Numeri con riga e compasso
Costruzione di insiemi numerici con riga e compasso
Laura Citrini
Data una retta, e fissati sulla retta due punti arbitrari O e U, se fissiamo come unità di misura per le
lunghezze la lunghezza del segmento OU sappiamo che c'è corrispondenza biunivoca tra l'insieme R
dei numeri reali e i punti della retta, se assegniamo ad ogni punto della retta che stia dalla stessa parte
di U spetto a O, la sua distanza da O (nell'unità di misura scelta) ed ad ogni punto dell'altra parte
l'opposto della sua distanza. Abbiamo costruito un sistema di scisse sulla retta.
Supponiamo dunque che i dati iniziali siano due punti distinti del piano, che chiamiamo O e U.
Costruiamo la retta x passante per O e U; quali sono i punti della retta che possono essere costruiti con
riga e compasso?
Se assegniamo al punto O il numero 0 e al punto U il numero 1, abbiamo detto che ogni punto della
retta x è in corrispondenza biunivoca con un numero reale, la sua coordinata (ascissa) sulla retta; il
problema può dunque essere enunciato in termini algebrici: quali sono i numeri reali che sono in
corrispondenza biunivoca con l'insieme E dei punti di x costruibili elementarmente, cioè con riga e
compasso?
Cerchiamo ora di caratterizzare l'insieme E.
Innanzitutto osserviamo che l'insieme degli interi relativi è elementare.
Infatti con il compasso di apertura UO,
possiamo riportare il segmento di lunghezza
1 tante volte quante vogliamo sia dalla parte
di U, ottenendo tutti i numeri interi positivi,
sia dalla parte di O, ottenendo tutti i numeri
interi negativi.
Inoltre anche l'insieme dei numeri razionali è elementare.
1
Infatti: per ogni numero naturale n, è possibile costruire elementarmente il punto di coordinata ; si
n
tratta di dividere il segmento OU in n parti uguali.
Esistono due costruzioni alternative, entrambe ottenute mediante l’applicazione del teorema di Talete.
Per la prima, si consideri una semiretta di vertice O e distinta da
OU e si riportino su di essa col compasso n punti equidistanti
B1 , B2, , Bn.
Si congiunga U con Bn e si traccino le parallele alla retta UBn
per i punti B 1, B2, , Bn-1, che intersecano OU in Q=A1, A2 , ,
An -1.
Poiché le lunghezze dei segmenti OB1, B1 B2, , Bn-1Bn sono
uguali per costruzione, per il teorema di Talete sono uguali
1
anche OA1, A1A 2, , An-1An che quindi sono
della lunghezza
n
unitaria OU
.
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La seconda costruzione è la seguente: si traccino la
circonferenza di centro O e raggio OU, e la
circonferenza di centro O e raggio OP, dove P è il
punto di coordinata n; una semiretta qualsiasi di
origine O, distinta da OU interseca le circonferenze
tracciate rispettivamente nei punti U' e P'. Si
congiunga U con P', e da U' si tracci la parallela alla
retta UP'; questa interseca la retta OP in un punto Q;
____
1
1
poiché OU ' OU  OP  OP ' , per il teorema di
n
n
1
1
Talete risulta OQ  OU . Dunque Q è il punto di coordinata .
n
n
Si noti che la seconda costruzione è molto più generale della prima (che è forse più intuitiva), perché
non richiede che il punto P abbia coordinata intera, cioè calcola l'inverso di un numero qualsiasi, dato
che non è neppure detto che OP e OU siano commensurabili.
m
1
Possiamo ora costruire qualunque numero razionale
: si costruisce il punto di coordinata , e lo si
n
n
m
m
riporta con il compasso m volte dalla parte di U se > 0, dalla parte di O se
<0.
n
n
Dunque tutti i numeri razionali sono numeri elementari.
Un altro modo di dimostrare che i numeri razionali sono numeri elementari è quello di dimostrare che
con riga e compasso è possibile eseguire le quattro operazioni razionali, e cioè: dati due punti P e Q di
coordinate p e q, è possibile costruire elementarmente i punti di coordinata p + q, p - q, p q, p/q.
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE.
Dati i punti P e Q e l’origine O, si traccia la circonferenza di centro P e raggio OQ; questa interseca la
retta x in due punti, di coordinate rispettivamente p+q e p - q.
In altro modo, (utilizzando il punto medio di un segmento e la nozione di simmetria) si può mostrare
p q
che p+q è il simmetrico di O rispetto al punto medio tra P e Q (che ha ascissa
), mentre p - q è il
2
simmetrico di Q rispetto al punto medio tra O e P.
MOLTIPLICAZIONE.
Dati i punti P e Q (supponiamo per semplicità grafica di coordinate positive), si traccia una semiretta
qualsiasi di origine O, e con il compasso si riportano su di essa i punti U' e Q' tali che OU' sia
congruente a OU e OQ' a OQ.
Dal punto Q' si traccia la parallela alla retta U'P, e questa, sempre per il teorema di Talete, interseca la
retta x nel punto di coordinata pq.
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Caso particolare di tale costruzione è la costruzione di p2: in questo caso basta pensare P = Q e
procedere allo stesso modo (la seconda delle due figure).
DIVISIONE.
Dati i punti P e Q (supponiamo per semplicità di coordinate positive), si traccia una semiretta qualsiasi
di origine O, e con il compasso si riportano
su di essa i punti P' e Q' tali che OP' sia
congruente OP e OQ' a OQ. Dal punto P' si
traccia la parallela alla retta UQ', e questa,
per il teorema di Talete, interseca la retta x
p
nel punto di coordinata .
q
1
Caso particolare è la costruzione di , già
q
vista precedentemente e ottenuta prendendo
P = U.
Se p e q sono numeri interi abbiamo dimostrato che Q E, ma, come già osservato per la divisione, le
costruzioni fatte valgono per le operazioni con numeri p e q qualsiasi.
ATTENZIONE: le costruzioni fatte per la moltiplicazione e la divisione prevedono che i numeri siano
lunghezze di segmenti, e come tali siano positivi; quindi i punti sono scelti nel primo quadrante.
Se utilizziamo uno strumento come Cabri per eseguire la costruzione, i due punti P' e Q' sono una ben
precisa tra le due intersezioni della circonferenza usata come compasso con la semiretta scelta.
Cosa succede se si deforma, ad esempio, la costruzione della moltiplicazione in modo che il punto Q
abbia coordinate negative? Come deve essere, il punto che individua il prodotto viene ad avere ascissa
negativa. Ma se è P il punto a coordinata negativa, il prodotto continua ad avere coordinata positiva, e
questo non va bene. Se peraltro si considera l'altra intersezione della circonferenza di centro O e
passante per P con la retta ausiliaria, il problema si inverte ma non viene risolto.
Il tutto dipende dal fatto che il punto Q' è una qualsiasi delle due intersezioni della circonferenza di
centro O per Q con la retta ausiliaria, mentre a risolvere il problema basta utilizzare sempre la
rotazione di un angolo positivo, o, meglio ancora, invece che caratterizzare Q' mediante una
circonferenza, fare il simmetrico di Q rispetto alla bisettrice dell'angolo QOQ', che al variare del
punto ha coordinata con lo stesso segno di Q.
Con riga e compasso è possibile inoltre eseguire l'operazione di radice quadrata.
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RADICE QUADRATA.
Sia P un punto di coordinata positiva p. Usando il secondo teorema di Euclide si può procedere in
questo modo. Sulla retta OP si costruisca il punto U’
simmetrico di U rispetto ad O (e che quindi ha ascissa
1) e la semicirconferenza di diametro U’P. Si porti la
perpendicolare dal punto O alla retta OP che interseca
la semicirconferenza in Q. Il triangolo U'QP è
rettangolo in Q perché inscritto in una
semicirconferenza.
Per il secondo teorema di Euclide l’altezza OQ è media
proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa,
OP e OU' , quindi OQ  p . L’arco di circonferenza
di centro O e raggio OQ in figura interseca la retta x nel punto Q' di coordinata
p.
Appartengono quindi a E non solo i numeri razionali, ma anche i numeri reali ottenuti mediante un
numero finito di operazioni razionali e radici quadrate; è elementare, per esempio, il numero
x=
3 2
.
5 7
2
3
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