Realizzazione dei Filtri di Butterworth
|T|dB
|T(w)|dB = -20 log 1 + e2 w
w0
0 dB
-3 dB
n=1
-20×n db/decade
2
6 4
log w0
log w
T(w)=
2n
1
Bn(s)
s = jw/w0
Bn(s) polinomio di
Butterworth
di ordine n
ordine n
Polinomio Bn(s)
1
s+1
2
s2 + 1,414s + 1
3
(s + 1)(s2 + s + 1)
4
(s2 + 0,77s + 1)(s2 + 1,85s + 1)
5
(s + 1) (s2 + 0,618s + 1)(s2 + 1,618s + 1)
..
…
6
|T(w0)|dB = -3 dB
Filtro Passa-basso di Butterworth del I ordine
R2
R1
V+
Vin
V+ = Vin
1
jwC
1
+R
jwC
+
+
R
A
Vo
C
=
1
1 + jwRC
Vo = V+ G
R2
G= 1+
R1
R2
1
T(jw) = 1 +
R1 1 + jwRC
w0 = 1/RC
s=j w
w0
R2
= 1+
R1
R2
= 1+
R1
1
1+j w
w0
1
1+s
Filtro Passa-basso di Butterworth del II ordine
R2
R1
Va
Vin
+
V+
R
R
C
V+ = Va
1
jwC
1
+R
jwC
A
+
Vo
C
Va = V+ (1 + jwRC)
=
1
1 + jwRC
Va
= Vo/G (1 + jwRC)
R2
G= 1+
R1
R2
Va - Vo
ia =
1
jwC
R1
ic
Vin
+
V+ A
+
ia R ib
C
C
Va
R
Vo
= jwC(Va - Vo)
= jwC (Vo/G + jwRC Vo/G - Vo)
ib =
V+
= jwCV+ = jwC Vo/G
1
jwC
ic = ia + ib = -
w2C2R
Vo/G + jwC (2Vo/G - Vo) =
Vin - Va
R
Vin - Va
= Vin/R - Vo/GR (1 + jwRC) =
R
= - w2C2R Vo/G + jwC (2Vo/G - Vo)
Vo
G
T(jw) = V =
in
- w2C2R2 + jwCR (3 - G) + 1
w0 = 1/RC
s=j w
w0
B2(s) = s2 + 1,414 s + 1
Polinomio di Butterworth
del II ordine
=
G
s2 + s (3 - G) + 1
 3 - G = 1,414
G = 1,586
Filtro Passa-basso di Butterworth di ordine qualsiasi
Si realizzano utilizzando in cascata più filtri del I e II ordine
Ordine n pari
A
n=2
B
n=2
C
n=2
Esempio: filtro del 4° ordine
B4(s) = (s2 + 0,77 s + 1)(s2 + 1,85 s + 1)
w0 = 1/RC
per tutti i filtri
3 - G = 0,77
G = 2,23
3 - G = 1,85
G = 1,15
Ordine n dispari
A
n=1
B
n=2
A
n=2
Esempio: filtro del 5° ordine
B5(s) = (s + 1)(s2 + 0,618 s + 1)(s2 + 1,618 s + 1)
3 - G = 0,77
3 - G = 1,85
G = 2,382
G = 1,382
w0 = 1/RC
per tutti i filtri
Filtri Passa-alto di Butterworth
Si ottengono dalle configurazioni Passa-basso viste
sostituendo C con R e viceversa
Passa-alto del I ordine
R2
R1
+
Vin
+
C
R
A
Vo
Passa-alto del II ordine
R2
R1
A
Va
Vin
+
C
+
C
R
R
Vo
Filtri Passa-banda
Passa-basso
Passa-alto
1
Passa-basso
0
fH
f
1
Passa-alto
0
fL
f
1
Passa-banda
0
fL
fH
f
Sono trasmesse solo
le frequenze lasciate
passare da entrambi
i filtri
Filtri Arresta-banda
1
Passa-basso
0
+
Passa-alto
fL
f
1
0
fH f
1
Sono trasmesse le frequenze
lasciate passare da ogni filtro
0
fL
fH
f