è 40, perciò i casi possibili sono:
I
II
III
somma
1
1
40
42
2
1
20
23
2
2
10
14
2
4
5
11
8
5
1
14
10
4
1
15
unica soluzione
La somma delle età è un’ora (tra 0 e 24)…
… ma non basta!
Il minore è maschio.
Scomposizioni
additive
Scomposi
zioni
moltiplica
tive
Numera
zioni
Attività
combinatorie
Problema 6: Campeggio Estate Mare
È suddiviso in quattro zone:
- la Zona Blu, con i posti numerati da 0 a 53
- la Zona Rossa, con i posti numerati da 54 a 103
- la Zona Verde, con i posti numerati da 104 a 163
- la Zona Gialla, con 48 posti numerati a partire dal 164.
Problema 6: Campeggio Estate Mare
Quanti posti ha il campeggio?
Che numero porta l’ultimo posto della Zona Gialla?
ll numero 211
Problema 6: Campeggio Estate Mare
L’agenzia SETTEBELLO vuole
prenotare per il prossimo anno
tutti i posti il cui numero è
divisibile per 7. Quanti e quali
posti riserverà?
Problema 7: Vacanze in montagna
Sono stato in montagna dal 3 al 17 di agosto…
… cioè, quanti giorni in tutto?
Di solito si risponde così: 17 – 3 = 14; sono stato 14 giorni.
È la sola risposta possibile? È la migliore?
Occorrerebbe sapere se i giorni 3 e 17 sono stati di vacanza
come gli altri, oppure se sono stati giorni di viaggio.
Già, perché viaggiare oggi non è proprio fare vacanza…
Problema 7: Vacanze in montagna
Se anche il 3 e il 17 sono stati giorni di vacanza…
… allora i giorni di vacanza sono stati:
3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17
cioè 15 giorni esatti.
Se il 3 e il 17 sono stati giorni di viaggio…
… allora i giorni di vacanza sono stati:
4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
Cioè 13 giorni esatti.
15 e 13 sono due risposte pertinenti, anzi più credibili
di 14. Già, perché per ottenere 14 occorrerebbe fare in
modo che si viaggi il 3 e non il 17, oppure il 17 e non il
3; oppure ancora mezzo 3 e mezzo 17 (?!)
Problema 8: Quanti paletti?
Lungo un viale di 500 metri si vogliono mettere dei paletti,
uno ogni 10 metri. Quanti ce ne vogliono?
(……)
(10 m) (10 m)
(10 m) (10 m)
500 m
1
2
3
?
500 : 10 = 50; ci vogliono 50 paletti?
No! Se il viale fosse lungo 20 metri, ce ne vorrebbero 3,
cioè (20:10) + 1.
Il viale è lungo 500 metri, perciò (500:10) + 1 = 51 paletti.
Problema 8: Quanti paletti?
Lungo il contorno di un terreno rettangolare di 50 metri per
30 metri si vogliono mettere dei paletti, uno ogni 10 metri.
Quanti ce ne vogliono?
(10 m)
(10 m)
(10 m)
In questo caso la
soluzione corretta è la
più scontata:
Perimetro = 160 m
Numero paletti:
160:10 = 16
Problema 8: Quanti paletti?
Lungo il contorno di un terreno rettangolare di 50
metri per 30 metri si vogliono mettere dei paletti, uno ogni
10 metri. Questa volta, però, in ciascuno dei quattro vertici
c’è già un palo. Quanti paletti occorrono?
(10 m)
(10 m)
(10 m)
La soluzione corretta è
12 paletti.
Si può ottenere anche
così
(160:10) – 4 = 12
Problema 8: Quanti paletti?
E se il terreno fosse pentagonale (regolare), con il lato di
30 metri, quanti paletti ci vorrebbero per cintarlo, posto che
se ne metta uno ogni 10 metri?
La soluzione corretta è 15.
Si può ottenere anche così:
(30:10) · 5 = 15
E se in ciascuno dei 5 vertici
ci fosse già un palo, quanti
paletti occorrerebbero?
(10 m)
(30:10) · 5 – 5 = 10
Problema 8: Quanti paletti?
E se il terreno avesse la forma di un poligono (regolare) di
n lati, con il lato di a metri, quanti paletti ci vorrebbero per
cintarlo, posto che se ne metta uno ogni d metri?
La soluzione corretta è :
(a:d) · n
E se in ciascuno degli n vertici
ci fosse già un palo, quanti
paletti occorrerebbero?
(d)
(a:d) · n – n
a
Scomposizioni
additive
Scomposi
zioni
moltiplica
tive
Numerazioni
Attività
combinatorie
Successioni
Problema 9: Numeri quadrati
Ecco come inizia la successione dei numeri quadrati:
I
II
III
IV
1
4
9
16
V
…
25
Qual è il sesto numero quadrato?
36 = 6 · 6
Qual è decimo numero quadrato?
100 = 10 · 10
Troppo facile…
Problema 9: Numeri quadrati
Prendiamo ad esempio il numero quadrato 25:
Può essere ottenuto addizionando i
primi 5 numeri dispari…
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 · 5
Quanto vale la somma dei primi 100 numeri dispari?
1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k–1) + … + 199 = 100 · 100 = 10000
Problema 10: Numeri triangolari
Ecco come inizia la successione dei numeri triangolari:
I
1
II
III
3=1+2 6=1+2+3
…
IV
V
10=1+2+3+4
15=1+2+3+4+5
Qual è il decimo numero triangolare?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
E il centesimo?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 =
(1 + 100) · 100
2
= 5050
Problema 10: Bipiante matematiche
Ecco alcuni esemplari di bipiante matematiche
gemma
ramo
bipianta
di 1 anno
bipianta
di 2 anni
bipianta
di 3 anni
È possibile sapere quanti rami e quante gemme ha
una bipianta di 10 anni, senza disegnarla?
Problema 10: Bipiante matematiche
gemma
ramo
1 anno
anni
1
2
3
4
5
…
n
2 anni
3 anni
rami
1
1+2=3
1+2+4=7
1+2+4+8=15
1+2+4+8+16=31
…
1+2+4+…+2n–1= 2n–1
gemme
1
2
22=4
23=8
24=16
…
2n–1
Problema 11: Radici delle bipiante
radice di
1 anno
radice di
2 anni
radice
di 3 anni
radichetta
anni
1
2
3
4
5
…
n
no. radichette
2
6=2+4
14 = 2 + 4 + 8
30 = 2 + 4 +8 + 16
62 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32
…………………………
rn = 21 + 22 + 23 + … + 2n = 2n+1– 2
Problema 12: Giuseppe l’ortolano
Deve bagnare ogni giorno le aiuole; l’innaffiatoio contiene
la quantità necessaria di acqua per una singola aiuola.
Ecco la pianta del suo orto, con indicate le misure
necessarie (letterali).
fontana
b
a
1
a
2
3
4
a
a
a
b
Alla fine dell’operazione, Giuseppe è stanco: vuole
sapere che distanza ha percorso, in totale, col suo
innaffiatoio.
Problema 12: Giuseppe l’ortolano
Per bagnare le aiuole, Giuseppe compie il percorso
seguente:
1
fontana
Problema 12: Giuseppe l’ortolano
Lunghezza del percorso in funzione del numero di aiuole
da bagnare:
no. aiuole
1
lunghezza percorso
4a+2b
2
3
10 a + 4 b
18 a + 6 b
4
28 a + 8 b
E se le aiuole fossero n?
Problema 12: Giuseppe l’ortolano
Lunghezza del percorso in funzione del numero di aiuole
da bagnare:
aiuola singola
I
II
III
…
(n)
coeff. di a
2·1+2
2·2+2
2·3+2
…
2·n+2
coeff. di b
2
2
2
…
2
coeff. di a = 2 · (1 + 2 + … +n) + 2 n =
(n + 1) · n
=2·
2
coeff. di b = 2 · n
+ 2 n = n3 + 3 n
Percorso totale = (n2 + 3 n) · a + 2 n · b
Problema 13: Il cubo dipinto
Con n3 cubetti unitari si possono costruire dei cubi più
grandi.
Per esempio, con 27 cubetti unitari si può fare questo cubo:
Problema 13: Il cubo dipinto
Ecco tre di questi cubi costruiti con 8, 27, 64 cubetti unitari.
La superficie di questi grandi cubi è stata dipinta di rosso.
Quanti cubetti unitari rimangono bianchi?
Quanti cubetti hanno una sola faccia dipinta di rosso?
Quanti hanno due sole facce dipinte di rosso?
Quanti tre? Quattro? …
Problema 13: Il cubo dipinto
n
2
3
4
0 facce
0
1
8
5
…
n
27
…
(n–2)3
1 faccia
0
6·1
6·4
2 facce
0
1 · 12
2 · 12
6·9
3 · 12
…
…
6 · (n–2)2 (n–2) · 12
3 facce
8
8
8
tot.
8
27
64
8
…
8
125
…
n3
Problema 13: Il cubo dipinto
n
0 facce
n
(n–2)3
1 faccia
2 facce
6 · (n–2)2 (n–2) · 12
3 facce
8
tot.
n3
Un buon esercizio di calcolo letterale consiste nel verificare
l’identità contenuta nella riga precedente, cioè:
3
2
n

2

6

n

2



  12  n  2  8  n3
Con un foglio elettronico, otteniamo per esempio:
n 0 facce 1 faccia 2 facce 3 facce
2
0
0
0
8
3
1
6
12
8
4
8
24
24
8
5
27
54
36
8
6
64
96
48
8
7 125
150
60
8
8 216
216
72
8
9 343
294
84
8
10 512
384
96
8
totale
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
Scomposizioni
additive
Scomposi
zioni
moltiplica
tive
Numerazioni
Attività
combinatorie
Permuta
combina
Successioni
Problema 14: Quanti anagrammi?
Quanti anagrammi possiede la parola PROBLEMA?
Vi sono 8 posti nei quali collocare le 8 lettere, per esempio:
B
R
O
M
A
L
P
E
Per collocare la prima lettera (P), vi sono 8 possibilità:
P
R
R
P
R
P
P
R
P
R
P
R
P
P
R
Per ciascuna di queste 8, ve ne sono 7 per collocare la
seconda lettera (R).
In totale, per collocare le prime due lettere (P,R) ci sono
8 · 7 = 56 possibilità
Per inserire le prime tre lettere vi sono
8 · 7 · 6 = 336 possibilità
Problema 14: Quanti anagrammi?
B
R
O
M
A
L
P
E
Per inserire le prime quattro lettere vi sono
8 · 7 · 6 · 5 = 1680 possibilità
e così via…
Per inserire le 8 lettere di PROBLEMA vi sono
8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320 possibilità
Questo numero si chiama fattoriale di 8 e si scrive:
8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
I fattoriali di un numero n crescono fortemente al crescere di n:
Ogni allineamento di n oggetti si chiama permutazione.
Problema 14bis: Quanti anagrammi?
Quanti anagrammi possiede la parola TATTO?
La novità è la presenza di tre lettere uguali (T).Eccoli tutti:
AOTTT
ATOTT
ATTOT
ATTTO
OATTT
OTATT
OTTAT
OTTTA
TAOTT
TATOT
TATTO
TOATT
TOTAT
TOTTA
TTAOT
TTATO
TTOAT
TTOTA
TTTAO
TTTOA
Se le 5 lettere fossero tutte diverse, avremmo 5! = 120
anagrammi. Invece ne abbiamo solo 20, cioè 120:6, proprio
perché in realtà ciascun anagramma ne rappresenta 6 = 3!,
cioè tutti quelli che si possono ottenere scambiando di
posto le 3 lettere T.
Problema 14bis: Quanti anagrammi?
Quindi la parola TATTO possiede:
5! = 120
= 20 anagrammi
3!
6
E la parola MAMMA, quanti anagrammi possiede?
Ci sono 3 M e 2 A, quindi:
5!
3!
120
= 5!
=
= 10
12
2!
2! 3!
In generale, se la parola è di n lettere, delle quali k si
ripetono m1, m2, m3,…,mk volte, il numero di anagrammi è:
n!
m1! · m2! · m3! … mk !
Problema 15: Combinazioni di classe k
Ovvero: scegliere k oggetti da un insieme di n oggetti (n≥k).
Per esempio, scegliere 3 colori da un insieme di 5 colori.
Ogni scelta è equivalente a una parola di 5 lettere:
3 S (scelto) e 2 N (non scelto). Per esempio, la scelta…
… corrisponde alla parola SNNSS.
Ci sono tante scelte possibili quanti sono gli anagrammi della
5! = 20
3! 2!
Ogni scelta di k oggetti si dice combinazione.
parola SNNSS, quindi:
Problema 15: Combinazioni di classe k
In generale. La scelta di k oggetti da un insieme di n oggetti si
può fare in
n
n!
  
k
k! (n–k)!
Questo numero è detto coefficiente binomiale e viene
anche indicato con il simbolo…
Il nome viene dalla formula per lo sviluppo della potenza
n-esima di un binomio.
Infatti, nello sviluppo di (a+b)n, il coefficiente numerico della
parte letterale ak·bn–k è dato dal numero di scelte possibili di
k oggetti (binomi a+b che danno la lettera a) sugli n fattori.
n k nk
n!
Cioè:    a b 
 ak bnk
k
k! (n  k)!
Problema 16: Passeggiate sulla griglia
Per andare da B a C ci si può
muovere soltanto lungo le strade
rosa, percorribili a senso unico
indicato dalle frecce.
A
D
Quanti diversi percorsi esistono da
B a C?
Ad ogni incrocio esistono solo due possibilità: dirigersi a
destra (D) oppure verso l’alto (A).
Ogni percorso può essere rappresentato da una parola di 6
lettere: 3 D e 3 A.
6!
possibili percorsi da B a C.
Vi sono perciò
3! 3!
Problema 17: Palline in cassetti
A) Senza condizioni particolari
In quanti modi si possono distribuire 5 palline in 3 cassetti?
Per la pallina blu vi sono 3 possibilità.
Per la pallina rosa vi sono pure 3 possibilità (il problema
non pone alcuna condizione).
Idem per la nera, la bianca e la marrone.
In totale si hanno: 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 possibilità
In generale, per collocare n palline in k cassetti si hanno:
kn possibilità
Problema 17a: Numero di sottoinsiemi
Quanti sottoinsiemi ha un insieme di 5 elementi?
Sia I = {a,b,c,d,e}. Formare un sottoinsieme equivale a
distribuire i 5 elementi in 2 cassetti:
quello degli elementi scelti (S) e quello degli esclusi (E).
Per esempio, formare il sottoinsieme {a,d} è come distribuire i
5 elementi di I nei 2 cassetti (S) e (E) in questo modo:
a
b
c
d
e
S
E
L’insieme I di 5 elementi ha dunque: 25 = 32 sottoinsiemi.
In generale, un insieme di n elementi ha 2n sottoinsiemi.
Problema 18: Palline in cassetti
Una sola pallina per cassetto (k≥n)
In quanti modi si possono distribuire 4 palline in 6 cassetti?
Per la pallina blu vi sono 6 possibilità.
Per la pallina rossa vi sono solo 5 possibilità.
Per la nera 4 e per la bianca 3.
Per mettere le 4 palline nei 6 cassetti a un posto ci sono:
6 · 5 · 4 · 3 = 360 possibilità.
In generale, per mettere n palline in k cassetti a un posto ci sono:
k · (k–1) · (k–2) · … (k–n+1) possibilità
FINE
© 2001 [email protected]