FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Fondamenti di Automatica
Luigi Chisci, Università di Firenze
CdL Ingegneria dell’Informazione
CdL Ingegneria dell’Ambiente e delle Risorse
Prato, A.A. 2003-2004
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
Automatica
• Automatica: settore scientifico disciplinare con
competenze di sistemistica (modellistica matematica di
sistemi reali), controllistica (metodologie per la soluzione
di problemi di controllo), automazione e robotica
(supervisione e coordinamento di macchine e impianti
finalizzati alla realizzazione di processi produttivi).
• Fondamenti di Automatica:
– elementi di sistemistica (modellistica, simulazione e analisi di
sistemi dinamici)
– elementi di controlli automatici (analisi e sintesi di sistemi di
controllo a retroazione)
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Facoltà di Ingegneria
Cosa è l’Automatica ?
• Automatico: che può funzionare senza l’intervento di un
operatore umano
• Automatica: complesso di discipline che forniscono
strumenti per la progettazione e la realizzazione di sistemi
automatici, ad esempio
– pilota automatico di un velivolo (veicolo, natante) commerciale
– climatizzatore di un ambiente, edificio, serra
– sistema automatizzato di produzione industriale (carta, tessuti,
prodotti alimentari, circuiti integrati, prodotti chimico-farmaceutici
e petrolchimici, pezzi meccanici etc.)
– sistema per la depurazione delle acque o per lo smaltimento dei
rifiuti
– controllo di livello di un fiume (lago, serbatoio idrico etc.)
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Facoltà di Ingegneria
Problemi di controllo
• Nella conduzione di apparati ingegneristici di varia natura emergono
numerosi problemi di controllo
• Problema di controllo: si desidera che certe variabili del sistema di
interesse si comportino nel modo desiderato corrispondente ad un
funzionamento corretto e ottimale del sistema
• Esempi di problemi di controllo
–
–
–
–
–
–
–
–
–
controllo di temperatura (forno, ambiente, reattore nucleare etc.)
controllo di pressione (cabina pressurizzata, reattore nucleare etc.)
controllo di velocità (motore elettrico, veicolo etc.)
controllo di posizione (raggio laser, antenna, radar, telescopio, manipolatore robotico etc.)
controllo di forza (manipolatore robotico)
controllo di livello (serbatoio idrico, lago, fiume etc.)
controllo di concentrazione (processo chimico)
controllo di portata
controllo di tensione (generatore elettrico, alimentatore, convertitore etc.)
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1. ELEMENTI COSTITUTIVI DI UN PROBLEMA DI CONTROLLO
d
P
u
z
y
• SISTEMA SOTTO CONTROLLO, P (Processo)
• variabili di ingresso:
• variabili di uscita:
u = variabili di controllo (manipolabili)
d = disturbi (non manipolabili)
z = variabili controllate
y = variabili misurate
• COMPORTAMENTO DESIDERATO
• z(t)
r(t)
( r = riferimento = uscita desiderata )
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Sistema di Controllo
Obiettivo: z(t)  r(t) ovvero e(t) = r(t) - z(t)  0
disturbi d
variabili di controllo
Attuatori
variabili controllate z
Processo
u Controllore
automatico
riferimento r
variabili misurate
y
Sensori
disturbi di misura v
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ESEMPIO
• Controllo della temperatura in un ambiente riscaldato ad aria
P(α)
Te
Ti, α
T
Ta
•
•
•
•
•
z =T
u =α
d = Te
y = Ta
r = 20°C
(temperatura media dell’ambiente)
(apertura della serranda che regola la portata dell’aria immessa a temperatura Ti)
(temperatura esterna)
(temperatura aria estratta)
(temperatura desiderata)
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2. SISTEMI DI CONTROLLO
2.1. CONTROLLO AD ANELLO APERTO
Le variabili di ingresso del controllore,
utilizzate per generare il comando,
sono indipendenti dal comando stesso
• ESEMPI
d
d
r
C
u
P
P
P1
z
y
r
C
S
u
z
P2
• P = impianto ( + sensore (S) )
• C = controllore ( +attuatore )
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2.2.CONTROLLO AD ANELLO CHIUSO (O A RETROAZIONE)
Le variabili di ingresso del controllore,
utilizzate per generare il comando,
sono influenzate dal comando stesso
• ESEMPI
d
r
C
u
P
d
z
r
C
u
z
P
y
• P = impianto ( + sensore
)
• C = controllore ( + attuatore )
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3. ANELLO DI CONTROLLO
d
r
+
e
_
C
u
P
z=y
• L’azione di controllo u dipende dall’entità dell’errore
d
Sistema di controllo
e
r
• Specifiche di controllo
• adeguata precisione (statica e dinamica)
• adeguata stabilità (incertezza)
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4. ESEMPIO SISTEMA DI CONTROLLO
4.1. Controllo del livello di un serbatoio
h*
Att. Idraul.
Controllore
q
galleggiante
condotta
q
q= portata volumetrica di
fluido all’inizio della condotta
qi
h
h= livello del serbatoio
qi= portata volumetrica di
fluido in ingresso al serbatoio
qu
o
qu= portata volumetrica di
fluido in uscita dal serbatoio
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Regolatore+Attuatore
+Valvole
r
+
-
condotta
u
C
serbatoio
z
P1
P2
Impianto sotto
controllo, P
S
galleggiante
r=h*
z=h
u=q
P1(s) = exp(-sT)
P2(s) = K/(1+τs)
• Il ritardo T dipende dalla lunghezza e
dalla sezione della condotta e dalla portata
nominale del fluido
• Il guadagno K e la costante di tempo  del
serbatoio dipendono dalla superficie a pelo
libero e di uscita del sebatoio e dalla
portata nominale del fluido
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4. CONTROLLO DI PROCESSO
Q
wi, Ti, Hi
To, Ho
Tu
l
Problema: regolare la temperatura Tu in uscita dalla tubazione agendo
sulla portata di ingresso wi dello scambiatore
•wi: portata di fluido in ingresso allo scambiatore
•Ti, To: temperatura del fluido in ingresso e all’uscita dello scambiatore
•Hi, Ho: entalpie del fluido in ingresso e all’uscita dello scambiatore
•Tu: temperatura del fluido in uscita dalla tubazione adiabatica di lunghezza l
•Q: flusso termico assorbito dal fluido nello scambiatore
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
Processo sotto
controllo, P (+
trasduttori)
Q
Controllore+attuatore
Tu*
C1
-
+
Gq
Ti
C2
+
Gt
wi
+
G2
+
+
To
G1
Tu
-
S1
S2
Tu: variabile controllata (e misurata) (z)
Tu*: temperatura di uscita desiderata (z*)
Q, Ti: disturbi agenti sul processo (d)
wi: variabile di controllo (u)
T0: variabile ausiliaria misurata
Gq ( s ) 
Kq
1  s
Kt
Gt ( s ) 
1  s
K2
G2 ( s ) 
1  s
G1 ( s )  e  s
1
1  s
1
S2 ( s) 
1  s
S1 ( s ) 
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
5. COMPONENTI DEI SISTEMI DI CONTROLLO
• Componenti base
• Dispositivi di misura (sensori)
• Unità di elaborazione (controllo)
• Dispositivi di attuazione (attuatori)
• Altri componenti
• Sistemi di comunicazione fra unità di
controllo, sensori e attuatori
• Interfaccia uomo-macchina per interazione
con operatore)
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
MODELLI MATEMATICI (LINEARI STAZIONARI)
Dny + a1Dn-1y + …. + any = b0Dnu + b1Dn-1u + … + bnu
dky
Dky := k
dt
G(s)
u
G(s) =
b(s)
a(s)
=
y
b0sn + b1sn-1 + … + bn-1s + bn
sn + a1sn-1 + … + an-1s + an
s: variabile di Laplace
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SISTEMI ELETTRICI
CIRCUITI R-L-C + OP AMP
R
i
-
+
+
i
o
-
+
i2
-
o
+
i1
INDUTTORE:
v = L di/dt
C
o
-
CONDENSATORE: i = C dv/dt
v
o
v2
v=Ri
L
i
v1 o
RESISTORE:
AMPLIFICATORE IDEALE
v1 = v2
i1 = i2 = 0
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SISTEMI ELETTRICI
v=Ri
v = L di/dt
v=Ri
sostituendo d/dt con s
i = C dv/dt
v = Z(s) i
IMPEDENZA
GENERALIZZATA
Z(s) =
v = sL i
1
v=
i
sC
R
RESISTORE
sL
INDUTTORE
1/sC
CONDENSATORE
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
ESEMPI ELETTRICI
R
+
u
-
C
R
+
u
y/u = G(s) = 1/(1+s)
+
-
y
  RC (costante di tempo)
w2n
y
L
u
C
2
wn =
=
s2
+ 2 d wn s +
1/LC ,
2
wn
2 d wn = R/L
d : fattore di smorzamento
wn : pulsazione naturale
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
R1
u
+
-
C1
R2
C2
+
-
y
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SISTEMI MECCANICI (DI TRASLAZIONE)
M
F
MASSA
v = dx /dt
x
K
F
x1
F
F
x2
B
o
x1
F = M dv/dt
MOLLA
F = K (x1 - x2)
F
o
x2
SMORZATORE F = B (v1 - v2)
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
ESEMPI MECCANICI (DI TRASLAZIONE)
M
x
u
u
B
Ingresso: forza u
Uscita: velocità y = dx/dt
G
F.d.T.: G(s) = y/u =1 + s
G = 1/B,   M/B
K
B
M
x
G(s) =
G0 wn2
s2 + 2 d wn s + wn2
Ingresso: forza u
Uscita: posizione y = x
2
G0 = 1/K, 2dwn  B/M, wn  K/M
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SISTEMI MECCANICI (DI ROTAZIONE)
INERZIA
J
w = dq /dt
T q
MOLLA
K
T = K (q1 - q2)
q2 TORSIONALE
T q1
B
T
T = J dw/dt
o
o
q1
q2
SMORZATORE T = B (w1 - w2)
TORSIONALE
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SISTEMI MECCANICI (DI TRASLAZIONE)
v = Z(s) F
x = v/s = [Z(s)/s] F
v: velocità, F: forza, x: posizione
Z(s) : IMPEDENZA MECCANICA
Z(s) =
1/sM
MASSA
s/K
MOLLA
1/B
SMORZATORE
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SISTEMI MECCANICI (DI ROTAZIONE)
w = Z(s) T
q = w /s = [Z(s)/s] T
w: velocità angolare, T: coppia, q: posizione angolare
Z(s) : IMPEDENZA MECCANICA (DI ROTAZIONE)
Z(s) =
1/sJ
INERZIA
s/K
MOLLA TORSIONALE
1/B
SMORZATORE TORSIONALE
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
ANALOGIE ELETTRO-MECCANICHE
GRANDEZZE
ELETTRICHE
GRANDEZZE
MECCANICHE
Tensione,
v
Corrente,
i
Resistore,
R
Velocità,
v
Velocità angolare, w
Forza,
F
Coppia,
T
Smorzatore,
1/B
Induttore,
L
Molla,
Condensatore, C
Massa,
Inerzia,
1/K
M
J
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MOTORE IN CONTINUA
( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA )
Ingresso u = vapp (tensione di armatura)
e = vemf
( fem indotta )
i
( corrente di armatura )
T=
( coppia applicata all’albero motore )
R, L
( resistenza, induttanza, di armatura )
J
( momento d’inerzia albero motore )
B = Kf
( coeff. attrito viscoso )
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
MOTORE IN CONTINUA
( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA )
L di/dt + R i = u - e ( eq.ne elettrica )
e = Ke w
( fem indotta )
J dw/dt + B w = T
( eq.ne meccanica )
T = Km i
( coppia indotta )
Ke, Km:
costanti del motore
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
MOTORE IN CONTINUA
( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA )
CONTROLLO DI VELOCITA’
y=w
G(s) = y/u =
G0 wn2
s2 + 2 d wn s + wn2
2dwn=R/L + B/J
2
wn=(KeKm+BR)
/ LJ
G0=Km / (KeKm+BR)
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MOTORE IN CONTINUA
( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA )
CONTROLLO DI POSIZIONE
G0 wn2
y=q
G(s) = y/u =
2
2
s (s + 2 d wn s + wn)
2dwn=R/L + B/J
2
wn=(KeKm+BR)
/ LJ
G0=Km / (KeKm+BR)
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
MOTORE IN CONTINUA
( MODELLO PER IL CONTROLLO DI ARMATURA )
MODELLO SEMPLIFICATO
L=0
w/u = G0 / (1+s),
G0 = Km / (BR+KmKe)
 = JR / (BR+ KmKe)
q/u = G0 / [s (1+s)]
guadagno in continua
costante di tempo
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
ANALISI NEL TEMPO DI UN SISTEMA LINEARE STAZIONARIO
u
G(s)
y
Problema di analisi della risposta:
date condizioni iniziali y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0)
e l’andamento temporale u(t), 0  t,
determinare la risposta y(t), 0  t .
Commento: occorre risolvere l’eq.ne diff.le
y(t) = G(D) u(t) rispetto a y(t).
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SISTEMA DEL PRIMO ORDINE
u
G(s)=G0/(1+s)
Eq.ne diff.le:
y
 dy/dt + y = G0u
Condizione iniziale y(0)
Ingresso (gradino)
u(t) = u se t  0
u(t) = 0 se t < 0
Soluzione (risposta y(t) = ( y(0)-G0u ) e-t/ + G0u
al gradino)
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SISTEMA DEL PRIMO ORDINE
Step Response
From: U(1)
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.65
0.6
To: Y(1)
Amplitude
0.7
0.55
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time (sec.)
3.5
4
4.5
5
5.5
6
Pag. 34
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
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SISTEMA DEL PRIMO ORDINE
La risposta, partendo dal valore iniziale y(0),
tende asintoticamente al valore di regime
y() = G0u, dove G0 è il guadagno in continua e u
è l’ingresso costante, con una rapidità che dipende
dalla costante di tempo  .
In particolare, l’uscita è al 95% della sua escursione
per un tempo t = 3.
Pag. 35
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SISTEMA DEL SECONDO ORDINE
u
G(s)=b/(s2
Eq.ne diff.le:
+ a1s + a2)
y
D2y + a1 Dy + a2y = bu
Condizioni iniziali y(0), Dy(0)
Ingresso (gradino)
u(t) = u se t  0
u(t) = 0 se t < 0
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SISTEMA DEL SECONDO ORDINE
u
G(s)=b/(s2
+ a1s + a2)
y
Soluzione (risposta) :
y(t) = c1 exp(p1t) + c2 exp(p2t) + G0 u
G0 = b/ a2 : guadagno in continua
p1 , p2 : poli di G(s), soluzioni dell’eq.ne algebrica
a(s)= s2 + a1s + a2 = 0
c1 , c2 : dipendono da y(0), Dy(0), u
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SISTEMA DEL SECONDO ORDINE
a(s)=
s2
+ 2 d wn s +
2
wn
= s2 + a1s + a2
Poli: p = -dwn / wn (d2 -1)1/2
Si distinguono tre casi:
(1) |d| > 1 : poli reali distinti
(2) |d|  1 : poli reali coincidenti
(3) |d| < 1 : poli complessi coniugati
Casi (1) e (2): comportamento simile ai sistemi del primo ordine
Caso (3): comportamento oscillatorio
Pag. 38
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
CASO SOVRASMORZATO: d > 1
Pag. 39
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
CASO CRITICAMENTE SMORZATO: d  1
Pag. 40
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
CASO SOTTOSMORZATO: 0 < d < 1
Risposta y(t) = c e-st sen(wtf) + G0u
s  dwn , w  wn 1d2 , G0 : guadagno dc
c, f: dipendono dalle c.i. y(0), Dy(0) e da u
La risposta tende al valore di regime G0u
con oscillazioni smorzate di pulsazione w
Pag. 41
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
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Facoltà di Ingegneria
Pag. 42
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Pag. 43
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
CASO SOTTOSMORZATO: 0 < d < 1
Pag. 44
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
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Facoltà di Ingegneria
Pag. 45
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
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Facoltà di Ingegneria
Pag. 46
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Pag. 47
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Pag. 48
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Pag. 49
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Pag. 50
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Sistema del 2o ordine con zero negativo
Pag. 51
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Sistema del 2o ordine con zero negativo
Pag. 52
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Sistema del 2o ordine con zero negativo
Pag. 53
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
Sistema del 2o ordine con zero positivo
negativo
Pag. 54
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Sistema del 2o ordine con polo aggiuntivo
Pag. 55
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Sistema del 2o ordine con polo aggiuntivo
Pag. 56
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
GENERALIZZAZIONE: SISTEMA DI ORDINE n
u
G(s)=b(s)/a(s)
Eq.ne diff.le:
y
a(D)y = b(D)u
Condizioni iniziali y(0),Dy(0),…,Dn-1y(0)
Ingresso (gradino)
u(t) = u se t  0
u(t) = 0 se t < 0
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UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
RISPOSTA AL GRADINO DI UN SISTEMA DI ORDINE n
u
G(s)=b(s)/a(s)
y
p1 , p2 , …, pn : poli di G(s), soluzioni dell’eq.ne algebrica
a(s)= sn + a1sn-1 +…+ an-1s + an = 0
Per semplicità si assume p1  p2  …  pn  0
Risposta
y(t) = c1 exp(p1t) + c2 exp(p2t) + … + cn exp(pnt) + G0 u
c1 , c2 , …, cn dipendono da y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0), u
G0 = b(0)/a(0) = bn / an : guadagno in continua
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
RISPOSTA LIBERA DI UN SISTEMA DI ORDINE n
u=0
G(s)=b(s)/a(s)
y
Poli di G(s): p1 , p2 , …, pn
Per semplicità si assume p1  p2  …  pn
Risposta
y(t) = k1 exp(p1t) + k2 exp(p2t) + … + kn exp(pnt)
k1 , k2 , …, kn dipendono da y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0)
Pag. 59
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
STABILITA’
u
G(s)=b(s)/a(s)
y
DEFINIZIONE
Il sistema dicesi STABILE se la sua risposta
libera tende asintoticamente a zero qualunque
siano le condizioni iniziali cioè
lim y(t) = 0
t
 y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0)
Pag. 60
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
STABILITA’
u
Poiché la risposta libera è
G(s)=b(s)/a(s)
y
y(t) = k1 exp(p1t) + k2 exp(p2t) + … + kn exp(pnt)
dove k1 , k2 , …, kn possono assumere valori arbitrari
al variare di y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0) il sistema è stabile
se e solo se i poli p1 , p2 , …, pn di G(s) hanno tutti
parte reale negativa
re(pi) < 0
per i=1,2,…,n
Pag. 61
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
STABILITA’
u
G(s)=b(s)/a(s)
y
OSSERVAZIONE
Se il sistema è STABILE, ad un ingresso limitato
corrisponde sempre un’uscita limitata, cioè il
sistema non può mai “esplodere” per effetto di
un segnale di ingresso limitato.
Pag. 62
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
COME VERIFICARE LA STABILITA’
Sistema di ordine 1: a(s)= s + a1
u
stabile se e solo se a1>0
G(s)=b(s)/a(s)
Sistema di ordine 2: a(s)= s2 + a1s + a2
stabile se e solo se a1>0 e a2>0
Sistema di ordine n: a(s)= sn + a1sn-1 +…+ an
stabile solo se a1>0, a2>0, … , an>0; cioè se almeno
uno dei coefficienti ai  0 allora il sistema è instabile,
viceversa se tutti i coefficienti ai >0 non si può dire
che il sistema è stabile; occorre determinare le radici
di a(s)
Pag. 63
y
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
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Facoltà di Ingegneria
VERIFICA DI STABILITA’: CASO n>2
METODO 1: richiede l’uso del calcolatore
si determinano radici di a(s) con MATLAB
a = [a1, a2, … , an ]
roots(a)
METODO 2: METODO DI ROUTH-HURWITZ, richiede
solo carta e matita
Pag. 64
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
VERIFICA DI STABILITA’: CASO n>2
Esempio: a(s)= s5 + 2s4 +s3 +s2 + s +1
Verifica con MATLAB
a=[1 2 1 1 1 1]
roots(a)
-1.67
0.44+j0.75
0.44-j0.75
-0.61+j0.63
-0.61-j0.63
sistema instabile (2 poli con parte reale positiva)
sistema oscillatorio: 2 coppie di poli complessi coniugati
Pag. 65
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
Esempio: a(s)= s5 + 2s4 +s3 +s2 + s +1
Verifica con ROUTH-HURWITZ
s5
1
1
1
s4
2
1
1
s3
1/2
1/2
s2
-1
1
s1
1/2
s0
1
0
I coefficienti della colonna 1 non sono tutti
positivi
sistema instabile
Pag. 66
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
ANALISI ARMONICA (IN FREQUENZA) DI UN SISTEMA LINEARE
STAZIONARIO
u
G(s)=b(s)/a(s)
Ingresso (armonica)
y
u(t) = A sen(wt+f)
A, f: ampiezza e fase dell’armonica
In forma fasoriale:
u(t) = im ( U ejwt ), U = A ejf
Si vuole determinare risposta armonica y(t) per
arbitrarie condizioni iniziali y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0)
Pag. 67
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
ANALISI ARMONICA (IN FREQUENZA) DI UN SISTEMA LINEARE
STAZIONARIO
u
G(s)=b(s)/a(s)
y
TEOREMA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA
La risposta all’ingresso u(t) = im ( U ejwt ) è della forma
y(t) = c1exp(p1t)+c2exp(p2t) + … +cnexp(pnt) + im( Y ejwt )
dove
c1 , c2 , …, cn dipendono da y(0), Dy(0),…,Dn-1y(0), U
Y = G(jw) U
Pag. 68
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
RISPOSTA TRANSITORIA E A REGIME PERMANENTE
u(t) = A sen(wt+f)
G(s)=b(s)/a(s)
y
Risposta a regime permanente
yrp(t) = im( Y ejwt ) = |G(jw)| A sin(wt+fG(jw))
è una armonica della stessa pulsazione dell’armonica
in ingresso di
AMPIEZZA |G(jw)| A
FASE
G(jw) + f
Transitorio yT(t) = c1exp(p1t)+c2exp(p2t) + … +cnexp(pnt)
Pag. 69
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
RISPOSTA TRANSITORIA E A REGIME PERMANENTE
u(t) = A sen(wt+f)
G(s)=b(s)/a(s)
y
OSSERVAZIONE
Se il sistema è stabile, il transitorio si esaurisce
asintoticamente cioè dopo un tempo sufficientemente
lungo; rimane quindi la sola risposta a regime.
Pag. 70
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
RISPOSTA IN FREQUENZA
u
G(s)
y
G(jw), cioè G(s) valutata per s=jw, prende il nome di
RISPOSTA IN FREQUENZA
Nota che per ogni pulsazione w, G(jw) è un numero
complesso il cui modulo |G(jw)| rappresenta il guadagno
del sistema alla pulsazione w e il cui argomento (fase)
G(jw) rappresenta lo sfasamento del sistema alla
pulsazione w.
Pag. 71
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
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MISURA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA
Fissato w si applica al sistema un ingresso armonico u di
pulsazione w, di ampiezza A e fase f note.
Si attende che il sistema vada a regime e si misurano ampiezza
A’ e fase f’ dell’uscita y.
Allora
|G(jw)| = A’ / A (ampiezza uscita / ampiezza ingresso)
G(jw)  f’ - f
(fase uscita - fase ingresso)
Si ripete l’esperimento per vari valori di w
Pag. 72
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
PROPRIETA’ RISPOSTA IN FREQUENZA
G(jw)|= |G(jw)| exp(j G(jw) )
= re G(jw) + j im G(jw)
|G(jw)|
=
|G(-jw)|
G(jw)
= - G(-jw)
re G(jw)
=
re G(-jw)
im G(jw) = - im G(-jw)
Pag. 73
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
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Facoltà di Ingegneria
RAPPRESENTAZIONI DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA
DIAGRAMMI DI BODE (CARTESIANI):
diagramma delle ampiezze:
|G(jw)|, in decibel, in funzione di w
diagramma delle fasi
G(jw) , in gradi, in funzione di w
su scala logaritmica per w
DIAGRAMMA DI NYQUIST (POLARE):
Curva descritta da G(jw) al variare di w
Pag. 74
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
G(s) = 1 / (1+s)
Bode Diagrams
From: U(1)
0
-20 dB/decade
-10
-15
-20
To: Y(1)
Phase (deg); Magnitude (dB)
-5
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
-1
10
-45°/decade
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Pag. 75
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
Diagrammi di Bode di
G(s) = w 2n / ( s2 + d w 2n + w 2n )
40
30
d =0.01
20
10
|G|, in dB
0.1
0
0.5
1
-10
-20
-30
-40
0
0.1
-30
1
d =0.01
0.5
-60
 G, in °
-90
-120
-150
-180
-1
10
0
10
1
10
Pulsazione normalizzata w / w n
Pag. 76
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) = G0
AMPIEZZA : Retta orizzontale a 20 log10|G0|dB
FASE : Retta orizzontale a O° se G0 >0, a -180°
se G0 <0
VALORI IN dB
|G0|
|G0|dB
0.01
- 40
0.1
1/ 2
- 20
-
3
1
0
2
3
2
6
10
20
100
40
Pag. 77
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) = 1/s
AMPIEZZA : Retta con pendenza di -20 dB per
decade che attraversa 0 dB alla
pulsazione w=1
FASE : Retta orizzontale a -90°
ALCUNI VALORI
w
|G(w)|, in dB
0.01
+ 40
0.1
+ 20
1
0
10
- 20
100
- 40
Pag. 78
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) GENERICA
OSSERVAZIONI
(1) Se G(s) = G1(s) G2(s) G3(s) i diagrammi di Bode di G(s) sono
ottenuti sommando i diagrammi di G1(s), G2(s), G3(s) ….. Poiché
| G1 G2 G3  | dB = |G1|
 G1 G2 G3 
dB
+ |G2|
dB
+ |G3|
dB
+ 
=  G1 +  G2 +  G3 + 
(2) I diagrammi di Bode di 1/G(s) sono ottenuti ribaltando rispetto
all’asse delle ascisse i diagrammi di G(s) poiché
|1/G|dB = - |G|
dB
 1/G = -  G
(3) Il diagramma di ampiezza di G’(s)=1/(1-s) è uguale a quello di
G(s)= 1/(1+s); il diagramma di fase di G’(s) è ottenuto ribaltando
rispetto all’asse delle ascisse quello di G(s).
2
(4) Come al punto (3) vale per i diagrammi di G(s)=wn/(s2+2dw s+w2n)
G(s)=wn2 / (s2-2dw s+w2n)
Pag. 79
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) GENERICA
Una generica f.d.t. G(s) può essere espressa come
prodotto di f.d.t. dei quattro tipi già esaminati vale
a dire
G(s) = G1(s) G2(s) G3(s) 
dove Gi(s) può essere dei seguenti tipi (già esaminati)
Gi(s) = G0
Gi(s) =1/s
Gi(s) =1/(1+s)
o
Gi(s) =
o Gi(s)=[1+2d(s/wn)+(s/wn)2]
2
1/[1+2d(s/wn)+(s/wn)2]
Gi(s) = 1+s
Pag. 80
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
DIAGRAMMI DI BODE DI G(s) GENERICA
ESEMPIO: Modello semplificato per il controllo
di posizione dell’albero di un motore dc
G(s) = G0 / s (1+s)
G0 = 10,
= 1
Si ha
G(s) = G1(s) G2(s) G3(s)
con
G1(s) = 10 ,
G2(s)=1/s ,
G3(s)=1/(s+1)
Pag. 81
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
Diagrammi di Bode di un motore dc di f.d.t. G(s) = 10 / s(s+1)
|G|, in dB
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
-110
 G, in °
-120
-130
-140
-150
-160
-170
-180
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Pag. 82
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
CONNESSIONE IN SERIE (IN CASCATA)
u=u1
G1(s)
y1=u2
G2(s)
y=y2
y = G2(s) G1(s) u = G(s) u
F.d.T. del sistema serie G(s) = prodotto
delle f.d.t. dei sottosistemi G1(s) e G2(s)
Pag. 83
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
CONNESSIONE IN PARALLELO
u1
G1(s)
y1
u
u2

G2(s)
y= y1 +y2
y2
y = [ G1(s) + G2(s) ] u = G(s) u
F.d.T. del sistema parallelo G(s) = somma
delle f.d.t. dei sottosistemi G1(s) e G2(s)
Pag. 84
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
CONNESSIONE IN RETROAZIONE
u

u1
G1(s)
y2
G2(s)
y1=y
u2
y = G1 [u + G2y ] = G1u + G1G2y
y = G1 / (1-G1 G2) u = G u
G(s) = G1(s) / [1- G1(s) G2(s)]
F.d.T. del sistema parallelo G(s) = f.d.t. del ramo
diretto diviso per (1-f.d.t. d’anello)
Pag. 85
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SISTEMA DI CONTROLLO A RETROAZIONE
d
r
+
_
e
C(s)
u
G(s)
y
Il sistema deve essere INTERNAMENTE STABILE
nel senso che se gli ingressi r e d sono limitati,
tutte le variabili interne del sistema (e, u e di
conseguenza tutte le altre) devono rimanere limitate
La stabilità interna deve impedire che il sistema
“esploda” per effetto di ingressi limitati ed è quindi
un requisito necessario di un sistema di controllo
Pag. 86
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
STABILITA’ INTERNA
d
r
+
_
e
u
C(s)
y
G(s)
F.d.t.:
del processo
P
G(s)=b(s)/a(s)
del controllore C C(s)=q(s)/p(s)
d’anello
L(s)=C(s)G(s)=b(s)q(s) / a(s)p(s)
da r a e:
1/(1+L(s)) = a(s)p(s) / c(s)
da r a u:
C(s)/(1+L(s)) = a(s)q(s) / c(s)
da d a e:
-G(s)/(1+L(s)) = -b(s)p(s) / c(s)
da d a u:
1/(1+L(s)) =
a(s)p(s) / c(s)
c(s) = a(s) p(s) + b(s) q(s) : polinomio caratteristico
Pag. 87
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
STABILITA’ INTERNA
d
r
+
_
e
C(s)
u
G(s)
y
Il sistema a retroazione in figura è internamente stabile
se e solo se il polinomio caratteristico
c(s)=a(s)p(s)+b(s)q(s)
ha tutte le radici con parte reale negativa.
Pag. 88
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
CRITERIO DI NYQUIST
d
r
+
e
_
C(s)
u
G(s)
y
C(s)=q(s)/p(s)
G(s)=b(s)/a(s)
Si indichi con
L(s)=C(s)G(s) la f.d.t. d’anello del sistema in figura
c(s)=a(s)p(s)+b(s)q(s) il pol. caratteristico
Pa = no. di poli di L(s) con parte reale positiva
Pc = no. di radici di c(s) con parte reale positiva
N = no. di giri del diagramma di Nyquist di L(jw),
in senso orario, intorno al punto critico -1+j0
Vale la relazione
N = Pc - Pa
Stabilità interna  Pc = 0  N = -Pa
Pag. 89
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
CRITERIO DI NYQUIST
d
r
+
_
e
C(s)
u
G(s)
y
Il sistema in figura è internamente stabile
se e solo se il diagramma di Nyquist di
L(s) = C(s) G(s) non passa per il punto critico
-1+j0 e compie intorno ad esso un numero
di giri in senso antiorario pari al numero di poli di
L(s) con parte reale positiva
Pag. 90
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
COROLLARIO DEL CRITERIO DI
NYQUIST
d
r
+
_
e
C(s)
u
G(s)
y
Assumendo che L(s)=C(s)G(s) non ha poli con parte
reale positiva, il sistema in figura è internamente stabile
se e solo se il diagramma di Nyquist di L(s)
non passa per il punto critico -1+j0 e non lo contiene
al suo interno.
Pag. 91
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
MARGINI DI STABILITA’
MARGINE DI FASE m f E MARGINE DI GUADAGNO m g
2
1.5
1
Imaginary Axis
0.5
1/mg
.
wg
0
.w
mf
-0.5
f
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
Pag. 92
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
MARGINI DI STABILITA’
Pulsazione di attraversamento a 0 dB:
wf : | G(j wf) |  1 (0 dB)
Margine di fase:
mf  180  G(j wf)
Pulsazione di attraversamento a -180°:
wg :  G(j wg)   180
Margine di guadagno:
mg = 1 / |G(j wg)|
(mg)dB = - 20 log10 |G(j wg)|
Pag. 93
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
MARGINI DI STABILITA’
OSSERVAZIONI:
(1) I margini di fase e di guadagno misurano
la distanza dall’instabilità del sistema; tanto
più grandi sono mf e mg tanto più il sistema
è “sicuro”, lontano dall’instabilità.
(2) Valori indicativi per un progetto soddisfacente dell’anello di controllo sono:
mf = 40°  60°
mg = 4  6 ( 12  16 dB )
Pag. 94
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
CRITERIO DI BODE
Se si assume che
- la f.d.t. d’anello L(s) non ha poli con parte
reale positiva
- il diagramma di Bode di |L(jw)| attraversa
alpiù una volta gli 0 dB
allora il sistema è internamente stabile se
e solo se
mf > 0° e KB > 0
Pag. 95
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SPECIFICHE DI UN SISTEMA DI CONTROLLO
r
+
_
e
C(s)
u
G(s)
y
(1) STABILITA’: L’anello di controllo deve essere internamente
stabile
(2) PRECISIONE: Il segnale errore e deve essere “piccolo” A REGIME
(PRECISIONE STATICA) ed IN TRANSITORIO (PRECISIONE DINA_
MICA)
(3) ROBUSTEZZA: Le specifiche di stabilità e precisione devono
essere soddisfatte a fronte di incertezze di modello e disturbi
Pag. 96
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
PRECISIONE STATICA (A REGIME)
r
e


L(s)=C(s)G(s)
y
Per misurare la precisione a regime del sistema si definiscono gli
errori
ek : errore a regime se il segnale di riferimento è
r(t) = tk / k!
per k=0,1,2, ……
e0 : errore a regime al gradino, o anche errore di posizione
e1 : l’errore a regime alla rampa, o anche errore di velocità
e2 : l’errore a regime alla parabola, o anche errore di accelerazione
Pag. 97
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
ERRORI A REGIME
Come dipendono gli errori a regime ek dalle
caratteristiche dell’anello di controllo ?
Conviene scomporre la f.d.t. d’anello L(s) come
L(s) = K L’(s) / sh
dove
L’(s) ha guadagno in continua unitario: L(0)=1
K è il guadagno d’anello
h è il numero di poli di L(s) in s=0
Pag. 98
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
ERRORI A REGIME
r
e
KL’(s)
Ke
1/sh
La precisione statica dipende solo da h e K
Precisamente:
e0 = e1 =  = eh-1 = 0
eh = 1/(1+K) se h=0, eh = 1/K se h>0
eh+1= eh+2 =  = 
Pag. 99
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
PRECISIONE A REGIME
r
e
KL’(s)
Ke
1/sh
Il sistema in fig. in cui il n° di integratori
presenti nell’anello è uguale a h, dicesi di tipo h
Per un sistema di tipo h,
l’errore eh è finito ma non nullo
gli errori ei, i<h, sono nulli
gli errori ei, i>h, sono infiniti
Pag. 100
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
PRECISIONE A REGIME
ESEMPIO
Specifiche di precisione statica
-errore a regime al gradino nullo
-errore a regime alla rampa non superiore all’1%
L’anello di controllo deve avere
-
h=1 integratore
-
K  100
Pag. 101
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
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Facoltà di Ingegneria
PRECISIONE DINAMICA (IN TRANSITORIO)
Le specifiche di precisione dinamica (comportamento in transitorio)
possono essere espresse in diversi modi
(1) SPECIFICHE NEL DOMINIO DEL TEMPO sulla risposta al gradino
dal segnale di riferimento r all’uscita y : sovraelongazione, tempo di salita, tempo di assestamento
(2) SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA AD ANELLO
CHIUSO sulla risposta in frequenza da r a y : picco di risonanza,
banda passante a -3dB.
(3) SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA AD ANELLO
APERTO sulla risposta in frequenza della f.d.t. d’anello L(jw):
margini di fase e di guadagno e relative pulsazioni di
attraversamento
Pag. 102
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
SPECIFICHE NEL DOMINIO DEL TEMPO
Pag. 103
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
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Facoltà di Ingegneria
SPECIFICHE NEL DOMINIO DEL TEMPO
Tempo di salita ts: tempo necessario affinchè l’uscita raggiunga
per la prima volta il valore di regime se il transitorio è oscillatorio,
oppure tempo richiesto per raggiungere il 90% del valore di regime
se il transitorio non è oscillatorio.
Tempo di assestamento ta: tempo necessario dopo il quale l’errore
di inseguimento si mantiene entro il 5% del valore di regime
Sovraelongazione S : valore, in %, di superamento del valore di
regime
Pag. 104
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA
DIAGRAMMA DI BODE DI T(j w )
| T(jw )|,
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
dB -8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-16
-17
-18
-19
-20
-1
10
Mr : PICCO DI RISONANZA
w
10
0
w : BANDA PASSANTE
B
10
1
Pag. 105
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
PICCO DI RISONANZA E BANDA PASSANTE
r
+
_
e
C(s)
u
y
G(s)
F.d.T. d’anello:
L(s) = C(s) G(s)
F.d.T. da r a y:
T(s) = L(s)/(1+L(s))
Risposta in frequenza da r a y: T(jw)
Picco di risonanza Mr: valore in dB del picco di ampiezza
della risposta in frequenza da r a y;
valori tipici di un buon progetto Mr : 1  4 dB
Banda passante (a -3dB) wB : valore della pulsazione alla quale il
guadagno si riduce a -3dB
Pag. 106
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SPECIFICHE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA
SU L(jw)
Bode Diagrams
Gm=20.828 dB (at 3.1623 rad/sec), Pm=47.404 deg. (at 0.78441 rad/sec)
50
0
Phase (deg); Magnitude (dB)
-50
-100
-150
-50
-100
-150
-200
-250
-300
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Pag. 107
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
CONVERSIONE DI SPECIFICHE
Per la sintesi conviene tradurre le specifiche
in specifiche equivalenti su mf e wf .
Formule empiriche per la conversione
wB ts  3
(1+S) / Mr  0.85  1
wf / wB  0.5  0.8
mf  arccos( 1 - 0.5/
2
Mr
)
Pag. 108
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
SINTESI PER TENTATIVI
(1) COMPENSAZIONE STATICA: Si determinano il numero c di poli
in s=0 del controllore C(s) ed eventualmente un guadagno Kc in
modo da soddisfare le specifiche di precisione statica.
(2) CONVERSIONE SPECIFICHE: Si convertono, tramite le formule
approssimate, le specifiche di precisione dinamica in specifiche
equivalenti su mf e wf .
(3) COMPENSAZIONE DINAMICA: Si progetta una rete correttrice
C’(s) in modo da conseguire i valori di mf e wf impostati.
(4) VERIFICA: Si verifica se il controllore C(s)= Kc C’(s) / sc soddisfa
le specifiche e in tal caso si arresta il procedimento. Altrimenti
si modificano i valori impostati di mf e wf e si ritorna al passo
(3).
Pag. 109
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
RETI CORRETTRICI
Si consideri la f.d.t. con un polo ed uno zero
C(s) = (1+ss) / (1+s)
s, > 0
Se la pulsazione di rottura del polo precede
quella dello zero, cioè s < , allora C(s)
introduce ATTENUAZIONE e ritardo.
Viceversa, se s > , allora C(s) introduce
ANTICIPO e amplificazione.
Pag. 110
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
RETI CORRETTRICI
Rete Anticipatrice:
1+s
Cant(s) =
1+(/m)s
> 0
m>1
Rete Attenuatrice:
1+(/m)s
Catt(s) =
1+s
> 0
m>1
Pag. 111
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
DIAGRAMMI DI BODE DELE RETI CORRETTRICI
Pag. 112
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 1
w f =1, mf =40° Þ |L(jw f )|<1,  L(jw f )+180° > mf Þ C(s)=K (compensatore proporzionale)
0
-20
Phase (deg); Magnitude (dB)
-40
-60
-80
-100
-80
-90
-100
-110
-120
-130
-140
-150
-160
-170
-180
-2
10
-1
0
10
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Pag. 113
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Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 2
specifiche: m =40°, w =1
f
f
|L(jw )|>0dB,  L(jw ) > -140° Þ rete attenuatrice
f
f
60
40
Phase (deg); Magnitude (dB)
20
0
-20
-40
-80
-90
-100
-110
-120
-130
-140
-150
-160
-170
-180
-2
10
-1
0
10
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Pag. 114
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 3
specifiche: mf =40°, w f =5
|L(jw f )| < 0dB,
 L(jw f ) < - 140°
Þ rete anticipatrice
40
20
Phase (deg); Magnitude (dB)
0
-20
-40
-60
-80
-90
-100
-110
-120
-130
-140
-150
-160
-170
-180
-2
10
-1
0
10
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Pag. 115
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
COMPENSAZIONE DINAMICA - CASO 4
specifiche: mf = 40°,
wf = 5
| L(jw f ) | > 0 dB,  L(jw f ) < - 140° Þ rete anticipatrice + attenuatrice
80
60
Phase (deg); Magnitude (dB)
40
20
0
-20
-80
-100
-120
-140
-160
-180
-2
10
-1
0
10
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Pag. 116
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
REALIZZAZIONE CIRCUITALE DELLE RETI CORRETTRICI
R1
u
Rete attenuatrice:
C
R2
y
  C(R1+R2 )
m= 1 + R1/R2
Rete anticipatrice:
R1
  R 1C
m= 1 + R1/R2
u
C
R2
m
y
Pag. 117
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
ESEMPIO DI SINTESI
F.d.T. del sistema da controllare
G(s) = 1 / s(s+1)
Specifiche:
(1) errore a regime nullo al gradino e1 0
(2) errore a regime alla rampa e1 1%
(3) sovraelongazione S 20%
(4) tempo di salita ts  0.5 sec
Pag. 118
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
ESEMPIO DI SINTESI
r
+
e
u
C(s)=1
_
y
G(s)
Risposta alla rampa del sistema non compensato G(s)=1/[s(s+1)], C(s)=1
10
9
Il sistema non
8
7
soddisfa specifica
r(t), rosso 6
y(t), blu
e(t), verde 5
(2)
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Tempo, t
6
7
8
9
10
Pag. 119
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
COMPENSAZIONE STATICA
r
+
e
u
100
_
G(s)
y
Per soddisfare (2)
si sceglie Kc=100.
Risposta al gradino del sistema ad anello chiuso: C(s)=100, G(s)=1/[s(s+1)]
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
Amplitude
1.4
Il sistema non
1.3
1.2
1.1
1
0.9
soddisfa (3): S>80%
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
Time (sec.)
Pag. 120
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
CONVERSIONE SPECIFICHE DINAMICHE
Usando le formula empiriche si trovano
valori di primo tentativo per mf e wf :
ts=0.5 sec Þ wf = 2 / ts = 4 rad/sec
S = 0.2
Þ mf = 50°
Pag. 121
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
COMPENSAZIONE DINAMICA
Phase (deg); Magnitude (dB)
Diagrammi di Bode di L(s)=100/[s(s+1)]
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-80
-90
-100
-110
-120
-130
-140
-150
-160
-170
-180
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Pag. 122
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
COMPENSAZIONE DINAMICA
Alla pulsazione wf = 4 rad/sec occorre
- un anticipo di circa 35° 40°
- un’attenuazione di circa 15 16 dB
Si possono usare
- rete anticipatrice con m=8 e w=wf =1.5
- rete attenuatrice con m=10 e w=wf =200
Pag. 123
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
COMPENSAZIONE DINAMICA
Il compensatore risultante è
1  5s
1
3/8
s
C(s) = 100
1  3/64 s
1  50 s
guadagno
anticipatrice attenuatrice
Pag. 124
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
VERIFICA PROGETTO: DIAGRAMMI DI BODE DI L(jw)
VERIFICA DEI MARGINI DI STABILITA'
Gm = Inf, Pm=57.427 deg. (at 4.235 rad/sec)
150
Phase (deg); Magnitude (dB)
100
50
0
-50
-80
-100
-120
-140
-160
-180
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Pag. 125
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
VERIFICA PROGETTO: RISPOSTA AL GRADINO DI y
Risposta al gradino: t s  0.5, S  20%
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Time (sec.)
Pag. 126
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
VERIFICA: TEMPO DI ASSESTAMENTO
Tempo di assestamento t a=1.35
1.1
1.09
1.08
1.07
1.06
1.05
1.03
1.02
To: Y(1)
Amplitude
1.04
1.01
1
0.99
0.98
0.97
0.96
0.95
0.94
0.93
0.92
0.91
0.9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Time (sec.)
Pag. 127
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
VERIFICA PROGETTO: RISPOSTA ALLA RAMPA
Risposta alla rampa,
e1  0.01
5
4.5
4
Amplitude
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (sec.)
Pag. 128
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
VERIFICA PROGETTO: DIAGRAMMA DI AMPIEZZA DI T(jw)
Risposta in frequenza di T(jw ), Mr<2dB, w B>6 rad/sec
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-4
-4.5
-5
-5.5
-6
-6.5
-7
-7.5
-8
-1
10
10
0
10
1
Pag. 129
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
VERIFICA PROGETTO: INGRESSO DELL’ATTUATORE
Risposta al gradino, ingresso u(t) all'attuatore
80
70
60
Amplitude
50
40
30
20
10
0
-10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time (sec.)
Pag. 130
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
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FONDAMENTI DI AUTOMATICA
CONTROLLORI INDUSTRIALI STANDARD
z*
+
_
e
+ d
Regolatore
+
u
Processo
z
+
n
+
• Controllo a relay
Il controllo a relay è
usato diffusamente
e
u
e
u
negli elettrodomestici
e in semplici sistemi
di controllo di
temperatura,
industriali e per
edifici.
Le variabili di un sistema di controllo a relay tendono ad esibire un comportamento
periodico, che va studiato con attenzione per garantire che l’ampiezza e il periodo di
tali oscillazioni siano compatibili con le specifiche del problema di controllo.
Pag. 131
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
• Regolatori industriali standard
•P
:
regolatore proporzionale
•I
:
regolatore integrale
e
• PI :
regolatore proporzionale-integrale
• PD :
regolatore proporzionale-derivativo
Regolatore
u
• PID: regolatore proporzionale-integrale-derivativo
Funzioni di trasferimento U(s)/E(s)
Azioni di controllo
•P
:
u(t) = Kp e(t)
•I
:
• PI :
u(t) =(Kp/Ti) 0 e(s )ds
t
u(t) = Kp e(t)+(1/Ti) e(s )ds 
• PD :
u(t) = Kp e(t)+Td
• PID:

u(t) = Kp e(t)+Td

t
0
de(t )
dt

•P
:
C(s)= Kp
•I
:
C(s)= Kp/sTi
• PI :
C(s)= Kp(1 + 1/sTi)
• PD :
C(s)= Kp(1 + sTd)
• PID:
C(s)= Kp(1 + sTd + 1/sTi)
t
de(t )
+(1/Ti) e(s )ds
dt
0

Kp = guadagno proporzionale; Ti = costante di tempo integrale; Td = costante di tempo
derivativa
Pag. 132
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
Note sulle proprietà dei regolatori industriali
e
P, I, PI,PD,PID
u
• azione proporzionale
Il comando u(t) è proporzionale all’errore e(t). L’errore di regolazione in genere non si annulla
all’infinito, ma risulta comunque inversamente proporzionale alla costante di proporzionalità K.
D’altra parte l’aumento del guadagno K tende a far peggiorare sia la stabilità del sistema di
controllo che l’effetto prodotto dal rumore di misura. Talvolta per azzerare l’errore si preferisce
sommare all’ingresso u(t) un valore costante U (chiamato valore di reset).
• azione integrale
La differenza fra i comandi u(t) e u(0) è proporzionale all’integrale dell’errore nell’intervallo [0,t].
L’importanza dell’azione integrale deriva dal fatto di assicurare errore nullo a regime per
variazioni a gradino del segnale di riferimento (set-point) e del disturbo sull’uscita. Inoltre
l’errore si mantiene nullo anche in presenza di variazioni del guadagno in continua del processo.
Nel regolatore PI l’azione integrale si somma a quella proporzionale garantendo il reset
automatico. Gli inconvenienti maggiori dell’azione integrale sono legati al problema noto come
wind-up e al passaggio da funzionamento manuale ad automatico del regolatore.
• azione derivativa
Il comando u(t) è proporzionale alla derivata dell’errore e(t). L’azione derivativa è utile per
processi che hanno uno scarso margine di stabilità, non facilmente migliorabile con l’azione
proporzionale. D’altra parte l’azione derivativa risulta dannosa per quanto riguarda l’effetto
prodotto dal rumore ad alte frequenze sul comando u(t), e non viene mai utilizzata da sola perché
farebbe perdere al sistema di controllo la fondamentale proprietà di essere passa-basso.
Pag. 133
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Altre azioni caratteristiche dei regolatori industriali
• Azione in andata
I regolatori industriali hanno spesso dei morsetti di ingresso addizionali per l’introduzione di
un’azione in andata (anticipo o “feedforward”) u°(t) sulla variabile di controllo. Tale azione
risulta utile nei casi in cui si ha a disposizione delle misure sul disturbo sull’uscita.
• Guadagno variabile
Alcuni regolatori possono far dipendere il guadagno dell’azione integrale dall’errore di
regolazione e(t). Nel caso più comune si hanno due valori fissabili a priori, ed è usato il più
piccolo fino a quando l’errore rimane in un intervallo prefissato, mentre al di fuori di tale
intervallo è usato il maggiore.
• Controllo a tempo proporzionale
I regolatori commerciali sono predisposti per uscite analogiche di caratteristiche standard
(4÷20 mA e 0÷10 V). Esistono anche le predisposizioni per uscite di tipo logico a relay, dette a
“tempo proporzionale”. In tal caso si usa un circuito, detto PWM (Pulse Width Modulator), che
modula la durata degli intervalli nei quali il comando è on/off.
• Saturazioni comando
La variabile di controllo u(t) in un qualsiasi anello di regolazione è sempre limitata
superiormente e inferiormente. In alcuni casi, come per esempio in presenza di variazioni
rilevanti dei segnali agenti sul sistema di controllo, può accadere che il comando vada in
saturazione. In tal caso anche il regolatore lavora ad anello aperto ed integrando un segnale
praticamente costante può allontanarsi molto dal campo di valori utili per il controllo. Questo
implica che occorrerà molto tempo per ristabilire i valori normali di controllo (wind-up).
Pag. 134
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Note sulla scelta della legge di controllo
I regolatori industriali sono molto utilizzati per il controllo di processi industriali. Uno dei
motivi principali è relativo al fatto che le specifiche di controllo non sono mai molto stringenti.
Il PI risulta adeguato per processi caratterizzati essenzialmente da una dinamica del primo
ordine, oltre a un eventuale ritardo puro.
Il regolatore I risulta adeguato per processi puramente algebrici (dinamica trascurabile) come la
regolazione di portata con valvole.
Il regolatore PID è indicato per sistemi dove la dinamica risulta essenzialmente del secondo
ordine. Nel caso di ritardo puro trascurabile, l’azione derivativa fornisce un anticipo di fase
utile per assicurare la stabilità dell’anello in una banda passante più ampia. Se invece il ritardo
puro è dominante risulta necessario utilizzare schemi di controllo più sofisticati come il
predittore di Smith oppure il controllo in cascata. Il regolatore PID può risultare inadeguato per
sistemi con modi oscillatori sostenuti. Tali situazioni si incontrano nei servo-posizionatori
elettrodinamici e oleo-dinamici, in cui sono presenti masse mobili, collegate tra loro e con la
base fissa mediante trasmissioni in qualche misura elastiche.
Esistono diversi metodi per tarare i parametri dei regolatori industriali, sia con procedure
manuali che automatiche. Tali metodi sono basati sullo studio della risposta al gradino, sulla
determinazione di alcuni punti della risposta in frequenza, e sulla stima parametrica del
processo.
-s
-s
G(s)= K e /(1+ Ts)
G(s)= K e
/(1 + 2ds/ωn + s²/ωn²)
Dinamica del primo ordine + ritardo
Dinamica del secondo ordine + ritardo
Pag. 135
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
TARATURA DEI CONTROLLORI PID
Esistono numerose regole empiriche e
metodi sistematici per la scelta dei guadagni
Kp , Ki, Kd del controllore PID alcuni dei quali
non richiedono la conoscenza della f.d.t. G(s)
del processo da controllare.
Pag. 136
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
METODO DI ZIEGLER-NICHOLS AD ANELLO CHIUSO
Si determinano sperimentalmente:
guadagno critico Kc
periodo critico
Tc
come il valore del guadagno a cui il sistema
oscilla ed il relativo periodo di oscillazione.
Kp
Ti
P
0.5Kc
PI
0.45Kc
0.8Tc
PID
0.6Kc
0.5Tc
Td
0.125Tc
Pag. 137
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
METODO DI ZIEGLER-NICHOLS AD ANELLO APERTO
Si determinano sperimentalmente:
f.d.t. del processo G(s) = K exp(-s) / (1+Ts)
guadagno K, ritardo T, costante di tempo 
Kp
P
Ti
Td
T/(K)
PI
0.9 T/(K)
3
PID
1.2 T/(K)
2
0.5
Pag. 138
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
METODO DI ZIEGLER-NICHOLS AD ANELLO CHIUSO
Si determinano sperimentalmente:
guadagno critico Kc
periodo critico
Tc
come il valore del guadagno a cui il sistema
oscilla ed il relativo periodo di oscillazione.
Kp
Ti
P
0.5Kc
PI
0.45Kc
0.8Tc
PID
0.6Kc
0.5Tc
Td
0.125Tc
Pag. 139
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
CENNI DI CONTROLLO DIGITALE
r
y
Controllore
Processo
e
u
u
e
k
k
A/D
D/A
digitale C
P
A/D: convertitore analogico/digitale; converte
il segnale analogico e(t) in una sequenza
di dati binari ek = e(k) a N bit.
D/A: convertitore digitale/analogico; converte
la sequenza uk in un segnale analogico u(t)
Pag. 140
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
CAMPIONATORE (Convertitore A/D)
e(t)
A/D
ek
Campionatore ideale:
ek = e(k)
k=0,1,2,……..
 : periodo di campionamento
A/D effettua campionamento e quantizzazione
del campione ek su una parola di N cifre binarie
Pag. 141
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
MANTENITORE (Convertitore D/A)
uk
D/A
u(t)
Mantenitore di ordine zero (Zero-Order-Hold):
u(t)= uk
k  t < (k+1) 
k=0,1,2,……..
 : periodo di campionamento
D/A : fornisce in uscita un segnale costante
a tratti mantenendo l’uscita al valore uk
nell’intervallo [ k ,(k+1) )
Pag. 142
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
CONTROLLORE (REGOLATORE, COMPENSATORE) DIGITALE
ek
C(z)
uk
Nel periodo di campionamento [ k ,(k+1) ),
dopo aver campionato ek, il controllore digitale
calcola uk mediante l’equazione alle differenze
uk+p1uk-1+ ••• +pruk-r = q0ek+q1ek-1+ ••• + qsek-s
Pag. 143
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
FONDAMENTI DI AUTOMATICA
CONTROLLORE (REGOLATORE, COMPENSATORE) DIGITALE
ek
C(z)
uk
L’eq.ne alle differenze del controllore digitale
uk+p1uk-1+ ••• +pruk-r = q0ek+q1ek-1+ ••• + qsek-s
è rappresentata sinteticamente dalla funzione
di trasferimento:
C(z) =
q(z)
p(z)
q0 + q1z-1 + … + qr-1z-s+1 + qsz-s
=
1 + p1z-1 + … + pr-1z-r+1 + prz-r
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SINTESI DI UN CONTROLLORE DIGITALE
Esistono due diverse filosofie di progetto di un sistema di controllo
digitale:
(1) Discretizzazione di un controllore analogico: si progetta con
tecniche classiche (ad esempio sintesi per tentativi) la f.d.t. C(s)
di un controllore analogico che consente di soddisfare tutte le
specifiche (statiche e dinamiche); successivamente si determina
la f.d.t. Cd(z) di un controllore digitale che, collegato in serie fra
D/A e A/D, approssima il comportamento del controllore
analogico progettato.
(2) Sintesi diretta di un controllore digitale: si approssima la
connessione serie mantenitore-processo G(s)-campionatore con
una f.d.t. Gd(z) e si progetta direttamente in tempo-discreto
un controllore C(z) che soddisfa tutte le specifiche.
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
SCELTA DEL PERIODO DI CAMPIONAMENTO
: periodo di campionamento
1/
: frequenza di campionamento
2p / : pulsazione di campionamento
p / : pulsazione di Nyquist
La scelta del periodo di campionamento  è fondamentale nei
sistemi di controllo digitale. Essa è prevalentemente influenzata
dai seguenti fattori:
- costo dei dispositivi A/D, D/A e potenza di calcolo richiesta
- problemi numerici (perdita di precisione per  piccolo)
- sensibilità ai disturbi
- campionamento e informazione: la pulsazione di campionamento
va commensurata alla banda richiesta al sistema retroazionato
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SCELTA DEL PERIODO DI CAMPIONAMENTO

: periodo di campionamento
1/
: frequenza di campionamento
2p / : pulsazione di campionamento
p / : pulsazione di Nyquist
Se wB è la banda passante desiderata occorre scegliere (per il
teorema di Shannon) p / > wB ; una buona regola euristica è
6 < wc / wB < 20,
wc = 2p /
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DISCRETIZZAZIONE DI UN CONTROLLORE DIGITALE
Esistono numerosi metodi per effettuare
l’approssimazione C(s)  Cd(z), quali
METODO DI EULERO (in avanti) s= (z-1)/
METODO DI EULERO (indetro)
s= (z-1)/ ( z)
METODO DI TUSTIN
s=2(z-1)/ (z+1)
L’approssimazione è tanto migliore quanto più
 è piccolo; buona regola euristica
wc / wB = 20  50
wc  2p/
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SINTESI DIRETTA DI UN CONTROLLORE DIGITALE
uk
ZOH
uk
Processo G(s)
Gd(z)
A/D
yk
yk
Modello discreto equivalente
Gd(z) = (z-1/z) Z[G(s)/s]
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CONTROLLORE PID DIGITALE
CPID(s) = Kp + Ki /s + Kd s
s  (z-1)/z (approssimazione di Eulero)
CPID(z) = Kp + Ki z /(z-1) + Kd (z-1)/z
uk=uk-1 +Kp(ek -ek-1) + Ki ek + (Kd/ ) (ek-2ek-1+ek-2)
ek
PID digitale
uk
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IMPLEMENTAZIONE DI UN CONTROLLORE DIGITALE
(1) Acquisizione di ek dal convertitore A/D
(2) Calcolo di uk mediante eq.ne alle differenze
(3) Invio di uk al convertitore D/A
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